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DEFINICIONES
La notación de espacio de estado busca representar por medio de ecuaciones diferenciales de primer orden, llamadas ecuaciones de estado, las relaciones dinámicas internas y externas de los sistemas físicos.
Anotación general:
),,(
),,(
tuxgy
tuxfx
Unidad académica: IngenieríasFacultad: Ingeniería ElectrónicaProfesor: Marisol OsorioE – mail: [email protected]
f y g son en general funciones no necesariamente lineales.
Si f y g son lineales e invariantes en el tiempo, las ecuaciones toman su forma matricial:
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
DEFINICIONES
A la ecuación para se le conoce como ecuación de estados y a la ecuación para y se le conoce como ecuación de salidas. Tanto x, como y y u son en general vectores.
Estado: Es un concepto que se refiere al comportamiento dinámico de un sistema en el tiempo. El estado de un sistema está determinado por el valor del conjunto mínimo de variables de estado que define el comportamiento dinámico del mismo para todo tiempo t>t0.
x
DEFINICIONES
Variables de Estado:
Conjunto de variables internas o externas, observables o no, medibles o no, que representan completamente el comportamiento dinámico de un sistema desde el punto de vista de la energía que se almacena en él. La cantidad de variables de estado que se requiere para representar un sistema determina el orden del mismo.
DEFINICIONES
La expresión matricial de las ecuaciones de estado es así:
)(
.
.
)(
)(
..
...
...
...
..
..
)(
.
.
.
)(
)(
...
...
...
...
...
)(
.
.
.
)(
)(
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
tu
tu
tu
bbb
bbb
bbb
tx
tx
tx
aaa
aaa
aaa
tx
tx
tx
rnrnn
r
r
nnnnn
n
n
n
DEFINICIONES
En un sistema físico usualmente se definen las variables de estado en relación con los elementos que almacenan energía.
Establecer así las variables de estado permite definir el diagrama de estado del sistema y obtener la función de transferencia del mismo definiendo como salida cualquiera de los estados del sistema.
DEFINICIONES
Diagrama de Estado:
Gráfico que representa el flujo de señal en el sistema y que permite describir ecuaciones de estado y ecuaciones diferenciales.
DEFINICIONES
Matriz de Transición de Estado:
Matriz función del tiempo, que representa el comportamiento en el tiempo de los estados y permite conocer su valor en todo momento conocidos los valores iniciales de los estados cuando la entrada al sistema es cero. Su relación con los estados del sistema es:
0)()( xttx
DEFINICIONES
MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
)()()()()()()(
)()()()]()([)]([1
01
0
0
sBUAsIxAsIsXsBUxsXAsI
sBUsAXxssXtButAxLtxL
Se conoce como Φ(t) y puede hallarse por medio de la transformada de Laplace de la ecuación de estados así:
Puede observarse que el comportamiento de los estados en el dominio de la frecuencia, si las entradas del sistema se hacen cero, se puede determinar mediante la matriz inv(sI-A), si se conocen los estados iniciales del sistema. Obsérvese que entonces esta matriz coincide con la definición de Φ(t), pero en el dominio de la frecuencia, por lo que es llamada Φ(s).
MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
Φ(t) puede encontrarse con la transformada inversa de Laplace de inv(sI-A), que similarmente a las expresiones escalares puede encontrarse así:
La transformada inversa se aplica sobre cada uno de los términos de la matriz inv(sI-A)
tat esLeas
L AAI
111 1
MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
Φ(t) se halla con una serie parecida a la usada para funciones escalares:
Este método no es el más adecuado para cálculos analíticos, y queda reservado a las situaciones en las que la matriz de transición de estados debe calcularse numéricamente.
...!3!2
3322
tAtA
AtIe tA
MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Si en la ecuación
Las condiciones iniciales de los estados se hacen cero, la expresión para X(s) será:
)()()()( 10
1 sBUAsIxAsIsX
)()()( 1 sBUAsIsX
Si lo anterior se reemplaza en la ecuación de salidas, queda:
La matriz
Se llama matriz de transferencia del sistema.
)()()( 1 sBUAsICsY
BAsICsH 1)()(
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
CAMBIO DE BASE
Para analizar las diferentes propiedades de los sistemas definidos en espacio de estado y también por conveniencia, es necesario en ocasiones realizar cambios de base que consisten en la substitución de un vector de estados por otro a través de la transformación lineal.
Txz
z es el vector de estados nuevo, obtenido a partir del vector anterior x, por medio de la multiplicación del mismo por la matriz de cambio de base T.
Esta matriz es por definición cualquier matriz cuadrada regular, pero para determinados cambios de base específicos puede tomar formas predefinidas, como se verá.
CAMBIO DE BASE
Cuando la función para el cambio de base se reemplaza en las ecuaciones de estado y de salida se obtiene:
Y en la ecuación de salidas:
TBuzTATzBuzATzT 111
DuzCTy 1
CAMBIO DE BASE
Lo anterior puede escribirse:
Con:
Es de anotar que la función de transferencia del sistema no se modifica con el cambio de base realizado.
uDzCy
uBzAz~~
~~
DDCTc
TBBTATA
~~
~~
1
1
CAMBIO DE BASE
FORMAS CANÓNICAS
Son representaciones diversas de las ecuaciones de estado que se consiguen a través de cambios de base de la formulación original o a partir de la función de transferencia del sistema.
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
Esta forma se consigue cuando la función de transferencia es expandida en sus fracciones parciales así:
n
n
s
r
s
r
s
rbsH
2
2
1
10)(
Las matrices que corresponden a esta expresión de la función de transferencia son las siguientes:
021
2
1
1
1
1
00
00
00
bDrrrC
BA
NnN
N
n
N
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
Obsérvese que los elementos en la diagonal de AN corresponden a los polos del sistema, y son los eigenvalores o valores propios de A para cualquier formulación en espacio de estado del sistema. Si el sistema tiene polos repetidos, la expansión en fracciones parciales es más compleja y también la expresión matricial.
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
En el caso de polos repetidos, H(s) expandida tiene la forma:
En este caso, el polo i-ésimo está repetido k veces.
n
nk
i
ki
i
i
i
i
s
r
s
r
s
r
s
r
s
rbsH
)()()(
221
1
10
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
En este caso las matrices quedan:
011
1
1
1
0
0
1
1
00000
001000
000100
000000
000
0000
bDrrrrC
BA
NnkiiN
N
n
i
i
N
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
Si un sistema se encuentra en otra representación, puede llevarse a la forma canónica de Jordan haciendo un cambio de base usando la matriz de transformación T construida con los vectores propios de A:
pi son vectores que cumplen con la ecuación
npppT 21
iii App
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
También se conoce como la forma compañera I.
Cuando la función de transferencia puede expresarse de la forma:
01
1
1)(
asasasH
nn
nn
FORMA CANÓNICA DE JORDAN
Las matrices quedan de la forma:
Propuesto: Qué pasa cuando el polinomio en el denominador de la función de transferencia es diferente de 1?
01
000
0
0
0
1
0100
0010
00010121
Da
C
B
aaaa
A
n
nn
FORMA CANÓNICA CONTROLABLE
También se conoce como la forma compañera II.
Cuando la función de transferencia puede reorganizarse para que quede así:
)()(1
)()(1
)()( 0011 sUbsYas
sUbsYas
sUbsYannnnn
FORMA CANÓNICA CONTROLABLE
Las matrices quedan de la forma:
n
n
n
n
n
nnn
nnn
n
n
a
bD
aC
bab
bab
bab
bab
B
a
a
a
a
A
0001
000
100
010
001
00
11
22
11
0
1
2
1
FORMA CANÓNICA CONTROLABLE
CONTROLABILIDAD
Un sistema es controlable si y sólo si, es posible, por medio de la entrada, llevar al sistema, de cualquier estado inicial x0 a cualquier otro estado x(t) en un tiempo finito t.
Un sistema es observable si, y sólo si, es posible conocer un estado arbitrario anterior x(t) con solamente un registro finito y(τ) de la salida. (0≤ τ≤T).
OBSERVABILIDAD
CONDICIONES DE CONTROLABILIDAD
Para juzgar controlabilidad es posible tomar alguno de los siguientes caminos:
1. Llevar el sistema a su forma canónica de Jordan.
Si en esta forma sin polos repetidos, ninguno de los elementos de B es igual a cero, el sistema es controlable. En caso de que haya polos repetidos, es posible que los elementos de B que correspondan al bloque de Jordan de polos repetidos, sean iguales a cero, excepto el primero de ellos.
2. Construir la matriz de controlabilidad:
Si esta matriz tiene rango n, el sistema es controlable.
BAABBS n 1
CONDICIONES DE CONTROLABILIDAD
Para juzgar observabilidad es posible tomar alguno de los siguientes caminos:
1. Llevar el sistema a su forma canónica de Jordan.
Si en esta forma sin polos repetidos, ninguno de los elementos de C es igual a cero, el sistema es observable. En caso de que haya polos repetidos, es posible que los elementos de C que correspondan al bloque de Jordan de polos repetidos, sean iguales a cero, excepto el primero de ellos.
CONDICIONES DE OBSRVABILIDAD
2. Construir la matriz de observabilidad:
Si esta matriz tiene rango n, el sistema es controlable.
1nCA
CA
C
V
CONDICIONES DE OBSRVABILIDAD
CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
Si se define una matriz M:
1000
1
00
10
1
1
231
121
n
n
n
a
aaa
aaa
M
Es posible definir una matriz de cambio de base a forma controlable:
En donde S es la matriz de controlabilidad.
Es posible definir una matriz de cambio de base a forma observable:
En donde S es la matriz de observabilidad.
SMP
1 MVQ
CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
DISEÑO DE CONTROLADORES DE
ESTADOS
En un proceso en que todos los estados sean accesibles, es posible realizar una “asignación de polos” por medio de una matriz de ganancia:
Para un sistema en notación de espacio de estado, el uso de esta matriz G para implementar la ley de control u=-Gx hace que la ecuación de estados quede:
][ 21 ngggG
xBGAx
Aparece entonces una matriz dinámica de lazo cerrado AC cuyos valores propios determinarán la dinámica del sistema:
Si estos valores propios se sintonizan adecuadamente, es posible que la dinámica del sistema se comporte como se desea (teóricamente).
BGAAC
DISEÑO DE CONTROLADORES DE
ESTADOS
Si el sistema se encuentra en su forma controlable, esto es particularmente fácil, porque
Y basta hacer que ai+gi=â donde â serían los coeficientes de la ecuación característica del sistema con la dinámica deseada.
0100
0010
00010112211
nnnn gagagaga
A
DISEÑO DE CONTROLADORES DE
ESTADOS
DISEÑO DE OBSERVADORES
En el diseño de controladores se supuso acceso asegurado a los estados del sistema, pero esto no siempre es posible.
Si el sistema es observable, es posible definir un sistema dado por:
La idea es hacer decrecer asintóticamente el error dado por:
KyuBxAx ˆˆˆ̂
uBBxAKCaeA
KCxuBexABuAxxxe
)ˆ()ˆ(ˆ
ˆ)(ˆ
Para esto puede hacerse:
K es una matriz definida:
K debe ser tal que asegure que el error decrezca asintóticamente.
BB
KCAA
ˆ
ˆ
nk
k
k
K2
1
DISEÑO DE OBSERVADORES
Si el sistema se encuentra en su forma observable, esto es particularmente fácil, porque
Y basta hacer que ai+ki /an=â donde â serían los coeficientes de la ecuación característica del sistema con la dinámica deseada
000
100
010
001
0
11
22
11
n
n
n
n
nn
nn
a
ka
a
ka
a
ka
a
ka
A
DISEÑO DE OBSERVADORES
