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Producto escalar
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es
una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar
los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede
definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los
espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
Definición general
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo
que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación donde V es un espacio vectorial y
es el cuerpo sobre el que está definido V. debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: , y
análogamente
2. Hermiticidad : ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte
en ser simétrica.
También suele representarse por o por .
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si
además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:
.
Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que
forman.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial
escogida.
Proyección de un vector sobre otro
Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy AB, será
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del
otro sobre él.
Ángulos entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos
vectores son ortogonales.
ya que el valor del coseno de 90º es cero.
Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados.
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el
producto escalar.
Observación
Una importante variante del producto escalar estándar se utiliza en el espacio-tiempo de Minkowski, es decir, dotado del producto
escalar:
.
Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:
3. Asociativa respecto al producto por un escalar m:
Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por
los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:
Norma o Módulo de un vector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.
Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.
Efectuado el producto escalar, tenemos:
de modo que
Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i, j, k}
de modo que
Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:
Siendo el número complejo conjugado de
En el espacio vectorial de las matrices de m x n elementos
donde tr(A) es la traza de la matriz A y BT es la matriz traspuesta de B.
En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b :
C[a, b]
En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
Dado tal
que :
Generalizaciones
Formas cuadráticas
Dada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio vectorial puede definirse un producto escalar diferente del
producto escalar euclídeo mediante la fórmula:
Donde:
es una base del espacio vectorial
Puede comprobarse que la operación anterior satisface todas las propiedades que debe satisfacer un
producto escalar.
Tensores métricos
Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de
curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se
adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica
ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métrico , tal que la
restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .
Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la varieda de Riemann se define su producto interno o escalar
como:
La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente de la siguiente manera:
