6.- CONDICIONES DE ONDA INCIDENTE (FUENTE) · a) ONDA PLANA. FUENTE DE YEE (1966) Fuente de Yee. Onda plana como condición inicial •Inserción de Eiy Hien todos los puntos de la

Grupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR

6.6.-- CONDICIONES DE ONDA INCIDENTE (FUENTE)CONDICIONES DE ONDA INCIDENTE (FUENTE)

Requerimientos para la fuente :Onda plana o Guía Onda

•Compacidad (garantizando precisión)•Almacenamiento (pocas componentes de campo) •Tiempo de cálculo

Requerimientos para fuentes de Requerimientos para fuentes de ONDA PLANAONDA PLANA

•La fuente Debe simular que el Ei llega desde fuera de la malla•La fuente NO debe introducir variaciones en el frente de onda de la onda generada.•La fuente Debe permitir cualquier tipo de Ei (variación con t, pol.,incidencia, duración).•La fuente NO debe interactuar con el Es


Tipos de fuentes para onda plana

a) ONDA PLANA. FUENTE DE YEE (1966)

b) HARD SOURCE (1973)

c) ETOTAL/EDISPERSADO (1970-1980)

d) FORMULACIÓN PURA DE DISPERSIÓN


a) ONDA PLANA. FUENTE DE YEE (1966)

Fuente de Fuente de YeeYee. Onda plana como condici. Onda plana como condicióón inicialn inicial

•Inserción de Ei y Hi en todos los puntos de la malla como condición inicial (t=0, t=1/2).

•El retardo temporal en la inyección de Ei y Hi genera un retardo espacial.

•La fuente no interactúa con Es (linealidad de las E. Maxwell).

•Malla excesivamente grande para simular pulsos de larga duración o sinusoides continuas

•Distorsión del frente de onda, para incidencia oblicua, por difracción en las fronteras de la malla

),,();,,();,,();,,();,,();,,( 21

21

21000 kjiHkjiHkjiHkjiEkjiEkjiE zyxzyx


b) HARD SOURCE (1973). Taflove

•Simula la fuente en un único punto de inserción (1D,2D): Compacta

•Se inyecta asignando una variación temporal dada a Ex,y, z o Hx,y,z

• Aparecen retroreflexiones ficticias en el punto de inserción de la fuente

• El efecto anterior puede mitigarse cortando la fuente para t>>,simulando en esos puntos el campo del algoritmo de YEE•Un tipo muy empleado de hard source es (TM unidimensional):

( )( )tnnfeEE caidannn

oisnz ∆−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

00

2

2sin0

π


c) ETOTAL/EDISPERSADO (1982)•FD-TD puede aplicarse al campo incidente, al dispersado o al total.

•Por ello se divide la malla en 2 regiones:

Campo total. Incluye la geometría

Campo dispersado. Externo a la geometría. Su frontera es el plano de truncado (condición de radiación en espacio libre).

•Se crea una superficie virtual de conexión entre ambas.

Plano de truncado

Superficie de conexión

Εs, Hs

Εt, Ht

Εi, Hi

sit EEErrr

+=

Zona 2

Zona 1


Ventajas del parcelamiento:

•Permite aplicar una onda plana incidente arbitraria (sólo se define en la superficie de conexión), que queda confinada en la zona 1

•La continuidad de Etang y Htang en las interfases de materiales (zona 1) es inherente al método (no hay que forzarla).

•Mayor rango dinámico (no hay ruido de sustracción).

•ABC’s en la frontera del mallado (extensión a ∞).

• Respuesta en campo lejano (función de Green en espacio libre).

Requerimientos del parcelamiento

•Condición de conexión entre regiones.

Ηx(i,j0-1/2)=Ηx(i,j0-1/2) + Ηx(i,j0-1/2)

Εz(i,j0)= Εz(i,j0) +Cb(m) Ηx(i,j0-1/2)


Condición de conexión (caso TM)

•Actualización de Ηy(i0−1/2.j) y Ηy(i1+1/2,j):

Εz(i0,j), Εz(i1,j)

•Actualización de Εz(i,j) :

Ηy(i0-1/2,j),Ηy(i1+1/2,j),Ηx(i,j0-1/2),Ηx(i,j1+1/2)s s s s

tot

•Actualización de Ηx(i,j0−1/2) y Ηx(i,j1+1/2):

Εz(i,j0), Εz(i,j1) tot tot

s s

tot tot

s s

stot inc

Yee

tot tot

j=j0

i=i1

j=j1

i=i0

RegiRegióón 1n 1

inc


Cálculo de Ei Hi para la condición de conexión

nd

vretp t

=⋅∆

∆( )αd r Kinc= ⋅

r $

α

i1

K

jo

j1

io

d

r

•Se ahorra tiempo de cálculo pasando a una malla unidimensional

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ]2/12/10

102/12/1

2/12/1

0

1

0

2/12/1

+−−=

∆

∆+=

+−=

∆

∆++=+

+++

−+

mHmH

vvmEmE

mEmE

vvmHmH

ninc

ninc

p

p

tninc

ninc

ninc

ninc

p

p

tninc

ninc

ααε

ααµ

m−2


d) FORMULACIÓN PURA DE DISPERSIÓN

•Únicamente se calcula Es con ayuda de FD-TD.

•Para obtener Et se suma Ei a Es, donde Ei es un dato.•Por lo tanto, Ei debe conocerse en toda la malla.•Problema: Substracting noise, cuando el valor de Et es pequeño.•Ventajas: El cálculo de Ei es exacto. Ei no se propaga por la estructura, por lo que no hay errores de fase

Fuente Aplicación

ETOTAL/EDISPERSADO Ondas guiadas

ETOTAL/EDISPERSADO Dispersión

EDISPERSADO


ONDA INCIDENTE EN ESTRUCTURAS GUIADASONDA INCIDENTE EN ESTRUCTURAS GUIADASProblemática de estas fuentes:

•Diferentes modos de propagación•La energía no necesariamente está confinada•Dificultad con excitaciones de banda ancha•Problemas con los modos al corte (decaimiento)•Alargamiento del tiempo de simulación en pulsos de banda ancha si interesan los modos al corte.

Tipos de fuentes para ondas guiadas

a) HARD SOURCE. CAMPO E PULSADO

b) ETOTAL/EREFLEJADO

c) CONDICIONES DE FUENTE RESISTIVA Y CARGA

•Permite truncar el espacio de mallado, simulando bien el ∞.

•La CR impone la ausencia de reflexiones en esa frontera.

•FD-TD no introduce directamente la CR.

•En Ω se propaga la onda en cualquier dirección.

•En ∂Ω únicamente ondas salientes (CR), sin reflexión.

•Se puede derivar de diversas formas:


7.7.-- CONDICICONDICIÓÓN DE RADIACIN DE RADIACIÓÓNN

xΩ

y

θ ∂Ω

1.-BAYLISS-TURKEY : operador de aniquilación•Se construyen las ∂/∂r , ∂/∂rT, ∂/∂t de los campos incidentes en ∂Ω •Se pesan adecuadamente y se elimina la reflexión •Esféricas

•Operador L (condición de radiación de Sommerfield)

•Orden superior (BT orden 1)

•Orden N

•Reflexiones 1% (B2)

•CilíndricasGrupo de RadiaciGrupo de Radiacióón. Dpto. SSRn. Dpto. SSR

Uctu 22

2

2

∇=∂∂ ( )tRUU ,,, ϕϑ=

( )∑∞

=

−=

1

,,,i

ii

RtRctUU ϕϑ

RtcL

∂∂

∂∂

+=1 ( )2

32

21 2 −=−−= RO

Ru

RuLU

R

LU 0

RU

tU

cLU

∂∂

∂∂

+=1

⇒+=R

LB 11 ( )3

43

32

1 ..2 −=+−−= RORu

RuUB

⇒−+= ∏=

N

kN R

kLB1

12 ( )12 −−= NN ROUB

⇒−+= ∏=

N

kN r

kLB1 2

34 ( )2/12 −−= NN rOUB( )∑

∞

=+

−=

12/1

,,i

ii

rtrctUU ϕ

2.-ENGQUIST-MAJDA (1970-1980)

a) One-way wave equation•Ecuación en ∂, que elimina la reflexión en direcciones dadas

•Válida para cartesianas

•Se basa en factorizar los operadores en derivadas parciales

•Caso 2D: con U=Ex o Ey o Hz (si TE)


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= 2

2

2

22

2

2

yU

xUc

tU

∂∂

∂∂

∂∂

Utcyx

LU⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+= 2

2

22

2

2

2 1∂∂

∂∂

∂∂

012 =−+ ttyyxx U

cUU L D D

cDx y t≡ + −2 2

221 0=LU

LU L L U= =+ − 0 ( )sD

D cy

t

=L DDc

sxtm m= −1 2

•L-U elimina : L+U elimina:

••Orden 1Orden 1

••Orden 2Orden 2

•Caso 3D


X=0X=h

cDDLs t

x mm =⇒≅− 11 2

01=−=−

tx Uc

UUL01=+=+

tx Uc

UUL

22

222 1tzyx D

cDDDL −++≡

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cDD

cDD

st

z

t

y

t

ytx D

cDD

cDLss

21

211

222 ±−=⇒−≅− m

002

12 ==+−=− xparaUcU

cUUL yyttxt

•b)Esquema de FD de Mur

•Aplica FD-TD a E-M de orden 2


02

10 =+−⇒=− yyttxt

cUU

cUUL

x=0 11/2

j+1

j-1

jlínea auxiliar

t

UUU

tj

n

j

n

jn

∆

−=

−+

2,2/1

1

,2/1

1

,2/1∂∂

x

UUU

xj

n

j

n

jn

∆

−= ,0,1

,2/1∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

−−

∆

−

∆=

∂

−−++

x

UU

x

UU

tU

txj

n

j

n

j

n

j

n

jn ,0

1

,1

1

,0

1

,1

1

,2/1

2

21

∂∂


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

=∂∂

n

j

n

j

n

j yU

yU

yU

,02

2

,12

2

,2/12

2

21

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆

+−=

∂∂ −+

21,,1,

,2

2 221

yUUU

yU n

jin

jin

jin

ji

•Despejando:

•U representa a las componentes tangenciales de E y H en las fronteras

•Reflexión 1 al 5%

( ) ( )( )

( ) ( )[ ]n

jn

jn

jn

jn

jn

j

nj

nj

nj

nj

nj

nj

UUUUUUxtcy

xtc

UUxtc

xUUxtcxtcUU

1,1,11,11,0,01,02

2

,0,11

,01

,11

,11

,0

222

2

−+−+

−+−+

+−++−∆+∆∆

∆∆+

+∆+∆

∆++

∆+∆∆−∆

+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

=∂∂

n

j

n

j

n

j tU

tU

tU

,02

2

,12

2

,2/12

2

21

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆

+−=

∂∂ −+

2

1,,

1,

,2

2 221

tUUU

tU n

jin

jin

jin

ji


Cálculo de la CR por factorización de la relación de dispersión

•Onda plana (2D)

•Ecuación de onda (2D)

•Relación de dispersión

•Velocidades de la onda

•En ∂Ω deben absorberse las ondas incidentes. Si x=0, p.ej., sólo se deben permitir ondas salientes con 90º≤φ≤270º

•Factorización de kx: -1<s<+1

•Aproximando la raíz se llega a: o lo que es igual:

U Uc

Uxx yy tt+ =12

k k kcx y

2 2 22

2+ = =ω

2

22 y

x

kkkk −+=

φsinkks y ==k k sx = ± −1 2

Uc

UcU

xt ttyy− + =

12

0

( ) ( )U x y t e ej t kr j t k x k yx y( , , )= =− − −ω ω)r

( )rv v x v yckk

xckk

y c x sin yx yx y= + = + = +$ $ $ $ cos $ $φ φ


c) Trefethen-Halpern: ABC generalizada (1986)

•Aproximan

•Absorben ondas para mayor número de ángulos sobre

•No mejora Mur

•Complica el esquema del operador diferencial Un+10,j

a)(2,0)

b)(2,2)

( )( ) [ ] ),(1,1)(1 2 nmordensqspsrs

n

m −==−

220)( sppsr += 002

0 ==−− xencUpUcpU yyttxt

220

220)(sqqsppsr

++

= 0020

20 ==−−+ xencUpUcpcUqUq tyytttxyyxtt

∂Ω


•Reflexión

•Reflexión teórica: 0.1%•Reflexión real: 1%

•Fuerza vp=c, lo que introduce una reflexión extra

αααα

sinppsinppR

20

20

coscos

++−−

=

( ) ( )ααωααω kysinkxtjkysinkxtjx

eU −−−+=

+= coscos0

Re

αααααααα

220

220

220

220

coscoscoscos

sinppsinqqsinppsinqqR

+++−−+

=

X=0(2,0) (2,2)


d)Operador HIGDON

•Cancela las ondas incidentes en ∂Ω, vp=c, en ángulos

•El operador se resuelve aplicando FD-TD

− ≤ ≤π

απ

2 2

R j

jj

p

= −−+=

∏cos coscos cos

α ϑα ϑ1

cosα∂∂

∂∂j

j

p

tc

xU−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

==

∏1

0 ( ) ( )U f ct k r g ct k rj jj

p

j jj

p

= + ⋅ + + ⋅= =

∑ ∑$ $ $ $*

1 1

jαθ ±≠∀

•Permite seleccionar los ángulos de eliminación

•Las ABC anteriores son un caso particular•a) Condición de Mur de orden 1•b) T-H orden 2

•Reflexión real:4-7% (según los ángulos) Considera vp=c

01 =α

( )21

210 coscos

coscos1αααα

++

=p ( )212 coscos

1αα +

−=p


3.-EXTRAPOLACIÓN DE LIAO (1970-1980)

•Línea de valores

•Diferencias traseras

•Polinomio interpolador

•Extrapolación

•Error pequeño (no asume vp=c)

•Mejora 20 dB la ABC de Mur. Usar doble precisión (I. Numérica)

),( máx0 ttxu ∆+

),( máx1 ttcxu ∆− α

),2( máx2 tttcxu ∆−∆− α

))1(,( máx tNttNcxuN ∆−−∆− α

Nj = 1=j2=j

0=j

( )∑+

=−

+−=∆

∆−∆=∆

−=∆

1

11

11

21

11

12

2111

1m

jj

mj

jm uCu

uuu

uuu

( ) !!!

jjmmC m

j −=

11

12

11

1 )!1()1)..(1(..

!2)1( u

NNuuuu N

j−∆

−−++

++∆+

+∆+≅ββββββ

j−=1βNj ≤≤1

11

12

11

10 .. uuuuu N −∆++∆+∆+≅101 =−=β

4.-SUPERABSORCIÓN DE MEI-FANG (1970-1980)

•Procedimiento para mejorar el comportamiento local de las ABC

•Calculo

•Aproximo

•Actualizo usando Yee

•Calculo y aproximo


jXmáx=M

n

jx

ABCzE

,máx

1,,errorEE

n

jMz

n

jM

ABCz += ∞

10

2/1

,2/1,

2/1

,2/1

)1( errortHEfHn

jMy

n

jM

ABCz

n

jMy ∆∆

+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

+

−

∞+

− µ

2

2/1

,2/1

2/1

,2/1

2/1

,2/1

)2( errorHHHn

jMy

n

jM

ABCy

n

jMy +==+

−

∞+

−

+

−

Modo TMModo TM

•Relación de onda plana

•Obtengo

•Problemas: •Asume vp=c. •Aparece un error residual en θ=0º (Asume incidencia según θ=0º)•Asume

•Mejora las ABC anteriores un 60%.


z

x

zTMy Etsin

ksint

EH

2

2

~

0

∆

∆∆

∆

−== ωµα

12

~

22 erroreerror

xktj

TM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆−

∆

=ω

α

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

+

−

+

−

+

−

∞2/1

,2/1

)2(2/1

,2/1

)1(2/1

,2/1,

n

jMy

n

jMy

n

jMy HHfH

λ<<∆


5.-BERENGER. PML (1994)•Divide en dos las componentes cartesianas de los campos sobre ∂Ω. Así: Hz=Hzx+Hzy (TE) o Ez=Ezx+Ezy (TM) •Asigna pérdidas diferentes a cada una de estas componentes, creando un medio absorbente no físico en las proximidades de la frontera, por adaptación de impedancias.

µ∂∂

σ∂∂

µ∂∂

σ∂∂

0

0

Ht

HEx

Ht

HEy

zxx zx

y

zyy zy

x

+ =

+ = −

*

*

( )

( )ε

∂∂

σ∂

∂

ε∂∂

σ∂

∂

0

0

Et

EH H

y

Et

EH H

x

xy x

zy zx

yx y

zy zx

+ =+

+ = −+

( )PML x xσ σ1 1 00, , ,*

( )PML x x y yσ σ σ σ1 1 1 1, , ,* *

( )PML y y00 2 2, , , *σ σ

( )PML y y00 1 1, , , *σ σ

( )PML x xσ σ2 2 00, , ,*

∞=σModo TEModo TE


•Si y , la PML absorbe una onda plana en direcc x.

•Si y , la PML absorbe una onda plana en direcc y

•Aplicación a 2D (TE):

σ σy y= =* 0

σ σx x= =* 0

σε

σµ

x x

0 0=

*

σε

σµ

y y

0 0=

*

000 zyzxz HHH +=

φωφω 22cos sinG yx +=

ωσ ωεσ ωµx

x

x

jj

=−−

11

0

0

//*

ωσ ωεσ ωµy

y

y

jj

=−

−

11

0

0

//*

Ψ Ψ=−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −

0e e ej t

x ysincG cG

xsincG

yx

o

y

oω

φ φ σ φε

σ φε

cos cos

ZEH Gz

= =0

0

0

0

1 µε

φωµε 2

0

000 cos1

xzx GEH =

φωµε 2

0

000 sin1

yzy GEH =

E

φ

k

( )

( )

( )

( )

E E sin e

E E e

H H e

H H e

xj t x y

yj t x y

zx zxj t x y

zy zyj t x y

=−

=

=

=

− −

− −

− −

− −

0

0

0

0

φ

φ

ω α β

ω α β

ω α β

ω α β

cos


•Condición de no reflexión:

Si cumplen que ,

O sea, la onda se propaga con vp=c en la PML.

•Modelo de pérdidas en la PML n=2,3

•Reflexión

Si φ=0º, R(0º) ≈10 o 10 (Incidencia normal)

•PML sigue un decaimiento exponencial con t (no usa las diferencias centrales de Yee)

•Mejora sustancialmente el rango dinámico (70-100 dB)

•No se ha podido medir si vp impone un límite a la absorción de PML

•La reflexión en la frontera es plana con λ.

σ σ σ σx x y y, , ,* * σε

σµ0 0

=*

ω ω λx y G Z Z= = ⇒ = ∀ ⇒ =1 1 0

( ) ( )σ ρ σ ρ δ= maxn

/

( ) ( ) cneR 0max 1cos2 εφδσφ +−=-6 -7


•Polarizador en banda X

Pérdidas de retorno en puerta Rx/Tx <-18 dB

Pérdidas de retorno en puerta Tx <-18 dB

Pérdidas de retorno en puerta Rx <-18 dB

Aislamiento entre puertas Rx Tx > 25 dB*

Frecuencia de trabajo de la puerta Rx 7.25 a 7.75 GHz

Frecuencia de trabajo de la puerta Tx 7.90 a 8.40 GHz

Polarización de la puerta Rx Circular a izquierdas

Polarización de la puerta Tx Circular a derechas

Relación axial para ambas puertas <1 dB


•Polarizador en banda XTX/RX

TX

RX





Figura 1.- Medida del coeficiente de reflexión en la puerta de Rx para el polarizador



Figura 1.- Medida del coeficiente de reflexión en la puerta de Tx para el polarizador



Figura 1.- Medida del aislamiento entre las puertas de Tx y Rx para el polarizador



Figura 1.- Simulación de la relación axial para las puertas de entrada del polarizador

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6.- CONDICIONES DE ONDA INCIDENTE (FUENTE) · a) ONDA PLANA. FUENTE DE YEE (1966) Fuente de Yee. Onda plana como condición inicial •Inserción de Eiy Hien todos los puntos de la