4esoAsolucionestema11.pdf

7/23/2019 4esoAsolucionestema11.pdf

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11Soluciones a las actividades de cada epgrafePGINA 168

Con la ayuda de Hamadi, Fatima intenta hacer coincidir el disco de lamoneda con la Luna. Lo consigue cuando coloca su ojo a 253 cm dela moneda.

1 Sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna es 384000 km y que el dime-tro de la moneda es de 23 mm.

Calcula el dimetro de la Luna.

253 cm = 253 105 km

23 mm = 23 106 km

Por semejanza de tringulos:

= 8 x= 3491 km

El dimetro obtenido es muy prximo al real, 3 475 km aproximadamente.

2 Si Fatima no contara con ayuda, tendra que sostener un disco con su mano. Subrazo extendido alcanza 66 cm.

Cul es el dimetro del disco que tendra que utilizar para tapar la Luna?

= 8 d= 6 106 km = 6 mm

PGINA 170

1 Este es el plano de una parte de una ciudad, a escala 1:10 000.

A

B

3500 66 105

38400038400066 105

3500d

384000 23 106

253 105x

23 106384000

253 105

Pg. 1


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11Soluciones a las actividades de cada epgrafea) Justifica que 1 cm en el plano corresponde a 100 m en la realidad.

b)Amalia vive en A y Benito vive en B. Escoge un itinerario para ir de una casa

a la otra y calcula la distancia que tienen que recorrer.Cunto se tarda, aproximadamente, si se recorre paseando a 3 km/h?

c) Calcula la superficie real del parque.

a) Escala 1:10 000 significa que 1 cm en el plano equivale a 10 000 cm en la reali-dad, y 10 000 cm = 100 m.

b) Respuesta abierta.

Pongamos, por ejemplo, un itinerario que mida 10 cm en el plano. En este caso,la distancia es de 1 000 m = 1 km y se tardar, aproximadamente, 1/3 ho-ras = 20 minutos.

c) El parque mide, en el plano, 2,6 cm 1,5 cm.En la realidad mide 260 m 150 m y su superficie es de 39000 m2.

2 Este mapa est a escala 1:20000 000.

a) Justifica que 1 cm en el mapa corresponde a 200 km en la realidad.

b)Halla la distancia de Lanzarote a San Sebastin.

c) Sita tu localidad en el mapa y halla su distancia a Argel y a Marrakech.

a) 1 cm en el mapa equivale a 20 000000 cm en la realidad.

20000000 cm = 200 km

b) La distancia, en el mapa, en lnea recta, es de 10,5 cm.

10,5 cm equivale a 10,5 200 = 2100 km en la realidad.c) Respuesta abierta.

Casablanca

Agadir

Sidi Ifni

Fez

Marrakech

Tenerife

Fuerteventura

Lanzarotea Gomera

Palma

Gran Canaria

TngerCdiz

Tetun

Mlaga

Almera

Granada

ToulouseOviedo

Len Vitoria

Logroo

Tarragona

BurgosPamplona

Lleida

AlicanteMurcia

Albacete

Castelln de la Plana

Valladolid

SantanderGijn

Mallorca

Me

IbizaCrdobaHuelva

Badajoz

Jan

Salamanca

Santiago de CompostelaBurdeos

Oporto

Ceuta

MelillaNador

A Corua

VigoOurense

Bilbao San Sebastin

Orn

Zaragoza

Sevilla

Valencia

Andorra la Vella

Argel

Rabat

LisboaMadrid

Barcelona

Toledo

Ciudad Real

vila

Zamora

Palencia

SoriaHuesca

Girona

LugoPontevedra

Segovia

CuencaTeruel

Guadalajara

Cceres

P O R T U G A L

E S P A A

ANDORRA

M A R R U E C O SCanarias

AN

O

A

T

L

N

T

IC

O

Pg. 2


3/28


3 a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de ortoedro. Sus dimensionesson 9 cm

6,4 cm de planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el reade la fachada y el volumen en la realidad.

b)La superficie del campo de ftbol sala en la maqueta es de 32 cm2. Cul esla superficie en la realidad?

c) Una caseta de la maqueta est hecha con 0,3 cm3 de poliexpn. Cul es suverdadero volumen?

d)La altura de un edificio en la realidad es 65 m. Cul es su altura en la ma-queta?

a) Las dimensiones reales del edificio con forma de ortoedro son:

9 cm 8 9 500 cm = 4500 cm = 45 m

6,4 cm 8 6,4 500 cm = 3200 cm = 32 m

4 cm 8 4 500 cm = 2000 cm = 20 m

rea de la fachada:

2 45 20 + 2 32 20 = 1 800 + 1 280 = 3 080 m2

Volumen = 45 32 20 = 28 800 m3

b) Superficie real = 32 5002 = 8000000 cm2 = 800 m2

c) Volumen real = 0,3 5003 = 37500000 cm3 = 37,5 m3

d) Altura en la maqueta = = 13 cm

4 En la pgina inicial decamos que la Luna est a 384000 km de nosotros y ave-rigubamos que su dimetro es 3 500 km.

a) Calcula su superficie y su volumen.

b)El Sol est a 150000 000 km de nosotros. Y su tamao aparente es igual queel de la Luna. Segn esto, halla el dimetro del Sol. Halla tambin su super-ficie y su volumen a partir de las correspondientes magnitudes de la Luna.

a) Suponemos que la Luna es una esfera perfecta.

S= 4r2 = 4 17502 = 38484510 km2 3,85 107 km2

V= r3 = 17503 = 22449 297 500 km3 2,24 1010 km3

b) La razn de semejanza entre la Luna y el Sol ser:

=k8 k

= = 0,00256

384000

150000000

dL

dS

43

43

LUNA SOL

6500500

Pg. 3


4/28

11Soluciones a las actividades de cada epgrafePor tanto:

DSOL

= = = 1 367187,5 1,37 106 km

SSOL

= = 5,87 1012 km2

VSOL

= = 1,34 1018 km3

PGINA 173

2 Si a una hoja A-4 le aadimos un cuadrado, el rectngulo resultante, al que lla-maremos A-4 PLUS, tiene la siguiente curiosa propiedad: si le quitamos dos cua-drados, el rectngulo remanente es semejante al inicial.

El rectngulo sombreado es semejante al rectngulototal.

a) Comprubalo prcticamente.

b) Demustralo teniendo en cuenta que las dimensiones del A-4 PLUS son + 1,

1 y las del rectngulo sobrante son 1, 1.

b) Hemos de verificar que = (1 + ) ( 1) = 1

(1 + ) ( 1) = 1 + 2 = 1

2 1

2 + 1

1 2222

221

2 1

1 + 21

2

2

A-4 PLUS

2,24 1010

(0,00256)3V

L

k3

3,85 107

(0,00256)2S

L

k2

3500

0,00256

DL

k

Pg. 4


5/28


1 Desde los extremos A y B de la recta de los 100 m de una pista de atletismose ve la torre de una iglesia.

Medimos los ngulos A^

= 31 y B^

= 112.

Dibuja en tu cuaderno un tringulo semejante, A'B'C', con = 5 cm.

A'C' = 7,7 cm

= 8 = 8 = 8 = 154 mAC100 7,7

5AC

AC

7,7 cm1005 cm

AC

A'C'

AB

A'B'

A B

C

5 cm

31 112

A'B'

Pg. 5

A B

C

100 m31

112


6/28


1 a) Comprueba que 3, 4 y 5 son nmeros pitagricos; es decir, que pueden serlongitudes de los lados de un tringulo rectngulo (o sea, que 52 = 32 + 42).

Haz lo mismo para:

b)0,6; 0,8 y 1 c) 5, 12 y 13 d)7, 24 y 25

e) 8, 15 y 17 f ) 1; 1,875 y 2,125

a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 8 3, 4, 5 son nmeros pitagricos.

b)0,62 + 0,82 = 0,36 + 0,64 = 1 = 12

c) 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132

d) 72

+ 242

= 49 + 576 = 625 = 252

e) 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172

f ) 12 + 1,8752 = 4,515625 = 2,1252

2 Calcula tanto el rea como la altura sobre la hipotenusa de los seis tringulosrectngulos descritos en el ejercicio anterior.

A = = 6

A = 8 6 = 8 h = 8 h = 2,4

A = = 0,24

A = 8 0,24 = 8 h = 2 0,24 8 h = 0,48

A = = 30

A = 8 30 = 8 h = 8 h 4,62

A = = 84

A = 8 84 = 8 h = 8 h = 6,72

A = = 60

A = 8 60 = 8 h = 8 h 7,0612017

17 h2

17 h2

8 152

16825

h 252

h 252

7 242

6013

h 132

h 132

12 52

h

21 h

2

0,6 0,82

122

h 52

h 52

3 42

Pg. 6

h

53

4

a)

h

10,6

0,8

b)

h

135

12

c)

h

257

24

d)

h

178

15

e)


7/28

11Soluciones a las actividades de cada epgrafeA = = 0,9375

A = 8 0,9375 = 8

8 h = 8 h 0,88

3 Un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 28. Otro tringulo rectngulo tie-ne un ngulo de 62. Explica por qu son semejantes.

En un tringulo rectngulo, la suma de los dos ngulos agudos es 90. As:

Si un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 28, el otro ngulo medir:

90 28 = 62

Si otro tringulo rectngulo tiene un ngulo de 62, el otro ngulo medir:

90 62 = 28

De este modo, los dos tringulos tienen sus ngulos respectivamente iguales. Apli-cando el criterio II se deduce que ambos tringulos son semejantes.

PGINA 177

4 Calcula la altura de un rbol que proyecta una sombra de 7,22 m en el momen-

to en que un poste de 1,60 m da una sombra de 67 cm.

= 8 = 8

8x= = 17,24

El rbol mide 17,24 m de alto.

B

x

A C7,22 m A C

B

67 cm

1,60 m

1,6 7,220,67

1,60,67

x

7,22

A'B'

A'C'

AB

AC

0,9375 22,125

2,125 h2

2,125 h2

1 1,8752

Pg. 7

h

2,1251

1,875

f)


8/28

11Soluciones a las actividades de cada epgrafe5 Halla los lados del tringulo ABC.

= = 3 cm 8 = + = 11 cm

= 8 = = 14,67 cm

= 8 = = 18,33 cm

6 En el mismo instante y lugar de la actividad 4, qu longitud tendr la sombrade un edificio que mide 32 m de altura?

= 8 = 8

8x= = 13,4

El edificio proyectar una sombra de 13,4 m.

7 Si la altura de Rita es 1,65 m, cul es la altura de la farola?

= 8 = 8

8x= = 4,4

La farola mide 4,4 m de alto.

1,65 41,5

1,651,5

x

2,5 + 1,5

EDEB

AC

AB

B

A Cx

32 m

A C

B

67 cm

1,6 m

0,67 321,6

0,671,6

x

32

A'C'

A'B'

AC

AB

11 53BC

BDEB

BCAB

11 43

AC

EDEB

AC

AB

EBAEAB52 42EB

5 cm

4 cm

8 cm

B

D

CA

E

Pg. 8

2,5 m

1,65 m

1,5 m


9/28

11Soluciones a las actividades de cada epgrafePg. 9

PGINA 178

8 Calcula el volumen de un tronco de cono cuya altura es 9 cm y cuyas bases tie-nen radios de 20 cm y 35 cm.

= 8 35x= 20x+ 180 8

8 15x= 180 8 x= 12 cm

VTRONCO

= 352 (12 + 9) 202 12 =

= (25725 4800) = 21912,61 cm3

9 Calcula el volumen de un tronco de pirmide cuadrangular regular cuyas ba-ses son cuadrados.

Lados de los cuadrados: 40 cm y 16 cm

Altura: 9 cm

= 8 8x+ 72 = 20x8 12x= 72 8 x= 6 cm

VTRONCO

= [402 (9 + 6)] (162 6) = (24000 1 536) = 7 488 cm3

10 Un globo sube 643 m sobre la superficie de la Tierra. Averigua qu superficieterrestre se ver desde arriba.

=

= 8 h = 0,643 km

ACASQUETE

= 2Rh = 2 6 366 0,643 25719,2 km2

63662 6 366 6 366,6436366,643

6 366 h6366

63666366,643

R= radio de la Tierra = 6 366 kmd= 643 m = 0,643 km

R hR

R

R+d

13

13

13

x

8x+ 9

20

9 cm

40 cm

16 cm x

8

9

20

13

13

13

x+ 935

x

20x

9 cm

20 cm

35 cm


10/28

11Soluciones a las actividades de cada epgrafePg. 10

11 En la pgina inicial de esta unidad calculbamos el dimetro de la Luna: 3 500 km.

Un cohete se aproxima a la Luna. Averigua qu superficie de Luna se ve desde

el cohete cuando se encuentra a 1000 km de distancia.

= ; = 8 h = = 636,36 km

ACASQUETE

= 2Rh = 2 1750 636,36 = 6997143,654 km2

PGINA 179

1 En el procedimiento descrito arriba para obtener una

hoja de papel con dimensiones ureas a partir de una A-4 y con la ayuda del DNI, se aplica una homotecia. Cules su centro, y cul su razn?

El centro de la homotecia es A (esquina inferior izquierda de los rectngulos).

La razn de la homotecia es (P es la esquina inferior derecha del DNI y

P' es la esquina inferior derecha de la hoja DIN A-4).

AP'

AP

NOMBRE

PAPELLIDO

SAPELLIDO

A PP

NOMBRE

PAPELLIDO

SAPELLIDO

17502 1750 27502750

1 750 h1750

17502750

R hR

R

R+d


11/28

11Soluciones a las actividades de cada epgrafe2 Dibuja un pentgono regular de 5 cm de lado. Para ello, calca un pentgono

regular de algn sitio y procede como se indica en el dibujo.

5 cm

5 cm

Pg. 11


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11Soluciones a los ejercicios y problemasPGINA 180

R A C T I C A

F i g u r a s s e m e j a n t e s

1 Cules de estas figuras son semejantes? Cul es la razn de semejanza?

F1 es semejante a F3. La razn de semejanza es .

2 a) Son semejantes los tringulos interior y exterior?

b)Cuntas unidades medirn los catetos de un tringulo semejante al menorcuya razn de semejanza sea 2,5?

a) No. La razn entre los catetos es en el interior y en el exterior.

b) 2 2,5 = 5

3 2,5 = 7,5

Los catetos medirn 5 y 7,5 unidades.

3 Una fotografa de 9 cm de ancho y 6 cm de alto tiene alrededor un mar-co de 2,5 cm de ancho. Son semejantes los rectngulos interior y exterior del

marco? Responde razonadamente.

? 8 No son semejantes.6

9

11

14

116

149

57

23

32

F1

F2

F3

P

Pg. 1


13/28

11Soluciones a los ejercicios y problemas4 Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura duplicando

su tamao.

a) Haz un dibujo de la figura ampliada.

b)Calcula su superficie.

a)

b) El rea de las dos partes inferiores se puede hallar sin ms que contar cuadraditos:

26 + 12 = 38 cm2

La parte de arriba es medio crculo de radio 2. Por tanto, su superficie es:

( r2) = 22 = 2 cm2

La superficie total de la figura es:

S= (38 + 2) cm2

5 Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, qu rea ocuparen un plano de escala 1:25?

rea = = 20 625 cm2

En el plano ocupar = 33 cm2.

6 Una maqueta est hecha a escala 1:250. Calcula:

a) Las dimensiones de una torre cilndrica que en la maqueta mide 6 cm de al-tura y 4 cm de dimetro.

b)La superficie de un jardn que en la maqueta ocupa 40 cm2.c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.

20625252

275 1502

12

12

1 cm

1 cm

Pg. 2


14/28

11Soluciones a los ejercicios y problemasa)

La torre cilndrica mide 15 m de altura y 10 m de dimetro.

b) 40 2502 = 2500000 cm2 = 250 m2

c) 20 2503 = 312 500000 cm3 = 312,5 m3

7 En este mapa de escala 1:1 500 000, la distancia entre Monao y Ponte daBarca es 2 cm.

a) Cul es la distancia real?

b) Calcula la distancia entre Viana do Castelo y Valena do Minho.

c) Qu distancia habr en el plano entre dos ciudades que distan 180 km?

a) Distancia real = 2 1 500000 = 3 000000 cm = 30 km

b) En el mapa, midiendo, vemos que la distancia entre las dos localidades mencio-nadas es 2,5 cm. Por tanto:

Distancia real = 2,5 1500000 = 3750000 cm = 37,5 km

c) 180 km = 18000000 cm

Distancia en el mapa = = 12 cm

8 Esta figura es el logotipo de una empresa automovilstica. Quieren repro-ducirlo de forma que ocupe 54 cm2 de superficie. Cules sern sus dimensio-nes? Dibjalo.

1 cm

180000001500000

23

30 3033 60

18

259

33

55

33

18

28

14 34

11

12

29

29

16

40

17

41

5433

127

63

107

13

Parque

Nacional

da Peneda-Gers

slas Atlnticas

Mio

Limia

RadeVigo

Emb. dasConchas

B. do AltoRabago

S.doGer

s

SerradaCabreira

Serrad

aPen

eda

Baiona

Gondomar

A Ramallosa

Salvaterra de Mio

Ponteda Barca

Darque

l

Pontede Lima

Arrabal

O Rosal

TomioMono

Valenado Minho

io r e ga a

CelanovaCrecente

Allariz

Bande

Mugueimes

Fondevila

Lindoso

Boti

VendaNova

M l

A Guarda

Tui

Caldelas

Moledo do Minho

Ponteareas

O Porrio

Viana doCastelo

Cabo Silleiro

OU531

PO

552

PO

552

OU531

N308

-1

IC1

A3

E1

A52AG 57

N202

N203

N203

N 1 3

N101

N307

N205

N202

N54

0

N103

N101

N201

N311

294

303

h = 1 500 cm = 15 m

d= 1 000 cm = 10 m

1 cm 8 250 cm6 cm 8 h

4 cm 8 d

Pg. 3


15/28

11Soluciones a los ejercicios y problemasLa superficie del logotipo es, siempre, de 6 cuadraditos (consideramos que al hacerla ampliacin, tambin se amplan en la misma proporcin los cuadraditos).

Necesitamos que la superficie de 6 cuadraditos de lado lsea 54 cm2. Por tanto:6 l2 = 54 8l2 = 9 8l= 3 cm

Esto es, tenemos que hacer una ampliacin en la que 1 cm se convierte en 3 cm.Luego las dimensiones de la figura sern:

9 Cunto medirn los lados de un trapecio semejante al de la figura, cuyopermetro sea 163,2 cm?

El permetro de la figura inicial mide 21 + 10 + 12 + 8 = 51 cm.

Por tanto: = = = =

x= 67,2 cm; y= 32 cm; z= 38,4 cm; t= 25,6 cm

10 a) Copia esta figura en tu cuadernoy amplala al doble tomando O como

centro de homotecia.b)Redcela a 1/3 tomando A como cen-

tro de homotecia.

x

t

z

y t8

z12

y10

x21

163,251

21 cm

8 cm

12 cm

10 cm

1 cm

Pg. 4

A

B

C

D

O


16/28

11Soluciones a los ejercicios y problemas

PGINA 181

S e m e j a n z a d e t r i n g u l o s

11 Comprueba si son semejantes dos tringulos ABCy A'B'C' que cum-plen las condiciones siguientes:

a) = 10, = 18; = 12

= 25; = 45; = 30

b) = 20; = 30; = 40

= 40; = 50; = 60

c)A^

= 58; B^

= 97

A^'= 58; C

^'= 35

a) Comprobamos si los lados son proporcionales. Esto es, si:

= = 8 = = = 2,5

S son semejantes.

1230

1845

1025

CA

C'A'

BC

B'C'

AB

A'B'

C'A'B'C'A'B'

CABCAB

C'A'B'C'A'B'

CABCAB

A

B

B

B D

C

A

D

C

A

C

D

O

Pg. 5


17/28

11Soluciones a los ejercicios y problemasb) Procediendo como en el apartado anterior, es claro que no son semejantes:

? ?

c) Comprobamos si los dos tringulos tienen sus ngulos iguales:

A^ = 58; B^ = 978C^ = 180 58 97 = 25

Como C^ ?C^', los tringulos no son semejantes.

12 El permetro de un tringulo issceles es 49 m y su base mide 21 m. Hallael permetro de otro tringulo semejante, cuya base mide 4 m. Cul es la ra-zn de semejanza entre el tringulo mayor y el menor?

= 5,25

Permetro del tringulo semejante:

P'= = 9,33 m

La razn de semejanza es 5,25.

13 En el tringulo ABC hemos trazado paralelo a .

Por qu son semejantes los tringulos ABCy ADE? Calcula y .

Los tringulos son semejantes porque estn en posicin de Tales.

= 8 = = 10,5 cm

= 8 = = 15 cm

14 Por qu son semejantes los tringulos ABCy AED?

Halla el permetro del trapecio EBCD.

Porque son rectngulos con un ngulo agudo comn, A^

. Tienen los tres ngulosiguales.

A

C

D

E

B

6 cm

10cm

17cm

10 1812AB

AE

DE

AB

CB

7 1812

ACAD

DE

AC

CB

ABAC

18 cm

12 cm

10 cm7 cm

A

BC

D E

CBDE

P= 49 m

21 m

P

4 m

495,25

21

4

40

60

30

50

20

40

Pg. 6


18/28

11Soluciones a los ejercicios y problemas Hallamos aplicando el teorema de Pitgoras:

= = 8 cm; = 8 + 17 = 25 cm = 8 = 8 80 + 8x= 250 8 8x= 170

x= 21,25 8 = 21,25 cm

= 8 = 8 = = 18,75 cm

Permetro de EBCD= 17 + 18,75 + 21,25 + 6 = 63 cm

15 Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD.

a) Di por qu son semejantes los tringulos OABy ODC.

b)Calcula x e y.

a) Son semejantes porque tienen un ngulo igual, = por ser opuestospor el vrtice, y los lados opuestos a ese ngulo son paralelos.

b) = 8 x= 5,08 cm

= 8 y= 7,48 cm

I E N S A Y R E S U E L V E

16 Cul es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejndote0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde delpozo con la lnea del fondo?

P

10,6 68,5

y10,6

68,5

7,2 68,568,5x7,2

COD

AOB

C

B

A

ODy

x10,6cm

8,5cm

6cm

7,2cm

1508

BC258

BC

6AB

AE

BC

ED

DC

258

10 +x10

AB

EA

AC

AD

AB

102

62

EA

EA

Pg. 7


19/28


= 8 x= 8 x= 2,55 m

La profundidad es de 2,55 m.

17 Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB,fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medi-

das:AP

= 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. (MNes paralela a AB). Calculala distancia AB

.

Los tringulos APB y MPN son semejantes.Por tanto:

= 8 = = 25 km

18Una lmpara situada a 25 cm de una lmina cuadrada de 20 cm de lado,proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que est a 1,5 m de la lm-

para.

Cunto mide el lado del cuadrado proyectado?

7,2km

12 km

P

NM

BA

15km

15 127,2

AB157,2

AB

12

BA

M N

P

1,2 m

1,7 m

0,8 m

x

1,2 1,70,8

1,20,8

x1,7

Pg. 8


20/28


8 = 8 x= = 60

Por tanto, el lado del cuadrado proyectado mide 2 60 = 120 cm.

19 Si DF

= 5 cm, cul es el rea y el permetro del pentgono FECGA?

2 = 302 + 122 8 32,31 cm

Los tringulos FDE y ADC son semejantes. Por ello:

= 8 = 8 13,46 cm

En el tringulo FDE, 2 = 2 2 = 13,462 52 8 12,5 cm

= = 30 12,5 = 17,5 cm

= 6 cm2 = 302 + 62 8 30,59 cm

= 7 cm

rea del tringulo FDE= = 31,25 cm2

rea del tringulo ABG= = 90 cm2

rea del pentgono 30 12 31,25 90 = 238,75 cm2

Permetro del pentgono:

+ + + + 13,46 + 17,5 + 6 + 30,59 + 7 = 74,55 cmAFGACGECFE

30 62

12,5 5

2

AF

AGAG

CG

DEDCEC

DEDFFEDE

FEFE

32,315

12FE

AC

DF

DA

A B

D E C

GF

30 cm

5 cm

12cm

ACAC

A B

D E

C

F

30 cm

5 cm

12cm

25

10

L

x

150 cm10 150

251025

x150

Pg. 9


21/28

11Soluciones a los ejercicios y problemasPGINA 182

20 Los catetos del tringulo rectngulo ABC miden = 28 cm y == 21 cm.

Desde el punto D tal que = 9 cm, se traza una paralela a AC. Halla elrea y el permetro del trapecio ADEC.

Los tringulos ABC y DBE son semejantes.Por ello:

= 8 = 8 = = 16 cm

Calculamos la hipotenusa de cada uno de los tringulos:

= 35 20 = 15 cm

rea del trapecio = 9 = 198 cm2

Permetro del trapecio ADEC= 9 + 16 + 15 + 28 = 68 cm

21 En una carretera de montaa, nos encontramos una se-al que nos advierte que la pendiente es del 8%; es decir, porcada 100 m que recorremos, el desnivel es de 8 m.

a) Cul es el desnivel que se produce cuando recorremos 3 km?

b)Para que el desnivel sea de 500 m, cuntos kilmetros tendremos que reco-rrer?

a) 8 = 8

8 x= = 240 m

Se produce un desnivel de 240 m.

b) 8 = 8 x= = 6 250 m

Tendremos que recorrer 6,25 km.

x

500

100 5008

1008

x500

x

8 m

3 km100 m8 3000

100

8100

x3000

8%

28 + 162

EC

BC

= 212 + 282 = 35 cmBE

= 122 + 162 = 20 cm

A28 cm

21 cm

C

D E

B

9 cm

12 2821

DE28DE

2112

AC

DE

AB

BD

A C

D E

B

AD

ABAC

Pg. 10


22/28

11Soluciones a los ejercicios y problemas22 Esta figura representa, a escala 1:2000, una par-

cela de terreno. Calcula su permetro y su rea, toman-

do las medidas necesarias.

PLANO REALIDAD

3 cm 8 3 2000 = 6000 cm = 60 m

3,5 cm8 3,5 2000 = 7000 cm = 70 m

4 cm 8 4 2000 = 8000 cm = 80 m

2,5 cm8

2,5 2000 = 5000 cm = 50 m

P= 60 + 70 + 80 = 210 m

S= (80 50) = 2 000 m2

23 Los lados mayores de dos tringulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm,respectivamente. Si el rea del menor es 26 cm2, cul es el rea del mayor?

Razn de semejanza = = 1,7

rea del segundo = 26 1,7

2

= 75,14 cm

2

24 Una parcela tiene forma de trapecio rectngulo con las dimensiones quese ven en la figura.

a) Calcula su rea.

b)Se quiere hacer un pozo en el punto donde se cortan las prolongaciones delos lados AD y BC. A qu distancia de A y de B estar el pozo?

a)

h = = 56,53 m

A = = 4 918,11 m2(72 + 102) 56,332

64 m hh 64 m

72 mA B

D C102 m 30 m

642 302

102 m

64 m

A B

CD

72 m

13,68

12

3,5 cm2,5 cm

4 cm

3 cm

Pg. 11


23/28

11Soluciones a los ejercicios y problemasb) = 8 102x= 72x+ 4 070,168

8 x= = 135,67 m

= 8 102y= 72y+ 46088

8 y= = 153,6 m

El pozo estar a 135,67 m de A y a 153,6 m de B.

25 En estos dos crculos concntricos, el radio del mayores el triple del menor.

a) Si el rea del mayor es 951 cm2, cul es el rea del menor?b)Calcula el radio de cada crculo.

a) R= 3r

Si los radios estn en proporcin de 3 a 1, las reas lo estn en proporcin 32 = 9a 1.

Por tanto, el rea del menor es 951 : 9 = 105,67 cm2.

b)R2 = 951 8 R= = 17,4 cm

r= = = 5,8 m

26 Para hacer un embudo de boca ancha, hemos corta-do un cono de 5 cm de radio a 3 cm del vrtice.

La circunferencia obtenida tiene 2 cm de radio.

Halla el volumen del embudo.

= 8 3 +x= 8

8 x= 3 = 4,5 cm

El volumen del embudo ser la diferencia entre el volumen de un cono de 5 cm deradio y 7,5 cm de altura, y el volumen de otro cono de 2 cm de radio y 3 cm de al-tura.

V= ( 52 7,5) ( 22 3) = (25 7,5 4 3) = 58,5 cm313

13

13

3

x

2

5

152

152

32

3 +x5

3 cm

5 cm

17,43

R3

951

r

R

460830

y+ 64102

y

72

4070,1630

x+ 56,53102

x72

Pg. 12

P

YX

A

D C

B72 m

56,53 m 64 m

102 m


24/28

11Soluciones a los ejercicios y problemas27 Hemos recubierto con un tejado cnico un depsito ciln-

drico de 4 m de radio y 14,4 m de altura. Si el radio del cono

es 10 m, cul es el volumen de la zona comprendida entre elcono y el cilindro?

8 = 8 10x= 4x+ 57,6 8

8 x= = 9,6 m

VCONO

= ( 102) (14,4 + 9,6) = 800 m3

VCILINDRO

= ( 42) 14,4 = 230,4 m3

V = VCONO

VCILINDRO

= 800 230,4 = 569,6 m3

28 La base de una escultura tiene forma de tronco de pi-rmide cuadrangular regular en el que los lados de las basesmiden 80 cm y 140 cm, y su altura, 150 cm. Halla su volu-men.

Calculamos la altura de la pirmide:

= 8 40x+ 6000 = 70x8 30x= 6000 8

8 x= 200 cm

Altura = 200 + 150 = 350 cm

Volumen tronco = VPIRMIDE MAYOR

VPIRMIDE MENOR

V= 1402 350 82 200 = 1 860000 cm3 = 1 860 dm3

29 Halla el volumen de una maceta como la de la figura,en la que los radios de las bases miden 6 cm y 14 cm, y la ge-neratriz, 30 cm.

6 cm

14 cm

30

cm

1

3

1

3

7040

x+ 150x

140 cm

150cm

80 cm

13

4

10

14,4

x

57,66

x+ 14,410

x4

Pg. 13

40 cm

70 cm

150 cm

x


25/28


h = = 28,91 cm

= 8 14x= 6x+ 173,468

8 x= = 21,68 m

VCONO GRANDE

= ( 142) (28,91 + 21,68) = 3 305,21 cm3

VCONO PEQUEO

= ( 62) (21,68) = 260,16 cm3

VMACETA

= VCONO GRANDE

VCONO PEQUEO

= (3305,21 260,16) = 3045,05 cm3

La maceta tiene un volumen de 9 561,46 cm3.

30 Desde un punto P, trazamos las tangentes comunes a dos circunferencias.

Las distancias de P a los centros son = 17 cm y '= 30 cm. Si el radiode la mayor mide 18 cm, cunto mide el radio de la menor?

= 8 = 8

8 = = 10,2 cm

El radio de la menor mide 10,2 cm.

PO O'

T

T'

18 1730

OT

1830

OT

17O'T'

PO'

OT

PO

PO O'

POPO

13

13

173,46

8

x+ 28,9114

x6

6

14 14 6

30h h 302 82

Pg. 14

6

14

h

x

6

14

28,91

x


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11Soluciones a desarrolla tus competenciasPGINA 183

INFRMATE

Tarjetas con oro

Comprueba que colocando dos rectngulos como indica la figura, la diagonal deuna se prolonga pasando por uno de los vrtices de la otra.

Y aprovecha esa propiedad para demostrar que, efectivamente, x = F.

El hecho de que la diagonal de una de las tarjetas se prolongue pasando por el vrticede la otra, hace que los dos rectngulos ABCD y CB'A'D' sean semejantes.

= 8 x= = F

(como se ha visto ms arriba)

1 + 52

1x 1

x

1

Los tringulos son semejantes. Portanto, lo son tambin los rectngulos.

a = bd = g

x

x 1

1

1x 1=1 x 1

Pg. 1

x

A

B C

D

B

D

A

x 1

1

1

a

b

g

d


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11Soluciones a la autoevaluacinPGINA 111

Verifcalo resolviendo ejercicios

1 Queremos hacer una maqueta de un jardn rectangular a escala 1:400. Su pe-rmetro es de 850 m, y su rea, de 37500 m2. Cules sern estas medidas enla maqueta?

Permetro = = 2,125 m = 212,5 cm

rea = = 0,234375 m2 = 2 343,75 cm2

2 lvaro debe situarse a 3 m de un charco para ver la copa de un rbol reflejadaen l. Si la distancia del charco al rbol es de 10,5 m y la estatura de lvaro esde 1,72 m, cul es la altura del rbol?

x= = 6,02 m mide el rbol.

3 Un centro comercial P est situado entre dos vas para-lelas ry s. Se quiere unir, mediante carreteras, con laspoblacionesA, B, C y D.

Con los datos de la figura, calcula x e y.

Los tringulos CDP y APB son semejantes.

= 8 x= 8 km

= 8 y= 7,5 km6,759

y10

6,759

6x

6km

10km

B

x

y

Dr

s

P

C 6,75 km

9 kmA

10,5 1,723

1,72

3 10,5

x

375004002

850400

Pg. 1


28/28

11Soluciones a la autoevaluacin4 Un florero tiene forma de tronco de pirmide de bases cua-

dradas de 8 cm y 12 cm de lado, y altura 16 cm. Calcula su

volumen.

= 8 6x= 4x+ 64 8 2x= 64 8

8 x= 32

x+ 16 = 48 cm

Altura de la piramide = 48 cm

V= 122 48 82 32 = 1621,3 cm313

13

x+ 166

x4

8 cm

12 cm

16cm

Pg. 2

8 cm

12 cm

6

4

16cm 16

x

Documents

4esoAsolucionestema11.pdf