5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema ... · 5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental del cálculo En esta Sección se estudiará

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RELACIÓNENTRE INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN

5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental delcálculo

En esta Sección se estudiará la importante conexion existente entre inte-gración y diferenciación. El tipo de relación entre estos dos procesos es en ciertaforma semejante al que hay entre «elevar al cuadrado» y «extraer la raíz cua-drada». Si se eleva al cuadrado un número positivo y luego se busca la raízcuadrada positiva del resultado, se vuelve al número original. Análogamente, sise calcula la integral de una función continua f se obtiene una nueva función (laintegral indefinida de f) que después de derivada reproduce la función original f.Por ejemplo, si f(x) = x2, una integral indefinida A de f queda definida por:

Ix IX ~ ¿A(x) = f(t) dt = t2 dt = - - - ,e e 3 3

donde e es una constante. Derivando se tiene: A'(x) = x2 = f(x). Este ejemploilustra un resultado general llamado el primer teorema fundamental del Cálculoque se puede enunciar como sigue:

TEOREMA 5.1. PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Sea f unafunción integrable en [a, x] para cada x de [a, b]. Sea e tal que a ~ e ~ b Ydefinamos una nueva función A del siguiente modo:

A(x) = r f(t) dt si

Existe entonces la derivada A'(x) en cada punto x del intervalo abierto (a, b) en elque f es continua, y para tal x tenemos

(5.1) A'(x) = ¡(x) .

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248 Relación entre integración y derivación

Damos primero una justificación geométrica que sugiere el porqué el teore-ma debe ser cierto; luego damos una demostración analítica.

Interpretación geométrica. La figura 5.1 muestra la gráfica de una función fen un intervalo [a, b]. En la figura, h es positivo y

fO:+h r f'"'" f(t) dt = e f(t) dt - e f(t) dt = A(x + h) - A(x) .

El ejemplo es el de una función continua en todo el intervalo [x, x + h]. Porconsiguiente, por el teorema del valor medio para integrales, tenemos

A(x + h) - A(x) = hf(z), donde x ~ z :::;;x + h .

Luego, resulta

(5.2) A(x + h~ - A(x) = f(z) ,

Q x z x + h b

FIGURA 5.1 Interpretación geométrica del primer teorema fundamental del Cálculo.

y, puesto que x ~ z ~ x + h, encontramos que f(z) ~ f(x) cuando h ~ O convalores positivos. Si h ~ O con valores negativos, se razona en forma parecida.Por consiguiente, A'(x) existe y es igual a f(x).

Este razonamiento supone que la función f es continua en un cierto entornodel punto x. No obstante, la hipótesis del teorema se refiere tan sólo a la conti-nuidad de f en un solo punto x. Por consiguiente, para demostrar el teorema bajoesta hipótesis más débil utilizamos un método distinto.

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La derivada de una integral indefinida 249

Demostración analítica. Sea x un punto en el que f es continua y supuestax fija, se forma el cociente:

A(x + h) - A(x)h

Para demostrar el teorema se ha de probar que este cociente tiende a t(x) cuandoh ~ O. El numerador es:

JX+h JX JX+h

A(x + h) - A(x) = e f(t) dt - e f(t) dt = x f(t) dt .

Si en la última integral se escribe f(t) = f(x) - [f(t) - f(x)] resulta:

fX+h fX+hA(x + h) - A(x) = x f(x) dt + x [f(t) - f(x)] dt =

fX+h

= hf(x) + x [J(t) - f(x)] dt ,

de donde

(5.3) A(x + h) - A(x) = f(x) + 1. JX+h[J(t) - f(x)] dt .h h x

Por tanto, para completar la demostración de (5.1) es necesario demostrar que

1 f"lim - [J(t) - f(x») dt = O.h~O h x

En esta parte de la demostración es donde se hace uso de la continuidad de f en x.Si se designa por G(h) el último término del segundo miembro de (5.3),

se trata de demostrar que G(h) ~ O cuando h ~ O. Aplicando la definición delímite, se ha de probar que para cada € > O existe un ó > O tal que

(5.4) G(h) < € siempre que O < h < ó.

En virtud de la continuidad de f en x, dado un € existe un número positivo Ó

tal que:

(5.5) If(t) - f(x) I < t€

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siempre que:

(5.6)

Si se elige h de manera que O < h < 8, entonces cada t en el intervalo (x, x + h]satisface (5.6) y por tanto (5.5) se verifica para cada t de este intervalo. Apli-cando la propiedad IS~+hg(t) dtl ~ S~+hlg(t)1 dt, cuando g(t) = I(t) - I(x), de ladesigualdad en (5.5) se pasa a la relación:

I fX+h I fX+h fX+hx (J(t) - f(x)] dt ~ x If(t) - f(x)1 dt ~ x lE dt = lhE < he .

Dividiendo por h se ve que (5.4) se verifica para 0< h < b. Si h < O, un ra-zonamiento análogo demuestra que (5.4) se verifica siempre que 0< Ihl < 15,lo que completa la demostración.

5.2 Teorema de la derivada nula

Si una función 1 es constante en un intervalo (a, b), su derivada es nula entodo el intervalo (a, b). Ya hemos demostrado este hecho como una consecuenciainmediata de la definición de derivada. También se demostró, como parte c) delteorema 4.7, el recíproco de esa afirmación que aquí se presenta como teoremaindependiente.

TEOREMA 5.2. TEOREMA DE LA DERIVADA NULA. Si I'(x) = O para cada xen un intervalo abierto 1, es f constante en l.

Este teorema, cuando se utiliza combinado con el primer teorema funda-mental del Cálculo, nos conduce al segundo teorema fundamental que se estudiaen la Sección siguiente.

5.3 Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del cálculo

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PRIMITIVA. Una función P se llama primitiva(o antiderivada) de una función f en un intervalo abierto 1 si la derivada de Pes 1, esto es, si P'(x) = I(x) para todo x en l.

Por ejemplo, la función seno es una primitiva del coseno en todo intervaloporque la derivada del seno es el coseno. Decimos una primitiva y no la primi-

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Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del cálculo 251

tiva, porque si P es una primitiva de f también lo es P + k para cualquier cons-tante k. Recíprocamente, dos primitivas cualesquiera P y Q de la misma funciónf sólo pueden diferir en una constante porque su diferencia P - Q tiene la de-rivada

P'(x) - Q'(x) = ¡(x) - ¡(x) = O

para toda x en 1 y por tanto, según el teorema 5.2, P - Q es constante en l.El primer teorema fundamental del Cálculo nos dice que podemos siempre

construir una primitiva de una función continua por integración. Cuando combi-namos esto con el hecho de que dos primitivas de la misma función tan sólodifieren en una constante, obtenemos el segundo teorema fundamental del Cálculo.

TEOREMA 5.3. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. Suponga-mos f continua en un intervalo abierto 1, y sea P una primitiva cualquiera de fen l. Entonces, para cada e y cada x en 1, tenemos

(5.7) P(x) = P(c) + r jet) dt .

Demostración. Pongamos A(x) = f~f(t) dt. Puesto que f es continua en cadax de 1, el primer teorema fundamental nos dice que A'(x) = f(x) para todo x de l.Es decir, A es una primitiva de f en l. Puesto que dos primitivas de f pueden di-ferir tan sólo en una constante, debe ser A(x) - P(x) = k para una cierta cons-tante k. Cuando x = e, esta fórmula implica -P(c) = k, ya que A(c) = O. Porconsiguiente, A(x) - P(x) = -P(c), de 10 que obtenemos (5.7).

El teorema 5.3 nos indica cómo encontrar una primitiva P de una funcióncontinua f. Integrando f desde un punto fijo e a un punto arbitrario x y sumandola constante P(c) obtenemos P(x). Pero la importancia real del teorema radicaen que poniendo la ecuación (5.7) en la forma

(5.8) r jet) dt = P(x) - P(c) .

se ve que podemos calcular el valor de una integral mediante una simple substrac-ción si conocemos una primitiva P. El problema de calcular una integral se hatransformado en otro problema, el de hallar la primitiva P de f. En la práctica,el segundo problema es más fácil de abordar que el primero. Cada fórmula dederivación proporciona de manera inmediata un ejemplo de una primitiva de unacierta función f, de donde resulta una fórmula de integración para dicha función.

De las fórmulas de derivación antes estudiadas, y como consecuencia del se-gundo teorema fundamental, se pueden deducir las siguientes fórmulas de inte-gración

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252 Relaci6n entre integraci6n y derivaci6n

EJEMPLO 1. Integraci6n de potencias racionales. La fórmula de integración

(5.9) (n = O, 1,2, ... )

se demostró directamente en la Sección 1.23 a partir de la definición de integral.Aplicando el. segundo teorema fundamental, puede hallarse de nuevo este resul-tado y además generalizarlo para exponentes racionales. En primer lugar se ob-serva que la función P definida por .

(5.10)xn+1

P(x)=--n + 1

tiene como derivada P'(x) = x" para cada n entero no negativo. De esta igualdadválida para todo número real x, aplicando (5.8) se tiene

Jb bn+1 - an-H

xn dx = P(b) - P(a) = ---" n + 1

para cualquier intervalo [a, b]. Esta fórmula, demostrada para todo entero n ~ Oconserva su validez para todo entero negativo excepto n = - 1, que se excluyepuesto que en el denominador aparece n + 1. Para demostrar (5.9) para n nega-tivo, basta probar que (5.10) implica P'(x) = x" cuando n es negativo y =1= - 1,10 cual es fácil de verificar derivando P como función racional. Hay que tener encuenta que si n es negativo, ni P(x) ni P'(x) están definidas para x = O, y al apli-car (5.9) para n negativo se deben excluir aquellos intervalos [a, b] que contienenel punto x = O.

El resultado del ejemplo 3 de la Sección 4.5, permite extender (5.9) a todoslos exponentes racionales (excepto - 1) siempre que el integrando esté definidoen todos los puntos del intervalo [a, b] en consideración. Por ejemplo, si O<a<by n = - !se tiene:

Jb 1 Jb X1/21

b- dx = x-l!2dx = -1 = 2(y'b - ya).

a yIX a 2~ "

En el capítulo siguiente se definirá una función potencial general f tal quef(x) = XCpara cada exponente real c. Se verá que esta función tiene por derivadaf'(x) = CXC

-1 y por primitiva P(x) = XC+1/(c + 1) si e =1= 1, 10 que permitirá

extender la (5.9) a todo exponente real excepto - 1.Obsérvese que P'(x) = l/x no puede obtenerse por derivación de ninguna

función de la forma P(x) = x". No obstante. existe una función P cuva deri-

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Propiedades de una función deducidas de propiedades de su derivada 253

vada es P'(x) = l/x. Una tal función es evidentemente una integral indefinida dela misma; por ejemplo:

IX1P(x) = - dt

1 tsi x> O.

Esta integral existe, puesto que el integrando es monótono. La función así definidase llama logaritmo (más concretamente, logaritmo natural). Sus propiedades sedesarrollarán de forma sistemática en el capítulo 6.

EJEMPLO 2. Integración de seno y coseno. Puesto que la derivada del senoes el coseno y la del coseno menos el seno, el segundo teorema fundamental dalas fórmulas siguientes:

fb cos x dx = sen x lb = sen b - sen a ,• a a

fb senx dx = (-cosx) lb = cos a - cos b .• a a

Estas fórmulas se conocían ya, pues se demostraron en el capítulo 2 a partir dela definición de integral.

Se obtienen otras fórmulas de integración a partir de los ejemplos 1 y 2tomando sumas finitas de términos de la forma Ax", B sen x, e cos x, dondeA, B, e son constantes.

5.4 Propiedades de una función deducidas de propiedades de su derivada

Si una función f tiene derivada continua /' en un intervalo abierto l , el se-gundo teorema fundamental afirma que

(5.1 t) f(x) = f(c) + r f'(t) dt

cualesquiera que sean x y e en l. Esta fórmula, que expresa f en función de suderivada l', nos permite deducir propiedades de una función a partir de propieda-des de su derivada. Aunque las propiedades siguientes fueron ya discutidas en elcapítulo 4, puede ser de interés ver que pueden deducirse como sencillas conse-cuencias de la igualdad (5.11).

Supongamos que /' es continua y no negativa en l. Si x > e, entoncesJ~/'(t) dt ¿ O, Y por tanto f(x) ¿ f(c). Es decir, si la derivada es continua y nonegativa en l, la función es creciente en l.

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En el teorema 2.9 se demostró que la integral indefinida de una funcióncreciente es convexa. Por consiguiente, si f' es continua y creciente en 1, la igual-dad (5.11) demuestra que f es convexa en l. Análogamente, f es cóncava en losintervalos en los que f' es continua y decreciente.

5.5 Ejercicios

En cada uno de los Ejercicios del 1 al ID, encontrar una primitiva de f; es decir, enconotrar una función P tal que P'(x)= f(x) y aplicar el segundo teorema fundamental para calcu-lar J~f(x) dx.

x ;é O.

6. [(x) = Vh + Vb:2x2-6x+7

7. f(x) = 2~

8. f(x) = 2X1/3 - x-l!3,

9. j(x) = 3 sen x + 2x5•

x> O.1. j{x) = 5x3.

2. j(x) = 4x4 - l2x. x> O.

3. f(r:) = (x + 1)(x3 - 2).

x4+x-34. f(x)= --x-3--

x> O.

x> O. 10. f(x) = X4/3 - 5 cos x.

11. Demostrar que no existe ningún polinomio .¡ cuya derivada esté dada por la fórmulaf'(x) = l/x.

12. Demostrar que H [r] dt = ~xlx! para todo número real x,13. Demostrar que

Ix 2X2

o (t + !tI)2 dt = T (x + Ixl) para todo x real.

14. Una función f es continua para cualquier x y satisface la ecuación

(X f(t) dt = -! + x2 + xsen 2x + Q COS 2x• o

para todo x. Calcular f{!1T) y !'(!1T).

15. Encontrar una función f y un valor de la constante e, tal que:

LX f(t) dt = cos x - t para todo x real.

16. Encontrar una función f y un valor de la constante e, tal que:

feX tf(t) dt = sen x - x cos x - tX2 para todo x real.

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Ejercicios 255

17. Existe una función / definida y continua para todo número real x que satisface unaecuación de la forma:

r" 11X

16X

18

Jo f(t) dt = " t'1(t) dt + 8 + 9" + e,

donde e es una constante. Encontrar una fórmula explícita para /(x) y hallar el valorde la constante c.

18. Una función / está definida para todo real x por la fórmula

f(X) = 3 l" 1 + sen t+ o 2 + t2 dt .

Sin intentar el cálculo de esta integral, hallar un polinomio cuadrático p(x)=a+bx+cx2

tal que p(O)=/(O), p'(O)=/'(O), y p"(O)=/"(O).19. Dada una función g, continua para todo x, tal que g(1) = 5 eH g(t) di = 2. Póngase

f (x) = ~.f~(x - t)2g(t) dt, demostrar que

f'(x) = x Cg(t) dt - r" tg(t) dt ,. o Joy calcular /"(1) y f"'(1).

20. Sin calcular las siguientes integrales indefinidas, hallar la derivada f'(x) en cada caso si/(x) es igual a

21. Sin calcular la integral, calcular f'(x) si / está definida por la fórmula

1'" t6f(x) = -1 -4 dt .,,3 + t

22. En cada caso, calcular /(2) si / es continua y satisface la fórmula dada para todo x <":: O.

(a) J: f(t) dt = x2(l + x) .

f",(b) o f(t) dt = x2(l + x) .

ff(")(c) o t2 dt = x2(l + x) ,

r,,'u+x)f(t) dt = x.

• o(d)

23. La base de un sólido es el conjunto de ordenadas de una función no negativa / en elintervalo [O, a]. Todas las secciones perpendiculares a ese intervalo son cuadrados. Elvolumen del sólido es

a3 - 2a cos a + (2 - a2) sen a

para todo a <":: O. Suponiendo que / es continua en [O, a], calcular /(a).

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24. Un mecanismo impulsa una partícula a 10 largo de una recta. Está concebido de maneraque la posición de la partícula en el instante t a partir del punto inicial O en la rectaestá dado por la fórmula f(t) = !/2 + 2t sen t. El mecanismo trabaja perfectamente hastael instante 1 = 7T en surge una avería inesperada. A partir de ese momento la partícu-la se mueve con velocidad constante (1a velocidad adquirida en el instante 1 = 7T). Cal-cular : a) su velocidad en el instante 1 = 7T; b) su aceleración en el instante t = !7T;

c) su aceleración en el instante t = !7T; d) su posición a partir de O en el instante1 = !7T. e) Hallar el instante 1 > 7T en el que la partícula vuelve al punto inicial O,o bien demostrar que nunca regresa a O.

25. Una partícula se desplaza a 10 largo de una recta. Su posicion en el instante t es f(t).Cuando O ~ t· ~ 1, la posición viene dada por la integral

111 + 2 sen 7TX COS 7TX

[(1) = 1 2 dx ,o +x

(No intentar el cálculo de esta integra1.) Para t é: 1, la partícula se mueve con acelera-ción constante (1a aceleración adquirida en el instante t = 1). Calcular: al su acelera-ción en el instante t = 2; b) su velocidad cuando t = 1; e) su velocidad cuando 1 > 1;d) la diferencia f(t) - f( 1) cuando t > 1.

26. En cada uno de los casos siguientes encontrar una función f (con segunda derivada (continua) que satisfaga a todas las condiciones indicadas, o bien explicar por qué no esposible encontrar una tal función.(a) j"(x) > O para cada x, /'(0) = 1, 1'(1) = O.(b) j"(x) > O para cada x, /'(0) = 1, 1'(1) = 3.(e) (x) > O para cada x, 1'(0) = 1, f(x) ~ 100 para cada positivo x.(d) f"(x) > O para cada x, 1'(0) = 1, f(x) ~ 100 para cada negativo x.

27. Una partícula se mueve a 10 largo de una recta, siendo su posición en el instante t. f(tl.Parte con una velocidad inicial 1'(0) = O Y tiene una aceleración continua f"(1) ?: 6 paratodo t en el intervalo O ~ t ~ 1. Demostrar que la velocidad es nI) ?: 3 para todo t enun cierto intervalo [a, b], donde O -s a < b -s 1. siendo b - a =!.

28. Dada una función f tal que la integral A(x) = S~f(t) dt exista para cada x en un inter-valo [a, b]. Sea e un punto del intervalo abierto (a, b). Considerar las siguientes afirma-ciones relativas a f y A:

a) f es continua en e.b) f es discontinua en e.e) f es creciente en (a, b).d) l' (e) existe.e) l' es continua en c.

a) A es continua en e.13) A es discontinua en e.y) A es convexa en (a, b).Il) A'(e) existe .e) A' es continua en e.

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La notación de Leibniz para las primitivas 257

IX {3 y

aEn una tabla como la dibujada aquí, poner

una T en el cuadrado correspondiente si laafirmación señalada con letra latina implicasiempre la señalada con letra griega. Dejar losdemás cuadrados en blanco. Por ejemplo, si o)implica IX), marcaremos con una T el cuadradode la esquina superior izquierda, etc •...

b

e

d

e

5.6 La notación de Leibniz para las primitivas

Volvamos ahora a estudiar la relación entre integración y derivación. Primerocomentemos un poco la notación introducida por Leibniz.

Hemos definido una primitiva P de una función f como cualquier funciónpara la que P'(x) = f(x). Si f es continua en un intervalo, una primitiva vienedada por una fórmula de la forma

P(x) = rf(t) dt ,• e

y todas las demás pnrmnvas pueden diferir de esa tan sólo en un constante.Leibniz usó el símbolo Sf(x) dx para designar una primitiva general de f. Conesta notación, una igualdad como

(5.12) ff(x) dx = P(x) + e

se considera como otra forma de escribir P'(x) = f(x). Por ejemplo, ya que laderivada del seno es el coseno, podemos escribir

(5.13) J cos x dx = sen x + e .

Análogamente, ya que la derivada de xn+1/(n + 1) es x", podemos escribir

(5.14) J xn+lx't dx =-- + e,

n + 1

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para cualquier potencia racional con tal que n =/= - 1. El símbolo e representauna constante arbitraria de modo que cada una de las igualdades (5.13) y (5.14)es en realidad una afirmación en torno a un conjunto completo de funciones.

A pesar de la semejanza aparente, el símbolo ff(x) dx es conceptualmentedistinto del símbolo de integración f~f(x) dx. Los dos han sido originados porprocesos completamente distintos: la diferenciación y la integración. Sin em-bargo, como estos procesos están relacionados por los teoremas fundamentalesdel Cálculo, hay relaciones entre ambos símbolos.

El primer teorema fundamental indica que cada integral indefinida de fes también una primitiva de f. Por lo cual, en (5.12) se puede sustituir P(x) porf; f(t) dt donde e es un cierto límite inferior y resulta:

(5.15) J f(x) dx = r f(t) dt + e.

Esto indica que se puede considerar el símbolo ff(x) dx como representantede una integral indefinida de [, más una constante.

El segundo teorema fundamental, expresa que para cada primitiva P de fy cada constante e, se tiene:

J: f(x) dx = [P(x) + el 1: .

Si se sustituye P(x) + e por ff(x) dx, esta fórmula se puede escribir en la forma:

(5.16) J: f(x) dx = Jf(x) dx 1: .

Las dos fórmulas (5.15) y (5.16) pueden considerarse como una expresionsimbólica de los teoremas primero y segundo fundamentales del Cálculo.

Debido a una larga tradición, muchos tratados de Cálculo consideran elsímbolo ff(x) dx como representante de una "integral indefinida" y no de unafunción primitiva o antiderivada. Esto está justificado, en parte, por la ecua-ción (5.15) que dice que el símbolo ff(x) dx es, además de una constante adi-tiva e, una integral indefinida de f. Por la misma razón, muchos formularios deMatemática contienen extensas listas de fórmulas llamadas «tablas de integralesindefinidas» siendo en realidad tablas de funciones primitivas. Para distinguir elsímbolo ff(x) dx de J:: f(x) dx el último se denomina integral definida. Puestoque el segundo teorema fundamental reduce el problema de la integración alde buscar primitivas, la expresión «técnica de integración» se refiere al estudio deun método sistemático para hallar primitivas. Esta terminología se encuentramuchísimo en la literatura matemática y se adoptará también en este libro. Así,

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Integración por sustitución 259

por ejemplo, cuando se pide la «integral» ff(x) dx se ha de entender que lo quese desea es la primitiva más general de f.

Principalmente se siguen tres técnicas en la construcción de tablas de inte-grales indefinidas, que ha de conocer todo el que desee manejar ágilmente elinstrumento del Cálculo. Son 1) integración por sustitución (que se expondrá enel apartado que sigue), método basado en la regla de la cadena; 2) integraciónpor partes, método basado en la fórmula de diferenciación de un producto (quese expondrá en el apartado 5.9); y 3). integración por descomposición en frac-ciones simples, que es una técnica algebraica que se discutirá al final del capí-tulo 6. Estas técnicas no sólo explican cómo se han construido las tablas deintegrales indefinidas, sino que también enseñan a transformar ciertas integrales,reduciéndolas a otras básicas que se encuentran en las tablas.

5.7 Integración por sustitucion

Sea Q la composición de dos funciones P y g, es decir Q(x) = P[g(x)]para todo x en un cierto intervalo l. Si conocemos la derivada de P, seaP'(x) = f(x), la regla de la cadena nos dice que la derivada de Q viene dada porla fórmula Q'(x) = P'[g(x)]g'(x). Puesto que P' = f, esto nos asegura queQ'(x) = f[g(x)]g'(x). En otras palabras

(S.17) P'(x) = f(x) implica Q'(x) = j[g(x)]g'(x) .

Con la notación de Leibniz, esta afirmación puede escribirse del modo siguiente:

Si tenemos la fórmula de integración

(S.18) Jf(x) dx = P(x) + e,

tenemos también la fórmula más general

(S,19) Jf[g(x)]g'(x) dx = P[g(x)] + e .

Por ejemplo, si f(x) = cos x, en la (5.18) deberá ponerse P(x) = sen x, demodo que (5.19) se convierte en

(S.20) J cos g(x) . g'(x) dx = sen g(x) + e .En particular, si g(x) = x\ se obtiene

J cos x3• 3x2 dx = sen x3 + e ,

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resultado que se comprueba directamente y con facilidad puesto que la derivadade sen xa es 3x2 cos x",

Observemos ahora que la fórmula general (5.19) está relacionada a la (5.18)por un sencillo proceso mecánico. Supongamos que en (5.19) sustituimos g(x) porun nuevo símbolo u y reemplacemos g'(x) por du/dx, según la notación de Leibnizpara las derivadas. Entonces la (5.19) se transforma en

f duf(u)-dx = P(u) + e.dx

Al llegar aquí uno está fuertemente tentado de reemplazar la combinación du dxdx

por duo Si lo hacemos, la última fórmula toma el aspecto

(5.21) J f(u) du = P(u) + e.

Obsérvese que esta fórmula tiene exactamente la misma forma que (5.18), salvoque en todas partes en vez del símbolo x aparece el símbolo U. Es decir, cadafórmula de integración tal como (5.18) puede dar lugar a otra más general sinmás que hacer una simple sustitución de -símbolos. Se sustituye x en (5.18) porun nuevo símbolo u para obtener (5.21), y después se considera que u representauna nueva función de x, tal como u = g(x). Reemplazamos entonces el símbolodu por la combinación g'(x) dx, y la igualdad (5.21) se reduce a la fórmula gene-ral (5.19).

Por ejemplo, si sustituimos x por u en la fórmula f cos x dx = sen x + e,obtenemos

r cos u du = sen u + e.En esta última fórmula, u se puede reemplazar por g(x) y du por g'(x) dx, y re-sulta una fórmula correcta de integración (5.20).

Cuando este proceso mecánico se usa a la inversa, conduce al llamado métodode integración por sustitución. El objeto de este método es transformar una in-tegral con un integrando complicado, tal como f3x2 cos x3 dx, en una integralmás sencilla, como la f cos u duo El método es aplicable siempre que la integraloriginal puede escribirse en la forma

Jj[g(x)]g'(x) dx ,

ya que la sustitución

u = g(x), du = g'(x) dx ,

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la transforma en If(u) duo Si se sabe efectuar esta integración, obtenemos unaprimitiva, llamémosla P(u), y la integral original se obtiene sustituyendo u porg(x) en la fórmula de P(u).

El lector puede comprobar que no hemos atribuido significado alguno a lossímbolos dx y du como tales. Se utilizan como instrumentos puramente for-males que nos ayudan a tratar las operaciones matemáticas en forma mecánica.Cada vez que utilizamos el método, estamos en realidad aplicando la afirma-ción (5.17).

El éxito de este método depende de la habilidad en determinar la parte deintegrando que se ha de substituir por el símbolo u, y esta habilidad se adquierecon la experiencia que se logra resolviendo casos particulares. Los ejemplosespecialmente seleccionados que se dan a continuación enseñan la manera deaplicar este método en la práctica.

EJEMPLO 1. Integrar Ix:l cos x4 dx.

Solución. Se trata de encontrar f y g adecuadamente para poder escribirx3 cos x4 en la forma f[g(x)]g'(x). Puesto que cos x4 es una función compuesta,se puede tomar f(x) = cos x y g(x) = x4

, y de esta manera cos x4 se expresaen la forma j[g(x)]. Con esta elección de g es g'(x) = 4x3 y por tantoj[g(x)]g'(x) = (cos x4)(4.0). El factor 4 que aparece de más, se puede introducirfácilmente multiplicando y dividiendo el integrando por 4. Así se tiene:

x3 cos x4 = i(cos x4)(4x3) = U[g(x)]g'(x).

Haciendo ahora la sustitución u = g(x) = x4, du = g'(x) dx = 4x3 dx, se tiene

J x3 cos x4 dx = !J f(u) du = !J cos u du = l' sen u + e .

Sustituyendo u por x4 en el resultado final, se obtiene la fórmula:

J x3 cos x4 dx = 1sen x4 + e ,

que se puede comprobar directamente por derivación.Cuando se tiene un poco de práctica algunos de los pasos se efectúan men-

talmente, y el cálculo se realiza de manera breve como sigue:

Sea u = x": entonces, du = 4x:J dx, y se obtiene:

J .\::1 <:05;(4dx = +J (cos ;(4)(4;(3 dx) = t J cos u du = tsen u + e = tsen;(4 + c.

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Obsérvese que el método se puede aplicar en este ejemplo, porque el exponentedel factor x3 es el de x en cos x4 disminuido en una unidad.

EJEMPLO 2. Integral f cos" xsenx dx.

Solución. Sea u = cos x. entonces du = -senx dx, y se tiene

f cos" xsenx dx = - f(COS x)2(-senx dx) = - fu2dU = _ ~3 + C =_ CO~3x -r c.

También aquí se comprueba fácilmente el resultado final por derivación.

EJEMPLO 3. Integrar Jse~~~ dx.

Solución. Sea u=v~ =XI/2, entonces du =!rl/2 dx o sea dx/V;=2 duoPor tanto,

f~VX J .rvx dx = 2 sen u du = - 2 cos u + C = - 2 cos v x + C .

EJEMPLO 4. f xdxIntegrar . ~ .

vl+x-

Solución. Sea u = 1 + x2, entonces du = 2x dx, es decir x dx = !du, yse obtiene:

El método de sustitución es igualmente aplicable a las integrales definidas.Por ejemplo, para calcular la integral definida Sg/2 cos" x sen x dx se determinaprimero la integral indefinida, como se hizo en el ejemplo 2, y luego haciendouso del segundo teorema fundamental se puede escribir:

J"12 1 1"12 1(7t' )cos" x sen x dx = - - cos" X = - - cos" - - cos" Oo 3 o 3 2

13

Algunas veces interesa aplicar el segundo teorema fundamental a la integralexpresada en función de u; sin embargo, en este caso se han de introducir pre-

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cisamente unos nuevos límites de integración. En primer lugar se presentaráun ejemplo en el que se ponga de manifiesto el método que se sigue, y despuésse justificará el proceso con un teorema general.

EJEMPLO 5. e 1 1 13 (x + 1) dxa cu ar .2Vx2+2x+3

Solución. Sea u = x2 + 2x + 3. Entonces du = (2x + 2) dx y por tanto,

(x + 1) dx 1 duV x2 + 2x + 3 = 2" vu .

Para obtener los nuevos límites de integración se tiene en cuenta que u = 11 six = 2 Y que u = 18 si x = 3, Y en consecuencia es:

(3 (x + 1) dx = 1 f18U-1/2 du = VU /18 = VI8 _ V1i .J 2 V x2 + 2x + 3 2 11 11

Al mismo resultado se llega cuando se expresa todo en función de x.

53 (x + 1) dx = Vx2 + 2x + 313= Vi8 - Vli .

2 Vx2 + 2x + 3 2

Demostramos ahora un teorema general que justifica el proceso seguido enel ejemplo 5.

TEOREMA 5.4. TEOREMA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES. Supongamosque g tiene una derivada continua g' en un intervalo abierto l. Sea' el conjuntode valores que toma g en 1 y supongamos que f es continua en [, Entonces paracada x y cada e en 1, tenemos

(5.22) r j[g(t)]g'(t) dt = J:(~~)f(u) du .

Demostración. Sea a = g(c) y definamos dos nuevas funciones P y Q delsiguiente modo:

P(x) = rxf(u) du

• asi x EJ, Q(x) = r j[g(t)]g'(t) dt si x El.

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Puesto que P y Q son integrales indefinidas de funciones continuas, tienen deri-vadas dadas por las fórmulas

P'(x) = f(x), Q'(x) = f[g(x)]g'(x).

Llamemos ahora R a la función compuesta, R(x) = P[g(x)]. Con la regla dela cadena, encontramos

R'(x) = P'[g(x)]g'(x) = f[g(x)]g'(x) = Q'(x).

Aplicando dos veces el segundo teorema fundamental, obtenemos

fUI",) fue",)f(u) du = P'(u) du = P[g(x)] - P[g(c)] = R(x) - R(c) ,

ule) ule)

y rf[g(t)]g'(t) dt = rQ'(t) dt = r R'(t) dt = R(x) - R(c) .

Esto demuestra que las dos integrales (5.22) son iguales.

5.8 Ejercicios

El) los ejercicios del 1 al 20, aplicar el método de sustitución para calcular las integrales.

1. f V2X+1 dx. 9. f:/4cos 2xV' 4 - sen 2x dx.

f sen xdx10. (3 + COS X)2 •

f senxdx11. .~.

-V cos" X

18sen yt';"+l dx12. . r-;--; .

3 -vx+l

13. f xn-1 sen xn dx, n "" O.

f xádx14. • r,--¡'-vI -xe

15. ft(1 +t)1/4dt.

16. J(X2 + 1)-3/2dx.

2·fx~dx.

3·f~dx.

f1/3 xdx4.. ~.

-2/3 V 2 - 3x

f (x + 1) dx5. (x2 + 2x + 2)3 •

6. fsen3 x dx.

7. f z(z - 1)l/3 dz,

fCOSXdx8. . 3 •sen X

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Eiercicios 265

17. Ix2(8x3 + 27)2/3dx.

f (senx + cos x) dx18. (senx _ cos X)1/3 .

Jxdx

19. -¡====::::;::::===:===-VI + x2 + V(l + x2)3

f (X2 + 1 - 2X)1/5 dx20. 1 .-x

21. Deducir las fórmulas de los teoremas 1.18 y 1.19 por medio del método de sustitución.22. Sea

i'" tPF(x, a) = ( 2 2) dt,

o t+aq

donde a> O y p y q son enteros positivos. Demostrar que F(x, a) = aP+1-2QF(x!a, 1).23. Demostrar que

Ji dt 11/'" dt

1+t2= 1+t2

'" 1

si x> O.

24. Demostrar que

I: xm(l - x)" dx = I: xn(l - x)m dx .

si m y n son enteros positivos25. Demostrar que

J~/2 f~/2o cos'" x sen'" x dx = 2-m o cos?' x dx.

si m es un entero positivo.

26. (a) Demostrar que

r 7ri~x/(sen x) dx = - tesen x) dx .o 2 o

[Indicación: u = tr - x].

(b) Aplicar (a) para deducir la fórmula:

i~x senx i1 dx---- dx = 7r ---o 1 + cos" x o 1 + x2 •

27. Demostrar que H (1 - x2)n-l/2 dx = J~/2 cos2n U du si n es un entero positivo. [Indica-ción: x = sen u.] La integral del segundo miembro se puede calcular por el método deintegración por partes que se expondrá en la Sección siguiente.

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266 Relacián entre integraci6n y derivaci6n

5.9 Integración por partes

Se demostró en el capítulo 4 que la derivada de un producto de dos fun-ciones f y g está dada por la fórmula:

h'(x) = f(x)g'(x) + j'(x)g(x) ,

donde h(X) = f(x) . g(x). Traduciendo esto a la notación de Leibniz para pri-mitivas se tiene f f(x)g '(x) dx + f f'(x)g(x) dx= f(x)g(x) + e, que se escribeusualmente en la forma

(5.23) f f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - f f'(x)g(x) dx + e .

Esta igualdad, conocida por fórmula de integraci6n por partes, da lugar a unanueva técnica de integración.

Para calcular una integral, por ejemplo f k(x) dx, aplicando (5.23), se hande encontrar dos funciones f y g de manera que k(x) se pueda escribir en laforma f(x)g'(x). Si esto es posible, aplicando (5.23) se tendrá:

f k(x) dx = f(x)g(x) - f g(x)f'(x) dx + e,

reduciéndose el cálculo de la integral dada al de la f g(x)j'(x) dx. Para queel método sea eficaz se han de elegir f y g adecuadamente, de manera que estaúltima integral pueda calcularse con más facilidad que la original. Algunasveces, reiterando la aplicación de (5.23) se llega a una integral de más fácilcálculo o que se encuentra en la tabla. Los ejemplos resueltos a continuaciónponen de manifiesto las ventajas de este método. En el caso de integrales defi-nidas, la fórmula (5.23) se transforma en

I: f(x)g'(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - I:f'(x)g(x) dx .

Poniendo u = f(x) y v = g(x) se tiene du. = f'(x) dx. y dv = g'(x) dx y lafórmula de integración por partes toma una forma abreviada que parece másfácil de recordar:

(5.24) f u dv = uv - f v du + e .

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Integración por partes 267

EJEMPLO 1. Integrar Ix cos x dx.

Solución. Se elige ¡(x) = x y g'(x) = cos x, de donde f'(x) = 1 Y g(x) == sen x y en virtud de (5.20) se tiene:

(5.25) J x cos x dx = x senx - J sen x dx + e = xsen x + cos x + c.

Obsérvese que en este caso, la segunda integral ya es conocida.

Para efectuar el mismo cálculo utilizando la notación abreviada de (5.24) seescribe:

u = x, dv = cos x dx,

du = dx, v = Jcos x dx = sen x ,

J x cos x dx = uv - J v du = x sen x - J sen x dx + e = x sen x + cos x + e .

Si se hubiera elegido u = cos x y dv = x dx, de donde du = - sen x dxy v = iX2, y (5.24), resultaría:

J xcos x dx =tx2COS X - t J x2

( -senx) dx + e = tx2 cosx + t J x2 senx dx+ C.

Como la última integral que aparece no ha sido todavía calculada, esta elecciónde u, v no es útil para el cálculo de la integral dada. Obsérvese, sin embargo,que esta última ecuación podría resolverse respecto a Ix2 sen x dx y aplicar(5.25) con lo cual se obtendría:

J x2 sen x dx = 2x sen x + 2 cos x - x2 cos x + e .

EJEMPLO 2. Integrar Ix2 cos x dx.

Solución. Sea u = x2 y dv = cos x dx, entonces du = 2xdx y v =I cos x dx = sen x, con lo cual se tiene:

(5.26) f x2cosxdx = J u dv = uv - f vdu + e = x2senx - 2 f xsenxdx + c.

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Esta última integral se puede calcular aplicando de nuevo el método de integra-ción por partes. Puesto que es análogo al ejemplo 1, se puede escribir directa-mente el resultado

I x senx dx = -x cos x + sen x + c.

Sustituyendo en (5.26) y agrupando las dos constantes arbitrarias en una, setiene:

I x2 cos x dx = x2 sen x + 2x cos x - 2 sen x + e .

EJEMPLO 3. Algunas veces el método falla porque conduce de nuevo a laintegral original. Por ejemplo, al intentar calcular por partes la integralfx-1 dx. Si se hace u = x y dv = x-2dx, entonces [x:: dx = fu dv. Con estaelección de u y v se tiene du = dx y v = - x-1 de manera que (5.24) da:

(5.27) I x-1 dx = I u dv = uv - I v du + e = -1 + I x-1 dx + e,

y se vuelve al punto de partida. Por otra parte, la situación no mejora si se in-tenta u = xn y dv = x-n-1 dx.

Este ejemplo se usa con frecuencia para evidenciar la importancia de noolvidar la constante arbitraria C. Si en la fórmula (5.27) no se hubiera escritola e, se hubiera llegado a la ecuación fx-1 dx = - 1 + fx-1 dx que se utilizaalgunas veces para dar una aparente demostración de que O = - 1.

Como aplicación del método de integración por partes, se obtiene otra ver-sión del teorema del valor medio ponderado para integrales (teorema 3.16).

TEOREMA 5.5. SEGUNDO TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES.

Supongamos que g es continua en [a, b], y que f tiene derivada continua y quenunca cambia de signo en [a, b]. Entonces, para un cierto e de [a, b], tenemos

(5.28) 1:f(x)g(x) dx = f(a) I: g(x) dx + f(b) r g(x) dx .

Demostración. Sea G(x) = J~g(t) dt. Como que g es continua, tenemosG'(x) = g(x). Por consiguiente, la integración por partes nos da

(5.29) 1:f(x)g(x) dx = r f(x)G'(x)dx = f(b)G(b) - r j'(x)G(x) dx ,

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Ejercicios 269

puesto que G(a) = O. Según el teorema del valor medio ponderado, se tiene

f f'(x)G(x) dx = G(e) f f'(x) dx = G(e)[f(b) - fea)]

para un cierto e en [a, b]. Por consiguiente (5,29), se convierte enf: f(x)g(x) dx = f(b)G(b) - G(e)[f(b) - fea)] = f(a)G(e) + f(b)[G(b) - G(e)] .

Esto demuestra (5.28) ya que G(c) = f~g(x) dx y Gib) - G(c) = f~g(x) dx,

5.tO Ejercicios

Con el método de integración por partes calcular las integrales de los Ejercicios 1 al 6.

1. J x sen x dx. 4. f x3sen x dx.

2. J x2 senx dx. 5. fsen x cos x dx.

3. JX3 cos x dx. 6. J x sen x cos x dx.

7. Con la integración por partes deducir la fórmula

Jsen2 x dx = -senx cos x + J cos'' x dx .

En la segunda integral, poner cos'' x = 1 - sen2 x y así deducir la fórmula

Jsen2 x dx = ix - tsen 2x.

8. Integrando por partes deducir la fórmula

Jsenn x dx = -senn-1 x cos x + (n - 1) Jsenn-2 x cos2 x dx ,

En la segunda integral, poner cos-x = 1 - sen- x y con eso deducir la fórmula recurrente

f senn-1x COS x n - IIsen" x dx = - n + -n- senn-2 x dx.

9. Con los resultados de los Ejercicios 7 y 8 demostrar que

("/2(a) Jo sen2 x dx = ¡.

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270 Relaci6n entre integraci6n y derivaci6n

1"/2 3 1"/2 31T(b) o sen4 x dx = ¡ o sen2 x dx = '16 .

1"/2 . 5 1"/2 51T(c) sen6 x dx = - sen4 x dx = - .

o 6 o 32

10. Con los resultados de los Ejercicios 7 y 8 deducir las siguientes fórmulas.

(a) Jsen3 x dx = -! cos x + /2 cos 3x.

(b) Jsen4 x dx = ix - !sen2x + l2 sen4x.

(c) Jsen>x dx = -ix + 4\ cos 3x - jo cos 5x.

11. Con la integración por partes y los resultados de los Ejercicios 7 y 10 deducir las si-guientes fórmulas.

(a) J xsen" x dx = !x2 - !x sen 2x - t cos 2x.

(bj Jxsen" x dx = ! senx - la sen 3x - !x cos x + lo¡; x cos 3x.

(c) Jx2 sen2 x dx = ir + (t - !x2) sen 2x - !x cos 2x.

12. Integrando por partes deducir la fórmula recurrente

fcosn-lxsenx n-tf

cos" x dx = n + -n- cosn-2x dx .

13. Utilizar el resultado del Ejercicio 12 para obtener la fórmula siguiente.

(a) Jcos2 x dx = tX + !sen2x.

(b) JCos3xdx = !senx + n-sen3x.

(c) Jcos4xdx =lx +!sen2x +nsen4x.

14. Integrando por partes demostrar que

f~dx=x~+fhdx.

Poner x2 = x2 - 1 + 1 en la segunda integral y deducir la fórmula

f~dX=t~+tfvbdX.

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Ejercicios 271

15. a) Usar la integración por partes para deducir la fórmula

b) Utilizar la parte a) para calcular fg (a2 - X2)5/2 dx.

16. (a) Si In(x) = f~tn(t2 + a2)-1/2 dt, aplicar el método de integración por partes parademostrar que

si n ~ 2.

(b) Aplicando (a) demostrar que f~X5(X2 + 5)-112 dx = 168/5 - 40V5/3.

17. Calcular la integral f:1 t3(4 + t3)-1I2 dt, sabiendo que f:1 (4 + t3)1/2 dt = 11,35. De-

jar el resultado en función de V3 y V3l.


fsenn+1x 1 sennx n fsenn-1x---dx =--- -- ---dx.cosm+l X m cos?' X m cosm-1 X

Aplicar la fórmula para integrar f tan" x dx y f tan! x dx.


fcosm+l X dx = _ ~ cosm X _ ~f cosm-1 X dx.senn+1 x n sen" x n senn-1 x

Utilizar la fórmula para integrar f cot" x dx Y f cor' X dx,

20. a) Hallar un entero n tal que n H xj"(2x) dx = fg t{"(t) dt.b) Calcular n xj"(2x) dx, sabiendo que feO) = 1, f(2) = 3, Y f'(2) = 5.

21. a) Si c/>" es continua y no nula en [a, b], y si existe una constante m> O tal quec/>'(t)~ m para todo t en [a, b], usar el teorema 5.5 para demostrar que

I f sen c/>(t)dt I ~ ~ .[Indicación: Multiplicar y dividir el integrando por .p'(t).]

b) Si a > O, demostrar que IJ~sen (t2) dtl ~ 2/a para todo x > a.

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*5.11 Ejercicios de repaso1. Sea f un polinomio tal que f(O) = 1 Y sea g(x) = x"f(x). Calcular g(O), g'(O), ... , j'(0).2. Hallar un polinomio P de grado :S 5 tal que P(O) = 1, P(1) =2, P'(O) = P"(O) =

= P'(1) = r(1) = O.3. Si f(x) = cos x y g(x) = sen x, demostrar que

f(n)(x) = cos (x + tn1T) y g(n)(x) = sen (x + tn1T).

4. Si h(x) = f(x)g(x), demostrar que la derivada n-ésima de h viene dada por la fórmula

h(n)(x) = !(~)f(k)(x)g(n-k)(x),k=O

en donde (~) representa el coeficiente binomial. Esta es la llamada fórmula de Leibniz.5. Dadas dos funciones f y g cuyas derivadas l' y g' satisfacen las ecuaciones

(5.30) ['(x) =g(x) , g'(x) = -f(x), f(O) = O, g(O) = 1,

para todo x en un cierto intervalo abierto J que contiene el O. Por ejemplo, esas ecua-ciones se satisfacen cuando f(x) = sen x y g(x) = cos x,a) Demostrar que f2(X) +g2(X) = 1 para todo x de [,b) Sean F y G otro par de funciones que satisfagan (5.30). Demostrar que F(x) = f(x) yG(x) = g(x), para todo x de J.[Indicación: Considerar h(x) = [F(x) - f(x)]! + [G(x) - g(x)]!.]e) ¿Qué más se puede decir acerca de las funciones f y g que satisfacen (S.30)?

6. Una función [, definida para todo número real positivo, satisface la ecuación f(x2) = x3

para cada x > O. Determinar 1'(4).7. Una función g definida para todo número real positivo satisface las dos condiciones si-

guientes: g(1) = 1 y g'(x2) = x3 para todo x > O. Calcular g(4).8. Demostrar que

1."'sen t d-- t ~Oo t + 1

para todo x ~ O.

xoFIGURA 5.2 Ejercicio 9.

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Ejercicios de repaso 273

9. Sean C1 y C2 dos curvas que pasan por el origen tal como se indica en la figura 5.2.Una curva C se dice que «biseca en área» la región entre C1 y C2, si para cada punto Pde C las dos regiones A y B sombreadas en la figura, tienen la misma área. Determinarla curva superior C2, sabiendo que la curva bisectriz C tiene de ecuación y = x2 y quela curva inferior C1 tiene de ecuación y =t x2•

10. Una función f está definida para todo x como sigue:

{

x2

f(x) = Osi x es racional,

si x es irracional.

Póngase Q(h) = f(h)/h si h ~ O. a) Demostrar que Q(h) ~ O cuando h ~ O. b) De-mostrar que f tiene derivada en O, y calcular {'(O).

En los ejercicios 11 al 20, calcular las integrales dadas. Intentar la simplificación de loscálculos utilizando el método de sustitución o la integración por partes cuando sea posible.

11. J(2 + 3x) sen 5x dx.

12. Jx~dx.

13. f2X(X2 - 1)9 dx.

(1 2x + 314. Jo (6x + 7)a dx,

15. J ,0(l + xS)S dx,

16. J:,0(1 - x)2°dx.

17. (\-2 sen ~ dx.J1 X

18. Jsen ~ dx.

19. Jx sen x2 cos x2 dx.

20. JVI + 3 cos" x sen2x dx.

21. Demostrar que el valor de la integral H 375xS(x2 + 1)-4 dx es 2n para un cierto en-tero n.

22. Determinar un par de números a y b para los cuales H (ax + b)(x2 + 3x + 2)-2 dx == 3/2.

23. Sea In = S~(l - x2)n dx. Demostrar que (2n + I)In = 2n In-1, Y utilizar esta relación

12, la, 14, Y Is·24. Sea F(m, n) = g tm(1 + t)n dt, m > O, n > O. Demostrar que

(m + 1)F(m, n) + nF(m + 1, n - 1) = xm+l(l + x)",

Utilizar este resultado para calcular F(lO, 2).

25. Sea [en) = S~/4 tan" x dx donde n ~ 1. Demostrar que

(a) f(n + 1) <f(n).

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1(b) f(n) +f(n - 2) = n _ 1 si n > 2.

1 1(c) --1 < 2f(n) < --1 si n > 2.n+ n-

26. Calcular 1(0), sabiendo que 1('1T) = 2 Y que gCf(x) +j"(x)] senx dx = 5.27. Designar por A el valor de la integral

(" cos xJo (x + 2)2 dx .

y calcular la siguiente integral en función de A:

1,,/2sen x cos x----dx.

o x + 1

Las fórmulas de los Ejercicios 28 al 33 aparecen en tablas de integrales. Comprobar cadauna de ellas por cualquier otro método.

28. f~ dx =2ya +bx +af . ~b + c.x xva + DX

29. fXflyaX + b dx = 2 (xfl(ax + b)3/2 - nbfxfl-lyax + b dx) + C(n ;o/i -!).a(2n + 3)

30. f ~dx = (2m: l)b(xmya + bx - maf ~dX) + C (m;o/i -t)·

31. f dx = - ~ - (2n - 3)af dx + C (n;o/i 1).xflyax + b (n - l)bxfl-1 (2n - 2)b xfl-1Yax + b

f

cosm X cosm-1 X m - lfcosm-2 x32. --dx = +-- ---dx +C (m ;o/in).

sen" x (m - n)senfl-1x m-n sen" x

f

cosm X cosmH x m-n + 2f cos?' x33. --dx = - -~~~- - ---- ---dx + C (n;o/i 1).sen" x (n - l)senfl-1 x n - 1 senfl-2 x

34. a) Encontrar un polinomio P(x) tal que P'(x) - 3P(x) = 4 - 5x + 3x2• Demostrar queexiste una sola solución.b) Si Q(x) es un polinomio dado, demostrar que existe uno y sólo un polinomio P(x)tal que P'(x) - 3P(x) = Q(x).

35. Una sucesión de polinomios (llamados polinomios de' Bernou/li) se define por induccióncomo sigue:

Po(x) = 1; y J~Pfl(X) dx "" O si n ~ 1.

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Ejercicios de repaso 275

a) Determinar fórmulas explícitas para Plx), P2(x), ... , P5(x).b) Demostrar, por inducción, que Pn(x) es un polinomio en x de grado n, siendo el tér-mino de mayor grado x".c) Demostrar que Prt(O) = Pn(l) si n ;:::2.d) Demostrar que Pn(x + 1) - Pn(x) = nxn-1 si n ¿ 1.e) Demostrar que para n ::::;2 tenemos

k~l ik P (k) P (O)2 n - P ( ) d - n+l - n+lr - nX X - l'o n +r~l

f) Demostrar que Pn(l - x) = (_l)npn(x) si n ¿ 1.

g) Demostrar que P2n+l(0) = O y P2n-1(t) = O si n ¿ 1.36. Suponiendo que 1f"(x)1 ::::; m para cada x en el intervalo [O, aJ, y que f toma su mayor

valor en un punto interior de este intervalo, demostrar que 11'(0)1+ I'(a)j ::::; amo Puede su-ponerse que /"sea continua en [O, aJ.

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5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema ... · 5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental del cálculo En esta Sección se estudiará