4.1_Extremos_y_Valor_medio.pdf

7/24/2019 4.1_Extremos_y_Valor_medio.pdf

1/33

Aplicacin de la DerivadaExtremos locales. Teorema del valor

medio

DOCENTE : HUAYLINOS URBIETA VICTOR


2/33

Habilidades

1.Define el concepto de extremos locales

2.Define el Teorema del valor extremo. Ilustra su

significado geomtricamente.

3.Define e interpreta el Teorema de Fermat.

4.Define el teorema de Rolle y generaliza al

teorema del valor medio.

5.Calcula puntos crticos analizando premisas.

2


3/33

Ejemplo

Ubique los puntos de mximo y mnimo absoluto

de f:

3

x

y

A

B

C

D

E

F

G

H


4/33

Se dice que cDes un punto de mximoabsoluto de fsi para todo xD.

Valores mximos y mnimos

)()( xfcf

Sea Del dominio de f.

El nmero f(c)se llama valor mximo absolutode fen D.

)()( xfcf

Se dice que cDes un punto de mnimoabsolutode fsi para todo xD.

El nmero f(c)se llama valor mnimo absolutode fen D.

Los valores mximo y mnimo se conocengenricamente como valores extremos

absolutosde f.

Definicin

4


5/33

Ejemplo

Ubique los puntos de mximo y mnimo local de f:

y

xa b c d h k

5


6/33

Valores mximos y mnimos locales

)()( xfcf

Se dice que ces un punto de mximo relativoo localde fsi

para todoxen algn intervalo abierto dentro deldominio de fque contiene a c.

)()( xfcf

Se dice que ces un punto de mnimo relativoo localde fsi

para todoxen algn intervalo abierto dentro deldominio de fque contiene a c.

Definicin

Los valores mximo y mnimo locales seconocen genricamente como valores

extremos localesde f. 6


7/33

Ejemplo

mximo absoluto

puntos de mximo absoluto

y

xa c1 bc2 c3 c4d1 d2 d3

puntos de mnimo local

7


8/33

Ejemplo

y

x

x

xf 1)( 0x

Tiene fextremos locales?, tiene extremos

absolutos?

8


9/33

Teorema del valor extremo

Si fes continua en [a, b] entonces:

falcanza un mximo absoluto f (c)y unmnimo absoluto f (d)en algunos nmeros cydde [a, b].

y

xa b

y

xa b

y

xa b

Teorema

Se dan las condiciones para que se cumpla elteorema?

9


10/33

Teorema de Fermat

Si ftiene un extremo local en cy si f (c)existeentonces:

0)( c'f

y

xc1 c2 c3

f(x)y

Teorema

10


11/33

Teorema del valor medio

2 Derivable en (a, b).1 Continua en [a, b].Sea f:

Existe c (a, b)tal

queab

afbfcf

)()()(

Entonces

Teorema

y

xa bc2c1

11

ab

afbfm

)()(


12/33

12


13/33

13


14/33

14


15/33

15


16/33

16


17/33

Teorema de Rolle

Sea f : 1 Continua en [a, b].2 Derivable en (a, b).

Entonces

Existe c (a, b)talque

0)( c'f

Teorema

3 f (a)=f (b).

y

xa bc1 c2

17


18/33

18


19/33

19


20/33

20


21/33

21


22/33

22


23/33

23


24/33

24


25/33

Ejemplos

25

1. Muestre que 5 es un nmero critico de la

funcin pero gno tiene unextremo local en 5.

352)( xxg

2. Utilizando el resultado del teorema del valormedio, determine la recta tangente a f,paralela a la recta secante que une losextremos del intervalo.

2,0;)( 3

xxxxf


26/33

Puntos crticos

Un punto crtico de una funcin fes un nmero cen su dominio tal que:

existeno)(o0)( cfcf

Definicin

Teorema

Si ftiene un extremo local en centonces ces un punto crtico de f.

26


27/33

Ejemplo

y

xa c1 c2 c3c4c2 c5 c6 c7

puntos crticos

27


28/33

Ejemplo

puntos de extremo

y

xa c1 c2 c3c4c2 c5 c6 c7

28


29/33

Ejemplo

)4()( 5/3 xxxf

Encuentre los puntos crticos de la funcin:

29


30/33

Extremos absolutos

Para hallar los extremos absolutos de unafuncin fcontinua en [a, b]:

1 Halle los valores de fen los puntos

crticos de fen .2 Halle f(a)y f(b).

3 El mayor de los valores obtenidos en 1y2es el mximo absoluto de fen [a, b].El ms pequeo es el mnimo absoluto.

Mtodo del intervalo cerrado

30


31/33

Ejemplo

4,13)(2123

xxxxf

Encuentre los valores mximo y mnimo

absolutos de la funcin:

31

Valor mximoabsoluto: 17

Se alcanza en x=4

Valor mnimoabsoluto: -3Se alcanza en x=2


32/33

Ejemplo

Encuentre los valores mximo y mnimo

absolutos de la funcin:20,xsen2)( xxxf

32


33/33

Bibliografa

Clculo de una variable

Cuarta edicin

James Stewart

Secciones 4.1 y 4.2

Ejercicios 4.1 pg 284:

4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73, 80.

33

Documents

4.1_Extremos_y_Valor_medio.pdf