Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Xabier Lopez, Jon M. Matxain
1) Kimika Teorikoko Laborategia
2012.eko urriaren 23
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Laburpena
1 Schrödinger-en Ekuazioaren Planteamendua
2 Hidrogeno atomoaren egoera lotuak
Hidrogeno Atomoaren Energia Mailak
Funtzio Erradialak
Orbital Hidrogenoideak
3 Efekto Magnetikoak
Zeeman Efektua
Elektroiaren Spina
4 Spin-Orbita Egoerak
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaDemagun atomo edo ioi bat, Z zenbaki atomikoarekin (mN masa eta +Zekarga), elektroi bakar batekin (me masa eta −e karga):
Ĥosoa = T̂~RN+ T̂~re + V̂eN(reN )≡ T̂~R
︸︷︷︸
ĤMZ
+ T̂~r + V̂eN(r)︸ ︷︷ ︸
H~r≡Koord. Erlatiboa
(1)
Bakarrik koord. erlatiboak (~r) ⊕ Elkarekintza Coulombikoa ⊕ T̂~r esferikopolarretan ⊕ µ ≈ me :
Ĥ~r =−h̄2
2me∇2r +
l̂2(θ ,φ)2me r2
︸ ︷︷ ︸
~T~r
− 14πε0
Ze2
r(2)
Konpatibleak diren behagarri multzo osoa: Ĥ, l̂z eta l̂2 elkar konmutatzen dute
⇒ Funtzio propio berdinak dituzte ⇒ Egoera egonkor hidrogenoideak E ,l2 etalz -agatik karakteriza daitezke,
Ψ = Rn,l (r)Yml (θ ,φ)
Eremu zentralaren problema bat da, eta funtzio erradiala, hurrengo ekuaziodiferentziala erresolbatuz lortuko da
− h̄2
2me
1
r2∂∂ r
(
r2∂∂ r
)
︸ ︷︷ ︸
∇2r
+l(l +1)h̄2
2me r2− 1
4πε0Ze2
r
R(r) = ER(r) (3)
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Schrödinger-en Ekuazioa Erradialaren Frogapena
Frogapena.
Mugimendu erlatiboaren (~r) Schrödinger Ekuazioa:
{
− h̄2
2me∇2r +
l̂2(θ ,φ)2me r2
− 14πε0
Ze2
r
}
R(r)Y ml (θ ,φ) = ER(r)Yml (θ ,φ) (4)
− h̄2
2meYm
l(θ ,φ)∇2r R(r)+R(r)
l̂2(θ ,φ)2me r2
Yml
(θ ,φ)− 14πε0
Ze2
rR(r)Ym
l(θ ,φ) = ER(r)Ym
l(θ ,φ)
− h̄2
2meYm
l(θ ,φ)∇2r R(r)+R(r)
l(l +1)h̄2
2me r2Ym
l(θ ,φ)− 1
4πε0Ze2
rR(r)Ym
l(θ ,φ) = ER(r)Ym
l(θ ,φ)
Yml
(θ ,φ)
{
− h̄2
2me∇2r R(r)+R(r)
l(l +1)h̄2
2me r2− 1
4πε0Ze2
rR(r)
}
= ER(r)Yml
(θ ,φ)
{
− h̄2
2me∇2r +
l(l +1)h̄2
2me r2− 1
4πε0Ze2
r
}
Rn,l (r) = ERn,l (r) (5)
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Hidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak
Hidrogeno atomoaren egoera lotuak
Uhin-funtzio hidrogenoideei orbitalak deitzen diegu (R. E. Mulliken):
|nlm >= ψnlm(r ,θ ,ϕ) = Rnl (r)Ylm(θ ,ϕ) (6)
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
E/E
h
r/a
n=1
n=2
n=3
Egoera hauek multzo diskreto eta infinito bat osatzendute, eta beraien energiak:
En =−Z2
2n2Eh n = 1,2, . . . , (7)
non , Eh = e2/4πε0a0 = 4.35974381×10−18 J = 1
hartree
Energia bakarrik n-ren funtzioa da, eta ez l etam-rena.
Zenbaki kuantikoen artean loturak daude.Nagusia: n = 1,2,3, . . . . Angeluarra:l = 0,1,2, . . . n−1. Azimutala:m = 0,±1,±2, ...± l .
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Hidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak
Funtzio Erradialak
Funtzio erradialek hurrengo forma dute
Rnl (r) =−{
4Z3
n4a3(n− l −1)![(n+ l)!]3
} 12(
2Zr
na
)l
exp
{
−Zrna
}
L2l+1n+l
(2Zr
na
)
, (8)
non Lsq(ρ) Laguerre funtzio asoziatuak diren, Laguerre polinomioekinerlazionatuak:Funtzio Erradial Hidrogenoideak: (ρ = 2Zr/na)
(1s) : R10(r) = (Z/a)3
2 2e−ρ/2, (9)
(2s) : R20(r) = (Z/2a)3
2 (2−ρ)e−ρ/2 , (10)
(2p) : R21(r) =1√3(Z/2a)
3
2 ρe−ρ/2, (11)
(3s) : R30(r) = (Z/a)3
2
1
9√
3(6−6ρ +ρ2)e−ρ/2, (12)
(3p) : R31(r) = (Z/a)3
2
1
9√
6(4−ρ)ρe−ρ/2 , (13)
(3d) : R32(r) = (Z/a)3
2
1
9√
30ρ2e−ρ/2, (14)
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Hidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak
Funtzio Erradialak
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 2 4 6 8 10 12 14
Rnl
(r)
r/a
1s
2s
2p
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10 15 20
Rnl
(r)
r/a
3s
3p
3d
s, Rn0(r) funtzioek maximo batdute nukleoan, deribatu erradialanegatiboa dutelarik (goikoerpina). Rn0(r) funtzioak n−1nodo erradialak ditu.
l > 0 duten funtzioek nodo batdute jatorrian, eta n− l nodototalean.
dentsitate elektronikoa|ψnlm|2 = R2nl |Ylm |2 da.Oinarrizko egoeran,|n = 1, l = m = 0 >, dentsitateelektronikoak maximo bat izanendu nukleoaren posizioan, etanukleotik aldentzean,esponentzialki txikitzen da.
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Hidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak
Funtzio Erradialak
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0 5 10 15 20 25
r2 R
2 nl(r
)
r/a
3s3p
3d
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10 15 20
Rnl
(r)
r/a
3s
3p
3d
r ∈ [ri ,rf ] tartea kontsideratuz,kurbaren azpiko azalerak tartehorretan elektroia aurkitzekoprobabilitatea ematen du.
(rRnl )2 jatorrian beti nulua da,
baita s orbitalentzat ere, bolumenelementua sartu dugulako.
n berdinak dituzten funtzioakdentsitate maximoa aurkeztendute antzeko distantzietan.Honek geruza egitura sortarazikodu. n = 1,2,3,4, ... orbitalek K, L,M, N, ... geruzak sortzen dituzte
rRnl maximoa aurkitzen dendistantziari erradio problableenadeitzen diogu: rmp(nl).
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Hidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak
Orbital Hidrogenoideak
Uhin-funtzio hidrogenoideei orbitalak (R. E. Mulliken) deitzen diogu
|nlm >= ψnlm(r ,θ ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ ,φ). (15)
Ylm harmoniko konplexua erabili ordez, bere konbinaketa erralak Slm erabiltzen dira,horien irudikapena egiteko.
(1s) : ψ1s,0 =1√π
(Z
a
) 32
e−Zr/a, (16)
(2s) : ψ2s,0 =1
4√
2π
(Z
a
) 32
(
2− Zra
)
e−Zr/2a, (17)
(2px ) : ψ2p,x =1
4√
2π
(Z
a
) 52
rsen(θ )cos(ϕ) e−Zr/2a, (18)
(2py ) : ψ2p,y =1
4√
2π
(Z
a
) 52
rsen(θ )sen(ϕ) e−Zr/2a, (19)
(2pz ) : ψ2p,z =1
4√
2π
(Z
a
) 52
rcos(θ ) e−Zr/2a, (20)
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Hidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak
Orbital Hidrogenoideak
Orbital hidrogenoide errealen irudia: ψnlm(r ,θ ,ϕ) 3D funtzio bat da. 4D mundubatean bizi beharko genuen horren irudia egiteko (5D funtzio konplexua marraztenbadugu!). Zera egin dezakegu: isoazalerak irudikatu, hau da, ψnlm(r ,θ ,ϕ) = Kekuazioak definitzen duen azalera, nahi dugun K -ren balioetarako. Uhin funtziohidrogenoideei orbitalak (R. E. Mulliken) deitzen diogu
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Hidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak
Orbital Hidrogenoideak
Marraztutako Isoazalerak: ±0.007 u.at. (1s,2s,3s), ±0.03 u.at. (2px ,2py ,2pz ),±0.005 u.at. (3px ,3py ,3pz ), ±0.01 u.at. (3dz2 ,3dxz ,3dyz ,3dx2−y2 ,3dxy ). 2s eta 3sorbitaletan kanpoko azalerak (esferak) zatitu dira, barneko egitura nodala ikusi ahalizateko.
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Zeeman EfektuaElektroiaren Spina
Zeeman Efektua
1896: Zeeman-ek eremu magnetiko bat aplikatzerakoan lerro espektralakbikoizten zirela deskrubitu zuen. Elektroiaren mugimendu angeluarrak momentumagnetiko bat sortarazten du,
~µL = −e2me~r ×~p =−e
2me~L = |~µL|=
eh̄
2me︸ ︷︷ ︸
µB
√
l(l +1) (21)
non µB Bohr-en magnetoia den. (µB = 9.274×10−24J ·T−1)Kanpoko Eremu Magnetiko baten Aplikazioa:
EB = −~µ~B =e
2me~L~B
~B=B~k=
µBh̄
BLz ⇒ ~HB = µBBh̄−1L̂z (22)
Horrela Hidrogenoaren Hamiltondarra,(
Ĥ + ĤB
)
Ψ = EΨ ; Ψ = R(r)Y ml (θ ,φ)
ĤRY ml +µBBL̂zEYml =
(
− Z2
2n2Eh +µBBml
)
RY ml
Hots, B kanpoko eremu magnetikoak m-ri asoziatutako degenerazioa apurtzendu. eta horregatik, m-ari deitzen zaio ere bai zenbaki kuantiko magnetikoa
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Zeeman EfektuaElektroiaren Spina
Elektroiaren Spina
z-ardatzean ez-homogeneoa ~B Eremu Magnetikobatenpean, ~µ momentu magnetiko batek indarbat jasatzen du
Fz = ~µd~B
dz=− µB
h̄Lz
dBz
dz(23)
Stern eta Gerlach: Ag atomo multzo bat, eremumagnetiko batenpean pasaarazten zutenean, bibanda ikusten zituzten. Ondorioa: Ag atomoekmomentu magnetiko bat daukate, eta bereorientazioa z-ardatzarekiko kuantizatuta dago.
Baina BI banda agertzea ez dator bat momentoangeluar orbitalaren balioekin, zeren eta 2l +1orientazio posible bait daude, non l zenbaki osobat den. Bi banda agertzeak bakarrik konpatibleada l = 1/2 balioarekin!
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Zeeman EfektuaElektroiaren Spina
Elektroiaren Spina
Spina berezko momentu angeluar bat delakontsidera daiteke
Magnitude:√
s(s +1)h̄ (24)
Componente-Z: ms h̄ ; ms =−s, ...,+s (25)
Elektroaren Spina: s=1/2, bi orientazio posibleSpin-Orb.
ms =+12 α ↑ ψ(r ,θ ,φ) ·α(w)
ms =− 12 β ↓ ψ(r ,θ ,φ) ·β(w)Spina fenomeno erlatibista bat da. Badagomomentu magnetiko bat (~µs ) ~s spinari asoziatua,eta erlazioa hurrengoa da,
~µs = −gee
2mes ; |~µs |=
ge
2me|s| , ge ≈ 2
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuak
Efekto MagnetikoakSpin-Orbita Egoerak
Spin-Orbita Egoerak
Horrela, Stern-Gerlach esperimentua azalduta geratzen da: Ag atomo bakoitzakmomentu angeluar total bat aurkezten du, eletroi bakar baten spinagatik.
Beste partikula elementalek ere spin bereizgarri bat dute:Spin Partikula Adibideak
erdi-osoa (n · 12 ) Fermioak elektroiak (s=1/2) eta protoiak (s=1/2)osoa (n) Bosoiak mesoiak (s=1) eta fotoiak (s=1)
Horrela, hidrogeno egoera estazionarioak (spinorbitalak) guztiz determinatzeko lauzenbaki kuantiko beharko ditugu:
|nlmms >= Rnl (r)Ylm(θ ,φ)|ms >,
(nagusia) n = 0,1,2, . . .(angular) l = 0,1,2, . . . n−1(azimutal) m = 0,±1, · · · ± l
(magnetikoa) ms =±1/2.(26)
Xabier Lopez, Jon M. Matxain 4. Gaia: Atomo Monoelektronikoak
Schrödinger-en Ekuazioaren PlanteamenduaHidrogeno atomoaren egoera lotuakHidrogeno Atomoaren Energia MailakFuntzio ErradialakOrbital Hidrogenoideak
Efekto MagnetikoakZeeman EfektuaElektroiaren Spina
Spin-Orbita Egoerak