6-VIDAL-PE-98-85-95

Pistas Educativas, No. 98, Enero-Junio 2012, México, Instituto Tecnológico de Celaya.

Pistas Educativas Año XXXI - ISSN 1405-1249 Certificado de Licitud de Título 6216; Certificado de Licitud de Contenido 4777; Expediente de Reserva 6 98 62

www.pistaseducativas.itc.mx

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Validación de un modelo viscoelástico para indentación de cartílago

Agustín Vidal Lesso

Departamento de Ingeniería Mecatrónica Instituto Tecnológico de Celaya

[email protected]

Alberto Saldaña Robles Departamento de Ingeniería Mecánica

Universidad de Guanajuato

[email protected]

Víctor Alcántar Camarena Departamento de Ingeniería Mecánica


[email protected]

Gerardo Pacheco Santamaría Departamento de Ingeniería Mecánica


[email protected]

Juan José Martínez Nolasco Departamento de Ingeniería Mecatrónica

Instituto Tecnológico de Celaya

[email protected]

RESUMEN

El objetivo de este trabajo fue proponer un modelo viscoelástico no lineal para cartílago que considere los parámetros geométricos de la prueba de indentación, su velocidad, el espesor de la muestra y la variación del módulo elástico a través del tiempo. El modelo de Hayes et al. y las ecuaciones constitutivas de viscoelasticidad fueron transformadas al espacio de Laplace, las cuales se combinaron con el modelo sólido lineal estándar para desarrollar el modelo propuesto en este trabajo, el cual mostró un fuerte ajuste (R2=0.997) a la fuerza de indentación a través del tiempo de los datos experimentales reportados en trabajos previos. El modelo propuesto y validado, podría ser utilizado como práctica de modelación matemática y experimentación, en materias de los programas de posgrado, para predecir la respuesta dinámica en materiales viscoelásticos sometidos a diversas condiciones en la prueba de indentación.

Palabras clave: Indentación, modelación matemática, viscoelasticidad, cartílago.

mailto:[email protected]








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NOMENCLATURA a Radio de indentación E(t) Módulo elástico E1 Módulo elástico del resorte 1 E2 Módulo elástico del resorte 2 ε(t) Deformación unitaria η Viscosidad del amortiguador k Factor de escala de Hayes v Razón de Poisson ω Profundidad de penetración P Fuerza aplicada σ(t) Esfuerzo t Tiempo τ Tiempo de relajación V Velocidad de indentación

1. INTRODUCCIÓN En la actualidad el estudio del comportamiento mecánico del cartílago articular es de suma importancia para el análisis biomecánico de algunas enfermedades de las articulaciones tales como la osteoartritis unicompartimental donde el cartílago se desgasta. La indentación es una técnica experimental ampliamente utilizada para la caracterización del comportamiento mecánico de los materiales, entre ellos el cartílago de rodilla. Algunos modelos analíticos de indentación han sido reportados para la caracterización de materiales viscoelásticos como plásticos y otros materiales (Vandamme M. et al., Mencík, J.). Además, se han formulado algunos otros modelos analíticos para reproducir el comportamiento de materiales tales como el cartílago articular, el cual muestra un comportamiento viscoelástico. En varios trabajos se han propuesto diversos modelos de una fase, dos fases, análisis lineal, no lineal, viscohiperelástico, poroviscoelásticos y poroelásticos (Sokoloff, I. et al., Kempson, G. E. et al., Mow, V. C. et al., Garcia, J. J. et al., Li, L.P. et al., Julkunen, P. et al.). El efecto viscoelástico, que implica la dependencia en el tiempo de las ecuaciones constitutivas, se consideró en los trabajos previamente mencionados, así como en el modelo propuesto en este trabajo. Sin embargo, los modelos reportados se han desarrollado y validado en el contexto de pequeñas deformaciones.




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En el presente trabajo se utilizan datos experimentales de pruebas de indentación en cartílago de rodilla, donde se aplicaron deformaciones finitas y se considera el modelo sólido lineal estándar para obtener el modelo viscoelástico no lineal para indentación de cartílago, ya que además de predecir la relajación exponencial de los esfuerzos (modelo de Maxwell) también predice el comportamiento para creep, lo cual considera un comportamiento más real. A partir de estas consideraciones, se propone y valida un modelo de indentación dinámica no lineal de fuerza de indentación en cartílago articular de rodilla.

2. MÉTODO Se consideró el modelo de Hayes et al., que proporciona una estimación del módulo elástico instantáneo utilizando tres parámetros en la prueba de indentación: la fuerza de indentación, el diámetro del indentador y la profundidad de penetración; además, utiliza el grosor del tejido a través del factor de escala propuesto por Hayes et al. El modelo de Hayes et al. puede presentarse para la fuerza de indentación aplicada, considerando los cambios en los parámetros a través del tiempo (Ec. 1).

2

2akP ω t E(t)

1 v

(1)

Para relacionar la ecuación constitutiva viscoelástica con el modelo de Hayes et al. la ecuación 1 se transforma al espacio de Laplace (Ec. 2). La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales en problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.

2

2akPJ s W(s)

1 v

(2)

donde:

J(s) = Módulo de fluencia lenta por deformación (J=1/E) en el espacio de Laplace

W(s) = Profundidad de penetración en el espacio de Laplace




~ 88 ~

La ecuación constitutiva que se consideró para la viscoelasticidad es la siguiente:

t

0

( )σ t E(t τ)

dε τdτ

dτ (3)

A partir de la ecuación 3, se puede obtener una relación complementaria y útil (Ec. 4).

t

0

σ( )t J(t τ)

d τε dτ

dτ (4)

Las integrales anteriores pueden ser manipuladas con la transformada de Laplace. En concreto, la transformación de Laplace de una ecuación lineal integral o una ecuación lineal diferencial se convierte en una ecuación algebraica. Por lo tanto, aplicando el teorema de la derivada y el teorema de convolución para la transformada de Laplace, las ecuaciones 3 y 4 son respectivamente:

σ(s)

sE(s)ε(s)

(5)

σ(s) 1

ε(s) sJ(s) (6)

Aquí “s” es la variable transformada al espacio de Laplace. Una vez establecidas las relaciones de esfuerzo-deformación, la siguiente relación entre el módulo de fluencia lenta por deformación (creep compliance) y el módulo elástico es:

2

1E(s)J(s)

s

(7)




~ 89 ~

La relación anterior puede ser usada en la ecuación 2 para obtener la siguiente expresión:

2

2

P(1 ) 1W(s)E(s)

2a s

(8)

Aplicando la transformada inversa de Laplace a la ecuación anterior, se puede obtener una ecuación en función del tiempo, sin embargo, la variación de la profundidad de penetración, ω(t), y el módulo de elasticidad, E(t), con el tiempo son requeridas. Para obtener la variación del módulo de elasticidad respecto al tiempo, se consideró el modelo sólido lineal estándar para viscoelasticidad, dicho modelo consta de un resorte y un amortiguador en serie, los cuales están en paralelo con otro resorte (véase la Figura 1).

Figura 1. Modelo sólido lineal estándar. E1, representa la rigidez del resorte 1; E2, la rigidez del resorte 2 y η representa la viscosidad del amortiguador.

En el modelo sólido lineal estándar la parte izquierda representa el modelo de Maxwell:

1 1

1

dσ σdεE

dt dt τ

(9)

Esta ecuación diferencial está escrita en términos del tiempo de

relajación donde 1τ η / E .




~ 90 ~

La parte derecha del modelo está representada por la ecuación:

2

2

dσdεE

dt dt

(10)

El esfuerzo total es igual a la suma de los esfuerzos de la parte izquierda (9) y derecha (10) del diagrama, σ = σ1 + σ2, por lo que el modelo sólido lineal estándar es:

21 2

εEdε σ dσE E

dt τ τ dt

(11)

Este modelo predice un comportamiento más real comparado con el modelo de Maxwell, ya que además de predecir la relajación exponencial de los esfuerzos también predice el comportamiento exponencial para creep. Si consideramos un paso de deformación, la respuesta de relajación y creep del módulo elástico es:

tτ

2 1E t E E e (12)

Además, dado que la velocidad de penetración del indentador (V) es constante, la variación de la profundidad de penetración con respecto al tiempo se puede obtener con la relación de velocidad constante:

ω t V t (13)

Aplicando la transformada inversa de Laplace a la ecuación 8 y el teorema de convolución con las ecuaciones 12 y 13, se obtiene una relación de la fuerza de indentación como una función del tiempo:

2

tτ

2 12

2akV tP t E E τ t τe τ

(1 )t 2

v (14)

La ecuación 14 representa un modelo viscoelástico dinámico no lineal para la fuerza de indentación del cartílago en función del




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tiempo. Esta ecuación, combina los parámetros geométricos y la velocidad de la prueba de indentación, con el espesor de la muestra, así como las propiedades mecánicas del tejido en función del tiempo debido a su comportamiento viscoelástico. Para la validación de este modelo, se consideraron tres casos de indentación experimental de cartílago de rodilla durante la aplicación de la carga, reportados por Vidal et al. Las condiciones de los ensayos de indentación reportados fueron: 0.5 mm de desplazamiento máximo en dirección axial con un indentador cilíndrico plano de 3 mm de diámetro. La velocidad de indentación fue constante de 0.21 mm/s hasta alcanzar los 0.5 mm. Las características de los especímenes considerados para validación y obtención de los parámetros de la ecuación 14, se muestran en la Tabla I.

Para determinar la fuerza P de indentación en la ecuación 14, se requiere conocer los módulos elásticos (E1 y E2) y el tiempo de relajación (τ). El módulo 1, E1, se determinó aplicando el modelo de Hayes el al. al máximo nivel de indentación, el cual requiere de la máxima fuerza de indentación experimental, la profundidad de penetración del indentador, el radio del indentador, la razón de Poisson y el factor de escala de Hayes et al. Los valores para E1, se muestran en la Tabla I, que corresponden al valor de Eo en cada caso. El módulo 2, E2, y el tiempo de relajación, τ , se determinaron al realizar el ajuste del modelo a los datos experimentales de cada espécimen, obteniendo para cada parámetro los valores que se muestran en la Tabla II.




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El valor de la razón de Poisson fue 0.45, considerando al cartílago como un material incompresible (Lyyra, T et al., Mak, A. F. et al.).

3. RESULTADOS El modelo analítico presentó un buen ajuste a los datos experimentales para los especímenes de indentación de cartílago. Los valores de correlación obtenidos se presentan en la Tabla III.

Las curvas comparativas entre los datos experimentales y los obtenidos con el modelo de predicción (Ec. 14) para la fuerza de indentación, se muestran en la Figura 2 para cada espécimen.




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a)

b)

c)

Figura 2: Comparación del modelo viscoelástico dinámico no lineal (Ec. 14) con la respuesta experimental de indentación de cartílago humano reportada para: a) espécimen 1, b) espécimen 2 y 3) espécimen 3.




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4. DISCUSION Y CONCLUSIONES El modelo obtenido en la ecuación 14, representa un modelo viscoelástico dinámico no lineal para predecir la fuerza de indentación en carga a través del tiempo. Este modelo, combina los parámetros geométricos de la prueba de indentación, con la profundidad de penetración, la velocidad de indentación de la prueba, el espesor de la muestra y la variación del módulo elástico a través del tiempo del material de la muestra, por lo que la ecuación 14 propuesta en el presente trabajo, podría ser ajustada a resultados de pruebas de indentación de otros materiales que presenten comportamientos viscoelásticos, como el del cartílago articular que se muestra en los datos experimentales de este trabajo. Los valores de correlación obtenidos en la Tabla III, mostraron que la consideración del modelo sólido lineal estándar en las ecuaciones constitutivas viscoelásticas, generó una mejor correlación a los datos experimentales (R2=0.997) que el modelo de Maxwell considerado en trabajos previos reportados por Vidal et al., quienes reportan un valor de correlación medio de R2=0.992. Esto puede ser atribuido al efecto que genera el arreglo de resortes y al amortiguador, considerado en el modelo sólido lineal estándar, con el cual se obtiene un modelo más complejo para la variación del módulo de elasticidad a través del tiempo, comparado con el modelo de Maxwell para viscoelasticidad. Finalmente, el modelo propuesto y validado en este trabajo, podría ser utilizado como práctica de modelación matemática y experimentación, en materias de los programas de posgrado para ajustar y predecir la fuerza de indentación en otros tejidos y materiales viscoelásticos, así como para el análisis de la respuesta dinámica de los especímenes sometidos a diversas condiciones de prueba geométricas y variaciones de velocidad de indentación.

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