4Modelado matemtico de los sistemas dinmicos En la prediccin del comportamiento dinmico de un sistema (fase de anlisis), o en su mejora en la evolucin temporal o frecuencial (fase de diseo), se requiere del conocimiento del modelo matemtico tanto del equipo como de las seales que hay en su alrededor. Este requisito es cada vez ms importante en las nuevas fases de elaboracin y produccin de los equipos y est ntimamente relacionado con la competitividad de las empresas. !oy en da, cuando un nuevo producto se est diseando, antes de iniciar las etapas de realizacin fsica del sistema, "ste debe haber superado las pruebas de la simulacin. #os simuladores son pro$ramas de ordenador que predicen el comportamiento dinmico de los sistemas. Estos paquetes soft%ares se basan en el modelado matemtico de los elementos que constituyen los sistemas y de las seales que lesatacan&. #a validez de los simuladores depende de la apro'imacin que hay entre los modelos matemticos de los componentes y sus verdaderos comportamientos fsicos. #ue$o se concluye que una mayor sofisticacin de los modelos supondr que se apro'ime ms verazmente al comportamiento fsico, produciendo casi nulas diferencias entre lo indicado en la simulacin y en su implementacin fsica. (or tanto, no es de e'traar la importancia que tienen los simuladores en las empresas. &(or ejemplo, en )n$eniera Electrnica es ampliamente utilizado el pro$rama (*()+E. ,l emplear este pro$rama se utilizan unas libreras de modelos de los componentes electrnicos, de esta forma es posible analizar o disear los circuitos. -pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrial./+aptulo 01 2odelado de los sistemas dinmicos,puntes de 3e$ulacin ,utomtica !ay una $ran variedad de modelado dinmico, se podran citar reas de la construccin, la aeronutica, la produccin industrial o la lo$stica, entre otros. (ero concretando sobre los sistemas de control, estos suelen tener componentes el"ctricos y mecnicos, aunque al$unos tambi"n llevan elementos neumticos e incluso hidrulicos. En este captulo se va a tratar del modelado de al$unos sistemas el"ctricos y mecnicos. -e otro lado, la importancia en el +ontrol de los motores de corriente continua de imanes permanentes y sus transductores marcar un apartado distinto. (ara finalizar, tambi"n se estudiar el modelo de los sistemas t"rmicos. 4.1 Sistemas elctricos y electrnicos En estos sistemas se aplicarn las leyes de 4irchhoff, tanto los m"todos de mallas como los de nudos. (or ejemplo, el pro$rama (*()+E suele emplear el m"todo de l osnudos . (ara el anlisis de los cuadripolos el"ctricos se emplear, en este caso, el m"todo de mallas y se tratar de obtener el conjunto de ecuaciones al$ebro5diferenciales que e'pliquen las relaciones entre las entradas y las salidas. (osteriormente, se aplicar las transformadas de #aplace y se conse$uir la 6-7, ya sea por tratarse de un sistema #7) o por un proceso de linealizacin. ue(t)us(t) En el captulo 8, en el ejemplo 8./, se haba analizado la relacin entre la tensin de3salida y entrada en un cuadripolo 3+. +onsiderando condiciones iniciales nulas, se+obtena fcilmente la $anancia de tensin y por5 5tanto, su 6-71 ve(t) 3&38 ue (t) = 3+ dus (t ) + us (t) dt+&+8 5,plicando transformada de #aplace, con us(t) 5condiciones iniciales nulas16i$ura 0. & a) +uadripolo 3+ b) +uadripolo 3& +& 5 38 +8 &,9 (s) = & + 3+s :n cuadripolo al$o ms complejo sera el mostrado en la fi$ura 0.& b. , simple vista parece que resulta una cascada en serie de dos circuitos 3+ y que podra decirse que su 6-7, por lo estudiado en el anterior captulo, es el producto de los dos bloques1 & &,9 (s) = ,91(s) ,9 2 (s) =& + 3&+&s & + 38+8s(0. &) .0-pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrial ,puntes de 3e$ulacin ,utomtica+aptulo 01 2odelado de los sistemas dinmicos *in embar$o, el resultado es falso. En primer lu$ar, se ha atentado contra la propia definicin de bloque que se ha dado en el anterior captulo (ver apartado /./). ,l considerar que la seal de salida del subsitema slo depende de la entrada, cuando la salida del primer cuadripolo est acoplada con la impedancia de entrada del se$undo. ;o es verdad que la relacin que hay entre la tensin del condensador & y la entrada sea1 ue (t) = 3&+&uc1(t) + uc1(t ) #a corriente que circula por 3& es la que circula por +& ms otra corriente que pasa por 38. *e observa que e'iste un acoplamiento entre los dos cuadripolos y que por tanto, estn equivocadas las $anancias de tensin de los dos bloques. Es un problema de adaptacin de impedancias entre los dos subsistemas. El planteamiento correcto podra hacerse a trav"s del m"todo de mallas1 ue (t) = 3&(+8uc2 (t ) + +&uc1(t)) + uc1(t ) uc1(t) = 38+8uc2 (t ) + uc2 (t) us (t) = uc2 (t ) En el conjunto de ecuaciones al$ebro5diferenciales se hace notar que la corriente que circula por 38 es i$ual que a la de +8, lo que supone que la impedancia que ve la salida hacia el e'terior es infinita y es, por tanto, una simplificacin. Esta consideracin es vlida bien por que se est empleando un equipo de medida en la salida o bien se encadenar, la salida, a una estructura de amplificacin lineal con operacionales, la cual presenta esta caracterstica, alta impedancia en su entrada. +onsiderando condiciones iniciales nulas, la 6-7 del cuadripolo 0.&b) ser1 &3&+&38+8s + (3&+& + 3&+8 + 38+8 )s + & 8 (0. 8) 9ea las discrepancias e'istentes entre la ecuacin (0. &) y (0. 8). ,9 (s) = En el tratamiento de las seales continuas de las estructuras de control se suelen emplear el procesamiento el"ctrico. #os sistemas que se encar$an de esta tarea estn constituidos por una combinacin de cuadripolos el"ctricos pasivos y de amplificadores operacionales. *us posibilidades van desde la implementacin de re$uladores ()-s, hasta la construccin de las seales de mando, los acondicionamientos de los transductores y acabando en la realizacin fsica de los sumadores. -esde lue$o, la amplitud de este conocimiento es tan $rande que e'iste una disciplina para su elaboracin. *e llama )nstrumentacin Electrnica. *lo se va a dar un par de pinceladas, las suficientes, para poder comprender la importancia de esta materia, as como, cumplir con los prerrequisitos necesarios para entender los aspectos de construccin que van a verse a lo lar$o de este curso bsico de +ontrol. -pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrial. y u5, aplicadas al terminal no inversor e inversor respectivamente. #a $anancia entre la seal de salida, us, y el terminal no inverso es positivo, mientras que la $anancia entre la salida y la entrada inversora es ne$ativa. ,dems de estos pines principales, un amplificador operacional tiene ms patillas, como las del cone'ionado para la compensacin de respuesta en frecuencia y las de la red de compensacin del desplazamiento de tensin de continua, as como terminales de polarizacin del operacional. El smbolo del ,= es como se detalla en la fi$ura 0.8. #as caractersticas de un ,= ideal son1 #a de impedancia de entrada diferencial y la de cada canal respecto a masa son infinitas. ?anancia de tensin diferencial infinita, ,do. ,ncho de banda infinito. 7ensin de desviacin de continua nula ,usencia de desviacin de las anteriores caractersticas con la temperatura. -ebida a la elevada $anancia de tensin diferencial en la prctica, ,do (valores tpicos de por encima de &@A), el ,= es prcticamente incontrolado en lazo abierto, ya que fcilmente se satura. , primera vista puede parecer una desventaja, en cambio es una de sus mayores virtudes. ,plicando una fuerte realimentacin sobre el ,= y $racias a la teora de realimentacin, las propiedades ideales de los ,= son alcanzados en la prctica.-e forma que si la tensin diferencial en la entrada es menor a la tensin t"rmica, 97, el ,= se comportar de forma cuasi5linealB en caso contrario se saturar. El modelo del ,=, analticamente y $rficamente, es1 ud = u+ u us = h,do ud m ud < 97 m + 9c ud > 97 hh 9c ud < 97 #a realimentacin ne$ativa se requiere para mantener la tensin diferencial de entrada, ud, dentro de los mr$enes de comportamiento lineal del ,=. (ara estos casos, la ud ser menor que la tensin t"rmica y en el anlisis de los circuitos con ,=, siempre .A-pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrial ,puntes de 3e$ulacin ,utomtica+aptulo 01 2odelado de los sistemas dinmicos qdu#arus (t) = 8 &5 =*& A=:7 u. / =*8 amplificadores de tensin para hacer seales de mando o para hacer 6-7 determinadas. En el caso de seales de mando, los potencimetros suelen 8 &9++ 5 =*&ser empleados como instrumentos en manos de losA=:7usuarios que fijan un cierto nivel deseado de 3/ =*8$oveu@=aei3&7nob)095 9> .095 9> .-pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrial.. +aptulo 01 2odelado de los sistemas dinmicos i = ue (t) = us (t) ue (t) us (t) = & + 38 3& 38 ue (t)3& #a arquitectura de los amplificadores diferenciales es empleada para la ,puntes de 3e$ulacin ,utomtica 38 3& construccin de los amplificadores de error. Estos circuitos hacen una resta anal$ica de la tensin en la entrada positiva con la entrada ne$ativa. #a diferencia es amplificada por una constante. :na de las formas de obtener la 6-7 es mediante la aplicacin del u, uC553& 8/5>38=*& =:7 =*8 &A >define la $anancia de tensin en circuito abierto como la relacin entre la tensin de salidaue +uadripolous respecto a la entrada cuando la corriente deel"ctrico 095 9> .095 9> .salida es nula15 5,(s) = us (s) u e (s ) i s = @ 38 3& #a impedancia de transferencia en8 &5 =*&Acortocircuito est dada por el cociente entre la tensin de entrada y la corriente de salida, cuando la tensin de salida es nula1 ue.,/>=:7=*8< us 6i$ura 0. 0. Estructura inversora .E-pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrial ,puntes de 3e$ulacin ,utomtica+aptulo 01 2odelado de los sistemas dinmicos D (s) = ue (s) i s (s ) u s = @#a $anancia de tensin en circuito abierto es empleada en estructuras de amplificacin no inversora. ,l encadenar la red pasiva a este amplificador, la salida del cuadripolo pasivo FveF una impedancia casi infinita, la propia de la entrada del operacional. #a $anancia de tensin del conjunto ser1 ue .D& 8/5>=*&=:7=*8&A 9e,i > ... > 9e,& > 9e,8 :n e'ceso de par mecnico dar al traste con la linealidad del comportamiento comoconsecuencia de una saturacin en el circuito ma$n"tico. Ejemplo 4.! #a maqueta de motor de corriente continua de las prcticas de 3e$ulacin ,utomtica est constituido por un motor 2,K=; de baja inercia. ,l ejedel motor se le ha acoplado un tren de en$ranajes con una relacin &1&G., al que se considera de comportamiento ideal. El fabricante da los si$uientes datos1 -pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrialG/ +aptulo 01 2odelado de los sistemas dinmicos,puntes de 3e$ulacin ,utomtica 3esistencia de armadura I ..G0 . )nductancia equivalente del flujo disperso I &.0 9oltios como valor absolutoY. +aracterizar la respuesta temporal del sistema reducido equivalente, sabiendo que hay un polo real en la cadena cerrada que vale 58./, + &@9l8l&9ref&@99 3, # i# .atos+ l& = &m. l8 = @,8m. # = &! 3 = @,& 2 =&4$. +onsid"rese que el momento de inercia del p"ndulo es N+ = 2 l&8 &&@-pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrial ,puntes de 3e$ulacin ,utomtica+aptulo 01 2odelado de los sistemas dinmicos "ro$lema /+ Modelo del control del rotor de #n 0elicptero :na maqueta de laboratorio pretende modelar el comportamiento del rotor de cola de un helicptero. (ara ello se dispone de los elementos mostrados en la fi$ura. El sistema consiste de una barra de inercia despreciable sobre la que se sitLa un motor con una h"lice de masa M1 en un e'tremo y un contrapeso de masa M2 en el otro a una distancia R1 y R2 al eje de $iro respectivamente. (M1I@.& H$., M2I@.8 4$., R1I@./m., R2I@.&&J@.@G @.&@.@& s8 5@.@G s8>& -erecho de ,utor [ 8@@E +arlos (latero -ueas. (ermiso para copiar, distribuir yJo modificar este documento bajo los t"rminos de la #icencia de -ocumentacin #ibre ?;:, 9ersin &.& o cualquier otra versin posterior publicada por la 6ree *oft%are 6oundationB sin secciones invariantes, sin te'to de la +ubierta 6rontal, as como el te'to de la +ubierta (osterior. :na copia de la licencia es incluida en la seccin titulada O#icencia de -ocumentacin #ibre ?;:O. #a #icencia de documentacin libre ?;: (?;: 6ree -ocumentation #icense) es una licencia con copyleft para contenidos abiertos. 7odos los contenidos de estos apuntes estn cubiertos por esta licencia. #a version &.& se encuentra en http1JJ%%%.$nu.or$JcopyleftJfdl.html. #a traduccin (no oficial) al castellano de la versin &.& se encuentra en http1JJ%%%.es.$nu.or$J#icenciasJfdles.html -pto. Electrnica, ,utomtica e )nformtica )ndustrial&&G