6-Tema 6 Valoración de Proyectos Con Riesgo Utilizando Estadística

8/18/2019 6-Tema 6 Valoración de Proyectos Con Riesgo Utilizando Estadística

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Prof. Dr. Ricardo J. Palomo. Catedrático de Economía Financiera y Contabilidad (responsable de asignatura).Prof. Dr. Javier Iturrioz del Campo. Prof. Agregado de Economía Financiera y ContabilidadProfª. Dra. María Encina Morales de Vega. Profesora Colaboradora de Economía Financiera y ContabilidadProf. Dª. Elizabeth Hernández Sanz. Profesora Colaboradora de Economía Financiera y Contabilidad

DIRECCIÓN FINANCIERA

Departamento de Economía de la Empresa Área de Economía Financiera y Contabil idad

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales

DOCUMENTO GUIA DE LA ASIGNATURA

(consultar actualizaciones en portal del alumno)

* No autorizada la difusión o reproducción total o parcial de este material sin permiso expreso de los autores y del Departamento. En su caso se

someterá a los Tribunales oportunos bajo la normativa sobre derechos de autor.


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BLOQUE TEMÁTICO II

LAS DECISIONES DE INVERSIÓN EN AMBIENTE DE RIESGO


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MEDIOS DIDÁCTICOS DEL TEMA (ver portal del alumno y/o material de clase):

• Documento guía del curso actual.

• Documentos adicionales para este tema.• Casos prácticos del manual de referencia:

– ISABEL, C, ; PALOMO R, ITURRIOZ J, (2010): Direccióny gestión financiera de la empresa: casos prácticos

CEU Ediciones, Madrid.

• Otros medios didácticos para el desarrollo de este tema y delos siguientes del programa de la asignatura:

1. CALCULADORA FINANCIERA CASIO FC 100V o FC 200V

2. COMPUTADOR CON HOJA DE CÁLCULO EXCEL PARA PRÁCTICA EN CLASE

3. APPs FINANCIERAS: FC Financ ial Calculator ; Power One FE,…..


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TEMA 6

LA VALORACIÓN Y SELECCIÓN DE PROYECTOS CON RIESGOMEDIANTE LA APLICACIÓN DE INSTRUMENTOS ESTADÍSTICOS

PROGRAMA

1. La esperanza matemática y la varianza como medidas del rendimiento y delriesgo de un proyecto.

2. Los flujos netos de caja como variables aleatorias.

3. El Valor Actual Neto (VAN) como variable aleatoria.4. La Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) como variable aleatoria.

5. La aplicación de determinadas distribuciones de probabilidad para elanálisis de proyectos con riesgo (comportamiento probabilístico).

6. Comportamiento probabilístico y jerarquización de proyectos


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Incertidumbre: probabilidad objetiva y probabilidad subjetiva

En cualquier problema económico, cuando las distintas situaciones quepueden presentarse se conocen en términos de probabilidad (casoaleatorio), un criterio de decisión racional es el de la esperanza

matemática.La dificultad surge en los casos de universo incierto, ya que al noconocer las probabilidades no se puede aplicar el criterio de laesperanza matemática.

1. La esperanza matemática y la varianza como medidas del rendimiento ydel riesgo de un proyecto.


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• El sujeto decisor no se encuentra nunca realmente ante situaciones de total

incertidumbre.

• La hipótesis de ignorancia total es tan irreal como la de información perfecta.

• Ante un universo incierto resulta imposible evitar la ponderación de las diferentessituaciones.

• La probabilidad de un suceso ya no es tan sólo como se ha entendidoclásicamente igual a la relación entre el número de casos favorables y el númerode casos posibles, o igual al límite de una frecuencia.

• La probabilidad "subjetiva" es un número que cuantifica el concepto cualitativo deverosimilitud del sujeto decisor, y se basa en su experiencia, en su intuición, ensus sentimientos o en sus conocimientos



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ETAPAS EN EL ESTUDIO DEL TEMA

1. Calcular el valor esperado de los FNC (en su caso, también del desembolso)

2. Calcular la varianza o la desviación de los FNC

3. Puede ser necesario calcular covarianzas y coeficientes de correlación.

4. Calcular la esperanza matemática del valor capital o VAN: E(VAN)

5. Calcular la varianza del VAN y su desviación típica.

6. Cuando se comparan varios proyectos es útil calcular el coeficiente de variación.

7. Estudiar el comportamiento probabilístico: se aplica alguna distribución deprobabilidad y en algunos casos determinados Tchebycheff.



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• Partiendo del postulado, según el cual, el propósito del decisor es maximizar el

valor del patrimonio de los accionistas o propietarios, lo que equivale a elegir

aquellos que tienen mayor VAN, asumiremos que, en situación de incertidumbre, el

que se halla en la necesidad de elegir entre varias opciones, optará por aquélla

en la que el resultado más probable sea el mejor , descartando aquéllas en las

que lo más probable es que se produzca un resultado menos bueno o adverso.

• Sin embargo, al hacer esta elección, se corre el riesgo de que suceda lo

improbable o que ocurra un suceso de menor probabilidad, ocasionando un

resultado no deseado. Ello no significaría que la decisión hubiera sido incorrecta;

significaría que se habría materializado el riesgo incurrido al tomarla.

2. Los f lujos netos de caja como variables aleator ias.


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• La situación descrita se corresponde, pues, con el ambientealeatorio en el que el decisor no conoce con certeza el estado de lanaturaleza.

• En este supuesto, el proceso de formación de los criterios dedecisión es muy complejo, no sólo por la dificultad de estimar losdistintos resultados, favorables o adversos, que puedan producirse,sino además por el peso que en él tienen los factores psicológicospersonales, especialmente la aversión o la inclinación al riesgo.



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La distribución “ beta” asociada a los flujos de caja.

• En cuanto a los datos a considerar, las tres posibilidades que sepueden dar en este modelo con incertidumbre son:

– Flujo de caja optimista.- El mayor flujo de caja que puede generarla inversión en el periodo “t” en el mejor de los casos; es decir, en

el supuesto de que todo salga bien. – Flujo de caja más probable.- El flujo de caja más verosímil o más

probable, el flujo de caja normal.

– Flujo de caja pesimista.- El flujo de caja que puede generar lainversión en el periodo “t” en el pero de los casos.



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La esperanza matemática y la varianza, correspondientes a la distribución “beta simplificada”,según la Estadística Matemática, son:

2. Los flujos netos de caja como variables aleator ias.

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)()(

6

4

)(20

2

0

p

t t r

t

t

m

t

p

t r

t

Q Q Q

Q Q Q Q E

−=

++=

σ


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Una distr ibución estadística alternativa de la beta: la dist ribucióntriangular

• Las simplificaciones realizadas a la distribución beta para trabajar con ellahan sido muy criticadas debido a la deformación que produce sobre ladistribución.

• Sin embargo la utilización de estas simplificaciones es obligatoria si sequiere operar con dicha distribución, debido a la dificultad que entraña laestimación de sus parámetros.

• La distribución triangular utiliza simplemente los parámetros Qtp, Qtm y Qto,sin utilizar ninguna simplificación, adaptándose además a los rigores del

análisis. Es, por tanto, una buena sustituta de la distribución beta.



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La esperanza y la varianza de la distribución triangular son las siguientes:

2. Los flujos netos de caja como variables aleator ias.

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))(()()(

3)(

0202

0

m

t t

p

t

m

t

p

t t r

t

t

m

t

p

t r

t

Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q E

−−−−

=

++=

σ


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El problema de la insuficiencia de información para estimar el flu jo de

caja más probable: la util idad de la distribución rectangular o uniforme

• El gran problema de las distribuciones anteriores radica en la dificultad deestimar el valor del flujo de caja más probable (Qtm), debido a que lainformación necesaria para poderlo estimar es insuficiente. Por ello nosencontremos con que, a veces, solo conocemos los flujos optimistas y

pesimistas.

• En esas situaciones se utiliza la distribución rectangular o uniforme, en laque solo se utilizan los valores de los flujos optimistas y pesimistas. Comono sabemos que flujo es el más probable, se le asigna la mismaprobabilidad a todos los valores situados entre dichos valores.



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16

La esperanza y la varianza en la distribución Uniforme vienen dadas por:


E Q Q Q

Q Q Q

t

r t

p

t

t

r t t p

( )

( ) ( )

= +

= −

0

20 2

2

12σ


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17


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• El valor actual neto o valor capital de una inversión, estácompuesto por magnitudes (desembolso inicial y flujos de caja)que son variables aleatorias con unas determinadasdistribuciones de probabilidad, cada una de ellas con valoresde media y varianza.

• El objetivo siguiente es calcular la esperanza matemática y lavarianza de la variable aleatoria VAN, con el objeto de poderresponder a preguntas sobre el comportamiento probabilísticodel valor actual neto.

3. El valor actual neto (VAN) como variable aleator ia.


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• La esperanza matemática del VAN es:

• La varianza del VAN, cuando los flujos de caja son independientes es:


( ) ( ) ( )n

h

r

r

n

r

n

h

r

r r h

r

r r

k

P Q

k

P Q

k

P Q A VANM

+++

++

++−=

∑∑∑===

1....

11

1

2

122

111

( ) ( ) ( ) ( )∑= +

+−=+

+++

++

+−= n

t t

t

n

n

k

Q E A E

k

Q E

k

Q E

k

Q E A E VAN E

12

21

1

)()(

1

)(.......

1

)(

1

)()()(

( ) ( ) ( )σ σ

σ σ σ 2 22

1

2

2

2

4

2

21 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

....... ( )

VAN A Q

k

Q

k

Q

k

n

n= +

++

++ +

+


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20


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21


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22

• Cuando existe correlación entre flujos de caja, debemos añadir los datos de loscoeficientes de correlación correspondientes o bien calcular nosotros esos coeficientes (o

bien, las covarianzas), en función de la información disponible.

• Esto supone incorporar más sumandos en el cálculo de la varianza del VAN, tantos comocovarianzas haya entre los FNC. Además es preciso dividirlo por (1+k) elevado a un

exponente que es la suma de los subíndices de cada FNC.


( ) ( ) ( ) ( ) ),(),(

),(),( j i j i j i

j i

j i

j i Q Q Q Q Q Q Cov Q Q

Q Q Cov Q Q ρ σ σ

σ σ ρ =⇒=

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) t t t P Q E Q Q E Q P Q E Q Q E Q Cov 221112121112,1 ........ −−++−−=

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )......

)1(

,2

.....)1(

,2

)1(

,2

)1(

,2

)1(...)1(

,2

)1(

)1(

,2)1(

1

)(.......

1

)(

1

)()()(

1

1

4

31

3

21

2

2

1

2

2

4

2

2

2

1

222

++

+

+++++−+++−

++

−++

+++

++

+=

+n

n

n

n

n

n

k

Q Q Cov

k

Q Q Cov

k

Q Q Cov

k

Q A Cov

k

Q A Cov

k

Q A Cov

k

Q

k

Q

k

Q A VAN

σ σ σ σ σ


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23


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24


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4. El VAN como variable aleatoria y jerarquización de proyectos

Cuando tratamos de comparar dos proyectos utilizamos coeficientes de

variación.

De esta forma tenemos en cuenta el riesgo relativo soportado por cadaproyecto.

Se elegirá el proyecto con menor CV.

[ ][ ]

=

VAN E

VAN CV

σ

Supuesto con VR en año adicional al último FNC


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Supuesto con VR en año adicional al último FNC

5 La aplicación de determinadas distribuciones de probabilidad para el


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• La variable aleatoria VAN (valor actual neto) es igual a la suma de variasvariables aleatorias.

• En virtud del teorema central del límite, la suma de variables aleatoriasindependientes tiende a la distribución normal cuando el número desumandos tiende a infinito y los flujos de caja de los distintos períodos sonindependientes. En este caso aplicamos la distribución Normal (0,1). Portanto la Normal sólo se puede aplicar si no hay correlación entre losFNC.

• Si los flujos de caja no son independientes (es decir, hay correlación entre

algunos FNC) se puede aplicar la distr ibución simétrica de Tchebycheff

5. La aplicación de determinadas distribuciones de probabilidad para elanálisis de proyectos con riesgo

5. La aplicación de determinadas distribuciones de probabilidad para el


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Si suponemos cumplidos los supuestos del Teorema Central del Límite normalizamos lavariable aleatoria VAN.

5. La aplicación de determinadas distribuciones de probabilidad para elanálisis de proyectos con riesgo



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Ejemplo: Calcular los rangos de probabilidades con los que se puede acotar la TIR esperada deuna inversión que tiene una TIR esperada del 5% si la desviación típica es el 3%; suponiendo quese comporta como una distribución Normal.

p p panálisis de proyectos con riesgo

Probabilidad Intervalo de Variación de la TIR

68% Entre 2% y el 8% (5% +/- 3%)

16% Más del 8% (5% + 3%)

16% Menos del 2% (5% - 3%)

95% Entre -1% y el 11% (5% +/- 2x3%)

2,5% Más del 11% (5% + 2x3%)

2,5% Menos del -1% (5% - 2x3%)



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Ejemplo: Calcular los rangos de probabilidades con los que se puede acotar el VAN esperado deuna inversión que tiene una E(VAN) de 100€ si la desviación típica es de 30€; suponiendo que secomporta como una distribución Normal.

p p panálisis de proyectos con riesgo

Probabilidad Intervalo de Variación del VAN en euros

68% Entre 70 y 130€ (100 +/- 30)

16% Más de 130e (100 + 30)

16% Menos de 70€ (100 - 30)

95% Entre 40 y el 160€ (100 +/- 2x30)

2,5% Más del 160€ (100 + 2x30)

2,5% Menos del 40€ (100 - 2x30)


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Cuando los FNC no son variable independientes una solución posible es utilizarla distribución simétrica de Tchebycheff

La probabilidad de que la variable aleatoria VAN tome valores fuera del intervalo esigual a 1/K2:

análisis de proyectos con riesgo


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35


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EJERCICIO 1: Los 4 flujos de caja de un proyecto de inversión tiene los siguientes valores:Flujo de caja 1: variable aleatoria discreta (probabilidad)Qj P

30 0,35

40 0,3050 0,2060 0,15

Flujo de caja 2: distribución beta simplificadaQjo = 110Qjm = 100Qjp = 80

Flujko de caja 3: distribución triangularQjO = 135Qjm = 125Qjp = 115

Flujo de caja 4: distribución rectangularQjO = 90Qjp = 75

SE PIDE: Calcular la esperanza y la desviación típica de los flujos de caja


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EJERCICIO 1: SoluciónLa esperanza y desviación típica del flujo de caja 1 será:E(Q1) = 30 * 0,35 + 40 * 0,3 + 50 * 0,20 + 60 * 0,15 = 41,5

2(Q1) = (30-41,5)2 * 0,35 + (40-41,5)2 * 0,3 + (50-41,5)2 * 0,2 + (60-41,5)2 * 0152 (Q1) = 112,75(Q1) = 10,61

La esperanza y desviación típica del flujo de caja 2 será:

3 , 986

80100 41106

Qj m

Qj 4 o

Qj )Q( E p

2 =+⋅+=+⋅+=

2536

)80110(

36

)()(

22

2

2 =−

=−

= po

QjQjQσ

5 25 )Q( 2 ==σ


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EJERCICIO 1: SoluciónLa esperanza y desviación típica del flujo de caja 3 será:

La esperanza y desviación típica del flujo de caja 4 será:

125 3

115125135

3

Qj m

Qj o

Qj )Q( E

p

3 =

++=

++=

18

)()()()(

2

32

pmmo po QjQjQjQjQjQjQ

−⋅−−−=σ

7,1618

)115125()125135()115135()(

2

3

2=

−⋅−−−=Qσ 08 , 47 ,16 )Q( 3 ==σ

5 ,82 275 90

2

Qj o

Qj )Q( E

p

4 =+=

+=

75 ,1812

)75 90(

12

)Qj o

Qj( )Q(

2 p

4 2 =

−=

−=σ

33 , 4 75 ,18 )Q( 4 ==σ


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EJERCICIO 2: Se pide calcular la esperanza y desviación típica del VAN con los flujos decaja del ejercicio 1 siendo independientes, con un desembolso inicial de 170 y una tasa“k” del 5%.

SOLUCIÓN:

53,134170)( 432 )05,1(5,82

)05,1(

125

)05,1(

3,98

05,1

5,41 =++++−=VAN E

98,1470)( 8642)05,1(

75,18

)05,1(

5,16

)05,1(

25

)05,1(

75,1122 =++++=VAN σ

16,1298,147)( ==VAN σ


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EJERCICIO 3: Con los datos del ejercicio 2 se pide calcular la probabilidad deaceptación del proyecto, es decir, que VAN sea mayor que cero.

SOLUCIÓN:

P(VAN>0) = P(ξ> ) = P(ξ> - 11,06)

La probabilidad es 1 = 100%.

16 ,12

53 ,1340 −

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