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Universidad, del Valle 'Facult"ad de'Cilcias Naturales y Exactas

'"Departamentb de MatemticasCuarto examen corto de clculo II

1. ( 2 ptos.) Al utilizar sumas de Riemann para calcular el rea A bajo la curva U = 2r2 + 1, 2 < r ( 6, el lmiteque expresa puede ser:

or,lg(T.#*#tb)mI,*.#.#,e) N.A.

3.z tzli tz82.") jg !,*; * -F + -p)

li

2. (l pto.) Halle la frrncin /(r) que satisface la ecuacin Zlnl - 3r'= [" f O) dty calcule /(4).J2

3. (2 ptm.) Considere laregin Racotadaporlasgrficasde lasfunciones /(r):4-n2 yg(o) = x-2.

a) Dibuje en un plano cartesiano la regin R,rse61ando en ella loe puntos de interseccin de las grficas,

b) Calcule el rea de R.

Yi o.a-)) o

%w\>'c)

tt*@ (.,2.h;) < O

I

iEtr

=+cl=tE

UNIVERSIDAD DEL VATLEDepartamento de MatemticasTercer Examen Parcial Clculo IProfesora Erica Cruz R.Nombre:No se permite eI uso de ningn material bibliogrrfico. Tiempo: 120 min.

(l) (24 PUNTOS) En las siguientes profosiciones responda Falso o Verdadero, jus-tificando su respuesta

Enero 31 de 201L

()(a) La integral IlrlrlA" : Z.

(b) El rea de la regin entre las grficas (*) : Z - n2 V g@) * , "r 3.

(c) La derivada de F(z) : [ircwtdt: (cosr3)(3c2).

(d) El valor promeo de f (r) -- Jrz - Zr en el intervalo [1, ] es f .

()

()

()

(2) (10 PUI{TO) Sea / definida como

Si .F'(r) : I f @)au, encuentru ,l7"(1)

nJ&f @):

J, WO'

." !

(3) (12 PUNTO),Resuelva ta integral { ffiO*

(4) (1.0. PUryIOSJ Encuntre el rea rle la regin comprendida entre las grrficas def (*) :}rs - x2 :7or v g@) : -n2 *2r.

i:

i+

(5) (18 PUNTOS) Considere la regin R limitada porr:2g2 (puntos de corte: x : 0; x : 2)

las grrfficas d" U - L*, u

A

1i

I

() Exprese (NO CALCULE) el volumen del stido de revolucin ,S al rotar .Balrededor del eje y - -5, utilizando eI mtodo de caias cilndricas./'\')ar* {L

.L ( \ t . r- I I

.R alrededro del eje tr : 6, utilizando el mtodo de secciones transversales

2.4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Determine el rea de las regiones oHfr1""lti:3g*o*o probremas.1' La regin ,S acotad? por debajo por la 8rfica ! : y por arriba por la grfica a : ren el intervalo [0,1]

La regin ,s entre la grfica y : (* + l)' y el eje r en el intervalo [r,3]La regin ,S acotada por arriba por la grfic U : tt y por abajo p"n f" gr,fio !: 1en el intervalo [0,1]4. La regin

^9 acotada por arriba por la grrfica U : * y por abajo por ln recta horizontalA : -l en el intervalo [-1,2]

5. La regin R acotada-por arriba por la gr.fica y : U(r+ l)s y por abajo pm d ejec en el intervalo [0,2]La regin .R acotada por arriba por la grfica U : 4x - 12 y por abajo por eI eje rLa regin .B acotada por la izquierda por la grfica de r : af y po, erecna por larectaverticalr:4

8. La regin R entre las grficas de y : ra - 4y U : Zr2En los siguientes problernas, esquematice las regiones acotadas por las curvas dadas; deter-mine despus su rea.

l.a: fr2, a:43.r:U2, t:22--:A2,5.A:2r2, y:52-37.A: 12, A:4(r - 1)29.A: 13, U:,2tr - tr2L7.g:3, fr*A:0, U:r*6.

2.r:0, fr:L6-A,4.a: fr2, ,:y26.y:fr2, U:3+5r-128.A-fr4, A:32-ra10. A' : r, U2 :2(r - J)