FLEXION SIMPLE Programa que calcula el armado de una viga rectangular sometida a flexin simple a

partir de sus caractersticas geomtricas.

Ejemplo de flexin mecnica: arriba, un elemento tal como una barra se encuentra en estado de reposo; en la figura de abajo dicho elemento es sometido a una fuerza. El elemento, en consecuencia, se dobla en el mismo sentido de la fuerza.

En ingeniera se denomina flexin al tipo de deformacin que presenta un elemento estructural alargado en una direccin perpendicular a su eje longitudinal. El trmino "alargado" se aplica cuando una dimensin es dominante frente a las otras. Un caso tpico son las vigas, las que estn diseadas para trabajar, principalmente, por flexin. Igualmente,el concepto de flexin se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o lminas.

El rasgo ms destacado es que un objeto sometido a flexin presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no vara con respecto al valor antes de la deformacin. Elesfuerzo que provoca la flexin se denomina momento flector.

ndice

1 Flexin en vigas y arcos

1.1 Teora de Euler-Bernoulli

1.2 Teora de Timoshenko

2 Flexin en placas y lminas

2.1 Teora de Love-Kirchhoff

2.2 Teora de Reissner-Mindlin

Flexin en vigas y arcos

Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar predominantemente enflexin. Geomtricamente son prismas mecnicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la seccin transversal de las vigas. Existen dos hiptesis cinemticas comunes para representar la flexin de vigas y arcos:

La hiptesis de Navier-Euler-Bernouilli. En ella las secciones transversales al eje baricntrico se consideran en primera aproximacin indeformables y se mantienen perpendiculares al mismo (que se curva) tras la deformacin.

La hiptesis de Timoshenko. En esta hiptesis se admite que las secciones transversales perpendiculares al eje baricntrico pasen a formar un ngulo con ese eje baricntrico por efecto del esfuerzo cortante.

Teora de Euler-Bernoulli e

Viga en voladizo de seccin cuadrada sometida a flexin recta simple, mediante una carga en el extremo libre. La animacin muestra una simulacin mediante el mtodo de los elementos finitos, donde se observan tensiones crecientes cerca de la seccin empotrada a medida que se incrementa la carga (y tambin la deflexin debida a ella).

La teora de Euler-Bernoulli para el clculo de vigas es la que se deriva de la hiptesis cinemtica de Euler-Bernouilli, y puede emplearse para calcular tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje grande comparada con el canto mximo o altura de la seccin transversal.

Para escribir las frmulas de la teora de Euler-Bernouilli conviene tomar un sistema de coordenadas adecuado para describir la geometra, una viga es de hecho un prisma mecnico sobre el que se pueden considerar las coordenadas (s, y, z) con s la distancia a lo largo del eje de la viga e (y, z) las coordenadas sobre la seccin transversal. Para el caso de arcos este sistema de coordenas es curvilneo, aunque para vigas de eje recto puede tomarsecomo cartesiano (y en ese caso s se nombra como x). Para una viga de seccin recta la tensin el caso de flexin compuesta esviada la tensin viene dada por la frmula de Navier:

Donde:

son los segundos momentos de rea (momentos de inercia) segn los ejes Y y Z.

es el momento de rea mixto o producto de inercia segn los ejes Z e Y.

son los momentos flectores segn las direcciones Y y Z, que en general vararn segn la coordenada x.

es el esfuerzo axial a lo largo del eje.

Si la direccin de los ejes de coordenadas (y, z) se toman coincidentes con las direcciones principales de inercia entonces los productos de inercia se anulan y la ecuacin anterior se simplifica notablemente. Adems si se considera el caso de flexin simple no-desviada las tensiones segn el eje son simplemente:

Por otro lado, en este mismo caso de flexin simple no esviada, el campo de desplazamientos, en la hiptesis de Bernoulli, viene dada por la ecuacin de la curva elstica:

Donde:

representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posicin inicial sin cargas.

representa el momento flector a lo largo de la ordenada x.

el segundo momento de inercia de la seccin transversal.

el mdulo de elasticidad del material.

representa las cargas a lo largo del eje de la viga.

Teora de Timoshenko

Esquema de deformacin de una viga que ilustra la diferencia entre la teora de Timoshenko y lateora de Euler-Bernouilli: en la primera i y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.

La diferencia fundamental entre la teora de Euler-Bernouilli y la teora de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la seccin se aproxima mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una aproximacin vlida slo para piezas largas en relacin a las dimensiones de la seccin transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por el momento flector. En la teora de Timoshenko, donde no se desprecian las deformaciones debidas al cortante y por tanto es vlida tambin para vigas cortas, la ecuacin de la curva elstica viene dada por el sistema de ecuaciones ms complejo:

Derivando la primera de las dos ecuaciones anteriores y substituyendo en ella la segunda llegamos a la ecuacin de la curva elstica incluyendo el efecto del esfuerzo cortante:

Flexin en placas y lminas[editar]

Una placa es un elemento estructural que puede presentar flexin en dos direcciones perpendiculares. Existen dos hiptesis cinemticas comunes para representar la flexin de placas y lminas:

La hiptesis de Love-Kirchhoff

La hiptesis de Reissner-Mindlin.

Siendo la primera el anlogo para placas de la hiptesis de Navier-Bernouilli y el segundo el anlogo de la hiptesis de Timoshenko.

Teora de Love-Kirchhoff

La teora de placas de Love-Kirchhoff es la que se deriva de la hiptesis cinemtica de Love-Kirchhoff para las mismas y es anloga a la hiptesis de Navier-Bernouilli para vigas y por tanto tiene limitaciones similares, y es adecuada slo cuando el espesor de la placa es suficientemente pequeo en relacin a su largo y ancho.

Para un placa de espesor constante h emplearemos un sistema de coordenadas cartesianas con (x, y) segn el plano que contiene a la placa, y el eje z se tomar segn la direccin perpendicular a la placa (tomando z = 0 en el plano medio). Con esos ejes de coordenadas las tensiones segn las dos direcciones perpendiculares de la placa son:

Donde:

, es el segundo momento de rea por unidad de ancho.

es el espesor de la placa.

, son los momentos flectores por unidad de ancho, que pueden relacionarse con el campo de desplazamientos verticales w(x,y) mediante las siguientes ecuaciones:

Para encontrar la flecha que aparece en la ecuacin anterior es necesario resolver una ecuacin en derivadas parciales que es el anlogo bidimensional a la ecuacin de la curva elstica:

El factor:

se llama rigidez flexional de placas donde:

son las constantes elsticas del material: mdulo de Young y coeficiente de Poisson.

es el espesor de la placa.

Teora de Reissner-Mindlin

La teora de Reissner-Mindlin es el anlogo para placas de la teora de Timoshenko para vigas. As en esta teora, a diferencia de la teora ms aproximada de Love-Kirchhoff, el vector normal al plano medio de la placa una vez deformada la placa no tiene por qu coincidir con el vector normal a la superficie media deformada.