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CLCULOINTEGRALES INDEFINIDAS
Rubn Zrate RojasIngeniero Civil Ingeniero IndustrialMagster en Ingeniera IndustrialMagster en Ingeniera Civil
Ing. Rubn Zrate Rojas 2
El Problema
Dada una funcin f(x), hallar otrafuncin F(x) cuya derivada sea igual af(x), es decir F(x)=f(x)
Ing. Rubn Zrate Rojas 3
Primitiva
Si en todos los puntos del intervalo[a,b] se verifica que F(x)=f(x), lafuncin F(x) se llama PRIMITIVA de lafuncin f(x).Si F1(x) y F2(x) son dos funcionesprimitivas de la funcin f(x) en elintervalo [a,b], su diferencia es unaconstante, es decir F1(x) - F2(x)=C.
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Definicin
Si la funcin F(x) es una funcinprimitiva de la funcin f(x), laexpresin F(x)+C se llamaINTEGRAL INDEFINIDA de lafuncin f(x)
Ing. Rubn Zrate Rojas 5
Definicin
Dondef(x): integrandof(x) dx: elemento de integracinC: constante arbitraria
( ) ( )f x dx F x C= +Se designa mediante el smbolo
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Propiedades
( )( ) ( )1. f x dx ' f x=( )( ) ( )2. d f x dx f x dx=( )( ) ( )3. d F x F x C= +
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Propiedades
( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 24. f x f x dx f x dx f x dx+ = + ( ) ( )5. af x dx a f x dx=
( ) ( )16. f ax dx F ax Ca
= +( ) ( )7. f x b dx F x b C+ = + +( ) ( )18. f ax b dx F ax b C
a+ = + +
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Casos de Integracin
1. Inmediatas2. Sustitucin3. Trinomio cuadrado4. Por partes5. Racionales6. Irracionales7. Trigonomtricas8. Exponenciales
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I. Inmediata
n 1n x1. x dx C
n 1
+
= ++
dx2. lnx Cx
= +
3. senx dx cos x C= +
4. cos x dx senx C= +25. sec x dx tgx C= +
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I. Inmediata
26. cosec x dx cot gx C= +
( )7. tgx dx ln cosx C= +
xx a9. a dx C
lna= +
( )8. cotgx dx ln senx C= +
x x10. e dx e C= +
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I. Inmediata
= ++ 2dx11. arc tgx C
1 x= +
+ 2 2dx 1 x12. arc tg C
a x a a
= +
2 2dx 1 a+x13. ln C
a x 2a a-x= +
2 2dx 1 x-a14. ln C
x a 2a x+a
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I. Inmediata
= +
2dx15. arc senx C
1 x= +
2 2dx x16. arc sen C
aa x
= + +
2 22 2
dx17. ln x x a Cx a
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I. Inmediata
= +18. senhx dx coshx C
= +19. coshx dx senhx C
= + 2dx20. tanhx C
cosh x= + 2
dx21. cothx Csenh x
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es f(x) continua
II. Integracin por sustitucin
Sea g(x) una funcin cuyo recorrido es un intervalo I, y sea f(x) una funcin continua en I. Si g(x) es derivable en su dominio y F(x) es una primitiva de f(x) en I, entonces:
( ) ( ) ( ) = + f g x g' x dx F g x CSi u = g(x), entonces du = g(x) dx y
( ) ( )= + f u du F u C
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II. Integracin por sustitucin
Tcnica de integracin por sustitucinEscoger una expresin para u = g(x). Calcular du = g(x) dx.Reemplazar todos los trminos en el integrando original con expresiones que involucren a u y du.Calcular la integral resultante en u. Reemplazar todos los trminos en u, con la correspondiente expresin en x.Verificar la respuesta por derivacin.
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III. Integrales que contienen un trinomio de segundo grado
A. Integrales de la forma + + 2dx
ax bx cSe transforma el denominador en suma o diferencia de cuadrados
+
=
22
2
1
ka
bx
dxa ++ cbxax
dx2
22
2
4k
a
ba
c =
= 22
1kt
dta ++ cbxax
dx2
ta
bx =+
2dtdx =Sustitucin de:
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III. Integrales que contienen un trinomio de segundo grado
B. Integrales de la forma ( ) +++
cbxaxdxBAx
2
Transformamos la integral completando cuadrados y agrupando trminos
( )++ + 2
Ax B dxax bx c
( ) + +
=
+ + 2
A Ab2ax b B2a 2a dx
ax bx c
considerando como la suma de dos integrales ser
( )+ = + = + + + + +
o 1 22 22ax bA Ab 1I dx B dx I I
2a 2aax bx c ax bx crealizando cambio de variables en la integral en la I1
+ + =2ax bx c t ( )+ =2ax b dx dt
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III. Integrales que contienen un trinomio de segundo grado
( )+=
+ +1 22ax bAI dx
2a ax bx c=
A dt2a t
La integral I2 se resuelve como el caso III.A
C. Integrales de la forma
D. Integrales de la forma
+ + 2
dxax bx c( )+
+ + 2
Ax B dxax bx c
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IV. Integracin por partes
Se basa en la frmula de la derivada de un producto
donde u y v son funciones derivables de x. Si u y v son continuas podemos integrar la ecuacin
[ ]dxdu
vdxdv
uuvdxd
+=
'' vuuv +=
[ ]d dv duuv u v ;dx dx dx= + uv udv vdu= + reescribiendo la ecuacin tendremos que:
= vduuvudv
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IV. Integracin por partes
Estrategia para integrar por partesTomar como dv la porcin ms complicada del integrando que se ajuste a una regla bsica de integracin y como u el factor restante del integrando.
Tomar como u la porcin del integrando cuya derivada es una funcin ms simple que u y como dv el factor restante del integrando.
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IV. Integracin por partes
En integrales de los tiposn axx e dx
nx senax dxnx cosax dx
nxu =axdv e dx= dv senax dx=dv cosax dx=
Hacer la sustitucin
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IV. Integracin por partes
En integrales de los tiposnx lnx dx
nx arcsenax dxnx arctgax dx
xu ln= axu arcsen= axu arctg=
dxxdv n=
Hacer la sustitucin
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IV. Integracin por partes
En integrales de los tipos
axe senbx dxaxe cosbx dx
u senbx= u cosbx=axdv e dx=
Hacer el cambio de variable
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V. Integracin de funciones racionales
Caso I: Factores lineales distintos
Q(x) dxP(x)
1 2 n
1 1 2 2 n n
A A AQ(x)...
P(x) a x b a x b a x b= + + ++ + +Caso II: Factores lineales repetidos
( ) ( )1 2 n
2 n1 1 1 1 1 1
A A AQ(x)...
P(x) a x b a x b a x b= + + +
+ + +
Descomposicin en fracciones simples
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V. Integracin de funciones racionales
Caso III: Factores cuadrticos distintos
Q(x) dxP(x)
1 1 2 2 n n2 2 2
1 1 1 2 2 2 n n n
A x B A x B A x BQ(x)...
P(x) a x b x c a x b x c a x b x c+ + +
= + + ++ + + + + +
Caso IV: Factores cuadrticos repetidos
Descomposicin en fracciones simples
( ) ( )1 1 2 2 n n
2 2 n2 21 1 1 1 1 1 1 1 1
A x B A x B A x BQ(x)...
P(x) a x b x c a x b x c a x b x c+ + +
= + + ++ + + + + +
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VI. Integracin de funciones irracionales
Caso I:
rm
snR x,x ,...,x dx
k es el MCM de los denominadores de las fracciones m r,...,n s
La sustitucin ser: ktx = dtktdx k 1=
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VI. Integracin de funciones irracionales
Caso II: dxdcxbax
dcxbax
xRs
r
n
m
+
+
+
+,...,,
Hacer la sustitucin de: ktdcxbax
=
+
+
Donde k es el MCM de los denominadores de las fraccioness
r
n
m...,
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VI. Integracin de funciones irracionales
( )dxcbxaxxR ++2,Caso III. Integrales de la formaSustituciones de EULER
21. ax bx c a x t , a 0+ + = + >
22. ax bx c x t c , c 0+ + = + >
( )23. ax bx c x t+ + =
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VI. Integracin de funciones irracionales
( )dxcbxaxxR ++2,1- En integrales que contienen sustituiras ser , donde
22 ua senau =cos22 aua = 0
2pi
ua
22 ua
Caso IV. Integrales de la forma
Sustituciones Trigonomtricas
Ing. Rubn Zrate Rojas 30
VI. Integracin de funciones irracionales
2- En integrales que contienen sustituiras ser , donde
22 ua + tgau =sec22 aua =+ 0
2pi
u
a
22 ua +
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VI. Integracin de funciones irracionales
3- En integrales que contienen sustituiras ser , donde
22 au secau =2 2u a a tg =
20 pi
Se toma el valor + si u > a y el valor negativo si u < -a.
u
a
22 au
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VII. Integrales trigonomtricas
1. Integrales de la forma ( )R senx,cosx dx
Haciendo la sustitucin de =xtg t2
Expresando sen x y cos x en funcin a
=
+ 22t
sen x1 t
=
+
2
21 t
cosx1 t
=x 2arc tgt =+ 22dtdx
1 txtg2
2t
x
+ 21 t
21 t
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VII. Integrales trigonomtricas
2. Integrales de la forma ( ) xdxxR cossenSe sustituye dtxdx =costx =seny la integral se reduce a la forma racional ( ) dttR3. Integrales de la forma: ( ) xdxxR sencosSe sustituye tx =cos dt sen x dx=
y la integral se reduce a la forma racional ( ) dttR
2 1 cos2xsen x2
=
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VII. Integrales trigonomtricas
4. Integrales de la forma m nsen xcos x dx
Si n es impar positivo =; dt cos x dxsen x t=
Si m es impar positivo cos x t= = ; dt sen x dx
m y n nmeros enteros
Si m y n son pares positivos
2 1 cos2xcos x2
+=
Ing. Rubn Zrate Rojas 35
VIII. Integrales no integrables
2xe dxsenx dx
xcosx dx
x
dxlnx
2 21 k sen x dx