MÉTODO ANALÍTICO DE DOBLE INTEGRACIÓN

La Ecuación de la Elástica se determina mediante la aplicación de la Ecu.

PROCEDIMIENTO:1. Se traza un diagrama de cuerpo libre de la viga y las cargas, y se bosqueja

su eje deformado, notando una partícula de puntos que tienen deflexión cero o pendiente cero.

2. Se determinan los ejes coordenados. Generalmente es mejor elegir el origen de un extremo de la viga.

3. Se toma una sección cualquiera de la viga a una distancia general x a partir del origen de coordenadas, y se traza el diagrama de cuerpo libre resultante. En buena práctica indicar los ejes coordenados en esta figura.

4. A partir del diagrama de cuerpo libre del paso 3, se escribe una ecuación para el momento flector en la viga, en términos de “x” y de las cargas.

5. Se sustituye estas expresiones para M, la expresión siguiente:

6. Se integra la ecuación del paso 5, para obtener la ecuación de la pendiente

de la viga.

7. Se calcula la primera constante de integración aplicando las condiciones de los límites.

8. Se integra la ecuación de la pendiente para obtener la ecuación de la deflexión “y” de la viga.

9. Se calcula la segunda constante de integración aplicando las condiciones de los límites.

EJEMPLO: Determinar la ecuación de la pendiente y deflexión de la viga mostrada en la figura. Tómese como origen del sistema de coordenadas el extremo empotrado en el punto A.

SOLUCIÓN: Pasos 1 y 2; se indica el diagrama de cuerpo libre y los ejes de coordenadas, que se observa en las figuras a) y b).

Pasos 3 y 4; escribimos las ecuaciones para el momento flector en “x” a partir de la figura c)

(I)

Pasos 5 y 6 Sustituyendo la Ecu. (en la expresión:

(II)

Efectuando la primera integral, se tiene:

Paso 7: Calculamos la primera constante C1

La condición: Cuando x = 0

Sustituyendo: - 0 + 0 – 0 + C1

donde: C1= 0

Por consiguiente:

(III)

Paso 8: Efectuando la segunda integral de la Ecu. (III),

Para obtener la deflexión “y”.

Paso 9: Calculamos la constante C2 : y = 0 cuando x = 0

0 = 0 + 0 – 0 + C2

Entonces C2 = 0

Luego:

La Ecuación de la Curva Elástica se escribe así:

La deflexión máxima de “y” será cuando x = L

Rta.

EJEMPLO: Determinar la ecuación de la pendiente y la deflexión de la viga mostrada.

SOLUCIÓN:

Cálculo de las reacciones:

Resolviendo:

Resolviendo:

TRAMO AB: Luego de haber cumplido con los pasos del 1ro al 3ro, se continúa con el 4to.

Efectuando la primera integral:

(I)

Efectuando la segunda integral:

(II)

TRAMO BC:

Desarrollando la expresión algebraica se tiene:

Efectuando la primera integral:

(III)

Efectuando la segunda integral:

(IV)

Calculamos la constante, asumiendo las siguientes condiciones:

y = 0 Cuando x = 0 (1)y = 0 Cuando x = L (2)yAB = yBC Cuando x = L/2 (3)

Cuando x =L/2 (4)

Usando la condición (1) en (II) se tiene que C2 = 0

Usando la condición de (2) en (IV) se tiene C4 = 0

(V)

Considerando la condición (II) = (IV) :

Así mismo considerando: C2 = 0

Cuando x = L/2

Desarrollando se obtiene:

(VI)

Usando la condición (4) en la Ecu. (I) = (III)

Cuando x = L/2

Remplazando el valor de “x” en la expresión anterior se tiene:

(VII)

Teniendo las ecuaciones planteadas, podemos determinar los valores de las constantes:

Desarrollando se tiene:

Luego las ecuaciones de pendiente serán:En el Tramo AB:

En el Tramo BC

Luego las ecuaciones de deflexión serán:

En el Tramo BC

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