Primera Prueba Parcial Lapso 2014-2 733 1/4

Especialista: Profa. Chanel Chacn Evaluadora: Profa. Florymar Robles Validador: Prof. Federico Hernndez

rea de Matemtica.

Universidad Nacional Abierta Matemticas III (Cd. 733)

Vicerrectorado Acadmico Cd. Carrera: 280, 236

rea de Matemtica Fecha: 06 12 2014

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 01 al 04.

OBJ 1 PTA 1 Calcula

x2xxee1e

xd

Solucin

Al realizar el cambio de variable z = ex de donde dz = ex dx =x

e

dx .

Entonces,

22x2xx

2

1z

4

5

zd

zz1

zd

ee1e

xd, (por qu?)

seguidamente hacemos un cambio trigonomtrico usen2

5

2

1z , udu

2

5zd cos , que al

sustituir en la ltima integral se obtiene:

usen14

5

udu

2

5

usen4

5

4

5

udu2

5

2

1z

4

5

zd

222

coscos

Cudu .

Al devolver el cambio se tiene:

C2

1z

5

2arcsen

ee1e

xd

x2xx

.

OBJ 2 PTA 2 Encuentra una frmula de reduccin para

xdax

n22

.

SOLUCIN Se hace el cambio de variable x = a secu , dx = a secu tgu du,

udutguaauaxdax

n222

n22

secsec udutgusecautgan

22

udutgusecutga n1n

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Ahora, aplicamos el mtodo de integracin por partes a la integral

udutguutgan1nsec , haciendo z = utg

n y dv = secu tgu du

dz = duuutgn21n

sec

v = secu

Entonces,

duusecusecutgnusecutgaudutgusecutga

21n1nn1n n

dutguusecutgnduusecutgnusecutga

n1nn1n.

Al despejar,

udutgusecutga)n1( n1n

duusecutgnusecutg1n

a 1n1n

n

Al devolver el cambio x = a secu secu = a

x cosu =

x

a.

dxaxa1n

nax

1n

xxdax

2n222

n22

n22 .

Nota: El estudiante deber completar los pasos y justificar las operaciones.

OBJ 3 PTA 3 Halla el nmero positivo a que satisfaga la ecuacin

a2

a

02

x1

xd

x1

xd

SOLUCIN Calculemos la integral definida,

aarctg0arctgaarctgxarctgx1

xda

0

a

0

2

1 . Calculemos la integral impropia,

aarctg2

x1

xdlm

x1

xdb

a

2ba

2

2

Al igualar 1 y 2 se tiene:

aarctg2

aarctg 1

4

tga

4

aarctg

2

aarctg2

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Por lo tanto, el valor de a tal que

a2

a

02

x1

xd

x1

xd es 1 a .

OBJ 4 PTA 4 Halla, aproximadamente, el rea de la regin acotada por las grficas de

ecuaciones: y = x Ln x , y = 0 , x = 1 y x = 4, usando la regla de Simpson con n = 4.

SOLUCIN La frmula de Simpson (ver pgs. 133, 134 y 135 del texto Matemtica III de la UNA) para calcular el rea de la regin del plano XY acotada por la grfica de la funcin

f(x) = x Ln x, las rectas x = 1 , x = 4 y el eje OX y con n = 4 est dada por :

)( P24Eh3

1A

donde,

(a ,b) = (1 , 4), 4

3

4

14

n

abh

,

Nuestra frmula recurrente es:

xi = a + i4

ab

con i = 0,...,4,

las primeras iteraciones

x0=1 , x1= 1+4

3= 751

4

7, ,

x2 = 1+2

3= 52

2

5, ,

x3= 1+ 2534

13

4

9, ,

x4 = 4. Luego,

xi 1 1,75 2,5 3,25 4

yi 0 751Ln751 ,,

0,7403

52Ln52 ,,

1,4488

253Ln253 ,,

2,1249

4Ln2

2,7726

E = y0 + y4 = 0+ 2,7726 = 2,7726.

I = y1 + y3 = 0,7403 + 2,1248 = 2, 8652

P = y2 = 1,4488.

Luego,

28265,4)4488,1(2)8651,2(47726,24

3

3

1)P24E(h

3

1A

Por lo tanto, 28265,,4A .

FIN DEL MODELO.