115 6.SECCIN TRANSFORMADA Y FLEXIN ASIMTRICA 6.1. MTODO DE LA SECCIN TRANSFORMADA Es un mtodo para analizar esfuerzos de flexin en una viga compuesta de varios materiales,el mscomneselconcretoreforzado,tambinseacostumbrareforzarvigasdemaderacon platinas. La teora de la flexin se puede aplicar en forma directa a las vigas compuestas, debido a queseasumequeelmaterialeshomogneoylasdeformacionesyesfuerzosvaranproporcionalmenteconlaprofundidaddelejeneutro,soloesvlidoparamaterialesdentrodel rangoelstico-lineal.Elmtodoconsisteentransformartodalavigaenunsolomaterial homogneo, si es concreto reforzado, se transforma el acero en concreto y si es madera reforzada, las platinas de acerose transforman en madera. Procedimiento:1. El primer paso es transformar la seccin transversal de una viga compuesta en una equivalente de una viga de un solo material. 2. Despus se analiza la viga normalmente por flexin. 3. Por ltimo, los esfuerzos en la seccin transformada se convierten a los de la viga original. Se suponeuna viga hecha de dos materiales diferentes, el material (A) y el material (B). ElejeneutroENdelaseccintransformadadebedelocalizarseenelmismolugardelaviga original, y se encuentra a partir de la condicin de equilibrio horizontal,la sumatoria de fuerzas horizontalesresultantes en la seccin que acta en la seccin transversal es cero. = 0HF = +BbAAdA dA 0 Reemplazando: 116 = =A AxEkydA dA 0 = +BAB AydA k E ydA k E 0 Como la curvatura es igual en la seccin transversal, la integral queda: = +BAB AydA E ydA E 0Lasintegralesrepresentanelprimermomentodereadelaseccintransversalconrespectoal eje neutro, por lo tanto deben ser iguales. Si se define n comola razn modular: ABEEn = Razn modular Reemplazando, se observa que el eje neutro no cambia si cada elemento de rea dA del elemento B, se multiplica por la razn modular. = +BAnydA ydA 0La nueva seccin transversal queda formada por dos reas: 1. El rea (A) permanece igual 2. El rea (B) con el ancho b multiplicado por n. En la Superficie de contacto. y z 1 2 3 b 3 1 2A=EA1 EN B2 B=EB3 A2 A B 117 Si A BE E > , utilizando la ley de Hooke, en la superficie de contacto los esfuerzos son: 2 2 A AE =2 2 B BE = La deformacin en el nivel 2 es igual en los dos materiales, igualando la deformacin: BBAAE E2 2 = LosesfuerzosenelmaterialBenelnivel2,sonigualesalosesfuerzosenelmaterialA multiplicado por n, en el nivel 2. 2 2 2 A AABBnEE = = Losesfuerzosdeflexinenlavigatransformada,secalculanasumiendoquelarelacin momentocurvatura,enlavigatransformada,esigualqueenlavigaoriginal.Elparinterno resistente en la seccin es: = ydA Mx + =A Bx xydA ydA M + =BBAAdA y k E dA y k E M2 2 dA y2: La integral es el momento de inercia de rea. ( )B B A A B B A AI E I E k kI E kI E M + = + =( )B B A AI E I EMk+= Factorizo EA: ( )B A ABABA AnI I EMIEEI EMk+=|||

\|+=Se sabe queEkyx= , se igualanlas curvaturas: ( ) y E nI I EMAAB A A=+ ynI IMB AA+= 118 TAIMy= Esfuerzos de flexin en el material(A). BBAA B A TIEEI nI I I + = + = : Momento de inercia de la seccin transformada. LosEsfuerzosenelmaterial(A)delavigaoriginalsonlosmismosqueenlaparte correspondientedelavigatransformada.Mientrasqueenlavigaoriginalconmaterial(B),los esfuerzos son diferentes de los de la viga transformada. B B A ABBI E I EMyE+= Esfuerzos en el material (B) de la seccin transformada. nIMyTB= PROBLEMA 6.1: La viga solera de 3X6mostrada esta reforzada con una platina de . Calcular Ty max cen la madera y la platina, sim kN Mactuante. 20 = max .en el aceroGPa Em10 = GPa Ea200 = Razn modular:2010200= = =maEEn Ancho de la seccin transformadapg bT60 20 * 3 = = Eje neutro: ( ) ( )cm pgAiAi yy 73 . 3 47 . 1) 5 . 0 ( 60 ) 3 ( 65 . 0 )( 60 25 . 0 3 )( 6 5 . 3= =++= = 119 Inercia de la seccin trasformada: Se calcula por el teorema de los ejes paralelos 2 3 2 3) 25 . 0 47 . 1 ( * 5 . 0 * 60 ) 5 . 0 )( 60 (121) 47 . 1 5 . 3 ( * 6 * 3 6 * 3121 + + + =TI 4 5 410 * 2197 . 7 45 . 173 m pg IT= = Esfuerzos normales en la madera. ( )( )) ( 81 . 610 * 2197 . 70127 . 0 0373 . 0 10 * 20) ( 4 . 3510 * 2197 . 70373 . 0 1651 . 0 10 * 2053534Tensin MPaCompresin MPamBm== = = Esfuerzosnormales en el acero. ) ( 29 . 136 20 *10 * 2197 . 7) 0127 . 0 0373 . 0 ( * 10 * 20) ( 66 . 206 20 *10 * 2197 . 70373 . 0 * 10 * 205353Tensin MPaTensin MPaaBaC=== = 6.2. VIGAS DE CONCRETO REFORZADO MTODO ELSTICO El concreto es un excelente material de construccin, no se oxida, no es combustible, ni se pudre. Tienebuenaresistenciaalacompresin,perolaresistenciaalatensinesprcticamentenula. Porestolapartedelelementoestructuralquetrabajaentensinserefuerzaconvarillas longitudinales de acero. Lo ideal sera que estas barras siguieran los esfuerzos de tensin, pero en lapracticasecolocanenunaovariascapas.Existeunafuerteadherenciaentreelcementoyel acero, lo cual se mejora con las varillas corrugadas y en vigas largas se genera suficiente friccin para evitar el deslizamiento, pero en vigas cortas se necesita el uso de ganchos. A dems el acero y concreto poseen un coeficiente de dilatacin trmica Tsimilar. Se supone que el acero soporta la tensin totalyest sometido a un esfuerzo uniforme, como si toda la seccin estuviera a igual distancia del eje neutro, y que la lnea de accin de la resultante detensinpasaporelcentrodelrefuerzo.Enelconcretosesuponequelosesfuerzosvaran linealmenteconladistanciaalejeneutroylaresultantedefuerzaspasaporelcentroidedel triangulo de esfuerzos de compresin. 120 d:Alturatil:distanciadesdelafibramascomprimidaalcentrodegravedaddelreade refuerzo. k : Constante menor que la unidad que multiplicada por laaltura til,equivale a la profundidad del eje neutro EN j : Constante menor que la unidad, que multiplicada por la altura til o efectiva (jd)fc = 0.45fcEsfuerzo mximo admisible del concreto en compresin mtodo elstico fc: Esfuerzo mximo de compresin As: rea del acero de refuerzo fs : Esfuerzo mximo admisible o de trabajo del acero a traccin. C: Resultante de fuerza en compresinT. Resultante de fuerza en tensin. a : recubrimiento 4 cm