UdeC - DIE

0 5 10 15 20 25 30 35 402

0

2

4Posicin y fuerza normalizada

0

Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=CI A 1 b u 0( ) +( ):=D t x,( ) A x0 x1( )T b u t( )+ +:=

u t( ) f t( ):=f t( ) 15 sin 0.5 t 1( )[ ] esc t 1( ) esc t 20( )( ) sin 1 t 20( )[ ] esc t 20( )[ ]:=

esc t( ) t( ):=n 0 nf..:=nf 1000:=tf 40:=

Simulacin. En t = 0 el resorte est estirado.

lo es la distancia

entre el techo y el

centro de m con el

resorte en reposo.

c 1 0( ):=

0

k lo

mg+

:=b

0

1

m

:=A

0

k

m

1

d

m

:=

Matrices de Parmetros y Seales de Prueba

g 9.8:=d 3:=

k 20:=m 1.5:=lo 0.50:=

Parmetros

Masa suspendida.Caso 1

k

d

F(t)

m

x(t)

Ilustrar el Diagrama de Bode a partir de una F. de T. y/o de una representacin {A, b, c, d}.Problema

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Continuos

Captulo VI - Anlisis en Frecuencia 1 de 27 Sistemas Lineales Dinmicos - 543 214

UdeC - DIE

f t( ) 15 sin 2 t 1( )[ ] esc t 1( ) esc t 13( )( ) sin 3 t 13( )[ ] esc t 13( ) esc t 26( )( )+sin 4 t 26( )[ ] esc t 26( )( )+

...

:= u t( ) f t( ):=

D t x,( ) A x0x1( )T b u t( )+ +:= CI A

1 b u 0( ) +( ):= Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

0 5 10 15 20 25 30 35 402

0

2

4Posicin y fuerza normalizada

0

f t( ) 15 sin 5 t 1( )[ ] esc t 1( ) esc t 13( )( ) sin 6 t 13( )[ ] esc t 13( ) esc t 26( )( )+sin 7 t 26( )[ ] esc t 26( )( )+

...

:= u t( ) f t( ):=

D t x,( ) A x0x1( )T b u t( )+ +:= CI A

1 b u 0( ) +( ):= Zal rkfixed CI 0, tf, nf, D,( ):=

0 5 10 15 20 25 30 35 401

0

1

2

3Posicin y fuerza normalizada

0

k

d

F(t)

m

x(t)

Captulo VI - Anlisis en Frecuencia 2 de 27 Sistemas Lineales Dinmicos - 543 214

UdeC - DIE

k

d

F(t)

m

x(t)

0 2 4 6 8 10200

150

100

50

0

F

a

s

e

0 2 4 6 8 100

0.025

0.05

0.075

0.1

M

a

g

n

i

t

u

d

F n( )180

piarg g j n( )( )( )( ):=M n( ) g j n( )( ):=

n( ) fmin 10n ratio

:=ratio logfmax

fmin

1

nmax

:=fmax 101

:=fmin 101

:=n 1 nmax..:=nmax 250:=Grfico

g s( )1

s2m s d+ k+

:=g s( ) 1 0( ) s identity 2( )

0

k

m

1

d

m

1

0

1

m

:=

g s( ) c s identity 2( ) A( )1

b:=c 1 0( ):=

0

k lo

mg+

:=b

0

1

m

:=A

0

k

m

1

d

m

:=F. de T.

Captulo VI - Anlisis en Frecuencia 3 de 27 Sistemas Lineales Dinmicos - 543 214

UdeC - DIEDiagrama de Bode

Problema Presentacin del Diagrama de Bode a partir de una F. de T. y/o de una representacin {A, b, c, d}.

h(t)

u(t) y(t)

La salida del sistema se puede escribir como,

( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t h t u t h u t d

= = ,

donde h(t) es la respuesta a impulso del S.L.I.. Considerando la entrada como u(t) = ejt,

que corresponde a la base de generacin de seales peridicas, en particular sinusoidales,

se tiene que,

( )

( ) ( ) ( ) ( )j t j t j j t j

y t h e d h e e d e h e d

= = = ,

donde el trmino integral corresponde a la T.F. de la respuesta a impulso del sistema; es

decir,

( ) ( )j

h h e d

= ,

luego, la seal de salida queda como,

( ) ( ) j ty t h e = ,

donde se ve claramente que la seal peridica de entrada, ejt, se ve reflejada en la salida

como una seal de igual frecuencia a la seal de entrada, pero atenuada/amplificada y

adelantada/retrasada en el factor h(). Ntese que h() es una propiedad del sistema y es

un nmero complejo, el cual se puede representar en un plano complejo o en mdulo y

ngulo. Recordar que para obtener la T.F. de una seal se puede reemplazar s por j en su T.L. bilateral.

Notar que,

1

0 1 1 0 1

1

1 1 0

0 1

( )( )

( )( )

( )

mmi

m m ii

i m m i

n nn ni n

i i

i i

s zb sb s b s b s b n s

h ss a s a s a d s

a s s p

= =

= =

++ + + +

= = = =+ + + + +

L

L

h(s) = c(sI A)-1b + d = c( )

{ }

s

s

I A

I A

Adj

detb + d

Captulo VI - Anlisis en Frecuencia 4 de 27 Sistemas Lineales Dinmicos - 543 214

UdeC - DIE

Caso 2 Diagrama de Bode de la Masa Suspendida.

g s( )1

s2m s d+ k+

:=

nmax 250:= n 1 nmax..:= fmin 101

:= fmax 102

:= ratio logfmax

fmin

1

nmax

:= n( ) fmin 10n ratio

:=

M n( ) 20 log g j n( )( )( ):= F n( ) 180pi

arg g j n( )( )( )( ):=

0.1 1 10 10080

60

40

20

0

M

a

g

n

i

t

u

d

0.1 1 10 100200

150

100

50

0

F

a

s

e

Captulo VI - Anlisis en Frecuencia 5 de 27 Sistemas Lineales Dinmicos - 543 214

UdeC - DIE

Caso 3 Sistemas Tipo N o de la forma: 1/sN.

g s N,( )1

sN

:=

nmax 250:= n 1 nmax..:= fmin 102

:= fmax 102

:= ratio logfmax

fmin

1

nmax

:= n( ) fmin 10n ratio

:=

M n N,( ) 20 log g j n( ) N,( )( ):= F n N,( ) 180pi

arg g j n( ) N,( )( )( ):=

0.01 0.1 1 10 10040

20

0

20

40N = 1, 2

M

a

g

n

i

t

u

d

0.01 0.1 1 10 100210

180

150

120

90

60

30

0N = 1, 2

F

a

s

e

Captulo VI - Anlisis en Frecuencia 6 de 27 Sistemas Lineales Dinmicos - 543 214

UdeC - DIE

Caso 4 Sistemas de la forma: 1/(s+a).

g s a,( )1

s a+( ):= ga s a,( ) if s a