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Oceanografía Dinámica

6. Corrientes ageostróficas y transporte de Ekman

La circulación oceánica se encuentra siempre cerca al equilibrio geostrófico. No obstante,existen otras contribuciones al flujo, colectivamente referidas como corrientes ageostróficas,que se definen por la diferencia entre el flujo real y el geostrófico

u=ug+uag

v=v g+vag(6.1)

Las contribuciones ageostróficas (uag, vag) están asociadas a la fricción y a aceleracioneslocales. La contribución mas importante es debido a la aceleración generada en las fronteras,ya sea debido al esfuerzo de los vientos en superficie, o la fricción con el fondo del mar.

6.1 Corrientes inerciales

¿Cual es la respuesta del océano a un impulso dado por los vientos? Supongamos que unviento fuerte ejerce un impulso sobre el océano por unas horas y luego se detiene (porejemplo con el pasaje de una tormenta). ¿Cuales son las corrientes resultantes? Al finalizarlos vientos el agua se seguirá moviendo debido a la inercia bajo la acción de Coriolis y de lagravedad. Las corrientes resultantes se denominan inerciales. Si la Tierra no girara losmovimientos serían rectilíneos, pero Coriolis modifica esta solución.

Asumiendo un flujo horizontal y sin fricción las ecuaciones de movimiento se reducen a:

dudt

=fv

dvdt

=−fu(6.2)

Despejando u y sustituyendo en la primera ecuación se obtiene

d2 vdt 2 + f 2 v=0 (6.3)

que es la ecuación de un oscilador harmónico y cuya solución tiene la forma

u=V sin ftv=Vcos ftV 2=u2+v2

(6.4)

Como u=dx/dt y v=dy/dt, es posible integrar para obtener la trayectoria de la parcela defluido

Notas: Prof. Marcelo Barreiro 1


x=x0−Vf

cos ft

y= y 0+Vf

sin ft(6.5)

donde x0 y y0 son constantes de integración. Por lo tanto

(x−x0)2+( y− y0)

2=V 2

f 2 (6.6)

Por lo tanto, las parcelas de fluido describen un círculo de radio V/f centrado en (x0,y0) yperíodo T=2π/f llamado período inercial. Notar que el período solamente depende de laubicación geográfica (latitud) y no de la intensidad del viento inicial. La direccion de rotaciónestá dada por f . En el H.S Coriolis tiende a torcer la trayectoria hacia la izquierda. Entoncesuna parcela de fluido que inicialmente es impulsada por los vientos hacia el norte es desviadahacia el oeste, y luego hacia el sur, y así sucesivamente hasta describir un giro en sentidoantihorario; en el H.N. el giro es horario (figura 6.1).

Por otro lado, la velocidad V no cambia en el tiempo y está únicamente determinada por lascondiciones iniciales (impulso del viento).

Figura 6.1 – Movimiento inercial.

Notemos que la rotación de la parcela de fluido no es simplemente el negativo de la rotaciónambiente de tal forma de mantener a la parcela fija en un sistema absoluto de referencia. Estono es así pues el centro de rotacion de la parcela es arbitratio y no coincide con el eje derotación. Además las dos frecuencias son diferentes: el período inercial es la mitad del tiemporequerido por la rotación en un plano local en la superficie de la Tierra.

Debido a la variacion de f con la latitud, los periodos inerciales van desde 11h 58' en los polosa infinito en el ecuador.



Las corrientes inerciales son muy frecuentes en el océano y se pueden observar a todaprofundidad y latitud (figura 6.2). Se ha observado asimismo que las oscilaciones inercialesen diferentes profundidades en sitios cercanos son usualmente incoherentes.

Figura 6.2 – Evidencia de corrientes inerciales en la plataforma de Namibia. (a) describe latrayectoria de la corriente en superficie durante 5 días. El movimiento consiste en una

oscilación inercial superpuesta al flujo medio. (b) Circulación luego de quitar el flujo medio.

Luego de que el viento empezó a soplar y la corriente inercial es creada, esta tenderá a decaeren unos pocos días debido a la presencia de la fricción. Si el viento continúa soplando porvarios días la corriente pasará a ser estacionaria formando un ángulo con los vientos, y será lacorriente en superficie asociada a la espiral de Ekman.

6.2 Celdas de Langmuir

La circulación de Langmuir es también consecuencia de un impulso dado por los vientos. Lacirculación consiste en celdas verticales de unos 10 m de diámetro que se extienden desdevarios metros a kilometros y en una dirección que forma un ángulo de entre 0-20 grados a laizquierda (derecha) del viento en el H.S. (H.N.). El agua también se mueve en la direccióndel viento por lo que el movimiento neto es en forma de hélice (figura 6.3).

La circulación de Langmuir se puede ver en el océano a través de líneas paralelas de colormas claro que denota la acumulación de burbujas o material flotante (figura 6.4). Estas líneas



ocurren en la zona de convergencia entre dos celdas vecinas que giran en sentidos contrarios.

Figura 6.3 - Esquema de la circulación de Langmuir.

Las velocidades en las celdas son mas intensas bajos las zonas de convergencia y puedenllegar a ser de 20 cm/s; el agua tiende a ascender en regiones menos localizadas y convelocidades mas pequeñas.

Las celdas de Langmuir son procesos océanicos de pequeña escala y representan unmecanismo de mezcla en la capa límite oceánica.

Figura 6.4 – Líneas de material en suspensión marcan la presencia de celdas de Langmuir.



6.3 Capa límite de Ekman

En esta sección consideramos vientos constantes soplando sobre el océano. En este caso losvientos crean un capa límite oceánica relativamente angosta donde el océano se comporta enforma diferente del resto de la columna de agua. Para estudiar este comportamiento esnecesario incluir la fricción. La capa de Ekman fue propuesta por Walfrid Ekman en su tesisdoctoral de 1905.

En el análisis de escala de las ecuaciones de movimiento se definió el número de Ekman

Ek=νE

ΩH 2

que compara la disipación turbulenta vertical con respecto a la aceleración de Coriolis.

En el oceano el número de Ekman tiene valores muy pequeños, del orden de 10-4, indicandoque la fricción vertical juega un papel muy limitado en la dinámica oceánica y por lo tantopuede despreciarse. Esto es perfectamente válido lejos de las fronteras y da lugar al balancegeostrófico en el interior del océano. No obstante, cerca de las fronteras no es posibledespreciar la disipación vertical. Entonces, es posible considerar que existen dos regímenesen el fluido: lejos de las fronteras, en el interior del océano se puede despreciar la disipación,mientras que cerca de los bordes, en las capas límites, es necesario considerar la fricción detal forma que ésta asegura que la velocidad del fluido es nula contra un continente o fondo (oproporcional al esfuerzo de los vientos en superficie).

El espesor de la capa límite de Ekman es tal que el numero de Ekman es de orden 1 en esadistancia. O sea

νE

Ω d2∼1 d∼√(

νE

Ω )∼10m

usando νE=10-2 m2/s y Ω=10-4 1/s, que son valores tipicos del oceano.

En ausencia de rotacion la fricción crea una capa limite sin escala vertical asociada(considerar Ω=0 en la ecuacion anterior). Por lo tanto la existencia de la rotación limita elefecto de la frontera sobre el comportamiento del fluido a una capa muy angosta comparadacon la altura de la columna. Veremos a continuación que la rotación cambia además ladirección de las corrientes en la dirección vertical.

6.3.1 Capa límite de Ekman en la superficie oceánica

Consideremos el caso de la figura 6.5 donde el esfuerzo de los vientos (constante) genera unacapa limite oceánica superficial.

El océano se considera homogéneo (ρ=ρ0), en condiciones estacionarias y con flujogeostrófico en el interior (lejos de la frontera).



Figura 6.5 – Esquema de corrientes forzadas por el esfuerzo de los vientos.

En ausencia de gradientes horizontales (flujo uniforme en el interior) y estacionario, como esel caso ya que consideramos flujo geostrófico en el interior, por la ecuación de continuidad

vale que ∂w∂ z

=0 , o sea que w=0 cerca de la frontera.

Entonces, las ecuaciones de movimiento son (ρ’=0):

(6.7)

Las condiciones de borde son

z=0 ρ0 νE∂u∂ z

=τx , ρ0 νE∂v∂ z

=τ y

z→−∞ u=u , v=v(6.8)

Debido a la ecuacion de momento en la vertical, la presion dinámica p es independiente de laprofundidad por lo que p= p(x , y) . Por lo tanto la presión dinámica es la misma en elinterior y la capa límite.



En el interior las ecuaciones son

−f v=−1ρ0

∂ p∂ x

=constante

f u=−1ρ0

∂ p∂ y

=constante(6.9)

Sustituyendo estas ecuaciones en las ecuaciones para toda la columna de fluido tenemos

(6.10)

Las soluciones son del tipo

u=u+ Aeλ z

v=v+Beλ z (6.11)

y sustituyendo se obtiene

f 2+λ4 νE2 =0 (6.12)

por lo que

λ=±(1±i) 1d

d=√(2νE /∣f∣) (6.13)

donde d es muy similar a la escala vertical definida mas arriba.

Imponiendo las condiciones de borde se obtiene

u=u+ √2ρ0 f d

ez /d[ τx cos( zd−π

4)−τ y sin ( z

d−π

4)]

v= v+ √2ρ0 f d

ez /d [τ x sin( zd−π

4)+ τy cos ( z

d− π

4)]

(6.14)

Notemos que la componente de la velocidad debido a la existencia de la capa límite sólodepende del esfuerzo de los vientos y es inversamente proporcional a la profundidad de lacapa d. A su vez, para z~-d la solución es cercana al flujo interior. De ahi que d sea llamadoespesor de la capa de Ekman.

¿Cual es la forma de la solución? Para verlo consideremos la componente del flujoindependiente del interior en z=0 y por simplicidad asumamos que el viento sopla sólo haciael norte (τx=0)



u(0)= √2ρ0f d

τysin(π /4)=V0sin(π /4)

v(0)= √2ρ0f d

τycos(π /4)=V0cos(π/4)(6.15)

lo que nos indica que la corriente superficial es en la dirección noreste. En general lacorriente en superficie es 45° hacia la derecha (izquierda) del esfuerzo de los vientos en elH.N. (H.S.).

En profundidad la solución es de la forma

(u(z)2+v (z)2)1 /2=V 0ez /d (6.16)

indicando que el modulo de la velocidad decrece exponencialmente con la profundidad. Lafigura 6.6 ilustra la solución

Figura 6.6 – Solución de Ekman típica en latitudes medias del H.N.

Mediciones hidrográficas han mostrado que la solución de Ekman es válida cuando se tomanpromedio de las corrientes sobre un período de días, o varios períodos inerciales.

La figura 6.7 muestra un ejemplo de descomposición de las corrientes observadas ensuperficie en sus componentes geostrófica y ageostrófica (Ekman).



Figura 6.7 – El panel de arriba muestra la velocidad media de las corrientes calculada através de drifters. Los paneles siguientes son los componentes de Ekman y geostrófico de la

corriente total.



El balance de fuerzas para el flujo de superficie, que está a 45° respecto de la dirección del

viento es el siguiente

τ

V

Fuerza de

friccion total

fuerza de Coriolis

Fricción

6.3.2 Transporte de Ekman

El transporte debido a los vientos en la capa de Ekman está dado por

U=∫−∞

0(u−u)dz= 1

ρ0 fτ y

V =∫−∞

0(v− v )dz=−1

ρ0 fτ x

(6.17)

y está orientado en angulo recto con el esfuerzo de los vientos, hacia la derecha en el H.N., yhacia la izquierda en el H.S.

Figura 6.8 – Solución de Ekman y transporte.

Si el transporte horizontal se multiplica por una sección de lado unidad, se obtiene eltransporte de volumen (m3/s).



Notar que el transporte en la capa de Ekman no depende explicitamente de las corrientes en lacapa. El transporte de Ekman, en respuesta a los vientos, juega un rol fundamental en lacirculación oceánica de gran escala.

6.3.3 Capa límite de Ekman de fondo

La interacción de las corrientes con el fondo marino tambien genera una capa límite deEkman, similar a la de superficie. En este caso el esfuerzo de fricción no aparece por razonesexternas (viento) sino por el roce de la corriente con el fondo.

Las ecuaciones son análogas a las de superficie (ecs. 6.7) pero tienen otras condiciones deborde: u=v=0 en el fondo (z=0) y u=u , v=v lejos de la capa límite (z=∞).

Si v=0 en el interior oceánico (figura 6.9), la solución es

u=u (1−e−π z/d cos(π z /d))v=u e−π z /d sin(π z /d )

(6.18)

que es de la forma de una corriente media estacionaria mas una espiral similar a la queencontramos para la superficie. El espiral rota en sentido horario a medida que sube en lacolumna (HN). La figura 6.10 muestra la solución.

Figura 6.9 – Diagrama de una capa límite de Ekman de fondo.

Cerca del fondo, hasta una distancia d, la corriente se desvía hacia la izquierda del flujoexistente en el interior (HN). Se puede calcular el transporte perpendicular al flujo en elinterior como

∫0

∞v dz= u d

2π (6.19)

Este flujo puede pensarse como resultado del debilitamiento de la corriente en el fondo por lafricción, lo cual deja una componente de la fuerza de presión sin balancear que resulta en unflujo que atraviesa las isóbaras.



Figura 6.10 – Solución de la capa de Ekman de fondo.

El balance de fuerzas en este caso es

Lejos del fondo En la capa límite del fondo

Fuerza de presión Fuerza V

de presión

ug ug

Fuerza de Coriolis Fuerza de Fuerza de

fricción Corolis

Fuerza neta

6.4 Afloramientos costeros

La derivación de los transportes de Ekman estuvo basada en la inexistencia de gradienteshorizontales de presión (mas allá del asociado al equilibrio geostrófico), lo cual es razonablepara el océano abierto pero no para la región costera. Esto es pues, al no poder habertransporte normal a la costa, el transporte de Ekman dará lugar a la creación de gradientes depresión. Por ejemplo, en una situación donde la costa está a la izquierda de los vientos en elHS el transporte de Ekman acumulará agua contra la costa, aumentando el nivel del mar ygenerando un gradiente de presión contrario. Como resultado el agua cerca de la costa



tenderá a hundirse y retornará mar adentro si la profundidad de la columna es mayor que lade la capa de Ekman. Por el contrario, si los vientos son en sentido contrario el nivel del mardisminuirá contra la costa y el gradiente de presión actuará para promover flujo offshore ensuperficie y onshore en subsuperficie con afloramiento en la región costera.

Consideremos primero el caso de transporte onshore como muestra la Figura 6.11a en unocéano homogéneo (HN). Consideraremos que la costa es recta, que la densidad es constantey que las condiciones son uniformes en la dirección y. En este caso, como los vientos en ladirección y son constantes en el tiempo, el transporte de Ekman hacia la costa será constante,lo cual implica que la altura de nivel del mar aumentará linealmente con el tiempo. Porgeostrofismo, el gradiente de altura de nivel del mar generará una corriente a lo largo de lacosta que aumentará también linealmente con el tiempo. Esta solución es un buen modelopara describir la evolución inicial de la elevación de la superficie del mar causada por unatormenta (“storm surge”). La distancia desde la costa que caracteriza la elevación del mar es

el radio de deformación de Rossby barotrópico (o externo) Ro=√ghf

. En latitudes

medias Ro=250 km.

Figura 6.11 – (a) Respuesta de un océano homogéneo a un viento paralelo a la costa; (b)Afloramiento costero en un modelo de océano de dos capas forzado por el esfuerzo de

vientos.

Para ver cómo el transporte de Ekman induce afloramiento cerca de una costa es necesarioconsiderar un océano con dos capas: una capa menos densa y cálida en superficie por encimade otra capa mas densa y fría, como se muestra en la figura 6.11b. Cada capa tiene unavelocidad uniforme y densidad constante y la interfase está denotada por ζ. Con el viento talque la costa está a la izquierda (HN), la capa de agua superficial tenderá a alejarse de la costapor el transporte de Ekman, lo cual resultará en una disminución del nivel del mar contra lacosta y, por geostrofismo, una corriente meridional en la misma dirección del viento. En lacapa de subsuperficie, por el contrario, el agua se dirigirá hacia la costa elevando el nivel dela interfase y generando, por geostrofismo, una corriente en sentido contrario a los vientos. Siel viento se mantiene, el afloramiento continuará y expondrá la capa fría en la superficie,enfriando las aguas costeras. La distancia desde la costa que caracteriza la elevación de la



interfase ζ es el radio de deformación de Rossby interno y en latitudes medias es Ro'~10-30 km.

Dado que las aguas que emergen son frías, el afloramiento da lugar a una región de aguasfrías en la superficie a lo largo de la costa (figura 6.12). Estas aguas frías modulan el climaregional de tal forma que estas regiones tienden a tener niebla, nubes bajas en forma destratos, y una atmósfera muy estable con poca convección y lluvia.

El agua que aflora no es sólo mas fría que la de superficie sino que también tiene una mayorconcentración de nutrientes. Los nutrientes fertilizan al fitoplanction en la capa límite que asu vez es consumido por el zooplancton y estos por peces, manteniendo así la cadena trófica.Por lo tanto, las regiones con afloramiento costero son aguas muy productivas y donde seencuentran las zonas pesqueras mas importantes a nivel mundial: Peru, California, Somalia,Marruecos y Namibia.

Figura 6.12 – Principales regiones de afloramiento costero y su relación con los anticiclonessemipermanentes.

En la region ecuatorial también existe afloramiento debido al cambio de signo del parámetrode Coriolis. Al sur del ecuador la fuerza de Coriolis tuerce las corrientes hacia el sur, mientrasque el norte del ecuador lo hace hacia el norte. De esta forma el ecuador es una zona dedivergencia en superficie y este vacío debe ser llenado con aguas subsuperficiales mas frías ycon mas nutrientes (figura 6.13).



Figura 6.13 – Afloramiento ecuatorial.

Bibliografía principal

- Introduction to geophysical fluid dynamics. Cushman Roisin and Beckers 2009


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