Base ortonormalEnlgebra lineal, unabase ortonormalde unespacio
prehilbertianoV(es decir, unespacio vectorialconproducto interno)
o, en particular, de unespacio de Hilbert H, es un conjunto de
elementos cuyospanes denso en el espacio, en el que los elementos
son mutuamenteortogonalesy normales, es decir, de magnitud
unitaria. Unabase ortogonalsatisface las mismas condiciones, salvo
la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base
ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por
unescalarapropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que
se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.As,
unabase ortonormales unabaseortogonal, en la cual lanormade cada
elemento que la compone es unitaria.Estos conceptos son importantes
tanto para espacios de dimensin finita como de dimensin infinita.
Para espacios de dimensin finita, la condicin de span denso es la
misma que la de 'span', como se usa enlgebra lineal.Una base
ortonormal por lo generalnoes una "base", es decir, en general no
es posible escribir a cada elemento del espacio como unacombinacin
linealde un nmerofinitode elementos de la base ortonormal. En el
caso de dimensin infinita, esta distincin cobra importancia: la
definicin dada requiere solo que el span de una base ortonormal
seadensa enel espacio vectorial, y no que iguale al espacio
entero.Una base ortonormal de un espacio vectorialVno tiene sentido
si el espacio no posee unproducto interno. UnEspacio de Banachno
tendr una base ortonormal a no ser que sea unespacio de
Hilbert.Ejemplos El conjunto {e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)} (la
base estndar) forma una base ortonormal deR3.Demostracin:Mediante
un clculo directo se verifica que e1,e2 = e1,e3 = e2,e3 = 0 y que
||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1. As, {e1,e2,e3} es un conjunto
ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera enR3tenemos
entonces, {e1,e2,e3} reconstruyeR3y por lo tanto tiene que ser
una base. Tambin puede demostrarse que la base estndar rotada
alrededor de un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano
que pasa por el origen forma tambin una base ortonormal deR3. El
conjunto {fn:nZ} confn(x) =exp(2inx) forma una base ortogonal del
espacio complejo L2([0,1]). Este es un resultado fundamental para
el estudio deseries de Fourier. El conjunto {eb:bB} coneb(c) = 1
sib=cy 0 en caso contrario forma una base ortonormal del2(B).
Eigenfunciones de unEigenproblema de Sturm-Liouville.
ConstruccinAl igual que con una base ortogonal, se puede crear
un arreglo de bases ortonormales para formar una matriz
ortonormal.Para poder construir una base ortonormal de una base
cualquiera es necesario primero ortogonalizar a la base para luego
ortonormalizarla. Existe elmtodo de ortonormalizacin de
Gram-Schmidtcon el cual es posible realizar lo anterior.
