Introducción al Cálculo Infinitesimal.

I.T.I. de SISTEMAS.

Funciones reales de varias variables reales.-

5.3.- Extremos condicionados: Problema general.-

Consideramos una función ( )f ,x y tal que sus puntos han de cumplir la condición

≤ ≤ ≤ ≤ ( )g ,x y 0 y nos emplearemos en determinar los puntos que hacen que ( )f ,x y sea

máximo o mínimo sometidos a tal condición.

Este problema nos plantea el cálculo de los valores extremos de z = f (x,y) (punto a mayor y

menor altura de una superficie) , tales que cumplan: ≤ ( )g ,x y 0, que es un recinto cerrado

extraido del dominio de f.

El ejercicio lo vamos a resolver en dos etapas:

1º) Estudio del INTERIOR del recinto: g(x,y) < 0.

2º) Estudio de la FRONTERA del recinto: g (x,y) = 0.

Para llevar a cabo el estudio del INTERIOR, procederemos en primer lugar a calcular los

puntos críticos y someteremos al criterio del Hessiano exclusivamente aquellos puntos

situados exactamente en el interior del recinto. De esa forma obtendremos los máximos y

mínimos que en él hay.

Para analizar la FRONTERA, procedemos a buscar los valores extremos de f(x,y) con la

condición g(x,y)=0 , bien por sustitución, bien por los Multiplicadores de Lagrange.

Una vez conocidos los valores extremos que tiene f en la región o recinto ≤ g 0 , buscamos el Page 1

mayor de los máximos que será el máximo absoluto y el menor de los mínimos que será el

mínimo absoluto. Los extremos del interior que no alcancen a ser absolutos, quedan como

extremos relativos.

No olvidemos que si f es una función acotada en el cerrado ≤ g 0, necesariamente ha de

haber al menos un valor máximo absoluto y otro mñnimo absoluto.

Hagamos un ejemplo.

EJEMPLO 1.

Consideramos la función = = = = ( )f ,x y − − − − + + + + + + + + 2 x2

y y2

5 y buscaremos sus extremos en una

región de su dominio, por ejemplo en un círculo de centro el origen de coordenadas y

radio una unidad: ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + x2

y2

1.

Como f es una función continua en un dominio cerrado y acotado, tenemos la seguridad de

que alcanzará en él valores máximo y mínimo absolutos.

Introducimos los datos: ( )f ,x y y la frontera ( )g ,x y = + − x2

y2

1.

> f:=(x,y)->2*x^2-y+y^2+5;

g:=(x,y)->x^2+y^2-1;

:= f → ( ),x y − + + 2 x2

y y2

5

:= g → ( ),x y + − x2

y2

1

Hacemos el dibujo de la función f y le añadimos la región del dominio donde queremos

optimizarla, en este caso es un círculo de centro el origen y radio unidad.

>

Page 2

Para ver la parte de la superficie que hemos de analizar, procedemos a levantar el cilindro

proyectante de la región sobre la superficie y nos mostrará la frontera que provoca, una curva

en el espacio donde, además de en el interior de la región, puede alcanzar ( )f ,x y sus

extremos.

>

Page 3

Le quitamos la superficie para ver mejor la frontera, una curva en el espacio.

>

Curva frontera.Page 4

>

Ahora el interior, un trozo de la superficie.

>

Page 5

Por fin ambas juntas, interior y frontera.

>

Hagámoslo:

1º) Estudiamos el interior del dominio.

Calculamos sus puntos críticos y tenemos cuidado de tomar sólo los que se encuentren,

estrictamente, en el interior.

> fx:=D[1](f);

fy:=D[2](f);

solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0},{x,y});

:= fx → ( ),x y 4 x

:= fy → ( ),x y − + 1 2 y

{ }, = y1

2 = x 0

El punto efectivamente está en ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + x2

y2

1.

> 0^2+(1/2)^2<1;

< 1

41

> Puntos_criticos:=[0,1/2];

:= Puntos_criticos

,0

1

2Page 6

> print(`DERIVADAS SEGUNDAS`);

fxx:=D[1](fx);fxy:=D[1](fy); fyx:=D[2](fx); fyy:=D[2](fy);

FXX:=fxx(0,1/2);

FXY:=fxy(0,1/2):FYX:=fyx(0,1/2):FYY:=fyy(0,1/2):

HESSIANO:=FXX*FYY-2*FXY;

DERIVADAS SEGUNDAS

:= fxx 4

:= fxy 0

:= fyx 0

:= fyy 2

:= FXX 4

:= HESSIANO 8

A la vista de que el Hessiano es positivo y fxx también, tenemos un mínimo.

2º) Estudiamos la frontera del dominio.

Aquí es donde aplicamos el proceso de optimización por el Método de Lagrange.

> F:=(x,y)->f(x,y)+lambda*g(x,y);

:= F → ( ),x y + ( )f ,x y λ ( )g ,x y

>

:= Eq1 = + 4 x 2 λ x 0

:= Eq2 = − + + 1 2 y 2 λ y 0

:= Eq3 = + − x2

y2

1 0

Sol { }, , = x 0 = y 1 = λ-1

2{ }, , = λ

-3

2 = y -1 = x 0 { }, , = y

-1

2 = λ -2 = x

1

23, , ,{ :=

{ }, , = y-1

2 = λ -2 = x −

1

23 }

Entresacamos los puntos; es decir los valores del par (x,y). ( λ no interesa).

>

:= P , , ,[ ],0 1 [ ],0 -1

,

1

23

-1

2

,−

1

23

-1

2

>

:= Puntos_C , , , ,[ ],0 1 [ ],0 -1

,

1

23

-1

2

,−

1

23

-1

2

,0

1

2

>

Page 7

Puntos a estudiar | Valor de f |

[0, 1] | 5 |

[0, -1] | 7 |

[1/2*3^(1/2), -1/2] | 29/4 |

[-1/2*3^(1/2), -1/2] | 29/4 |

[0, 1/2] | 19/4 |

>

:= Puntos_opt

, ,

, ,0

1

2

19

4

, ,

1

23

-1

2

29

4

, ,−

1

23

-1

2

29

4

Tiene mínimo absoluto en el interior interior [ ,01

2] con valor f =

29

4 y dos máximos en

la frontera [ ,1 3

2−

1

2] y [ ,−

1 3

2−

1

2] ambos con valor f =

29

4 .

Por último los representamos.

>

EJEMPLO 2.

Determinar los extremos tanto absolutos como relativos de la función f(x,y) =

− − − − + + + + x

3

3y x

2 y2

2 en la región de su dominio limitada por ; ; ; ≤ ≤ ≤ ≤ 0 x ≤ ≤ ≤ ≤ 0 y ≤ ≤ ≤ ≤ x 1 ≤ ≤ ≤ ≤ y 2 .

>

> f:=(x,y)->x^3/3+y^2/2-x^2*y;

Page 8

:= f → ( ),x y + − 1

3x

31

2y

2x

2y

Representamos la superficie en la región dada.

> plot3d([x,y,f(x,y)],x=0..1,y=0..2,axes=framed,orientation=[3

5,65]);

Representamos la región para estudiar el interior.

> plot([[0,0],[0,2],[1,2],[1,0]],x=-0.1..1.3,y=-0.1..2.3,scali

ng=constrained);

Page 9

1º) Estudiamos el interior de la región.

- calculamos sus puntos críticos y tenemos cuidado de que se encuentren, estrictamente, en el

interior.

>

:= fx → ( ),x y − x2

2 x y

:= fy → ( ),x y − y x2

, ,{ }, = y 0 = x 0 { }, = y 0 = x 0 { }, = x1

2 = y

1

4

De los puntos obtenidos , sólo el ( ,1

4

1

2) está en el interior.

>

:= Puntos_criticos

,

1

4

1

2

DERIVADAS SEGUNDAS

:= fxx → ( ),x y − 2 x 2 y

:= fxy → ( ),x y −2 x

:= fyx → ( ),x y −2 x

:= fyy 1

Page 10

:= FXX-1

2

:= HESSIANO1

2

>

:= f_punto_critico19

192

.09895833333

Se trata de un máximo con el valor que aparece arriba..

2º) Estudiamos la frontera de la región.

- Para ello, iremos determinando los tramos de la frontera:

1º) = x 0 con ≤ 0 y ≤ ? 2 ; 2º) = x 1 con ≤ 0 ? ≤ y 2; 3º) = y 0 con ≤ 0 ? ≤ x 1 ;4º) = y 2 con

≤ 0 ? ≤ x 1

Analicemos la cara 1.

>

:= cara11

2y

2

Page 11

:= dercara1 y

:= ceros_der 0

:= f1_de_cero 0

:= f1_de_dos_ 2

La cara 2

>

:= cara2 + − 1

3

1

2y

2y

:= dercara2 − y 1

:= ceros_der 1

:= f2_de_cero1

3

:= f2_de_uno-1

6

:= f2_de_dos_1

3

La cara 3

>

Page 12

:= cara31

3x

3

:= dercara3 x2

:= ceros_der ,0 0

:= f3_de_cero 0

:= f3_de_uno1

3

La cara 4.

>

Page 13

:= cara4 + − 1

3x

32 2 x

2

:= dercara4 − x2

4 x

:= ceros_der ,0 4

:= f4_de_cero 2

:= f4_de_uno1

3

>

Page 14

Ya por fin elegir los valores extremos:

>

:= Maximo 2

:= Minimo-1

6

RESUMEN:

Máximo absoluto en ( 0,2) , Mínimo absoluto en ( 1,2) y máximo relativo en ( ,1

4

1

2).

EJEMPLO 3.

Determinar los extremos tanto absolutos como relativos de la función f(x,y) = − x2

y2en la

región de su dominio limitada por

≤ − − x y 1 0 , ≤ 0 + x 1 , ≤ + − x y 1 0.

> restart:with(plots):

> f:=(x,y)->x^2-y^2;

:= f → ( ),x y − x2

y2

> print("SUPERFICIE"); Page 15

plot3d([x,y,f(x,y)],x=-2..2,y=-2..2,axes=framed);

print("REGION");

inequal({x-y-1<=0,x+1>=0,x+y-1<=0},x=-1.3..1.3,y=-2.3..2.3);

"SUPERFICIE"

"REGION"

Page 16

Estudio del interior.

>

:= fx → ( ),x y 2 x

:= fy → ( ),x y −2 y

{ }, = x 0 = y 0

>

DERIVADAS SEGUNDAS

:= fxx 2

:= fxy 0

:= fyx 0

:= fyy -2

:= FXX 2

:= HESSIANO -4

El punto (0,0) es un PUNTO de SILLA.

Frontera.

Cara = x −1 con ≤ −2 y , ≤ y 2.

>

Page 17

:= cara1 − 1 y2

:= dercara1 −2 y

:= ceros_der 0

>

:= f1_de_menos_uno -3

:= f1_de_cero 1

:= f1_de_dos_ -3

Cara − − x y 1 = 0 <=> = y − x 1 con ≤ −1 x, ≤ x 1.

>

Page 18

:= cara2 − x2

( ) − x 12

− 2 x 1

:= dercara2 0

:= ceros_der y

>

:= f2_de_menos_dos -3

:= f2_de_dos -3

Cara + − x y 1=0 con ≤ −2 y, ≤ y 2.

>

Page 19

:= cara3 − ( )− + y 12

y2

− + 2 y 1

:= dercara3 -2

:= ceros_der

>

:= f3_de_menos_uno -3

:= f3_de_uno -3

>

Page 20

CONCLUSIONES: Máximos absolutos en ( 1,0) y (-1,0) y mínimos absolutos en (-1,2) y

(-1,-2), además de un punto de silla en (0,0).

Ejercicios.

1.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = + − − + x3

y3

3 x 12 y 20 ,

en el recinto limitado por: ≤ 0 x ; ≤ 0 y ; ≤ + x y 3.

2.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = + − x3

y3

27 ( ) + x y , en el

recinto limitado por : ≤ 0 y; ≤ + x y 8; ≤ − y x 8.

3.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) =

+ − − x2

2 y2

2 x y 2 ( ) − x 13 , sobre la región plana definida por: ≤ 0 x; ≤ x 2; ≤ 0 y ; ≤ y 1.

4.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = + − + + x2

y2

x y x y ,

sobre la región limitada por ≤ x 0 ; ≤ y 0 ; ≤ −3 + x y.

5.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = − + y3

3 y x2

3 y , sobre

la región plana definida por: ≤ −2 x; ≤ x 2; ≤ −1 y ; ≤ y 1

6.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de

= z + + − + + 3 x2

3 y2

2 x y 8 x 8 y 4 ; sobre la región del primer cuadrante definida por

≤ + x2

y2

4.

7.- Tenemos una piscina rectangular de 4 metros de larga por 2 de ancha. Si fijamos un

sistema de coodenadas en uno de sus vértices, la profundidad la mide la función h(x,y)= Page 21

x

1

3y

1

3 donde (x,y) son las coordenadas de cada punto. Qué profundidad máxima tiene la

piscina y en qué punto la alcanza.

8.- El pirata Ciber tiene su base en una isla de diseño cuyo contorno está dado por: ≤ −2 x ;

≤ x 2; ≤ −3 y; ≤ y 1 y su altura sobre el nivel del mar la proporciona la función h(x,y)=

+ − + + 4 2 x3

6 x 3 y2

y3 donde x e y son las coordenadas de cada punto. Se pide:

1º) Punto más alto del interior de la isla donde tiene su campamento. Punto más bajo del

interior donde tiene las mazmorras y los puntos de silla donde esconde sus tesoros.

2º) Puntos más altos del acantilado, donde sitúa la vigilancia y puntos a nivel del mar, donde

desembarca.

FIN

Page 22