43 Teorema Stokes

CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 1

TEOREMA STOKES

GEORGE GABRIEL STOKES1819-1903

CAPTULO V

George Gabriel Stokes

Rosa ique Alvarez 2

(1818 - 1903) fue un fsicomatemtico irlands. Stokesfue catedrtico en laUniversidad de Cambridge.En 1854, plante su teoremacomo un problema en elexamen de un concurso paraestudiantes de Cambridge.No se sabe si alguien resolviel problema.

Rosa ique Alvarez 3

ORIENTACIN DE UNA CURVA C

Rosa ique Alvarez 4

ORIENTACIN DE UNA CURVA C

Rosa ique Alvarez 5

ORIENTACIN DE UNA CURVA C ORIENTACION DE UNA CURVA

Rosa ique Alvarez 6

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 2

ORIENTACIN POSITIVA DE C

Rosa ique Alvarez 7

INTRODUCCIN

Rosa ique Alvarez 8

jiF ),(),(),( yxQyxPyx +=

k

kji

FF

-

=

==yP

xQ

QPzyx

rot

0

x

INTRODUCCIN

Rosa ique Alvarez 9

-

=+

C R

AdyP

xQdyQdxP

yP

xQ

yP

xQrot

-

=

-

= kkkF

TEOREMA DE GREEN

Rosa ique Alvarez 10

-

=+

C R

AdyP

xQdyQdxP

=+C R

AdrotdyQdxP kF

jiF ),(),(),( yxQyxPyx +=

Rosa ique Alvarez11

R

C

k

=+C R

AdrotdyQdxP kF

TEOREMA DE GREEN TEOREMA STOKES


=C S

dSrotd NFrF


CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 3


TEOREMA STOKESSea S una superficie suave a trozos yorientada, que est limitada por una curvafrontera C, cerrada, suave a trozos ypositivamente orientada. Sea F un campovectorial cuyas componentes tienen derivadasparciales continuas en una regin abierta deR3 que contiene a S. Entonces

=C S

dSrotd NFrF


Notacin

( ) ==SC S

dSdSrotd NFNFrF x

( ) ==C SS

SdSdrotds NFNFTF x


Notacin

=++

=

C S

dSrotRdzQdyPdx

RQPzyx

NF

F

)(

),,(),,(


EJEMPLO 1

Evale donde

y C es la curva de interseccin del plano y + z = 2con el cilindro x2 + y2 = 1. (Oriente C de maneraque se recorra en sentido contrario al de lasmanecillas del reloj, cuando se vea desde arriba)

C

d rF ( )22 ,, zxy-=F


Grfica ( )22 ,, zxy-=F

-1.5 -1-0.5 0

0.5 11.5

-2-1

01

2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

campo3NC4

Solucin


( )kF

kji

FF

yrot

zxy-zyx

rot

21

22

+=

== x

( )22 ,, zxy-=F


CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 4


Grfica ( )kF yrot 21+=

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

( )22 ,, zxy-=F


rot F atraviesa elplano pero no elcilindro.

( )kF yrot 21+=


=C S

dSrotd NFrFTEOREMA STOKES


Solucin: usando el teorema Stokes

( ) +==SC S

dSydSrotd NkNFrF 21



( )

( )

p

qqp

=

+=

+==

C

C

RC S

d

drrdsenrd

dAydSrotdXY

rF

rF

NFrF

2

0

1

0

21

21


EJEMPLO 2

Calcule donde:

y S es la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que seencuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 1 y arribadel plano XY.

S

dSrot NF

( )yxzxzyzyx ,,),,( =F


CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 5


Grfica ( )yxzxzyzyx ,,),,( =F

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Solucin: Teorema Stokes


( )yxzxzyzyx ,,),,( =F

,),,( 0=zyxrotF

0== C S

dSrotd NFrF

F es conservativo


0== C S

dSrotd NFrF


Solucin: F es conservativo( )

0)2(cos3

)())((

203,,cos)(:

2

0

2

0

==

==

p=

p

p

dttdSrot

tdttddSrot

ttsenttC

S C

S

NF

rrFrFNF

r


EJEMPLO 3Evale

donde C es la curva cerrada

que esta sobre la superficie S: z = 2xy

( ) ( ) dzxdyyzdxsenxyC

32 cos ++++

( ) p= 202,cos,)( ttsentsenttr

-2

0

2

-2-1

01

2

-10

-5

0

5

10

Superficie: z =2xy( ) p20,2,cos,)( = ttsentsentt:C r

CurSurf


CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 6

Solucin


)1,3,2(),,( 2 ---= xzzyxrot F

F es un campo vectorial no conservativo

( ) ( ) kjiF 32 cos),,( xyzsenxyzyx ++++=


-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

CurSurfStokes

La curva C y su proyeccin en el Plano XY

( ) p20,2,cos,)( = ttsentsentt:C r

Solucin: Teorema Stokes


( ) ( )

=

++++

S

C

dSzyxrot

dzxdyyzdxsenxy

NF ),,(

cos 32

Solucin


S: z = 2xy, z - 2xy = 0

)1,3,2(),,( 2 ---= xzzyxrot F

( )1,2,2)( xySgrad --=

( ) ( ) kjiF 32 cos),,( xyzsenxyzyx ++++=

( )1,2,2)( -= xySgrad

Solucin


( )dAxzydSzyxrot 164),,( 3 -+= NF

( )dAxxydSzyxrot 168),,( 32 -+= NF

S: z = 2xy Solucin: Teorema Stokes


( ) ( )

( )

-+=

=

++++

R

S

C

dAxxy

dSNzyxrotF

dzxdyyzdxsenxy

168

),,(

cos

32

32


CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 7

Solucin


( ) ( )

( )[ ]

-+=

++++

p

qqqq2

0

1

0

332

32

1cos6cos8

cos

rdrdrsen

dzxdyyzdxsenxyC

Solucin


( ) ( ) p=++++ dzxdyyzdxsenxyC

32 cos


EJEMPLO 4

Evale

Donde:

y C es tringulo con vrtices en (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 2).

( ) ( ) kjiF )4ln(2),,( 21 2 +++++= - zxexsenyzyx y

C

drF .


Solucin

El campo vectorial F no es conservativo.

( ) 0--= 2,1,0)(Frot



Solucin: sin usar el teorema Stokes

1

2

C1

C2C3

1


Solucin: Sin usar Teorema Stokes(usando Forma Bsica)

++=

++=

3

3

2

2

1

1

321

)()()()()()(

....

b

a

b

a

b

a

CCCC

tdttdttdt

dddd

rrFrrFrrF

rFrFrFrF

F es un campo vectorial no conservativo


CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 8


EJEMPLO 5

Evale

Donde:

y C es tringulo con vrtices en (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 2).


C

drF .


Solucin

El campo vectorial F no es conservativo.

( ) ( )kjiF )4ln(2),,( 21 2 +++++= - zxexsenyzyx y

( ) 0--= 2,1,0)(Frot


Solucin: Usando el Teorema Stokes

)2,1,0(

Plano:;.

--=

= F

NFrF

rot

SdSrotd

SC



1

2

C1

C2C3

1

-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

CAMPO VECTORIAL

Y

Z

Campo VectorialRotacional

campo3NC9

( ) ( )kjiF )4ln(2),,( 21 2 +++++= - zxexsenyzyx y( ) 0--= 2,1,0)(Frot




CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 9



( )

( )341,2,2

31)2,1,0(rot

1,2,231:anormalvector

222:

-

S

zyxS

=--=

=

=++

NF

N

Con los tres puntos se define la ecuacin del plano S.



876 STrianguloArea

34

34.

.

-=

-=

=

SSC

SC

dSdSd

dSrotd

rF

NFrF


876 STrianguloArea

34.

34.

-=

-=

SC

SC

dSd

dSd

rF

rF




22

23221

34.

34

34.

STrianguloArea

-=

-=

-=

-=

C

SSC

d

dSdSd

rF

rF876


Solucin: Usando el teorema de Stokes y Proyectando en XY

11

2N

S

1

1

R

X

Y


Solucin: Proyectando S en el plano XY

( )1,2,2g;222: ==++ SradzyxS

)2,1,0(rot --=F



CALCULO VECTORIAL

ROSA iQUE ALVAREZ 10



--=

=

XYRC

SC

dAd

Sdrotd

)1,2,2()2,1,0(.

.

rF

NFrF



-=-=

--==

XY

XY

R

RSC

XYAd

dASdrotd

)entringuloArea(44

)1,2,2()2,1,0(. NFrF



-=XYRC

Add 4. rF1

1

R

X

Y



2)2/1(4.

)entringuloArea(44

)1,2,2()2,1,0(.

-=-=

-=-=

--==

C

R

RSC

rdF

XYAd

dASdrotd

XY

XY

rr

NFrF

EJEMPLO 6Evale

donde C es la frontera de la porcin del paraboloidez = 4 x2 y2 sobre el plano XY y F el siguiente campovectorial

rF dC

59

( )322 ;1;),,( zyyexzyx x +-=F

Solucin: usando Teorema de Stokes

60

==SS

NkNFrF dSdSrotdC

( )322 ;1;),,( zyyexzyx x +-=F

( ) kF == 1,0,0rot

S: paraboloide


CALCULO VECTORIAL



61

dAdAyxdSrot == )1,2,2.(kNF

==SS

NkNFrF dSdSrotdC

;04: 22 =++- yxzS )1,2,2()( yxSgrad =

Solucin:

R: rea del disco con centro en el origen y radio 2

62

==SS

NkNFrF dSdSrotdC

=R

rF dAdC

dAdAyxdSrot == )1,2,2.(kNF

Solucin:R: rea del disco con centro en el origen y radio 2

63

=R

rF dAdC

p4= rF dC

EJEMPLO 7Evale

donde C es la curva que resulta de la interseccin delas superficies

y el siguiente campo vectorial

0;094

;194

222

222

=-+=++ zzyxzyx

( )2,,),,( zexyzyx --=F

rF dC

64


kF 2=rot

65

( )2,,),,( zexyzyx --=F

==SS

NkNFrF dS2dSrotdC


kF 2=rot

=S

NkrF dS2dC

( ) Elipse;12

32: 2

2

2

2

=

+

yxC

La interseccin de Elipsoide y Cono ocurre para z = 2/2, y ocurre sobre la curva

66


CALCULO VECTORIAL



=S

NkrF dS2dC

==SC

dS2dSrotd kkNFrFS

67


( )SdSdSC

deArea22 == rF

68

==SC

dS2dSrotd kkNFrFS


rea de superficie S

( ) 12

32: 2

2

2

2

+yxS

)ElipseArea(22 == SC

dSd rF

69

Superficie elptica


( ) 12

32: 2

2

2

2

+ yxS

)ElipseArea(22 == SC

dSd rF

( ) pp 62

322 =

= rF d

C

70

Superficie elptica

EJEMPLO 8

71

Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas

Al desplazar una partcula de:

( )1,0,0hasta0,2

1,2

1 =

= BA

a lo largo de la curva C1 luego por lossegmento rectos C2 y C3. Donde C1resulta de interceptar el plano y = x yel cilindro 2x2 + z2 = 1.

( )zyxzyxzyxzyx 423;;2),,( 2 +--+--=F

72

( )zyxzyxzyxzyx 423;;2),,( 2 +--+--=F


( )2;2;22),,( --= zzyxrot F

( ) --===SS

NNFrF dSzdSrotdWC

2,2,22


CALCULO VECTORIAL


73


S: y = x ; Plano

grad(S)= (1,-1,0)

( ) ( )dAzdSrot 0,1,12,2,22 ---= NF

zdAdSrot 2= NFy = x

A

O

S

B

S: x y = 0

74

( ) --===SS

NNFrF dSzdSrotdWC

2,2,22


AdzdWC

==XZR

rF 2

zdAdSrot 2= NF

Proyectando S sobre el plano XZ

75


AdzdWC

==XZR

rF 2


-

==2

1

0

21

0

2

2x

C

dxzdzdW rF

76


-

===2

1

0

21

0

2

22x

C

dxzdzAdzdWXZR

rF


32

== rF dWC


INTERPRETACION FISICA DEL ROTACIONAL


NFrot

aC

aaS


CALCULO VECTORIAL



Circulacin de F a lo largo de C

a

C

sdTF

Vr=FFrot N



a a

=

C S

dSrotsd N.FTF


=C S

dSrotsd N.FTF



0>C

sdTF


0

CALCULO VECTORIAL



Relacin entre rotacional y circulacin

a

a=

ap

a

SAC

rot

sd

rot C

discodelreadelargoloadenCirculaci

2

FN.F

TF

N.F


ncirculaciderazn

discodelreadelargoloadenCirculaci

a

a

N.F

FN.F

rot

SACrot


a

ap

=a

C

sdrot TFN.F 201

lim

Rotacin de F respecto de N


Rotacional mximo

Rotacional mximo cuando rot F y N son paralelos

a

ap

=a

C

sdrot TFN.F20

1lim

Rosa ique Alvarez 89 Rosa ique Alvarez 90

EJEMPLO 4

+= 0;

13

2yF

( )kF 22 1

6

+=

y

yrot


CALCULO VECTORIAL



Grfica

+= 0;

13

2yF

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


EJEMPLO 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

C1

C2

C

dsTF


Solucin

2

1

0

0

C

C

ds

ds

TF

TF


-3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

EJEMPLO 6

C3

C

dsTF


Solucin

03

=C

dsTFr


Documents

43 Teorema Stokes