39_Matematicas4

Matemáticas IV

Dirección y realización del proyecto

LCC. Gabriel Barragán Casares

Director General del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán

Planeación y coordinación

Lic. Alejandro Salazar Ortega

Director Académico

Metodología y estrategia didáctica

Lic. Lorenzo Escalante Pérez

Jefe del departamento de Servicios Académicos

Coordinación de la asignatura

L.M. Davy Alejandro Pérez Chan

Colaboradores

Ing. Armín Jesús Gorocica Borges

Lic. Alicia Guillermina Sosa Martín

L.C.C. Gessey Adrián Góngora Rosado

Revisor

L.M. Davy Alejandro Pérez Chan

2a edición

Diciembre de 2011

Impreso en México

Matemáticas IVISBN:978-607-489-331-1

Matemáticas IV

III

La reforma integral de la Educación Media Superior

La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser atendidos sólo si este nivel educativo se desarrolla con una identidad defi nida que permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos pro-puestos. Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama general articulado y sin que exista sufi ciente comunicación entre ellos. El reto es encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta manera lograr entre todos reglas claras de operación. Es impor-tante para el desarrollo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho conocimiento una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.

Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus es-tructuras los cuales pretendieron dar la pertinencia, efi cacia y calidad necesarias para que la población a la que atiende (jóvenes entre los 15 y 21 años aproxima-damente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más general, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos, y como tales deben reunir, en adición a los conocimientos y habilidades que defi nirán su desarrollo personal, una serie de actitudes y valores que tengan un impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto.

Es en este contexto que las autoridades educativas del país, han pro-puesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos que permitan articular los diferentes actores en un Sistema Nacional de Bachillerato, dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior, trán-sito de estudiantes, intercambio de experiencias de aprendizaje y la certifi cación de los mismos.

Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competen-cias, y que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y extendidas) y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que por consiguiente, los hace distintos. Lo anterior muestra cómo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, confor-mado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país.

Bachillerato Universitario Bachillerato General Bachilleratos Tecnológicos

Competencia Genéricas

Competencias Disciplinares Básicas

Competencias Profesionales Básicas

Competencias Profesionales Extendidas

IV

MIVUna competencia es la integración de habilidades, conocimientos y acti-

tudes en un contexto específi co. Esta estructura reordena y enriquece los planes y programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reempla-zarlos, sino complementarlos y especifi carlos. Defi ne estándares compartidos que hacen más fl exible y pertinente el currículo de la EMS.

Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachille-rato general, el cual en la defi nición del MCC de la reforma integral, deberá de-sarrollar en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competen-cias profesionales básicas.

Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben es-tar en capacidad de desempeñar; las que les permiten comprender el mundo e infl uir en él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus vidas, y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así como participar efi cazmente en los ámbitos social, profesional y político. Dada su importancia, dichas competencias se identifi can también como competencias clave y constituyen el perfi l del egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se listan las once competencias genéricas, agrupadas en sus cate-gorías correspondientes:

Se autodetermina y cuida de sí

1) Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2) Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3) Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y comunica

4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Piensa crítica y refl exivamente

5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6) Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia ge-neral, considerando otros puntos de vista de manera crítica y refl exiva.

Aprende de forma autónoma

7) Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa

8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9) Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversi-dad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Matemáticas IV

V

Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conoci-mientos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo disciplinar para que los estudiantes se desarrollen de manera efi caz en dife-rentes contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas.

Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacida-des que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y pro-gramas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la formación de los estudiantes en las competencias genéricas que inte-gran el perfi l de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educati-vos, contenidos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Eco-logía), Ciencias Sociales y Humanidades (Historia, Sociología, Política, Economía, Administración, Lógica, Ética, Filosofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Ex-presión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática).

Para la asignatura Matemáticas IV que pertenece al área de Ciencias Exactas, la RIEMS señala las competencias disciplinares básicas que a continuación se enumeran, buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competen-cias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos.

Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas me-diante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases.

1) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o for-males.

2) Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimien-tos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4) Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráfi cos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, mate-mático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5) Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6) Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7) Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8) Interpreta tablas, gráfi cas, mapas, diagramas y textos con símbolos ma-temáticos y científi cos.

VI

MIVEstrategia didáctica

Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estable-ció una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.

Se le denomina estrategia en el sentido de su fl exibilidad, ya que no pretende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesiones de aprendizaje.

La estrategia consta de siete pasos o etapas, que deberán conocerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de las mismas. Los pasos se listan y describen a continuación:

• Dinamización

• Contextualización

• Problematización

• Desarrollo de saberes

• Síntesis

• Realimentación

• Evaluación de la competencia

Dinamización

En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador adentre al alumno en la materia y considere que es a partir de actividades que el estudiante desarrollará nuevos conocimientos.

En el desarrollo de competencias es necesario el aprendizaje contex-tual, es decir, presentar elementos a través de escenarios que le sean signifi ca-tivos a los estudiantes. Dichas actividades deberán realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio.

Contextualización

En el desarrollo de competencias es necesario el aprendizaje contextual, es decir, presentar elementos a través de escenarios que le sean signifi cativos a los es-tudiantes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio.

Problematización

En el modelo de competencias que la RIEMS establece, el contenido toma un signi-fi cado primordial al acercarnos a él, a través de su aplicación en la vida cotidiana, por tanto la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula.

Desarrollo de saberes

Etapa en la cual el facilitador a partir de la Base Orientadora de la Acción (BOA), facilita el quehacer del estudiante en la adquisición de competencias. En esta etapa de la estrategia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proce-so de asimilación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato.

Matemáticas IV

VII

Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experi-menta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación, la cual debe fomentarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no está motivado, difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la formación de la BOA, ésta incluye la forma que el facilitador utiliza para que el alumno desarrolle una competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método o forma de enseñanza para cumplir tales fi nes.

La BOA puede llevarse a cabo de varias formas, cubriendo tres aspectos importantes, la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos, completa en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto importante en la constitución de la BOA, ésta puede ser concreta o ge-neralizada, es decir, el docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abarcar el mismo contenido por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el concepto que se expone al alumno.

El modo de obtención es el último de los aspectos que incluye la BOA. Este se presenta de dos formas: pre-elaborada e independiente. En la primera, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador; y en la segunda, los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.

Síntesis

Actividad que permite integrar los aprendizajes del estudiante a través de eviden-cias de conocimiento, desempeño, producto y actitud de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estu-diante en procesos de coevaluación.

Realimentación

Al término de cada bloque en los que se organizan las unidades de competencia en cada asignatura, el facilitador y los estudiantes ante la evidencia recopilada en la etapa anterior, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de claridad en la recolección de evidencias e incluso que los aprendizajes sean reafi r-mados por los estudiantes.

Evaluación de la competencia

Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.

VIII

MIV Simbología empleada en la guía

1. Dinamización y motivación

2. Contextualización

3. Problematización

4. Desarrollo de criterios

5. Síntesis

6. Realimentación

7. Evaluación de la competencia

Matemáticas IV

IX

Índice

Bloque I: Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones 2

Preliminares 4

Conjuntos 4

Intervalos 9

Desigualdades 12

Sesión A: Relaciones y funciones 19

Relaciones 20

Funciones 21

Actividad de aprendizaje 2 26

Sesión B: Clasifi cación de las funciones 27

Clasifi cación de funciones 28

Operaciones con funciones 38

Composición de funciones 39

Bloque II: Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráfi cas 46

Sesión A: Funciones inversas y especiales 52

Función inversa 55

Funciones especiales 61

Función constante 61

Función identidad 62

Función valor absoluto 63

Función escalonada 64

X

MIVSesión B. Transformaciones gráfi cas 67

Traslaciones 69

Alargamientos y compresiones 70

Refl exiones 71

Bloque III: Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos 80

Sesión A: Funciones polinomiales.

La función lineal 86

Las funciones polinomiales. Elementos 87

Sesión B: La función cuadrática 98

Elementos y representación gráfi ca de la función cuadrática 100

Máximos y mínimos. Modelos cuadráticos 104

Bloque IV: Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4 120

Sesión A: Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Características y gráfi cas 128

Las funciones polinomiales. Grado y coefi ciente principal 130

Bloque V: Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas 148

Sesión A: Funciones polinomiales de grados tres y cuatro 153

Funciones polinomiales actorizables 153

Matemáticas IV

XI

Bloque VI: Aplicas funciones racionales 176

Sesión A: Asíntotas 182

y grafi cación de funciones racionales 182

Bloque VII: Utilizas funciones exponenciales

y logarítmicas 206

Sesión A: Funciones exponenciales 212

Función exponencial 215

Sesión B: Funciones logarítmicas 225

Logaritmos 227

Bloque VIII: Aplicas funciones periódicas 242

Sesión A: Las funciones senoidales. Aplicaciones 246

Objetos de aprendizaje

• Funciones

• Relaciones

• Dominio

• Contradominio

• Imagen

• Regla de correspondencia

Bloque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Desempeños del estudiante

• Utiliza los criterios que defi nen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no.

• Describe una función empleando diferentes tipos de registros y refi ere su dominio y rango.

• Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio implícito o explicito, para obtener las imágenes correspondientes.

• Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones.

• Utiliza operaciones entre funciones para simplifi car procesos a través de nuevas relaciones.

• Aplica las nociones de relación y función para describir situaciones de su entorno.

Competencias a desarrollar

Genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

Disciplinares extendidas:

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedi-mientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemá-ticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

7. Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magni-tudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

8. Interpreta tablas, gráfi cas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.

4

MIVIntroducciónDemos inicio con una serie de defi niciones y conceptos que nos serán de utilidad a lo largo del curso. Se trata de la teoría básica de conjuntos e intervalos que, aunque no se contemplan de manera directa en el programa, serán de gran utili-dad al abordar los demás bloques, pues dichas defi niciones y conceptos resultan necesarios.

ConjuntosLa idea de conjunto es básica en el pensamiento humano. Aun cuando se trata de algo intuitivo, cada persona lo entiende según su propia experiencia. Cuando se habla de conjuntos la mayor parte de la gente entiende que se trata de una colec-ción o grupo de objetos que se encuentran juntos. A cada uno de esos objetos se les llama miembros o elementos del conjunto.

Representaremos a los conjuntos por medio de círculos o fi guras ovala-das. A un elemento o miembro de un conjunto se le representará con un punto interior al círculo y el elemento que no pertenece al conjunto se representará con un punto exterior al círculo. Representamos un conjunto de alumnos que juegan basquetbol en el “conjunto A”, al elemento Jorge (que juega basquetbol) y al ele-mento Federico (que no juega basquetbol) de la siguiente manera:

• Federico

A

• Jorge

FIGURA 1

* Nota: para representar el conjunto se le añade una literal mayúscula, es decir, en este caso será el conjunto A.

El círculo que acabamos de dibujar y que representa a un conjunto se El círculo que acabamos de dibujar y que representa a un conjunto se conoce como diagrama de Venn. conoce como diagrama de Venn.

Para identifi car de forma matemática un conjunto se emplean las lla-Para identifi car de forma matemática un conjunto se emplean las lla-ves { }, los cuales contienen a los elements de dicho conjunto.ves { }, los cuales contienen a los elements de dicho conjunto.

Entonces, si el equipo de basquetbol de la escuela está formado por Jorge, Damián, Juan, Alan y Ramón, se puede decir que:

A = {Jorge, Damián, Juan, Alan, Ramón}

Y se lee como:

“A es el conjunto cuyos elementos son Jorge, Damián, Juan, Alan y Ramón”.

También puede denotarse así:

A= {miembros del equipo de basquetbol de la escuela}

En forma general, se dice que un elemento pertenece o está en cualquier

Matemáticas IV

5

BIReconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

conjunto usando el símbolo ∈ (se lee “pertenece a”). En caso de que el elemento no forme parte de conjunto se utiliza ∉ (se lee “no pertenece a”). Volviendo al diagrama del equipo podemos afi rmar que Jorge ∈ A y Federico ∉ A.

Considera la letra M, que designa al conjunto descrito como {a, b, c, d}, es decir, M es el conjunto cuyos elementos son las primeras cuatro letras del alfa-beto. Podemos entonces decir que: a∈M, b∈M, c∈M y d∈M.

Es preciso mencionar que existen otros tipos de conjuntos los cuales de defi nen de la siguiente manera:

Si se cumple la condición de que todo elemento o miembro que está contenido en un conjunto D, está también contenido en un conjunto E, enton-ces al conjunto D se le identifi ca como un subconjunto de E. Se representa como D ⊂ E.

Para identifi car a un subconjunto también se utilizan las siguientes ex-presiones:

D es parte de E o D está contenido en E, también se puede expresar como E contiene a D o E incluye a D.

Puedes notar que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo.

Para señalar que no es subconjunto o la no inclusión se utiliza el símbolo ⊄ .El conjunto A de los Niños Héroes cuyos nombres fueron Juan, Agustín y

Francisco es un subconjunto del conjunto B formado por Juan, Agustín, Francisco, Fernando y Vicente. Usando la notación de conjuntos podemos escribir que: {Juan, Agustín, Francisco} ⊂ {Juan, Agustín, Francisco, Fernando, Vicente} o sea, A ⊂ B.

Representando lo anterior en diagramas de Venn tenemos la siguiente fi gura.

B

Vicente Fernando

AJuan

Agustín

Francisco

FIGURA 2

Se dice que dos conjuntos son iguales, si y solo si, los dos conjuntos Se dice que dos conjuntos son iguales, si y solo si, los dos conjuntos contienen los mismos elementos. Un conjunto de un solo elemento se llama contienen los mismos elementos. Un conjunto de un solo elemento se llama conjunto unitario.conjunto unitario.

6

MIVPor ejemplo, el conjunto E = {Agustín} es unitario. Si quitamos al miembro

Agustín de este conjunto, ¿qué crees que quedaría?

Pues ni más ni menos que un conjunto sin elementos.

El conjunto vacío es aquel conjunto que no contiene elementos. Se representa por el símbolo ∅ .

Ejemplos de conjuntos de este tipo son:

{Los perros que son felinos} = ∅

Se defi ne como conjunto universo a toda la colección de elementos Se defi ne como conjunto universo a toda la colección de elementos que poseen una característica general, pero en común. Este conjunto se repre-que poseen una característica general, pero en común. Este conjunto se repre-senta por el símbolo U, o en un rectángulo de manera gráfi ca. senta por el símbolo U, o en un rectángulo de manera gráfi ca.

Podemos citar algunos ejemplos de conjunto universo:

{Los héroes de la patria} si este es el universo en discusión.

Podemos esquematizar este conjunto universo de la siguiente manera:

U

Héroes de la

Independencia

Héroes de la

RevoluciónNiños

Héroes

FIGURA 3

Los conjuntos suelen representarse de dos maneras: por extensión (o forma explícita) o por comprensión (o forma implícita).

Ejemplifi cando lo anterior podemos representar al conjunto G formado por las caras de un dado de la siguiente manera:

Por extensión G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y por comprensión G x N x= ∈ ≤ ≤{ }1 6

El uso de una proposición abierta en la representación de conjunto (por comprensión) es muy útil para especifi car de qué conjunto se trata. Por ejemplo,

E y N y= ∈{ } es par se leería “E es el conjunto de todos los y elementos de los números naturales N tales que y es un número par”. Entonces E = {2, 4, 6, 8,…}

Actividad de repaso 11) Escribir los elementos del conjunto de los nombres de los meses del

año. Llámalo conjunto A.

2) Escribir los elementos del subconjunto de A del ejercicio anterior que no tengan como máximo 30 días. Llámalo B.

El conjunto

{0} no es un conjunto vacío, pues contiene un elemento, el cero (0).

Matemáticas IV

7


3) Sea P = conjunto de todos los cuadriláteros y R = conjunto de todos los triángulos. Para cada una de las fi guras siguientes escribe ∈o ∉, según corresponda.

4) En los siguientes ejercicios, describe verbalmente cada uno de los con-juntos representados por comprensión:

a. V x N x= ∈ <{ }10

b. Z x N x= ∈ <{ }5

c. J x N x N= ∈ ÷ ∈{ }2

Operaciones con conjuntosUnión: si A y B son dos conjuntos, entonces la unión de A y B es el conjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos; se representa por A B.

Intersección: si A y B son dos conjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto formado por los elementos de A que también están o se repiten en B; se representa por A B.

Como ejemplo, podemos señalar que si A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 5, 6 a, b, v}, entonces:

AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, a, b, v}. En diagrama de Venn se tiene lo siguiente:

A B∪

B

5 6

a b v

3 1

4 2

FIGURA 4

El conjunto A tiene cuatro elementos, el conjunto B siete elementos, el conjunto AB tiene 9 porque el 1 y el 2 son elementos comunes a los dos conjun-tos, es decir: 1 1∈ ∈A B, y 2 2∈ ∈A B, .

8

MIVA B = { }1 2, . En diagrama de Venn se tiene lo siguiente:

A B∩

B

5 6

a b v

3 1 4

2

FIGURA 5

Si observas la intersección son los elementos que están en A y en B al mismo tiempo.

Complemento: sea U el conjunto universo y A un conjunto; entonces el Complemento: sea U el conjunto universo y A un conjunto; entonces el complemento del conjunto A son los elementos que no están en A pero sí en el complemento del conjunto A son los elementos que no están en A pero sí en el universo U, y se denota Auniverso U, y se denota Acc..

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y A = {2, 4, 6}, entonces Ac = { }1 3 5, ,

Ac

A

1

246

5

3

FIGURA 6

Actividad de repaso 21) 1. Sea U = {2, 3, 6, 5, 12, 13, 8, 10, 15, 20}, A = {2, 12, 5, 6}, B = {12, 8,

5, 6, 15} y C = {10, 3, 2, 13, 20}. Determina:

a. A B

b. A C

c. cc

d. ( )A C c

e. A B C∪ ∩( )

2) Representa mediante diagramas de Venn los cinco incisos anteriores.

3) Investiga y defi ne la operación A-B, y con ello calcula el valor con los conjuntos anteriores.

Matemáticas IV

9


IntervalosAl trabajar con conjuntos podemos defi nir grupos de subconjuntos. Pensemos en el conjunto de los números reales; si defi nimos un subconjunto, por ejemplo, el de todos los números entre −10 y 10, estamos haciendo referencia a un intervalo de números, eso quiere decir que cualquier valor entre estos dos números, como el −8, 4, 0, 4.56784, − 4 3, ≠ , etcétera, estará en dicho subconjunto.

Podemos pensar entonces en un intervalo como: un subconjunto de los Podemos pensar entonces en un intervalo como: un subconjunto de los números reales.números reales.

Los intervalos pueden representarse de varias formas, las cuales se mues-tran a continuación:

Si a y b son dos números reales tales que se cumple que a < b.

Tipos de intervalos Notación de intervalos Notación por comprensión Gráfi ca

Intervalo abierto(a, b) o a b,

x a x b∈ < <{ }

Intervalo cerradoa b, x a x b∈ ≤ ≤{ }

Intervalos semiabiertos o semicerrados

a b,( o a b,

a b, ) o a b,

x a x b∈ < ≤{ }

x a x b∈ ≤ <{ }

Intervalos infi nitos

−∞( ,a

−∞( ),a

b,∞( )

b,∞ )

−∞ ∞( ),

x x a∈ ≤{ }

x x a∈ <{ }

x x b∈ >{ }

x x b∈ ≥{ }

x ∈{ }

10

MIVLa diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado es que en los inter-

valos abiertos NO contienen los valores extremos mientras que los cerrados, sí los contienen, por ejemplo: −2∉, (−2, 2) mientras que −2∈[−2, 2] y lo mismo ocurre para el número 2.

Habrás notado un pequeño símbolo en la tabla anterior que es como un ocho acostado ∞; en matemáticas representa el infi nito, es decir una cantidad inconmensurable e inimaginable.

Ejemplo. Dados los intervalos A = − 3 3, ; B = (−2, 0); C = ( 0 4, y D = (3,6), efectúa las siguientes operaciones y expresa los resultados en notación de intervalos y por comprensión.

a. A B

b. A B

c. B D

d. B C

e. Ac

Solución:

Si grafi camos los cuatro intervalos en la recta de los reales, podemos observar cómo quedan los intervalos con respecto a los demás.

A) −3 3

B) −2 0

C) 0 4

D) 3 6

a) Si nos fi jamos en los conjuntos A y B podemos observar que si sobrepone-mos una sobre la otra el conjunto B queda dentro del conjunto A.

−2−3 0 3

Siendo los extremos del intervalo −3 y 3 cerrados, si recordamos la de-

fi nición de la unión podemos decir que: A B = − 3 3, o A B x x = − ≤ ≤{ }3 3

b) Trabajando siempre con los mismos conjuntos, recuerda la defi nición de la intersección, que consiste en los elementos que están en A y en B al mismo tiempo.

−2−3 0 3

Si observamos la gráfi ca podemos notar que solo hay la parte de −2 a 0 en

los dos conjuntos; así, podemos decir que A B = −( )2 0, o A B x x = − < <{ }2 0

Matemáticas IV

11


c) Para calcular la intersección de B con D podemos trabajar de la misma forma, montamos las gráfi cas y observamos cómo quedan:

−2 0 3 6

Si observamos la gráfi ca podemos notar que los intervalos no quedan uno sobre otro, entonces, podemos decir que no hay intersección entre los intervalos. Así, la intersección es el conjunto vacío.

B D = ∅Se grafi can los intervalos B y C. Al parecer se empatan o embonan en el

punto 0, pero hay que tener cuidado con los intervalos abiertos.

−2 0 4

Para este inciso debemos tener en cuenta la diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado. Cabe recordar que uno abierto no contiene los valores ex-tremos, entonces para este caso la unión de ambos intervalos es:

, ,B C∪ ∪= −( ( ( 2 0 0 4 o { } { }B C B C∪ ∪= = (−2, 4 − 0-2<x<0 o 0<x≤4x O

d) Para calcular un complemento de un intervalo solo es necesario buscar el conjunto en la recta de los reales y tomar a los números que no están en el intervalo y formar nuevos intervalos.

−3 3

Si A = [-3, 3] entonces Ac son todos los números que están antes

de –3 y los que están después de 3, quedando de la siguiente manera:

(− ∞ −3) −3 (3, ∞)3

A A x x xc c= −∞ −( ) ∞( ) = < − >{ }, ,3 3 3 3 o o

Actividad de repaso 3Planteen, discutan y resuelvan en equipos las siguientes situaciones:

1) Juan va a comprar unos pliegos de madera y el encargado le dice que no les ha puesto precio exacto y que cada pliego cuesta entre 45 y 80 pesos. Representen el intervalo del precio en notación por intervalos y por comprensión.

2) Después de realizar sus compras, Carlos sabe que en la tienda de su tío gastó entre 35 y 55 pesos, y en la farmacia entre 45 y 85 pesos. Repre-senten en la recta de los reales los intervalos de los gastos. ¿Cuál sería el intervalo de intersección de sus gastos?

Es im-portante

recordar que al resolver una

desigualdad, nunca debemos dividir entre una expresión que contenga a la incógnita, pues no sabemos si dicha expresión es positiva o negativa.

12

MIV3) Dados los intervalos A = (−5, 3]; B = (0, 1); C = (0, 4] y D = [−2, 5), efec-

túen las siguientes operaciones y expresen los resultados en notación de intervalos y por comprensión:

a. A B

b. A B

c. B D

d. Cc

e. A B C D∪ ∪ ∩( )

DesigualdadesQuizá haya un momento en el transcurso de tu semestre en donde pienses si vas a deber una materia o no; con esta idea abordaremos el tema de desigualdades.

Imagina que ya conoces las califi caciones de tus dos primeros parciales de Matemáticas y te interesa saber cuál debe ser la califi cación mínima para que pases la materia. Si tienes un 58 y un 73 en los dos primeros parciales, podemos plantear una desigualdad para obtener un intervalo que nos diga cuáles serían las califi caciones necesarias para aprobar (recordando que el promedio mínimo aprobatorio es de 70 puntos).

Si x representa la califi cación necesaria del tercer parcial para aprobar, entonces:

58 733

70+ + ≥x

1313

70+ ≥x

Multiplicando por 3 a cada término de la desigualdad tenemos, entonces, que:

1313

3 70 3+

( ) ≥ ( )x

131 210+ ≥x

Restando 131 a cada término tenemos que:

131 131 210 131− + ≥ −x

x ≥ 79

Podemos concluir que necesitarías una califi cación mínima de 79 para aprobar la asignatura, es decir, una mayor o igual a 79 puntos.

Resolver una desigualdad es muy parecido a despejar una ecuación lineal de una incógnita, como lo has hecho en tus anteriores cursos de Matemáticas. Salvo que, en vez de aparecer el signo de igual (=) aparece el de desigualdad, así que se pueden mover los términos de miembro a miembro tomando en cuenta que si multiplicamos o dividimos los miembros de la desigualdad por una cantidad negativa, entonces ésta cambia de sentido, es decir, pasa de > y ≥ a < y ≤, respec-tivamente o viceversa.

Matemáticas IV

13


Ejemplo: Resolver la siguiente desigualdad: 5x − 2 < 4 − 3x

Solución: Resolver una desigualdad consiste en encontrar un intervalo que dé solución o que cumpla con la condición.

De manera sencilla, dejamos a las variables en un mismo lado de la des-igualdad y a los números en el otro lado, obteniendo:

5 3 4 2x x+ < +

Realizando la suma de términos semejantes: 8 6x <

Despejando x < 68, esto señala que la solución representa al intervalo

−∞( ), 68 .Gráfi camente tenemos:

6/8

Existen desigualdades dobles, es decir, se deben cumplir dos desigual-dades al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando deseas saber tu califi cación fi nal sabiendo las dos primeras califi caciones (65 y 77) interesándote conocer que esté entre 70 y 80 puntos. Retomando el ejemplo de las califi caciones tendríamos que:

70 65 773

80≤ + + ≤x

Para resolver este tipo de desigualdades podemos trabajarla como dos desigualdades que deben cumplirse al mismo tiempo.

Ejemplo: Resolver la siguiente desigualdad: 6x − 3 < 5 − x ≤ 4x + 6

Se puede ver como 6x − 3 < 5 − x y 5 − x ≤ 4x + 6

Solución:

Se resuelve cada desigualdad de manera individual:

6 3 56 5 37 8

87

x xx xx

x

− < −+ < +<

<

5 4 65 6 4

1 515

− ≤ +− ≤ +

− ≤≥ −

x xx x

xx

Gráfi camente tenemos:

x < 8/7

x ≥ −1/5

Como las dos desigualdades deben cumplirse al mismo tiempo, tenemos que calcular la intersección de los dos intervalos.

x ≥ −1/5 x < 8/7

Es im-portante

recordar que al resolver una

desigualdad, nunca debemos dividir entre una expresión que contenga a la incógnita, pues no sabemos si dicha expresión es positiva o negativa.

14

MIVTenemos que la intersección de los dos intervalos es de −1 5 a 8 7 .

Siendo x ∈ − )15

87,

Actividad de repaso 41) Halla el conjunto solución para las siguientes desigualdades.

a. 3 4 7 12x x+ ≥ −

b. 7 5 3 22

2x x x+ > − >

c. 4 5 7 10− < −x x

d. 7 3 4 2 4 8x x x− ≤ − ≤ −

2) Realiza una investigación acerca de las desigualdades cuadráticas, cómo resolverlas y obtener el conjunto solución.

3) Con base en tu investigación anterior, resuelve las siguientes desigual-dades cuadráticas.

a. x x2 3 40+ >

b. x x x2 2 6+ < +

c. 3 3 3 2 42 2x x x x+ ≥ − − +

4) Supón que tus califi caciones del primer y segundo parcial son 68 y 78, y quieres saber cuáles son el conjunto de califi caciones que necesitas para tener un promedio entre 70 y 80. Expresa tu promedio como una desigualdad entre 70 y 80 puntos. ¿Cuál es el conjunto solución?

Dinamización y motivaciónResponde en tu libreta cada uno de los siguientes ejercicios, realizando en su caso las operaciones necesarias y escribe o representa el resultado correspondiente.

1) Un objeto cae libremente y presenta las posiciones que se señalan a continuación.

Tiempo t (segundos) Posición y (metros)

0 0

1 16

2 20

3 24

4 28

5 32

Matemáticas IV

15


2) Dada la siguiente gráfi ca, determina su ecuación.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

x

y

FIGURA 1.1

3) ¿Cuál es el dominio y el contradominio de la función anterior?

4) Si tengo las funciones f x x( ) = +2 5 y g x xx( ) = +3 , ¿cuál es la función

f x g x f x g x( ) + ( ) ( ) ( ), ?

5) Trabajando con las funciones anteriores, calcula las siguientes composi-

ciones f g x ( ) y g f x ( ) .

Con las respuestas y sus respectivas justifi caciones que proporcione tu profesor, ubica en qué nivel de comprensión te ubicas de acuerdo a la tabla si-guiente, con el objeto de refl exionar y, por supuesto, mejorar.

Importante: tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y va a dar de forma rápida del porqué de las justifi caciones. No se van a dar más detalles de las respuestas y argumentaciones, pues algunas de ellas se analizarán en este bloque y además nos servirán al fi nal.

Refl exión de inicio de bloque

Califi cación: 2 puntos por cada respuesta y justifi cación correcta, 1 punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al correcto.

Califi cación: 2 puntos por cada respuesta y justifi cación correcta, 1 punto por un razonamiento cercano

a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento

cercano al correcto.

Coloca una X en el puntaje que

alcanzaste.

Signifi cado de cada nivel alcanzado

Nivel Estratégico 9 a 10 puntosDomino correctamente los

conceptos sobre funciones, así como operaciones entre ellos.

Nivel Autónomo 7 a 8 puntosDomino algunos de los conceptos

sobre funciones, así como operaciones entre ellos.

16

MIV Nivel Básico 5 a 6 puntosManejo pocos conceptos sobre

funciones, así como operaciones entre ellos.

Nivel Inicial 2 a 4 puntosManejo muy poco los conceptos

sobre funciones, así como operaciones entre ellos.

Nivel Pre-formal 0 a 1 puntosPresento muy pocas habilidades para manejar las funciones y sus

operaciones.

Ten en cuenta en qué nivel te encuentras en estos momentos, ya que al fi nal del bloque retomaremos este aspecto importante de tus avances.

ContextualizaciónEl concepto de función es una relación especial que se da entre distintos elemen-tos y que hemos utilizado en nuestra vida diaria. ¿Alguna vez te pasó que cuando pretendías acudir a un circo la lluvia amenazaba? Entonces seguramente tus papás te habrán dicho que la visita al circo estaría en función de que no lloviera, en ese caso se tendrían las siguientes opciones:

Llueve el día que llegael circo.

No llueve el día que llegael circo.

No vas al circo.

Vas al circo.

A B

FIGURAS 1.2 y 1.3

Desde luego que desde pequeño se te han presentado muchas opciones de escoger algo con respecto a una condición establecida.

¿Recuerdas alguna de ellas donde debiste de cumplir un requisito si que-rías obtener algo?

¿Has representado de forma parecida a la anterior algunos otros resulta-dos?

¿Te acuerdas que en el curso anterior de Matemáticas manejaste algunos tipos de funciones para expresar datos?

Si respondiste a una de las cuestiones anteriores de forma afi rmativa es que aplicas, sin saberlo, la noción de función. Ahora sigue que entiendas sus principios, teorías y conceptos para poder utilizarla y comprenderla mejor. A con-tinuación te presentamos algunas situaciones para que desarrolles las unidades de competencia, mismas que deberás fortalecer al fi nalizar el bloque.

Situación 1. Supongamos que quieres dedicarte a elaborar pan francés, entonces deberás obtener el costo que tendría hacerlo de acuerdo al precio de la harina si cada pan pesa 180 gramos y el precio de la harina se encuentra a $41.80 el kilo.

Matemáticas IV

17


• ¿Cuántos panes se obtienen de un kilogramo de harina?

• ¿Podrías generar una tabla de correspondencia en-tre el costo del pan y el precio de la harina?

• Esquemáticamente, ¿cómo podrías presentar las re-laciones entre el costo del pan y el precio de la harina?

• ¿Podrías estimar cuáles serían tus ganancias para un determinado número de pan vendido?

• ¿Sería posible construir una gráfi ca con los datos ob-tenidos?

Situación 2. En la carrera de los 100 metros varonil de los juegos olímpi-cos se impuso un nuevo récord por el jamaiquino Usain Bolt, que promedió 9 segun-dos 58 centésimas. Si suponemos que lleva el mismo ritmo a lo largo de la carrera:

• ¿Se podría obtener el tiempo que tuvo al correr los 50 metros? ¿Y los 75?

• ¿Podrías elaborar una tabla con los datos obtenidos?

• ¿Cómo se podría presentar la información anterior en forma esquemá-tica?

• ¿Se podría construir una gráfi ca de la situación descrita?

• Se tiene que tomar en cuenta si eres capaz de comprender, analizar y dar una solución a las situaciones anteriores. Así podrás afi rmar que es-tás en camino de aplicar las unidades de competencia de este bloque.

Proyecto

Proyecto Desarrollo y análisis de fórmulas utilizando funciones y operaciones entre ellas.

Problema Identifi car las características de las fórmulas como funciones y aplicar las operaciones entre ellas para generar nuevas fórmulas.

Duración Una semana

Puntuación 15 puntos

Competencias

Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Analiza las relaciones entre variables para determinar su comportamiento.

18

MIV

Actividades

En este proyecto realizarás las actividades que se te describen. Primero acuerden con tu profesor si se realizará en equipos o no. Las actividades son:

• Investiga cuáles son las fórmulas para la conversión de °C a °F y de °C a °K (grados Centígrados, Farenheit y Kelvin).

• Con cuidado, pon a calentar agua y con ayuda de un termómetro mide su temperatura 5 veces cada 3 minutos. Completa la siguiente tabla:

°C °F °K

Responde:

1) Al tener los °C y aplicar las formulas para encontrar los °F y °K, ¿se es-tablece una función? ¿Por qué?

2) ¿Cuál sería el dominio para las fórmulas?

3) ¿Según la clasifi cación de funciones, a cuál corresponden las fórmulas?

4) Escribe por qué la fórmula para convertir de °C a °F es biunívoca.

5) Si tengo las funciones (fórmulas) ° = ° +F C1 8 32. y ° K C= ° + 32.

• Calcula las operaciones: ° + ° −F K F, K° .

• Al encontrar las nuevas fórmulas, sustituye el valor de los °C que encon-traste por segunda vez. Realiza la suma de los valores que encontraste en la tabla y compáralos con el valor encontrado con la nueva fórmula.

• ¿Cuál es la ventaja de tener la formula °F + °K sobre la aplicación indi-vidual de las fórmulas para calcular la suma?

• 6. Realiza la siguiente composición de funciones (fórmulas): sea

° = = ° +° −C K CF 321 8

273.

,°

• Determina °K o °C.

• ¿De qué unidades puedo realizar conversiones con la composición en-contrada?

• ¿Si tengo 44 °F a cuántos °K equivalen?

• ¿Cuál sería la ventaja de aplicar la composición de funciones sobre las fórmulas?

Recursos Libro de texto, termómetro, recipiente, libros de consulta de la biblioteca.

Matemáticas IV

19


Normas

Deberá entregarse en la fecha indicada por el docente y en caso de ser por equipos, si un miembro del equipo faltase el día de entrega, se resolverá con el criterio de tu profesor.

El trabajo se entregará cuando cuente con los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra.

Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.

Sesión A: Relaciones y funcionesCriteriosDel saber

• Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones.

• Enuncio las características de una relación y de una función.

• Identifi co el dominio y el rango de una función.

• Identifi co diversos conjuntos y sus operaciones.

Del saber hacer

• Reconozco una relación o una función a partir de su descripción numé-rica, gráfi ca o algebraica.

• Obtengo el dominio y el rango de una relación o función en representa-ciones diversas.

• Desarrollo desigualdades diversas.

Del saber ser

• Considero la importancia del orden de los elementos que conforman las parejas ordenadas en la solución de ejercicios.

• Aprecio la utilidad de las relaciones y funciones en la solución de situa-ciones reales.

• Demuestro respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable.

• Aporto ideas de manera colaborativa en un ambiente de respeto.

Problematización En tercer semestre de bachillerato cursaste las asignaturas de Física I, Literatura, Historia, Matemáticas III, Inglés III, Informática, Biología, que pueden designarse como el conjunto de asignaturas o materias que se cursan en el tercer semestre de bachillerato en el Cobay.

Si nombramos a este conjunto A, se escribe brevemente usando la nota-ción de conjuntos de la forma siguiente:

A = {Física I, Literatura, Historia, Matemáticas III, Inglés III, Informática, Biología}

20

MIVSi suponemos que los maestros que imparten las asignaturas son: Josefa,

que enseña Literatura e Historia; Luis, que enseña Física y Matemáticas; Juan, que enseña Biología; Sergio, que enseña Informática, y Rocío, que enseña Inglés III, a este conjunto de maestros lo nombraremos como el conjunto:

B = {Josefa, Luis, Juan Sergio, Rocío}.

Si representamos en diagramas de Venn los dos conjuntos e indicamos con fl echas las asignaturas que imparte cada maestro, tenemos que:

A

Física I

Literatura

Historia

Matemáticas III

Inglés III

Informática

Biología

B

Josefa

Luis

Juan

Sergio

Rocío

FIGURA 1.4

En este diagrama podemos observar una relación o correspondencia en-tre el nombre del profesor o profesora y las asignaturas que imparte.


RelacionesUna relación es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia algún ele-Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia algún ele-mento del segundo conjunto con cada elemento del primer conjunto. Observa mento del segundo conjunto con cada elemento del primer conjunto. Observa que el rango es un subconjunto del segundo conjunto, pero no necesariamente que el rango es un subconjunto del segundo conjunto, pero no necesariamente es igual. El dominio de una relación es el conjunto de todos los primeros ele-es igual. El dominio de una relación es el conjunto de todos los primeros ele-mentos de los pares ordenados, es decir, el primer conjunto, y el rango es el mentos de los pares ordenados, es decir, el primer conjunto, y el rango es el conjunto de todos los segundos elementos, o sea, del segundo conjunto. conjunto de todos los segundos elementos, o sea, del segundo conjunto.

En nuestro ejemplo consideramos al conjunto A como el dominio y el conjunto B como el rango. Sin embargo, los roles se pueden invertir.

Habrás notado que en las relaciones no se necesita que cada elemento del dominio esté asociado con un solo elemento de la imagen.

A continuación se presentan algunas situaciones, analízalas con un com-pañero.

1) El conjunto de pares ordenados {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1,5)} es una relación. El dominio de la relación es el conjunto {1}; su rango es el conjunto {2, 3, 4, 5}.

En el curso de

Matemáticas III trabajas-

te con pares ordenados; cada conjunto de pa-res ordenados es una relación.

Matemáticas IV

21


2) La relación {(x, y)| y = x + 2, x ∈ {1, 2}} puede escribirse como {(1, 3), (2, 4)}, en esta relación el dominio es {1, 2} y el rango {3, 4}.

Ahora refl exiona en lo que se te presenta a continuación. Las relaciones se representan de cualquiera de las siguientes formas:

• Como un enunciado, como cuando decimos “El tiempo que tardo en lle-gar a Mérida varía directamente con la velocidad a la que voy”.

• En forma de ecuación, como en el teorema de Pitágoras: a b c2 2 2+ =

• Con un conjunto de pares ordenados, de la forma siguiente: R = {( 1.2, 3.4), (4.5, 3.6), (6.7, 3.8)}

• Como una tabla de valores.

• Por medio de una gráfi ca.

• En forma de diagrama de Venn.

En una relación entre conjuntos de números reales se presentan dos tipos de cantidades: constantes y variables.

Una constante es un símbolo que representa un valor fi jo y una varia-Una constante es un símbolo que representa un valor fi jo y una varia-ble es un símbolo que representa diferentes valores. Cuando dos variables están ble es un símbolo que representa diferentes valores. Cuando dos variables están relacionadas entre sí y el valor de una de ellas depende de la otra, a la primera relacionadas entre sí y el valor de una de ellas depende de la otra, a la primera variable se le llama variable dependiente y a la otra se le denomina variable variable se le llama variable dependiente y a la otra se le denomina variable independiente.independiente.

La variable independiente puede tomar cualquier valor del dominio y se acostumbra representarla generalmente con la letra x, mientras que la variable dependiente tiene un universo de defi nición que corresponde al rango y se le re-presenta con la letra y.

Podemos afi rmar, entonces, que en una relación el dominio es el con-Podemos afi rmar, entonces, que en una relación el dominio es el con-junto de los valores que puede tomar la variable x, y el rango es el conjunto de junto de los valores que puede tomar la variable x, y el rango es el conjunto de valores que puede tomar la variable y.valores que puede tomar la variable y.

FuncionesEn algunas ocasiones las relaciones de correspondencia son numéricas, como cuan-do decimos que el área de un cuadrado se relaciona con la longitud de su lado, o el costo de fabricar las hogazas de pan se asocia con el precio de la harina. Sin embargo, en otros casos las relaciones de correspondencia son entre conjuntos no numéricos, como en un mapa de la ciudad o las canciones con los grupos que las interpretan, etcétera.

Pongamos un ejemplo: sea el conjunto A = −{ }1 112, , y el conjunto

B = −{ }2 1 2, , ; tenemos entonces la siguiente relación:

22

MIV−1

−2

1

1 2

12

FIGURA 1.5

Como puedes observar, a cada elemento del conjunto A le corresponde uno, y solo un elemento del conjunto B.

De esta manera:

Una función Una función ff es una correspondencia entre los elementos de dos es una correspondencia entre los elementos de dos ff es una correspondencia entre los elementos de dos ffconjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto un único elemento conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto se le llama dominio de la función; si del segundo conjunto. Al primer conjunto se le llama dominio de la función; si xx es es xx es xxun elemento del dominio de una función se llamará argumento. El elemento un elemento del dominio de una función se llamará argumento. El elemento correspondiente del segundo conjunto se llama imagen de correspondiente del segundo conjunto se llama imagen de xx, representado a , representado a veces por veces por ff((xx).).

Para denotar una función se usa casi siempre la letra f , pero puede utili-

zarse cualquier otra. Si f es una función de un conjunto A a un conjunto B, puedes escribir su correspondencia con la notación:

f A B: →

que puedes leer “ f es una función de A hacia B”. A es el dominio de la función y B es el codominio o contradominio.

Si x es un argumento de A y se asocia con un elemento y del conjunto B, a este último elemento del contradominio se le llama imagen de x y se denota por

y f x= ( ) , que se lee “y es igual a f de x”.

Para que te familiarices con esta notación, veamos un ejemplo de su uso:

Si llegas a ver la expresión f ( )2 , que se lee como “ f de 2”, indica el

valor de y cuando x = 2. Supongamos que tenemos f x x( ) = +3 3 y deseamos hallar

el valor de f ( )2 , entonces hacemos lo siguiente:

f x x( ) ,= +3 3

f ( ) ( ) ,2 2 33= +

f ( )2 8 3= +

f ( )2 11=

Es decir y = 11

Es pre-ciso que

recuerdes lo siguiente: toda

función es una relación, pero sólo algunas relaciones son funciones.

Matemáticas IV

23


En una función f A B: → , el conjunto de todas las imágenes y que está en B recibe el nombre de rango.

En muchos casos es imposible enumerar todos los pares ordenados que forman una función particular, sin embargo, podemos establecer la corresponden-cia entre los elementos del dominio y los del rango por medio de una ecuación, como en el siguiente caso:

3 1x y x R− = ∈,

Al conjunto de todas las soluciones se llama solución o conjunto de ver-dad de la proposición. Podemos escribir de la siguiente forma al conjunto solución de la ecuación dada.

x y x y x R, ,( ) − = ∈{ }3 1 , que se lee “el conjunto de todos los pares orde-

nados (x, y) tales que,3 1x y x R− = ∈, ”.

Ejemplo 1: Determinar el dominio y el rango del siguiente conjunto:

x y y x x R, ,( ) = ∈{ }Solución: Esta es una función defi nida por la ecuación y x= y tiene un

número infi nito de pares, podemos mencionar: (0, 0), (1, 1), (−1, 1), (−3, 3), (−6, 6).

El dominio de la función es el conjunto de los números Reales (R) y su

imagen es el conjunto de los números Reales no negativos R+ { }( ) 0 .

Ejemplo 2: Sea f x y y x R= ( ) + = ∈{ }, ,3 2 4 Dar una expresión para f x( )

y encontrar f f( ) ( )1 2 y .

Solución: Se resuelve o despeja la ecuación para y. Obteniendo tras el

despeje que yx= −4 3

2 , entonces con cada x R∈ .Para obtener f f( ) ( )1 2 y se sus-tituyen los valores dados de la siguiente manera:

f x x f f( ) , ( ) ( )= − = − = = − = −4 32

1 4 32

12

2 4 62

1

Ejemplo 3: Sea una función f x x( ) = +3 2 . Hallar el argumento del domi-nio de f que corresponde al valor de 10 en el rango.

Solución: Como y = 10 es un elemento del rango de f , tenemos

y f x= =( ) 10 , es decir, x3 2 10+ = , entonces x3 8= o x = 2 . O sea, f ( )2 10= .

Adoptaremos

que y f x= ( ) .

Podemos representar el

dominio de una función f, como Df.

24

MIVPara probar si una gráfi ca representa una función se utiliza la prueba Para probar si una gráfi ca representa una función se utiliza la prueba

de la recta vertical, la cual indica que si al trazar cualquier recta vertical sobre de la recta vertical, la cual indica que si al trazar cualquier recta vertical sobre la gráfi ca de la función esta tocará a la gráfi ca a lo más en un solo punto. De lo la gráfi ca de la función esta tocará a la gráfi ca a lo más en un solo punto. De lo contrario la gráfi ca no representa una función.contrario la gráfi ca no representa una función.

A continuación te presentamos tres gráfi cas y su prueba de la recta ver-tical correspondiente. Analízalas.

1) Representa una función. ¿Por qué?

a c b d

FIGURAS 1.6 y 1.7

2) La siguiente no es una función. ¿Por qué?

FIGURA 1.8

Actividad de aprendizaje 1A continuación se presentan varias relaciones. Señala cuáles son funciones y cuáles no, escribiendo función o relación. Da argumentos del porqué de tus respuestas.

1) R = {(−2, 6), (8, 3), (0, 6), (−1, 3)}

2) {(4, 5), (−4, 2), (5, 6), (3, 0), (4, −2), (3, 5)}

Matemáticas IV

25


3)

a

b

c

a

e

i

6

7

8

36

49

64

4) a

b

c

a

e

i

6

7

8

36

49

64

FIGURAS 1.9 y 1.10

5)

A

B

C

D

W

X

Y

Z

FIGURAS 1.11 y 1.12

y x2 12=

x y2 2 100+ =

26

MIVSíntesis

Actividad de aprendizaje 2 1) Escribe por extensión y por comprensión el conjunto de los primeros 10

números naturales impares.

2) Sean U = {2, 3, 6, 5, 12, 13, 8, 10, 15, 20}, A = {2, 12, 5, 6}, B = {12, 8, 5, 6, 15} y C = {10, 3, 2, 13, 20, 5}. Determina:

a. A C

b. A C B∪ ∩( )

c. Bc

d. A C

c( )

3) Un investigador observó los días de crecimiento en dos poblaciones de bacterias y determinó que la población A crece en el intervalo de días de [2, 5] y la población B crece en el intervalo (2.5, 8] días. ¿Cuál es el intervalo de días en que crecen las dos poblaciones unidas? ¿Cuál es el in-tervalo de días en que las dos poblaciones crecen simultáneamente (se intersecan)? Representa de manera gráfi ca los intervalos resultantes.

4) La suma de los “domingos” de Carlos y José está entre 150 y 190 pesos semanales. Si a Carlos le dan 50 pesos más que a José, ¿en qué rango se encuentran los “domingos” semanales de cada uno?

Nota: supón que a José le dan una cantidad x de pesos.

a. Plantea una desigualdad que representa el problema.

b. Resuelve la desigualdad y responde la pregunta.

5) A continuación se te presentan varias relaciones. Señala cuáles son fun-ciones y cuáles no.

a.

Matemáticas IV

27


b.

c.

x

y

FIGURAS 1.13, 1.14 y 1.15

d. f x x( ) = +3 5

e. x y2 2 4− =

Sesión B: Clasifi cación de las funcionesCriteriosDel saber

• Clasifi co las funciones en: algebraicas y trascendentes; continuas y dis-continuas, uno a uno, sobre y biunívocas.

Del saber hacer

• Determino el tipo de función y utilizo sus características específi cas.

• Realizo las operaciones básicas con funciones.

• Aplico la noción de relación y función en situaciones de mi entorno.

Del saber ser

• Muestro disposición en las diversas actividades relacionadas con la asig-natura.

• Aporto diversos puntos de vista considerando los de mis compañeros.

• Otorgo ideas de forma colaborativa en un ambiente de respeto.

28

MIVProblematización

Es posible que en algún momento de tu vida hayas escuchado una misma melodía ejecutada por distintos músicos e instru-mentos musicales y su ritmo sea prácticamente el mismo, esto se debe a que las notas musicales que ellos utilizan es un len-guaje universal, así que sin importar el idioma materno que hablen los músicos sabrán “leer” esas notas y, por lo tanto, sabrán los tiempos y tonos a tocar, pues “hablan” el mismo lenguaje musical. Este ejemplo guarda relación con las funcio-nes matemáticas. Es decir, cuando los fenómenos físicos de la naturaleza o problemas son modelados por medio de ecuacio-nes, se realiza una correspondencia entre dos conjuntos que involucran la situación del problema a resolver; para ello se utilizan expresiones algébricas, trigonométricas, logarítmicas,

etcétera, y a semejanza de las notas musicales, no importa el idioma que ha-blemos. Si sabemos “leer” esas expresiones matemáticas estaremos pensando la misma situación planteada. Esto permite que un científi co u otro estudioso de diferente nacionalidad puedan entender y resolver el mismo problema.

Actividad de aprendizaje 3Para hacer prácticas y adentrarnos al tema de clasifi cación de funciones reúnete en triadas y consideremos la siguiente situación: un estudiante se ayuda con la venta de periódicos por la mañana para que en las tardes acuda a la escuela. Él gana $0.25 por cada periódico vendido más una cuo-ta fi ja de $20 por día. Con los datos anteriores respondamos una situación hipotética si tú fueras el vendedor.

Con tus compañeros de equipo, determina el modelo funcional para las condiciones anteriores y responde:

a) ¿Cuál sería tu ganancia si vendes 253 periódicos en un día, 164 el segun-do día, 285 el tercero, 178 el cuarto y 305 el quinto? Usa los diagramas de Venn para representar la relación venta-ganancia.

b) Considerando el costo de tu colegiatura y el de tus libros actual; ¿cuán-tos periódicos tendrás que vender para reunir el costo de ambos?


Clasifi cación de funcionesLas funciones se pueden clasifi car en distintas categorías, como veremos a conti-nuación:

• Una de ellas resulta al dividirla en dos grandes grupos, algebraicas y trascendentes, como se ve a continuación.

Matemáticas IV

29


Polinomiales

Racionales

Irracionales

Exponenciales

Logarítmicas

Trigonométricas

Algebraicas

Trascendentes

Funciones

FIGURA 1.16

Procedamos a clasifi carlas.

• Algebraicas: consisten o provienen de realizar operaciones aritméticas, de potenciación y radicación, con las funciones constante e identidad.

Las funciones algebraicas se pueden subdividir en:

• Funciones polinomiales: las cuales se consiguen al efectuar operacio-nes de adición, sustracción y multiplicación con expresiones algebrai-cas. Ejemplo de estas son:

f x x f x x x f x x x x( ) , ( ) , ( )= + = − + = + − +3 1 3 5 5 3 12 3 2 .

Y, como puedes observar, solamente se realizan las tres operaciones an-tes mencionadas.

• Funciones racionales: estas se obtienen por el cociente de dos funcio-nes polinomiales, considerando el denominador distinto de una función constante, por ejemplo:

g x xx

h x x xx

f xx

( ) , ( ) , ( )= +−

= + −−

=+

5 37

4 54

29

2

2 , etcétera.

• Funciones radicales: provienen de usar los radicales. Ejemplo:

f x x g x xx

h xx

x( ) , ( ) , ( )= + = + = − +23

9 5 1 4 5 12

Las funciones algebraicas antes mencionadas son utilizadas en muchas ramas de estudio, por ejemplo la Economía, Biología, Estadística, Psicología, Quí-mica, Física, etcétera. Así nos podemos dar cuenta de su importancia, incluso, en nuestra vida.

El otro gran grupo de clasifi cación es el de las funciones trascendentes:

• Funciones trascendentes: son las que no pueden ser expresadas con términos algebraicos y se clasifi can en tres grupos.

El dominio de una función poli-

nomial es �, o sea, todos los números reales o (—∞, ∞).

30

MIV• Funciones exponenciales: estas funciones tienen una base que es una

constante, y la variable independiente o argumento se presenta como

exponente; la denotamos con y f x ax= =( ) . Ejemplo de estas son:

P t e M x g xt x( ) . , ( ) ( ) , ( )( )

..

= −( ) = =+

−−

2600 1 0 5 10 4 200001 6 2

0 075 3

0 1xx

Entre las aplicaciones que tienen estas funciones está la de modelar pro-blemas que involucren situaciones de crecimiento y decrecimiento poblacional, así como el interés compuesto y otras áreas de importancia que estudiaremos a detalle en el bloque VII.

• Funciones logarítmicas: resultan las inversas (la inversa se verá en el siguiente bloque) de las funciones exponenciales. Su representación es

y f x xa= =( ) log (se lee “logaritmo de x con base a”). Su dominio son todos los números reales positivos R+( ) y su rango son todos los núme-ros reales R( ) . Entre las expresiones logarítmicas tenemos y x= log3 9 ,

y x= ( )log5 125 , y In x= 64 2 , y = log89 .

Las situaciones o problemas que son planteados a través de ecuaciones exponenciales pueden ser resueltas aplicando logaritmos y, por lo tanto, estamos hablando de que las aplicaciones para funciones exponenciales involucran a las funciones logarítmicas.

• Funciones trigonométricas: estas funciones relacionan en su primer conjunto dominio magnitudes angulares con un segundo conjunto con-tradominio formado de valores numéricos; ejemplo de estas tenemos

f x x f x x( ) , ( ) tan= =sen , etcétera.

Otras de las clasifi caciones que podemos tener son las:

• Funciones continuas y discontinuas: una defi nición formal de esta cla-sifi cación requiere el estudio de cálculo diferencial y particularmente de límites. Como esta obra está al nivel de pre-cálculo, consideraremos otro enfoque. Una función es continua en un intervalo dado cuando la gráfi ca que le corresponda no tenga cortes o interrupciones para dicho intervalo. Si seguimos la lógica podemos pensar que será discontinua cuando presente saltos o interrupciones en un intervalo dado. También podríamos considerar, a propósito de intervalos, que una función es con-tinua cuando su gráfi ca se defi na con un solo intervalo, de lo contrario si se requieren dos o más intervalos será discontinua.

Matemáticas IV

31


Ejemplo de estas son:

x

y

o

( )xfy=

-2

x

y

-1

( )xfy=

, ,1 1= −∞, − ∞ = − ∞ − − ∞2( (( ()) ) )2,∪ ∪

FIGURAS 1.17 y 1.18

La primera presenta discontinuidad en x = −2 y la segunda en x = −1 .

En el caso de funciones continuas te presentamos las siguientes:

Nota que los

extremos de los interva-

los abiertos gráfi camente se representan con bolitas abiertas. Los cerrados con puntos llenos.

x

y

o

( )xgy=

x

y

o

( )xgy=

∞ ∞= −D R( () ) Rg g= = −∞ ∞ =, ,D

FIGURAS 1.19 y 1.20

Otra forma de clasifi car las funciones es por medio de su simetría, así:

32

MIV Una función es par cuando cumple que f x f x( ) ( )= − , para toda x del

dominio de f. Es impar cuando − = −f x f x( ) ( ) , para toda x del dominio de f.

Gráfi camente una función par es simétrica al eje Y. Si es impar resulta simétrica respecto al origen. Consideremos los siguientes ejemplos:

Pares: f x x x g x xx

( ) , ( )= − =−

2 32 2

4 22

4

Impares: h x x x i x x( ) , ( )= − + =5 2 13 sen

Ejemplo 1: Determina si las funciones son pares, impares o ninguna de ellas.

a) f x x x( ) = −3

b) g x x( ) = −3 2

Solución:

a) Veamos primero si es par, es decir, si cumple que f(x) = f(− x):

f x x x x x( ) ( ) ( )− = − − − = − +3 3

lo cual no es igual a f x( ) , por lo que indica que no es par. Ahora veamos si es impar,

es decir, si cumple que − = − − = − + −f x f x f x x x f x( ) ( ). ( ) . ( ) 3, ya se hizo anterior-

mente y nos dio f x x x( )− = − +3 . Por lo tanto, sí es impar.

b) Esta función satisface la relación f x f x( ) ( )= − . Así que es par.

Si consideramos la relación que guarda cada argumento del dominio con las imágenes del segundo conjunto contradominio, se da la clasifi cación que a continuación analizaremos.

Una función f X Y: → se llama inyectiva o uno a uno cuando para

argumentos distintos del dominio, x x1 2↑ , les corresponden imágenes distin-

tas del contradominio f x f x( ) ( )1 2↑ .

Esquemáticamente la función inyectiva resulta uno a uno cuando se rela-ciona en la forma siguiente:

Matemáticas IV

33


X Y

f

Sí es inyectiva

X Y

f

No es inyectivaFIGURAS 1.21 y 1.22

Cuando deseamos saber si una gráfi ca corresponde a una función uno a uno se usa el criterio de la recta horizontal; este criterio consiste en trazar rectas horizontales en la parte de la gráfi ca que resulte conveniente, si dicha recta corta a la gráfi ca en un solo punto en cualquiera de sus partes, entonces corresponderá a una función inyectiva o uno a uno. Por ejemplo, fi guras 1.4 y 1.7:

x

y

o

( )xgy=

Sí es inyectiva

x

y

o

( )xfy=

No es inyectiva

FIGURAS 1.23 y 1.24

Damos ahora una defi nición de otro tipo especial de función:

Una función f X Y: → se llama función sobre o suprayectiva cuando para cada elemento del contradominio existe su correspondiente elemento en el dominio. En otros términos, ningún elemento del contradominio debe quedar sin relacionarse.

34

MIV X Y

f

Sí es sobre

X Y

f

No es sobre

FIGURAS 1.25 y 1.26

Finalmente, al “unir” estas dos defi niciones tenemos una nueva.

Una función f X Y: → se llama función biyectiva o biunívoca si re-sulta inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo.

Esta clasifi cación se presenta en el siguiente Figura 1.27.

X Y

f

Es biyectivaFIGURA 1.27

Ya realizado el estudio de la clasifi cación de las funciones, procedamos a realizar algunos ejemplos en los que se apliquen estos conocimientos.

Ejemplo 2: Las ecuaciones f x x( ) = +2 1 y g xx

( ) =+( )1

2 representan fun-

ciones, determina si son continuas o discontinuas.

Matemáticas IV

35


Solución: Recordando lo visto en cursos anteriores, una expresión racio-nal no permite la división entre cero, ya que no está defi nida, lo cual se da por la propia defi nición de división. Para la primera función no existen restricciones (como veremos más adelante), pero para la segunda sí, esto nos obliga a eliminar del dominio de la función g(x) el o los valores de la variable x que anulen el deno-minador.

• Para f x x( ) = +2 1 , como no existen restricciones su dominio son los nú-meros reales R. A continuación tabulamos tres pares de puntos y traza-mos su grafi ca. Figura 1.28.

x y f x x= = +( ) 2 1

−2 −3

0 1

1 3

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

( ) 12 += xxf

FIGURA 1.28

Por el dominio y la gráfi ca concluimos que la función es continua.

• Por las razones dadas anteriormente igualamos a cero el denominador para saber el valor de x que anula el denominador y eliminarlo del do-minio de defi nición.

x x+ = → = −2 0 2 , valor que no será parte del dominio, es decir, el do-minio de g(x) = y g x

x= =

+( ) 1

2 }{− 2�− . Tabulemos algunos pares de puntos cerca de valor –2

para bosquejar la gráfi ca. (Ver fi gura 1.28)

x y g xx

= =+

( ) 12

−5 − 13

−3 −1

36

MIV−2 25. −4

−1 75. 4

0 12

−3 −1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

( ) 21+= xxg

FIGURA 1.29

Por el dominio y la propia gráfi ca vemos que presenta un salto en el valor de x = −2 y, por lo tanto, será discontinua en dicho valor.

Ejemplo 3: Para las funciones a) f x x( ) = +4 1 y b) h x x( ) = −2 3 , deter-mina si es inyectiva, suprayectiva o biunívoca en cada caso.

Solución:

a) La función f x x( ) = +4 1 no tiene restricciones, pues no es racional ni tiene raíces (como estudiaremos más adelante), siendo su dominio to-dos los reales.

Partamos de los argumentos −2 y 1 para determinar sus imágenes.

f ( ) ( )− = − + = − + = −2 4 2 4 8 2 6 y para f ( ) ( )1 4 1 2 4 2 7= + = + =

Las imágenes anteriores nos sugieren que con argumentos distintos del dominio nos generarán imágenes distintas. Ahora demostremos su validez para todo elemento del dominio.

Consideremos a1 y a2 dos argumentos distintos del dominio. Determine-mos sus imágenes:

f a a a1 1 14 1 4 1( ) = ( ) + = + , y f a a a2 2 24 1 4 1( ) = ( ) + = +

Siendo que a a1 2↑ , entonces podemos afi rmar que 4 1 4 12a a+ ≠ + ,

siendo entonces f a f a1 2( ) ≠ ( ) .

Matemáticas IV

37


Como resultado afi rmamos: f x x( ) = +4 1 es una función inyectiva o uno a uno. La gráfi ca se da a continuación:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

( ) 14 += xxf

FIGURA 1.30

Estamos considerando la función con dominio y contradominio en R. Su-

pongamos que tenemos el elemento y0 del contradominio de la función, entonces

sólo nos resta encontrar un elemento x0 del dominio de los reales de manera que

f x y0 0( ) = . Considerando el valor de xy

00 14

=−

, que es un número real, ya que

y0 lo es, se nota que + =f x fy y

y y00 0

0 01

44

14

1 1 1( ) =−

=

−

− + = . Por lo

tanto, f sí es sobre y biyectiva.

b) Determinemos en h x x( ) = −2 3 las imágenes correspondientes a los va-lores de −2 y 2.

h( ) ( )− = − − =2 2 3 12 y h( ) ( )2 2 3 12= − = , de estas vemos que para argu-mentos distintos se tienen imágenes iguales, de modo que no es una función uno a uno.

Realizando una tabla de valores para esta función h x( ) se tendrá:

x y

−3 7

−2 1

−1 −2

0 −3

1 −2

2 1

3 7

38

MIVGráfi camente se observa.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

32 −= xy

FIGURA 1.31 Gráfi ca de h x x( ) = −2 3 .

De acuerdo a la gráfi ca, el rango de la función son los valores iguales o mayores a −3 . Ahora, ¿habrá argumentos que nos arrojen valores menores a −3 ? Es decir, para un valor del contradominio (por ejemplo −4 ), ¿existirá un argumento que corresponda a una imagen menor a −3 , digamos −4 ? Hallemos ese valor de x

tal que x2 3 4− < − , de donde x2 4 3< − + y así x2 1< − , por lo que el valor de x no existe, pues ningún número real al cuadrado resulta un número negativo. Enton-ces, existen valores del contradominio que no están relacionados con el dominio. Se concluye que no es sobre, y por lo tanto no es biyectiva.

Operaciones con funcionesEn el primer semestre en la parte de aritmética realizaste operaciones de suma, resta, multiplicación y división con los números reales. Algo semejante es posible realizar usando funciones.

Consideremos las funciones f y g cuyos dominios son M y N, respecti-vamente. Se defi nen las operaciones de suma, resta, multiplicación y división como sigue:

f g x f x g x+( )( ) = ( ) + ( ) , resultando su dominio M N

f g x f x g x−( )( ) = ( ) − ( ) , resultando su dominio M N

f g x f x g x⋅( )( ) = ( ) ( ) , resultado su dominio M N

fg

f xg x( ) = ( )

( ) , resultando su dominio x x M N g x∈ ≠{ } y ( ) 0

Matemáticas IV

39


Ya que defi nimos las operaciones con las funciones procedamos a su apli-cación en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4: Dadas las funciones f x x( ) = +2 5 y g x x( ) = −9 2 y determi-

na f g f g f g+ − ⋅, , y fg

Solución: Ya que f x x( ) = +2 5 es un polinomio, entonces no tiene restric-

ciones en su dominio, siendo este D Rf = = −∞ ∞( ), .

Para el caso de g x x( ) = −9 2 , es una función radical, presentando res-tricciones en su dominio, ya que la raíz cuadrada de cantidades negativas no está

defi na en los números reales, y de ahí que su dominio sea Dg = − 3 3, .

Como los dominios están en términos de las intersecciones, tenemos que:

−∞ ∞( ) − = − , , , 3 3 3 3 .

• f g x f x f x g x x x+( )( ) = ( ) = ( ) + ( ) = + + −2 5 9 2 , siendo su dominio

− 3 3,

• f g x f x g x x x−( )( ) = ( ) − ( ) = + − −2 5 9 2 , siendo su dominio − 3 3,

fg

f xg x

xx

( ) = = +−

( )( )

2 59 2

, siendo su dominio (−3,3)

Composición de funcionesAdemás de las operaciones vistas anteriormente, tenemos otra forma de combinar las funciones, a esta forma se le denomina composición. Para entenderla partamos de la siguiente situa-ción: Juan es un empresario que fabrica suelas para zapatos, se las da a crédito a Pepe, quien fabrica zapatos. La produc-ción de Pepe es comprada a crédito por el comerciante Toño; si realizamos una secuencia de las ventas y compras, Juan le cobra a Pepe y este a la vez le cobra a Toño, entonces es lógico pensar que para que Juan cobre la deuda dependerá de Toño.

Traduzcamos la situación anterior a conceptos mate-

máticos y M t t= = +( ) 5 y t N x x= = +( ) 3 12 . De esta secuen-cia vemos que y está en función de t , y que t está en función de x , siguiendo la relación al fi nal y estará en función de x . Para no realizar cálculos en forma separada resulta práctico hacer un solo desarrollo integrando las fórmulas en una

sola de la siguiente manera y M N x x x= ( ) = + + = +( ) ( )3 1 5 3 62 2 .

40

MIVLa combinación que se obtuvo de las funciones anteriores se denota

con f g (se lee f círculo de g o f compuesta con g ), y queda defi nida como: f g x f g x( )( ) = ( )( ) y g f x g f x( )( ) = ( )( ) respectivamente.

El dominio de (f ◦ g) (x) es {x ∈ Dg g(x) ∈ Df} y el de (g ◦ f)(x) es {x ∈

Df f(x) ∈ Dg}

Es importante resaltar que la función resultante de componer la función f con g no es siempre igual a la que resulta de componer g con f .

Ejemplo 5. Con las funciones f x x( ) = −1 y g x x( ) = + 3 determina la

composición de f g x( )( ) y g f x( )( ) , también obtén su dominio.

Solución: Por defi nición tenemos:

f g x f g x f x x( )( ) = ( ) = +( ) = + −( ) 3 3 1

El dominio de f g es [−3,∞) el procedimiento para obtenerlo lo veremos a continuación.

D Df g= −∞ ∞ = − ∞, ;( ) ),3 , a partir de sus dominios defi niremos el domi-

nio de f g .

D x D g x Df g g f

= ∈ ∈{ }/ ( ) = ∈ − ∞ ) + ∈{ } = ∈ − ∞ ) + ≥{ }x x x x3 3 3 3 0, ,

Df g = { }∈x x 3 3− , ∞) ≥ − = −3 ∞, )

x x

Ahora procedamos a la composición de:

g f x g f x g x x x( )( ) = ( ) = −( ) = − + = +( ) ( )1 1 3 2

El dominio de f g es − ∞ 2, . El procedimiento para obtenerlo lo vere-mos a continuación.

D Df g= −∞ ∞ = − ∞ , ; ,3 , a partir de sus dominios defi niremos el domi-

nio de f g .

D x D f x Dg f f g

= ∈ ∈{ }/ ( ) = ∈ }− ∞)x 3,� x−1∈

= ∈ − ≤ −{ } = ∈ − ≤{ } = − ∞ )x x x x 3 1 2 2,

Concluimos este bloque con una serie de ejercicios que se reforzarán en la retroalimentación.

Matemáticas IV

41


Síntesis1) Realiza lo que se te pide en cada caso.

a. Demuestra si las funciones a continuación son inyectivas.

i. g x x( ) = − 2

ii. g x x( ) = +23

4

iii. g x x( ) = +3 1

iv. g xx

( ) =−2

4

b. Demuestra si las funciones a continuación son suprayectivas.

i. f x x( ) = −2 2

ii. f x x( ) = −1

25

2) Demuestra si las funciones a continuación son biyectivas o biunívocas.

i. h x x( ) = −1

24

ii. f x x x( ) 1

23 2−

3) Determina la composición de f g x( )( ) y g f x( )( ) y obtén su dominio

en cada caso, con las funciones f x x( ) = +2 3 y g x x( ) = −4

4) Determina la composición de f g x( )( ) y g f x( )( ) y obtén su dominio

en cada caso, con las funciones f x x( ) = −5 y g xx

( ) =−

392

5) Con todas las funciones dadas en el ejercicio 1, determina cuáles son pares, impares o ninguna de las dos.

Análisis de logrosResponde de nuevo la evaluación diagnóstica que se encuentra al principio del blo-que y ubica tu nivel de desempeño. Esto te servirá para que verifi ques el avance de tu aprendizaje.

Me encuentro en este nivel

Pre-formal Inicial Básico Autónomo Estratégico

42

MIVRealimentaciónSe te presentan las actividades que podrán servirte de “trampolín” hacia las com-petencias por desarrollar en este bloque.

I. Subraya la respuesta correcta en cada uno de los incisos:

a) Este conjunto es una función

i. {(1, 2), (3, 5), (3, 1), (2, 1)}

ii. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 2)}

iii. {(2, 3), (3, 2), (2, -3), (3, 0)}

b) El rango de la función f x x( ) = 2

i. R ii. R− iii. R+

c) La función f x x( ) = −2 1 es

i. inyectiva pero no sobre

ii. biyectiva

iii. sobre pero no inyectiva

d) Al unir los intervalos [2, 4] y [1, 3] resulta:

i. 1 3, ii. 2 4, iii. 1 4,

e) Al intersectar los intervalos [-2, 5] y ]5, 6] resulta:

i. − 3 5, ii. − 2 5, iii. ∅

II. Sea U = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, A = {2, 6, 8, 12}, B = {12, 6, 5, 4, 11} y C = {2, 13, 17}. Determina:

a) A B b) A C c) cc d) A Cc

( ) e) A B C∪ ∩( )

III. Representa mediante diagramas de Venn los cinco incisos del ejercicio ante-rior.

IV. Discute en tríadas qué se necesita para que una relación se convierta en una función. Así como qué es necesario para que esa relación se convierta en bi-yectiva.

V. Dadas las parejas de funciones f y g, determina f ◦ g y g ◦ f.

a) f x x x g x x( ) , ( )= − + =2 2 1 1

b) f x x g x x x( ) ,= +( ) ( ) = − ( )2 3 2

c) f x x g x x( ) , ( )= − = −23 32 2

Matemáticas IV

43


Evaluación de mis competencias

Rúbrica para la evaluación del bloque

Prod

ucto

, lo

gro

o de

sem

peño

Nivel de logro o desempeño5

Estr

atég

ico

4

Aut

ónom

o

3

Bási

co

2

Inic

ial

1

Pre-

form

al

Conocimientos

Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, además de que enuncio las características de una relación y de una función.

Identifi co el dominio y el rango de una función e identifi co diversos conjuntos y sus operaciones.

Clasifi co las funciones en: algebraicas y trascendentes; continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biunívocas.

Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, además de que enuncio algunas de las características de una relación y de una función.

Identifi co el dominio y el rango de una función e identifi co diversos conjuntos y sus operaciones.


Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, pero no enuncio las características de una relación y de una función.

Identifi co el dominio o el rango de una función e identifi co diversos conjuntos y sus operaciones.


Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, pero no enuncio las características de una relación y de una función.

Identifi co el dominio o el rango de una función, pero no identifi co diversos conjuntos y sus operaciones.

No clasifi co las funciones en: algebraicas y trascendentes; continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biunívocas.

No comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, además de que no enuncio las características de una relación y de una función.

No identifi co el dominio y el rango de una función ni identifi co diversos conjuntos y sus operaciones.

No clasifi co las funciones en: algebraicas y trascendentes; continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biunívocas.

Habilidades

Reconozco una relación y una función a partir de su descripción numérica, gráfi ca o algebraica y con facilidad obtengo el dominio y el rango de una función en representaciones diversas.

Realizo las operaciones básicas con funciones y aplico la noción de relación y de función en situaciones de mi entorno.

Reconozco una relación y una función a partir de su descripción numérica, gráfi ca o algebraica y obtengo el dominio y el rango de una función en representaciones diversas.


Reconozco una relación o una función a partir de su descripción numérica, gráfi ca o algebraica y obtengo el dominio y el rango de una función en representaciones diversas.


Reconozco una relación o una función a partir de su descripción numérica, gráfi ca o algebraica y con difi cultad obtengo el dominio y el rango de una función en representaciones diversas.

Realizo algunas de las operaciones básicas con funciones y aplico la noción de relación y de función en situaciones de mi entorno.

Reconozco una relación o una función a partir de su descripción numérica, gráfi ca o algebraica pero no obtengo el dominio y el rango de una función en representaciones diversas.

No realizo las operaciones básicas con funciones ni aplico la noción de relación ni de función en situaciones de mi entorno.

44

MIVRúbrica para la evaluación del bloque

Prod

ucto

, lo

gro

o de

sem

peño

Nivel de logro o desempeño

5

Estr

atég

ico

4

Aut

ónom

o

3

Bási

co

2

Inic

ial

1

Pre-

form

al

Actitudes

Considero la importancia del orden de los elementos que conforman

las parejas ordenadas en

la solución de ejercicios,

añadiendo que aprecio

la utilidad de las funciones en la solución de situaciones

reales.

Demuestro respeto hacia

las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y

aporto ideas de manera

colaborativa en un ambiente de

respeto.


las parejas ordenadas en

la solución de ejercicios,

añadiendo que aprecio

la utilidad de las funciones en la solución de situaciones

reales.


las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable.


las parejas ordenadas en la solución de

ejercicios, pero no aprecio la utilidad de las funciones en la solución de situaciones

reales.



Considero de poca

importancia el orden de

los elementos que conforman

las parejas ordenadas en la solución de ejercicios y

no aprecio la utilidad del sistema de

coordenadas en la solución de situaciones

reales.

Demuestro algún respeto hacia

las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable o

aporto ideas de manera

colaborativa en un ambiente de

respeto.

Considero de nula importancia el orden de los elementos que conforman las

parejas ordenadas en la solución de ejercicios y no

aprecio la utilidad del sistema de coordenadas en la solución de

situaciones reales.

Demuestro falta de respeto hacia las ideas de mis compañeros en

un ambiente poco social o tolerable ni aporto ideas

de manera colaborativa en un ambiente de

respeto.

Puntaje 15 12 9 6 3

Matemáticas IV

45


Rúbrica del proyecto

Producto, logro o desempeño


5 3 1

Conocimientos

Identifi co las fórmulas de conversiones de

temperaturas, respondo correctamente las

preguntas, identifi co los dominios de las fórmulas, su clasifi cación, así

como las operaciones indicadas.


temperaturas, respondo algunas de las preguntas

correctamente, identifi co los dominios

de las fórmulas, su clasifi cación, así

como las operaciones indicadas.


temperaturas, respondo las preguntas, identifi co

erróneamente los dominios de las fórmulas, su clasifi cación, así como las operaciones indicadas.

Habilidades

Realizo correctamente las mediciones de

temperaturas, aplico de manera correcta las fórmulas, realizo correctamente las operaciones con

funciones pedidas. Analizo y respondo correctamente las

preguntas.

Realizo con muy pocos errores las mediciones

de temperaturas, la aplicación de las fórmulas, realizo con difi cultad las operaciones con

funciones pedidas. Analizo y respondo las

preguntas.

Realizo erróneamente las mediciones de temperaturas, la

aplicación de las fórmulas, realizo erróneamente las

operaciones con funciones pedidas. Analizo y

respondo incorrectamente las preguntas.

Actitudes

Respeto las ideas de mis compañeros, aporto mis ideas y

participo activamente en la elaboración del

proyecto.

Respeto algunas veces las ideas de mis

compañeros, aporto mis ideas y participo poco en la elaboración del

proyecto.

No respeto las ideas de mis compañeros,

no aporto mis ideas ni participo activamente en la elaboración del

proyecto.

Puntaje 15 9 3


• Función inversa

• Función escalonada

• Función valor absoluto

• Función identidad

• Función constante

Bloque II

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráfi cas


Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a función inversa de una función dada.

Escribe la ecuación de la relación inversa de una función dada.

Señala si la relación inversa corresponde a una función.

Utiliza la tabla y gráfi ca de una función para trazar la gráfi ca de su fun-ción inversa posible.

Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, va-lor absoluto, idéntica y constante.

Argumenta el uso de traslaciones o refl exiones especifi cas para la reso-lución de problemas teóricos prácticos.


Genéricas:


4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos me-diante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.




1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de proce-dimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la compren-sión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.




8. Interpreta tablas, gráfi cas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáti-cos y científi cos.

48

MIVDinamización y motivaciónEn tu libreta de trabajo responde cada una de las siguientes cuestiones realizando las operaciones que sean necesarias y, a su vez, justifi cando tus posibles soluciones.

1) Determina la inversa de f x x( ) = − +23

1

2) Encuentra la inversa de h x xx

( ) =−

53

y demuestra que la función encon-trada es su inversa.

3) Si la base de una expresión es y x= efectúa las transformaciones gráfi cas que correspondan según las condiciones siguientes:

i. f x x( ) = −1

ii. g x x( ) = +1

iii. h x x( ) = − −1

iv. i x x( ) = −4) Representa cómo sería la inversa de la siguiente gráfi ca.

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

5) De la función f x x( ) = realiza las condiciones verbales que se indican a continuación y transfórmala a condiciones analíticas en una ecuación.

a. Traslación de dos unidades a la izquierda del origen la función.

b. Traslación de 3 unidades por arriba del origen.

c. Una compresión de 12

.

Con las respuestas y las respectivas justifi caciones que proporcione tu profesor, ubica en qué nivel de comprensión te ubicas de acuerdo a la tabla si-guiente, con el objeto de refl exionar y, por supuesto, mejorar.

Observación: al dar las soluciones tu profesor sólo dará comentarios ge-nerales sin profundizar en especifi caciones o justifi caciones, pues en el trascurso de este bloque se estudiarán en detalle.

Matemáticas IV

49

BIIAplicas funciones especiales y transformaciones de grá� cas



Coloca una X en el puntaje que alcanzaste.


Nivel Estratégico 9 a 10 puntos

Domino los conceptos y obtengo las funciones inversas y las

traslaciones requeridas en las funciones que correspondan.

Nivel Autónomo 7 a 8 puntos

Determino varias funciones inversas y realizo

trasformaciones en la mayoría de las funciones.

Nivel Básico 5 a 6 puntosObtengo algunas funciones

inversas y algunas trasformaciones sencillas.

Nivel Inicial 2 a 4 puntos

Tengo nociones de algunas funciones inversas pero no logro

que las funciones especiales tengan las trasformaciones

requeridas.

Nivel Preformal 0 a 1 puntos

No logro obtener la inversa de una función y tampoco puedo realizar las transformaciones requeridas en las funciones

especiales.

Ten presente en qué nivel te encuentras en estos momentos, pues al fi nal del bloque retomaremos este importante aspecto de tus avances.

ContextualizaciónEn este mundo tan convulsionado seguramente recuerdes la epidemia de infl uenza (que aún afecta y seguirá afectando), en la que el miedo a contraerla nos hacía precavidos y medirnos la temperatura en forma continua. La medición se realiza con un termómetro cuyas graduaciones comunes están en grados centígrados y gra-dos Fahrenheit. Supongamos que el termómetro que pudiste conseguir sólo tiene una graduación en grados Fahrenheit y tú necesitas saber tu temperatura corporal en grados centígrados para determinar si tu rango de temperatura se sale o no de los límites propios de tu cuerpo. Para saber la conversión que te interesa podría-mos partir de la fórmula que obtuviste en el proyecto del bloque uno, es decir,

f c c( ) = +95

32 , e invertir los roles, ya que los grados Fahrenheit están directamen-te en función de c, por lo tanto, al invertir los papeles c estaría en función de F. La nueva función que se obtendría se le denomina inversa de F.

Te proponemos que determines esta nueva función y que respondas lo que se te solicita.

50

MIVEn distintos momentos tu temperatura en grados Fahrenheit fue: 101.3,

99.5 y 96.8.

¿Cuál es su equivalencia en grados centígrados en cada caso? Discute tu respuesta en plenaria.

Otra de las funciones que utilizamos en nuestra vida diaria es la función escalón, que permite modelar situaciones como el costo del consumo de agua, electricidad, copias de algún escrito o documento en volúmenes, pues en todos estos casos los costos dependerán de la cantidad, haciendo que la gráfi ca de los modelos resulte con peldaños o escalones en distintos niveles.

Las funciones mencionadas anteriormente, entre otras, son las que estu-diaremos en este bloque.

Proyecto Para la parte fi nal del bloque se te presenta un proyecto que le será de ayuda al docente para evidenciar las competencias que se necesitan generar en el presente bloque. Además les servirá de conexión con las tecnologías de la información y comunicación, que también forman parte de las competencias genéricas a desa-rrollar. Manos a la obra y ¡éxito!

Proyecto Grafi cación de funciones usando un software informático

Problema Representar la gráfi ca de funciones

Duración Dos semanas


Competencias

Interpreta tablas, mapas, gráfi cas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Matemáticas IV

51


Proyecto Grafi cación de funciones usando un software informático

Actividades

En equipos diseñados por el profesor encontrarán en internet un software gratuito que represente funciones gráfi camente. En el mejor de los casos el profesor les proporcionará uno. En su defecto pueden usar cualquier otro que sea recomendado por el docente y que sea de fácil acceso. Existen incluso páginas de internet que ofrecen gráfi cas de funciones en línea e impresiones de ellas, basta escribir la ecuación en la forma y f x= ( ) .

Realicen un consenso con tu docente sobre las opciones de software que existan disponibles. Deberán realizar lo siguiente:

• Desde el inicio de la cuenta regresiva del tiempo señalado para el pro-yecto deberán entregar a su docente las opciones que han encontrado de software para tal propósito (de 2 a 3 días de búsqueda e investigación sería sufi ciente). En caso de que su docente les proporcione el software, esto último no aplica.

• Realizar un consenso sobre cuál software se va a utilizar, esto para que sea el único.

• Al cabo del tiempo señalado por el docente (dentro del período que abarca el proyecto) deberán reconocer el manejo básico del software (con la ayuda del docente solo si es necesaria), es decir, conocer sus principales características, posibles menús y funciones para grafi car. De forma que entre su equipo se ayuden a utilizarlo.

• Su docente le indicará a cada equipo las funciones que representarán utilizando el software. Imprimirán o crearán las gráfi cas frente a su pro-fesor para que compruebe el manejo básico del software. Entre las fun-ciones a representar estarán las espaciales.

• Su profesor les dará una función base y la grafi carán, para después reali-zar y grafi car las transformaciones que él les indique, esto para eviden-ciar el manejo del programa y el conocimiento de las transformaciones.

• Pueden exponer las gráfi cas creadas por ustedes que les parezcan más relevantes, curiosas o sorprendentes.

Recursos Libro de texto, PC, software informático de grafi cación, hojas en blanco, impresora, libros de consulta en la biblioteca

Normas

Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y, en caso de que un miembro del equipo falte, el profesor lo resolverá de acuerdo con su criterio.

El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra.


52

MIVSesión A: Funciones inversas y especialesSaberesDel saber

• Identifi co la función inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la componen.

• Describo tanto en forma geométrica como algebraica la inversa de una función.

Del saber hacer

• Obtengo la relación inversa de una función y determino si esta es tam-bién una función.

• Resuelvo problemas aplicativos a las funciones inversas o especiales para comprender su utilidad en diferentes áreas.

Del saber ser

• Aporto puntos de vista en la resolución de problemas con apertura y considero los de mis compañeros de forma refl exiva y tolerante.

• Promuevo diferentes métodos de solución a los problemas presentados.

• Valoro las utilidades de las funciones inversas y especiales en las cien-cias y en la vida real.

Problematización Hasta ahora se han desarrollado las características y conceptos de relaciones y fun-ciones, además de las diferentes operaciones que se pueden realizar entre ellas. En este bloque consideraremos ciertos tipos de funciones especiales, así como su aplicación en diferentes ramas del saber.

Desde que conocimos las operaciones aritméticas básicas hemos conside-rado que tienen cierto orden o relación entre ellas; cada una de estas operaciones básicas tiene una operación que llamamos inversa, la cual realiza lo contrario o “deshace” lo que la operación anterior realizó. Más específi camente, la operación contraria o inversa de la suma es la resta, y así de modo contrario (la operación contraria de la resta es la suma); por lo tanto, se dice que la suma y resta son ope-raciones inversas. Así ocurre con la multiplicación y la división, lo mismo se cumple con la potenciación y la radicación. Estos conceptos de operaciones inversas se pueden aplicar también a las funciones, de ahí que estudiaremos las funciones inversas o también llamadas funciones recíprocas.

Para ir comprendiendo el concepto de inversa te propongo analizar esta serie de operaciones.

Situación. Observa detenidamente las siguientes operaciones.

a) 3 45

6 4 6+ − = − . (Número inicial 3)

b) 9 5 3 6−( )( ) = (Número inicial 9)

Matemáticas IV

53


Para el primer caso, supón que el número inicial es el 3 y para el segundo el 9. En el primer inciso, después de una serie de operaciones se obtuvo el resul-tado −4 6. ; en el segundo caso, 6. En la primera relación lo que se realizó para obtener −4 6. a partir del número 3 fue: sumarle 4, dividir esa suma entre 5 y res-tarle 6 al resultado de la división. La cuestión en este inciso es tratar de realizar las operaciones inversas, utilizando los valores 4, 5 y 6 para que a partir del valor −4 6. (valor fi nal) obtengamos el valor 3 (valor inicial). Como se trata de aritméti-ca básica podremos realizar las operaciones inversas mentalmente. El resultado a este proceso será, entonces:

− +( )( ) − =4 6 6 5 4 3.

Observemos que se aplicaron las operaciones aritméticas inversas para llegar al resultado buscado, 3.

Ahora contesta las siguientes preguntas: ¿qué ocurrirá si a este valor de 3, que obtuvimos con las operaciones inversas, le aplicamos las operaciones aritméticas originales, es decir, qué valor se obtendrá? ¿Existirá relación entre las operaciones inversas? En el caso del inciso b, ¿cómo serán las operaciones inversas?

Propongan en equipos dos operaciones aritméticas y que tus compañeros de otros equipos encuentren las operaciones inversas. Discutan si existen otras formas de aplicar las operaciones inversas.

Una vez señalado el signifi cado de una operación inversa, estamos prepa-rados para entrar en materia con las funciones inversas.

Ahora aplicaremos el conocimiento adquirido a las funciones.

Supongamos que nos referimos a la función f x x( ) = + 2 .

Considera los valores de la siguiente tabla de acuerdo a esta función:

x y f x= ( )

− 2 0

− 1 1

0 2

1 3

2 4

Donde, f x x( ) = + 2Esto señala que los valores y son: 0, 1, 2, 3 y 4 respectivamente para

cada una de las x . La cuestión es la siguiente, ¿cuál será la función que tomando como valores x a 0, 1, 2, 3 y 4 nos dé valores y = − −2 1 0 1 2, , , y respectivamente? Es decir:

x y g x= ( )

0 − 2

1 − 1

Podemos representar

a f x( ) como y, es decir, f x y( ) = .

54

MIVx y g x= ( )

2 0

3 1

4 2

Donde g x( ) ?=

Posiblemente puedas encontrar una función que realice lo indicado, ¿cuál será? ¿Es la única? Quizá respondiste que la función será g x x( ) = − 2 , lo cual es cierto, puesto que los valores de 0, 1, 2, 3 y 4 de x , al sustituirlos en g x( ) , ob-tenemos los valores de la tabla anterior, pero discute con tus compañeros lo que

pasa con la función h x x xx

( ) = − −+

2 21 al sustituir los valores x que usaste con la fun-

ción g x( ) .

Lo antes visto no quiere decir que para obtener una función inversa es simple cuestión de aritmética, de ahí que necesitaremos ciertos procesos y defi ni-ciones para comprender y aplicar mejor este tipo de funciones.

Para concluir esta parte, realicen la siguiente actividad en equipos.

Actividad de aprendizaje 1De acuerdo a las tablas de valores dadas y a las funciones que las generaron, en-cuentren las funciones respectivas de tal manera que las tablas se inviertan, como se realizó al inicio de esta sección. Respondan: ¿son las únicas?

a) f x x( ) = −2

3 g x( ) ?=

x y

− 1 1

2 0

5 − 1

8 − 2

b) f x x( ) = +1 g x( ) ?=

x y

− 1 0

0 1

3 2

8 3

Comenzaremos esta sección con las funciones inversas y posteriormente con las funciones especiales.

Matemáticas IV

55



Función inversaEs de utilidad recordar la composición de funciones y lo que cumplen las funciones biyectivas, ya que nos servirá para defi nir la función inversa.

Pero, ¿por qué se necesita de las funciones biyectivas? Aclarémoslo con la siguiente actividad.

Actividad de aprendizaje 2En equipos, consideren las tres siguientes funciones: h, g y f, que son de diferente tipo. Indica la regla de correspondencia encada gráfi ca y escríbela en el recuadro de la parte de abajo, además de las razones de esa clasifi cación.

a

b

c

1

2

3

4

a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

FIGURAS 2.1, 2.2 y 2.3. Funciones h, g y f, respectivamente.

La función h es inyectiva, pero no suprayectiva; la función g es suprayec-tiva, pero no inyectiva; y la función f es inyectiva y suprayectiva, es decir, biyecti-va. Si ahora se intercambian el dominio y el contradominio e invertimos la regla de correspondencia de cada una de las funciones, entonces tendremos los siguientes tres diagramas respectivos, en donde vamos a denotar las relaciones obtenidas como h’, g’ y f’, respectivamente.

a

b

c

1

2

3

4

a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

FIGURAS 2.4, 2.5 y 2.6.Relaciones h’, g’ y f’, respectivamente.

Con estas representaciones entre los conjuntos discutan ¿cuál o cuáles no representan una función y por qué? ¿Dónde radica la importancia de que la función sea biyectiva? ¿Por qué las otras no son del todo útiles para realizar esta actividad?

56

MIVDespués de haber realizado este encuadre con los dominios, contrado-

minios, la inyectividad, suprayectividad y biyectividad de las funciones podemos llegar a la conclusión de que, para garantizar que al intercambiar el dominio y contradominio de una función, así como la regla de correspondencia y podamos generar así otra relación que sea también una función, se ha de considerar que la original sea una función biyectiva. Con esto podemos defi nir la función inversa:

Si una función f X Y: → es biyectiva en su dominio entonces tiene

una función inversa única que se representa con el símbolo f −1

Describiendo esta defi nición con base en conjuntos tendremos que si

f X Y: → es biyectiva, entonces la función f Y X− →1 : es la función inversa de f ,

donde f y x x X− = ( ) ∈{ }1 , .

Tomando en cuenta lo anterior, es posible defi nir la función inversa de acuerdo a la composición de funciones.

Si una función f X Y: → es biyectiva en su dominio y se tiene una

función f Y X− →1 : , entonces f −1 es la función inversa de f si y sólo si

fof x x−( )( ) =1, para elementos del dominio de f −1 y f of x x1( )( ) = , para ele-

mentos del dominio de f

Consideremos primero de forma analítica cuándo dos funciones son in-versas una de la otra. Observa los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1: Considera cada una de las parejas de funciones y determina si son inversas una de la otra mediante las composiciones fog y gof .

a) f x x g x x( ) ; ( )= + = −2 3 32

b) f x x g x x( ) ; ( )= =2 , >_ 0

Solución:

Determinemos las funciones fog y gof para cada una de las parejas:

a) fog x f x xx x( )( ) = ( ) = ( ) + = −( ) + =− −3

23

22 3 3 3

gof x g x xx x( )( ) = +( ) = = =+( )−2 3

2 3 3

222

b) fog x f x x x( )( ) = ( ) = ( ) =2

gof x g x x x( )( ) = ( ) = ( ) =2 2

Recuerda que

f x y x X= ( ) ∈{ }, y que

y f x= ( ) .

Debido a que la función es biyectiva, la función inversa

f −1 también

será biyectiva.

De aquí en adelante, cuando tratemos de la biyectividad, se comprenderá el dominio de la función respec-tiva

Matemáticas IV

57


Con estas operaciones es posible afi rmar que en ambos casos las parejas de funciones son inversas una de la otra. Se puede representar a g como f −1 .

Una vez que se demuestra que una función tiene inversa, entonces se determina la forma analítica que tendrá la inversa de una función cuando se da una de ellas.

El proceso se puede resumir en los siguientes pasos:

1) Intercambiar f(x) por y, pues y f x= ( )2) Despejar la variable x de la ecuación

3) Intercambiar las literales x por las y y viceversa

4) Realizar el último cambio de variable y f x= ( )−1

Ejemplo 2: Obtener de forma analítica la regla de correspondencia de las funciones inversas para cada una de las funciones en los incisos.

a) f x x( ) = −3 4

b) h x xxx

( ) ;= ≠−4 5 0

Solución:

Realizaremos cada uno de los pasos anteriores en los incisos:

1) Intercambiar f(x) por y, pues y f x= ( ) , es decir, se tendrá y x= −3 4 .

2) Despejar la variable x de la ecuación:

y x+ =4 3y x+ =4

3

3) Intercambiar las literales x por las y y viceversa, de donde resulta quex y+ =4

3 .

4) Realizar el último cambio de variable y f x= −1( ) , con lo que x f x+ −=43

1( ) ,

es decir, la inversa de f x( ) es f x x− +=1 43

( ) .

Queda como ejercicio comprobar que las composiciones fof x x−( )( ) =1

y f of x x−( )( ) =1.

c) Aquí iremos de forma directa, evitando detallar los procesos. Comen-zamos con:

y xx

= −4 5 , por lo cual sigue que

yx x= −4 5 , despejando x

yx x+ =5 4 ,

x y( )+ =5 4 , con término común y luego

58

MIVx

y=

+4

5,

yx

=+4

5 ,

h x xx

−+

= ≠1 45

5( ) ;

Como en este caso la función original era h x( ) , entonces encontramos h x−1( ) . Es importante recalcar que tanto en la función original como en la inversa se dan los valores de x no admitidos, lo cual indica el dominio de la función en cuestión.

Completando el análisis de las funciones inversas consideramos su forma gráfi ca. En este caso discutiremos la función biyectiva en � f x x( ) = −3 1. A con-tinuación grafi caremos la inversa de esta función mediante el siguiente proceso.

Primero. Obtenemos una tabla de valores para representar algunos puntos de la función y trazarla. Por ejemplo, la tabla siguiente contiene valores negativos y positivos, ya que es biyectiva en R (todos los números reales).

Representando estos puntos se tiene la siguiente gráfi ca:

x y

− 3 − 10

− 2 − 7

− 1 − 4

0 − 1

1 2

2 5

-8 -6 -4 -2 2 4 6

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

13 −= xy

FIGURA 2.7. Representación de la función f x x( ) = −2 3 .

Matemáticas IV

59


Segundo. Representamos una línea punteada que pase por el primer y cuarto cuadrante, que pase por el origen y tenga una inclinación de 45ϒ. Esta rec-ta se denomina función identidad, que abordaremos más adelante. Así, la gráfi ca de estas dos funciones queda de esta manera:

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y13 −= xy

identidad

FIGURA 2.8. Funciones f x( ) e identidad.

Tercero. Trazamos puntos simétricos de la gráfi ca de nuestra función tomando como eje de simetría a la recta identidad que ya hemos trazado. Esto lo realizamos con varios de los puntos de la gráfi ca de la función, de tal forma que mientras más tengamos mejor quedará nuestro panorama de la gráfi ca de la fun-ción inversa. Asimismo, estaremos representando los puntos de la tabla de manera inversa, es decir, puntos como los siguientes: (−10,3), (−7,−2), (−1,0) y (5,2). Lógica-mente estos puntos serán de utilidad si previamente tenemos una tabla de valores de la función, pues habrá en ocasiones en las que solo tengamos la gráfi ca de la función y con base en ella deberá construirse la gráfi ca de la función inversa. En nuestro caso representaremos algunos, como se indica a continuación:

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y13 −= xy

identidad

FIGURA 2.9. Puntos simétricos respecto a la identidad.

60

MIVPor lo tanto la gráfi ca de la función inversa f −1 será la que resulte de

unir los puntos que ya se han grafi cado, ya sea mediante la inversión de la tabla de valores o mediante la simetría con la línea identidad. Así que uniéndolos obten-dremos la gráfi ca de la función inversa de f x x( ) = −2 3 . Como ya se ha indicado,

podemos dar con la función inversa de forma analítica y obtener f x x− +=1 13

( ) . A continuación la gráfi ca resultante de unir los puntos simétricos.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

1−= xy identidad

31+= xy

FIGURA 2.10. Representación de f f, −1 y la identidad.

A esta altura cabe proponer la siguiente actividad, integradora de cono-cimientos, habilidades y actitudes.

Actividad de aprendizaje 3Reúnanse en equipos de tres integrantes y mediante colaboración activa y una distribución de roles y asignaciones obtengan las gráfi cas de las funciones inversas a través de tablas o puntos simétricos.

a) f x x( ) = +34

b)

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

FIGURA 2.11.

Matemáticas IV

61


Comparen sus respuestas con las de los demás equipos para observar posibles diferencias, al tiempo que uno o dos integrantes del equipo explican los pasos que requirieron para llegar a tales gráfi cas.

Una vez que se analizaron las funciones inversas podemos considerar otros tipos de funciones, que por su simplicidad, utilidad y que al combinarlas generan funciones más elaboradas, se han considerado como las funciones espe-ciales.

Funciones especialesAquí trataremos como parte de la familia de las funciones especiales a la:

• Función constante

• Función identidad o idéntica

• Función valor absoluto

• Función escalonada

Función constanteRepresentemos una función f R R: → , de forma que f x c( ) = , don-

de x c R, ∈ . Es decir, las variables x pueden ser cualesquiera en los reales y el valor fi jo será c , también tomado del conjunto de números reales. Esta función se llama función constante.

Mediante conjuntos, la función se representa por f x y y c x c R= = ∈{ }( , ) ; , . Ejemplo 3: En el caso de que el valor de c = 2 , entonces una tabla de

valores y gráfi ca serán:

x y

−2 2

− 1 2

0 2

1 2

Algo importante de seña-lar de acuerdo la propia defi nición y gráfi ca de esta función es el hecho de que:

• No es biyectiva

• Su dominio D son todos los reales, es decir D R=

• Su contradominio es R y su rango c{ }

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

x

y

2=y

FIGURA 2.12. Gráfi ca de la función constante f x( ) = 2 .

62

MIVFunción identidadAhora nos ocuparemos de otro tipo de función, la función identidad, que ya anali-zamos superfi cialmente en la sección de funciones inversas.

Sea f R R: → , tal que f x x x R( ) ,= ∈ De otra forma se representa

por f x y y x x R= = ∈{ }( , ) , . Esta es la función identidad o idéntica.

Construimos una tabla de valores para esta función:

x y

− 1 − 1

0 0

1 1

2 2

Se observan los valores idénticos, de ahí su nombre. La gráfi ca represen-tada pasará por el primer y cuarto cuadrantes, a la vez que tiene una inclinación de 45ϒ respecto al eje X.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

( ) xxf =

FIGURA 2.13. Gráfi ca de la función f x x( ) = .

Respecto a sus propiedades resaltamos que:

• Es biyectiva


• Su contradominio C son todos los reales, es decir C R=

Matemáticas IV

63


Función valor absolutoAntes de defi nir esta función indicamos la característica del valor absoluto que se

representa por el símbolo x ; esto signifi ca que si x es de signo positivo se queda igual, si es negativo se le cambia de signo para que quede positivo. Por ejemplo, − = − − = =5 5 5 4 4( ) , . El valor cero queda igual. Lo anterior se resume así:

xx x

xx x

=>=

− <

,,

,

si si

si

00 0

0

Utilizando este hecho entonces se describe la función valor absoluto.

a f R R: → , tal que f x x x R( ) ,= ∈ . De otra forma se representa

por f x y y x x R= = ∈{ }( , ) , . Esta es la función valor absoluto.

Para representar esta función tomamos otra tabulación con algunos valo-res negativos y positivos.

x y

−2 −2

−1 −1

0 0

1 1

2 2

3 3

El valor absoluto de

un número será positivo o cero, pero no negativo.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

( ) xxf =

FIGURA 2.14. Representación de la función valor absoluto f x x( ) = .

Sus características son:

• No es biyectiva


• Su contradominio es R y su rango C R= { }+ 0 , donde R+ = {x ∈R x > 0}

64

MIVFunción escalonadaTomemos un ejemplo de la vida real para formar una función de tipo escalonado.

Ejemplo 4: Un cibercafé cobra $10 por la renta de internet la hora o la fracción de hora. Al pasar a la segunda hora de renta el precio es normal, pero después de la tercera y hasta un máximo de 12 horas (pues el ciber abre de 10:00 am a 10:00 pm) se cobra una renta fi ja de $45. Describir gráfi camente este hecho.

Solución:

Considerando a la variable t como la cantidad de horas, la variable y como el total a pagar de renta y a la función como f, podemos representar esto en una tabla tomando en cuenta los signos de desigualdad.

t y

0 1< ≤t 10

1 2< ≤t 20

2 3< ≤t 30

3 12< ≤t 45

Representando estos datos en una gráfi ca se obtiene:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

10

20

30

40

t

y

FIGURA 2.15. Representación de una función escalonada f t( ) .

Nota que al inicio de cada una de las líneas horizontales se tiene un punto abierto, mientras que al fi nal uno cerrado; esto indica que los puntos abiertos no pertenecen a la representación gráfi ca, mientras que los cerrados sí.

Resumiendo este ejemplo, a toda representación que adquiera esta for-ma ascendente o descendente de valores se le conoce como función escalonada.

Las características de estas funciones están en concordancia con su regla de correspondencia, ya que no son únicas. Es decir, para este ejemplo se tiene que la función f t( ) tiene lo siguiente:

• Dominio D t= < ≤{ }0 12

• Contradominio C = { }10 20 30 45, , ,

Matemáticas IV

65


Una vez que se ha señalado la parte principal de esta sesión, lo conse-cuente es que desarrolles las habilidades y actitudes necesarias para así evidenciar que estás desarrollando los criterios de tal sesión, así como las competencias ge-néricas que señala la RIEMS.

Actividad de aprendizaje 4Aquí se te proporcionarán algunas situaciones que te servirán para la utilización de las funciones inversas y especiales, de forma que puedas interactuar con tu docente y compañeros en el descubrimiento de tus competencias.

1) Verifi ca en cada inciso que cada par de funciones sea inversa entre sí.

a. f x g xx x

( ) , ( )= − = −1 1 , ≠x 0

b. f x x g x x( ) , ( )= − = −1 13 3

2) En equipos de dos integrantes determinen las funciones inversas de cada una de las funciones dadas, esto de forma analítica. Además, obtengan el dominio de la inversa.

a. f x x( ) = − +4 6

b. g x x( ) = +3 2 3

c. h x xx

( ) =−

23

,x≠3

d. i x x x( ) ,= − ≤4 03) Representa la inversa de cada una de las siguientes gráfi cas.

a.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y ( )xf

FIGURA 2.16b.

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-3

-2

-1

1

2

x

y

( )xf

FIGURA 2.17.

66

MIV4) Representa las gráfi cas y determina el dominio y el rango para cada una.

a. f x x( ) = − 3

b. g x x( ) = − 3

c. h x x( ) = 3

d. i x x( ) = 3

Con base en las representaciones de estas cuatro gráfi cas, ¿puedes esta-blecer alguna relación entre ellas?

5) Cerca de tu escuela pondrán una fotocopiadora; por in-auguración, los precios que ofrece son:

Número de copias Costo por copia

De 1 a 99 $0.35

De 100 a 499 $0.30

De 500 a 999 $0.25

De 1000 en adelante $0.20

Con los datos de la tabla determina la función de la situación anterior y realiza la gráfi ca que corresponda.

6) Juan se dedica a la venta de artículos a través de inter-net y para hacerlos llegar a sus clientes los envía por paquetería. Una compañía de envíos le ofrece sus servi-cios de acuerdo a las siguientes condiciones: $50.00 por un artículo de 1 kg de peso y $4.00 por cada 200 gramos adicionales a un 1 kg, hasta un máximo de 15 kg. Con los datos presentados ayuda a Juan a determinar la función que represente el costo y su gráfi ca.

SíntesisRealiza esta segunda serie de ejercicios con la fi nalidad de que reafi rmes los cono-cimientos en las habilidades necesarias para la sesión.

1) En cada inciso calcula de forma analítica la inversa f −1 y compruébalo

al observar las composiciones ( )( )fof x y f of x− = =1 −1 .

a. f x x( ) = −3 4

b. f x x( ) = −3 2

c. f x x( ) ( )= + 2 3

d. f x x

x( ) = +

−52

e. f x x x( ) ,= − − ≥2 9 3

Matemáticas IV

67


2) Demuestra en cada inciso que la función f es su propia inversa.

a. 4 0 42− ≤ ≤x x,

b. f x xx

( ) = +−

61

c. f x xx

( ) = +−

2 12

3) Propón una situación de la vida real que genere una gráfi ca escalonada. Muestra la situación, su función y gráfi ca a tus compañeros y docente para que se resuelvan las posibles dudas a tu ejemplo. Si es necesario corríjanlo entre todos.

Sesión B. Transformaciones gráfi casCriteriosDel saber

• Comprendo la utilidad de las transformaciones gráfi cas al representar situaciones prácticas.

• Aplico traslaciones verticales y horizontales o refl exiones sobre los ejes o sobre la recta y = x, a gráfi cas de funciones.

Del saber hacer

• Utilizo las traslaciones o refl exiones aplicadas a una gráfi ca para deter-minar su regla de correspondencia.

• Realizo las transformaciones y refl exiones gráfi cas aplicadas a funciones para obtener nuevas funciones.

Del saber ser

• Demuestro una actitud propositiva hacia la utilidad de las transforma-ciones en la solución de problemas teóricos o prácticos.

• Considero los puntos de vista de mis compañeros y aporto los míos.

• Valoro la ventaja de realizar transformaciones en gráfi cas que permiten simplifi car procesos algebraicos o geométricos.

Problematización Hasta ahora se han abordado las funciones inversas y especia-les, sin embargo, podemos seguir detallando las representa-ciones de las funciones; antes de entrar en forma a esta sesión vamos a realizar el siguiente ejemplo:

A José, que trabaja en un municipio del estado, se le ha encargado colocar una cantidad considerable de letreros

68

MIVcon las diferentes direcciones y nombres de las calles y avenidas de la localidad. Es una ardua tarea considerando que se realiza a mano, es decir, José tiene que escribir con un pincel cada una de las letras y números de los letreros. A ello se le añade que cada uno de esos letreros debe llevar el logotipo del ayuntamiento. Ante esta tediosa tarea nuestro amigo se propone idear un método que le cueste menos tiempo y esfuerzo, pues no cuenta con serigrafi stas de carteles para que le ayuden.

Considerando que el logotipo del ayuntamiento es el mismo en forma y tamaño de todos los letreros que se tienen que hacer, ¿qué método le sugerirías? Discútelo con tus compañeros en equipos de tres y posteriormente en plenaria.

Desarrollo de saberesTe preguntarás qué tiene que ver el ejemplo anterior con las funciones. Posible-mente una de las soluciones que tú o tus compañeros le darían a José es que rea-lice un molde con la imagen del logotipo del ayuntamiento y, así, con un simple brochazo o con su pincel estaría “dibujando” el logo en cada uno de los letreros, en lugar de dibujar lo mismo en cada uno de los letreros correspondientes. Esta idea podría conectarse con las transformaciones gráfi cas de las funciones; para ello se te sugiere la siguiente situación.

Situación. Si representamos de forma gráfi ca la función y f x x= =( ) 2 quedará como sigue:

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

( ) xxfy 2==

FIGURA 2.18. Función y x= 2 .

Ahora construyan y coloquen en los mismos ejes coordenados anteriores las representaciones de las funciones y x y x y x' , '' , ''' ( )= + = − = −2 1 2 1 2 1 . Discu-tan lo que ocurre.

Podrán notar que en este caso se tienen las siguientes funciones:

y x f xy x f xy f x

' ( ) ,'' ( ) ,''' ( ),

= + = += − = −= −

2 1 12 1 1

1

donde f x x( ) = 2 es la función que dimos originalmente. Discutan a qué conducen estas pautas.

Matemáticas IV

69


Después de analizar los comportamientos de la función f x x( ) = 2 , repre-sentamos las funciones discutidas anteriormente para su análisis.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

x2

12 +x

12 −x

( )12 −x

FIGURA 2.19. Gráfi cas de 2 1 2 1 2 1x x x+ − −, ( ) y .

Notamos funciones similares (las paralelas) a la función inicial f x x( ) = 2 , es decir, las funciones 2 1 2 1 2 1x x x+ − −, ( ) y son idénticas en forma a la inicial, salvo que están trasladadas horizontalmente o verticalmente. Es como si copiá-ramos f x x( ) = 2 y la pegáramos a distancias de una unidad vertical u horizontal-mente. Es decir, 2 1x + se mueve hacia arriba una unidad, 2 1x − una unidad hacia abajo y 2 1( )x − una unidad a la derecha. Todo considerando como función inicial a f x x( ) = 2 . Tal como en el caso del ejemplo de José, no necesitamos volver a grafi car o “dibujar” la gráfi ca de la función vez tras vez, basta con trasladarla o moverla como si de un molde se tratara. Aquí el “molde” será f x x( ) = 2 .

De aquí se deduce que existen diferentes tipos de transformaciones grá-fi cas, entre ellas:

• Traslaciones horizontales y verticalesTraslaciones horizontales y verticales

• Alargamientos o compresionesAlargamientos o compresiones

• Refl exiones horizontales o verticalesRefl exiones horizontales o verticales

Para este punto consideramos una función de la que ya se conocen sus características gráfi cas y analíticas, tal como y f x= ( ) , la cual jugará el papel de función base.

TraslacionesTomemos un valor constante, real y positivo. Denotémosle por c , y sea y f x= ( ) una función cuya representación gráfi ca y analítica se conocen, en-tonces:

1) y f x c= +( ) representa una traslación vertical de la gráfi ca f x( ) hacia arriba, c unidades.

2) y f x c= −( ) representa una traslación vertical de la gráfi ca f x( ) ha-cia abajo, c unidades.

70

MIV3) y f x c= +( ) representa una traslación horizontal de la gráfi ca f x( ) hacia

la izquierda, c unidades.

4) y f x c= −( ) representa una traslación horizontal de la gráfi ca f x( ) hacia la derecha, c unidades.

Esto se representa mediante la siguiente gráfi ca:

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-2

2

4

6

8

10

x

y

( )xfy =

( ) cxfy +=

( ) cxfy −=

( )cxfy += ( )cxfy −=

FIGURA 2.20. Representación de las traslaciones horizontales y verticales de f x( ) .

Deduzcan el valor de c para cada traslación.

Alargamientos y compresionesConsideremos un valor c > 1 y y sea y f x= ( ) una función cuya representación gráfi ca y analítica se conocen, entonces:

1) y cf x= ( ) representa un alargamiento vertical de la gráfi ca f x( ) en un factor c.

2) y f x c= ( ) representa una compresión vertical de la gráfi ca f x( ) en un factor c.

3) y f cx= ( ) representa una compresión horizontal de la gráfi ca f x( ) en un factor c.

4) y f x c= ( ) representa un alargamiento horizontal de la gráfi ca f x( ) en un factor c.

Matemáticas IV

71


Ejemplo 1: Con estas descripciones podemos dar unos ejemplos gráfi cos

tomando como función base a y x= para valores positivos de x . Además c = 2 .

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

xy =

xy 2=

2xy=

xy 2=

2x

y =

FIGURA 2.21. Alargamientos y compresiones de la función y x= .

En esta gráfi ca se observa el:

Alargamiento vertical dado por y x= 2 , es decir, la gráfi ca original se “alarga” en un factor de c = 2 , o sea el doble de alto.

La compresión vertical dada por y x=2 , es decir, la gráfi ca original se

“aplasta” en un factor c = 2 , o sea a la mitad de alto.

La compresión horizontal dada por y x= 2 , es decir, la gráfi ca original se “aplasta” en un factor c = 2 , o sea a la mitad de ancho.

El alargamiento horizontal dado por y x=2 , es decir, la gráfi ca se “alar-

ga” en un factor c = 2 , o sea el doble de ancho.

Refl exionesSea y f x= ( ) una función cuya representación gráfi ca y analítica se conocen, en-tonces:

1) y f x= − ( ) representa una refl exión de la gráfi ca f x( ) respecto al eje X.

2) y f x= −( ) representa una refl exión de la gráfi ca f x( ) respecto al eje Y .

72

MIVEjemplo 2: Observa los siguientes esquemas utilizando la función base

y x=.

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

y

xy=

xy −=

xy −=

FIGURA 2.22. Refl exiones de la función y x= .

Como se observa aquí, la función base es y x= , y la refl exión de eje X,

y x= − ; respecto al eje Y es y x= − .

¿Recuerdas haber hecho algo por el estilo en este bloque? ¿Dónde? Pues en la sesión A, sección de síntesis, específi camente en el ejercicio 4. ¿Por qué? Porque los cuatro incisos se refi eren a la función valor absoluto y éstos representan traslaciones o alargamientos y compresiones. Verifi ca con tus compañeros a cuál transformación se refi ere cada inciso específi camente.

Para resumir la sesión del bloque utilizaremos las traslaciones gráfi cas en la siguiente serie de ejemplos.

Ejemplo 3: Representa gráfi camente cada una de las siguientes funcio-nes mediante transformaciones gráfi cas necesarias respecto a funciones conocidas gráfi camente.

a) f x x( ) = − +2 4

b) h x x x( ) = + −2 4 12

Solución:

c) En el caso de f x( ) , la función base será nuestra conocida función iden-tidad y x= . Lo que se indica a realizar es lo siguiente, siempre comen-zando con las modifi caciones a la variable.

d) −x , una refl exión de x respecto al eje X.

e) 2 2( )− = −x x ; un alargamiento vertical de esta refl exión en un factor de 2 unidades.

f) − +2 4x , una traslación vertical hacia arriba de la refl exión y alargamien-to ya realizados.

Se obtendrá una gráfi ca como la que damos a continuación:

Matemáticas IV

73


-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

( ) xxf =

( ) 42 +−= xxf

(transformación)

FIGURA 2.23. f x x( ) = y su transformación f x x( ) = − +2 4 .

a) En este caso parece un poco raro identifi car nuestra función base, pero con una pequeña “maquillada” a la función h x( ) original veremos cómo queda. En primer lugar vamos a completar el trinomio cuadrado perfec-to para obtener los siguiente:

2 4 1 2 4 2 2 1 2 4 2 1 2 2 2 1 3 2 12 2 2 2x x x x x x x x x+ − = + + −( ) − = + +( ) − − = + +( ) − = +( )22 3−

Entonces observamos que se trata de la función base y x= 2 .

Recuerda que esta función es una parábola con vértice en el origen que

abre hacia arriba. Por lo tanto, las transformaciones gráfi cas realizadas a x2 serán:

• ( )x + 1 2, una traslación horizontal de una unidad a la izquierda respecto

a x2

• 2 1 2( )x + , un alargamiento vertical de x +( )12

en un factor de 2 unidades

• 2 1 32( )x + − , una traslación vertical de 3 unidades debajo de la tras-lación y alargamientos ya realizados previamente. Observémoslo en el siguiente bosquejo.

-6 -4 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

( ) 2xxh =

( ) 142 2 −+= xxxh

FIGURA 2.24. h x x( ) = 2 y su traslación gráfi ca de h x x x( ) = + −2 4 12.

Con esta parte terminamos las indicaciones y conocimientos requeridos para generar las competencias exigidas en el bloque; para este propósito se ha dispuesto una serie de situaciones para que las resuelvas.

74

MIVSíntesisDe acuerdo con la base indicada para los incisos siguientes representa la transfor-mación gráfi ca correcta.

1) Base y x= 2

a. f x x( ) ( )= + 2 2

b. g x x( ) = − −( )12

c. h x x( ) = −2 4

d. i x x( ) = − −2 1

2) Base y x=

a. f x x( ) = + 3

b. g x x( ) = − 2

c. h x x( ) = − − 2

d. i x x( ) = −2

3) Base y x=

a. f x x( ) = −1 b. g x x( ) = + 2 c. h x x( ) = −

4) Tomando como base la función y x= 3 , realiza las siguientes traslacio-nes gráfi cas:

a. f x x( ) = −3 3

b. g x x( ) ( )= − + 2 3

c. g x x( ) ( )= − + 2 3

d. h x x( ) ( )= − −2 1 3

5) Si f −1 es inversa de f , entonces qué es ( )f − −1 1

. Discútelo con tus com-pañeros y prueben sus afi rmaciones como les sea posible.

Análisis de logrosResponde el examen diagnóstico dado al inicio del bloque y ubícate en el nivel que te corresponda de acuerdo a tu resultado.



RealimentaciónA continuación se te presentan las actividades que podrán servirte de trampolín hacia las competencias por desarrollar en este bloque.

I. Determina la respuesta o respuestas correctas a cada una de las siguientes cuestiones, subrayando la que resulte correcta.

Matemáticas IV

75


1) ¿Cuál o cuáles pares de funciones son inversas entre sí?

a. f x x g x x( ) ; ( ) ( )= + = −2 3 3 2

b. f x x g x x( ) ; ( ) ( )= − = −4 5 4 5 c. f x x g x x( ) ; ( )= − = +23 33 3

2) Si f x xx

( ) =−1 , entonces la inversa es:

a. g x xx

( ) = −−1

b. k x xx

( ) = +−

1

c. h x xx

( ) = −1

d. i x xx

( ) = −−1

3) Considerando la función base y x= , la función f x x( ) = −2 6 represen-ta, en orden:

a. un alargamiento vertical y traslación horizontal

b. un alargamiento vertical y una traslación vertical

c. un alargamiento horizontal y una traslación vertical

4) Considerando la función base y x= 3, la función f x x( ) ( )= − − −3 33 re-

presenta, en orden:a. una traslación horizontal, una refl exión respecto al eje Y y una

traslación vertical

b. una traslación horizontal, una refl exión respecto al eje X y una traslación vertical

c. una traslación vertical, una refl exión respecto al eje Y y una tras-lación vertical

5) La inversa de f x x( ) = +2 9 es:

a. g x x( ) = +2 3

b. h x x( ) = −2 9

c. i x x( ) ( )= − −9 2

d. k x x( ) = − +9 2

6) Obtén la función inversa f −1 de cada una de las siguientes funciones:

a. f x x( ) = 3

b. f x x x( ) ( )= − −2

c. f x xx

( ) = +−2

2 3

d. f x x( ) = −3 2 23

7) Con las inversas obtenidas en el ejercicio anterior comprueba utilizando composición de funciones que las funciones obtenidas son realmente las inversas de las funciones respectivas.

76

MIVEvaluación de las competencias




5 3 1

Conocimientos

Conozco las defi niciones de las funciones inversas, sus interpretaciones gráfi cas

y las ubico en los ejes coordenados.

Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo componen y reconozco

otras aplicaciones opcionales.

Reconozco todas las funciones especiales vistas y señalo su importancia en

las transformaciones.

Utilizo siempre la terminología exacta en las transformaciones gráfi cas

en el software.

Conozco las defi niciones de las funciones inversa y sus interpretaciones

gráfi cas.

Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo

componen.

Reconozco algunas de las funciones especiales vistas.

En ocasiones utilizo la terminología exacta en las transformaciones

gráfi cas en el software.

Conozco las defi niciones de las funciones

inversas, pero no sus interpretaciones gráfi cas ni las ubico en los ejes

coordenados.

Describo el funcionamiento básico

del software.

Reconozco algunas de las funciones especiales.

No utilizo la terminología exacta en las

transformaciones gráfi cas en el software.

Habilidades

Mis gráfi cas, al utilizar el software, contienen elementos distintivos y

originales.

Represento de forma adecuada las gráfi cas

solicitadas, al tiempo que puedo realizarles ciertos

ajustes opcionales para su mejor visualización.

Puedo representar e imprimir en presencia de mi docente las gráfi cas o transformaciones que indique y respondo de

manera correcta y aporto ideas a las preguntas

planteadas al exponer lo realizado.

Mis gráfi cas, al utilizar el software, contienen los elementos básicos.


solicitadas.

Puedo representar o imprimir en

presencia de mi docente las gráfi cas o transformaciones que indique y respondo de manera correcta y aporto ideas a las

preguntas planteadas al exponer lo

realizado.

No puedo realizar mis gráfi cas con el software sin la ayuda de alguien.

No represento de forma adecuada las gráfi cas solicitadas ni puedo

realizarles ciertos ajustes opcionales para su mejor

visualización.

Puedo representar o imprimir en presencia de mi docente las gráfi cas

o transformaciones que indique, pero no respondo de manera correcta ni aporto

ideas a las preguntas planteadas al exponer lo

realizado.

Matemáticas IV

77





5 3 1

Actitudes

Tengo un alto compromiso con mi equipo y con la

resolución del proyecto, de forma que colaboro con

él en todo momento.

Prevengo errores que mi equipo pueda generar y

los corrijo acertadamente, oportunamente y con

tacto.

Mantengo una actitud positiva en todo momento

del trabajo, además de que expreso mis ideas y aportaciones con un lenguaje digno en todo

tiempo.

Demuestro interés en el manejo del software, dando otras posibles interpretaciones del

mismo.

Tengo compromiso con mi equipo y con

la resolución del proyecto, de forma que colaboro la mayoría del

tiempo con él.

Observo errores que mi equipo pueda generar y los corrijo en ocasiones con lenguaje impropio.

Mantengo una actitud positiva del trabajo, además de que ocasionalmente expreso mis ideas y

aportaciones.

Ocasionalmente demuestro interés en el manejo del

programa.

Tengo muy poco compromiso con

mi equipo y con la resolución del proyecto,

de manera que no colaboro con él.

No prevengo errores que mi equipo pueda generar.

Mantengo una actitud negativa durante el trabajo y no expreso

ideas ni aportaciones.

No demuestro interés alguno en el manejo del

programa.

Puntaje 15 9 3

78


Prod

ucto

, lo

gro

o de

sem

peño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Cono

cim

ient

os

Identifi co la función inversa de acuerdo

a su dominio, rango y variables que la componen, además de señalar

algunas de sus características.

Reconozco las funciones especiales para su utilización

en diferentes ámbitos de la vida y menciono algunas de sus aplicaciones.

Comprendo la utilidad de las

transformaciones gráfi cas al

representar situaciones

aplicativas y propongo algunas de

ellas.

Identifi co la función inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la

componen.

Reconozco las funciones

especiales para su utilización en

diferentes ámbitos de la vida.

Comprendo la utilidad de las


representar situaciones aplicativas.

Identifi co la mayoría de las

veces la función inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la

componen.

Reconozco algunas funciones especiales para su utilización en

diferentes ámbitos de la vida.

Comprendo algunas de las

utilidades de las transformaciones

gráfi cas.

Identifi co ocasionalmente

la función inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la

componen.

Reconozco algunas funciones

especiales.

Comprendo vagamente la utilidad de las


representar situaciones aplicativas.

No identifi co la función inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la

componen.

No reconozco las funciones especiales.

No comprendo la utilidad de las transformaciones

gráfi cas al representar situaciones

aplicativas ni propongo algunas

de ellas.

Matemáticas IV

79



Prod

ucto

, lo

gro

o de

sem

peño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Hab

ilida

des

Obtengo siempre la función inversa de forma gráfi ca y

analítica de acuerdo a los dominios y rangos asignados

de funciones complejas.

Resuelvo problemas aplicativos a las

funciones inversas y especiales

para comprender su utilidad en

diferentes áreas, además de señalar

cuáles son.

Realizo y justifi co las transformaciones

y refl exiones gráfi cas aplicadas a funciones para obtener nuevas

funciones.

Obtengo la mayoría de las

veces la función inversa de forma gráfi ca y analítica

de acuerdo a los dominios y

rangos asignados de funciones complejas.


funciones inversas y especiales


diferentes áreas.

Realizo las transformaciones

y refl exiones gráfi cas aplicadas a funciones para obtener nuevas

funciones.

Obtengo en ocasiones la función

inversa de forma gráfi ca y analítica




funciones inversas o especiales


diferentes áreas.

Realizo las transformaciones

o refl exiones gráfi cas aplicadas a funciones para obtener nuevas

funciones.

Obtengo en ocasiones la función

inversa de forma gráfi ca o analítica



Resuelvo pocas veces problemas aplicativos a las

funciones inversas o especiales


diferentes áreas.

Realizo, solo en ocasiones, las

transformaciones o refl exiones

gráfi cas aplicadas a funciones para obtener nuevas

funciones.

No obtengo la función inversa de forma gráfi ca

o analítica de acuerdo a los dominios y


No resuelvo problemas

aplicativos a las funciones

inversas o especiales.

No realizo ni justifi co las

transformaciones y refl exiones

gráfi cas aplicadas a

funciones para obtener nuevas

funciones.

Acti

tude

s

Considero la importancia de las funciones inversas

y especiales en la solución de

ejercicios y explico por qué.

Aprecio siempre la utilidad de las transformaciones

gráfi cas en la solución de

situaciones reales.

Demuestro siempre respeto hacia

las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente

tolerable y aporto ideas.


y especiales en la solución de

ejercicios.

Aprecio en varias ocasiones la

utilidad de las transformaciones


situaciones reales.




o especiales en la solución de

ejercicios.

Aprecio vagamente la utilidad de las transformaciones


situaciones reales.

Demuestro en la mayoría de las

ocasiones respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente

socialmente tolerable.


o especiales en general.

Aprecio vagamente la utilidad de las transformaciones

gráfi cas en general.

Demuestro pocas veces respeto

hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente

socialmente tolerable.

No logro considerar la

importancia de las funciones inversas ni

especiales en la solución de

ejercicios.

No aprecio en ningún momento la utilidad de las transformaciones

gráfi cas en la solución de situaciones

reales.

No demuestro respeto hacia

las ideas de mis compañeros ni aporto ideas.

Puntaje 15 12 9 6 3


• Modelo general de las funciones polinomiales

• Forma polinomial de funciones de grados: cero uno y dos

• Representación gráfi ca de funciones de grados: cero, uno y dos

• Características de las funciones polinomiales de grados: cero, uno y dos

• Parámetros de las funciones de grados: cero, uno y dos..

Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Bloque III


Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones particulares y/o determina si corresponden a dicha clase de funciones.

Identifi ca la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así como sus gráfi cas respectivas.

Determina si la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos, empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, des-cripción de enunciados, tipos de gráfi cas y regularidades particulares observadas.

Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican o no, razones de crecimiento o decre-cimiento constante que se asocien con el modelo.


Genéricas:



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.





2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.



6. Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magni-tudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o aleatorio para el estudio de un proceso o fenó-meno, y argumenta su pertinencia.


82

MIVDinamización y motivaciónEn esta sección se abordan ejercicios que te servirán para medir tus conocimientos y saber en qué nivel te encuentras. Responde cada uno de los siguientes ejerci-cios, realizando en su caso las operaciones necesarias. Los puntajes son solo para referencia.

1) Identifi ca el grado de cada uno de los siguientes polinomios. (0.2 pts. c/u)

f x( ) = 2 _____________________

f x x x( ) = +2 42 _____________________

f x x( ) = −3 5 7 _____________________

2 3 7y x+ = _____________________

− + = +a y a2 4 4 _____________________

2) Para la ecuación 3 2 10 0x y+ − = , identifi ca su pendiente y su ordenada al origen. Grafícala. (2 pts.)

3) Para la función f x x x( ) = + −2 2 15 , ¿cuál es la solución o raíces de la función? Grafícala. (2 pts.)

4) En cierta granja los cerditos pesan 3.6 kg al nacer, y ocho meses después pesan 44.5 kg. Expresa la función lineal del peso con la edad en meses. ¿Cuánto pesarán al primer año? Si pesan 60 kg, ¿qué edad en años tie-nen? (2.5 pts.)

5) Una persona desea realizar un canal de desagüe para la lluvia y cuenta con una lámina de forma rectangular. Si el ancho de la lámina es de 1 metro, ¿cuánto se debe doblar hacia arriba en ambos lados para que el canal tenga la capacidad máxima? (2.5 pts.)

x x

1 m

Importante: tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y explicará de forma rápida el porqué de las justifi caciones. No se darán más detalles de las respuestas y argumentaciones, pues algunas de ellas se analizarán en este bloque y además nos servirán al fi nal.

Matemáticas IV

83

BIIIEmpleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos



Coloca una X en el

puntaje que alcanzaste.


Estratégico 9 a 10 puntos

Identifi co las funciones de grados 0, 1 y 2. Tengo conocimiento sobre los elementos y

características de la recta, y aplico los conceptos sobre rectas y ecuaciones cuadráticas en

problemas aplicativos.

Autónomo 7 a 8 puntos

Identifi co las funciones de grados 0, 1 y 2. Tengo conocimiento sobre los elementos y

características de la recta, e ideo cómo aplicar los conceptos sobre rectas.

Básico 5 a 6 puntos

Identifi co las funciones de grados 0, 1 y 2. Tengo nociones sobre los elementos de la recta, e ideo

cómo aplicar los conceptos sobre rectas y sus gráfi cas, así como de parábolas.

Inicial 2 a 4 puntosTengo algunas nociones sobre los elementos de rectas y parábolas, identifi co las funciones de

grados 0, 1 y 2.

Pre-formal 0 a 1 puntos No recuerdo ni identifi co las características y elementos de la recta.

ContextualizaciónEn este bloque se presentan situaciones de la vida diaria que podemos compren-der mediante funciones constantes, de primer y segundo grado. A continuación se presentan tres situaciones donde planteamos la idea de lo que se pretende cubrir en este bloque.

Situación 1. Supón que tu papá y tú están viajando por carretera y están en un tramo recto. Observas el velocímetro y llevan una velocidad de 85 km/h y te das cuenta de que la velocidad se mantiene constante durante todo el tramo recto; así, podemos decir que al primer segundo que viste el velocímetro la velocidad es de 85 km/h, a los 2 s es de 85 km/h, a los 3s es de 85 km/h y así sucesivamente. Se puede plantear la velocidad en función del tiempo y tendremos que V(t) = 85, esto es así porque durante todo el tramo recto la velocidad no cambió.

Tendremos defi nido la función constante V(t) = 85, válida para todo el tramo recto.

Velocidad contra tiempoV(t) = 85

Velo

cida

d

Tiempo en segundos

100806040200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

84

MIVSituación 2. Una compañía de teléfonos cobra por su servicio mensual

$200, que incluye 100 llamadas, y después de las 100 llamadas cobra $0.25 por llamada adicional. Si una persona realizó 155 llamadas durante el mes, ¿cuánto debe pagar? Si el mes anterior pagó $225, ¿cuántas llamadas se realizaron?

a) Comenta con tus compañeros cómo calcularías las respuestas para las preguntas planteadas.

b) ¿Cómo representarías esta situación mediante funciones?

Situación 3. Un niño suelta una pie-dra en un pozo y tarda 5 segundos en llegar al fondo, ¿cuánto tiene el pozo de profundidad? Comenta con tus compañeros y responde las siguientes preguntas.

a) ¿Qué tipo de movimiento te recuer-da de tu curso de Física 1?

b) ¿Cuál sería la fórmula para calcular la profundidad?

c) ¿Cómo expresarías la fórmula como una función cuadrática (la distancia en función del tiempo)?

d) ¿Cuál sería la profundidad?

e) Si el pozo tuviera 150 m de profundidad, ¿en cuánto tiempo tardaría en llegar de la mano del niño al fondo?

Como verás, en este bloque vamos a retomar conceptos que viste en tu curso de Matemáticas III, y modelaremos las funciones para resolver problemas co-tidianos. Con estas situaciones damos inicio al estudio de las funciones constantes, de primer y segundo grado. ¡Adelante!

Proyecto Para la parte fi nal del bloque se te presenta un proyecto en el que podrás aplicar las funciones lineales como modelo de un caso de la vida real. Solo nos resta de-cirte ¡adelante!

Proyecto Modelaje matemático con funciones lineales

Problema Obtener modelos lineales de situaciones comunes



Competencias

• Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos po-linomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que des-criben.

• Interpreta tablas, gráfi cas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

Matemáticas IV

85


Actividades

En equipos (si es posible del mismo sexo) diseñados por el profesor, los cuales serán de 4 a 6 integrantes, realizarán las siguientes actividades en el orden establecido.

• Construyan tablas de valores de dos variables. Los nombres de las variables las decidirán ustedes en el transcurso del proyecto.

• En la primera tabla de valores, que se denominará Peso-Talla, realizarán lo siguiente. Entre todos los integrantes del equipo obtengan el peso en kg de cada uno de ustedes, si es posible usen decimales. Anoten estos datos en la columna de la izquierda y nombren a esa columna con la variable que deseen (p de peso, por ejemplo). De igual manera, obtengan la altura en cm de cada uno de ustedes y coloquen esa medida a su peso respectivo en la columna de la derecha, nombrándola con la variable deseada. Obtendrán una tabla de valores o parejas coordenadas que se refi ere a sus pesos y alturas de cada uno.

• De forma parecida, en una segunda tabla que llamarán Pie-Fémur anoten en la columna izquierda las longitudes de las plantas de sus pies derechos y en la columna derecha las longitudes de sus fémures. Esto lo pueden hacer desde el inicio de la cadera hasta la parte media de la rodilla.

• Grafi quen cada una de las tablas de datos en ejes coordenados.

• Para cada tabla de datos encuentren la mejor relación lineal que se ajuste a ellos. Es decir, hallen la ecuación lineal que contenga a la mayoría de ellos.

• Representen la función lineal obtenida en cada una de las gráfi cas de pun-tos anteriores.

• Para la ecuación de la tabla Peso-Talla, respondan: ¿qué peso debería tener un miembro del equipo si midiera 178 cm? ¿Qué altura si pesara 80 kg?

• Para la ecuación de la tabla Pie-Fémur, respondan: una persona con una talla de pie de 28 cm, ¿qué medida de fémur tendrá? ¿Cuál será la talla de pie de una persona si su fémur es de 50 cm?

• Al entregar sus trabajos en carpetas y con sus hojas de operaciones el pro-fesor les pedirá que realicen algunos cálculos como los anteriores, con base en sus modelos lineales.

Recursos Libro de texto, báscula, cinta métrica, hojas en blanco, libros de consulta en la biblioteca.

Normas

Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y, en caso de que un miembro del equipo falte o no se entreguen los documentos que avalen sus operaciones o los que solicite tu docente, él resolverá la situación de acuerdo a su criterio.



86

MIVSesión A: Funciones polinomiales. La función linealSaberesDel saber

• Caracterizo las funciones polinomiales de una variable con el fi n de identifi car sus componentes.

• Describo las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero y uno, junto con sus parámetros para identifi car sus gráfi cas.

Del saber hacer

• Distingo los grados, coefi cientes y constantes de las funciones polino-miales de grado cero y uno para representarlas gráfi camente.

• Aplico los modelos lineales para la resolución de situaciones hipotéticas y/o reales en diferentes áreas.

Del saber ser

• Aporto puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma refl exiva y tolerante.

• Muestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compa-ñeros en la resolución de los problemas aplicativos.

• Valoro las utilidades de los modelos lineales en diversos problemas prác-ticos.

Problematización En muchos aspectos de nuestras vidas hemos tenido o estado presentes en situacio-nes que se pueden comprender matemáticamente con funciones, en particular con funciones lineales, por ejemplo los días de la semana y la hora de entrar a clases. Los días se pueden entender en función de la hora de entrada a clases, teniendo en cuenta que todos los días se entra a las 7 de la mañana, o cuando andamos en bicicleta, si pedaleamos de manera constante podemos defi nir la velocidad en función del tiempo, y así podemos encontrar otros ejemplos. Ahora recordaremos las características de una ecuación lineal, cómo grafi carlas y su relación con una función lineal. Teniendo esto en cuenta, ¡comenzamos!

Una vez concluidas las aplicaciones para las funciones inversas y las transformaciones gráfi cas, podemos dirigirnos a la siguiente ramifi cación del cur-so. En este caso las funciones polinomiales.

Así como se analizó en el curso de Matemáticas I, específi camente en el bloque “Álgebra de polinomios”, en este caso los manejaremos de igual forma; sin embargo aquí abordaremos las funciones polinómicas, es decir, cada polinomio de

Matemáticas IV

87


una variable puede dar origen a una función polinómica que contenga a esa misma variable. Por ejemplo, el siguiente polinomio de una variable f x x x( ) = − +3 2 52 pue-de dar origen a una función polinomial (que defi niremos de manera general más adelante) de la forma f x x x( ) = − +3 2 52 o y x x= − +3 2 52 .

Recuerda también que los polinomios se pueden clasifi car por su grado o potencia, así que las funciones polinomiales serán clasifi cadas así. Además, cada una de las funciones polinomiales dará origen a diferentes representaciones gráfi -cas. Esto es precisamente lo que abarcará este bloque, a saber, la representación de las funciones polinomiales y sus aplicaciones en diferentes disciplinas.

Para entrar en sintonía sobre las aplicaciones de las funciones polinómi-cas, consideraremos la actividad de la siguiente sección.

Actividad de aprendizaje 1Comenta y detalla la siguiente situación: Una empresa de taxis aplica sus tarifas de la siguiente manera: al subir al taxi el usuario ya debe por el “ban-derazo” $2 y, a medida que pasan los minutos de circulación, la tarifa va en aumento; por ejemplo, tras pasar 5 minutos el usuario ya debe $10, y al pa-sar 10 minutos ya deberá $18. Si la tarifa para cualquier usuario se conserva con estos datos, responde lo siguiente:

a) ¿Cuánto pagará un usuario tras abordar el taxi por 15 min?

b) Si un usuario pagó $34, ¿cuántos minutos había abordó la unidad?

Tras discutir sus opiniones con su profesor, lleguen a un consenso sobre las posibles soluciones y las argumentaciones que destaque el profe-sor, esto con el fi n de que puedan adquirir destrezas al resolver problemas aplicativos.

Una vez adentrados en los contenidos aplicativos que se verán en esta sesión, solo resta recalcar que necesitamos los conceptos básicos antes de dar una solución matemática al problema de la actividad anterior. Así que te invitamos a refl exionar en las competencias que se te evaluarán en esta sesión.

Anteriormente se señaló que una función polinomial puede generarse de un polinomio de una variable pero, ¿cómo quedan organizadas y estructuradas estas funciones?


Las funciones polinomiales. ElementosDamos inicialmente un recordatorio sobre la conformación de un polinomio de grado n.

La expresión de una variable de la forma

a x a x a x a x a x ann

nn

nn+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + +−

−−

−1

12

22

21 0 ,

88

MIVdonde a a a a a an n n, , , , , ,− − ⋅ ⋅ ⋅1 2 2 1 0 son números reales y an ≠ 0, representa un polino-mio de grado n.

El grado del polinomio es determinado por la potencia mayor de la varia-ble en cuestión. En este caso es n.

Una función polinomial de grado n se conforma por

f x a x a x a x a x a x ann

nn

nn( ) = + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + +−

−−

−1

12

22

21 0 ,

donde n es un número que cumple que n∈ { }� ∪ 0 y an ↑ 0 . El término an se denomina coefi ciente o término principal del polinomio, y el término a0 es el término independiente. El dominio consta de todos los números reales o R.

Cuando tenemos que f x( ) = 0 es una función polinomial de grado n. Todo

aquel valor x0 que satisface a la ecuación f x( ) = 0 , se llama raíz, cero o solución de la ecuación.

Si tomamos diferentes potencias n en la defi nición de la función polino-mial, entonces podemos obtener diferentes caracterizaciones de funciones polino-miales; por ejemplo, consideremos los valores de n = 0, 1 y 2, de donde la forma general de la función polinomial quedará:

N f x( ) f x( ) Función

0 a0 c Constante

1 a x a1 0+ mx b+ Lineal

2 a x a x a22

1 0+ + ax bx c2 + + Cuadrática

Cabe señalar que las funciones se han colocado como quedarían las res-pectivas funciones polinomiales, y a la derecha se han colocado las representacio-nes más utilizadas para cada una de ellas, aunque ambas son equivalentes en cada caso, así como sus respectivos nombres.

En esta primera sesión estudiaremos la función constante y lineal, aun-que con mayor profundidad la función lineal. De esta tabla se desprende que las funciones constante, lineal y cuadrática son casos especiales de la función polino-mial. Obviamente se obtendrán más tipos de funciones polinomiales de grado ma-yor a 2, cuando n > 2 , pero estos casos se estudiarán en los bloques subsecuentes.

Matemáticas IV

89


Función constante y función linealLa función constante (cuando n = 0) ya ha sido tratada en el bloque 2, aquí sólo recordaremos sus características principales.

La función constante es de la forma f x c( ) = , donde c es un valor

constante y c x R, ∈ . Su rango es el único valor c . Esta función no es inyec-tiva ni suprayectiva.

Recuerda que la función constante tiene como gráfi ca a una línea hori-zontal que corta al eje Y en el valor de c .

Pasemos a la segunda función en cuestión, cuando n = 1.

La función lineal o de primer grado es de la forma f x mx b( ) = + ,

donde m b x, , R∈ y m b, son constantes. Su rango es R . Esta función es biyectiva.

Cuando se analizaron las ecuaciones de la recta en el curso de Matemá-

ticas III se distinguió que la ecuación general de la recta Ax By C+ + = 0 se podría transcribir a la forma ordenada al origen (si B ↑ 0 ), la cual adquiría la forma

y xAB

CB

= − − o mejor conocida como y mx b= + . Relacionando esto se compren-de que la gráfi ca de la función lineal, como su nombre lo indica, es una recta. Además, el valor de m representa el valor de la pendiente o razón de cambio de la recta o, más bien, de la representación gráfi ca de la función lineal. El valor b representa la ordenada al origen, es decir, la ordenada del punto de intersección de la gráfi ca con el eje Y.

Recuerda que una ecuación es una igualdad entre una o más variables, Recuerda que una ecuación es una igualdad entre una o más variables, y una función es una regla de correspondencia.y una función es una regla de correspondencia.

Consideremos la función lineal f x x( ) = +3 2 . Notamos que en este

caso m = 3 y que b = 2 . Además, en el curso de Matemáticas III se estudió que m = tanθ , es decir, la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la gráfi ca de la recta. Por lo tanto, tenemos que 3 = tanθ , por lo que tan− ( ) =1 3 θ , de donde θ = °60 . Con esto sabremos que la gráfi ca de la recta que representa esta función lineal tocará al eje Y en y = 2 y su ángulo de inclinación es de 60°. La grá-fi ca es la siguiente:

Recuerda que cuando

m > 0 la recta está inclinada a la derecha, es decir, es cre-ciente; cuando m = 0 la recta es constante, y si m < 0 la recta está inclinada a la derecha, es decir, es decre-ciente.

90

MIV

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

θ=60°

f(x) = 3x + 2

FIGURA 3.1. Gráfi ca de la función lineal f x x( ) = +3 2 .

Ahora pasemos a las aplicaciones que surgen de esta función lineal.

Es importante comentar que:

La función constante con c ↑ 0 no tiene raíces o ceros, es decir, no toca al eje X en ningún momento.

La función lineal, donde m ↑ 0 tiene como grado uno (n = 1) en su variable, indica que tendrá una raíz o cero. Es decir, su intersección con el eje X es en un solo punto.

Aplicaciones de la función lineal. Modelos linealesLas aplicaciones de este tipo de función son muchas, aquí te mostraremos algu-Las aplicaciones de este tipo de función son muchas, aquí te mostraremos algu-nas que te serán de utilidad y te mostrarán las maravillas de las Matemáticas. nas que te serán de utilidad y te mostrarán las maravillas de las Matemáticas. La información que se recaba de mediciones o investigaciones proporciona datos La información que se recaba de mediciones o investigaciones proporciona datos que necesitan ser procesados para una mejor comprensión. En varios fenómenos que necesitan ser procesados para una mejor comprensión. En varios fenómenos de la vida real o de la naturaleza se utiliza la relación entre dos variables que no de la vida real o de la naturaleza se utiliza la relación entre dos variables que no tienen relación exacta, es decir, las parejas coordenadas que forman los datos tienen relación exacta, es decir, las parejas coordenadas que forman los datos al ser representados gráfi camente no quedan todos sobre una recta o una curva al ser representados gráfi camente no quedan todos sobre una recta o una curva uniforme. En caso de que los datos se ajusten de forma lineal se emplearán los uniforme. En caso de que los datos se ajusten de forma lineal se emplearán los modelos linealesmodelos lineales. .

Seguramente en cursos de Física habrás escuchado o utilizado las escalas de temperatura de los grados Celsius y Fahrenheit. Con ellas se pueden cambiar las mediciones de temperatura entre unidades, por ejemplo, 100°C equivalen a 212°F. ¿Recuerdas las fórmulas de conversión entre estos dos sistemas? Posiblemente no, pero ¿qué te parece, como buenos matemáticos, si las “redescubrimos”? Parece complicado, pero fíjate en el proceso y descubrirás todo lo contrario. Tenemos los conocimientos y habilidades para hacerlo, solo nos falta la actitud. Así que ¡vamos por esas fórmulas!

Matemáticas IV

91


Ejemplo 1: Deduce las fórmulas que relacionan las escalas de grados Cel-sius y Fahrenheit, sabiendo que están relacionadas linealmente y tomando como datos que el agua se congela a 0°C o a 32°F; además hierve a 100°C o a 212°F.

Solución:

Con los datos recabados podemos utilizar los valores de los puntos de congelación y de ebullición del agua, de manera que las relacionaremos como coordenadas del tipo (c, f), en donde c son valores de °C y f de °F. Llamemos C a la coordenada del punto de congelación y E al de ebullición. Estas coordenadas serán C(0, 32) y E(100, 212). Tomando en cuenta que la relación entre las temperaturas es lineal, podremos encontrar, en primer lugar, la razón de cambio o pendiente entre las coordenadas C y E. Esta se encontrará al utilizar la fórmula de pendiente dados dos puntos, a saber:

m y yx x

= = −−

tanθ 2 1

2 1

Sólo que en nuestro caso son coordenadas del tipo (c, f). Usando esta relación tenemos:

m = = =−−

212 32100 0

180100

95

Una vez obtenida la razón de cambio procedemos a determinar la re-lación lineal y, cómo una ecuación puede generar una función, si calculamos la ecuación de la recta de los puntos C y E entonces podremos determinar la función lineal entre ellos. Ahora utilizaremos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente, es decir:

y y m x x− = −1 1( )

En este caso utilizaremos el punto C. Sustituyendo los valores en la fórmula:

f c− = −( )32 095

f c− =32 95

f c= +95

32

Si despejamos la variable c de esta ecuación tendremos c f= −( )59

32 . Si colocamos variables con letras mayúsculas entonces obtendremos las fórmulas que se analizan en Física para convertir de °C a °F o viceversa:

° = ° +F C95

32

° = ° −( )C F59

32

¿Las recuerdas ahora? ¿Sorprendido de que hayamos logrado comprender de dónde surgen estas fórmulas?

92

MIVCabe recalcar que este método sólo es funcional cuando los datos tienen

un comportamiento lineal; por ello, es necesario distinguir esto en nuestros pro-blemas, ya que de otro modo nuestras soluciones no serán las correctas o carece-rán de sentido.

Esta es una de las aplicaciones que tiene la función lineal, pero no sólo se aplica en las Matemáticas o en la Física, sino también en otros aspectos de nuestra vida cotidiana. Para evidenciarlo vamos a considerar la actividad del inicio del blo-que. Aquí la resolveremos analíticamente y la consideraremos como otro ejemplo.

Ejemplo 2: Determina una función lineal y responde a las preguntas de la Actividad de aprendizaje 1, considerando que los datos se comportan de forma lineal.

Solución:

Como los datos se comportan de manera lineal, podremos utilizar el mé-todo anterior, salvo que en este caso consideremos lo siguiente respecto a las variables:

• La variable x representará el tiempo en minutos del uso del servicio de taxi.

• La variable y representará el costo generado en $ tras utilizar el taxi después de una cantidad x de minutos

Primero obtenemos la razón de cambio de los datos, los cuales serán da-dos en la forma (x, y). Estos son dados en coordenadas A(0, 2) y B(5, 10). Otro valor que podría ser considerado sería C(10, 18), pero con dos nos basta, pues sabemos que el comportamiento es lineal.

m = =−−

10 25 0

85

y x− = −2 085

( )

y x= +85

2 o

f x x( ) = +85

2

Esta última será la relación o función lineal que relaciona el tiempo de uso x con el costo de uso y de los taxis de la compañía. Ahora podremos obtener una gráfi ca de esta ecuación con la ayuda de una tabla, con el fi n de visualizar

nuestra función. Aquí se observa que m = 8 5 y b = 2 .

Matemáticas IV

93


-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

FIGURA 3.2 Representación de la función lineal del problema de la compañía de taxis.

Señalamos que no se representaron valores de x negativos puesto que generalmente no existen valores negativos para el tiempo (recuerda que x repre-senta el tiempo en minutos). Respondamos las preguntas dadas.

a) ¿Cuánto pagará un usuario tras abordar el taxi por 15 min?

b) Si un usuario pagó $34, ¿por cuántos minutos abordó la unidad?

Respondemos la primera. Dado que nos dan como dato x = 15, nos

falta hallar y. Este valor se sustituye en la relación y x= +85

2 , es decir,

y = + = + =85

15 2 24 2 26( ) . Así, el usuario deberá pagar $26 tras un uso de 15 min.

Para responder la segunda pregunta hemos de calcular x, ya que nos dan y = 34. Así que sustituimos este valor y despejamos el valor de x solicitado.

Es decir, 34 285

= +x , de donde 34 2 85

− = x y, fi nalmente, 58

32( ) = x , de donde x = 20. Esto indica que el usuario que pagó $34 es porque utilizó el servicio durante 20 minutos.

Con este ejemplo es necesario que ahora consideres una actividad en donde emplearás los métodos estudiados anteriormente.

Actividad de aprendizaje 2En parejas formadas por tu profesor, respondan las interrogantes que se generarán de la problemática siguiente. Al sumergirse en el mar un buzo experimenta cierta presión en libras por pulgada cuadrada y, a medida que se tiene una mayor profun-didad en metros, mayor será la presión que resistirá su cuerpo. De esta manera, ha recabado los siguientes datos con base en su experiencia e instrumentos: al descender 10 m la presión es de 30 lb/pul2, y cuando desciende a una profundidad

de 40 m tendrá una presión de 75 2 lb pul .

Consideren las variables de la siguiente forma: x representa la profundi-dad en metros, y representa la presión en lb/pulg2. Con estas premisas, y conside-rando que los datos se comportan de forma lineal, obtengan:

Recuerda que pode-

mos grafi car utilizando la pendiente como razón de cambio. La b representa la ordenada al origen, es decir, la ordenada del punto de intersección de la gráfi ca con el eje Y.

94

MIVa) La razón de cambio obtenida por estas variables

b) La función lineal generada con los datos

c) La presión que tendrá un buzo al sumergirse a 55 m

d) La profundidad a la que ha de sumergirse un buzo para experimentar

una presión de 35 2 lb pul

e) La representación gráfi ca de la función lineal dada en el inciso b

Cuando los datos se agrupan de forma que no se relacionan linealmente, se necesita realizar una aproximación que trate de ajustarlos en una recta, de manera que pase muy cerca de la mayoría de los datos grafi cados. El método para realizar esto se conoce como correlación lineal, pero que no abarcaremos en esta obra.

Actividad de aprendizaje 3A continuación se proponen algunas situaciones que te servirán para practicar las funciones y los modelos lineales, con el fi n de que puedas relacionarte con tu pro-fesor y compañeros.

1) Cierto modelo de automóvil tiene un tanque de gasolina con una capa-cidad de 50 litros. El rendimiento de este auto es de 20 km por litro de combustible. La compañía de autos sabe que la relación lineal entre la cantidad de combustible y que resta tras haber recorrido cierta distan-

cia x está dada por la función f x x( ) = −100020 . Suponiendo que un auto

de este modelo tiene su tanque lleno, obtén lo que se te pide en cada inciso:

a. ¿Cuántos litros de gasolina quedarán tras haber recorrido 0, 50, 100, 500 y 1000 km respectivamente?

b. Con las coordenadas obtenidas en el inciso anterior, representa la gráfi ca de la función lineal.

c. Calcula el valor de m y b en la función.

d. ¿Qué ángulo de inclinación θ tiene la recta?

2) Una pizzería contrata a sus repartidores con un sueldo de acuerdo a la

relación f x x( ) = +10 100 , donde x representa los días trabajados desde 1 hasta un máximo de 7.

a. Determina el pago que tendrá un repartidor si trabaja durante 1, 2, 3,4, 5, 6 o 7 días a la semana.

b. Representa gráfi camente la situación.

c. Argumenta de diferentes maneras por qué la función es creciente o decreciente.

3) Una empresa que vende bicicletas tiene 500 en existencia al iniciar el mes. Si se sabe que diariamente vende 16 de ellas, encuentra la función lineal que determine la cantidad de bicicletas que hay en existencia en cualquier día x del mes. (Considera el mes de 30 días). ¿Cuántas bicicletas quedarán tras fi nalizar el mes? ¿Cómo se representa esto en la gráfi ca?

Matemáticas IV

95


4) En una industria de zapatos el costo total C(x) para producir un nú-mero determinado x de zapatos se calcula mediante la función

C x x( ) = +75 20000 . Determina:

a. El costo de realizar 5000 zapatos.

b. ¿Cuál es el costo de cada zapato?

c. ¿Cuál es el gasto fi jo o costo fi jo que realiza esa industria?

5) La siguiente tabla de datos lineal se refi ere a la antigüedad en años y al precio de venta, en miles de dólares, de una serie de 3 máquinas excavadoras.

Antigüedad x Precio y

10 30

5 43

2 55

a. Encuentra la razón de cambio de los datos.

b. Calcula la función lineal que determine el precio de la máquina en función de su antigüedad.

c. Si una máquina tiene una antigüedad de un año, ¿cuál será su precio?

d. Si nos venden una máquina a 38 mil dólares, ¿de qué antigüedad será probablemente?

Síntesis1) Determina la función lineal que pasa por los puntos ( , )2 2 y ( , )−3 4 .

2) Si f x x( ) = +2 3 , obtén el resultado de f f

f

( )

( )

1

0

12− ( ) .

3) Dada la ecuación lineal 3 4 9 0y x− + = , determina:

Su pendiente y ordenada al origen.

Expresa la ecuación lineal como una función lineal y grafícala para el

intervalo − 1 2, .

4) ¿Cuál es la función lineal de la siguiente gráfi ca?

96

MIV7

6

5

4

3

2

1

− 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

5) Las siguientes parejas forman parte de la gráfi ca de una función lineal, en cada caso obtén la razón de cambio y las ecuaciones respectivas.

a. 3 0 1 9, , ,( ) ( )

b. 6 1 1 2, , ,( ) − −( )

c. 2 3 4 5 7, , ,( ) −( )

d. 0 2 7 3 5 4 11, , ,( ) −( )

e. 2 2 5 5, , ,−( ) −( )

6) Representa gráfi camente cada una de las ecuaciones lineales obtenidas en el ejercicio anterior.

7) Describe los elementos m y b de cada ecuación obtenida en el ejercicio 5.

8) En cierta población la temperatura ambiente al nivel del mar es de 29°C. Para las altitudes comprendidas entre 0 y 8 km la temperatura

se obtiene mediante la función lineal T a a( ) = −29 3100 , donde a es la

altitud dada en metros y T está dada en °C.

a. Calcula la temperatura del aire para esa población a una altura de 3 km.

b. Determina la altitud para encontrar una temperatura de 25°C.

c. ¿Es una función creciente o decreciente?

9) El costo de construcción de un apartamento, según una compañía cons-tructora, depende de la cantidad de metros cuadrados por construir. Si el costo está dado por C en pesos y la cantidad de metros cuadrados es

x, entonces la relación lineal es: C x x( ) = +400 25000 .

Matemáticas IV

97


a. Calcula el costo de construcción de un apartamento que tendrá 3700 m2.

b. Si la constructora sólo tiene para gastar un total de $1,800,500, ¿de cuántos metros cuadrados será el apartamento a cons-truir con esos recursos?

10) Una tienda tiene los siguientes gastos anuales en mantenimiento, sueldos y otros varios en miles de pesos.

Año 2006 2007 2008

Gastos (miles de pesos) 90 135 180

a. Encuentra la razón de cambio de los datos.

b. Calcula la función lineal que determina el gasto en función del tiempo (años).

c. ¿Cuál será el gasto para el 2011?

d. ¿En qué año se tendrá un gasto de 360 mil pesos?

11) En una población A de bacterias se tiene que al primer mes hay una población de 3 millones, y a los 4 meses hay 9 millones de bacterias. En una población B de bacterias a los cero meses hay 9 millones y al primer mes hay 7 millones de bacterias. Suponiendo que tienen un comporta-miento lineal:

a. Con base en los datos que se proporcionan determina la función lineal del total de la población en función del tiempo (meses) para la población A.

b. ¿Cuál será la cantidad de bacterias para la población A después de 8 meses?

c. ¿A los cuántos meses la población A tendrá 12 millones de bacte-rias?

d. Con base en los datos que se proporcionan determina la función lineal del total de la población en función del tiempo (meses) para la población B.

e. ¿Cuál será la cantidad de bacterias para la población B después de 3 meses?

f. ¿A los cuántos meses habrá desaparecido la población B?

g. Con ayuda de las funciones lineales de las poblaciones A y B, de-termina en qué mes las dos poblaciones son iguales y cuál sería la cantidad de bacterias.

h. Realiza una tabla de valores para cada una de las funciones A y B en el intervalo [0, 4].

i. Realiza la gráfi ca de la intersección de las dos funciones.

98

MIVSesión B: La función cuadráticaSaberesDel saber

• Describo las características algebraicas de las funciones polinomiales de grado dos junto con sus parámetros para identifi car sus gráfi cas.

• Identifi co los grados, coefi cientes y constantes de las funciones polino-miales de grado dos para representarlas gráfi camente.

Del saber hacer

• Calculo las raíces de funciones cuadráticas.

• Aplico los modelos cuadráticos para la resolución de situaciones hipoté-ticas y/o reales en diferentes áreas.

• Encuentro los valores máximos y mínimos de funciones cuadráticas y los aplico en situaciones de la vida cotidiana.

Del saber ser• Valora las utilidades de los modelos cuadráticos en diversos problemas

práticos.

• Reconozco mis errores en la utilización de los modelos cuadráticos y muestro disposición para solucionarlos.


Problematización Como vimos en la sesión anterior, hay situaciones cotidianas que podemos com-prender mediante funciones lineales. En esta sesión veremos problemas en los cuales se aplicarán modelos cuadráticos, por ejemplo, cuando lanzamos algún ob-

jeto podemos calcular la altura máxima del lanzamiento, o cuando juegas fútbol y pateas el balón por encima de tus com-pañeros. Si observamos a nuestro alrededor podemos encon-trar que en muchas estructuras se construyen arcos o parábo-las, por ejemplo, en los arcos del Palacio Municipal de tu comunidad o en la construcción de puentes. Al principio del bloque se te presentó una situación de un niño que suelta una piedra en un pozo; tu maestro, tus compañeros y tú dialoga-ron sobre unas preguntas y les dieron respuesta.

En esta sesión vamos a recordar las características de las ecuaciones cuadráticas, su relación con la función cuadrática, su vértice como valor máximo o mínimo, sus raíces, y su aplicación para resolver modelos cuadráticos.

Matemáticas IV

99


Desarrollo de saberesYa se ha señalado cómo queda establecida la función constante y lineal. Ahora toca analizar la función cuadrática, la cual tiene la expresión que sigue:

La función cuadrática o de segundo grado es de la forma

f x ax bx c( ) = + +2 ,

donde a b c x R a, , , ,∈ ≠ 0 y a b c, , son constantes. Esta función no es inyectiva ni suprayectiva.

Ya estudiada esta ecuación en cursos anteriores de matemáticas. ¿Re-cuerdas cómo resolver una ecuación de una incógnita de segundo grado de la forma

ax bx c2 0+ + = ? Quizá no, pero recuerdas la fórmula

x b b aca

= − ± −2 42

Estamos recordando algo, ¿verdad? Esta es la fórmula general de segundo grado que, como su nombre lo indica, es la relación que nos sirve para resolver la

ecuación ax bx c2 0+ + = . ¿Recuerdas cuántas formas diferentes de solución tiene? ¿Cómo es su representación gráfi ca? Las respuestas a estas preguntas nos servirán para introducir de forma más contundente la sesión.

Actividad de aprendizaje 4De forma individual, calcula las soluciones usando la fórmula general en cada una de las ecuaciones cuadráticas y represéntalas en los ejes coordenados. Es decir, calcula las raíces o ceros de las ecuaciones respectivas.

a) 2 3 02x x+ + =−

b) x x2 4 4 0+ + =

c) 3 2 1 02x x+ + =

Una vez que has concluido con esta serie de aplicaciones de la fórmula general, ¿podrás representar las gráfi cas de cada una de las ecuaciones con el simple hecho de saber cuáles son las raíces o dónde toca al eje X? Recuerda que las gráfi cas de las funciones cuadráticas son las parábolas. Además existen las pa-rábolas verticales, que tienen sus ramas hacia abajo o abren hacia abajo, y las que abren hacia arriba. Aquí unos ejemplos de ambas:

Recuerda tomar de

forma correcta los valores de a, b y c en las ecuaciones para sustituirlas en la fórmula general.

100

MIV

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Abre hacia arriba

Abre hacia abajo

FIGURA 3.3. Parábolas verticales con ramas hacia abajo y hacia arriba.

De las parábolas cuyas raíces has obtenido, ¿cuáles son verticales hacia arriba o hacia abajo? ¿Cuáles serán sus vértices?

Con estas preguntas guía nos encontramos en los terrenos de las funcio-nes cuadráticas, sólo resta analizar algunos conceptos de importancia en el estudio de estas funciones.

Elementos y representación gráfi ca de la función cuadráticaYa has realizado una actividad introductoria a las representaciones gráfi cas de las funciones cuadráticas en las ecuaciones:

a) 2 3 02x x+ + =-

b) x x2 4 4 0+ + =

c) 3 2 1 02x x+ + =Al resolverlas mediante la fórmula general debiste obtener las siguientes

soluciones:

a) x x1 23 2 1= = −,

b) x = −2

c) No hay solución en los reales, pues se llega a tener la siguiente raíz −8

Al representar esos ceros en el eje X se indica que una ecuación cuadráti-ca puede tener 2, 1 o 0 intersecciones en dicho eje. Tomando esto como funciones cuadráticas podemos concluir, como en el caso de las funciones constantes y linea-les (n = 0 y n = 1, respectivamente), que:

LaLa función cuadrática función cuadrática tiene como grado dos (n = 2) en su variable, lo tiene como grado dos (n = 2) en su variable, lo que indica que tendrá dos, una o ninguna raíz. Es decir, su intersección con el que indica que tendrá dos, una o ninguna raíz. Es decir, su intersección con el eje X puede ser de dos puntos a lo más.eje X puede ser de dos puntos a lo más.

Matemáticas IV

101


En cuanto a la orientación de las parábolas que describirán las funciones cuadráticas, se ofrecen los siguientes enunciados:

• La forma más simple de una función cuadrática es f x ax( ) = 2 , que es simétrica al eje Y.

• En su forma general f x ax bx c( ) = + +2 , la gráfi ca siempre es simétrica con respecto a una recta vertical.

• Cuando su término principal es positivo la parábola abre hacia arriba, es decir, cuando a > 0.

• Cuando su término principal es negativo la parábola abre hacia abajo, es decir, cuando a < 0.

Comprobamos estos enunciados al dar las respectivas gráfi cas de las tres funciones anteriores.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f(x) = x2 + 4x + 4 f(x) = 3x2 + 2x + 1

f(x) = −2x2 + x + 3

FIGURA 3.4. Representaciones de tres funciones cuadráticas con diferente número de ceros.

Resta dar las localizaciones de los vértices de cada una de ellas; para este propósito damos el siguiente resultado:

El vértice de una parábola dada por una función cuadrática de la

forma f x ax bx c( ) = + +2 está dado por la relación

V fba

ba

− −( )( )2 2,

Así, con esta información es posible representar de forma completa las funciones cuadráticas. Veamos algunos ejemplos.

102

MIVEjemplo 1: Representa las gráfi cas de las funciones siguientes, determi-

nando:

i. Para qué lado abre

ii. Su vértice

iii. Sus ceros

iv. Algunos puntos tabulados

v. Su rango

a. f x x x( ) = − +3 92

b. f x x x( ) = + −2 3 2

Solución:

a) Aquí se tienen las constantes a b= − =3 9, y c = 0

i. Como a = − <3 0 , entonces es una parábola que abre hacia abajo.

ii. El vértice es:

V f V f V f V− −( )( ) = ( )( ) = ( )( ) = −− −

−−

−−

92 3

92 3

96

96

32

32

32

32

3( ) ( )

, , , , (( ) + ( )

= ( )2 3

232

274

9 V ,

iii. Usando la fórmula general para las constantes se tendrán dos so-

luciones o ceros, x1 0= y x2 3= .

iv. Construimos una tabla de valores, generalmente cerca del punto

− = =ba2

32

1 5. . Una tabulación junto con sus valores será:

xy x x= − +3 92

−1 −12

0 0

1 6

1.5 27 4

2 6

3 0

4 −12

Matemáticas IV

103


Una vez recabados estos datos podremos realizar una representación de la función:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

y=-3x2+9x

V(3/2, 27/4)

FIGURA 3.5

i. Con ayuda de la gráfi ca podremos obtener su rango, que será

C = −∞( , 274

, es decir, para valores de y ″ 274

.

a. En este caso se tiene que a = 1 , b = −2 y c = 3 . Por lo que:

ii. Al ser a = >1 0 , entonces abre hacia arriba.

iii. V f V f V− −( )( ) = ( ) = ( )− −22 1

22 1

1 1 1 2( ) ( )

, , ( ) ,

iv. Las raíces no existen, pues al aplicar la fórmula general se obtie-ne la raíz de un negativo. Es decir, la gráfi ca no tocará al eje X.

v. Una tabla sería:

X Y

− 1 6

0 3

1 2

2 3

3 6

104

MIVLa representación gráfi ca será:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

v(1,2)

y=x2−2x+3

FIGURA 3.6

vi. El rango es C = ∞ )2, , es decir, para valores de y ≥ 2 .

Una vez que se ha señalado la forma de representar la función cuadráti-ca, procedemos a determinar sus aplicaciones.

Máximos y mínimos. Modelos cuadráticosEntre las aplicaciones de las funciones cuadráticas está el cálculo de sus valores máximos y mínimos, los cuales se encuentran en los vértices de las parábolas. De lo anterior se tiene que:

En una función cuadrática de la forma f x ax bx c( ) = + +2, se tiene que:

Si a > 0 hay un valor mínimo en el punto x b

a0 2= −

y cuyo valor es f b

a−( )2

Si a < 0 hay un valor máximo en el punto x b

a0 2= −

y cuyo valor es f b

a−( )2

La función cuadrática se utiliza mayormente en situaciones de modelaje de optimización, es decir, para hallar valores máximos o mínimos. Así que cuando un problema de modelaje cuadrático requiera obtener una optimización, se trata-rá de un valor máximo o mínimo.

Con estos conceptos entramos a los modelos cuadráticos, los cuales se darán mediante ejemplos aplicativos.

Matemáticas IV

105


Ejemplo 2: Cierto cultivo de hongos tiene un crecimiento parabólico de-bido a su tiempo de reproducción y de vida, de manera que P representa la can-tidad de hongos de acuerdo al tiempo t transcurrido en semanas, P t t t( ) = −12 2 . Con base en este modelo cuadrático, predice el tiempo en que habrá un máximo de hongos.

Solución: Tenemos que se trata de un modelo cuadrático donde a b c= − = =1 12 0, , , al tener el término principal negativo se tratará de un valor máximo.

Calculemos el valor donde se encuentra el valor máximo, esto es, la abs-cisa del vértice, o sea t b

a0 212

2 16= − = − =

−( )

De manera que al término de 6 semanas se esperará tener el número máximo de hongos, ¿cuál es este valor máximo? Este corresponde a la ordenada del

vértice, es decir P Pba

−( ) = = − =2

26 12 6 6 36( ) ( ) . Resumiendo este último paso se demuestra que deberá haber 36 hongos al término de las 6 semanas.

La gráfi ca del modelo cuadrático señala que cualquier otro valor de t diferente a 6 dará como resultado un valor menor a 36 en las ordenadas, así que el valor máximo se encuentra en t0 6= ; este valor máximo es 36.

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-10

10

20

30

40

t

P

V(6,36)Valor Máximo = 36

t0=6

FIGURA 3.7 Máximo de la función P t t t( ) = −12 2 .

Ejemplo 2: Se lanza un proyectil de prueba militar y se determina que la trayectoria que describirá está dada por el modelo cuadrático H t t t( ) = − +4 482 , donde H representa la altura en metros del proyectil respecto al nivel del cual es lanzado y t representa el tiempo en segundos de vuelo transcurrido del proyectil desde que es lanzado. Encuentra el tiempo en el que el proyectil alcanzará su máxima altura. Si t = 13, ¿a qué altura se encontrará el proyectil? ¿Qué signifi ca esto?

106

MIVSolución: Aquí a = −4 y b = 48 , donde se observa que el signo de a es

negativo, por lo que se tratará de un máximo. El tiempo en segundos requerido para alcanzar la altura máxima será t b

a0 248

2 46= − = − =

−( ). El valor máximo de al-

tura será entonces H Hba

−( ) = = − + =2

26 4 6 48 6 144( ) ( ) ( ) . Por lo visto el proyectil tardará 6 s para alcanzar una altura máxima de 144 m.

Respecto a la altura que tendrá el proyectil a los 13 s, tenemos que será

H( ) ( ) ( )13 4 13 48 13 522= − + = − . Esto indica que el proyectil estará a 52 m debajo del nivel de lanzamiento. Finalizamos este ejemplo con su gráfi ca respectiva.

-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35

-100

-50

50

100

150

t

H

V(6, 144)

t0=6

Valor Máximo = 144

(8, -52)

FIGURA 3.8. Gráfi ca de la función H t t t( ) = − +4 482 .

Estos dos primeros ejemplos nos dan idea de cómo se comporta un mode-lo cuadrático. En ambos casos el modelo ya estaba establecido, aunque en la ma-yoría de los problemas de optimización la función no está a la mano, razón por la que hay que recurrir a algunas herramientas matemáticas para plantear y relacio-nar las dos variables que conformarán el modelo cuadrático. Con este fi n te pre-sentamos un segundo par de ejemplos de optimización de este tipo. Observa el proceso que lleva a cada ejemplo a obtener su modelo.

Ejemplo 3: Se necesita cercar un te-rreno de forma rectangular que tiene un lado a la orilla de un barranco, por lo cual este lado no se cercará. En los dos lados laterales se uti-lizará alambrado y en el tercer lado, paralelo al barranco, se usará una malla ciclónica. El costo del alambrado es de $8 por metro lineal y el de la malla ciclónica de $12 por metro lineal. Se ha designado a un ingeniero un to-tal de $3600 para llevar a cabo la compra del material. ¿Cuáles serán las dimensiones (lar-go y ancho) que podrá tener el terreno para abarcar un área mayor utilizando los $3600 de recursos? ¿Cuál será el área?

Matemáticas IV

107


Solución: Primero debemos comprender que este problema se trata de optimización. ¿Por qué? Pues nos piden que maximicemos el área que abarcará el terreno ya cercado. O sea, deberemos calcular los valores de las dimensiones para maximizar el área.

En segundo lugar identifi caremos las variables en juego. Como se trata de un rectángulo en donde un lado no va a ser cercado, solo nos fi jaremos en tres de sus lados. Los lados laterales los identifi caremos con la variable x. El tercer lado, paralelo al barranco, será y. Tenemos, pues, una representación de la situación vista desde arriba:

Barranco

Área del terrenox x

y

FIGURA 3.9

De ello se observa que el área del terreno será:

A xy=

Esta es la función a maximizar, pero la función del área obtenida hasta ahora posee dos variables y solo hemos de trabajar con una. En este caso con la variable x. ¿Cómo podremos sustituir el valor de y, de forma tal que en nuestra función solo exista x? Para ello debemos encontrar otra relación entre las variables de donde podamos despejar la variable y.

La relación auxiliar sale de los costos del alambrado y malla. Como el costo del alambrado lateral es de $8 por metro y se va a cercar una longitud lateral

total de x x x+ = 2 metros, entonces el costo de los laterales será de ( )( )8 2 16x x= pesos. Respecto al tercer lado, el costo de la malla es de $12 por metro para una longitud única de y metros, así que el costo para ese lado es de $12y. Recuerda que el ingeniero tiene sólo $3,600 para comprar material, así que el costo total de los 3 lados a cercar es de:

16 12 3600x y+ =

Con esta segunda relación podremos despejar el valor de y para sustituir-la en la relación del área. Al despejar el valor de y se tendrá:

y xx= = −−3600 1612

43

300

Al sustituir este valor en la ecuación A xy= estaremos formulando la relación del área a una sola variable; veamos:

A xy x x x x= = −( ) = −300 30043

43

2

Al utilizar todos los datos arrojados por el problema fi nalmente hemos logrado modelar el problema a una función cuadrática con una variable. Ahora el ingeniero sólo tendrá que optimizar la función del área:

A x x x( ) = −300 43

2

108

MIVÉl obtiene el vértice de la parábola sabiendo que va a encontrar un máxi-

mo, pues el término principal es negativo. El vértice será:

V A V A V− −

= ( )( ) =−( ) −( )

3002 4 3

3002 4 3

2252

2252

112 5, , . ,,16875( )

El valor máximo estará en x = 112.5; el área máxima es de 16875. Que-da calcular el valor de la incógnita y. Sustituyendo x = 112 5. en y se tiene que

y = − ( ) =300 112 5 15043

. .

En conclusión, las dimensiones del terreno para maximizar el área a un costo de $3600 serán de 112.5 m de longitud lateral y 150 m de longitud paralela al barranco, obteniendo un área máxima de 16875 m2.

Ejemplo 4: Dos personas están separadas a una distancia de 200 m. Am-bas empiezan a caminar como se indica en la fi gura 3.10. La persona A camina a un ritmo de 40 m/s y B a un ritmo de 30 m/s. ¿Después de cuántos segundos estarán más próximas las dos personas si siguen esas direcciones y velocidades?

B 200 – 40t M 40t

30t D(t)

A

N

FIGURA 3.10

Solución: La persona A viaja a la izquierda y B hacia abajo. Se debe opti-mizar la distancia que existe entre ellas después de determinado tiempo, digamos t. Después de transcurrir el tiempo t la persona A llegará a un punto M, y la per-sona B a un punto N.

Recordando la fórmula de distancia estudiada en Física (v = d/t), podre-mos relacionar las distancias recorridas por ambas personas. La distancia d, cono-cida la velocidad v y el tiempo t de un cuerpo, se calcula por medio del despeje d = vt, así que la distancia que recorre A para llegar al punto M en el tiempo t es

de d tA = 40 ; la distancia que recorre B para llegar a N en ese mismo periodo es

d tB = 30 . Analizando la fi gura 3.10 y sabiendo que la distancia AB es de 200m, se tiene que la distancia BM t= −200 40 .

La distancia a optimizar es la que existirá entre los puntos M y N, llamé-mosla D. Por ahora determinemos la función del modelo cuadrático. Las variables son el tiempo t y la distancia D. Para ello observemos que el triángulo BMN es rec-

tángulo con hipotenusa MN = D y catetos BM t= −200 40 y BN t= 30 . Aplicando el teorema de Pitágoras se tendrá:

D BM BN2 2 2= ( ) + ( )

Matemáticas IV

109


D t t2 2 2200 40 30= −( ) + ( )

D t t2 22500 16000 40000= − +

D t t t( ) = − +2500 1600 400002

Esta es la función a optimizar, que tiene como variable al tiempo t en se-gundos. Como esta raíz cuadrada tiene una misma optimización que su subradical, bastará con optimizar el subradical, es decir:

d t t= − +2500 16000 400002

Aquí el valor óptimo de t será t016000

2 25003 2= − =−

( ). , es decir, el tiempo en

que se encontrarán más próximos será de 3.2 seg. Se observa claramente que en la función D(t) se determinará un mínimo, el cual es la distancia entre A y B. La distancia mínima es:

D( . ) ( . ) ( . )3 2 2500 3 2 16000 3 2 40000 14400 1202= − + = =

En conclusión dentro de 3.2 seg las personas A y B estarán lo más próximo una de la otra; esta distancia es de 120m. A cualquier otro segundo la distancia será mayor a 120 m. ¡Hemos realizado con éxito nuestra optimización!

Cabe señalar que cada problema de optimización tiene una forma di-Cabe señalar que cada problema de optimización tiene una forma di-ferente de llegar a su modelo cuadrático, por ello, para construir un modelo ferente de llegar a su modelo cuadrático, por ello, para construir un modelo matemático te recomendamos:matemático te recomendamos:

• Leer con cuidado el problema y entenderlo. Dibujar un diagrama si Leer con cuidado el problema y entenderlo. Dibujar un diagrama si es pertinente.es pertinente.

• Determinar las cantidades desconocidas y conocidas. Emplear varia-Determinar las cantidades desconocidas y conocidas. Emplear varia-bles para representar cantidades desconocidas.bles para representar cantidades desconocidas.

• Notar cuál variable va a ser optimizada.Notar cuál variable va a ser optimizada.

Con esta parte terminamos las indicaciones y conocimientos necesarios para generar las competencias requeridas en el bloque, así que para este propósito se han dispuesto una serie de situaciones y problemas de optimización para que plantees y resuelvas.

Actividad de aprendizaje 5Lee detenidamente cada uno de los siguientes ejercicios de funciones cuadráticas y, de ser posible, resuélvanlo en parejas.

1) Encuentra el valor del máximo o mínimo de cada una de las funciones. Representa tu solución de forma gráfi ca.

a. f x x x( ) = + −2 4 3 2

b. f x x x( ) = + +3 6 92c. f x x x( ) = ( ) − +( )1 2 4 9 122

d. f x x x( ) = −( ) + +( )1 2 8 82

110

MIV2) Una pelota es lanzada hacia arriba verticalmente con una velocidad

inicial de 96 m/s. La altura en metros del objeto después de t segundos

está dada por h t t t( ) = −96 16 2 .

a. Estima el tiempo en el que alcanza su máxima altura.

b. ¿Cuánto tiempo estará en el aire la pelota si se lanza desde el horizonte en un terreno llano?

c. Representa tus conclusiones de forma gráfi ca.

3) Un proyectil se lanza hacia arriba verticalmente desde una altura de 15 m sobre el piso horizontal, con una velocidad inicial de 176 m/s. La

altura alcanzada del proyectil se da por f t t t( ) = + −15 176 16 2 , donde t está dada en segundos.

a. Determina la altura máxima que alcanzará el proyectil y en qué tiempo.

b. ¿A los cuántos segundos caerá el proyectil al suelo?

4) Se va a construir una cerca de madera a un terreno rectangular. Si la cerca abarcará los cuatro lados del terreno rectangular que tendrá un perímetro de 240 m, ¿cuáles deberían ser sus dimensiones para tener un área máxima?

5) Utilizando funciones cuadráticas encuentra dos números cuya suma sea 10 y su multiplicación sea máxima.

6) Usando la función cuadrática halla dos números cuya resta sea 14 y su multiplicación sea mínima.

7) Calcula las raíces y vértices de las siguientes funciones cuadráticas y bosqueja su gráfi ca.

a. f x x x( ) = +2 3

b. f x x x( ) = − + +2 5 6

c. f x x x( ) = + +2 8 82

8) Relaciona las funciones con las gráfi cas de la parte inferior, justifi ca por qué le pertenece a esa gráfi ca.

a. f x x( ) = +2 4

b. f x x x( ) = + −2 6

c. f x x( ) = − +2 9

Matemáticas IV

111


10

8

6

4

2

− 2

− 4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4−3 −2 −1 1 2 3

8

6

4

2

−2

−4 −3 −2 −1 1 2 3

6

4

2

−2

−4

−6

−8

a. f x x x( ) = −2 4

b. f x x( ) = −2 3

c. f x x( ) = − +2 4

d. f x x x( ) = − + +4 8 82

e. f x x x( ) = + +2 4 12

f. f x x x( ) = ( ) + +( )1 8 4 20 492

9) Sea f x x( ) = +2 2 ; calcula el valor de f f

f( ) ( )

( )2 1

3+

10) Encuentra el valor de su máximo o mínimo, según sea el caso:

a. f x x x( ) = − −2 2 3

b. f x x x( ) = − + +2 2 12

c. f x x x( ) = − +2 3 1

SíntesisResuelve la siguiente serie de ejercicios aplicando las funciones cuadráticas. Cuan-do sea necesario trabaja en equipo.

1) Encuentra el valor de las raíces o ceros de las funciones en cada inciso.

a. f x x x x( ) = − −2

2 3

b. f x x x( ) = − −6 7 52

c. f x x x( ) = − +2 3 1

d. f x x x( ) = − + +2 1 22

2) Organícense en equipos para representar cada una de las siguientes funciones, obteniendo en cada una:

i. Sus raíces

ii. Su vértice

iii. Si abre hacia arriba o abajo

iv. Su gráfi ca

112

MIV3) Una fábrica de juguetes de plástico ha encontrado que si se venden a

cierto precio x en pesos, adquieren una ganancia G dada por la relación

G x x x( ) = −15000 750 2 .

a. ¿Cuál será la ganancia si los juguetes se venden a $4?

b. ¿Cuál es el precio necesario para obtener una ganancia superior?

c. ¿Cuál es esa ganancia máxima?

4) Una industria textil vende cierto tipo de camisetas a $50 cada una. El costo al producir una cantidad de x camisetas está dado por:

C x x x( ) = ( ) + +5 1000 10 450002

a. Determina el costo de producción de 14000 camisetas.

b. Obtén la función cuadrática que relacione la ganancia por cami-seta y halla el número de ellas para tener una ganancia máxima.

5) Un corral para gallinas debe tener 36 m de perímetro formado de alam-bre. Encuentra la función cuadrática que modele la situación si se quie-ren tener sus dimensiones para hallar un área máxima.

6) Si al cuadrado de un número se le resta ocho veces el mismo número da 33, ¿cuáles son los números?

7) Calcular el perímetro de un triángulo isósceles cuya área es de 60 m2 y los lados iguales miden 13 cm.

8) En una población de bacterias su comportamiento de vida está dado por

P t t t( ) = − +2 5 , donde P(t) es el total de la población en miles de bacte-rias y t representa el tiempo en meses.

a. ¿Cuál sería la población a los 1.5 meses?

b. ¿A los cuantos meses la población ha desaparecido?

c. ¿Cuál es la población máxima y en cuantos meses se alcanza?

9) Para las funciones del ejercicio 1, con ayuda del software Excel realiza una tabla para calcular los valores de y mediante fórmulas y realiza la gráfi ca mediante curvas de dispersión con líneas suavizadas.

Análisis de logrosEn esta parte te corresponde resolver los 5 ejercicios de la sección Evaluación diagnóstica planteados al inicio del bloque. A cada una de tus operaciones o solu-ciones debes darle una argumentación sólida de por qué se debe realizar de esa manera.

Una vez que hayas terminado y estés convencido de lo que has realiza-do, consulta las respuestas obtenidas con tu profesor y analicen el porqué de tus argumentos. Utiliza la misma regla vista en la refl exión para darte los puntajes y ubicarte.

Todo esto te servirá para determinar en qué nivel te encuentras después determinar el bloque. Así que, a continuación, coloca una X en el nivel apropiado y sigue preparándote para superarlo.



Matemáticas IV

113


RealimentaciónEn esta sección se propone una serie de ejercicios que contemplan las dos sesiones del presente bloque.

I. Subraya la respuesta correcta en cada inciso.

1) Con la pareja ordenada 3 1 4 2, , ,( ) −( ) se tiene una razón de cambio de:

a. m = 3 2

b. m = 3

c. m = −3

d. m = 1

2) Si una función lineal tiene una pendiente m = −3 7 , su gráfi ca será:

a. creciente

b. horizontal

c. vertical

d. decreciente

3) La función lineal dada por f x x( ) ( )= −3 5 10 tiene una intersección con el eje Y en:

a. −1 2

b. 5 10

c. 5

d. −5

4) La función cuadrática f x x x( ) = − + −2 4 52 tiene un valor:

a. mínimo en −1

b. mínimo en 1

c. máximo en −1

d. máximo en 1

5) El valor mínimo en la función f x x x( ) = − +2 2 1 es de:

a. 1

b. −1

c. 1/2

d. 0

114

MIVII. En cierta población se ha establecido que la relación lineal que existe entre

el peso en kg y la estatura en cm de los niños de edades de 0 hasta 4 años se da mediante la ecuación lineal 8 23x y− = . Mediante esta relación completa la tabla siguiente:

Peso x Altura y

3.1

56

5.6

73

7.9

III. En una granja se ha determinado que cierto tipo de carneros tienen un peso promedio de 5.6 kg al nacer, y al pasar 6 meses pesan en promedio 58.7 kg. Si el peso P está relacionado con el tiempo t en meses de forma lineal, entonces:

a) Expresa una función lineal del peso P en términos de la edad t.

b) Usando la relación anterior, ¿a qué edad pesarán los carneritos cerca de 75.3 kg?

c) Cuando un carnero tiene 7.5 meses, ¿cuánto debe pesar en promedio?

IV. Una máquina revolvedora de cemento cuesta originalmente $7200, pero al pasar 8 años su vida útil es nula, razón por la cual carece de valor alguno en pesos. Re-presenta una función lineal que relacione su valor V durante los 8 años t de vida útil.

V. Un hotel de Puerto Vallarta tiene 100 habitaciones en total. En tiempo de va-caciones tienen una promoción de $250 por cuarto y una ocupación completa. Sin embargo, si la renta la suben a $320, entonces solamente se ocupa un 78 por ciento. Supón que la relación entre ingreso diario I por la renta de los cuartos x es lineal.

a) Obtén la función lineal de los ingresos I del hotel en función de los cuartos ocupados x.

b) ¿Cuántos cuartos se ocuparían si se cobrara la renta a $270?

VI. Se va a construir una cerca de alambre a un terreno rectangular. Si la cerca abarcará los cuatro lados del terreno rectangular, que tendrá un perímetro de 100 m, entonces, ¿cuáles deberían ser sus dimensiones para tener un área máxima?

VII. Determina el vértice de cada función cuadrática y, de acuerdo al signo de su término principal, realiza un bosquejo de cómo sería su gráfi ca.

Matemáticas IV

115


a) f x x x( ) = + −2 6

b) f x x x( ) = − + −2 6 42

c) f x x x( ) = + +4 8 32

d) f x x( ) = −4 42

VIII. Con el procedimiento de modelaje, encuentra dos números de tal manera que su diferencia sea 40 y su producto sea mínimo.

IX. Cierta empresa ha detectado que el costo total C en la fabricación de x pro-

ductos de la misma clase está dado por C x x x( ) = + −2 10000 30 . Determina el nivel de producción para que el costo sea mínimo.

116

MIVEvaluación de mis competencias




5 3 1

Conocimientos

Identifi co las parejas de datos obtenidas tras la

medición de lo solicitado y comprendo la relación

entre ellos.

Reconozco la relación lineal existente entre

los datos de cada tabla y considero las parejas ordenadas necesarias para determinar la

función lineal.

Comprendo los elementos de la fórmula

punto-pendiente para determinar las

ecuaciones lineales de los datos de cada tabla.

Identifi co las parejas de datos obtenidas tras la

medición de lo solicitado.

Reconozco la relación lineal existente entre los datos de

cada tabla.

Comprendo algunos de los elementos de la fórmula punto-pendiente para

determinar las ecuaciones lineales de los datos de cada

tabla.

Identifi co con difi cultad las parejas de datos obtenidas

tras la medición de lo solicitado.

No reconozco la relación lineal existente entre

los datos de cada tabla ni considero las parejas

ordenadas necesarias para determinar la función

lineal.

No comprendo los elementos de la fórmula punto-pendiente para

determinar las ecuaciones lineales de los datos de

cada tabla.

Habilidades

Represento gráfi camente la serie de puntos

obtenidos en cada tabla.

Determino la ecuación lineal que se ajuste a cada una de las tablas al utilizar la fórmula

punto-pendiente. Represento esta

ecuación con la serie de puntos.

Puedo responder correctamente a las

cuestiones planteadas al utilizar la relación lineal calculada para

cada conjunto de datos.

Represento gráfi camente, aunque con difi cultades y pequeños errores, la serie

de puntos obtenidos en cada tabla.

Determino la ecuación lineal que se ajuste a cada una de las tablas al utilizar la fórmula punto-pendiente,

pero no la represento junto a la serie de puntos.

Respondo con ciertos problemas las cuestiones planteadas al utilizar la relación lineal calculada para cada conjunto de

datos.

No puedo representar gráfi camente la serie de puntos obtenidos en cada

tabla.

No puedo determinar la ecuación lineal que se

ajuste a cada una de las tablas al utilizar la fórmula

punto-pendiente.

No puedo responder correctamente a las

cuestiones planteadas al utilizar la relación lineal

calcu lada para cada conjunto de datos.

Matemáticas IV

117





5 3 1

Actitudes

Presento buena disposición al trabajo

colaborativo en el proyecto, además de

que aporto puntos de vista personales al mejoramiento del

trabajo.

Actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un ambiente

de respeto hacia mis compañeros y docente,

de manera que prevengo errores que mi equipo pueda generar y los

corrijo acertadamente, oportunamente y con

tacto.

Presento buena disposición al trabajo colaborativo en el

proyecto.

Actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, pero no prevengo errores

que mi equipo genera ni los corrijo.

Presento disposición discontinua al trabajo

colaborativo en el proyecto.

No actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un ambiente

de respeto hacia mis compañeros ni prevengo errores que mi equipo

genera.

Puntaje 15 9 3

118


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Caracterizo las funciones

polinomiales de una variable e identifi co sus componentes y enuncio las

relaciones entre ellos.

Describo las características algebraicas de las funciones

polinomiales de grados cero y uno, junto con sus parámetros para identifi car

sus gráfi cas.

Caracterizo las funciones

polinomiales de una variable e identifi co sus componentes.

Describo algunas de las características algebraicas de las funciones


sus gráfi cas.

Caracterizo las funciones polinomiales

de una variable sin identifi car

todos sus componentes.

Describo las características

algebraicas de algunas de las funciones


sus gráfi cas.

Caracterizo las funciones polinomiales

de una variable pero no

identifi co sus componentes.

Describo algunas de las características algebraicas de las funciones

polinomiales de grados cero y

uno.

No caracterizo las funciones

polinomiales de una variable ni identifi co sus componentes.

No describo las características algebraicas de las funciones polinomiales

de grados cero y uno, ni sus parámetros.

Habilidades

Distingo los grados,

coefi cientes y constantes de las funciones polinomiales

de grado cero, uno y dos para representarlas gráfi camente y aporto ideas que lleven a un

mejor análisis de ellas.

Aplico los modelos lineales y

cuadráticos para la resolución

de situaciones hipotéticas

y/o reales en diferentes áreas y las resuelvo

de manera hábil y de forma

independiente.

Distingo los grados,

coefi cientes y constantes de las funciones polinomiales

de grado cero, uno y dos para representarlas gráfi camente.

Aplico los modelos lineales y

cuadráticos para la resolución

de situaciones hipotéticas

y/o reales en diferentes áreas y las resuelvo con ayuda.

Distingo algunos de los grados, coefi cientes o constantes de las funciones polinomiales

de grado cero, uno y dos para representarlas.

Aplico los modelos lineales

y cuadráticos para la

resolución de situaciones hipotéticas

y/o reales en diferentes

áreas.

Distingo algunos de los grados,

coefi cientes o constantes de las funciones polinomiales

de grado cero, uno y dos,

pero no puedo representarlas.

Aplico los modelos lineales o

cuadráticos para la


y/o reales en diferentes áreas y las resuelvo.

No puedo distinguir

los grados, coefi cientes ni constantes de las funciones polinomiales

de grado cero, uno y dos ni las

represento.

Aplico los modelos lineales o

cuadráticos para la


y/o reales en diferentes

áreas, pero no las resuelvo.

Matemáticas IV

119



Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Actitudes

Aporto puntos de vista con apertura y considero los de mis

compañeros de forma refl exiva

y tolerante, además de

que demuestro disposición

para trabajar en forma

colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas

aplicativos.

Valoro en toda ocasión las

utilidades de los modelos lineales

y cuadráticos en diversos problemas prácticos.

Aporto puntos de vista con apertura y

considero los de mis compañeros

de forma refl exiva y

tolerante, pero en ocasiones demuestro disposición


colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas

aplicativos.



o cuadráticos en diversos problemas prácticos.

Aporto, en pocas

ocasiones, puntos de vista con apertura y

considero los de mis compañeros de forma poco

refl exiva y tolerante, además de



colaborativa con mis

compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.

Valoro, en ocasiones, las utilidades de los modelos lineales y

cuadráticos en diversos problemas prácticos.

Aporto, en nulas

ocasiones, puntos de vista con apertura y considero los de mis

compañeros de forma

irrefl exiva y poco tolerante, pero demuestro

disposición para trabajar

en forma colaborativa

con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.

Valoro, en ocasiones, las utilidades de los modelos lineales o


No aporto puntos de vista con apertura ni considero los de mis


y tolerante, además de que no demuestro

disposición para trabajar

en forma colaborativa

con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.

No valoro las utilidades de los modelos lineales ni cuadráticos en diversos problemas prácticos.

Puntaje 15 12 9 6 3

Bloque IV

Utilizas funciones polinomiales de grados 3 y 4Objetos de aprendizaje

• Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

• Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.

• Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados: tres y cuatro.

• Comportamiento de la grafi ca de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros.

• Representación gráfi ca de funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.


• Reconoce el patrón de comportamiento gráfi co de las funciones polino-miales de grados tres y cuatro.

• Describe las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

• Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para obtener la solución de ecuaciones factorizables y representar gráfi ca-mente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolu-ción de problemas.


Genéricas:



5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.







4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, grá-fi cos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.



122

MIVDinamización y motivaciónEn esta sección se abordan ejercicios que te servirán para medir tus conocimientos y saber en qué nivel te encuentras. Responde cada una de los siguientes ejercicios, realizando en su caso las operaciones necesarias.

1) Escribe un ejemplo de una función polinomial de grado 3 y una de grado 4.

2) Entre las cuatro opciones dadas encuentra las que se relacionan con las gráfi cas y argumenta por qué.

a. x x x3 25 6 0+ + =

b. x x x x4 3 23 2 3 0+ + − − =

c. 2 4 5 05 3 2x x x x+ + + =

d. − + − + =x x x3 2 3 2 02

1

−1

−0.5 0.5−1 1−1.5 1.5−2

−2

−3

2

1

−1

−0.5 0.5−1−1.5−2.5−3−3.5 −2

−2

−3

FIGURAS 4.1 y 4.2

3) Bosqueja la gráfi ca para el polinomio x x x x4 3 24 16 12 0+ − − − = .

4) Dada la siguiente gráfi ca, determina lo que se te pide:

El grado del polinomio___________

El signo del coefi ciente principal _______________

Número de puntos de retorno ______________

Cuáles son sus raíces _______________

Matemáticas IV

123

BIVUtilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4

4

2

−2

−1 1 2−2

FIGURA 4.3

5) Factoriza el polinomio x x4 213 36 0− + = . Con base en sus raíces y ca-racterísticas, bosqueja su gráfi ca.

Importante: tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y explicará brevemente el porqué de las justifi caciones. No se van a dar más detalles de las respuestas y argumentaciones, pues algunas de ellas se analizarán en este bloque y además nos servirán al fi nal.


Califi cación: 2 puntos por cada respuesta y justifi cación correcta, 1 punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún

argumento cercano al correcto.


alcanzasteSignifi cado de cada nivel alcanzado

Estratégico 9 a 10 puntos

Identifi co las funciones de grado 3 y 4. Tengo conocimientos sobre sus

características y aplico los conceptos sobre funciones de grado 3 y 4. Aplico

transformaciones algebraicas para encontrar sus raíces y bosquejo sus

gráfi cas.

Autónomo 7 a 8 puntos

Identifi co las funciones de grado 3 y 4. Tengo conocimientos sobre sus

características e ideo cómo aplicar los conceptos sobre el bosquejo de sus

gráfi cas.

124

MIVRefl exión de inicio de bloque

Básico 5 a 6 puntos

Identifi co las funciones de grado 3 y 4. Tengo nociones sobre sus

características e ideo cómo aplicar los conceptos sobre sus gráfi cas.

Inicial 2 a 4 puntosTengo algunas nociones sobre los

elementos de las funciones de grado 3 y 4.

Pre-formal 0 a 1 puntos No recuerdo las características de los polinomios de grados 3 y 4.

ContextualizaciónHay fenómenos que son modelados por ecuaciones de grado mayor que 2.En el blo-que anterior estudiamos las características y modelamos situaciones con funciones de grado 0, 1 y 2. En el presente bloque estudiaremos las características de los polinomios de grado 3 y 4, e identifi caremos y bosquejaremos sus gráfi cas. Comen-zaremos el estudio de este bloque mediante las siguientes situaciones:

Situación1. Imagina que eres un ingeniero civil y estás planeando hacer una carretera con un tramo con curvas para una pista de carreras y necesitas que pase por determinados puntos. Las curvas tienen que cumplir ciertas caracterís-ticas y te piden modelarlas matemáticamente para su localización y trayectoria.

1) ¿Qué condiciones debe cumplir el polinomio?

2) ¿Cuáles son los puntos de intersección con el eje X?

3) Si tiene 2 curvas, ¿de qué grado es la función?

Matemáticas IV

125


2

1

−1

−2

−3

−0.5 0.5−1−1.5−2−2.5−3−3.5

FIGURA 4.4

Situación 2. En el periódico o en la televisión habrás visto gráfi cas en for-ma de curvas que describen el comportamiento de algún fenómeno, el crecimiento de cierta población o el comportamiento del dinero de alguna empresa. A conti-nuación se te presenta una gráfi ca en la cual se observan las ganancias y pérdidas durante el ciclo de año de una cierta empresa de comida rápida.

Gan

anci

as e

n m

iles

de p

esos

Meses

Ganancias durante el año50

40

30

20

10

0

-100 2 4 6 8 10 12 14

FIGURA 4.5

Observa la gráfi ca y responde con tus compañeros.

1) ¿Cuál es la ganancia en el tercer mes?

2) ¿Cuál es la ganancia en el décimo mes?

3) ¿Qué tipo de polinomio representa?

4) ¿En qué meses las ganancias son cero?

5) ¿Cuál sería la función que describa el comportamiento de la gráfi ca?

126

MIVComo habrás observado, las funciones polinomiales de grado 3 y 4 son

útiles para representar fenómenos que siguen trayectorias curvas. En este bloque estudiaremos sus características para identifi car el tipo de polinomio y poder bos-quejar sus gráfi cas.

Proyecto Para la parte fi nal del bloque se te presenta un proyecto en el que podrás aplicar las funciones lineales como modelo de un caso de la vida real. ¡Adelante!

Proyecto Modelaje matemático con funciones polinomiales de grados 3 y 4

Problema Obtener modelos de funciones polinomiales de grados 3 y 4 de situaciones comunes y análisis de funciones



Competencias

Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.

Interpreta tablas, gráfi cas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

Matemáticas IV

127


Actividades

Observa tu entorno y localiza 3 formas de polinomios de grados 3 y 4. Realiza un dibujo y señala la trayectoria de la función polinomial y describe sus características.

Realiza el trazo de las siguientes funciones polinomiales utilizando Excel.

f x x x x( ) = − +3 2 2

f x x x x x( ) = + − − −4 3 23 7 27 18

Determina:

1) El grado de la función y si es par o impar.

2) El signo del coefi ciente principal.

3) Número de puntos de retorno.

4) Número de raíces reales.

Para la función f x x x x( ) = − + −2 4 25 4 2 , determina:

1) Cómo empieza y termina la gráfi ca.

2) El número de puntos de retorno.

3) Bosqueja la gráfi ca.

4) Utiliza Excel y grafi ca la función en el siguiente intervalo. Usa la gráfi ca de dispersión de líneas suavizadas.

X Y

− 0.8

− 0.6

− 0.4

− 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Escribe un resumen comparando el bosquejo de tu gráfi ca con la generada en Excel, indicando sus similitudes, diferencias, y la ventaja de utilizar un software para grafi car las funciones.

Recursos Libro de texto, hojas en blanco, libros de consulta en la biblioteca.

128

MIVNormas

Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y, en caso de que un miembro del equipo falte o no se entreguen los documentos que avalen sus operaciones o los que solicite tu

docente, este resolverá la situación con base en su criterio.



Sesión A: Funciones polinomiales de grados 3 y 4. Características y gráfi casSaberesDel saber

• Caracterizo el comportamiento general de las funciones polinomiales de grados 3 y 4.

• Defi no la infl uencia de los parámetros de funciones de grados 3 y 4 en su representación gráfi ca.

• Establezco similitudes en el comportamiento de las gráfi cas de las fun-ciones polinomiales de grado impar (1 y 3), y entre las gráfi cas de las funciones de grado par (2 y 4).

Del saber hacer

• Bosquejo las gráfi cas de funciones polinomiales de grados 3 y 4.

• Determino las intersecciones con el eje X de las gráfi cas de ecuaciones factorizables.

• Aplico las propiedades de las funciones polinomiales de grados 3 y 4 en la resolución de problemas.

Del saber ser



• Valoro las utilidades de las funciones polinomiales en diversos proble-mas prácticos.

Problematización En el bloque anterior observamos el comportamiento de las funciones de grados 1 y 2; vimos que la de grado 1 representa una recta y la de grado 2 una parábola.

Matemáticas IV

129


¿Te has preguntado cómo serían las de grados 3 y 4? ¿Tienen relación las de grado 1 y 2 con las de 3 y 4? ¿Todas las funciones de grado 4 tienen la misma forma? Ya sabemos qué es una función y cuáles son sus características, ahora abordaremos la relación entre las funciones polinomiales.

En nuestro entorno podemos encontrar gráfi cas como las de las situacio-nes planteadas en la contextualización; la idea es interpretarlas e identifi car qué tipo de función polinomial representan, y entender sus características.

Realizaremos una actividad para recordar y visualizar qué sucede cuando cambiamos ciertos elementos de los polinomios; posteriormente generalizaremos sus características.

Actividad de aprendizaje 1En parejas, respondan las preguntas y tracen las gráfi cas de las siguientes funcio-nes, apoyándose (si lo desean) en una tabulación. Al terminar comenten las res-puestas con sus compañeros y realicen una autoevaluación de su trabajo.

a) f x x( ) =

b) f x x( ) = −

c) f x x( ) = 3

d) f x x( ) = − 3

e) f x x( ) = 2

f) f x x( ) = − 2

g) f x x( ) = 4

h) f x x( ) = − 4

Con base en las gráfi cas que realizaron, respondan:

1) ¿Qué pasa cuando a las gráfi cas se les cambia el signo del coefi ciente principal?

2) ¿En qué se parecen las funciones de grados 1 y 3?

3) ¿Cómo empiezan y terminan las funciones de grados 1 y 3, si el coefi -ciente principal es positivo?

4) ¿Cómo empiezan y terminan las funciones de grados 1 y 3, si el coefi -ciente principal es negativo?

5) ¿En qué se parecen las funciones de grados 2 y 4?

Recuerda que el coefi ciente

principal de un polinomio es el valor numérico que acompaña al término que tiene la mayor potencia. Por ejemplo, de

− + −3 4 52x x su coefi ciente principal es 4.

130

MIV6) ¿Cómo empiezan y terminan las funciones de grados 2 y 4, si el coefi -

ciente principal es positivo?

7) ¿Cómo empiezan y terminan las funciones de grados 2 y 4, si el coefi -ciente principal es negativo?

8) Con base en las preguntas anteriores, ¿cómo esperarías que empiecen y terminen las funciones de grado par?

9) Con base en las preguntas anteriores, ¿cómo esperarías que empiecen y terminen las funciones de grado impar?

10) Si se tiene la función f x x x( ) = +5 3 , ¿cómo esperarías que empiece y termine?

11) Si se tiene la función f x x x x( ) = − −6 52 , ¿cómo esperarías que empiece y termine?

Con esta actividad, y con base en las preguntas que ya contestaste, ge-neralicen en plenaria sus conclusiones, tomando como moderador a su docente.


Las funciones polinomiales. Grado y coefi ciente principalSi recordamos, una función polinomial tiene la forma:

f x a x a x a x a x a x ann

nn

nn( ) = + + + ⋅ ⋅ ⋅ + + +−

−−

−1

12

22

21 0

Donde n es el grado y an el coefi ciente principal.

Generalizando tus respuestas de la Actividad de aprendizaje 1, tenemos que si vemos las gráfi cas de izquierda a derecha, entonces:

Matemáticas IV

131


• Si n es par y el coefi ciente principal an es positivo, la gráfi ca em-pieza y termina positiva.

• Si n es par y el coefi ciente principal an es negativo, la gráfi ca em-pieza y termina negativa.

• Si n es impar y el coefi ciente principal an es positivo, la gráfi ca empieza negativa y termina positiva.

• Si n es impar y el coefi ciente principal an es negativo, la gráfi ca empieza positiva y termina negativa.

Ejemplos:

Donde f x x x( ) = − +4 25 45

4

3

2

1

-1

-2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 .5 1 1.5 2 2.5

FIGURA 4.6

132

MIVDonde f x x x x x( ) = − − + + +4 3 23 2 12 8

FIGURA 4.7

Donde f x x x( ) = + +3 25 6

2

1

-1

-2

-3

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5

FIGURA 4.8

y

15

10

5

-5

-4 -2 2

Matemáticas IV

133


Donde f x x x x( ) = − − + +3 23 5 3

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5

5

-5

-10

-4 -2 2

FIGURA 4.9

Estas reglas se cumplen para cualquier función polinomial.

Otra característica importante de las funciones de grados 3 y 4 son sus raíces y sus puntos de retorno.

Los Los puntos de retornopuntos de retorno son los lugares donde la gráfi ca cambia de cre- son los lugares donde la gráfi ca cambia de cre-ciente a decreciente o viceversa. Una función de grado n puede tener cuando ciente a decreciente o viceversa. Una función de grado n puede tener cuando más (n-1) puntos de retorno.más (n-1) puntos de retorno.

Ejemplo 1: Un polinomio de grado 3 puede tener 1 o 2 puntos de retorno; un poli-nomio de grado 4 puede tener 1, 2 o 3 puntos de retorno.

Ejemplo 2: Si observamos la gráfi ca de la función cúbica f x x x x( ) = − − + +3 23 5 3 , tiene 2 puntos de retorno.

Recordemos que las raíces

son los números que hacen cero a la función; gráfi camente se observa que es donde la gráfi ca corta o toca al eje X.

134

MIV5

-5

-10

-4 -2 2

Puntos de retornode la gráfica

FIGURA 4.9a

Para la función f x x( ) = 3 , observaremos que presenta un solo punto de retorno.

-0.8 0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 .8


1

0.5

-0.5

-1

FIGURA 4.10

Ejemplo 3: Mediante las características del grado, del coefi ciente prin-

cipal y sabiendo que sus raíces son x1 0= , x2 2= y x3 3= , bosqueja la función

x x x3 25 6− + .

Matemáticas IV

135


Solución: En la función el grado es impar y el coefi ciente principal es positivo, eso nos indica que la gráfi ca empieza negativa y termina positiva, y tiene a lo más 2 puntos de retorno. Una mejor manera de bosquejar la gráfi ca es locali-zando las raíces pero, como ya las conocemos, entonces el bosquejo quedará como sigue:

-0.8 0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 .8


1

0.5

-0.5

-1

FIGURA 4.11

Ejemplo 4: Identifi ca las siguientes características de la función de la gráfi ca que se muestra.

a) El grado

b) El signo del coefi ciente principal

c) Número de puntos de retorno

d) Número de raíces reales

-0.8 0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 .8


1

0.5

-0.5

-1

FIGURA 4.12

Solución:

a) Para determinar el grado del polinomio debemos observar que la gráfi ca empieza y termina positiva, entonces el grado es par y, como tiene 3 puntos de retorno, el grado es 4.

136

MIVb) De acuerdo con las reglas mencionadas, el signo del coefi ciente princi-

pal es positivo.

c) Tiene 3 puntos de retorno.

d) Al observar la gráfi ca podemos ver que sólo corta en dos puntos al eje X, entonces tiene 2 raíces reales.

Para un mejor bosquejo de una gráfi ca es necesario encontrar las raíces del polinomio. Se pueden aplicar diferentes métodos de factorización y de trans-formaciones algebraicas para calcular las raíces. El siguiente ejemplo nos servirá para recordar las factorizaciones y nos dará luz sobre cómo bosquejar gráfi cas.

Ejemplo 5: Bosquejar la función polinomial f x x x x( ) = + +3 24 4 .

Solución: Si igualamos el polinomio a cero, nos queda:

x x x3 24 4 0+ + =

Así, la x se repite en todos los términos del polinomio, eso quiere decir que podemos aplicar la factorización por factor común. Aplicando el método men-cionado:

x x x( )2 4 4 0+ + =

Lo que está dentro del paréntesis es un trinomio, factorizándolo obte-nemos:

x x x x2 4 4 2 2+ + = + +( )( )Retomando el polinomio original, se tendrá que:

x x x x x x3 24 4 2 2 0+ + = + + =( )( ) , donde las raíces son: x x1 20 2= = −,

y x3 2= −

Para bosquejar la gráfi ca, se localizan las raíces en el plano cartesiano; en este caso tenemos una raíz doble.

Una vez localizadas las raíces, realizamos el trazo de la gráfi ca. Recorde-mos que el grado es impar y el coefi ciente principal es positivo, entonces la gráfi ca empieza negativa y termina positiva.

La gráfi ca queda de la siguiente manera:

Matemáticas IV

137


-3 -2 -1 1


4

2

-2

-4

FIGURA 4.13

Recuerden que son curvas las que se deben formar, y queda de esta forma porque hay una raíz doble en x = −2 .

Actividad de aprendizaje 2Realiza un memorama de 10 pares de tarjetas en donde un par “igual” tiene en una de las tarjetas la gráfi ca de una ecuación, y donde se indiquen (gráfi camente) sus intersecciones, si empieza positiva o negativa, sus puntos de retorno, etcétera, y en la segunda de las tarjetas escribe esas características de la gráfi ca de la ecua-ción. Jueguen en el salón para ver quién junta más pares.

Síntesis1) Bosqueja la gráfi ca de las siguientes ecuaciones, tomando en cuenta los

valores de las raíces dadas.

a. f x x( ) = +4 1 , no tiene raíces reales

b. f x x x x x x( ) , ,= + − − = − = −3 21 22 2 2 1 y x3 1=

c. f x x x x x( ) , ,= + + = = −3 21 26 9 0 3 x y x3 -3=

d. f x x x x x x( ) , , ,= − + − = − = − =4 21 2 35 4 2 1 1 y x4 2=

138

MIV2) Para las siguientes gráfi cas, determina:

a. El grado de la función y si es par o impar.

b. El signo del coefi ciente principal.

c. Número de puntos de retorno.

d. Numero de raíces reales.

-3 -2 -1 1 2 3

4

2

-2

-4

-3 -2 -1 1 2

6

4

2

-2

-3 -2 -1 1 2

2

-2 -2 -1 1 2

4

2

FIGURAS 4.14 A 4.17

3) Factoriza las funciones para calcular las raíces y bosqueja la gráfi ca de las siguientes funciones polinomiales.

f x x x x( ) = − +3 26 9

f x x x( ) = − +4 26 8

4) Se está realizando la construcción de un tramo de una pista de carreras para motos y se requiere que pase por los siguientes puntos. Toma los puntos como las raíces reales de una función y responde las preguntas.

a. Si empieza positiva y termina negativa, ¿cómo debe ser el valor del coefi ciente principal?

b. ¿Cuál sería el grado de la función?

c. Traza la trayectoria que debería seguir el pavimento de acuerdo al inciso a.

Matemáticas IV

139


-3 -2 -1 1 2

2

-2

FIGURA 4.18

5) A continuación se presentan las mitades de las gráfi cas, complétalas de acuerdo a la simetría indicada.

Simétricas con respecto al origen

Simétricas respecto al eje Y

FIGURAS 4.19 a 4.22

140

MIVAnálisis de logrosEn este apartado te corresponde resolver los cinco ejercicios de la sección Dinami-zación y motivación. A cada una de tus operaciones o soluciones debes darle una argumentación sólida de por qué se debe realizar de esa manera.

Una vez que hayas terminado y estés convencido de lo que has realiza-do, consulta las respuestas obtenidas con tu profesor y analicen el porqué de tus argumentos. Utiliza la misma regla vista en la Refl exión para darte los puntajes y ubicarte.

Todo esto te servirá para determinar en qué nivel te encuentras después de terminar el bloque. Así que, a continuación, coloca una X en el nivel apropiado y sigue preparándote para superarlo.



RealimentaciónSubraya la respuesta correcta para cada uno de los siguientes ejercicios.

1) Para la función f x x x( ) = + −4 2 63 2 , ¿cómo termina su gráfi ca?

a. Negativa

b. Positiva

c. Horizontal

d. Hacia abajo

2) ¿Cuál sería la ecuación de la siguiente gráfi ca?

a. x x3 22 2+ −

b. − + −x x4 33 5

c. 2 6 23 2x x x+ − −

d. 4 2 24 2x x− −

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

1

-1

-2

-3

FIGURA 4.23

Matemáticas IV

141


3) Indica las raíces reales de la siguiente gráfi ca.

a. x x x1 2 32 1 0= − = − =, ,

b. x x x1 2 32 1 1= − = − =, ,

c. x x x1 2 32 1 2= − = − = −, ,

d. No tiene raíces

-2 -1 1 2

2

-2

FIGURA 4.24

4) ¿Cuál es la gráfi ca para la función x x x3 22 2+ − − ?

-2 -1 1 2

2

-2

-1 1

2

-2

-1 1

2

-2

-2 -1 1 2

2

-2

FIGURAS 4.25 A 4.28

142

MIV5) ¿Cómo iniciaría y terminaría la gráfi ca para la siguiente función?:

3 2 2 180 75 2x x x x+ + + − +...

a. Inicia positiva y termina negativa

b. Inicia positiva y termina positiva

c. Inicia negativa y termina negativa

d. Inicia negativa y termina positiva

6) ¿En cuál de las siguientes ecuaciones su gráfi ca inicia positiva y termina negativa?

a. x x x3 27 8 1+ − +

b. 10 64 3x x+

c. − + −89 233 2x x

d. − + + +12 6 3 124 3 2x x x

7) Mediante algún método de factorización, calcula las raíces de la función

f x x x( ) = −3 16 .

a. x x x1 2 30 2 2= = = −, ,

b. x x x1 2 38 0 8= = = −, ,

c. x x x1 2 34 4 0= − = =, ,

d. No tiene raíces reales

8) Realiza la gráfi ca de la función del ejercicio anterior en el intervalo

− 5 5, .

9) Observa la siguiente fi gura de una resbaladilla y responde las preguntas.

¿Qué función polinomial describe su forma?

¿Cómo debe ser el valor del coefi ciente principal?

¿Cuál sería el grado del polinomio?

Si tomamos al suelo como eje X, ¿cuántas raíces reales tiene?

FIGURA 4.29

Matemáticas IV

143


Evaluación de las competencias


Producto, logro o

desempeño


5 3 1

Conocimientos

Identifi co correctamente las

características de las funciones polinomiales de grados par e impar.

Reconozco correctamente las características de las gráfi cas de las

funciones polinomiales de grados par e impar.

Aplico correctamente las funciones o

fórmulas de Excel para el cálculo de valores.

Identifi co correctamente las

gráfi cas de dispersión de líneas suavizadas.

Identifi co algunas de las características de las funciones polinomiales de grados par e

impar.

Reconozco algunas de las características de las gráfi cas

de las funciones polinomiales de grados par e impar.

Aplico algunas de las funciones o fórmulas de Excel para el

cálculo de valores.

Identifi co algunas de las gráfi cas de dispersión de líneas

suavizadas.

Identifi co pocas de las características de las

funciones polinomiales de grados par e impar.

Reconozco pocas de las características de las

gráfi cas de las funciones polinomiales de grados par

e impar.

Aplico pocas de las funciones o fórmulas de Excel para el cálculo de

valores.

No identifi co las gráfi cas de dispersión de líneas

suavizadas.

Habilidades

Bosquejo correctamente las

funciones polinomiales dadas.

Calculo correctamente en Excel los valores

para realizar las gráfi cas.

Realizo correctamente las gráfi cas pedidas.

Realizo correctamente el resumen de acuerdo

a los puntos dados.

Bosquejo con algunos errores las funciones polinomiales dadas.

Calculo con algunos errores en Excel los valores para realizar

las gráfi cas.

Realizo con algunos errores las gráfi cas pedidas.

Realizo con algunos errores el resumen de acuerdo a los

puntos dados.

Bosquejo mal las funciones polinomiales dadas.

Calculo erróneamente en Excel los valores para

realizar las gráfi cas.

Realizo mal las gráfi cas pedidas.

Realizo el resumen sin tomar en cuenta los puntos

dados.

144

MIVRúbrica del proyecto

Producto, logro o

desempeño


5 3 1

Actitudes

Presento buena disposición al trabajo

colaborativo en el proyecto, además de

que aporto puntos de vista personales al mejoramiento del

trabajo.

Actúo de manera propositiva al resolver

el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, de manera que prevengo errores que mi equipo pueda generar y los corrijo

acertadamente, oportunamente y con

tacto.


proyecto.

Actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un

ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, pero no prevengo errores que mi equipo

genera ni los corrijo.

Presento disposición discontinua al trabajo

colaborativo en el proyecto.

No actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un ambiente

de respeto hacia mis compañeros ni prevengo errores que mi equipo

genera.

Puntaje 15 9 3

Matemáticas IV

145





5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Conocimientos

Identifi co correctamente las funciones de grados 3

y 4.

Identifi co el grado de una gráfi ca

mediante sus características, cómo empieza

y termina.

Caracterizo las gráfi cas de acuerdo a sus puntos de retorno, sus raíces, y relaciono las reglas con las

gráfi cas.

Bosquejo correctamente

las gráfi cas de funciones

polinomiales de grados 3 y 4 de acuerdo a sus características

del grado y coefi ciente principal.

Identifi co las funciones de grados 3 y 4.

Identifi co el grado de una gráfi ca

mediante sus características.

Caracterizo las gráfi cas mediante

algunas de sus características,

de acuerdo a sus puntos de retorno, sus raíces, y relaciono las reglas con las

gráfi cas.

Bosquejo las gráfi cas de funciones



Identifi co algunas de las funciones de grados 3 y 4.

Identifi co el grado de

algunas gráfi cas mediante sus

características, cómo empieza y

termina.


gráfi cas.

Bosquejo las gráfi cas de funciones

polinomiales de grados 3 y 4.

Identifi co erróneamente

las funciones de grados 3 y 4.

Identifi co el grado de

pocas gráfi cas mediante sus

características, cómo empieza

y termina.


gráfi cas.

Bosquejo con algunos errores

las gráfi cas de funciones



Identifi co erróneamente

las funciones de grados 3 y 4.

No identifi co el grado de una gráfi ca

mediante sus características, cómo empieza y

termina.

Caracterizo pocas veces las gráfi cas

de acuerdo a sus puntos de retorno, sus raíces, y relaciono las reglas con las

gráfi cas.

Bosquejo con errores las gráfi cas

de funciones polinomiales de

grados 3 y 4.

146




5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Habilidades

Grafi co de manera correcta funciones

polinomiales de grados 3

y 4 mediante tabulación.

Bosquejo gráfi cas

aplicando las características


Identifi co y analizo

gráfi cas para obtener las

características del polinomio

del cual proviene.

Utilizo las TIC’s para realizar gráfi cas de polinomios de grados 3 y 4, y aplico métodos de

factorización para obtener las raíces del polinomio.

Grafi co de manera correcta algunas

funciones polinomiales de grados 3


Bosquejo algunas gráfi cas

aplicando las características





del cual proviene.

Utilizo algunas veces las TIC’s para realizar gráfi cas de polinomios de grados 3 y 4, y aplico métodos de


Grafi co de manera correcta pocas funciones

polinomiales de grados 3


Bosquejo pocas gráfi cas aplicando las

características del grado y coefi ciente principal.

Identifi co y analizo gráfi cas para obtener las características del polinomio

del cual proviene.

Utilizo poco las TIC’s para

realizar gráfi cas de polinomios de grados 3 y 4, y aplico métodos de


Grafi co erróneamente



Bosquejo gráfi cas con

pocos errores, aplicando las

características del grado y coefi ciente principal.




del cual proviene.

Utilizo erróneamente las TIC’s para

realizar gráfi cas de polinomios de grados 3 y 4, y aplico métodos de


Grafi co erróneamente



Bosquejo erróneamente

gráfi cas aplicando las características


No identifi co ni analizo gráfi cas para obtener las características

del polinomio del cual proviene.

No utilizo las TIC’s para

realizar gráfi cas de polinomios de grados 3 y 4, y aplico métodos de factorización

para obtener las raíces del polinomio.

Matemáticas IV

147





5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Actitudes



y tolerante, además de




compañeros en la resolución

de los problemas aplicativos.


utilidades de los modelos lineales y



compañeros de forma

refl exiva y tolerante, pero en ocasiones demuestro disposición



compañeros en la resolución

de los problemas aplicativos.


utilidades de los modelos lineales o


Aporto en pocas ocasiones puntos de vista con apertura y


refl exiva y tolerante, además de





Valoro en ocasiones las


y cuadráticos en diversos problemas prácticos.

Aporto en nulas ocasiones puntos de vista con apertura y

considero los de mis compañeros

de forma irrefl exiva,

pero demuestro disposición




Valoro en ocasiones las utilidades de los modelos lineales o




y tolerante, además de que no demuestro

disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas

aplicativos.

No valoro las utilidades de los modelos lineales ni cuadráticos

en diversos problemas prácticos.

Puntaje 15 12 9 6 3

Bloque V

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas


• Ceros y raíces de la función

• Teoremas del factor y del residuo

• División sintética

• Teorema fundamental del álgebra

• Teorema de factorización lineal

• Gráfi cas de funciones polinomiales factorizables.


• Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la di-visión sintética, para hallar los ceros reales de funciones polinomiales.

• Emplea la división sintética para obtener en forma abreviada el cocien-te y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x − a.

• Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álge-bra y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función polinomial factorizable.

• Aplica y combina las técnicas y procedimientos para la factorización y la obtención algebraica y gráfi ca de ceros de funciones polinomiales, en la resolución de problemas teóricos y/o prácticos.


Genéricas:



6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, con-siderando otros puntos de vista de manera crítica y refl exiva.








150

MIVDinamización y motivaciónResponde en tu libreta cada uno de los siguientes ejercicios, realizando en su caso las operaciones necesarias. Escribe o representa tu resultado dando las justifi ca-ciones pertinentes en cada ejercicio.

1) Observa la gráfi ca y responde lo que se solicite:

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

a. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación que representa la gráfi ca?

b. ¿De qué grado es la ecuación polinomial?

c. ¿Cuántas soluciones complejas crees que tenga?

2) Factoriza completamente la siguiente expresión algebraica:

3 75 48 12006 4 2x x x− − +

3) Obtén el producto de los siguientes factores: 3 1 2 32 2x x x x( )( )( )− + − y los ceros de la ecuación polinomial que resulte.

4) Determina los ceros de la siguiente ecuación polinomial:

f x x x x( ) = − − +3 2 123 2

5) Bosqueja la gráfi ca del ejercicio anterior.

Con las respuestas y las respectivas justifi caciones que proporcione tu profesor, ubica en qué nivel de comprensión te ubicas de acuerdo a la tabla si-guiente, con el objeto de refl exionar y, por supuesto, mejorar.

Importante: Tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y explicará de forma rápida el porqué de las justifi caciones. No se van a dar más detalles de las respuestas y argumentaciones, pues algunas de ellas se analizarán en este bloque y además nos servirán al fi nal.

Matemáticas IV

151

BVUtilizas funciones factorizables en la resolución de problemas



Nivel Coloca una X en el puntaje que alcanzaste Signifi cado de cada nivel alcanzado.

Nivel Estratégico 9 a 10 puntos Factorizo correctamente y obtengo los ceros de las ecuaciones polinomiales.

Nivel Autónomo 7 a 8 puntos Factorizo la mayoría de expresiones algebraicas y obtengo los ceros de algunas ecuaciones polinomiales.

Nivel Básico 5 a 6 puntos Factorizo pocas expresiones algebraicas y obtengo ceros de pocas ecuaciones polinomiales.

Nivel Inicial 2 a 4 puntos Factorizo las expresiones algebraicas pero no sé obtener los ceros de las ecuaciones polinomiales.

Nivel Preformal 0 a 1 puntosNo tengo habilidad para factorizar expresiones

algebraicas ni para obtener los ceros de las ecuaciones polinomiales.

Ten en cuenta en qué nivel te encuentras en estos momentos, ya que al fi nal del bloque retomaremos este aspecto importante de tus avances.

ContextualizaciónEn el bloque anterior aprendiste a identifi car las características de las gráfi cas de funciones polinomiales de tercer y cuarto grado. Si miras a tu alrededor podrás encontrar muchas formas que ahora se te harán conocidas, tal vez en tu propia casa o cerca de ella hay rejas de hierro, ¿te has fi jado que las formas se asemejan a las gráfi cas que trabajaste? Podría ser que el pasamanos de una silla de jardín presente también una forma conocida. Si alguna vez has asistido a la feria de Xma-tkuil es muy probable que conozcas el famoso juego del ratón loco; si te fi jas bien el recorrido del cochecito por toda la pista del juego presenta formas de gráfi cas que ya conoces pero, por supuesto, tienes que observar cada tramo.

Ahora que ya puedes reconocer la forma gráfi ca de las funciones polinomiales, es acertado que entremos de lleno a la resolución de este tipo de ecuaciones.

En primer semestre aprendiste a resolver las ecua-ciones lineales. Después seguiste con la resolución de las cua-dráticas, donde manejaste conceptos diferentes a las prime-ras. Ahora imagina resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor; desde luego que, para hacerlo, deberás adquirir he-rramientas que te sirvan para solucionarlas de forma rápida y efi ciente.

Desde hace varios siglos los problemas para encon-trar los ceros, es decir, las raíces de una función polinomial cualquiera, preocuparon a muchos matemáticos. Es así que surgieron varias herramientas importantes para dar solución a esa situación, dichas herramientas son la base de la presente sesión.

FIGURA 5.1 Nota la forma que tiene la orilla de esta banca de jardín.

152

MIVPara solucionar ecuaciones polinomiales mayores al grado dos es necesa-

rio que incluyas en tu catálogo de conocimientos nuevas herramientas matemáti-cas; asimismo, es necesario que practiques las que ya habías estudiado para la re-solución de polinomios de hasta segundo grado. Así, detallaremos las herramientas que te ayudarán a solucionar ecuaciones polinomiales de cualquier grado.

Proyecto Para la parte fi nal del bloque se te presenta una situación en forma de proyecto en donde podrás resolver las ecuaciones polinomiales.

Proyecto Resolución y grafi cación de ecuaciones de grado superior utilizando Excel

Problema Obtener las soluciones y las gráfi cas de ecuaciones polinomiales de cualquier grado



Competencias

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráfi cos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las

tecnologías de la información y la comunicación.

Interpreta tablas, gráfi cas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.

Actividades

En equipos diseñados por el profesor, los cuales serán de 4 a 6 integrantes, realizarán las siguientes actividades en el orden establecido.

En una hoja de Excel deberán introducir las fórmulas necesarias para resolver ecuaciones polinomiales de cualquier grado.

En la hoja de Excel correspondiente deberán grafi car cada una de las ecuaciones polinomiales que planteen.

Recursos Computadora, programa Excel, guía didáctica.

Normas

Deberá entregarse en formato electrónico en la fecha indicada por el docente y en caso de que un miembro del equipo falte o no se entregue en tiempo y forma, el docente

resolverá la situación con base en su criterio.



Matemáticas IV

153


Sesión A: Funciones polinomiales de grados tres y cuatroFunciones polinomiales actorizablesSaberesDel saber

• Identifi co si un binomio de la forma x − a es factor de un polinomio, por medio del teorema del factor.

• Comprendo el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x − a

• Describo la prueba del cero racional y defi no los teoremas fundamenta-les del álgebra y de la factorización lineal.

• Reconozco los ceros reales y complejos de funciones polinomiales fac-torizables.

Del saber hacer

• Obtengo el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x − a, utilizando el teorema del residuo.

• Determino si un binomio de la forma x − a es factor de un polinomio, sin necesidad de efectuar la división.

• Obtengo en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio

• Obtengo los ceros y las gráfi cas de funciones polinomiales factorizables.

• Aplico las propiedades de las funciones polinomiales en la resolución de problemas.

Del saber ser



• Propongo alternativas para dar solución a problemas matemáticos apli-cativos.

Problematización Juan es un alumno de una escuela preparatoria. En su primer día de clase el pro-fesor le planteó unos ejercicios sobre ecuaciones polinomiales y una gráfi ca, indi-cándole que debería analizarla y tratar de obtener su ecuación. Por alguna razón desconocida no pudo realizar la actividad, pero como quería saber la respuesta

154

MIVle pidió a unos amigos del COBAY que le ayudaran a obtener lo que le solicitaron, así que seamos solidarios y ayudemos al amigo Juan. Esto lo haremos mediante la siguiente actividad:

Reúnete con dos compañeros y resuelvan paso a paso las siguientes pro-blemáticas:

a) Obtengan los ceros de la siguiente ecuación polinomial:

f x x x x( ) = + − −3 22 3b) Observen la gráfi ca y respondan: ¿De qué grado es la ecuación que co-

rresponde a la gráfi ca? ¿Cuántos ceros reales tiene la ecuación polino-mial que representa?

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

FIGURA 5.2

Tras discutir sus opiniones, en diálogo con su profesor lleguen a un con-senso de las respuestas y sus argumentaciones, con el fi n de que puedan adquirir destrezas al obtener los ceros e interpretar las gráfi cas de las funciones polinomia-les de grado mayor a dos.

Ya se han mencionado a grandes rasgos los contenidos aplicativos de esta sesión, sólo resta reiterarte que necesitas los conceptos básicos para dar una so-lución matemática al problema de la actividad anterior. Así que te invitamos a refl exionar en las competencias que se te evaluarán en esta sesión.

Desarrollo de saberesRecuerda que los ceros o raíces de una función polinomial y = f(x) son los valores de x que solucionan a la ecuación f(x) = 0. Si los ceros resultan ser números reales estaremos hablando de la intersección con el eje x de la gráfi ca de la función.

Teoría de las ecuacionesPara resolver una ecuación polinomial de grado n > 2 pueden usarse métodos al-gebraicos, pero estos no son prácticos, así que mejor utilizaremos la teoría de las ecuaciones para hallar los ceros de las funciones polinomiales, utilizando la técni-ca del ensayo y error con orden y precisión.

Matemáticas IV

155


Con la teoría de las ecuaciones procederemos a hallar los ceros de los polinomios de grado n > 2 que tengan como coefi cientes números reales y raciona-les. Recuerda que:

Una ecuación polinomial de grado n en la variable x es de la forma

a x a x a x a x a x ann

nn

nn+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + =−

−−

−1

12

22

21 0 0

donde a a a a a an n n, , , , , ,− − ⋅ ⋅ ⋅1 2 2 1 0 son números reales, y que an ↑ 0 .

En primer semestre aprendiste a obtener las raíces o ceros de una ecua-ción de primer y segundo grado, ¿recuerdas? Apliquemos algunos métodos para hallar los de ecuaciones polinomiales de cualquier grado.

Iniciemos entonces conociendo el teorema fundamental del álgebra.

Teorema fundamental del álgebra: Toda ecuación polinomial f x( ) = 0 de grado n ≥ 1 admite al menos una raíz real o compleja.

Lo anterior signifi ca que una ecuación de la forma f x x x( ) = + −3 3 tiene al menos una raíz real o compleja. La solución de esta ecuación la veremos más adelante.

Siguiendo con el planteamiento de conceptos para resolver las ecuaciones de grados tres y cuatro, llegamos al teorema del residuo. Antes de plantear su defi -nición, recuerda que un cero de una función f es un número a, tal que f a( ) = 0 , es decir, que a es una raíz de la ecuación f x( ) = 0 .

Teorema del residuo. Si f es una función polinomial de grado n ≥ 1 real y si a R∈ , entonces f a( ) es igual al residuo de dividir f x( ) entre x a− .

Para demostrar lo anterior usamos el algoritmo de la división que permite

que expresemos f x( ) en la forma: f x g x x a r( ) ( )( )= − + , donde g x( ) es el cociente y r es un residuo constante que no contiene x, pero como x a= , tenemos entonces

que: f a g a a a r( ) ( )( )= − + . Ten en cuenta que x a− es de grado 1; fíjate ahora en lo siguiente:

f a g a r( ) ( )= ⋅ +0

y entonces: f a r( ) =

Para tratar de aclarar lo anterior, observa este ejemplo:

Ejemplo 1: Si f x x x x( ) = − − +2 3 5 13 2 hallar f ( )2 en dos formas diferentes.

Solución 1: Utilizando la defi nición de la notación funcional, sustituimos

x por 2 en el polinomio y tenemos que:f ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 5 2 13 2= − − +

f ( ) ( ) ( ) ( )2 2 8 3 4 5 2 1= − − +

f ( )2 5= −

Por el momento sólo

trabajaremos raíces reales y algunos casos de raíces com-plejas. Estas últimas se estu-dian a detalle en cursos más adelantados.

156

MIVSolución 2: Utilizando el teorema del residuo, tenemos que:

x x− +

2 3

2 2 3 5 12 4

2

3 2

3 2

x x

x x x xx x

+ −

− − − +− +

xx 1

2

2

523

−

− +

x

x

)

3 65

x −−

El residuo es −5 , entonces, por el teorema del residuo, f ( )2 5= −

Como habrás notado, el primer método puede resultar más fácil de reali-zar, pero observa que si la división la hubieras efectuado usando sólo los coefi cien-tes, se te hubiera hecho más simple.

Ahora analicen lo siguiente: ¿qué habría pasado si f a( ) = 0 ? ¿Cuál habría sido el residuo?

Pues bien, para facilitar lo anterior atiende al teorema del factor.

Teorema del factor. Si f es una función polinomial real de grado n ≥ 1 y si f a( ) = 0 , en donde a R∈ , entonces x a− es factor de f x( ) .

Demostrando el teorema del factor tenemos que f x g x x a r( ) ( )( )= − +

en donde r es una constante, pero como ya dijimos que r f a= ( ) , sustituyendo

tenemos que f x g x x a f a( ) ( )( ) ( )= − + . Sin embargo, como f a( ) = 0 , escribimos la

expresión de la siguiente manera: f x g x x a( ) ( )( )= − , donde puedes observar que

( )x a− es un factor de la expresión polinomial. Consideremos un ejemplo de este teorema.

Ejemplo 2: Demostrar, utilizando el teorema del factor, que x − 2 es un factor de f x x x x( ) = + − −2 3 524 3 2

Solución:

ff( ) ( ) ( )( )2 2 2 3 2 2 522 0

4 3 2= + − −=

Entonces, podemos decir que por el teorema del factor, x − ( )2 , es decir x − 2 , es un factor de f x( ) . Antes de continuar con la presentación de los concep-tos relativos a la resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado, resolvamos las siguientes actividades.

Matemáticas IV

157


Actividad de aprendizaje 1En binas, resuelvan lo que se solicita.

1) Si f x x x x( ) = − − +3 4 9 73 2 , hallar f ( )3 en las dos formas estudiadas.

2) Si g x x x( ) = − −12 8 44 , hallar g( )−2 en dos formas distintas.

3) Usar el teorema del factor para demostrar que x − 3 es un factor de

8 25 12 273 2x x x− + − .

4) Utilizando el teorema del factor, demostrar que x − 1 es un factor de

− + −3 8 54 2x x .

5) Utilizando el teorema del factor, hallar el valor real que debe tener k

para que x − 4 sea un factor de 9 35 44 3 2x x kx kx− + + − .

Hasta ahora hemos avanzado en la búsqueda de la solución de una ecua-ción de grado tres y cuatro, sin embargo, aún faltan algunos elementos por estudiar.

Al utilizar el teorema del residuo para hallar el valor de un polinomio f x( ) mediante la división de este entre un binomio x a− , existe un método sencillo para que efectúes esa operación algebraica; a este procedimiento se le conoce como división sintética o regla de Rufi ni, y se estudia a continuación.

División sintética ¿Cuál será el polinomio cociente que resulte de efectuar la división de los polino-

mios 2 5 7 6 43 2( ) ( )x x x x+ − + ÷ + . Para hacer más fácil la obtención de este proce-dimiento, señalaremos el procedimiento a seguir:

a) Primero debes escribir los coefi cientes del dividendo ya ordenado de forma descendente de la siguiente forma:

2 5 – 7 6

En caso de no haber un término se coloca un cero para respetar su lugar.

b) Seguidamente al lado derecho ubica la raíz del divisor.

c) Baja el primer coefi ciente del dividendo

d) Multiplica este coefi ciente por el −4 y se coloca este producto debajo del siguiente coefi ciente, después se realiza la suma al-gebraica entre estos coefi cientes para ob-tener −3 y seguimos de la misma manera con el nuevo coefi ciente hasta llegar al va-lor de −14.

2 5 −7 6

2 5 −7 6

2 −3 5 −14

−8 12 −20

2 5 −7 6

2

−4

−4

−4

2 5 −7 6

2 5 −7 6

2 −3 5 −14

−8 12 −20

2 5 −7 6

2

−4

−4

−4

158

MIVYa para terminar, fíjate bien cómo se interpreta el resultado de la divi-

sión. De acuerdo a la última fi la tenemos un cociente que representa a los coefi -cientes del polinomio resultante, pero con un grado menor, es decir, si el dividendo es de grado 3 el cociente será de grado 2. Por ello el cociente en este caso es el

polinomio 2 3 52x x− + y un residuo de –14.

Ejemplo 3: Dividir los polinomios ( ) ( )x x x3 7 6 1− − ÷ + mediante la divi-sión sintética.

Solución: Procedemos a acomodar los coefi cientes y a realizar la división sintética. Nota lo siguiente: el polinomio original tiene tres términos, pero le falta

uno, el que correspondería al término x2 , por lo que se ha puesto un cero en su lugar.

1 0 −7 −6

−1 1 6

1 −1 −6 0

−1

El resultado, entonces, es un cociente de x x2 6− − y un residuo de 0.

Recuerda que al obtener el cociente deberás disminuir un grado, porque al dividir se restan los exponentes.

Ejemplo 4: Determinar el valor de la constante k para que el binomio

x + 2 sea factor del polinomio f x x x kx( ) = − + +3 4 123 2 , usando como herramien-ta la división sintética.

Solución: Aplicando el teorema del factor, si f ( )− =2 0 tenemos que x − 2 es un factor del polinomio dado.

Aplicando la división sintética, tenemos que:

−23 −4 k 12

−6 20 (−40 −2k)

3 −10 (20 + k) (−28 −2k)

El cociente de la división es 3 10 202x x k− + + y el residuo es − −28 2k .

Como ya mencionamos que f ( )− =2 0 , si y sólo si − − =28 2 0k , al ser este el residuo de la división, resolveremos entonces esta ecuación: − − =28 2 0k .

Despejando, obtenemos − =2 28k

k = −28

2

k = −14

Por lo tanto, la respuesta es que si k = −14 , entonces ( )x + 2 será un factor del polinomio dado.

Matemáticas IV

159


Actividad de aprendizaje 2Ahora vamos a practicar la división sintética, así que obtén el cociente y el residuo de cada una de las siguientes expresiones:

1) 2 7 8 15 33 2x x x x− + − − entre

2) 9 3 5 14 2x x x+ − − entre

3) ( ) ( )z z z3 2 3 1− + ÷ +

4) ( ) ( )x x x x x4 3 23 5 10 11 2− + − + ÷ −

5) Determinar para qué valor de k x, − 3 es un factor del polinomio

f x x x kx x( ) = − + − −5 15 4 44 3 2 .

Empecemos a resolver las ecuaciones de grados tres y cuatro utilizando los elementos planteados hasta ahora. Recordemos el teorema fundamental del álgebra y hagamos unas precisiones.

Según el teorema fundamental del algebra toda ecuación polinomial f x( ) = 0 de grado n > 0 tiene al menos una raíz real o compleja.

Cuando un polinomio tiene una raíz compleja se presenta la siguiente propiedad:

Si un número complejo a b+ i es una raíz de una ecuación polinomial f(x) = 0 de coefi cientes reales, entonces su complejo conjugado a bi− tam-bién es una raíz de f(x) = 0.

Entonces podemos decir que toda función polinomial con coefi cientes reales de grado impar tiene al menos una raíz o cero real. Gráfi camente podemos afi rmar que existe una intersección con el eje x.

Vamos ahora a enunciar otro teorema que es de utilidad y se relaciona también con el teorema fundamental del álgebra:

Un polinomio f x( ) de grado n ≥ 1 tiene exactamente n raíces o ceros no necesariamente diferentes.

Aclarando un poco lo anterior, se tiene que toda raíz que se repita una cantidad de k veces, llamada multiplicidad k, se cuenta como k raíces. Si,

por ejemplo, tuviéramos que ( )( )( )x x x− + + =5 2 1 03 tiene 5 raíces, que serían

x x x= = − = −5 2 1, y es una raíz de multiplicidad 3, o sea, una raíz triple.

Realiza una breve consulta bibliográfi ca so-bre los números complejos.

160

MIVEl teorema sobre los ceros racionales facilita encontrar los ceros de

una función polinomial. Veamos:

Sea f x a x a x ann( ) = + ⋅ ⋅ ⋅ + +1 0

Donde todos los coefi cientes son enteros. Si st , en donde s t Z, ∈ es

una fracción en sus términos más simples, y si st es un cero de f, entonces s

es un factor de a0 y t es un factor de an .

Veamos diversos ejemplos de la aplicación de este teorema.

Ejemplo 5: Sea f x x x x( ) = − + −4 218 32 15 . Hallar sus raíces.

Solución: En primer lugar utilizaremos la división sintética para hallar el residuo 0 y aplicar el teorema del residuo.

Notamos que el término independiente es −15 ; sus factores serían ±1, ±3, ±5, ±15. Tendremos que probar cuál hace cero al residuo. Este es un método de ensayo y error. Comencemos con el valor de 1.

1 1 −17 15

1 1 −17 15

1 0 −18 32 −15 1

0 El residuo es cero

Lo anterior signifi ca que ( )x − 1 es un factor del polinomio.

Tenemos entonces que el cociente de la división da lugar al polinomio

f x x x x x( ) ( )( )= + − + −3 2 17 15 1 .

Sin embargo, aún es posible encontrar otros factores del polinomio de grado tres, así que procederemos a efectuar nuevamente la división sintética.

Los factores a probar de 15 siguen siendo los mismos: ± ± ± ±1 3 5 15, , , ; probemos ahora con −1

32

−1

−1 0 17

1 1 −17 15

1 0 −17 El residuo es 32Entonces (x+1) no es factor del polinomio

Matemáticas IV

161


Probemos con 3.

0

3

3 12 −15

1 1 −17 15

1 4 −5 El residuo es 0, por lo tanto(x−3) es factor del polinomio

Tenemos que la factorización queda de la forma siguiente:

f x x x x x( ) )( )( )= + − − −2 4 5 1 3(

Factorizando el trinomio f x x x x x( ) ( ) ( )( )= + − = + −2 4 5 5 1 , los factores

de la ecuación polinomial f x x x x x x x( ) ( ) ( )( )= − + − = − − +4 2 218 32 15 1 3 5 y, por lo tanto, sus raíces son:

x x x= = = −1 3 5 raíz doble y ( ),

Ejemplo 6: Hallar la ecuación polinomial de grado tres si tenemos que

sus raíces son 4 1 5 y + i .

Solución: Como la ecuación es de grado tres, tenemos ya las tres raíces. (Recuerda que la otra raíz es el conjugado del número complejo.)

x x i x i= = + = −4 1 5 1 5; y (el conjugado complejo)

Para encontrar la ecuación sólo nos resta efectuar las operaciones nece-sarias en:

( )( )( )x x i x i− − + − −4 1 5 1 5

Agrupamos términos: ( ) ( ) ( )x x i x i− − + − − 4 1 5 1 5

( ) ( ) ( )x x i− − − 4 1 52 2

( )( )x x x i− − + −4 2 1 252 2

pero como i2 1= −

( )( )x x x x x x x x− − + = − + − + −4 2 26 2 26 4 8 1042 3 2 2

La ecuación buscada es: x x x3 26 34 104 0− + − =

Ejemplo 7: Hallar la expresión del polinomio f x( ) de grado tres cuyos

ceros son 2, 6 y −5 , tal que f ( )3 24= − .

Solución: f x a x r x r x rn( ) ( )( )( )= − − −1 2 3

Sustituyendo por los ceros, tenemos: f x a x x xn( ) ( )= −( ) −( ) − −( )2 6 5

f x a x x xn( ) ( )( )( )= − − +2 6 5

Se toma el valor de

i = −1 , por lo que

i2 1= − .

Realiza una breve consulta bibliográfi -ca sobre las propiedades de los números complejos.

162

MIVMultiplicando, tenemos: f x a x x xn( ) ( )= − − +3 23 28 60

Sustituimos f ( )3 24= − f an( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 28 3 60 243 2= − − + = −

Resolviendo: an 27 27 84 60 24− − + = −

an ( )− = −24 24

an = =−−2424 1

La ecuación polinomial es: f x x x x( ) ( )= − − +1 3 28 603 2

f x x x x( ) = − − +3 23 28 60

que es la ecuación buscada.

Ejemplo 8. Si f x x x x x( ) = + − − −3 4 6 9 104 3 2 , hallar todos los ceros ra-cionales de f.

Solución: Las posibilidades para s son los factores de 10: ± ± ±1 2 5 10, , y ± . Las

posibilidades para t son los factores de 3: ± ±1 3 y , entonces las posibles raíces

racionales st son ± ± ± ± ± ± ± ±1 2 5 10 1

323

53

103, , , , , , y .

Probamos mediante división sintética siguiendo el orden en que aparecen enlistadas y encontraremos que −2 es un cero, como se muestra a continuación.

0

−2

−6 4 4 10

3 4 −6 −9 −10

3 −2 −2 −5 entonces f(x) = (3x3− 2x2 −2x −5)(x + 12)

Ahora necesitamos encontrar las raíces de 3 2 2 5 03 2x x x− − − = ; las po-

sibilidades para s son ± ±1 y 5 y las posibilidades para t son ± ±1 y 3 . Tenemos

que las posibles raíces racionales st son ± ± ± ±1 5 1

353, , y , al probar con los posibles

factores tenemos que 53 es un cero de f.

5 5 5

3 −2 −2 −5

3 3 3 0

53

Matemáticas IV

163


La ecuación que resulta es x x2 1 0+ + = , resolviendo por la fórmula cua-

drática da como resultado x xi i= =− + − −1 32

1 32 y , sólo que estos resultados no son

racionales. Fíjate que los ceros racionales de f son −2 y 53.

Regla de los signos de Descartes

La regla de Descartes de los signos establece que:

El número de raíces positivas de la ecuación polinomial f x( ) = 0

es igual al número de variaciones de signo del polinomio f x( ) , o bien a este número menos un entero positivo y par. El número de raíces negativas de

f x( ) = 0 es igual al número de variaciones de signos de f x( )− , o bien a este número menos un entero positivo y par.

Algo importante es que el polinomio f x( ) tiene coefi cientes reales con potencias ordenadas de forma decreciente.

Ejemplo 9: Hallar el número de raíces positivas y negativas de la ecua-

ción f x x x x x( ) = − + − + =8 6 32 2 3 14 0 .

Solución: Positivas: como podrás observar, el polinomio tiene 4 variacio-

nes de signo, por tanto el número de raíces positivas del polinomio f x( ) son

4 4 2 4 4,( ) ( )− − o , según la regla de los signos de Descartes.

Negativas: veamos ahora lo que sucede con el polinomio

f x x x x x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − − − + − − − + = − − + +8 6 3 8 6 32 2 3 14 2 2 3 14

Este polinomio tiene dos variaciones de signo, por lo tanto posee 2 o 0 raíces negativas.

Entonces tenemos que la ecuación puede tener 4, 2 o 0 raíces positivas,

2 o 0 raíces negativas y al menos 8 4 2 2− + =( ) raíces complejas.

Ejemplo 10: Establecer el número de raíces positivas, negativas y com-plejas de la ecuación

f x x x( ) = + + =2 7 6 04 2 , aplicando la regla de los signos de Descartes.

Solución: f x( ) no presenta ningún cambio de signo.

Verifi quemos f x x x( ) ( ) ( )− = − + − + =2 7 6 04 2 , tampoco presenta ningún

cambio de signo, entonces las 4 raíces son complejas, ya que f ( )0 0↑ .

Resumimos esta sección con una actividad grupal.

Recuerda que se produce

una variación de signo cuando dos términos conse-cutivos son de signo contrario.

164

MIVActividad de aprendizaje 3

Reúnanse en parejas y respondan justifi cando correctamente todos sus procedi-mientos a cada uno de los ejercicios.

1) Hallar el número de raíces positivas, negativas y complejas de las si-guientes ecuaciones, aplicando la regla de los signos de Descartes.

a. 3 2 12 5 03 2x x x+ − + =

b. x x2 5 3 0− + =

c. x x6 32 2 0+ − =

d. x x x6 24 3 1 0− − + =

e. x x4 22 3 0− − =

f. x x x4 2 2 1 0− − − =

2) Hallar las raíces racionales, si existen, de las siguientes ecuaciones, aplicando la regla de los signos de Descartes.

a. 2 3 27 03 2x x x− + − =

b. x x3 5 12 0+ + =

c. x x5 2 66 0+ − =

Resolución de ecuaciones polinomiales factorizablesAhora resolveremos algunas ecuaciones polinomiales que son factorizables. En al-gunos casos parece obvio el resultado, sin embargo, deberás seguir el procedi-miento para asegurar que tu resultado sea correcto; en algunos otros casos no será muy sencillo efectuar la factorización, pero deberás estar consciente de que el esfuerzo que hagas te reportará una gran recompensa.

Pasemos a la primera situación.

Resolver la siguiente ecuación: f x x x x( ) = − − + + =2 3 3 2 03 2

Los posibles ceros racionales son: ± ±1 2, . Utilizando estos divisores eva-luemos el polinomio.

Con x f= − = − − − − + − + = −1 1 2 1 3 1 3 1 2 23 2: ( ) ( ) ( ) ( ) . No es solución porque − ≠2 0 .

x f= − − = − − − − + − + =2 2 2 2 3 2 3 2 2 03 2: ( ) ( ) ( ) ( ) . Sí es solución por-que 0 = 0.

x f= = − − + + =1 1 2 1 3 1 3 1 2 03 2: ( ) ( ) ( ) ( ) . Sí es solución porque 0 = 0.

Matemáticas IV

165


x f= = − − + + = −2 2 2 2 3 2 3 2 2 203 2: ( ) ( ) ( ) ( ) . No es solución porque − ≠20 0 .

Ya que encontramos un cero racional, procedemos a encontrar los facto-res utilizando los divisores encontrados para realizar la división sintética.

4 2 2

2 3 3 2

2 1 1 0

−2

entonces el polinomio queda(−2x2 + x + 1) (x + 2)

Pues el factor −2x2+ x + 1 puedes factorizarlo de forma directa.

Las raíces de la ecuación son x x x= − = − =12 2 1, , y el polinomio queda

(−2x −1)(x + 2)(x−1)

La gráfi ca que corresponde a la ecuación es la siguiente (al usar una pe-queña tabulación).

−3 −2 −1 1 2 3

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

FIGURA 5.3.

Nota las raíces colocadas en sus respectivos lugares.

166


Resuelve y grafi ca individualmente las siguientes ecuaciones polinomiales:

a) f x x x x( ) = + − − =2 3 17 30 03 2

b) x x x4 23 27 0+ − − =

c) x x x3 27 11 5 0+ + + =

d) x x x3 2 7 3 0− − + =

SíntesisCon el propósito de que reafi rmes las habilidades adquiridas en la presente sesión, resuelve en tu libreta lo que se solicita.

I. En binas, realicen las siguientes actividades.

1) Hallen el residuo de las divisiones siguientes:

a. ( ) ( )2 3 18 4 23 2x x x x+ − − ÷ −

b. ( ) ( )x x x x4 33 5 8 1− + + ÷ +

c. ( ) ( )4 5 13 2 12x x x+ − ÷ +

2) Hallar los valores de k para los cuales 2 6 33 2x kx x k− + − es divisible entre x + 2 .

3) Aplicando la división sintética, hallen el cociente y residuo de las divi-siones siguientes:

a. ( ) ( )3 4 5 8 25 25 4 3x x x x x− − − + ÷ −

b. ( ) ( )4 10 13 2 12x x x x− + − ÷ −

c. Dado f x x x x( ) = − − +3 26 2 40 calcular f ( )4 .

II. En equipos, resuelvan las siguientes actividades.

1) Se sabe que una raíz de x x x3 22 23 60 0+ − − = es −3 . Encontrar las otras raíces.

2) Dos raíces de x x x x4 3 24 3 10 8 0+ − − + = son −2 y 1. Encontrar las otras raíces.

3) Las raíces de la ecuación ( )( ) ( )2 1 3 2 2 5 03x x x+ − − = son:

4) Escribir la ecuación de grado 3 cuyas raíces son: 5, 1, −3 .

5) Escribir la ecuación que corresponde a x x x+( ) +( ) −( ) =14

12 2 0 .

Matemáticas IV

167


6) Escribir la ecuación de menor grado, de coefi cientes reales, que tenga

dos raíces iguales a 2 1 3 y − i .

7) Hallar las raíces reales, si existen de x x3 6 0− − = .

8) Hallar las raíces reales, si existen de 2 2 4 03 2x x x+ + − = .

9) Grafi car la función f x x x( ) = + −3 3 . De acuerdo a la grafi ca respon-de lo siguiente. ¿Cuántas raíces reales y complejas tiene la ecuación

x x3 3 0+ − = ? Señala una raíz real, si existe de x x3 3 0+ − = . (Redon-dea a dos decimales.)

10) Aplicando la regla de los signos de Descartes, hallar las raíces raciona-

les, si existen, de la ecuación 2 66 05x x+ − = .

RealimentaciónA partir de esta sección se te propondrá una serie de ejercicios que contempla la sesión del presente bloque.

En forma individual, responde lo que se solicita. Realiza con cuidado tus operaciones y checa bien tus signos.

I. Encuentra los ceros reales y complejos de las siguientes funciones polinomia-les.

a) f x x x x( ) = − − +3 23 5 12

b) f x x x( ) = − +4 3 5

c) f x x x x( ) = + − +3 2 43 2

d) f x x x( ) = − +4 22 8

II. Dos raíces de la ecuación polionomial x x x3 2 8 6 0− − + = son 3 1, . Halla la tercera raíz.

III. Dos raíces de la ecuación polinomial x x4 2 2 0+ − = son 1 2 y − . Hallar las otras dos raíces.

IV. Responde las siguientes cuestiones subrayando únicamente la respuesta co-rrecta.

168

MIV1) La gráfi ca que corresponde a la ecuación polinomial − + + −x x x3 2 1 es:

a)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

b)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Matemáticas IV

169


c)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

d)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

FIGURAS 5.4 a 5.7.

2) Al evaluar f ( )−3 en la función x x x4 35 2 2+ − + , se obtiene:

a. 212

b. −46

c. 224

d. −58

170

MIV3) El residuo de dividir 8 30 5 2 15 34 2 3x x x x x− + − − ÷ −) ( ) es:

a. 38

b. 16

c. 26

d. −28

4) Al factorizar completamente la ecuación x x x3 23 10 24 0+ + − = , se ob-tiene:

a. ( )( )( )x x x+ − +4 6 2

b. ( )( )( )x x x− − −4 3 2

c. ( )( )( )x x x+ − +4 3 2

d. ( )( )( )x x x+ − +6 3 2

5) ¿Cuál de las siguientes propuestas es un cero de f x x x x x( ) = + + − −4 3 29 21 30?

a. −6

b. −5

c. 3

d. 1

6) En f x x x x x x( ) = − − − + +2 3 2 2 15 4 3 2 el número de ceros negativos posibles

de f x( ) es:

a. 3, 1 o 0

b. 1

c. 2 o 0

d. 4, 2 o 0

Matemáticas IV

171


7) Determina la función que corresponde a la gráfi ca.

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

FIGURA 5.8.

a. 2 1 32x x x( ) ( )− −

b. x x x x( )( )( )− + −1 1 3

c. x x x( )( )− +3 1

d. x x x2 1 3( )( )− −

8) La ecuación que corresponde a la siguiente gráfi ca es:

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

FIGURA 5.9.

a. x x x3 24 3− +

b. x x x3 22 3− +

c. x x x3 25 3− −

d. x x3 24 4+ +

172

MIVAnálisis de logrosResponde de nuevo la evaluación diagnóstica que se encuentra al principio del blo-que y ubica tu nivel de desempeño. Esto te servirá para que verifi ques el avance de tu aprendizaje.



Evaluación de las competencias


Producto, logro o

desempeño


5 3 1

Cono

cim

ient

os

Identifi co si un binomio de

forma x a− es factor de un polinomio, al momento de

ingresar la fórmula en la celda.

Describo la prueba del cero racional y defi no los teoremas

fundamentales del algebra y de la factorización lineal, por lo

tanto identifi co qué hacer en la hoja de Excel.

Identifi co si un binomio de forma

x a− es factor de un polinomio, pero se me difi culta ingresar la fórmula en la celda de Excel.

Describo la prueba del cero racional y defi no los teoremas

fundamentales del algebra y de la factorización lineal, pero identifi co con difi cultad el procedimiento en

la hoja de Excel.

Identifi co con difi cultad si un

binomio de forma x a− es factor de un polinomio, por lo que no puedo ingresar la fórmula en la

celda de Excel.

No describo la prueba del cero racional ni defi no los teoremas fundamentales del álgebra y de

la factorización lineal, por lo que no identifi co el procedimiento a

seguir en la hoja de Excel.

Hab

ilida

des

Obtengo los ceros y las gráfi cas de funciones polinomiales

factorizables mediante la hoja de cálculo de Excel.

Determino los ceros de la ecuación polinomial de que se

trate mediante la hoja de cálculo de Excel.

Aplico las propiedades de las funciones polinomiales en

la resolución de problemas, utilizando la tecnología.

Obtengo los ceros pero represento gráfi camente con difi cultades y pequeños errores la función polinomial de que se trate.

Determino con difi cultad los ceros de la ecuación polinomial mediante

el uso de la hoja de Excel.

Aplico las propiedades de las funciones polinomiales en la

resolución de problemas, pero se me difi culta el uso de la

tecnología.

No puedo obtener los ceros y representar gráfi camente la

función polinomial dada.

No puedo determinar los ceros de la ecuación polinomial usando la

tecnología.

No puedo aplicar las propiedades de las funciones polinomiales en

la resolución de problemas ni usar la tecnología.

Acti

tude

s


proyecto, además de que aporto puntos de vista personales al mejoramiento del trabajo.

Actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia

mis compañeros y docente, de manera que prevengo errores que mi equipo pueda generar y los corrijo acertadamente, oportunamente y con tacto.


proyecto.

Actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un

ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, pero no prevengo errores que mi equipo

genera ni los corrijo.

Presento disposición discontinua al trabajo colaborativo en el

proyecto.

No actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un

ambiente de respeto hacia mis compañeros ni prevengo errores

que mi equipo genera.

Puntaje 15 9 3

Matemáticas IV

173



Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Cono

cim

ient

os

Obtengo el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x a− , utilizando el teorema del residuo.

Identifi co si un binomio de la forma x a− es factor

de un polinomio, usando el teorema

del factor.

Comprendo el proceso de la

división sintética para un polinomio y un binomio de la

forma x a− .

Describo la prueba del cero racional y defi no los teoremas fundamentales del

álgebra y de la factorización lineal.

Reconozco los ceros reales y complejos

de funciones polinomiales factorizables.

La mayoría de las veces obtengo el residuo de la división de un

polinomio entre un binomio de la forma x a− , utilizando el teorema del

residuo.

La mayor parte de las veces identifi co si un binomio de la forma x a− es factor de un

polinomio, usando el teorema del

factor.

La mayoría de las veces comprendo el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la

forma x a− .

La mayoría de las veces describo la prueba del cero racional y defi no

los teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización

lineal.

La mayor parte de la veces reconozco

los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables.

Algunas veces obtengo el

residuo de la división de un

polinomio entre un binomio de

la formax a− , utilizando el teorema del

residuo.

Algunas veces identifi co si un binomio de la forma x a−

es factor de un polinomio, usando

el teorema del factor.

Algunas veces comprendo el proceso de la

división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x a− .

Algunas veces describo la

prueba del cero racional y defi no

los teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización

lineal.

Algunas veces reconozco los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables.

Pocas veces obtengo el residuo de la división de

un polinomio entre un binomio de la

formax a− , utilizando el teorema del

residuo.

Pocas veces identifi co si un binomio de la forma x a−

es factor de un polinomio, usando

el teorema del factor.

Pocas veces comprendo el proceso de la

división sintética para un polinomio y un binomio de la

forma x a− .

Pocas veces describo la prueba del cero racional y defi no los teoremas

fundamentales del álgebra y de la factorización

lineal.

Pocas veces reconozco los ceros reales y complejos


No obtengo el residuo de la división de un

polinomio entre un binomio de la

formax a− , ni utilizo el teorema del

residuo.

No identifi co si un binomio de la

forma x a− es factor de un polinomio, ni

uso el teorema del factor.

No comprendo el proceso

de la división sintética para un polinomio y

un binomio de la forma x a− .

No describo la prueba del cero racional ni defi no los

teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización

lineal.

No reconozco los ceros reales

y complejos de funciones polinomiales factorizables.

174


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Hab

ilida

des

Determino si un binomio de la forma

x a− es factor de un

polinomio, sin necesidad de

efectuar la división.

Obtengo en forma abreviada el

cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un

binomio x a− .

Obtengo los ceros y las gráfi cas de funciones polinomiales factorizables.

Obtengo los ceros y las gráfi cas de funciones polinomiales factorizables.

Frecuentemente determino si un binomio de la

forma x a− es factor de un polinomio, sin necesidad de


La mayoría de las veces obtengo en

forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un

polinomio entre un

binomio x a− .

La mayor parte de las veces

obtengo los ceros y las gráfi cas de funciones polinomiales factorizables.

Frecuentemente obtengo los ceros

y las gráfi cas de funciones polinomiales factorizables.

Algunas veces determino si un binomio de la

forma x a− es

factor de un polinomio, sin necesidad de


Algunas veces obtengo en forma

abreviada el cociente y el residuo de la división de un

polinomio entre un binomio x a− .

Algunas veces obtengo los ceros


Algunas veces obtengo los ceros


Pocas veces determino si un binomio de la

forma x a− es factor de un polinomio, sin necesidad de


Pocas veces obtengo en forma

abreviada el cociente y el residuo de la división de un

polinomio entre un

binomio x a− .

Pocas veces obtengo los ceros


Pocas veces obtengo los ceros


No determino si un binomio de la

forma x a− es

factor de un polinomio, sin necesidad de efectuar la división.

No obtengo en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un

polinomio entre un binomio

x a− .

No obtengo los ceros y las gráfi cas


No obtengo los ceros y las gráfi cas


Matemáticas IV

175



Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Acti

tude

s

Aporto puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma refl exiva y

tolerante, además que demuestro disposición para

trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas

aplicativos.

Propongo en toda ocasión alternativas

para dar solución a problemas matemáticos.

Aporto puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros

de forma refl exiva y tolerante, pero

en ocasiones demuestro poca disposición para


aplicativos.

Propongo frecuentemente alternativas para

dar solución a problemas matemáticos.

Aporto, en la mayoría de

las ocasiones, puntos de vista con apertura y


refl exiva y tolerante, además

que demuestro disposición para


aplicativos.

Propongo, en la mayor parte de las ocasiones,

alternativas para dar solución a problemas matemáticos.

Aporto, en pocas ocasiones, puntos

de vista con apertura, pero no considero los de mis compañeros

de forma refl exiva, además demuestro poca disposición para


aplicativos.

Propongo, pocas veces, alternativas

de solución para problemas matemáticos.



y tolerante, además que

no demuestro disposición




No propongo alternativas

para dar solución a problemas

matemáticos.

Puntaje 15 12 9 6 3

Bloque VI

Objetos de aprendizaje:

• Función racional

• Dominio de defi nición de una función racional

• Asíntotas horizontales

• Asíntotas verticales

• Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas.

Aplicas funciones racionales


• Identifi ca el dominio de defi nición de las funciones racionales y deter-mina la existencia de asíntotas verticales.

• Emplea la calculadora para tabular valores de funciones racionales.

• Aplica los criterios para determinar la existencia de asíntotas horizon-tales y oblicuas y utiliza estas para dibujar la gráfi ca de una función racional.

• Aplica las propiedades de las funciones racionales y su relación con rectas que son asíntotas para solucionar problemas teóricos o prácticos.


Genéricas:


6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, con-siderando otros puntos de vista de manera crítica y refl exiva.









178

MIVDinamización y motivaciónA continuación responde las siguientes cuestiones en tu libreta de trabajo, reali-zando los procedimientos que sean necesarios para sustentar tus repuestas.

1) Determina el dominio de las siguientes expresiones:

a. f x xx( ) = −5

b. g x xx( ) = +

2

4

2) En la función h x xx x

( ) .= ++ +

2

27

2 9 5 ¿Cuál es su dominio?

3) Las asíntotas que se muestran en la gráfi ca indican las traslaciones que

sufrió y x= 3 , con base en estas determina la nueva expresión (una sola expresión) que contenga todas estas traslaciones.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

FIGURA 6.1

4) Para la función h x xx( ) ,= −+

13 obtén:

a. Su intersección con los ejes

b. Sus asíntotas verticales y horizontales

c. Su gráfi ca

5) Obtener en la función h x xx( ) = ++

2 11 :

a. Sus intersecciones con los ejes.

b. Sus asíntotas oblicua y vertical según corresponda.

c. Su gráfi ca.

Las soluciones que dé tu profesor te permitirán situarte en el nivel que te corresponda según la tabla, el objetivo es valorar y considerar lo que se requiere para mejorar.

Matemáticas IV

179

BVIAplicas funciones racionales

Observación: al dar las soluciones tu profesor solo realizará comentarios generales, sin profundizar especifi caciones y justifi caciones, ya que en el trascurso de este bloque se estudiará en detalle lo concerniente a la evaluación anterior.




cercano al correcto


alcanzaste



Reconozco y determino el dominio así como las

asíntotas de las funciones racionales.

Nivel Autónomo 7 a 8 puntosEstablezco en varias

funciones racionales su dominio y sus asíntotas.

Nivel Básico 5 a 6 puntosEn algunas funciones

racionales determino su dominio y ciertas asíntotas.


He comenzado a defi nir en algunas funciones racionales

su dominio y algunas asíntotas.

Nivel Preformal 0 a 1 puntos

No puedo defi nir el dominio de una función racional y

tampoco puedo determinar sus asíntotas.

Considera el nivel en que te clasifi caste. Al fi nal del bloque volverás a resolver tu evaluación para conocer los avances que has logrado.

ContextualizaciónCuántas veces a través de la televisión, la prensa, la radio u otros medios nos hemos enterado de que a ciertas horas del día nos debemos proteger con bloquea-dores solares contra los rayos ultravioleta, ya que pueden causar daños a nuestra piel. La efectividad de los bloqueadores solares antes mencionados es modelada a través de funciones racionales, funciones que estudiaremos en este bloque. Con-

sideremos la función v x xx( ) = −−

13 742 11 , que representa la efectividad de un bloqueador

recién salido a la venta en el mercado. Si dicho bloqueador es aplicado a las 11 de la mañana, responde las siguientes cuestiones (pueden formar equipos para solucionarlas):

180

MIV

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13-1

1

2

3

4

5

6

7

8

m

%e

0=11.a.m; donde 1=10 minutos

0

Efectividad

Protección rayos ultravioleta

(1=10%)

FIGURA 6.2

1) ¿Cuál es el porcentaje de protección al momento de la aplicación?

2) ¿En cuánto tiempo se acabará su capacidad de protección?

Las funciones racionales también se usan para obte-ner promedios, para analizar la capacidad de memoria o más bien su pérdida, los ecologistas o biólogos las utilizan para conocer la extinción de alguna especie, etcétera.

Como habrás observado, el estudio de las funciones racionales no sólo es interesante, sino que además reviste una gran importancia para modelar situaciones de la vida diaria. Por lo tanto, iniciemos su estudio a detalle.

Proyecto Para concluir este bloque se te presenta una situación en forma de proyecto, para que sirva de evidencia de las competencias que se necesitan generar en el presen-te bloque. Además les servirá de conexión con las tecnologías de la información y comunicación, que también forma parte de las competencias genéricas a desarro-llar. Adelante y a realizar el mejor de los trabajos.

Proyecto Variación directa como caso particular de una función racional

Problema Emplear la variación inversa en la solución de problemas



Competencias

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Matemáticas IV

181


Actividades

En equipos diseñados por el profesor (no más de 3 integrantes) realizarán actividades relacionadas con la variación directa, razón por la cual a continuación se defi ne: “x varía inversamente o es inversamente proporcional a y si y k

x= , donde k es una constante de proporcionalidad. Es decir, y está en variación inversa con x, e inversamente. Otra manera de verla es mediante la relación xy k= ”. Ejemplos de variación directa son: en una obra, el número de obreros respecto al tiempo de conclusión de la misma; otro sería el espacio vacío de volumen en un vaso, respecto a la cantidad de líquido que se deposita dentro de él.

Considerando la defi nición anterior, realizarán las siguientes actividades. Su profesor sólo les dará soporte en lo que se refi ere a dudas sobre qué realizar en este proyecto, no cómo.

1. Según la ley de Boyle, a temperatura constante la presión P ejercida por un gas comprimido está en variación inversa al volumen V que ocupa.

a) Representen la relación con su constante de variación.

b) Si en un volumen de 300 cm3 se ejerce una presión de 20 libras por cm2 , determinen el valor de la constante de variación.

c) Si tienen un volumen de 400 cm3 , determinen cuál será la presión esperada por el gas.

2. La ley de la gravitación descubierta por sir Isaac Newton indica que la fuerza F de atracción de dos objetos varía conjuntamente respecto a sus masas m1 y m2 , e inversamente respecto al cuadrado de la distancia d que las separa.

a) Encuentren la relación de esta variación.

b) Si la distancia entre dos objetos cambia de 6 a 3 m, ¿cómo o qué tanto cambia la fuerza en estos casos?

c) Si las masas se triplican y la distancia entre los dos cuerpos se duplica, ¿cómo o qué tanto cambia la fuerza en este caso?

d) ¿Por qué no es necesario conocer el valor de la constante de variación en los incisos b y c?

3. Encuentren una situación de la vida real que aplique la variación inversa, y en donde con unos datos se pueda determinar la constante de variación y así resolver otras situaciones que se desprendan de ello.

• Tras resolver las tres actividades, preparen una exposición sobre el método que emplearon en cada uno de ellos, así como sus resultados.

• La actividad 3 no debe coincidir con ninguno de los equipos restantes.

Recursos Libro de texto, PC, software informático de grafi cación, hojas en blanco, impresora, libros de consulta en la biblioteca.

Normas

Este trabajo deberá entregarse en la fecha señalada por el docente y, en caso de que un elemento del equipo falte, se resolverá según el criterio de tu profesor.


Cada integrante del equipo trabajará, explicará y argumentará oral y analíticamente lo necesario cuando se le solicite.

Si dos o más equipos tienen coincidencias en la actividad 3, entonces recibirán la penalización que el docente sugiera.

182

MIVSesión A: Asíntotas y grafi cación de funciones racionalesSaberesDel saber

• Identifi co las características de las funciones racionales para determi-nar su comportamiento.

• Describo los comportamientos analíticos y gráfi cos de las diferentes asíntotas de las funciones racionales provenientes de situaciones hipo-téticas o reales.

Del saber hacer• Obtengo los diferentes tipos de asíntotas que posea una función racio-

nal para estudiar su comportamiento analítico y gráfi co.

• Determino el dominio de defi nición de funciones racionales que me con-duzcan a su utilidad en diferentes áreas.

Del saber ser• Aporto puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros

de forma refl exiva, tolerante y constructiva.

• Actúo proponiendo diferentes métodos de solución a los problemas hi-potéticos o reales presentados.

• Reconozco mis errores en los procedimientos y tengo disposición para solucionarlos.

Problematización Ya se han tratado las funciones polinomiales de diferentes tipos, es decir, desde la función constante hasta las funciones de grado mayor a tres. Has trabajado con las características analíticas y gráfi cas de cada una de ellas; sin embargo, en esta unidad nos corresponde examinar las funciones llamadas racionales, las cuales son una extensión de las funciones polinomiales.

Para comprender esta afi rmación, recordaremos los conceptos básicos que analizaste en cursos pasados de matemáticas. A saber, el orden y agrupación de los números reales. Estos números reales se dividían o agrupaban en varios con-juntos y subconjuntos. La siguiente gráfi ca refrescará tu memoria:

Reales

Racionales

Enteros

Naturales

Irracionales

FIGURA 6.3 Los números reales.

Matemáticas IV

183


Como podrás observar, los primeros elementos que estudiaste fueron los

números naturales (1, 2, 3, 4,…), de donde provienen los enteros ( , , , , , ,...)− −2 1 0 1 2 3 al añadirles signo negativo a los naturales y considerar al cero. Después se cons-truyó el conjunto de los números racionales ( , / , / ,...)2 3 1 2 5 11− o fraccionarios, estos últimos se formaron al colocar dos enteros en la forma p

q , donde q ↑ 0 ,es decir, al poner dos enteros, uno en el numerador y otro en el denominador, se ob-tuvo una nueva categoría de número: el racional. Este último conjunto es mayor al de los enteros, pues los enteros están comprendidos en los racionales, esto es, los enteros son un subconjunto de los racionales. ¿Por qué? Lo que ocurre es que cada uno de los números naturales se puede ver como un número racional, por ejemplo, el número entero −2 se puede ver como el número racional −2

1 , el en-tero 0 como el racional 0

1 y así sucesivamente. Por lo tanto, los números enteros están comprendidos en los racionales. Es importante en este recordatorio que el denominador q del número racional sea diferente de cero, pues en caso contrario no estaría defi nido.

¿Hacia dónde nos dirigimos con este recordatorio y cómo se relacionan estos hechos con las funciones polinomiales ya vistas y las funciones racionales que estamos a punto de considerar? Esto es un trampolín para comprender mejor el comportamiento y características de las funciones racionales, es decir, los núme-ros racionales y las funciones racionales (que también se puede considerar como un conjunto) tienen ciertas características en común.

En plenaria, discutan cómo se formaría una función racional, conside-rando lo señalado anteriormente. Relacionen las similitudes con la ayuda de tu profesor. Más adelante se defi nirán las funciones racionales.

Desarrollo de saberesAhora estudiaremos una serie de aplicaciones para las funciones racionales, con el fi n de que vayas asimilando su comportamiento.

Supongamos que tenemos la función f x xx( ) = +−

23

Una tabla de valores ha de considerarse como sigue:

x −2 −1 0 1 2 3 4

y

Calculando los valores de las ordenadas a cada una de estas abscisas con la función dada, se obtiene:

x −2 −1 0 1 2 3 4

y 0 −0 25. −0 66. −1 5. −4 ¿? 6

184

MIV¿Qué ocurre en el valor x = 3 ? Al realizar los cálculos con calculadora o

mediante otro método obtenemos un valor indefi nido que resulta de dividir entre cero. Por el momento le colocamos el símbolo de interrogación. En los valores de x = 2 obtenemos un valor negativo, en el valor de x = 4 un valor positivo, ¿qué

está pasando? Para saberlo primero vamos a utilizar valores cercanos a x = 3 por la izquierda y por la derecha, sin usar el valor 3. Para ello tenemos la siguiente tabla extendida:

x 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1

y −49 −499 −4999 5001 501 51

Observamos que mientras nos acercamos cada vez más al valor de x = 3 por la izquierda la función tiende a darnos valores negativos muy grandes; mien-tras que para valores cercanos por la derecha la gráfi ca crece sin límite hacia arriba. Tal vez te parecerá complicado reconocer la gráfi ca que corresponde a esta función, pero esto es algo que detallaremos más adelante.

Ahora proponemos la siguiente actividad, que te aproximará más a la com-prensión de este tipo de funciones racionales antes de defi nirlas estrictamente.

Actividad de aprendizaje 1Completa la siguiente tabla de valores que corresponde a la función f x x( ) = −1 y contesta las cuestiones que se te solicitan.

x −10 −5 −2 −1 −0 5. −0 2. −0 1. −0 01. 0.01 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10

y

a) ¿Qué ocurre con los valores de y cuando los valores de x van siendo cada vez más pequeños, es decir, cuando se van alejando por la izquierda?

b) ¿Qué pasa con los valores de y cuando los valores de x están cercanos al cero por la izquierda? ¿Por la derecha qué sucede?

c) ¿Qué ocurre con los valores de y cuando los valores de x van siendo cada vez más grandes, es decir, cuando se van alejando por la derecha?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y con tu profesor y traten de determinar cómo sería la representación gráfi ca de la función dada.

Después del análisis realizado, pasamos a desarrollar la teoría básica de las funciones racionales.

Matemáticas IV

185


Función racionalAsí como se construyeron los números racionales a partir de los enteros, de forma similar se construyen las funciones racionales, pero estas a partir de los polino-mios.

Una función racional se forma como:

f x P xQ x( ) ( )

( )=

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio cero. El dominio de esta función f, es R a excepción de los ceros de Q(x).

Cabe señalar que en el denominador el polinomio Q no es el polinomio

cero, es decir que Q x( ) ↑ 0 . Vamos a suponer también que los polinomios P y Q no tienen factores en común.

Después de esto, queda claro que todo polinomio se puede ver como una función racional, por ejemplo:

f x c c( ) ,= = 1 g x x x x x( ) .= − + = − +3 2 12 3 2 11

2

Esto mismo ocurre en el ámbito de los números reales, es decir, cada en-tero se podía representar como un racional, además de que el denominador debe ser diferente de cero. De ahí la relación básica entre las funciones racionales, ade-más de otras pautas de similitud y correspondencia que no se tratan en esta obra.

Asíntotas

En el caso de la función f x xx( ) = +−

23 , señalada al inicio del bloque, observamos que

existe un problema con el valor x = 3 . Razón por la que tomamos valores cercanos a 3 por la izquierda y por la derecha, tal como el caso de 2.99, 2.999, 3.001 y 3.01.

Los valores por la izquierda de 3 (2.99 y 2.999) nos dieron valores cada vez más pequeños, es decir, cada vez que nos acercamos más al 3 obtenemos nú-meros decrecientes hasta lograr valores inimaginablemente grandes en valor abso-luto, pero negativos. Para representar este hecho utilizamos la siguiente notación:

f x( ) → −∞ cuando x → 3 por la izquierda

Esto se lee: “ f x( ) se acerca o tiende al infi nito negativo cuando los valo-res de x acercan al 3 por la izquierda”. Recuerda que el valor ° (se lee: infi nito) representa un número extremadamente grande e inalcanzable, ya sea positivo o negativo.

Por otro lado, cuando consideramos valores a la derecha del 3, tales como 3.01 y 3.001, se determinan valores cada vez mayores que cualquier número preestablecido. De forma similar, esto se describe matemáticamente:

f x( ) → ∞ cuando x → 3 por la derecha

Ten presente las siguientes

relaciones:

a a0 0= ∞ =∞, .

186

MIVEsto es: “ f x( ) se acerca o tiende al infi nito cuando los valores de x

acercan al 3 por la derecha”.

Observemos cómo será de forma parcial la gráfi ca de esta función cerca

del valor de x = 3 .

−4 −2 2 4 6 8 10 12

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

x

y

Asíntota vertical 3=x

Observa la leyendade la figura

FIGURA 6.4 Gráfi ca de la función f x xx( ) .= +−

23

Algo similar encontramos para el caso de la función f x x( ) = −1 . En este caso el detalle ocurre cerca del punto x = 0. Para no ir más lejos, te presentamos la gráfi ca de tal función para su análisis.

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

x

y

Asíntota vertical 0=x

Observa la leyendade la figura

FIGURA 6.5 Gráfi ca de la función f x x( ) .= −1

Se observa que:

• f x( ) → ∞ cuando x → 0 por la izquierda

• f x( ) → −∞ cuando x → 0 por la derecha

Matemáticas IV

187


En las fi guras 6.1 y 6.2 se distinguen las asíntotas verticales, las cuales

Una asíntota vertical de la gráfi ca de f en el valor x = a está presen-te si se cumple cualquiera de las siguientes relaciones:

• f x( ) → ∞ cuando x a→ por la izquierda

• f x( ) → −∞ cuando x a→ por la izquierda

• f x( ) → ∞ cuando x a→ por la izquierda

• f x( ) → −∞ cuando x a→ por la izquierda

En las gráfi cas 6.3 y 6.4 se tienen asíntotas verticales en x = 3 y x = 0 (eje Y) respectivamente.

Gráfi camente una asíntota es una línea a la cual la gráfi ca se acerca mu-cho, pero sin llegar a cortarla.

Existen varios tipos de asíntotas en las funciones racionales:Existen varios tipos de asíntotas en las funciones racionales:

• Las asíntotas verticalesLas asíntotas verticales

• Las asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales

• Las asíntotas oblicuasLas asíntotas oblicuas

En el caso de las dos funciones anteriores f x xx( ) = +−

23 y f x x( ) = −1 , vemos

que ya están reducidas a sus mínimas expresiones, es decir, el denominador y nu-merador no poseen factores comunes, así que consideremos los denominadores de cada uno.

Para el primer caso se tiene que el denominador x − 3 tiene un cero en 3. Esto se determina al hacer el denominador Q = 0 y hallar los ceros, o sea

x − =3 0 , y despejando x se tiene que x = 3 . Razón por la cual determinamos que

el dominio de f x xx( ) = +−

23 serán todos los reales a excepción del valor 3; en términos

matemáticos: D R= −{ }3 . Observamos que en el valor 3 de la expresión f ( )3 5 0= no está indefi nida.

En el segundo caso el denominador es x, por lo que su cero será x = 0 .

Entonces su dominio estará dado por D R= −{ }0 .

Estamos en la posición de señalar un criterio para determinar una asín-tota vertical.

La gráfi ca de la función racional f x P xQ x( ) ( )

( )= , donde P x( ) y Q x( ) no tienen factores comunes, tiene a la recta x a= como una asíntota vertical

sólo si a es un cero de Q x( ) , es decir, si Q a( ) = 0 .

188

MIVConsideremos unos ejemplos.

Ejemplo 1: Determina el dominio y las asíntotas verticales de cada una de las funciones racionales que se dan a continuación:

a) f x xx( ) = ++2

3 4

b) f x x xx( ) = + −−

2 62

Solución:

a) El numerador y denominador no tienen factorización, por lo que no poseen factores comunes. Así, en el denominador hacemos 3 4 0x + = , de donde x = −4 3 . Claramente el dominio de esta función será D R= − −{ }4 3 . Además, la asíntota vertical será x = −4 3 .

b) En este inciso observamos primero el dominio de la función, por lo que

tomamos el denominador y observamos que es x − =2 0 , por lo que x = 2 , así que el dominio es D R= −{ }2 . Para determinar la asíntota notamos que el numerador es factorizable, de manera que la función

quedará ya simplifi cada de la forma f x xx xx

x xx( ) ( )( )= = = ++ −

−− +

−

2 62

2 32 3 tras

cancelar los factores comunes. Esta función no corresponde al principio señalado arriba para determinar las asíntotas verticales, ya que el nu-

merador y denominador tenían el factor común ( )x − 2 que al cancelarlo el denominador “desaparece”. Por lo tanto, no tendrá asíntota vertical.

Señalamos la gráfi ca de esta última función.

−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

( )2

62

−−+=

xxxxf

FIGURA 6.6 Gráfi ca de la función f(x) = x2 + x − 6x − 2

Observa que existe un punto vacío en la gráfi ca que corresponde al valor inaceptable x = 2 de la función. Este valor se eliminó al defi nir su dominio. Por esta razón no se representa gráfi camente.

Proponemos una actividad que introducirá el siguiente tipo de asíntota.

Matemáticas IV

189


Actividad de aprendizaje 2En equipos de tres integrantes propongan, con argumentos claros, soluciones a los

cuestionamientos. Consideren la función f xx

( ) = 12 . En caso necesario hagan con-

sensos para establecer sus conocimientos previos y que se aplicarán aquí.

a) ¿Cuál es el dominio de la función?

b) ¿Para qué valores de x la función es negativa?

c) ¿Para qué valores de x la función es positiva?

d) Determina su asíntota vertical

e) Calcula sus intersecciones con los ejes

f) Completen la tabla siguiente:

x −10 −5 −2 −1 −0 5. −0 2. −0 1. −0 01. 0.01 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10

y

g) Tracen su gráfi ca.

Tras haber completado la actividad, podremos observar que los valores de f x( ) se van haciendo más pequeños y acercándose a cero a medida que los valores de x son grandes, tanto positivos como negativos; por ejemplo f f( ) ( ) .− = =10 10 0 01 , así que notamos que:

f x( ) → 0 cuando x → −∞ y

f x( ) → 0 cuando x → ∞

Esto indica que f x( ) se acerca o tiende al valor 0 cuando x se aproxima a −∞ y a ° , es decir, cuando x decrece sin límite o cuando crece sin límite.

Con esta actividad podemos asegurar la existencia gráfi ca de las

asíntotas horizontales, que en el caso anterior es la recta y = 0 , que equivale al eje X.

Una asíntota horizontal de la gráfi ca de f en el valor y = b está pre-sente si se cumple cualquiera de las siguientes relaciones:

• f x b( ) → por la derecha cuando x → ∞

• f x b( ) → por la derecha cuando x → −∞

• f x b( ) → por la izquierda cuando x → ∞

• f x b( ) → por la izquierda cuando x → −∞

Damos una proposición que nos servirá para determinar las asíntotas ho-rizontales:

190

MIV La función racional f x a x a x a x a

b x b x b x bn

nn

n

mm

mm( ) = + +⋅⋅⋅+ +

+ +⋅⋅⋅+ +−

−

−−

11

1 0

11

1 0

tendrá por asíntota ho-rizontal:

• Al eje X ( )y = 0 , cuando n m<

• A la recta y abn

m= , cuando n m=

• A ninguna recta, es decir, no posee asíntota horizontal, cuando n m>

Una vez tratados estos conceptos, procedemos a aplicarlos en algunos ejemplos.

Ejemplo 2: Determina las asíntotas verticales y horizontales de las fun-ciones:

a) f x xx

( ) =−2 16

b) g x xx

( ) =−

83 27

2

2

Solución: En ambos casos las funciones están en su mínima expresión.

a) Verticales. En el denominador observamos sus ceros, los cuales son

x2 16 0− = , entonces x2 16= , de lo cual se tiene x = 4 y x = −4 ; es-

tas son las dos asíntotas verticales. El dominio será D R= − −{ }4 4, .

Horizontales. Como el grado del numerador es n = 1 y el del denomi-nador m = 2 , nos colocamos en el primer caso, en donde n m< , por lo

cual la asíntota horizontal es la recta y = 0 (eje X).

b) Verticales. Aquí hallamos las raíces del denominador 3 27 02x − = , de

donde se tendrá que x = 3 y x = −3 . Estas son las asíntotas verticales.

El dominio es D R= − −{ }3 3, .

Horizontales. Es el segundo caso donde n m= =2 , por lo cual la asíntota ver-

tical es la recta y = 8 3 .

Trazamos con fi nes de ubicación la gráfi ca de la función g x( ) .

Matemáticas IV

191


−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

y

( )273

82

2

−=

xxxg

3=x

3−=x

83=yx

FIGURA 6.7 Gráfi ca de la función g x xx

( ) =−

83 27

2

2 y sus asíntotas verticales y horizontales.

Es de notar que en esta fi gura la función g x( ) está representada en 3 partes, ya que tiene 2 asíntotas verticales. Estas gráfi cas se llaman discontinuas, pues están dadas por secciones, ramas o pedazos.

Por último, pasamos a las asíntotas oblicuas.

Una asíntota oblicua es una que no es vertical ni horizontal. La

función racional f x P xQ x( ) ( )

( )= , donde el grado de P x( ) es mayor en uno que el

grado de Q x( ) , tendrá una asíntota oblicua.

Para determinar esta asíntota oblicua se procede a:

• Dividir el polinomio del numerador entre el del denominador, obtenien-do una función cociente y lineal más otra racional. Esto lo representa-

remos como P xQ x

r xQ xC x( )

( )( )( )( ) ,= + en donde C x( ) es el cociente de grado uno

y r x( ) el residuo de dividir P xQ x

( )( ) .

• Hacer crecer o decrecer a x sin límite para que r xQ x

( )( ) → 0 con lo que

f x C x( ) ( )→ , la cual es la función lineal C x( ) y esta será la asíntota

oblicua de f x( ) .Consideramos esto en un ejemplo.

Ejemplo 3: Determina las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de

la función f x xx( ) .= −+

2 41

Solución: Aquí se trata de una función ya reducida.

Verticales. Se obtiene que x = −1 es la asíntota vertical.

r xQ x

( )( )

= 0 cuando

x → ∞ o x → −∞, por-que el eje x y( )= 0 es una asíntota horizontal

de r xQ x

( )( )

, ya que el gra-

do de r(x) es menor que el grado de Q(x).

192

MIVHorizontales. Ya que n m= > =2 1 , entonces no tiene asíntota horizontal.

Oblicua. Puesto que n m− = 1 , entonces habrá una asíntota oblicua.

Primero se realiza la división de x2 4− entre x + 1, de lo cual se obtiene

que f x xxx x( ) ( ) .= = − −−+ +

2 41

311

Ahora, haciendo que x → ∞, se tendrá que f x x( ) ( )→ −1 , así que la

ecuación de la asíntota oblicua será y x= −1 .

Se te presenta la gráfi ca correspondiente a las asíntotas de esta función.

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

x

y

( )142

+−=

xxxf

1−=x

Asíntota oblicua1−= xy

FIGURA 6.8 Asíntotas de la función f x xx( ) .= −+

2 41

Para reforzar el conocimiento de las asíntotas, aquí te propongo una actividad en equipo.

Actividad de aprendizaje 3Reúnanse en equipos de 3 integrantes y respondan a la siguiente afi rmación: “la recta x = 4 es una asíntota de la función f x( )”. Un alumno de primaria acudió al COBAY para hacer una investigación con alumnos de 4o semestre acerca de las asíntotas. Él pregunta qué es una asíntota. Su tarea es describírsela sin mencionar las palabras o tecnicismos vistos en este bloque. Es decir, ¿cómo se lo explicarían si sólo sabe matemáticas básicas? Discutan la mejor respuesta y denla a conocer a su grupo.

Concluimos el análisis de estas funciones mediante las herramientas de utilidad para su representación.

Gráfi cas de funciones racionalesYa señaladas la conformación, dominio y los tipos de asíntotas de las funciones racionales, preparamos esta última sección, donde se aplicarán los conceptos para el análisis de estas funciones de forma gráfi ca.

Con fi nes didácticos, proporcionamos los principales pasos para lograr la representación de una función racional.

Matemáticas IV

193


Pasos para trazar las gráfi cas de una función racional:Pasos para trazar las gráfi cas de una función racional:

• Hallar las intersecciones con los ejes.Hallar las intersecciones con los ejes.

• Determinar las posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.Determinar las posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

• Localizar algunos puntos adicionales de la gráfi ca. Mientras más ten-Localizar algunos puntos adicionales de la gráfi ca. Mientras más ten-gamos mucho mejor. Es preferible considerar también valores muy gamos mucho mejor. Es preferible considerar también valores muy cercanos a las asíntotas verticales tanto por la izquierda como por la cercanos a las asíntotas verticales tanto por la izquierda como por la derecha.derecha.

Ejemplo 4: Obtener la gráfi ca de la función racional f x xx( ) .= −+

2 41

Solución: Ya discutimos en parte esta función, de manera que retomare-mos de manera breve lo realizado. Comencemos siguiendo las sugerencias:

Intersecciones. En el eje X se tiene que x2 4 0− = , de donde x = 2 y x = −2 . En

el eje Y se considera y = −4 . Con esto sabremos que la gráfi ca tocará al eje X en 2 y −2 , y al eje Y en −4 .

Asíntotas. Esto se discutió en el ejemplo 3, donde la vertical fue x = −1 . No

tiene horizontal. La oblicua es la recta y x= −1 .

Tabulación. El único detalle es considerar valores cercanos a la asíntota x = −1 . Una tabla podría ser la siguiente:

x −6 −4 −2 −1 5. −1 1. −0 9. −0 5. 0 2 4 6

y −6 4. −4 0 3.5 27.9 −31 9. −7 5. −4 0 2.4 4.57

La gráfi ca se muestra en la fi gura 6.5. Sólo resta que la visualices junto con el análisis que realizamos de forma analítica en estos tres pasos.

Ejemplo 5: Realiza el análisis de la función f x xx

( ) = −−2

252 .

Solución:

Intersecciones. En el eje X se tendrá que − =2 0x , de donde x = 0 . En

el eje Y da y = 0 . Con estos datos se puede notar que la gráfi ca solo tocará al origen.

Asíntotas:

Verticales: nos da x = 5 y x = −5 .

Horizontales: como n m.=1< =2 Entonces el eje X es la asíntota horizon-tal.

Oblicua: dado que n m− no es igual a uno, entonces no habrá asíntota oblicua.

Tabulación: una tabla propuesta es considerando las asíntotas en 5 y

−5 .

Recuerda que en las intersec-

ciones con el eje X se toma y = 0 para

después despe-jar x. Con el eje Y se toma x = 0 para después despejar y.

Nota que una función racional tiene, a lo más, una asíntota horizontal o una oblicua, pero nunca ambas.

194

MIVx 10 −8 −6 −5 1. −4 9. −2 0 2 4.9 5.1 6 8 10

y 0.26 0.41 1.09 10.09 −9 89. −0 19. 0 0.19 9.89 −10 09. −1 09. −0 41. −0 26.

Con base en los datos, la gráfi ca es:

−9 −8 −7 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 6 7 8 9

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

x

y

( )25

22 −−=

xxxf

5=x 5−=x

(0,0)−5 5

FIGURA 6.9 Gráfi ca de f x xx

( ) .= −−2

252

Actividad de aprendizaje 4Comparte con tus compañeros las posibles formas de obtener las intersecciones y asíntotas con tan solo visualizar los términos de las funciones racionales. Comprue-ben sus afi rmaciones y den sus conclusiones a sus compañeros y docente.

Una vez que hemos señalado la parte principal de esta sesión, lo conse-cuente es que desarrolles y complementes las habilidades y actitudes necesarias para conformar las competencias disciplinares. Para ello prosigue con la sección, aplicando lo aprendido.

Actividad de aprendizaje 5Resuelve las siguientes series de ejercicios aplicando las funciones racionales de forma que en cada uno de ellos des una argumentación con evidencias matemáti-cas del porqué llegaste a tal decisión. Tu docente te hará preguntas relacionadas con los ejercicios con el fi n de evaluar las soluciones y argumentaciones que le proporciones.

1. En la siguiente serie de funciones racionales, determina lo siguiente, cuando sea posible.

a) Su dominio

b) Sus intersecciones a los ejes X e Y

c) Sus asíntotas

d) Una tabla de valores

Matemáticas IV

195


e) Su gráfi ca

i. f xx

( )( )

= −+12 2

ii. g x xx( ) = −−

2 92

iii. h x xx x

( ) = −− +

58 122

iv. i x xx

( ) =+

21

4

4

2. Un rectángulo tendrá un área de 121 cm2 .

a) Considerando que la longitud de este rectángulo es x, expresa el perí-metro en cm de tal forma que sea una función de variable x.

b) Halla el dominio de la función encontrada.

c) Encuentra las dimensiones para las cuales el perímetro sea mínimo (puedes usar un software grafi cador).

3. Realiza el ejercicio anterior si el rectángulo tiene un área de 49 cm2 .

4. En un equipo de tres integrantes, discutan la siguiente afi rmación y den una

respuesta: “la recta y = −2 es una asíntota de la función g x( ) ”. No será vá-lido mencionar las palabras o tecnicismos vistos en este bloque. ¿Cómo se lo explicarían a alguien que no sabe matemáticas? Discutan la mejor respuesta.

Síntesis1. En la siguiente serie de funciones racionales, determina lo siguiente, cuando

sea posible.

a) Su dominio

b) Sus intersecciones a los ejes X e Y

i. f x x( ) = +1

3

ii. g x xx( ) = −+

21

iii. h xx

( ) = 32

iv. i x xx

( ) =−

392

v. j xx

( )( )

=+22 2

vi. k x xx x

( ) = ++ −

162

vii. l x xx( ) = +2 4

2. Con cada una de las funciones del ejercicio anterior, calcula las asíntotas ver-ticales, horizontales y oblicuas que correspondan.

3. Sin realizar una tabulación formal, discutan en plenaria una forma de deter-minar las gráfi cas de estas funciones con base en los datos recabados en los ejercicios 1 y 2. Lleguen a un consenso grupal con la ayuda de su docente para exponer las ideas que él acepte y considere pertinentes señalar a todo el grupo.

196

MIV4. Relaciona las funciones que se brindan a continuación con las gráfi cas según

correspondan, escribiendo la letra correcta.

−8 −6 −4 −2 2 4 6

−40

−30

−20

−10

10

20

30

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

i. ii.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−30

−20

−10

10

20

30

x

y

iii. iv.

a) k x xx( ) = +3

2

2

b) l x xx

( ) = +−

5 212

c) m x xx

( ) = +−242

d) h x x x xx

( ) = + + ++

2 2 31

3 2

2

Matemáticas IV

197


5. En equipos de 4 integrantes planteen, modelen y resuelvan el problema de forma tal que se obtenga una función racional. Pueden usar una calculadora grafi cadora o software grafi cador. Entreguen a su docente las pruebas analíti-cas usadas.

Se va a elaborar una caja cerrada con un material espacial. El volu-men de la caja ha de ser de 1800 cm3 . Además, el costo del material empleado para formar la base y la tapa es de $4 por cm2 , y para el resto de los lados de $ 1.3 por cm2.

a) Si la longitud del lado de la base cuadrada es de x cm, expresa el costo total que llevaría construir la caja con esas características. Nótenlo en pesos y como una función que dependa de x.

b) Hallen el dominio de la función encontrada en el inciso anterior.

c) Determinen la longitud del lado de la base cuadrada para que el costo del material sea mínimo.

RealimentaciónI. Subraya la respuesta correcta, si la hay, a cada una de las siguientes cuestiones.

1) Son las asíntotas de la función f x x( ) .= 3

1

Recuerda que un máximo es

representado como una cresta en la gráfi ca y un mínimo como un valle.

i. x y= =2 2,

ii. No hay

iii. x y= − = −1 3,

iv. x = 1

2) Son las asíntotas de la función f x x( ) .= −4

2

i. x y= =2 0,

ii. No hay

iii. x y= − =2 4,

iv. x = 2

3) Es el dominio de g x xx x

( ) .= −− −

122

i. R − −{ }2 1,

ii. R − −{ }1 1,

iii. R − −{ }2 1,

iv. R −{ }2

4) Son las intersecciones con los ejes de h x xx x

( ) .= −− −

43 42

i. x x= =4 -1, , y = 4

ii. x x y= − = − =1 2 1 2, ,

iii. x x y= − = =1 2 1, ,

iv. x x y= = − =2 1 1 2, ,

198

MIV5) La gráfi ca de f x

x( ) =

+1

12 toca al eje X en:

i. 2 valores

ii. Ningún valor

iii. 1

iv. 0

6) Se ha investigado que en cierta pequeña población cercana al mar las epidemias de conjuntivitis se extienden siguiendo la relación P x x

x( ) ,

( )=

+25

1

2

2 2 donde P representa la población en porcentaje con la in-fección y x está dada en meses. Encuentra el valor de x que determina la cantidad de meses que transcurren desde el brote de la enfermedad, para encontrar a la mayoría de la población infectada. Puedes usar un software grafi cador.

7) Determina la gráfi ca de las siguientes funciones racionales empleando el análisis completo visto en este bloque.

a. f x x

x( ) = +

−

2

244

b. g x xx( ) = −3 122

8) Se quiere construir una cajita sin tapa con un volumen de 30 cm2 con un material mínimo. La base es rectangular y su longitud es el doble de su ancho.

a. Si el ancho de la base es x, expresa en cm2 el área de la superfi -cie total a utilizar que sea de variable x.

b. Usando un software grafi cador encuentra las dimensiones de la cajita de modo que el área de la superfi cie sea mínima.

9) Resuelve lo que se pide en cada ejercicio dado a continuación:

a. Determinar el dominio de f x xx

( ) .= +−

5252

b. Determinar el dominio de f x xx x

( ) .= ++ −

32 9 352

c. Dada la función racional f x x( ) ,= −4

2 hallar la ecuación de su asín-tota vertical.

d. Dada la función racional f x xx x

( ) ,= −− +

610 242 hallar la ecuación de su

asíntota horizontal.

e. Dada la función racional f x x xx

( ) ,= + −−

3 4 516

2

2 determinar su ecuación de sus asíntotas.

f. Hallar la ecuación de la asíntota vertical y horizontal de la función

racional f x xx

( ) = −−

3

2279

.

g. Hallar la ecuación de las asíntotas de la función racional

f x x xx x

( ) .= + −− −

3

22 6

4

h. Determinar la ecuación de las asíntotas de la función racional

Matemáticas IV

199


f x xx( ) = ++

2 73 .

i. En la función racional f x xx x

( ) = −− −

3122 , hallar:

i. Los valores de x para los cuales la función no está defi nida

ii. La ecuación de la asíntota vertical.

iii. La ecuación de la asíntota horizontal, si existe.

iv. La ecuación de la asíntota oblicua, si existe.

j. En la función racional f x x xx( ) = − −−

2 82 , hallar:

i. Las intersecciones en x.

ii. La ecuación de la asíntota vertical.

iii. La ecuación de la asíntota horizontal.

iv. La ecuación de la asíntota oblicua.

II. Subraya únicamente la respuesta correcta que corresponda a cada cuestión:

1) El dominio de la función racional f x xx x

( ) = −+ −

12 152 es:

a. R

b. R, excepto 2

c. R, excepto 3 y −5

d. R, excepto cero

e. R, excepto −3 y 5

2) ¿Para qué valores de x la función racional f x x xx x

( ) = − −− −

2

23 10

2 no está defi ni-

da?

a. x = 2 x = −1

b. x = 1 x = −1

c. x = −4 x = 0

d. x = −2 x = 1

e. x = −1 x = −2

3) La ecuación de la asíntota vertical de la función racional f x xx x

( ) = −− −

2

29

6 es:

a. x = 0

b. x = −3

c. x = 2

d. x = −2

e. x = 3

200

MIV4) La ecuación de la asíntota oblicua de la función racional f x x

x( ) = −−

2 74

2 es:

a. y x= −2 3

b. y x= −2 1

c. y x= +2 1

d. y x= +2 8

e. y x= +2 4

5) La asíntota horizontal de la función racional f x xx x

( ) = −− +

72 4 62 es:

a. y = 0

b. 12

c. No tiene

d. y = 2

e. y = 3

III. Relaciona las siguientes columnas escribiendo en el paréntesis de la izquierda la letra de la gráfi ca que corresponda a cada función racional dada.

( ) f x xx( ) = −3

−4 −2 2 4 6 8 10 12 14

−20

−15

−10

−5

5

10

x

y

MR)

Matemáticas IV

201


( ) f x x xx x

( ) = − −− −

2

220

2 3

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−20

−15

−10

−5

5

10

15

x

y

PH)

( ) f x xx x

( ) = +− +

23 22

x

y

AX)

( ) f x xx

( ) =−

2

2 16-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-15

-10

-5

5

10

15

20

x

y

XN)

202

MIV

( ) f x x xx( ) = − −2 3 23 x

y

SD)

Matemáticas IV

203


Análisis de logrosTe invitamos a resolver de nuevo la evaluación diagnóstica que realizaste al inicio del bloque y sitúate en el nivel que te corresponda de acuerdo a tu resultado.



Evaluación de mis competenciasRúbrica del proyecto

Producto, logro o

desempeño


5 3 1

Cono

cim

ient

os

Conozco las defi niciones de variación inversa, determino la constante de variación y las variables que se presenten en cada una de las actividades propuestas.

Sé dónde obtener buenas fuentes de información o investigación para plantear la tercera situación.

Reconozco las aplicaciones de las variaciones inversas en diversas ramas de estudio y señalo la importancia de ellas.

Conozco las defi niciones de variación inversa, pero no determino la constante de variación o las variables que se presenten en algunas de las actividades propuestas.

Sé dónde obtener buenas fuentes de información o investigación para plantear la tercera situación, pero lo realizo con ayuda interna (equipo).

Reconozco las aplicaciones de las variaciones inversas en diversas ramas de estudio.

No conozco las defi niciones de variación inversa, ni determino la constante de variación ni las variables que se presenten en cada una de las actividades propuestas.

Sé dónde obtener buenas fuentes de información o investigación para plantear la tercera situación, pero con ayuda externa.

No reconozco las aplicaciones de las variaciones inversas en diversas ramas de estudio ni señalo la importancia de ellas.

Hab

ilida

des

Hallo las soluciones a todas las cuestiones planteadas al utilizar las defi niciones y argumentos analíticos.

Comprendo y utilizo correctamente las variables presentadas en cada una de las situaciones dadas, además de que calculo efi cazmente la constante de variabilidad respectiva.

Puedo exponer con convencimiento y argumentación persuasiva los datos y resultados del problema 3.

Hallo las soluciones a una o dos de las cuestiones planteadas al utilizar las defi niciones y argumentos analíticos.

Comprendo las variables presentadas en cada una de las situaciones dadas, además de que calculo efi cazmente la constante de variabilidad respectiva.

Puedo exponer con convencimiento los datos y resultados del problema 3.

Hallo las soluciones de una de las cuestiones planteadas al utilizar las defi niciones y argumentos analíticos.

Comprendo las variables presentadas en cada una de las situaciones dadas, además de que calculo la constante de variabilidad respectiva.

No puedo exponer con convencimiento y argumentación persuasiva los datos y resultados del problema 3.

204


Producto, logro o

desempeño


5 3 1A

cti t

udes

Considero la importancia de las variaciones inversas en la solución de las situaciones y explico por qué.

Demuestro siempre respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y aporto ideas.

Considero la importancia de las variaciones inversas en la solución de las situaciones.

Demuestro en la mayoría de las ocasiones respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y aporto ideas.

No considero la importancia de las variaciones inversas en la solución de las situaciones ni explico por qué.

Demuestro en contadas ocasiones respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y no aporto ideas.

Puntaje 15 9 3


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Cono

cim

ient

os

Identifi co las características

de las funciones racionales para determinar su

comportamiento en todas las situaciones

presentadas a lo largo del bloque.

Describo los comportamientos

analíticos y gráfi cos de las diferentes asíntotas de las

funciones racionales provenientes de situaciones

hipotéticas y reales.

Identifi co las características


comportamiento en la mayoría de las situaciones



analíticos y gráfi cos de

las diferentes asíntotas de las funciones

racionales provenientes de situaciones hipotéticas.

Identifi co algunas de las características


comportamiento en las situaciones presentadas a lo largo del bloque.


analíticos o gráfi cos de



Identifi co algunas de las características


comportamiento en algunas de las situaciones



analíticos o gráfi cos de algunas de



No identifi co las características


comportamiento en las situaciones presentadas a lo largo del bloque.

No describo los comportamientos

analíticos y gráfi cos de

las diferentes asíntotas de las funciones racionales.

Matemáticas IV

205



Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Hab

ilida

des

Obtengo los diferentes tipos de asíntotas que posea una función racional

para estudiar su comportamiento

analítico y gráfi co, dando detalles sobre

su composición polinómica.

Determino el dominio de

defi nición de funciones racionales que me conduzcan

a su utilidad en diferentes áreas.

Obtengo los diferentes tipos

de asíntotas que posea una

función racional para estudiar su comportamiento

analítico y gráfi co.

Determino el dominio

de defi nición de funciones

racionales que me conduzcan a su utilidad en

diferentes áreas.

Obtengo los diferentes tipos

de asíntotas que posea una



Determino el dominio

de defi nición de funciones

racionales con cierta ayuda.

Obtengo algunas de las diferentes

asíntotas que posea una



Determino el dominio de

defi nición de algunas funciones

racionales que me conduzcan a su utilidad en

diferentes áreas.

No obtengo ninguna asíntota que posea una

función racional.

No determino el dominio de defi nición de

ninguna función racional.

Acti

tude

s

Considero la importancia de las

funciones racionales en la solución de las situaciones y explico

por qué.




Considero la importancia de las funciones racionales en la solución de

ejercicios.

Demuestro frecuentemente respeto hacia



Considero la importancia de las funciones racionales en la solución de

ejercicios.

Demuestro en la mayoría de las

ocasiones respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente

socialmente tolerable y aporto ideas en muchas

ocasiones.

Considero la importancia de las funciones racionales en

general.

Demuestro pocas veces respeto

hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente

socialmente tolerable y casi no aporto ideas.

No logro considerar la

importancia de las funciones racionales en la solución de

ejercicios.

No demuestro respeto hacia

las ideas de mis compañeros ni aporto ideas.

Puntaje 15 12 9 6 3

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Bloque VII


• Función exponencial

• Función logarítmica

• Gráfi ca de la función exponencial y logarítmica

• Propiedades de los exponentes

• Propiedades de los logaritmos

• Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa

• Ecuaciones exponenciales

• Ecuaciones logarítmicas


• A partir de la expresión de la función exponencial decide si ésta es cre-ciente o decreciente.

• Obtiene valores de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o calculadora.

• Traza las gráfi cas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener gráfi cas de funciones logarítmicas.

• Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones expo-nenciales y logarítmicas.

• Aplica las propiedades y relaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas.


Genéricas:












6. Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magni-tudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean.


208

MIVDinamización y motivaciónA continuación responde las siguientes cuestiones en tu libreta de trabajo, reali-zando los procedimientos que sean necesarios para sustentar tus repuestas.

1) En las siguientes funciones escribe en la parte inferior de cada una si son crecientes o decrecientes, así como su valor de inicio (intersección con Y).

a. h xx

( ) = ( )5 12

b. g xx

( ) = ( )53

2) Determina el rango de la función f x x( ) .( )= − +−2 41

3) La compañía MKB se encarga de realizar fumigaciones para eliminar pa-rásitos en una línea camionera. Según datos que proporciona la función

k x e t( ) .= −150000 0 1917 , aporta información de la cantidad de parásitos que sobreviven al fi nal de t horas de realizada la fumigación.

Con los datos conocidos, responde (a) ¿cuántos pa-rásitos aproximadamente habrá al fi nal de 5 horas? y (b) si se eliminaron 80,000, ¿cuál es aproximadamente el tiempo trascurrido?

4) Realiza la gráfi ca de la función y x= log2 , calculando su inversa.

5) Alberto compra una computadora en $7, 000, y según el fa-bricante pierde su valor en un 8% cada año. De acuerdo a estos datos, ¿cuándo valdrá la mitad de su precio original?

Las soluciones que dé tu profesor permitirán situarte en el nivel que te corresponda según la tabla, el objetivo es valorar y considerar lo que se requiere para mejorar.

Observación: las soluciones de tu profesor las comentará en forma gene-ral sin profundizar en especifi caciones y justifi caciones, ya que en el trascurso de este bloque se estudiará en detalle lo concerniente a la evaluación anterior.




cercano al correcto




Identifi co y reconozco los elementos de las funciones exponenciales

y logarítmicas, así como sus aplicaciones.

Matemáticas IV

209

BVIIUtilizas funciones exponenciales y logarítmicas




cercano al correcto



Nivel Autónomo 7 a 8 puntosDetermino en varias funciones

exponenciales y logarítmicas sus elementos y sus aplicaciones.

Nivel Básico 5 a 6 puntosEn ciertas funciones exponenciales y logarítmicas identifi co sus elementos

y sus aplicaciones.


He comenzado a identifi car algunos elementos de las funciones

exponenciales y logarítmicas, al igual que sus aplicaciones.

Nivel Preformal 0 a 1 puntosNo consigo identifi car los elementos

de la función exponencial y la logarítmica y no logro aplicarlas.

Considera el nivel en que te clasifi caste, al fi nal del bloque retornarás para resolver tu evaluación con el fi n de saber los avances que has logrado.

ContextualizaciónLos bancos, así como otras instituciones de crédito, existen debido a que la gran mayoría de las personas no cuenta con los recursos económicos para comprar al con-tado y, por lo tanto, requiere de préstamos para adquirir bienes. Si alguna vez nece-sitas algún crédito, las opciones con las que te enfrentarás respecto a los intereses serán de dos tipos: interés simple e interés compuesto. Para el primero, los intereses se comportan en forma lineal y no cambian durante todo el periodo acordado; sin embargo, para el segundo tipo de interés (compuesto) los intereses pasan a formar parte del capital, de tal forma que la deuda aumenta por cada periodo que trascurra creciendo exponencialmente, función que estudiaremos en este bloque.

Considera la siguiente situación:

Si un banco te ofrece un préstamo de $25,000 con in-terés del 4.5% capitalizable quincenalmente, y otra institución de crédito te ofrece la misma cantidad en préstamo, pero con interés del 5% capitalizable mensualmente, ¿en cuál pagarías menos y, por ello, sería la mejor opción? Realiza las investiga-ciones pertinentes y responde la pregunta.

Ahora pensemos en un panorama distinto, es decir, que tengamos cierto capital y deseemos ponerlo en alguna ins-titución bancaria para que genere ganancias. Si contaras con $25,000 y los invirtieras en un banco que paga de manera tri-mestral interés al 12% anual, ¿en cuánto tiempo dicho capital

210

MIVse duplicaría? Si investigas descubrirás que el exponente es el tiempo que necesi-tas conocer, de ahí que precises de las funciones logarítmicas para poder conocer dicho tiempo. La función logarítmica y la exponencial serán las que estudiaremos en este bloque, así que comencemos a entrar en detalle para lograr su entendi-miento y compresión.

ProyectoComo ya has estado trabajando a lo largo de cada bloque, te presentamos el pro-yecto que relacionará los conceptos, habilidades y actitudes necesarias.

Proyecto Minitorneo de funciones exponenciales y logarítmicas

Problema Realizar un minitorneo en donde se utilicen las funciones exponenciales y logarítmicas



Competencias

El alumno:

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, defi niendo un curso de acción con pasos específi cos.

Matemáticas IV

211


Actividades

Su profesor los reunirá en equipos, intelectualmente lo más equilibrado posible para que ninguno tenga ventaja respecto a los otros. De preferencia cada equipo contará con no más de 3 elementos. Cada equipo realizará lo siguiente:

Investigar y resolver al menos 10 ejercicios variados con los conocimientos y habilidades vistas en el bloque. Su profesor realizará un

encuadre con los ejercicios que pueden abarcar y cuáles no, para que los tipos de ejercicios sean equitativos. Estos ejercicios no los conocerá

nadie que no sea del equipo. Cada equipo debe estar seguro de sus ejercicios, que sus soluciones estén correctas y detalladas, y de que

cuentan con el visto bueno de su docente.

Escribirán en un cartoncillo de dimensiones de 10 cm de largo y 5 de ancho, cada uno de los 10 ejercicios investigados. Las respuestas a los ejercicios y sus operaciones estarán en una sola hoja que cada equipo

manejará.

El torneo se llevará a cabo de la siguiente forma:

El profesor elegirá aleatoriamente el rol de parejas a disputar el pase a la siguiente fase del torneo. De manera que en la primera ronda habrá

una lista de las parejas de equipos a “competir” entre sí.

Se competirá únicamente entre dos equipos a la vez, es decir, no habrá juegos simultáneos, con el fi n de que su docente pueda servir de “juez

mayor”.

Sin que los otros equipos sepan los ejercicios que los demás tengan, el docente elegirá para cada contienda a un equipo “juez“ diferente. Este equipo, que no es ninguno de los que competirán al momento, mezclará

sus tarjetas en una urna.

Los dos equipos completos pasan al pizarrón o a cada una de sus mesas asignadas, lejos, pero a la vista de los demás equipos. Tras un acuerdo mutuo, un equipo comienza sacando una de las tarjetas y se la entrega a un miembro del equipo juez, el cual leerá o escribirá el problema a

cada uno de los dos equipos y al auditorio.

Cada uno de los equipos resolverá el problema planteado con el solo uso de lápiz, papel y calculadora científi ca. El primer equipo en decir “listo” tendrá la oportunidad de ser califi cado con punto bueno por

el equipo juez si su respuesta es correcta. En caso de ser errónea, el equipo restante tendrá la oportunidad de terminar el problema y ser

evaluado, de forma tal que si tiene la respuesta correcta entonces ellos tendrán el punto bueno. En caso de fallar se acordará empate de medio

punto cada uno.

En combate cada equipo sacará dos tarjetas de preguntas, de forma tal que el equipo que tenga mayor puntaje pasará a la siguiente ronda

y el otro será eliminado. En caso de empate el docente resolverá la situación a su criterio.

Una vez acabada la primera fase se realizará al azar otro rol con los equipos restantes. Así sucesivamente hasta encontrar a un equipo

ganador.

El docente discutirá con ustedes sobre el estímulo al equipo ganador.

212

MIV Recursos Libro de texto, hojas en blanco, libros de consulta en la biblioteca, cartulinas, gises, pizarrón

Normas

Deberá de efectuarse en el lugar que designe el docente a la vez que todos los equipos estarán presentes de testigos realizando las anotaciones que consideren pertinentes. Los demás equipos que no participan estarán en silencio. Si un equipo es eliminado seguirá acudiendo a los encuentros con sus tarjetas de preguntas y su hoja de respuestas. Cada miembro del equipo participará, de lo contrario el docente arreglará la situación a su criterio.

Sesión A: Funciones exponencialesSaberesDel saber

• Reconozco la estructura de las funciones exponenciales ya sean crecien-tes o decrecientes.

• Identifi co algebraica y gráfi camente la función exponencial, así como el valor de e.

Del saber hacer

• Aplico las propiedades de los exponentes en la grafi cación de funciones exponenciales, así como en la obtención de sus dominios y rangos.

• Explico cuándo y por qué una función exponencial es creciente o decre-ciente.

• Uso la función exponencial para modelar y resolver situaciones que in-volucren al valor e.

Del saber ser

• Aprecio la utilidad de la función exponencial en la resolución de situa-ciones que la involucren.

• Presento una actitud constructiva y congruente con los conocimientos, habilidades y actitudes con las que cuento, dentro de los equipos de trabajo formados.

Problematización Ya hemos llegado al análisis de las funciones polinomiales, abarcando desde la función constante hasta la de grado mayor a tres; además, en el bloque dos se abordaron las funciones especiales, tales como las funciones identidad, valor ab-

Matemáticas IV

213


soluto y escalonada. También hemos logrado un análisis de las funciones racionales con sus asíntotas de diferentes tipos. Por lo tanto, en este bloque nos corresponde investigar dos de las funciones llamadas trascendentes, tales como la función ex-ponencial y logarítmica.

Como veremos, el estudio de estas funciones tiene aplicaciones en las ciencias exactas, antropológicas, médicas, mercantiles, etcétera.

Por ejemplo, ¿recuerdas el accidente radioactivo de Chernóbil en la ciu-dad de Ucrania en 1986? Sin duda fue una de las mayores catástrofes nucleares, ecológicas, médicas y sociales que haya ocurrido. La cantidad de radiación libera-da en ese accidente fue cerca de 500 veces mayor a la que se liberó en la ciudad de Hiroshima en la Segunda Guerra Mundial. Después de casi 25 años la radiación del reactor nuclear afectado todavía sigue siendo peligrosa, razón por la cual fue sellado para evitar daños al menos por 100 años más. La pregunta que surge es, ¿por qué continúa el contaminante tras haber ocurrido esa desgracia, aparte de que se estima que se conservará por al menos 100 años más? ¿No se desintegra o cuánto tiempo tarda en hacerlo? Aquí es donde entran las funciones exponenciales y, lógicamente, las matemáticas. Aunque no daremos respues-ta a estas interrogantes, estamos seguros de que con lo que veamos en este bloque y los ejemplos dados en su tiempo, captarás y comprenderás el porqué de esta situación de la vida real.

Antes de abordar la defi nición, propiedades y análisis de estas funciones, hemos de recordar ciertos conceptos bá-sicos de álgebra y aprender el uso correcto de la calculadora científi ca. No te preocupes, lo necesario lo iremos recordando o aprendiendo conforme la marcha. Sólo nos resta dar paso a la siguiente sección, en donde realizarás una pequeña activi-dad de inicio.

Desarrollo de saberesComo indicamos, antes de estudiar de lleno las funciones exponenciales nos fami-liarizaremos bien con las leyes de los exponentes. Así que en la expresión 34 , al valor de 3 se le denomina base y al valor 4 exponente o potencia. Esta expresión signifi ca 3 3 3 3 3 814 = =( )( )( )( ) .

214

MIV a0 1=

a a am n m n= +

aa

am

nm n= −

( )a am n mn=

ab

ab

m m

m

=

( )ab a am m n=

aa

mm

− = 1

mna amn=

La última expresión signifi ca que cuando se tiene una base elevada a una potencia fraccionaria, equivale a obtener la raíz de grado igual al denominador a

la base elevada a la potencia que indique el numerador. Por ejemplo: 2 234 34= .

Repasa con tus compañeros estas leyes de exponentes y comenten sobre la utilidad de realizar estos tipos de operaciones.

Si te pidieran calcular los siguientes valores 2 23 3 12

3 12

3, , ,− −( ) ( ) y

12

43

( ) cómo

los efectuarías? Primero habría que utilizar la calculadora científi ca. Estas poseen generalmente una tecla de función de potencia con cualquiera de los siguientes

símbolos: ∧ o x y .

Para realizar las operaciones generalmente se teclea el valor de la base, después se oprime la tecla de función de potencia y por último se representa el valor de la potencia. Así que, por ejemplo, para calcular el valor de 2 3− la secuencia sería:

2 3∧ −( ) = cuyo resultado es 0.125.

Para el valor de 12

43

( ) se usará la tecla donde se obtienen las raíces de grado 4 o mayores, generalmente es una tecla como xy . Esta tecla, por ser común-mente una tecla secundaria, se oprime después de la tecla Shift. Entonces el valor

solicitado se tecleará como: 1 2 3 4( ) ∧ ( ) =Shift xy , lo cual nos da 0.332770384 con más decimales. Practiquen con valores que su profesor les proporcione.

Pasemos a la siguiente actividad, donde usarás la calculadora científi ca.

Aquí re-presentamos

dentro de un pequeño cuadro las teclas de la calculadora a oprimir.

De prefe-rencia, y para

evitar errores, escribe dentro de paréntesis los valores de las potencias y también la base cuando esta no sea un entero positivo.

Matemáticas IV

215


Actividad de aprendizaje 1En parejas, llenen correctamente las siguientes tablas de valores con la ayuda de una calculadora científi ca.

x y x= 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

x yx

= ( )1 2

−3

−2

−1

0

1

2

3

Comparen los resultados con sus compañeros, de manera que todos ten-gan los mismos resultados al fi nalizar la actividad.

Función exponencialEn la actividad anterior realizaron los cálculos en las tablas de valores con una función exponencial, ahora es tiempo de dar una defi nición.

Consideremos a a> ≠0 1 y entonces la función exponencial de base a, considerando a x R∈ , se defi ne como

f x ax( ) =

216

MIVPara determinar sus propiedades grafi caremos los valores de las dos fun-

ciones dadas en la actividad anterior; por ello, comprueba que tus cálculos están bien realizados. Las gráfi cas de cada una serán:

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

5

10

15

20

25

x

y

xy 3=

FIGURA 7.1 Gráfi ca de la función y x= 3 .

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

5

10

15

20

25

x

y

xy

=31

FIGURA 7.2 Gráfi ca de la función yx

= ( )1 3 .

Observa que ambas gráfi cas se comportan asintóticamente al eje X, es decir:

3 0

013

x

x

x

x

→ → −∞

( ) → → ∞

cuando y

cuando

Además, como a0 1= , entonces ambas pasan por el punto coordenado (0,1). Recuerda que las gráfi cas se “leen” de izquierda a derecha, es decir, la fun-

ción exponencial 3x es creciente en su tabla de valores y también gráfi camente,

por otra parte, 1 3( )x es decreciente.

Matemáticas IV

217


Resumiendo, se presenta la tabla que contiene las propiedades de las funciones exponenciales cuando la base a > 0 .

• El dominio equivale a todos los números reales R.

• El rango son los reales positivos, es decir R+.

• Cuando a > 1 la función es creciente. Cuando a < 1 es decreciente.

• La función pasa por el punto (0, 1).

• Es inyectiva.

• Cuando a > 1 el eje X es asintótico por la izquierda y cuando a < 1 lo es por la derecha.

Actividad de aprendizaje 21. Tomando como base la gráfi ca de la función y x= 3 grafi quen y discutan, con

los conocimientos previos y sin realizar cálculo alguno, cómo obtener la repre-sentación gráfi ca de las funciones:

a) f x x( ) = +3 2

b) g x x( ) = −3 2

c) h x x( ) = −3

d) i x x( ) ( )= − 3

2. Realiza una tabla de valores para representar gráfi camente la función

f xx

( ) = ( )4 32 .

Aplicaciones de la función exponencial.

El número eAnalizaremos diferentes tipos de aplicaciones de las funciones exponenciales, las cuales por su importancia tienen un sinfín de usos en diferentes campos, como se dijo al inicio del bloque. Debido al avance del curso, sólo tocaremos unas cuantas aplicaciones, tales como:

• Crecimiento poblacional

• Desintegración radiactiva

• Interés compuesto

Cada una se estudiará con sus variantes para adaptarlas con el valor de e que veremos. Abordemos esta serie de aplicaciones.

218

MIVCrecimiento poblacional

Esta aplicación puede referirse a una población en general, ya sea de personas, animales, bacterias, etcétera. Estas poblaciones comienzan con un número deter-

minado P0 de elementos y crecen a un ritmo o tasa constante r.

La función de crecimiento poblacional P(x) para una población ini-

cial P0 de elementos, que crece a una tasa r, es:

P x P r x( ) = 0 , donde P es la cantidad de elementos después de transcurrir cierto período x de tiempo.

Ejemplo 1. En una prueba de laboratorio se ha determinado que en un cultivo de bacterias estas crecen a una razón de 3.67 por día. Si inicialmente se tiene una muestra de 200,000, ¿cuántas habrá en el cultivo si transcurre una semana?

Solución: Estamos tratando una situación hipotética, por lo que apli-caremos la función de crecimiento poblacional, en donde se tienen los si-guientes datos: r P= =3 67 2000000. , . Como la razón está dada en días, enton-ces x = 7 ; sustituyendo en la fórmula, observamos que aproximadamente hay P( ) ( . ) ( . )7 200000 3 67 200 000 8 967 315496 1 793 463 0997= = = bacterias en el cul-tivo. Así que los investigadores deben tener cuidado con que su cultivo no se les salga de control, ¿no es cierto?

Existen muchas aplicaciones para esta fórmula, que varía dependiendo de la razón de crecimiento y de la población inicial. Pasamos a una segunda de las aplicaciones de la función exponencial.

Desintegración radiactiva

En el caso de la desintegración radiactiva, la fórmula puede aplicarse en diferen-tes facetas, como la Medicina, la Química, la Física, la Antropología, etcétera. Para comprender mejor esta sección, aclaramos que un elemento radiactivo tiende a desintegrarse o decaer en forma exponencial (como la gráfi ca de la función

yx

= ( )1 3 ). Así, cuando un elemento radiactivo pasa a su etapa de decaimiento tiene un perIodo de tiempo determina-do para el cual se desintegra la mitad de su masa o material; a este tiempo se le denomina vida media del elemento.

Por ejemplo, los arqueólogos utilizan el elemento llamado Carbono-14 (simbolizado 14 C ). Este elemento se en-cuentra presente en todos los seres vivos; al momento de que muere el ser, el 14 C empieza a desintegrarse, teniendo una vida media de 5, 730 años. Por ello, mediante cálculos del 14 C los investigadores y antropólogos pueden saber el tiem-po de muerto que lleva el ser. De esta manera les es posible hallar, por ejemplo, el tiempo de muerto que lleva un mamut o una momia de Egipto.

Cómo aplicar la función de desintegración radiactiva.

Matemáticas IV

219


La vida media de cada elemento radiactivo varía, pero hemos de consi-

derar el del 14 C por su utilidad.

La función de desintegración radiactiva M(t) para una cantidad

inicial de material radiactivo M0 , que tiene una vida media h es:

M t Mth( ) = ( )0

12 , donde M es la cantidad de material radiactivo que resta y t es

el tiempo transcurrido tras la muerte del ser vivo.

Consideremos un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2: En cierto hueso de un animal se conoce que la cantidad de 14 C que tiene tras haber muerto es de 19.4 gramos. ¿Cuánto material de 14 C le quedará tras pasar 2010 años?

Solución: Como se trata de 14 C , sabemos que la unidad es en años y que su vida media es de 5, 730 años. Así que la cantidad restante de ese material en el hueso del animal tras pasar 2010 años será:

M( ) . . ( . ) .2010 19 4 19 4 0 78415712 15 2112

20105730= ( ) = = .

Por lo tanto, tras pasar 2010 años la cantidad de material restante debe-ría ser, en teoría, de 15.21 gramos. En otras palabras, solo se desintegró un total de 19 4 15 21 4 19. . .− = gramos de 14 C ¡en tan solo 2010 años!

Más adelante observaremos la aplicación de la función exponencial a la desintegración o decaimiento.

Entremos a una tercera aplicación, en este caso en la Economía.

Interés compuesto

Seguramente has escuchado el término interés, que en Economía se refi ere al índice dado en porcentaje que se usa para medir los ahorros hechos o el coste de un crédito. Es decir, lo que pagamos por usar el recurso o dinero ajenos. Existen los intereses simples y compuestos.

El interés simple es el que se paga solamente por la cantidad que se ha dado originalmente. Si la tasa de interés simple sobre $1,000 es de 15% anual, entonces se devolverán $150 al acabar el año designado.

El interés compuesto es cuando el interés se calcula en varias oca-siones al año. Generalmente con la palabra interés nos estaremos refi riendo al interés compuesto, a menos que se indique lo contrario.

Pasemos directamente a la fórmula de interés compuesto.

La función de interés compuesto.

220

MIV La función de interés compuesto C(t) para un capital inicial de C0 , a un interés anual r dado en decimales, un número de periodos n de interés anual después de un periodo de t años en que se invierte el capital es:

C t C rnnt( ) ( )= +0 1

Ejemplo 3: Determina el capital obtenido tras pasar 3 y 6 años de un ca-pital invertido de $4000 a un interés de 7% compuesto trimestralmente.

Solución: Aquí C t r0 4000 3 6 0 07= = =, , . y , y como un año tiene 4 tri-mestres, entonces n = 4 . De esta manera, para los valores de t tenemos:

C

C

( ) $ .

( )

. ( )( )

. ( )( )

3 4000 1 4925 75

6 4000 1

0 074

4 3

0 074

4 6

= +( ) =

= +( ) = $$ .6065 77

Una vez que observamos un pequeño abanico de aplicaciones de la fun-ción exponencial, realizaremos una actividad que nos llevará a un número impor-tante para las Matemáticas.

El número e

En la fórmula de interés compuesto se ha adquirido la relación 1 +( )rnnt

. Esta nos servirá para relacionarla con una similar y adquirir un valor muy usado.

Actividad de aprendizaje 3De forma individual, y con el uso de la calculadora científi ca, llena correctamente

la tabla siguiente. Coloca de forma ordenada los valores en la relación y x

x= +( )1 1 .

Utiliza todos los decimales posibles.

x y x

x= +( )1 1

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

Verás en esta tabla que y va aumentando cada vez que x aumenta sin límite, este valor es conocido como la constante de Euler. Se denota por e.

Matemáticas IV

221


De manera formal tendremos que ( )1 1+ → → ∞xx e x cuando .

Este valor es un número irracional, al igual que el número ≠ . Tomando sólo 10 de sus decimales se muestra que:

e = 2 7182818284. ...

Como indicábamos antes, este valor de e es de suma importancia en las funciones exponenciales, tanto que se puede considerar como las más importantes de todas, de forma que podemos defi nir la función que forma.

La función exponencial de base e o función exponencial natural tiene como base al número e y para todo x R∈ es:

f x ex( ) =

Esta función cumple las propiedades ya señaladas con anterioridad, así que como ya sabemos que e > 1 y por lo tanto su gráfi ca es creciente, tiene por asíntota al eje X, es inyectiva y pasa por el punto (0,1). Además, su dominio es R y su rango R+ . La gráfi ca está dada por la tabla siguiente:

x −4 −3 −1 0 1 1.5

y ex= 0.01 0.04 0.36 1 2.71 4.48

Los valores de ex se pueden determinar de igual forma con la calcula-

dora mediante la tecla ex , que puede ser la primera o segunda tecla de función. Generalmente la potencia se coloca en la calculadora, no como una potencia,

sino como un argumento, es decir, si deseamos hallar e3 entonces teclearíamos

ex ( ) . .3 20 08553692=

−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

xey =

( )1,0

FIGURA 7.3. Gráfi ca de la función f x ex( ) .=

Leonhard Euler, matemático y físico.

222

MIVUna vez comprendido este valor, podremos hacer unas adaptaciones o

mejoras, inclusive, a nuestras fórmulas de aplicación anteriores. Así que primero vamos a detallar las de crecimiento y desintegración o decaimiento.

Crecimiento y decaimiento sin límiteLas fórmulas anteriores de crecimiento poblacional P(x) y desintegración radiacti-va pueden emplearse como funciones exponenciales con la base conocida e. que-dando los modelos como sigue.

La función de crecimiento poblacional sin límite P(x) para una po-blación inicial P0 de elementos, tras un periodo de tiempo x, es:

P x P ekx( ) = 0 ,

donde k es la constante de crecimiento positiva.

Ahora un ejemplo de esta función.

Ejemplo 4: Se ha detectado que cierto tipo de insecto que amenaza los sembrados de maíz tiene una razón de crecimiento de 0.3 por hora. Si al inicio hay 50 de estos ejemplares, ¿cuántos habrá dentro de un día completo?

Solución: Se habla de un crecimiento de k = 0 3. por hora, por lo tanto,

x = 24 horas y P0 50= . Entonces P e e( ) .( . )( ) .24 50 50 66971 530 3 24 7 2= = = .

Seguramente se tratará de una plaga de estos insectos.

Pasemos a la otra función.

La función de decaimiento radiactivo sin límite M(t) para una can-

tidad inicial de material radiactivo M0 , tras un periodo de tiempo t es:

M t M ekt( ) = 0 ,

donde k es la constante negativa de decaimiento.

Ejemplo 5: Si se conoce qué cantidad de cierto elemento químico es de 12 ml y este se degenera a una razón de −0 0578. por día, ¿cuánto material habrá dentro de un año?

Solución: Como se trata de días entonces t = 365 , por eso

M e( ) .( . )( )365 12 8 25791791 100 0578 365 9= = ×− − ml.

Volviendo al tema de Chernóbil, comprenderás que los elementos radiac-tivos tienen espacios de tiempo considerables de desintegración o descomposición. De ahí el peligro existente en esa zona del mundo en la actualidad y por mucho tiempo más.

En última instancia damos la fórmula de la cual obtuvimos el valor de e, pero con su implicación en la misma; se trata del caso en que n crece sin límite.

Si deseas calcular el

valor de e en tu calculadora hazlo usando el exponente uno, o sea, calcula

e1 .

Matemáticas IV

223


La función de interés compuesto continuamente C(t) para un capital

inicial de C0 , a un interés anual r dado en decimales después de un período de t años en que se invierte el capital es:

C t C ert( ) = 0

Para usar esta fórmula simplemente se trata de identifi car que el problema sea de interés compuesto continuamente y no como en el caso an-terior, de interés compuesto, en donde se nos daba el periodo de composición anual.

Llegamos al fi nal de esta primera sesión respecto a las funciones de tipo exponencial, no sin antes dar una serie de aplicaciones de estas fórmulas y de la función exponencial natural.

SíntesisObtén las soluciones a cada una de las presentes situaciones que se te dan. Tu docente señalará los incisos en los cuales él podrá dar guía en la solución de las situaciones. Si la requieres, solicítala.

1) ¿Porqué la función f x a ax( ) = > con 1 no es suprayectiva? Declara tus afi rmaciones de forma tal que persuadas a tus compañeros y docente.

2) Determina el dominio y rango de cada una de las funciones (grafícalas si consideras necesario).

a. f x ex( ) = +1

b. g x x( ) = −2 3

3) Supón que tienes a la mano $10,000 y lo deseas depositarlos en uno de dos bancos que te ofrecen lo siguiente:

» Banco HZVC, 8% de interés compuesto trimestralmente

» Banco Zapoteca, 8% de interés compuesto continuamente

Si deseas sacar tu cuenta con todo e intereses ganados dentro de 5 años, ¿cuál banco elegirías y por qué? ¿Qué diferencia hay?

4) Un tipo de virus ha demostrado que de 50 elementos crece a 200 des-pués de un día. Determina la población de la muestra si mantiene ese ritmo de crecimiento después de medio mes.

5) El crecimiento de población en México es de 2.35%. Si actualmente hay cerca de 109 millones de mexicanos, ¿cuántos seremos dentro de 20 años si seguimos a ese ritmo? ¿Qué signifi cará eso para la población de ese entonces?

224

MIV6) En cada caso, realiza una tabulación para grafi car la función y fi nalmen-

te determina su dominio y rango.

a. f x x( ) = 4

b. g x

x( ) = ( )2 5

2

c. h x e x( ) =

d. i x e x( ) = − −3

7) Supón que Cristóbal Colón hubiera invertido $1 desde que descubrió América en el banco de su confi anza sin sacar nada de lo invertido, con-siderando que ese banco pagase 5% de interés. ¿Cuánto podría recibir hoy en día uno de sus descendientes en herencia si el banco genera el interés anual compuesto:

a. ¿Semestralmente?

b. ¿Bimestralmente?

c. ¿Continuamente?

8) Una muestra de insectos voladores ha señalado bajo estudio científi co que tiene una constante de crecimiento de 6.7% por día. Si inicialmente se tiene 200 de ellos, ¿cuántos se estima que existan tras haber pasado 3 semanas?

9) El elemento radiactivo del bismuto tiene una vida media de tan solo 4.89 días. Tomando en cuenta que se tienen 56 mg de este material, determina la cantidad de material que disminuye tras pasar un mes.

10) Calcula el monto de una inversión de $5000 después de 10 años si el interés anual es de 4.3% y además el interés se compone:

a. Semestralmente

b. Mensualmente

Matemáticas IV

225


Sesión B: Funciones logarítmicasSaberesDel saber

• Identifi co la forma y las propiedades de la función logarítmica y reco-nozco cuál es la función inversa de la exponencial.

• Comprendo las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones ex-ponenciales y logarítmicas.

Del saber hacer

• Construyo analíticamente y gráfi camente la función logarítmica como la inversa de la exponencial y obtengo su dominio y rango.

• Resuelvo ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además resuelvo si-tuaciones modeladas con funciones logarítmicas.

Del saber ser

• Participo en la resolución de los ejercicios y problemas con una actitud de apertura y colaborativa cuando se requiera.

• Propongo formas creativas de modelar y resolver los problemas mate-máticos presentados.

• Considero las aportaciones hechas por mis compañeros.

Problematización En esta sesión refl ejaremos parte de lo aprendido sobre las funciones exponencia-les. Antes de abordar las funciones logarítmicas, se ofrecen unas defi niciones per-tinentes sobre logaritmos y sus propiedades; después señalaremos la importante conexión entre la función exponencial y logarítmica, para fi nalizar con aplicacio-nes de estas funciones.

Para ejemplifi car el uso de los logaritmos recordemos la función de cre-cimiento poblacional sin límite del ejemplo 4 de la sesión anterior. Aquí se tenía la relación:

P x e x( ) .= 50 0 3

Donde 50 era la cantidad inicial de gusanos de maíz. Queremos averiguar más sobre el comportamiento de esos insectos y nos piden averiguar a qué tiempo x en horas se triplica la cantidad de ellos, es decir, a qué cantidad de tiempo son 150. Trascribiendo esto en la ecuación se tendrá:

150 50 0 3= e x.

3 0 3= e x.

Hasta aquí llegaría nuestro intento de despejar el valor de x, ya que se trata de un exponente. De ahí la necesidad de utilizar las relaciones logarítmicas.

226

MIVDesarrollo de saberesPara entrar de lleno con los conceptos de logaritmos, primero vamos a comprender su funcionamiento.

Supongamos que deseamos encontrar el valor de cada una de las siguien-tes relaciones:

a) 3 9t =

b) 2 8m =

c) 8 2z =

d) 4 13k =

Para el primer caso, quizá sea sencillo averiguar el valor de la potencia a la que hay que elevar la base 3 para obtener 9. Desde luego que es 2, por lo que t = 2 . En el segundo, con un poco de pericia, logramos analizar que m = 3 , pues

2 83 = . Para el inciso c, con difi cultad se obtendrá que z = 1 3 , ya que 8 8 21

3 3= = . Pero para el caso último sería casi imposible, es decir, ¿qué potencia k de la base 4 nos da 13?

En los casos anteriores podremos defi nir el logaritmo de una base dada como sigue:

El logaritmo y de un número x con una base a es la potencia a la que hay que elevar la base para obtener dicho número, es decir:

y x a xay= =log si y sólo si

Con lo anterior, se tiene que:

a) 2 9 9 332= ↔ =log

b) 3 8 8 223= ↔ =log

c) 13 8 2 2 8

13= ↔ =log

Y, para el último caso:

d) k k= ↔ = =log log4

1313 13 4 4 4

De lo último se desprende que 13 4 4 13= log , por lo que se pretende can-celar el término 4 con su potencia log4 y se conserva el argumento 13. Es aquí de donde entra la función inversa de la función exponencial (ya que es uno a uno).

La expresión “si y solo si”

indica que la equivalencia de las expresiones se da por ambos lados, o sea, si se cumple la igualdad de la izquierda entonces se cumple la de la derecha y de forma inversa. Esta expresión se simboliza por ↔ .

Matemáticas IV

227


Actividad de aprendizaje 4Usando las propiedades de los logaritmos, determina los valores de las incógnitas siguientes. Puedes recurrir a la ayuda de tu docente.

a) y = log7 49

b) z = log5 5

c) w = log .10 0 001

LogaritmosCuando la base de un logaritmo es 10 o el número e, se tienen dos casos especiales. Así:

• Se llama logaritmo común al logaritmo de base 10 y se representa

log log10 = .

• Se llama logaritmo natural al logaritmo de base e y se representa

loge In= .

De la defi nición anterior se tiene que:

y Inx e xy= = si sólo si

Las leyes de los logaritmos para a ↑ 1 y a, u, v y positivos son:

• log log loga a auv u v= +

• log log loga a a

uv

u v= −

• log logan

au n u n R= ∈ donde

• loga 1 0=

• loga a = 1

• a xaxlog =

• logaxa x=

Con esto avanzado, podemos dar ahora la defi nición de función logarítmica.

228

MIV La función logaritmo de base a, con a ↑ 1 , se defi ne para cada

x R∈ por: f x xa( ) log=

La función logaritmo natural es: f x Inx( ) =

Veamos las gráfi cas correspondientes a cada una.

Para ello hemos de recurrir a una tabla de logaritmos o a la calculadora

científi ca. En el segundo caso se usarán log y In , ya que las calculadoras sólo pue-den determinar estos dos tipos de logaritmos.

Actividad de aprendizaje 5Localiza las teclas log y ln en tu calculadora científi ca y termina la tabla de valores correspondiente a cada una de las funciones dadas.

x y x= log( )

0.2 −0 698970004.

0.5

1

2

3

x y In x= ( )

0.2 −0 609437912.

0.5

1

2

3

Después de completar las tablas de valores, procedemos a señalar cómo quedaría cada una de ellas.

Recuerda colocar entre

paréntesis tus argumentos. Por ejemplo, log (0.2).

Matemáticas IV

229


−1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

x

y

(1,0) ( )xy log=

xy ln=

FIGURA 7.4. Gráfi ca de las funciones y x= log y y Inx= .

Las propiedades de las funciones logarítmicas para las bases

a a≠ >1 0 y y son:

• Su dominio es R+

• Su rango es R

• Cuando a >1 es creciente. Cuando a < 1 es decreciente

• La gráfi ca pasa por el punto (1, 0)

• Es inyectiva

• Tiene como asíntota al eje Y

Entramos en el meollo de todo este bloque. Considerando la defi nición

de logaritmo y de las últimas dos propiedades de los logaritmos, a saber, a xa xlog =

y logaxa x= , (lo cual son las dos composiciones fog y gof ) entonces podemos

afi rmar que:

La función inversa de la función exponencial de base La función inversa de la función exponencial de base aa es la función es la función logaritmo de base logaritmo de base aa. .

Gráfi camente tenemos lo siguiente tomando como base a la recta identi-

dad y las funciones, por ejemplo y ex= y y = Inx.

230

MIV

−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

( )0,1

( )xy ln=

xey =

xy=

FIGURA 7.5. Las funciones inversas e xx In .

Consideremos dos ejemplos de obtención de dominio y rango de funcio-nes logarítmicas.

Ejemplo 1. Determina el dominio y rango de las funciones:

a) f x x( ) log( )= − 3

b) g x In x( ) ( )= 2

Solución: Importante, la función logaritmo sólo acepta valores de ar-gumento positivos.

a) Como x − >3 0 entonces x > 3 con lo que la función estará defi nida para valores de x mayores a 3. Una tabla de valores podría ser:

X 3.2 4 6 8 10 20

y −0 69. 0 0.47 0.69 0.84 1.23

Así que la gráfi ca será:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

−= 3log xy

FIGURA 7.6. Gráfi ca de y x= −log( )3

Matemáticas IV

231


Se nota la asíntota en x = 3. Como x > 3 entonces su dominio son los valores mayores a 3. Su rango R.

b) Como x2 0> entonces acepta cualquier valor de x real a excepción del cero. Entonces con la tabla proporcionada se tiene la gráfi ca correspon-diente.

x −2 −1 −0 5. −0 1. 0.1 0.5 1 2

y 1.38 0 1 38. −4 6. −4 6. −1 38. 0 1.38

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

= 2ln xy

FIGURA 7.7. Gráfi co de y x= In 2.

Su dominio será R −{ }0 , su rango R.

Aplicaciones de la función logaritmo. EcuacionesRecalcamos lo acordado anteriormente antes de dar a conocer que la función ex-

ponencial y logarítmica son inversas, que a xa xlog = y logaxa x= . Aplicando esto a

las funciones exponencial de base e y logarítmica natural se concluye que:

e xInx = y lne xx =

Por lo tanto, estamos en el mejor momento de usar estas relaciones y así despejar variables que sean exponentes dentro del logaritmo natural o en el número e. Para ello consideramos un ejemplo que se dio al inicio de la sesión.

Ejemplo 2. Retomar la situación del problema dado al inicio de la sesión.

Solución: Se indicó que se deseaba conocer el tiempo en que se triplica-

ría la cantidad de ciertos gusanos de maíz y se obtuvo que 3 0 3= e x. . Ahora podemos eliminar el número e de la parte derecha aplicando la función logaritmo natural a ambos lados; la ecuación no se altera debido a la inyectividad de la función.

232

MIVTendremos:

In IneIn xIn x

x

x33 0 33

0 33 66

0 3==

=

=

.

.

..

Así que, después de 3.66 horas, 50 gusanos se habrán triplicado a 150. ¡Qué rapidez!

Vamos a relacionar esto con otros ejemplos, usando las fórmulas expo-nenciales vistas anteriormente.

Ejemplo 3: Un encargado de cuentas de cierta empresa realiza un depó-sito de $10,000 en un banco que otorga un interés de 8.9% compuesto continua-mente, de manera que el dinero no se toca durante cierto tiempo hasta que se genere un total acumulado de $25,000. Encuentra el tiempo en años que deben pasar para que el encargado retire los $25,000.

Solución: En los datos de la fórmula de interés compuesto continuamente C t C ert( ) = 0 se tiene que C C= =25000 100000,

y r = 0 089. , por lo que:

25000 10000 0 089= e t.

2 5 0 089. .= e t

In Ine t2 5 0 089. .=

ln ..2 5

0 089 = t

t = 10 29. años

Ejemplo 4: Unos arqueólogos descu-brieron una momia egipcia y le extrajeron una

pequeña sección de piel. Analizándola obtuvieron que tenía un 43.7% de 14 C . ¿Qué tiempo de muerto lleva el individuo momifi cado?

Solución: La relación en la función de decaimiento radiactivo sin límite es M t M ekt( ) = 0 , pero en el problema no se tiene el valor negativo k, por eso es lo primero a encontrar. Para ello usamos el dato de que la vida media del 14 C es de 5730 años, así que si se contaba con un material inicial M0 , tras pasar 5,730 sólo restará la mitad, o sea M0 2 . Sustituyendo en la relación:

MM e

M

2Me

In k

In k

k

k

k

00

5730

0

5730

12

2

5730

0 55730

0

=

=

( ) =

=

= −

( )

( )

( )

.

.0000120968

0

¿Cuánto tiempo debe pasar para retirar $25,000?

Matemáticas IV

233


Tomando este valor y sustituyéndolo en la relación quedará M t M e t( ) .= −

00 000120968 . Debido a que sólo resta un 43.7% de 14 C de un inicio de M0 ,

queda un (0.437) ( )M0 de material. Finalmente, vamos por el valor de t:

M = M e0 437

0 4370 437

0 00012

0 00 000120968

.

.( . )

.

.eIn

t

0 000120968. t−

−=

− 009686843 31

=

=

t

t . años

Hasta aquí llegaremos con las aplicaciones directas de los logaritmos a las ciencias aunque, recalcamos, existe un sinfín de ellas. Las matemáticas son infi nitas.

Concluimos el bloque con unas ecuaciones que se derivan de las leyes de los exponentes y de los logaritmos.

Ecuaciones

Las ecuaciones que manejaremos serán del tipo logarítmica y exponencial. Cabe señalar que debes repasar de forma concisa las leyes de los exponentes y de los logaritmos.

Vamos a aclararlas mediante ejemplos didácticos.

Ejemplo 5: Usando las leyes de los exponentes y/o logaritmos, encuentra el valor de las incógnitas indicadas.

a) Log x( )3 2+ =

b) Log x x( ) log( ) log3 2 5 9+ − + = −

c) Log x x3 3 2 3 3+ − =log ( )

Soluciones:

a) Como logaxa x= , o equivalentemente log10x x= , entonces

log10 22 = , por lo que se tendrá log( ) log3 102+ =x ; debido a la inyec-tividad de la función logaritmo se obtendrá que ( )3 102+ =x , de donde x x= − =100 3 97, .

b)

log( ) log log( )log ( ) log( )

3 2 9 59 3 2 5

27 18 51

x xx x

x x

x

+ + = ++( ) = +

+ = +

= − 22

c)

log log3 33

2

2

2 3 3

2 3 272 3 27 0

x x

x xx x

−( )( ) =− =− − =

que, resolviendo por fórmula general o factorización, resulta x = −3 9 2, .

234

MIVEjemplo 6: Usando las leyes de los exponentes y/o logaritmos, encuentra

el valor de las incógnitas indicadas.

a) 3 16x =

b) 7 3 1x x= +

c) 5 82 1x− =

Soluciones: Aplicaremos las funciones logaritmo, ya sea común o natu-ral, para “bajar” los exponentes.

a) L xog log3 16=

xLog3 16= log

x = =log log .16 3 2 23719014

b) Log x x7 3 1= +log

xLog x7 1 3= +( )log

x xlog log log7 3 3= +

x(log log ) log7 3 3− =

x log( ) log7 3 3=

x = =log log( ) .3 7 3 1 296606943

c) Ln x5 82 1− = ln

( )ln ln2 1 5 8x − =

2 5 5 8x ln ln ln− =

2 5 8 5x ln ln= ( )( )( )x = =ln ( ln ) .40 2 5 1 146014837

De esta forma fi nalizamos el bloque dedicado a las funciones exponencia-les y logarítmicas, y sus diversas aplicaciones.

SíntesisA continuación se añaden ejercicios complementarios a los ejemplos ya dados, con el fi n de que practiques por ti mismo, y con la ayuda pertinente, la resolución de problemas reales o hipotéticos.

1) En una fábrica de tornillos se ha concluido que en un período de t días

un obrero puede producir T(t) tornillos, donde T t e t( ) ( )..= − −3000 1 0 32

Halla el número de días que han de pasar para que el obrero produzca 1,000 de esos tornillos especiales.

Matemáticas IV

235


2) Unos investigadores han logrado adquirir 50 mg del isótopo del radio, el cual tiene una vida media de 1,690 años. Predice cuántos mg de ese elemento quedarán cuando cumplas 65 años.

3) En un cultivo de bacterias con una población inicial de 5000, se ha determinado que su crecimiento es a una razón de 3.4% por minuto. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que se triplique esa cantidad inicial de bacterias?

4) Dos poblaciones de seres tienen su función de crecimiento sin límite,

A t e t( ) .= 150 0 06 y B t e t( ) .= 103 0 15 , donde t está en años. Halla el tiempo t en que ambas poblaciones serán iguales.

5) En una pecera A hay una población de 60 peces y en una pecera B hay 44 peces. Si las poblaciones de A y B crecen continuamente a tasas anuales de 0.6% y 1.7%, respectivamente, ¿cuándo tendrá B una población igual a la de A?

6) Determina el valor de en cada una de las ecuaciones exponenciales:

a. f x x( ) log= 2

b. g x x( ) ln( )= − 2

c. h x x( ) ln( )= − 1

d. i x x( ) log( )= − +2 4

8) Con cada una de las funciones del ejercicio anterior, determina su do-minio y rango.

9) Pasa las siguientes expresiones de forma logarítmica a exponencial:

a. log .0 0001 4= −

b. logz w r=

c. 32 ln x t=

d. log5 630 = y

e. log16

3c =

a. 4 16x =

b. 3 52x =

c. 2 52x+ =

d. 100 50x =

e. 3 52 1 3 1x x− +=

7) En cada inciso, determina la gráfi ca de la función logarítmica.

10) Encuentra el valor de la incógnita en cada inciso:

a. log3 27 = z

b. loga 125 3=

c. log8

18( ) = s

d. log log( )x x+ + − =5 2 0

e. log ( ) log ( )3 36 2 2x x+ − − =

f. log ( ) log ( ) log ( )2 2 23 5 1 5 3 2x x x− + + − − =

236

MIV11) En cada expresión, utiliza las propiedades de logaritmos para pasar a un

solo logaritmo con coefi ciente uno.

a. log log logt u+ −2 2

b. 32

566log log logx r z− −

c. ln ln ln lna b r+ + −2 5

d. log log loga acd ab4 1+ +

12) En la siguiente ecuación sismológica de Richter, x dcd= ( ) +log , despeja

cada una de las variables que la comprenden.

Análisis de logrosTe recomendamos responder de nuevo tu evaluación diagnóstica realizada al inicio del bloque y ubicarte en el nivel que te corresponda de acuerdo a tu resultado.

Me encuentro a este nivel


Evaluación de mis competenciasI. Subraya la respuesta correcta en cada uno de los incisos.

1) La función f x x( ) = 3 :

a. Tiene dominio R+

b. Tiene asíntota al eje X

c. Tiene rango R

2) La función f x x( ) log( )= − 2 :

a. Pasa por el punto

b. Tiene asíntota al eje Y

c. Tiene dominio R

3) El dominio de f x x( ) log( )= +1 :

a. Es R

b. Es para x > 0

c. Es para x > 1

4) Al resolver la ecuación log ( ) log3 32 51 4 0x x+ + − = es:

a. 47 3

b. 10

c. 3 2

Matemáticas IV

237


5) El valor de x en la expresión 2 2x e x= −ln( ) es:

a. 3 2

b. Ninguno

c. 2 3

6) Resuelve cada una de las ecuaciones logarítmicas:

a. Log x x x3 3 32 1 2 5 2 2( ) log ( ) log ( )− − + + = −

b. Log x5 4 3 2( )− =

7) Resuelve cada una de las ecuaciones exponenciales:

a. 10 353 1x− =

b. e x3 27=

8) Los arqueólogos señalados en el ejemplo 4 de la última sesión descu-

bren que la momia egipcia conserva un 50% de 14 C . ¿Qué tiempo de muerto lleva el individuo momifi cado?

9) De la relación k D Er= −

−log log

log( )1 , despeja cada una de las variables que la conforman.

238




Inicial-receptivo

(5-6)

Básico

(7-8)

Autónomo

(9-10)

Conocimientos

No comprendo correctamente la relación existente entre la función exponencial y

logarítmica para determinar sus características

gráfi cas.

No realizo en buen orden el programa de competencia del minitorneo, de manera que

no desarrollo los conceptos vistos en

el bloque.

Comprendo lo básico de la relación

existente entre la función exponencial y logarítmica para

determinar sus características gráfi cas.

Realizo en buen orden el programa de competencia del

minitorneo, de manera que desarrollo los

conceptos básicos en el bloque.

Comprendo correctamente la relación existente entre la función exponencial y

logarítmica para determinar sus

características gráfi cas.

Realizo en buen orden el programa de competencia del

minitorneo, de manera que desarrollo los

conceptos vistos en el bloque.

Habilidades

No puedo resolver con prontitud y

correctamente los ejercicios planteados por el otro equipo.

No puedo realizar de forma ordenada

las tarjetas de preguntas junto con su hoja de

respuestas a cada una de las 10 cuestiones.

Puedo resolver los ejercicios planteados por el otro equipo.

Puedo realizar de forma ordenada las tarjetas

de preguntas junto con su hoja de respuestas a cada una de las 10

cuestiones.

Puedo resolver con prontitud y

correctamente los ejercicios planteados por el otro equipo.

Puedo realizar de forma ordenada las

tarjetas de preguntas junto con su hoja de

respuestas a cada una de las 10 cuestiones.

Actitudes

No explico y detallo con seguridad y exactitud las soluciones a

los problemas planteados,

además de que casi no participo con mi equipo en

competencia y ante el auditorio.

No tengo paciencia para ayudar

a mi equipo y para realizar el

proyecto de forma colaborativa.

Explico las soluciones a los problemas

planteados, además de que a veces participo

con mi equipo en competencia y ante el

auditorio.

Regularmente, tengo paciencia para ayudar

a mi equipo y para realizar el proyecto de

forma colaborativa.

Explico y detallo con seguridad y exactitud las soluciones a los

problemas planteados, además de que participo con mi

equipo en competencia y ante el auditorio.

Tengo paciencia para ayudar a mi equipo y para realizar el

proyecto de forma colaborativa.

Puntaje 3 9 15

Matemáticas IV

239



Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Cono

cim

ient

os

Reconozco la estructura de las funciones

exponenciales y logarítmicas, ya sean crecientes o decrecientes,

e identifi co algebraica y

gráfi camente ambas funciones.

Comprendo las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones

exponenciales y logarítmicas.

Reconozco la estructura de las funciones

exponenciales y logarítmicas, ya

sean crecientes o decrecientes, pero

no las identifi co algebraica ni gráfi camente.

Comprendo las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones

exponenciales o logarítmicas.

Reconozco algunas de las estructuras de las funciones exponenciales y logarítmicas, ya sean crecientes o decrecientes,

pero no las identifi co

algebraica ni gráfi camente.

Comprendo algunas de las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones


Solo reconozco la estructura de

las funciones exponenciales y

logarítmicas.

Comprendo algunas de las propiedades

de ecuaciones exponenciales o

logarítmicas.

No reconozco la estructura de las funciones

exponenciales ni logarítmicas, ya

sean crecientes o decrecientes, ni

identifi co algebraica y gráfi camente ambas

funciones.

No comprendo las propiedades ni

técnicas de resolución de ecuaciones

exponenciales y logarítmicas.

240


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Hab

ilida

des

Aplico las propiedades de los exponentes y logaritmos en la grafi cación de funciones

exponenciales y logarítmicas, así como en la obtención de sus dominios y

rangos.

Explico cuándo y por qué

una función exponencial y logarítmica es creciente o

decreciente y uso ambas funciones

para modelar y resolver

situaciones que involucren al

valor e.

Construyo analíticamente y gráfi camente

la función logarítmica como

la inversa de la exponencial y obtengo su

dominio y rango.

Resuelvo ecuaciones

exponenciales y logarítmicas a la vez que resuelvo

situaciones modeladas

con funciones logarítmicas y exponenciales.

Aplico las propiedades de los exponentes y logaritmos en la grafi cación de funciones

exponenciales o logarítmicas, así como en la obtención de sus dominios y

rangos.


una función exponencial y logarítmica es creciente o

decreciente y uso ambas funciones

para modelar situaciones que involucren al

valor e.

Construyo analíticamente o gráfi camente

la función logarítmica como

la inversa de la exponencial y obtengo su

dominio y rango.

Resuelvo ecuaciones

exponenciales y logarítmicas a la vez que resuelvo

situaciones modeladas

con funciones logarítmicas o exponenciales.

Aplico las propiedades de los exponentes o logaritmos en la grafi cación de funciones

exponenciales o logarítmicas, así como en la obtención de sus dominios y

rangos.


una función exponencial o logarítmica es creciente o decreciente y uso una de las dos funciones para modelar

situaciones que involucren al

valor e.

Construyo analíticamente o gráfi camente

la función logarítmica

como la inversa de la exponencial y obtengo su

dominio o rango.

Resuelvo ecuaciones

exponenciales o logarítmicas a la vez que

resuelvo situaciones modeladas

con funciones logarítmicas o exponenciales.

Aplico las propiedades de los exponentes o logaritmos en la grafi cación de funciones


Explico cuándo y por qué una

función exponencial o logarítmica es creciente o

decreciente, pero no las uso.

Construyo analíticamente o gráfi camente la

función logarítmica como la inversa de

la exponencial.

Resuelvo ecuaciones exponenciales o

logarítmicas,pero no resuelvo situaciones

modeladas con ambas funciones.

No aplico las propiedades de los exponentes

ni logaritmos, así como tampoco en

la obtención de sus dominios y rangos.

No explico cuándo ni por qué una

función exponencial o logarítmica es creciente o

decreciente ni las uso.

No construyo analíticamente ni gráfi camente la

función logarítmica como la inversa de

la exponencial.

No resuelvo ecuaciones

exponenciales ni logarítmicas ni

tampoco resuelvo situaciones

modeladas con ellas.

Matemáticas IV

241



Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Acti

tude

s

Aprecio la utilidad de la función

exponencial y logarítmica en

la resolución de situaciones que las involucren.

Participo en la resolución de los ejercicios y problemas

con una actitud de apertura y colaborativa cuando se requiera y

propongo formas creativas de modelar y

resolver los problemas

matemáticos presentados.

Aprecio, la mayoría de las

veces,la utilidad de la función exponencial y logarítmica en



con una actitud colaborativa cuando se requiera y

propongo formas creativas de modelar y

resolver los problemas

matemáticos presentados.

Aprecio,en ocasiones, la utilidad de la función

exponencial y logarítmica en



con una actitud colaborativa cuando se requiera y propongo

formas creativas de modelar

los problemas matemáticos presentados.

No aprecio la utilidad de la

función exponencial o logarítmica en la resolución de

situaciones que las involucren.

Participo en la resolución de

los ejercicios y problemas con una

colaborativa cuando se requiera.

No aprecio la utilidad de la

función exponencial ni logarítmica en la resolución de

situaciones que las involucren.

No participo en la resolución de los ejercicios y

problemas con una actitud de apertura

y colaborativa ni propongo formas

creativas de modelar y resolver

los problemas matemáticos presentados.

Puntaje 15 12 9 6 3

Bloque VIII

Aplicas funciones periódicas


• Funciones trigonométricas:

Seno

Coseno

• Funciones circulares:

Seno

Coseno

• Formas senoidales

• Representación grafi ca de funciones trigonométricas

• Características de las funciones periódicas:

Amplitud

Frecuencia

Periodo


• Describe la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las funciones circulares seno y coseno.

• Argumenta la elección de una de las dos formas senoidales para modelar una situación o fenómeno especifi co.

• Obtiene la amplitud y el periodo para grafi car una función senoidal.

• Describe la relación entre periodo y frecuencia.

• Resuelve o formula problemas de su entorno u otros ámbitos que pue-den representarse mediante funciones senoidales.


Genéricas:












6. Cuantifi ca, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magni-tudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean.


244

MIVDinamización y motivaciónEn tu libreta de trabajo responde cada una de las siguientes cuestiones realizando las operaciones que sean necesarias y, a su vez, justifi cando tus posibles soluciones.

1) ¿Cuál es la amplitud y el rango de las funciones y x= sen y y x= cos ?

2) ¿Qué desplazamiento y periodo presenta cada una de las funciones

y x= sen y y x= cos ?

3) Realiza la tabulación necesaria en radianes y grafi ca la función

f x x( ) = ( )3 2sen .

4) En la función f x x( ) cos( )= − + −3 2 2 ≠ , determina: amplitud, periodo, desfasamiento, traslación vertical y gráfi ca.

5) Entre los síntomas que presentan los pacientes de infl uenza se encuen-tra la variación de su temperatura corporal. Supongamos que esta varía con un mínimo de 35°C y un máximo de 40.5°C en un periodo de 15 días. Si la descripción que presenta dicha variación de la temperatura tiene una forma senoidal, determina:

a. La fórmula que corresponda en función del tiempo t

b. La gráfi ca de la función para un intervalo 0 30″ ″t

Las respuestas que dé tu profesor en plenaria respecto a la evaluación diagnóstica te permitirán ubicarte en el nivel de comprensión que te corresponda de acuerdo a la tabla siguiente, con el fi n de refl exionar y, por supuesto, mejorar tu nivel.

Observación: al dar las soluciones tu profesor solo ofrecerá comentarios generales sin profundizar en especifi caciones y justifi caciones, ya que en el tras-curso de este bloque se estudiarán en detalle.


Califi cación: 2 puntos por cada respuesta y justifi cación correcta, 1

punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al

correcto



Nivel Estratégico 9 a 10 puntosDetermino los distintos elementos, características y aplicaciones de la

función senoidal.

Nivel Autónomo 7 a 8 puntosEn varias funciones senoidales

determino sus elementos, características y su aplicación.

Nivel Básico 5 a 6 puntosObtengo, en algunas funciones

senoidales, sus elementos, características y aplicación.

Matemáticas IV

245

BVIIIAplicas funciones periódicas


Califi cación: 2 puntos por cada respuesta y justifi cación correcta, 1

punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al

correcto




Comienzo a obtener en algunas funciones senoidales ciertas

características y algunos elementos, pero no logro aplicarlas.

Nivel Preformal 0 a 1 puntosNo logro determinar los distintos elementos, características y la

aplicación de la función senoidal.

Ten presente en qué nivel te encuentras en estos momentos, pues al fi nal del bloque retomaremos este aspecto importante de tus avances.

ContextualizaciónUna gran cantidad de situaciones de la naturaleza se comportan de forma oscilato-ria, es decir, cuando se mueven en forma periódica con respecto a una posición, la cual podríamos comparar con la forma de la curva que describen las olas del mar en su movimiento. Entre los fenómenos que se comportan de forma oscilatoria se encuentran: corriente eléctrica alterna (que consumimos en nuestro domicilio), las cuerdas de algún instrumento, algunos estudios psicológicos, la variación en la población animal, etcétera; para modelar los fenómenos antes mencionados se utilizan las funciones seno o coseno.

La música es de gran importancia para el ser humano y mucha de ella llega a nosotros a través de la radio pero, ¿has analizado cómo transmite la radio? ¿Qué tipo de emisoras hay y cuáles son sus diferencias? Reúnete en equipos de tres o cinco elementos e investiga los cuestionamientos anteriores para que en el siguiente módulo presenten sus respuestas y las comparen en plenaria.

Proyecto La serie de proyectos concluye con uno similar al que se efectuó en el bloque 2, léelo con detenimiento y refl exiona sobre las actividades a realizar. Adelante.

Proyecto Grafi cación de funciones senoidales usando un software grafi cador

Problema Representar ondas senoidales



Competencias

Interpreta tablas, mapas, gráfi cas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científi cos.

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

246

MIV

Actividades

En equipos diseñados por el profesor, usarán el software empleado en el proyecto del bloque dos (ver el proyecto de dicho bloque para referencia).

Se realizará lo siguiente:

• Al cabo del tiempo señalado por el docente (dentro del periodo que abarca el proyecto), deberán reconocer el manejo básico del software (con la ayuda sólo necesaria del docente), es decir, conocer sus principales características, posi-bles menús y funciones para grafi car. De forma que entre su equipo se ayuden a utilizar este software. Todo esto aplicado a las funciones senoidales.

• Su docente le indicará a cada equipo las funciones que representarán utilizando el software. Imprimirán o crearán estas gráfi cas frente a tu profesor para que compruebe el manejo básico del software. Entre las funciones a representar estarán las que se generen de aplicaciones y modelos matemáticos que las involucren.

• Por último, su profesor les dará una función base y se grafi cará, para después realizar y grafi car las transformaciones que él les indique, esto para evidenciar el manejo del programa y el conocimiento de las transformaciones.

• Añadimos a estas actividades que ustedes investiguen 3 ecuaciones senoidales cuyas aplicaciones o modelos no sean las vistas en este bloque. Estas ecuacio-nes las representarán mediante el software.

Recursos Libro de texto, PC, software informático de grafi cación, hojas en blanco, impresora, libros de consulta en la biblioteca.

Normas

Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y, en caso de que un miembro del equipo falte, se resolverá con el criterio de tu profesor.

El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra. Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.

Las ecuaciones que se investiguen serán únicas por equipo y se dará la fuente de información usada.

Sesión A: Las funciones senoidales. AplicacionesSaberesDel saber

• Defi no los elementos de las funciones senoidales, tales como amplitud, frecuencia, periodo y fase.

• Reconozco y puedo interpretar las representaciones gráfi cas de las fun-ciones senoidales.

Del saber hacer

• Interpreto y determino los elementos y características de las funciones senoidales.

• Resuelvo problemas aplicativos a las funciones senoidales con el fi n de comprender su utilidad en diferentes áreas.

Matemáticas IV

247


Del saber ser

• Tengo disposición al trabajo en equipo cuando se requiera y actúo de manera propositiva al resolver las situaciones planteadas.

• Aporto comentarios y considero los de mis compañeros en un ambiente de refl exión y tolerancia.

• Valoro las utilidades de las funciones senoidales en las ciencias y en situaciones cotidianas.

Problematización Estando por fi nalizar la serie de Matemáticas que has cursado desde el primer semestre, esperamos que estés consciente de que debes abarcar las ocho compe-tencias disciplinares básicas. Razón por la que, a lo largo de estos semestres, se ha promovido la comprensión de estas competencias. Así que refuerza el trabajo y motivación para lograr el objetivo.

En este último bloque analizaremos las funciones senoidales. ¿Qué te recuerda la palabra “senoidal”, hablando de matemáticas? ¿Cómo se relaciona con tus conocimientos previos?

Como quizá ya hayas intuido, se trata de funciones relacionadas con las funciones trigonométricas que estudiaste en pasados cursos de matemáticas, pero en nuestro caso se considerarán las representaciones y aplicaciones de ciertos tipos de funciones relacionadas, como ya indicamos, con las funciones trigonomé-tricas para los triángulos.

Las funciones trigonométricas se relacionan con fenómenos que tienen repeticiones o periodicidad, como en el caso del movimiento ondulatorio, la vibra-ción de cuerdas, la corriente eléctrica alterna, péndulos en oscilación, ritmos biológicos, las ondas sonoras, entre otros. Posiblemente con el que tengas más cercanía ocurra en la Me-dicina, que utiliza estas funciones para determinar el ritmo cardiaco. ¿Cómo “visualizan” el ritmo de un paciente? Se hace mediante el electrocardiograma, que es una representación o gráfi co “en vivo” del ritmo cardiaco del paciente. ¿Recuerdas el tipo de gráfi co que aparece en ese aparato? Quizá lo relacio-nes a una gráfi ca que sube y baja como unas olas del mar.

Así que las funciones senoidales son de este tipo o tienen una forma con ciertas “repeticiones” en su fi gura.

Desarrollo de saberesHabrás notado que de nuevo las Matemáticas hicieron de las suyas al aparecer en un problema que aparentemente no es de su rama. Esto indica la gran relación que tiene con las demás disciplinas y su utilidad para resolver situaciones complejas.

Las funciones trigonométricas que se estudiaron son: seno, coseno, tan-gente y sus recíprocas, cosecante, secante y cotangente, respectivamente. Aquí sólo consideraremos las relaciones que se obtengan de las primeras dos, es decir, de seno y coseno.

Siguiendo con el repaso, las funciones seno y coseno aceptaban argu-mentos dados en grados o radianes. ¿Recuerdas qué es un radián? Para entrar en detalles sobre estos tipos de ángulos, realiza la siguiente actividad.

La Medicina utiliza las funciones trigonométricas para determinar el ritmo cardiaco.

248


Contesta las siguientes preguntas tomando como base los datos y defi niciones que se te dan.

En una circunferencia de radio r. Un radián, abreviado rad, es un ángulo central en el cual el arco comprendido por el ángulo es igual al radio r. La equivalencia entre grados y radianes es:

360 2° = radπ

Con la relación anterior podemos afi rmar que para convertir de grados a

radianes se multiplica por el valor π180°( ) .

Responde:

a) ¿Cuál será la relación para convertir de radianes a grados?

b) Si un ángulo mide 53π , ¿a cuántos grados equivale?

c) Completa la tabla de ángulos realizando las conversiones necesarias.

° 30° 60° 150° 270° 300° 360°

rad π6

π2

23

π π 76

π 43

π 116

π

Compara tus respuestas con las de tus compañeros para llegar a un solo acuerdo grupal.

Las funciones senoidales, como se ha indicado, están en relación directa con las funciones trigonométricas. Por lo tanto:

Una función que utilice las funciones trigonométricas sen Una función que utilice las funciones trigonométricas sen xx se denomina se denomina xx se denomina xxfunción senoidal y a su gráfi ca se le denomina curva u onda senoidal. De forma función senoidal y a su gráfi ca se le denomina curva u onda senoidal. De forma similar, para la función cossimilar, para la función cosxx se llama función cosenoidal y su gráfi ca onda cose- se llama función cosenoidal y su gráfi ca onda cose-xx se llama función cosenoidal y su gráfi ca onda cose-xxnoidal.noidal.

Para comprender algunos elementos de su composición, así como sus pro-piedades, veremos primero las gráfi cas de las funciones trigonométricas f(x) = senx y de f(x) = cosx.

En todas las gráfi cas señaladas en esta obra se han usado los valores en el eje X, generalmente enteros o fraccionarios, pero ahora, cuando trabajemos con las funciones trigonométricas lo haremos con valores de x que sean radianes que, como sabemos, contienen a π, que es un número irracional. Así, en nuestros valo-

res x aparecerán los valores tales como π π π2 2, ,− , etcétera. De forma sencilla usaremos los valores en radianes que correspondan a los múltiplos de 30°. El eje Y no sufrirá variación alguna.

Matemáticas IV

249


En la actividad anterior pudiste crear una tabla de radianes correspon-diente a los valores múltiplos de 30°, aunque establecimos que las funciones senx y cosx tienen como dominio todos los reales, como señalamos más adelante. Así que para calcular los valores de y = senx, tomaremos valores de x en radianes, por lo que nos aseguraremos que nuestras calculadoras estén en el modo radián, el cual la programa para trabajar con ángulos en radianes y no en grados. Cuando el modo radián está activado en la calculadora generalmente aparece en el display la palabra Rad o la letra R. Asegúrate de conocer el manejo de tu calculadora.

Gráfi cas de f(x) = senx y f(x) = cosxComencemos primero con la función y = senx. La tabla a trabajar sería la siguiente, junto con sus resultados ya colocados.

X 0 π6

π3

π2

23

π 56

π π 76

π 43

π 32

π 53

π 116

π 2π 136

π

y = senx 0 0.5 0.866 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5 0 0.5

Observamos que la función senx se repite a partir del valor 2π por la derecha. Lo mismo ocurre, pues su dominio son los reales, si tomáramos valores x negativos; éstos se repetirían en un ciclo establecido. Para mayor claridad se muestra la gráfi ca de la función, donde en los valores de x se han colocado los equivalentes de cada radián en decimales.

−3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2

−1

−0.5

0.5

1

1.5

x

y

xy sen=

FIGURA 8.1 Gráfi ca de la función f(x) = cosx.

Se colocan los puntos en donde la gráfi ca inicia y termina, es decir, a partir de los cuales se repite. La parte punteada se refi ere a la forma de la función si se tomaran valores negativos o mayores a 2π .

Por su parte, la función y = cosx quedará de la forma siguiente:

250

MIVX 0 π

6π

3π

22

3π 5

6π π 7

6π 4

3π 3

2π 5

3π 11

6π 2π 13

6π

y = cosx 1 0.866 0.5 0 −0 5. −0 8666. −1 −0 866. −0 5. 0 0.5 0.866 1 0.866

−3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2

−1

−0.5

0.5

1

1.5

x

y

xy cos=

FIGURA 8.2 Gráfi ca de f(x) = cosx.

Estas dos gráfi cas tienen en sí una repetición de sus formas, así que:

Una función f es periódica si existe un valor positivo k, tal que para todo x R∈ se cumple que f x k f x( ) ( )+ = . Al valor más pequeño k se llama periodo de la función f. a la porción de gráfi ca que representa un periodo se le llama ciclo.

Para las funciones senx y cosx el valor más pequeño k es igual a 2π , por lo que el periodo de ambas es 2π . Gráfi camente estas funciones repiten su forma cada 2π unidades del eje X. Así que sus ciclos se encuentran señalados por la por-ción de gráfi ca comprendida entre los puntos de cada fi gura.

Mediante las fi guras de cada onda dadas anteriormente se observa que el valor máximo de cada una es de 1 y su valor mínimo de −1 . Además:

La La amplitud de una ondaamplitud de una onda es la mitad entre su valor máximo y mínimo. es la mitad entre su valor máximo y mínimo.

Entonces, la amplitud de senx y cosx es de 1 en cada caso.

Tras realizar un breve análisis con ambas funciones, ahora pode-mos abordar sus propiedades.

Matemáticas IV

251


Para las funciones y = senx y y = cosx

• Su dominio es R

• Su rango es − 1 1,

• Su periodo es 2π• Se valor máximo es 1 y su valor mínimo es −1

• Su amplitud es 1

Gráfi camente, para la función y = senx se dan estos conceptos:

−3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2

−1

−0.5

0.5

1

1.5

x

y

xy sen=

Período = 2π

Amplitud = 1

Máximo = 1

Mínimo = −1

FIGURA 8.3 Propiedades y elementos de la función senoidal.

Para concluir esta sección, acordamos que la gráfi ca de cosx es la gráfi ca

de senx al trasladarla horizontalmente π 2 unidades a la izquierda, es decir:

cos x sen x= +( )π2

Esto tiene que ver con las traslaciones gráfi cas, como vemos en seguida.

Gráfi cas de f(x) = a sen(bx)+ c y f(x) = a cos(bx) + cEn el bloque II estudiamos las transformaciones gráfi cas. Estas consideraciones son aplicables en nuestras ondas, por eso damos de forma directa las reglas que se usa-rán para determinar los elementos y características de estas funciones. Afi rmamos que las funciones f(x) = senx y f(x) = cosx serán nuestras funciones base, a partir de las cuales determinaremos las del tipo f x a bx c f x a bx c( ) ( ) ( ) cos( )= + = +sen y .

252

MIVPara las funciones del tipo:

f x a bx c( ) ( )= +sen

f x a bx c( ) cos( )= +

donde a b c Ry a b, , ,∈ ≠ 0 .

Se afi rma que el periodo es determinado por:

Periodo = 2πb

La amplitud se determina por:

Amplitud = |a|

• Si a > 1, la onda tiene un alargamiento vertical con un factor de a unidades.

• Si 0 < a < 1, la onda tiene una compresión vertical con un factor de a unidades.

• Si b > 1, la onda se comprime horizontalmente.

• Si b < 1, la onda se estira horizontalmente.

• Si c > 0, la onda se traslada verticalmente hacia arriba c unidades.

• Si c < 0, la onda se traslada verticalmente hacia abajo c unidades.

Ciertamente esta es una poderosa herramienta analítica para determinar las representaciones de las funciones senoidales. Consideremos la siguiente acti-vidad.

Actividad de aprendizaje 2Realiza una tabla de valores con radianes para grafi car, sin realizar un análisis, las funciones:

a) f x sen x( ) =

2 2

3

b) f x x( ) cos= −

+2

1

Comprueba con tus compañeros los resultados obtenidos. Verifi quen sus operaciones y gráfi cas. Finalmente conserven las gráfi cas que su docente apruebe.

Para reafi rmar las herramientas analíticas dadas, ofrecemos una serie de ejemplos para aplicar lo discutido.

Matemáticas IV

253


Ejemplo 1. Discutir y grafi car las ondas dadas en cada inciso.

a) f x x( ) cos( )= −3 1

b) f x senx( ) = −3

c) f x x( ) cos=

−2

43

Soluciones:

a) Para este caso a = 1, b = 3 y c = −1 . El periodo es de 2 2

3πb

= π, es decir,

cada 23π

unidades se tiene un ciclo. La amplitud es |a| = 1. El valor

de c = −1 indica una traslación vertical de una unidad hacia abajo. Por lo tanto, la función base y = cosx se comprime horizontalmente hasta

tener un ciclo de 23π

unidades, después a la función y = cos3x se le

desplaza una unidad hacia abajo.

La gráfi ca es:

−3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

x

y

2π/3y=cos(3x)-1

FIGURA 8.4 Gráfi ca de la función f x x( ) cos( )= −3 1 .

El valor máximo es 0 y el mínimo −2.

b) Aquí a = −3 , b = 1, c = 0. El periodo es de 2π . La amplitud es de − =3 3 , por lo que sufre un alargamiento vertical en un factor de 3. El signo menos de a indica una refl exión con respecto al eje X. Así que la función base y = senx se alarga en un factor de 3 unidades y se refl eja con el eje X, razón por la que su valor mínimo es de −3 y máximo de 3. Esta es:

254

MIV

−3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π 6π

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

y=-3senx

FIGURA 8.5 Gráfi ca de f x senx( ) = −3 .

c) a b= =2 14, y c = −3 . Notamos que el periodo es

2 2 81

4

π πb

= =π, la am-

plitud 2 2= . Esta función base, y = cosx, sufre un estiramiento hori-

zontal para tener un periodo de 8π , con lo cual cada ciclo lo da en múltiplos de 8π . Presenta un estiramiento de un factor 2 y después se desplaza verticalmente hacia abajo 3 unidades.

−π π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π

−5

−4

−3

−2

−1

1

x

y

8π

y=2cos(x/4)−3

FIGURA 8.6. Gráfi ca de la función f x x( ) cos= ( ) −2 34 .

Sólo resta que realices un análisis exhaustivo de las gráfi cas realizadas en la actividad anterior. Expón a tus compañeros cuál es, para ti, la mejor forma de grafi car, si la tabulación o si el análisis de las funciones senoidales. Explica por qué.

Matemáticas IV

255


Es necesario y útil que refl exiones sobre las maneras de representar las funciones senoidales, de tal forma que utilices argumentos claros y específi cos sobre lo que estás efectuando al realizar un ejercicio o actividad matemática.

AplicacionesHa quedado pendiente analizar las aplicaciones de las funciones senoidales. Como se indicaba al principio, existen diferentes facetas en donde estas funciones son necesarias. Vamos a considerar algunas de estas estructuras y modelos matemáti-cos en donde se usen dichas funciones.

Ejemplo 2: La ecuación de la intensidad I(t) de la corriente eléctrica alterna en un aparato viene dada por la siguiente relación matemática:

I t sen t( ) ( )= 20 100π

En donde t está en segundos e I en amperes. Realizar un análisis del com-portamiento del artículo bajo estas condiciones.

Solución: Ya que en este caso |a| = 20, entonces la amplitud es de 20, por lo que la corriente máxima del aparato será de 20 amperes. Una de los elemen-tos utilizados con frecuencia en ondas es la frecuencia, que equivale al recíproco del periodo y que se refi ere a la cantidad de ciclos que la onda da en una unidad de tiempo que contempla. Esta se calcula con:

Frecuencia = f =b

2πLa frecuencia será f

b= = =

2100

250π

ππ y radica en que se dan 50 ciclos

en un segundo.

Aplicando las funciones senoidales a la acústica, se afi rma que los sonidos así como la música que llega a nuestros oídos se propagan en el medio como unas ondas longitudinales que tienen un modelo de función senoidal. Estas ondas ejer-cen presión al medio donde están. Su velocidad depende en gran parte de la pre-sión y la temperatura presentes en el medio de transmisión. En el caso de las ondas de sonido, la frecuencia se llama tono. La amplitud se le denomina sonoridad, que se da en decibeles.

Generalmente la velocidad del sonido se mide en segundos, por lo que el modelo para relacionar estas variables será uno de la forma:

f t asen bt( ) ( )=

Apliquemos esto en unos ejemplos.

Ejemplo 3. Aplicar el modelo base de las ondas sonoras para determinar la ecuación de una cuerda de un instrumento musical que vibra a 779 ciclos por segundo y que tiene una amplitud de 3 10 5× − m.

Solución: El músico desea encontrar la ecuación, de modo que vamos a

ayudarle. Se tiene que la amplitud a = × −3 10 5 y que la frecuencia f es fb

=2π , de

donde 7792

779 2 1558= = =b

bπ y así ( )( )π π . Con esto la ecuación solicitada es:

f t Sen t( ) ( )= × −3 10 15585 π

¿Cómo determinar la ecuación de una cuerda?

256

MIVEjemplo 4. Si un físico observa en un osciloscopio que su generador de

ondas de sonido está produciendo unas vibraciones o ciclos de 129 por segundo, ¿cuál será la ecuación de la imagen dada en el osciloscopio, si además el físico sabe que la intensidad del sonido producido es de 31 decibeles?

Solución: Hemos marcado que la amplitud está en relación con los decibeles, por lo que |a| = 31. Nos falta el valor de b, el cual se obtiene de la frecuencia como si-

gue: 1292

=b

π , entonces b = =129 2 258( )π π .

La ecuación que el físico obtendrá para repre-sentar la imagen de su osciloscopio será como esta:

f t sen t( ) ( )= 31 258π

La gráfi ca que vería es la siguiente:

−10000π −8000π −6000π −4000π −2000π 2000π 4000π 6000π 8000π 10000π 12000π

−40

−30

−20

−10

10

20

30

40

x

y

FIGURA 8.7 Gráfi ca que representa el problema del osciloscopio.

Se han cumplido los objetivos señalados para este bloque. Esperamos que te hayan servido para analizar las muchas aplicaciones que tiene la Matemática, y también esperamos que hayas atendido las ocho competencias disciplinares.

Terminamos esta obra con las secciones que te han ayudado a lo largo de todos los bloques anteriores.

Un osciloscopio es un aparato que muestra en una pantalla las variaciones o ciclos de una tensión o sonido.

Matemáticas IV

257


Síntesis1) En cada inciso, determina la gráfi ca de las funciones mediante una tabla

de valores con radianes en el dominio indicado.

a. f x sen x x( ) ( ),= − ≤ ≤2 3 0 4π

b. g x x x( ) cos ,=

− ≤ ≤1

223

2 2ππ

c. h x sen x x( ) ,=

+ ≤ ≤4

3 23 0 2π

2) Determina la amplitud, periodo y rango de cada una de las funciones del inciso anterior.

3) Se tiene un aparato que genera una corriente en amperes dada por la

ecuación I t sen t( ) . ( )= 3 5 80π , donde t está en segundos. Encuentra el pe-riodo, amplitud y frecuencia de esa función.

4) Un árbitro pita con todas sus fuerzas su silbato para indicar el fi nal de un partido de futbol. Las ondas generadas por ese sonido tienen una fre-cuencia de 498 ciclos por segundo y se sabe que generan una amplitud de 2 98 10 5. × − m. Con esos datos, encuentra la ecuación de las ondas de ese sonido.

5) Un camión de bomberos pasa cerca de ti con una frecuencia en su sirena de 856 ciclos por segundo a 110 decibeles. Halla la ecuación que descri-ba al sonido generado en tal situación.

6) En una playa los estudios científi cos y atmosféricos han determinado que la altura, en metros, de las mareas, en condiciones normales y tras un

tiempo t en segundos, tiene una ecuación de onda A tt( ) cos=

2310

48100 .

Traza dos ciclos de esta onda y determina sus elementos.

7) Describe con argumentos analíticos las transformaciones que deben realizarse en cada una de las funciones dadas, tomando como base las funciones y = senx y y = cosx.

a. f x senx( ) .= −3 5 2

b. g x sen ex( ) . ( ) .= − −1 5 1 5

c. h x x( ) cos( )= −2 2 43

d. i x ex( ) cos= ( ) −3 34≠

258

MIV8) Una empresa que fabrica motores fuera borda ha contemplado que su

ecuación de ventas está dada por la relación V m m( ) cos= − ( ) +15 156π ,

donde V es la cantidad de ventas y m está dado en meses. Con ello, determina el periodo de la función, ¿cuál es su valor máximo y mínimo? ¿En qué meses ocurren?

9) De cada función del ejercicio uno, obtén la frecuencia, amplitud, perio-do y rango, sin grafi car.

RealimentaciónComo parte fi nal de las actividades de este bloque ofrecemos, más que ejercicios, un repaso en donde aportarás tus puntos de vista, argumentaciones y conclusiones de los resultados obtenidos.

I. En el ejercicio 1 de la sección Síntesis, encuentra los valores máximo y mínimo de cada función.

II. ¿Puede una función senoidal ser biyectiva? En cualquier caso, explica tu res-puesta con argumentaciones analíticas y gráfi cas.

III. Representa gráfi camente las funciones dadas en el ejercicio 7 de la sección Síntesis.

IV. Halla la ecuación de onda de un sonido que emite una frecuencia de 200 ciclos/s a unos 27 decibeles.

Análisis de logrosResponde de nuevo el examen diagnóstico dado al inicio del bloque y ubícate en el nivel que te corresponda de acuerdo a tu resultado.

Me encuentro a este nivel


Matemáticas IV

259


Evaluación de mis competencias


Producto, logro o

desempeño


5 3 1

Cono

cim

ient

os

Conozco las características de las

funciones senoidales, sus interpretaciones gráfi cas y las ubico en los ejes

coordenados.

Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo

componen y reconozco otras aplicaciones

opcionales.

Reconozco todas las funciones senoidales vistas y señalo su importancia en

las transformaciones.

Utilizo siempre la terminología exacta en las transformaciones gráfi cas

en el software.

Conozco las características de las funciones senoidales y sus interpretaciones gráfi cas.

Describo el funcionamiento básico del software así

como los elementos que lo componen.

Reconozco algunas de las funciones senoidales vistas.

Utilizo, en ocasiones, la terminología exacta en las

transformaciones gráfi cas en el software.

Conozco las características

de las funciones senoidales, pero no sus

interpretaciones gráfi cas ni las ubico en los ejes

coordenados.

Describo el funcionamiento básico

del software.

Reconozco algunas de las funciones especiales.

No utilizo la terminología exacta en las transformaciones

gráfi cas en el software.

Hab

ilida

des

Mis gráfi cas, al utilizar el software, contienen elementos distintivos y

originales.


solicitadas e investigadas, a la vez que puedo

realizarles ciertos ajustes opcionales para su mejor

visualización.

Puedo representar e imprimir en presencia de mi docente las gráfi cas o transformaciones que indique y respondo de

manera correcta y aporto ideas a las preguntas

planteadas al exponer lo realizado.

Mis gráfi cas, al utilizar el software, contienen los

elementos básicos.


solicitadas e investigadas.

Puedo representar o imprimir en presencia de mi docente las gráfi cas o

transformaciones que indique y respondo de manera

correcta y aporto ideas a las preguntas planteadas al

exponer lo realizado.

No puedo realizar mis gráfi cas con el software sin la ayuda de alguien.

No represento de forma adecuada las gráfi cas solicitadas ni puedo realizarles ciertos

ajustes opcionales para su mejor visualización.

Puedo representar o imprimir en

presencia de mi docente las gráfi cas o transformaciones

que indique, pero no respondo de manera correcta ni aporto

ideas a las preguntas planteadas al exponer lo

realizado.

260


Producto, logro o

desempeño


5 3 1Ac

titu

des

Tengo un alto compromiso con mi equipo y con la

resolución del proyecto, de forma que colaboro

con él en todo momento.

Mantengo una actitud positiva en todo momento

del trabajo, además de que expreso mis ideas y aportaciones con un lenguaje digno en todo

tiempo.

Demuestro interés en el manejo del software

dando otras posibles interpretaciones del

mismo.

Tengo compromiso con mi equipo y con la resolución

del proyecto, de forma que colaboro la mayoría del

tiempo con él.

Mantengo una actitud positiva del trabajo,

además de que expreso ocasionalmente mis ideas y

aportaciones.

Demuestro ocasionalmente interés en el manejo del

programa.

Tengo muy poco compromiso con

mi equipo y con la resolución del proyecto,

de forma que no colaboro con él.

Mantengo una actitud negativa durante el

trabajo y no expreso ni ideas ni aportaciones.

No demuestro interés alguno en el manejo del

programa.

Puntaje 15 9 3

Matemáticas IV

261



Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Cono

cim

ient

os

Defi no los elementos de las funciones

senoidales, tales como amplitud,

frecuencia, periodo y fase.

Reconozco y puedo

interpretar las representaciones

gráfi cas de las funciones senoidales.

Defi no la mayoría de los elementos de las funciones



Reconozco, pero no interpreto las representaciones


Defi no sin ayuda algunos de los elementos de las funciones



Reconozco, pero no interpreto algunas de las

representaciones gráfi cas de

las funciones senoidales.

Defi no con ayuda, algunos los elementos

de las funciones senoidales, tales como amplitud,


Reconozco con difi cultad o no puedo

interpretar las representaciones


No defi no los elementos de las funciones



No reconozco ni interpreto las

representaciones gráfi cas de

las funciones senoidales.

Hab

ilida

des

Interpreto y determino los elementos y

características de las funciones

senoidales.

Resuelvo problemas


senoidales con el fi n de comprender

su utilidad en diferentes áreas.

Interpreto y determino la

mayoría de los elementos y


senoidales.

Resuelvo problemas

aplicativos a las funciones senoidales

con el fi n de comprender


Interpreto y determino

sin ayuda los elementos y


senoidales.

Resuelvo problemas




Interpreto y determino

con ayuda los elementos y


senoidales.

Resuelvo problemas




No interpreto y determino los elementos y


senoidales.

No resuelvo problemas

aplicativos a las funciones senoidales

con el fi n de comprender


262


Producto, logro o

desempeño


5

Estratégico

4

Autónomo

3

Básico

2

Inicial

1

Pre-formal

Actitudes

Tengo buena disposición

al trabajo en equipo cuando se requiera y

actúo de manera propositiva al resolver las situaciones planteadas.

Aporto buenos y acertados

comentarios y considero los de mis compañeros en un ambiente de refl exión y

tolerancia.

Valoro las utilidades de las funciones senoidales en las ciencias y en situaciones

cotidianas.

Tengo buena disposición

al trabajo en equipo cuando se requiera y


Aporto buenos comentarios y

considero los de mis compañeros en un ambiente de refl exión y

tolerancia.

Valoro poco las utilidades de las funciones senoidales en las ciencias y en situaciones

cotidianas.

Tengo poca disposición

al trabajo en equipo cuando

se requiera, pero actúo de manera

propositiva al resolver las situaciones planteadas.

Aporto comentarios y considero, en

ocasiones, los de mis compañeros en un ambiente de refl exión y

tolerancia.

Valoro poco las utilidades de las funciones senoidales en

alguna ciencia.

Tengo poca disposición

al trabajo en equipo cuando se requiera, pero no actúo de manera

propositiva al resolver las situaciones planteadas.

Aporto comentarios y

considero pocas veces los de mis

compañeros.

Valoro poco las utilidades de las funciones senoidales en las ciencias o en situaciones

cotidianas.

No tengo disposición

al trabajo en equipo cuando se requiera ni


No aporto comentarios ni

considero los de mis compañeros en un ambiente de refl exión y

tolerancia.

No valoro las utilidades de las funciones senoidales en las diferentes

facetas y aplicaciones.

Puntaje 15 12 9 6 3

Documents

39_Matematicas4