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Material de apoyo para el docente

UNIDAD 2

CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS

Matemáticas

Preparado por: Héctor Muñoz

Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl

1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD

Interpretación de potencias de base natural, fraccionaria o decimal y exponente natural como el producto de factores iguales. Potencias de 10. Multiplicación y división de potencias de 10. Interpretación de una potencia de exponente entero. Multiplicación y división de un número natural o decimal por una potencia de 10. Expresión de un número decimal como el producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero. Descomposición canónica de números decimales expresada con potencias de 10. Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero positivo. Cálculo mental o con herramientas tecnológicas de raíces cuadradas.

2. DURACIÓN APROXIMADA

5 semanas

3. CONTENIDOS

- Interpretación de las potencias - Multiplicación y división de potencias - Potencias de exponente entero - Introducción a las raíces

4. APRENDIZAJES ESPERADOS

4.1 Interpretación de las potencias

Las potencias se introducen como una multiplicación de factores iguales (primer aprendizaje esperado). En tal sentido, hay un paralelo entre la potenciación y la multiplicación, considerada esta como una adición de sumandos iguales.

Esta definición es aplicable solo a potencias de exponente natural mayor que 1. Por tal razón, se hará necesario más adelante dar una definición a las potencias de exponente 1, exponente 0 y exponente negativo. Posteriormente, en Educación Media, habrá que ir más allá y abarcar también las potencias de exponente fraccionario o decimal.

Una vez introducida la definición, se denominan la base y el exponente y se establece lo que ellos representan (segundo aprendizaje esperado). Se muestra con ejemplos que base y exponente no son intercambiables, es decir, la potenciación no es una operación conmutativa.

FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

POTENCIAS Y RAÍCES

Unidad 2Matemáticas

Unidad 2

POTENCIAS Y RAÍCES

APRENDIZAJES ESPERADOS

Interpretación de las potencias

· Interpretan potencias de base natural, fraccionaria o decimal y exponente natural como una multiplicación de factores iguales.

· Identifican e interpretan la base y el exponente en una potencia.

· Determinan el valor numérico de una potencia de exponente natural.

· Identifican y establecen el valor de potencias de 10 de exponente natural.

· Resuelven problemas que involucran cálculo de potencias.

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Se determina luego el valor numérico de potencias dada su base y su exponente (tercer aprendizaje esperado). Dos casos especiales que merecen atención son las potencias de base 1 y las potencias de base 0.

Un tratamiento especial se hace de las potencias de 10 que desempeñan un papel central en nuestro sistema de numeración (cuarto aprendizaje esperado).

El tratamiento del tema se complementa con resolución de problemas que involucren potencias (quinto aprendizaje esperado).

4.2 Multiplicación y división de potencias

El segundo contenido centra su atención en las operaciones de multiplicación y división de potencias.

Se inicia el tratamiento del tema con el caso especial de las potencias de 10 con lo cual se establece un vínculo con un tema que al estudiante le resulta familiar (primer aprendizaje esperado).

Los procedimientos de multiplicación y división de potencias de 10 se generalizan luego a las respectivas operaciones con potencias de igual base (segundo aprendizaje esperado).

Por último, se establece un procedimiento para multiplicar y dividir potencias de igual exponente (tercer aprendizaje esperado).

4.3 Potencias de exponente entero

En la Unidad 1 los estudiantes han conocido los números enteros. Ello da pie para analizar la posibilidad de dar una interpretación a potencias de exponente cero o negativo (primer aprendizaje esperado).

Dentro del conjunto de las potencias de exponente entero, centramos la atención en las potencias de 10. Primeramente se identifican y caracterizan las potencias de 10 de exponente entero (segundo aprendizaje esperado).

Luego se discute la multiplicación y la división de un número natural o decimal por una potencia de exponente entero (tercer aprendizaje esperado).

Este último caso permite introducir una forma especialmente conveniente de escribir números muy grandes o muy pequeños como el producto de un número natural o decimal por una potencia de 10 de exponente entero (cuarto aprendizaje esperado).

Finalmente, se presenta la posibilidad de utilizar potencias de 10 de exponente entero para expresar la descomposición canónica de números naturales o números decimales (quinto aprendizaje esperado).


POTENCIAS Y RAÍCES



Multiplicación y división de potencias

· Conocen y aplican procedimientos de cálculo de multiplicación y de división de potencias de 10.

· Conocen y aplican procedimientos de cálculo de multiplicación y de división de potencias de igual base.

· Conocen y aplican procedimientos de cálculo de multiplicación y de división de potencias de igual e x p o n e n t e .


Potencias de exponente entero

· Interpretan potencias de exponente entero, incluyendo potencias de e x p o n e n t e 0 .

· Identifican y caracterizan potencias de 10 de exponente entero.

· Emplean procedimientos de cálculo de multiplicación y división de un número natural o decimal por una potencia de 10 de exponente entero.

· Expresan números naturales y decimales como un producto de la forma p · 10n, en que p es un número natural o decimal y n es un n ú m e r o e n t e r o .

· Expresan la descomposición canónica de un número natural o decimal con potencias de 10.

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4.4 Introducción a las raíces

La presente Unidad consulta un vistazo relativamente rápido a aspectos básicos de la noción de raíz cuadrada.

Se introduce la definición de la raíz cuadrada a través de su relación con potencias de exponente 2 (primer aprendizaje esperado).

Sobre la base de la definición, se identifican números que son cuadrados perfectos y cuya raíz cuadrada, por lo tanto, es un número natural (segundo aprendizaje esperado).

En el caso de raíces cuadradas no exactas, se discuten posibilidades de formular estimaciones acotándolas entre dos números naturales (tercer aprendizaje esperado).

El tratamiento del tema finaliza con el empleo de calculadoras para determinar la raíz cuadrada de un número natural cualquiera (cuarto aprendizaje esperado).

5. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS ACERCA DEL ENFOQUE METODOLÓGICO

5.1 Acerca de la definición de potencia

En 3º básico se define multiplicación como una adición de sumando iguales. Así, la adición 3 + 3 + 3 + 3 + 3 es igual al producto 5 · 3 (5 veces 3). Esta definición es fácil de captar por el estudiante y proporciona un procedimiento simple para determinar el valor de las combinaciones multiplicativas básicas. Sin embargo, se tropieza con problemas cuando uno o los dos factores son fracciones, números decimales o números negativos. Para ampliar el campo de aplicación de la multiplicación a estos nuevos conjuntos numéricos se hace necesario reformular la definición, cuidando de conservar sus propiedades más fundamentales.

En el caso de la introducción de las potencias enfrentamos una situación similar. Se parte definiendo una potencia como una multiplicación de factores iguales. Esta definición recuerda la definición inicial de la multiplicación como adición de sumando iguales y resulta simple y fácil de captar por los estudiantes. Pero tiene el inconveniente que solo es aplicable a potencias de exponente natural mayor que 1. Para poder ampliar su campo de aplicación será necesario introducir algunas definiciones adicionales sobre la base de conservar las propiedades más fundamentales.

En especial, en relación con el tipo de exponente, será necesario definir lo que se entenderá por potencias de exponente 1, potencias de exponente 0 y potencias de exponente entero negativo. Para establecer estas definiciones complementarias, nos basamos en una generalización de los procedimientos para multiplicar y dividir potencias de exponente natural.

En el caso de la multiplicación de potencias de igual base y de exponente natural mayor que 1 es relativamente fácil establecer que el producto tendrá la misma base y que su exponente será la suma de los exponentes de los factores:

an · am = an + m

Dado que la división es la operación inversa de la multiplicación, se desprende que:

an : am = an - m


POTENCIAS Y RAÍCES



Introducción a las raíces

· Conocen y aplican la relación que existe entre las potencias de exponente 2 y la raíz cuadrada.

· Identifican números cuya raíz cuadrada es un número natural.

· Formulan estimaciones acerca del valor de raíces cuadradas no exactas.

· Determinan la raíz cuadrada de un número natural cualquiera con ayuda de una calculadora.

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De acuerdo con la definición inicial de potencias, esta relación es válida solo si n – m es mayor que 2.

Para que esta relación sea válida para n = m + 1, debemos suponer que a1 = a.

De igual forma, para que la relación sea válida para n = m, debemos suponer que a0 = 1.

Y para que la relación sea válida para n < m, debemos suponer que a-p = 1/ap.

De modo que la definición de potencias incluye los siguientes casos:

(i) Si n es un número natural mayor que 1, entonces, an = a · a · a … (n factores a).

(ii) Además:

a1 = a

a0 = 1

a-p = 1/ap

Con estas definiciones, las relaciones

an · am = an + m

an : am = an - m

son válidas para cualquier par de números enteros n y m.

En enseñanza media se introducirán nuevas definiciones para exponentes fraccionarios y decimales.

5.2 El trabajo con las potencias de 10

Las potencias de 10 constituyen un conjunto muy especial en el sistema de numeración. La razón de ello radica en que nuestro sistema de numeración es un sistema de base 10. Debido a eso, las potencias de 10 aparecen en el principio de valor de posición y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división por una potencia de 10 resultan muy simples y pueden efectuarse mentalmente.

Los estudiantes han tenido oportunidad de conocer las potencias de 10 como aquellos números formados por un 1 seguido de ceros: 10, 100, 1.000, 10.000, etc. Ahora podrán conocer nuevas facetas de estos números:

Resultan ser potencias, en el sentido que son un producto de factores iguales. En este caso, los factores son todos iguales a 10.

El exponente de una potencia de 10 está directamente relacionado con la cantidad de ceros, de modo que es muy simple establecer mentalmente el valor numérico de cualquier potencia de 10 y, viceversa, es muy simple expresar como potencia de 10 cualquier número formado por un 1 seguido de ceros.

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La multiplicación y división de potencias de 10 es asimismo muy simple: basta agregar o eliminar ceros.

En esta Unidad, al conocimiento que los estudiantes traen de años anteriores se agregan ahora en 7º año las siguientes relaciones:

101 = 10

100 = 1

10-p = 1/10p

5.3 La notación científica

El trabajo con potencias de 10 incluye asimismo la sistematización de los procedimientos de cálculo de multiplicaciones y divisiones de un número natural por una potencia de 10. Esto conduce a la posibilidad de expresar cualquier número muy grande como el producto de un número natural más pequeño por una potencia de 10 y a la posibilidad de expresar cualquier número decimal muy pequeño como el producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente negativo.

Nos acercamos así a la notación científica que ha mostrado ser de gran utilidad en los campos científicos y tecnológicos.

En la notación científica, un número cualquiera se expresa como el producto de un número mayor que 1 pero menor que 10 multiplicado por una potencia de 10.

La notación científica permite escribir en una forma abreviada un número que tiene gran cantidad de ceros por ser demasiado grande o demasiado pequeño.

Así, por ejemplo:

distancia entre la Tierra y el Sol notación habitual: 150.000.000.000 m notación científica: 1,5 · 1011 m

velocidad de la luz notación habitual: 300.000.000 m/s notación científica: 3 · 108 m

masa de un electrón notación habitual: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg notación científica: 9,1 · 10-31 kg

radio del virus causante del SIDA notación habitual: 0,000 000 12 m notación científica: 1,2 · 10-7 m

La notación no solo facilita la escritura de números muy grandes o muy pequeños sino que además permite formarse fácilmente una idea de cuán grande o cuán pequeño es la cantidad representada. Para ello basta fijarse en el exponente de la potencia de 10.

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5.4 La raíz cuadrada

En este nivel solo se contempla una visión elemental de la noción de raíz cuadrada. No se introducen raíces de índice distinto de 2 ni se estudian propiedades de las raíces. El tema se circunscribe a la interpretación de la simbología asociada a la raíz cuadrada y al cálculo de raíces cuadradas.

Los casos más simples de determinación del valor numérico de una raíz cuadrada corresponden a aquellos números naturales que son cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, etc. En estos casos, la aplicación de la definición es inmediata y puede hacerse mentalmente por lo menos hasta 100.

La raíz cuadrada de números que no son cuadrados perfectos puede estimarse mentalmente. Así por ejemplo, la raíz cuadrada de 10 debe estar entre la raíz cuadrada de 9 y la raíz cuadrada de 16, es decir, entre 3 y 4, probablemente más cerca de 3 que de 4. Para muchos fines prácticos, esta aproximación es suficiente.

Si se requiere mayor precisión, podemos usar una calculadora, muchas de las cuales tienen una tecla para la raíz cuadrada.

6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA

GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL)LA NOTACIÓN DE POTENCIAS

En este guía se ejercita la interpretación de la notación de potencias escribiendo como potencia una multiplicación de factores iguales, escribiendo como multiplicación de factores iguales una potencia dada, determinando el valor numérico de una potencia en casos simples, identificando e interpretando la base y el exponente en potencias. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO GRUPAL)SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

En esta Hoja de Trabajo se desarrollan tres situaciones problemáticas que involucran potencias. La primera situación se refiere a una leyenda relativa al inventor del ajedrez. Esta leyenda es un ejemplo que muestra algunos rasgos del crecimiento de una función exponencial. En un principio, el crecimiento es muy lento, pero la rapidez de crecimiento va aumentando poco a poco. En la última casilla debería haber 263 granos de trigo que es un enorme número de 20 cifras y el valor acumulado es 18.446.744.073.709.551.615, un número de 21 cifras. Este número se lee 18 trillones 446.744 billones 73.709 millones 551.615. Los datos dados acerca del número de granos de trigo que hay en 1 kilogramo de trigo y acerca de la producción mundial del trigo en 2004 permiten formarse una idea de la magnitud de este número.

GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL)MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

En esta guía se introduce y ejercita la multiplicación de potencias de igual base apoyándose en la propia definición de potencias. Se subraya que la regla no es aplicable si los factores tienen distinta base. A partir de la regla de multiplicación de potencias de igual base se establece asimismo una interpretación para las potencias de exponente 1.

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GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO INDIVIDUAL)DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

En esta guía se introduce y ejercita la división de potencias de igual base para los casos en que el exponente del dividendo es mayor que el exponente del divisor. Se llama la atención al hecho que la regla de división de potencias de igual base responde al carácter inverso que tiene la división con respecto a la multiplicación.

GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO INDIVIDUAL)MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

En esta guía se analizan y ejercitan los casos de multiplicación y división de potencias de igual exponente.

GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO INDIVIDUAL)POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

En esta guía se amplía la definición de potencias para incluir las potencias de exponente 1, de exponente 0 y de exponente entero negativo. Asimismo se ejercita la expresión de números como el producto de un número natural por una potencia de 10 y el empleo de potencias de 10 para expresar la descomposición canónica de números naturales y decimales.

GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO INDIVIDUAL)LA RAÍZ CUADRADA

La última guía de esta Unidad introduce y ejercita una noción básica de raíz cuadrada. Se llama la atención a que los números que son cuadrados perfectos tienen raíces cuadradas exactas, lo que es una consecuencia directa de la definición de raíz cuadrada. La guía muestra asimismo dos posibilidades de determinar la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto: como aproximación (determinando entre qué números naturales debería estar) o con ayuda de calculadora.

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