Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 1 MATEMTICAS BSICAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de este concepto, puede aplicarse tanto en Geometra, en Fsica, en Economa e incluso en Biologa. Porslocitaralgunosejemplos,acontinuacinsemencionanlasaplicacionesmsconocidasdela integral: 1.Hallar el rea de regiones planas. 2.Obtener los volmenes de slidos de revolucin.3.Calcular volmenes de slidos con secciones conocidas.4.Determinar la longitud de arco de una curva.5.Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (funcin de densidad probabilidad). 6.Conocer el valor promedio de una funcin.7.Hallarmomentos(fuerzasqueejercenciertasmasaconrespectoaunpunto)ycentrosdemasao centroide (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente).8.Encontrar la presin ejercida por un fluido.9.Calcular el trabajo realizado de mover un objeto de un punto a otro. 10.Obtener velocidades y aceleraciones de mviles. 11.Conocer el supervit del consumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar un artculo a un precio dado). 12.Determinarelflujosanguneo(volumendesangrequepasaporunaseccintransversalporunidad detiempo)deunapersonaysugastocardiaco(volumendesangrebombeadoporelcoraznpor unidad de tiempo. A continuacin se profundiza en las primeras dos aplicaciones enlistadas. CLCULO DE REAS PLANAS Para calcular un rea plana, se efecta la siguiente metodologa: 1.Se trazan lascurvas que limitan el rea que se desea conocer. 2.Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas. 3.Se determina la zona de la que hay que calcular el rea. 4.Se decide que variable conviene integrar 5.Se procede a integrar bajo los lmites encontrados. Ejemplos. Hallar el rea limitada por las siguientes condiciones: 1) Curva 2x y = , el ejexy por las rectas1 = xy3 = xSolucin: Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 2 xy1 2 3 4168412rea 2313 31266 . 8326313273uxdx x A = = = = 2) El ejey , la curva 22 8 y y x + =y por las rectas1 = yy3 = ySolucin: xy1 2 3 441-13rea5 6 7 829 ( ) ( )||

\|+ + + =|||

\| + = + =311 8 9 9 2438 2 83132312yy y dy y y A266 . 3039232024 u =||

\| = 3) Curva6 72+ = x x y , el ejexy por las rectas2 = xy6 = xSolucin: Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 3 xy2 4-2-4rea62-64 Por situarse debajo del eje de integracin( ) x , debe afectarse todo por un signo negativo. ( ) ( ) ( )

||

\|+ ||

\|+ =|||

\|+ = + =12 4273836 3627321662736 76223 622x xxdx x x A( ) ( )266 . 183563218 12 143836 126 72 u =

||

\| =

||

\|+ + = 4) Curvax x x y 8 62 3+ =y el ejex Solucin: xy24-2rea2 La curva corta al ejexen2 , 0y4( ) ( ) + + = 422 3202 38 6 8 6 dx x x x dx x x x AFacultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 4 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 16 16 4 64 128 64 0 16 16 4 4 244 24422 34202 34+ + + =|||

\|+ |||

\|+ = x xxx xx28 4 4 u = + =5) Hallar el rea comprendida entre la parbolax y 42= y la recta4 2 = x ySolucin: xy1 2 3 441-13rea5 6 72-2-3-4 Despejandoxde la ecuacin de la recta: 2 4 += yx y sustituyendo en la ecuacin de la parbola: ( ) 8 2 4 22 442+ = + =||

\| += y yyy0 8 22= y y , resolviendo la ecuacin:( )( ) 4 , 2 0 4 22 1= = = + y y y y42 4 4, 12 4 22 1=+= =+ = x x ( ) ( ) 4 , 4 , 2 , 12 1P P rea pedida = rea bajo la recta - rea bajo la parbola: 423422 422 42422 421224 422 4 2 4 |||

\||||

\|+ = ||

\|+ = += yyydyydyydyydyyA( ) ( ) [ ] ( ) [ ]29 6 1512723 1212812644 1 8 4 u = =

=

||

\| + = 6) Hallar el rea comprendida entre las parbolas 26 x x y = y x x y 22 =Solucin: Igualando las ecuaciones para obtener los puntos de interseccin: 0 8 2 0 8 2 2 62 2 2 2= = + = x x x x x x x xfactorizando: ( ) = 0 8 2x x 01 = x = 0 8 2x 4282= = xFacultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 5 ( ) 0 0 0 0 0 621= = = y( ) 8 16 24 4 4 622= = = y los puntos de interseccin son: ( ) ( ) 8 , 4 , 0 , 02 1P Prea pedida = rea bajo la parbola 1 - rea bajo la parbola 2: xy2 42(0,0)rea66848P (4,8)y = x2 - 2xy = 6x - x2 ( ) ( )402340324024023 33 2 6|||

\| |||

\| = = xx xx dx x x dx x x A( ) ( ) ( )266 . 213641636436448 0 0 163640 036416 3 u = + =

||

\|

||

\| = VOLMENES SLIDOS DE REVOLUCIN Siunafuncinsegiraconrespectoaunejedelplanosegeneraunvolumenconocidocomoslidode revolucin y al eje se le llama eje de revolucin. Grficamente, esto es: xa aa a b bb byxa aa a b bb byGiray = f(x)FuncinSlido de revolucin Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 6 En general, una funcin puede girarse libremente, por lo que la forma del slido que se genera depende, tanto de la naturaleza de la funcin, como del eje de revolucin. Enlassiguientesgrficasseapreciacomoseformanslidosderevolucinconocidos,sisegiran funciones muy elementales: xa aa a b bb byxa aa a b bb byGiray = f(x)Constante Cilindro xa aa a b bb byxa aa a b bb byGiray = f(x)Tringulo rectnguloCono xyxa aa ayGiray = f(x)Semicircunferencia Esferaa aa a Unvolumendel slidode revolucin se conforma dela suma infinita de franjasunitarias devolumeny si se genera haciendo girar a una funcin( ) x falrededor del ejex , se puede calcular por medio de:Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 7 ( ) [ ] =badx x f V2 dondeaybrepresentan las rectas que lo limitan, es decir, son los extremos. Ejemplos. Calcularelvolumendelslidoderevolucingeneradoalhacergirarlassiguientesfuncionesconlos lmites marcados y el eje de revolucin dado. 1) 2x y = , el ejexy las rectas1 = xy2 = xSolucin: xyxyGiray = x22 12 1 [ ]3215 214212247 . 195315 5325uxdx x dx x V === = = 2)x y 82= , el ejexy las rectas0 = xy2 = xSolucin: xyxyGiray2= 8x2 1 2 1 Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 8 [ ]32022020226 . 50 16 0 16 4 8 8 u x dx x dx x V = = = = = 3) 24x y = , el ejeyy las rectas0 = yy16 = ySolucin: xyGiray = 4x28 -816xy8 -816 31602 160160253 . 100 32 082568 4 4uydyydyyV = = = =

= 4)x y 2 = , el ejeyy las rectas2 = yy4 = ySolucin: xyGiray = 2x2 -242xy2 -242 3423 422 42266 . 141256128126412 4 2uydyydyyV ====

= Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 9 ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS ORDEN, GRADO Y SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL Una ecuacin que contiene derivadas o diferenciales se llama ecuacin diferencial. Ejemplos. 1) 7 8 3 = +ydxdyx2)3222 xdxdyydxdyedxy dx= + 3)22dxx dm F =(segunda ley de Newton) El orden de una ecuacin diferencial es igual al de la derivada de ms alto orden que aparece en la ecuacin. Ejemplos. 1) 0 4 32= + + ydxy ddxdy (ecuacin diferencial de segundo orden) 2) 0 5 84433= xdxy dxydxy dx(ecuacin diferencial de cuarto orden) El grado de una ecuacin diferencial es el exponente mayor de la derivada de mayor orden de la ecuacin. Ejemplos. 1) ( ) 0 9 7 2233522= +|||

\|+ + xdxy dxydxy d(ecuacin diferencial de tercer orden y segundo grado) 2) 0 12 11 9 8 485533= ||

\| dxdydxy dy xdxy d(ecuacin diferencial de quinto orden y primer grado) 3) 0 15 8 14 634422= |||

\| dxdydxy dxydxy d(ecuacin diferencial de cuarto orden y tercer grado) Una solucin de una ecuacin diferencial es aquella que satisface a la ecuacin, por ejemplo, si se tiene: 0 4 322= + ydxdydxy d, una solucin es: x xe e y43 8+ = , esto es: x xe edxdy412 8 =x xe edxy d42248 8+ =sustituyendo en la ecuacin: ( ) ( )x x x x x xe e e e e e4 4 43 8 4 12 8 3 48 8 + + +Facultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 10 0 12 32 36 24 48 84 4 4= + + = x x x x x xe e e e e e SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN) Dependiendo del tipo de ecuacin diferencial, conviene aplicar un mtodo de resolucin particular. Por su sencillez,losmsutilizadossoneldelaobtencinderacesdelpolinomioyeldeseparacinde variables. Enelprimercaso,sueleutilizarseeloperador Denlugardeladerivada,afindequecadarazia del polinomioformado,tengalaforma x aiie C ,donde iC sonconstantes.Porsuparte,laseparacinde variables, se efecta a fin de facilitar su integracin. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1) 0 8 5 = +ydxdy Solucin: ( )588 5 0 8 5 = = = + D D y Dxe C y581= comprobacin: xe Cdxdy58158 =sustituyendo:0 8 8 8585581581581581= + =|||

\|+|||

\| x x x xe C e C e C e C 2) 0 11 4 = ydxdy Solucin: ( )41111 4 0 11 4 = = = D D y Dxe C y4111= comprobacin: xe Cdxdy4111411=sustituyendo:0 11 11 1141144111411141114111= =|||

\||||

\| x x x xe C e C e C e C 3) 0 28 1122= + + ydxdydxy d Solucin: ( ) ( )( ) 7 , 4 0 7 4 0 28 112 12 = = = + + = + + D D y D D y D DFacultad de Contadura y Administracin. UNAMAplicaciones de la integralAutor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 11 x xe C e C y7241 + = 4) 0 24 222= + ydxdydxy d Solucin: ( ) ( )( ) 4 , 6 0 4 6 0 24 22 12= = = + = + D D y D D y D Dx xe C e C y4261+ = 5) ( ) ( ) 0 2 4 8 = + dy x dx ySolucin: ( ) ( )dy x dx y 2 4 8 = +si se separan las variables se tiene: 4 28+= ydyx dx, integrando: += 4 28ydyx dx 4 ln 2 ln 8 + = + y x , elevando a lae : 4 ln 2 ln 8 + +=y xe e42 ln 8+ =+y ex 42 ln 8 = + xe y 6) ( ) 0 12= + + dy x dx ySolucin: ( )dy x dx y 12+ =separando las variables: ydyxdx =+12, integrando: =+ ydyxdx12 y x ln tan1 =, elevando a lae : y xe eln tan 1= y ex =1tan xe y1tan =