7.e. POLIEDROS EN DIÉDRICO: SECCIONES, DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS.

1. TRABAJO CON SÓLIDOS.

1.1. CONTORNO APARENTE: PARTES VISTAS Y OCULTAS DE UN SÓLIDO.

2. POLIEDROS REGULARES.

2.1. TETRAEDRO.

2.2. HEXAEDRO O CUBO.

2.3. OCTAEDRO.

2.4. DODECAEDRO.

2.5. ICOSAEDRO.

3. SUPERFÍCIES RADIADAS.

3.1. CÓNICAS.

3.1.1. CONO.

3.1.2. PIRÁMIDE.

3.2. CILÍNDRICAS.

3.2.1. CILINDRO.

3.2.2. PRISMA.

3.3. CIRCUNFERENCIA.

3.4. TORO.

4. TRABAJO CON SÓLIDOS

4.1. INTERSECCIONES.

4.1.1. SECCIÓNES

4.1.2. INTERSECCIÓN DE UN SÓLIDO CON UNA RECTA.

4.2. DESARROLLO Y TRANSFORMADA DE UN SÓLIDO.

. POLIEDROS EN DIÉDRICO .

1. TRABAJO CON SÓLIDOS.

Nos vamos a referir a cualquier figura en volumen como cuerpo o sólido.

Algunos sólidos son muy habituales y se clasifican según nombres específicos.

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=dHjUQV57jqE

1.1. CONTORNO APARENTE DE UN CUERPO: PARTES VISTAS Y OCULTAS DE UN SÓLIDO.

Cuando se dibuja un sólido en diédrico se trabaja con líneas y caras vistas u ocultas. El contorno del

sólido siempre es visto. Las aristas vistas son las situadas en la parte superior o anterior del sólido. El

resto de las aristas se consideran ocultas y se dibujan en línea discontinúa aunque estén situadas en el

primer cuadrante.

Para determinar las aristas laterales vistas y ocultas se consideran los llamados planos rasantes. Son

aquellos que son proyectantes a los planos de proyección y contienen a una generatriz sin cortar la

superficie del cuerpo.

2. POLIEDROS.

Se denominan poliedros a los cuerpos geométricos limitados por superficies poligonales planas.

http://www.youtube.com/watch?v=RSHX3oO7b9k&feature=BFa&list=PL22187EA37AFFD9C3&lf=plcp

En todo poliedro se cumple la relación de Euler: La suma de sus caras y vértices es igual al número de aristas

más dos: caras + vértices = aristas + 2.

2.1. POLIEDROS REGULARES.

Son los poliedros con caras, aristas y ángulos iguales. Eso quiere decir que sus caras son polígonos regulares.

La suma de los ángulos entre estas caras no puede ser mayor de 360º (pues formarían un plano, no un

volumen), por lo que si intentamos dividir esa magnitud en ángulos iguales, veremos que sólo se pueden

realizar cinco polígono regulares. http://www.youtube.com/watch?v=tduuyJ0W_f0

Poliedro euclidiano Polígono de la cara caras vértices aristas

Tetraedro Triángulo equilátero 4 4 6

Cubo o hexaedro Cuadrados 6 8 12

Octaedro Triángulo equilátero 8 6 12

Dodecaedro Pentágono 12 20 30

Icosaedro Triángulos equiláteros 20 12 30

El único dato que se necesita para construir un poliedro regular es la arista.

2.2. SECCIÓN PRINCIPAL DE UN POLIEDRO REGULAR. Es la sección que muestra las magnitudes

fundamentales del poliedro, como lados o ángulos.

2.3. TIPOS DE POLIEDROS:

2.3.1. TETRAEDRO.

http://www.youtube.com/watch?v=Aiv8SCpj7oo&feature=fvsr

Es un poliedro regular formado por cuatro caras en forma de triángulos equiláteros. Esto implica

que tiene seis aristas y cuatro vértices.

http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=N5fhk3aMMDA&feature=endscreen

2.3.1.1. SECCIÓN PRINCIPAL DE UN TETRAEDRO: Es un triángulo isósceles

http://tetraedros.blogspot.com.es/2010/09/la-seccion-principal-del-tetraedro.html

2.3.1.2. CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO.

Como un cualquier otro poliedro regular, el único dato que necesitamos para representarlo

es la longitud de la arista. http://www.youtube.com/watch?v=s4wo243lUe0 A partir de ella

se puede sacar la altura, como veremos en el siguiente apartado. La altura es un cateto de un

triángulo rectángulo en el que el otro cateto es 2/3 de la altura de una cara y la hipotenusa

es la arista.

2.3.1.2.1. TETRAEDRO APOYADO EN UNA CARA. Importante

http://www.youtube.com/watch?v=1id8-

NBUdiA&feature=plcp&context=C431f5a8VDvjVQa1PpcFPqrtIiulqhnsVJcqbdWaY9nZVI

RidFSqQ%3D (Se ve deformado en algunos ordenadores, de tal modo que parece una

pirámide, pero sus caras son triángulos equiláteros). Lo mismo:

http://www.youtube.com/watch?v=g4PPx5j-PX8

2.3.1.2.2. TETRAEDRO APOYADO EN UN VÉRTICE. Si consideramos que la cara opuesta al

vértice es horizontal, es lo mismo que en el apartado anterior, pero con el tetraedro

dado la vuelta. http://www.youtube.com/watch?v=UPsSE5YLkCg

2.3.1.2.3. TETRAEDRO APOYADO EN UN PLANO CUALQUIERA.

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=497#p1620

2.3.1.3. EJERCICIOS CON TETRAEDROS:

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2529&start=0

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=447&p=1538#p1464

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2044&start=0

2.3.2. HEXAEDRO O CUBO.

http://www.youtube.com/watch?v=k1AB9X2iCdA&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=s-

766MioFQ4&list=UUKHqub9C3zzeKr3BZWhgCng&index=11&feature=plcp Es un poliedro regular

formado por seis caras cuadradas, por lo que tiene doce aristas y ocho vértices. Al unir los vértices

opuestos doa a dos se obtienen cuatro diagonales que son iguales y oblicuas entre sí y que se

bisecan. Las caras opuestas son paralelas dos a dos.

http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=wafkbNCOSnU&NR=1

2.3.2.1. SECCIÓN PRINCIPAL DE UN HEXAEDRO: Es un rectángulo definido por dos aristas

opuestas y dos diagonales de dos caras también opuestas.

http://tetraedros.blogspot.com.es/2010/09/la-seccion-principal-del-hexaedro-o.html

2.3.2.2. CONSTRUCCIÓN DE UN HEXAEDRO..

Como un cualquier otro poliedro regular, el único dato que necesitamos para representarlo es la

longitud de la arista.

2.3.2.2.1. HEXAEDRO APOYADO EN EL PLANO HORIZONTAL. Importante

http://www.youtube.com/watch?v=6CWi5aMZS4A&feature=plcp&context=C4c7ca58V

DvjVQa1PpcFPqrtIiulqhnoWfkTpeOKhcvYD-p5h7JIg%3D

2.3.2.2.2. CUBO APOYADO EN PROYECTANTE.

http://www.youtube.com/watch?v=DWUPkZQXyp8&feature=BFa&list=UUjiF2eFSAGDn

XPEHQr4RXmg&lf=plcp

2.3.3. OCTAEDRO.

http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=L9d4GJpSy34 Es un poliedro

regular, constituido por ocho caras que son triángulos equiláteros, doce aristas y seis vértices. Las

tres diagonales son iguales, perpendiculares y se bisecan. Las caras opuestas son paralelas dos a

dos. http://www.youtube.com/watch?v=-aWRV9ZTJT8

2.3.3.1. SECCIÓN PRINCIPAL DE UN OCTAEDRO: Es un rombo que contiene una diagonal y es

perpendicular a dos aristas opuestas en sus puntos medios. Los lados de dicho rombo son las

alturas de cuatro caras del tetraedro. http://tetraedros.blogspot.com.es/2010/10/la-seccion-

principal-del-octaedro.html

2.3.3.2. OCTAEDRO APOYADO EN UN VÉRTICE. Importante.

http://www.youtube.com/watch?v=1ifIXafjhNM&feature=plcp&context=C495d8eeVDvjVQa

1PpcFPqrtIiulqhnqbX93E7Em9sQmz9vlP2SFM%3D

2.3.4. DODECAEDRO. Por su complejidad, no sale en los exámenes.

http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=XsrvIO922uE&NR=1 Es un poliedro

regular formado por doce caras con forma de pentágonos regulares Surgen así, treinta aristas y

veinte vértices. En el dodecaedro, por cada una de las caras existe, al otro lado de la figura, otra

cara paralela y girada un ángulo de 180º. http://www.youtube.com/watch?v=VQj4gt6o-

EM&feature=relmfu

2.3.4.1. SECCIÓN PRINCIPAL. Es un hexágono con dos lados opuestos iguales al valor de la arista

y los otros cuatro son las alturas de las caras, es decir, la distancia desde un vértice al lado

opuesto. http://tetraedros.blogspot.com.es/search?updated-min=2011-01-01T00:00:00-

08:00&updated-max=2012-01-01T00:00:00-08:00&max-results=2

2.3.5. ICOSAEDRO. Por su complejidad, no sale en los exámenes.

http://www.youtube.com/watch?v=mzq_C7jDBn4&feature=relmfu Es un poliedro regular

formado por veinte caras triángulos equiláteros, treinta aristas y doce vértices. Como en el

dodecaedro, por cada cara existe otra paralela y girada 180º.

http://www.youtube.com/watch?v=duuJsPe9Dps&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=duuJsPe9Dps&feature=relmfu

3. SUPERFÍCIES RADIADAS.

Una línea, recta o curva, que se mueve en el espacio genera una superficie. Dicha línea se llama generatriz.

Dicha generatriz se desplaza siguiendo un punto u otra línea conocida como directriz. Así se engendran

superficies que quedan dibujadas en diédrico por sus aristas. A la figura dibujada por la generatriz la

llamamos base y a las posiciones de la generatriz en los vértices del polígono, aristas laterales.

3.1. CILÍNDRICAS. La generatriz se traslada paralelamente, apoyándose en la directriz. Si la directriz es una

curva obtenemos un cilindro y si es un polígono, un prisma.

3.1.1. PRISMA.

Una superficie prismática es una superficie radiada generada por una recta directriz que se

traslada paralelamente a sí misma apoyándose sobre un polígono. Es una superficie infinita.

Un prisma es un sólido limitado por una superficie prismática seccionada por dos planos que

cortan a todas las aristas laterales formando las bases o tapas.

Un prisma recto tiene sus aristas laterales perpendiculares a la base. Si dichas aristas no son

perpendiculares al plano que contiene la base (plano de sustentación), el prisma es oblicuo. La

línea que une el centro de las bases se denomina eje del prisma.

Un prisma es regular cuando es recto y su base es un polígono regular.

Un tronco de prisma es aquel que sus bases no son paralelas. Si se secciona un prisma por un

plano que corte todas sus aristas laterales (es decir, que no seccione la base o la tapa), se obtienen

dos troncos de prisma.

http://www.youtube.com/watch?v=P1m8J4aufCs&feature=related (en dibujo no necesitamos

conocer el área o el volumen). http://www.youtube.com/watch?v=uxKNuh-

KHMM&feature=related pieza realizada a partir de un prisma:

http://www.youtube.com/watch?v=PA-vYAmgg5Y&feature=relmfu

3.1.1.1. TRONCO DE PRISMA O PRISMA TRUNCADO (Vídeo anterior a partir del minuto 4:20)

http://www.youtube.com/watch?v=uxKNuh-KHMM&feature=related

3.1.1.2. PRISMA OBLÍCUO EN DIÉDRICO. http://www.youtube.com/watch?v=qZR81CyN-

B0&feature=plcp&context=C4ac1e87VDvjVQa1PpcFPqrtIiulqhnhu4IEfnzMpTxqAjbuwkYFk%3D

3.1.2. CILINDRO.

Una superficie cilíndrica es una superficie radiada, engendrada por una recta que se traslada

paralelamente a sí misma mientras se apoya sobre una curva. Conociendo la directriz y la dirección

de las generatrices la superficie queda definida.

Un cilindro es el sólido comprendido entre una superficie cilíndrica y dos planos que seccionan

todas sus generatrices.

La recta que une los centros de las bases se llama eje del cilindro.

En un cilindro de revolución su directriz es una circunferencia perpendicular al eje o a las

directrices.

En un cilindro recto las generatrices son perpendiculares al plano que contiene la directriz. En un

cilindro oblicuo no son perpendiculares.

http://www.youtube.com/watch?v=uSLiZIAVhTI&feature=plcp&context=C4b8e8ecVDvjVQa1PpcF

PqrtIiulqhnlUHvFRd2GPo7XmdwpNA3FE%3D

3.1.2.1. CILINDRO TRUNCADO O TRONCO DE CILINDRO. Cuando todas las generatrices de un

cilindro son seccionadas por un plano que no es paralelo a su base, es decir, cuando la base y

la tapa no son paralelas, tenemos un tronco de cono. Si seccionas un cilindro por un plano de

ese tipo obtienes dos troncos de cono. http://www.slideshare.net/eduvalle/el-cilindro

3.1.2.2. CILINDRO OBLÍCUO EN DIÉDRICO. http://www.youtube.com/watch?v=uSLiZIAVhTI

3.1.2.3. EJERCICIOS.

http://trazoide.com/cilindros_998.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=5215#p5215

1ª Parte del ejercicio. http://trazoide.com/cilindros_999.htm

3.2. CÓNICAS. La generatriz gira alrededor de un punto (vértice del cono o de la pirámide) siguiendo la

dirección marcada por la línea directriz. Cuando la directriz es una curva cualquiera (incluso alabeada)

tendremos un cono y si la directriz es un polígono, una pirámide.

3.2.1. CONO.

La superficie cónica es una superficie radiada, pues está engendrada por una recta que pasando

por un punto fijo o vértice de la radiación, se apoya en una curva. El caso más sencillo y común es

la superficie cónica de revolución, cuya directriz es una circunferencia.

Un cono es el volumen comprendido entre una superficie cónica y un plano que contiene la base.

En el cono recto la circunferencia base es perpendicular a la altura o eje del cono, mientras en el

cono oblicuo no lo es.

3.2.1.1. TRONCO DE CONO o CONO TRUNCADO. Un cono truncado es el cuerpo encerrado entre

una superficie cónica y dos planos. Un cono truncado no tiene vértice. Aunque el vídeo

siguiente está en portugués, se entiende perfectamente:

http://www.youtube.com/watch?v=niN2n7_5ZPc

3.2.1.2. Ejercicios. http://trazoide.com/distancia_975.htm

http://trazoide.com/distancia_974.htm http://trazoide.com/distancia_973.htm

http://trazoide.com/cono_990.htm

http://trazoide.com/cono_990.htm

http://trazoide.com/cono_998.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=5356#p5356

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=2801#p2801

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=434#p1392

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=443&p=1425#p1425/

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=3275&start=0

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=3704&start=0

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=3692&start=0

3.2.2. PIRÁMIDE.

La superficie piramidal es una superficie radiada generada por una recta que pasa por un punto

fijo, vértice de la pirámide, y que se traslada por una directriz polígonal o base.

La pirámide es la superficie limitada por una superficie piramidal y el plano que contiene a la base.

Los triángulos formados por un lado de la base y los dos que confluyen en el vértice se llaman

caras laterales. Las aristas laterales son los segmentos que unen los vértices de la base con el

vértice de la figura. La distancia entre el vértice de la pirámide y el plano que contiene la base se

llama altura.

Una pirámide recta es cuando la línea que une el vértice de la pirámide con el centro de la base es

perpendicular a la base. Si la perpendicular a la base por el vértice no pasa por el centro de la base

es una pirámide oblicua. Una pirámide es regular cuando es recta y la base consiste en un

polígono regular. El resto de las pirámides serán irregulares.

Un tronco de pirámide se obtiene al seccionar la pirámide con un plano, de manera que la

pirámide se queda sin vértice. Vídeo con figura creada a partir de una pirámide.

http://www.youtube.com/watch?v=m7YLOTUklTQ&feature=relmfu

3.2.2.1. Ejercicios. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=407&p=1313#p1283

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=409&p=1285#p1285

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=3741&start=0

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=399&p=1310#p1275

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=3178&start=0

4. CUERPOS DE REVOLUCIÓN

En el siguiente vídeo, aunque se trate de un tutorial de un programa, se ve bien cómo se generan los

cuerpos de revolución-.http://www.youtube.com/watch?v=7KehZLnhHZY

http://pensamientoespacialhwj.wordpress.com/cuerpos-geometricos/cuerpos-de-revolucion/

4.1. ESFERA. Muy improbable en el examen PC.

La esfera es una superficie de revolución engendrada por una circunferencia que gira alrededor de uno

de sus diámetros. En diédrico una esfera se ve como dos proyecciones en forma de circunferencia.

El eje de una circunferencia es un diámetro representativo, normalmente el vertical.

El ecuador de una esfera es la circunferencia máxima perpendicular al eje. Una de sus proyecciones

coincidirá con el perfil de la esfera y la otra proyección se verá como un segmento. A las infinitas

circunferencias que producen los infinitos planos horizontales que no pasan por el centro se las

denomina paralelos.

El meridiano de la esfera es la circunferencia máxima producida por la sección de un plano que

contiene el eje.

El meridiano paralelo al plano vertical se denomina meridiano principal. Sus proyección horizontal será

un segmento paralelo a L.T. de la longitud del diámetro y la proyección vertical se verá en verdadera

magnitud, es decir, como una circunferencia que coincidirá la proyección vertical de la esfera.

Aquí puedes ver diferentes cuerpos a partir de esferas:

http://www.youtube.com/watch?v=GRLzZ64BuFg&feature=endscreen&NR=1

http://www.youtube.com/watch?v=LuhdDTsNxgQ&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=GRLzZ64BuFg&feature=relmfu

4.1.1. EJERCICIOS.

http://trazoide.com/interseccion_recta_999.htm

http://trazoide.com/esfera_993.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=4436&start=0

. TRABAJO CON POLIEDROS: INTERSECCIONES, SECCIONES .

5. INTERSECCIONES Y SECCIONES.

Si un sólido es atravesado por una recta, hablamos de intersección de la recta con dicho cuerpo, y si lo que

atraviesa la figura es un plano, hablamos de sección plana de ese cuerpo. Como las caras de los cuerpos son

planas, te conviene repasar las intersecciones entre recta y plano y entre dos planos.

5.1. SECCIÓNES PLANAS A UN SÓLIDO.

Una sección plana es la intersección de un cuerpo por un plano. Como un cuerpo está formado por

varias caras planas, en el fondo se reduce a intersecciones de planos entre sí. El resultado será varias

rectas que al cortarse entre sí forman una superficie poligonal llamada sección.

La sección principal de un poliedro es la sección que muestra las magnitudes fundamentales del

poliedro, como lados o ángulos.

La sección recta es la sección producida por un plano perpendicular a las aristas laterales de un prisma

o a las generatrices de un cono.

Se pueden emplear tres métodos para dibujar cualquier sección:

a. Por intersección de aristas o de generatrices del cuerpo con el plano. Repasa las intersecciones

entre rectas y planos y trabaja con las generatrices como si fueran rectas cualquiera, utilizando

tres planos proyectantes.

b. Utilizando un cambio de plano para recolocar el plano como un proyectante para aprovechar

sus ventajas. Repasar intersecciones de rectas con planos proyectantes y cambios de planos de

proyección.

c. Por homología o afinidad, puesto que dos secciones planas son afines siendo el eje la traza del

plano.

Las secciones, además las podemos ver en verdadera magnitud si abatimos los planos que las

contienen.

5.1.1.1. SECCIÓN DE UNA PIRÁMIDE POR UN PLANO.

5.1.1.1.1. CUANDO EL PLANO ES PROYECTANTE.

http://www.youtube.com/watch?v=XdzPNjQ4enM&feature=related

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=5016#p5016

Pirámide oblicua: http://www.youtube.com/watch?v=Ogr83YlV0AA&feature=related

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=406&p=1315#p1282

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=781&p=2856#p2851

5.1.1.1.2. PLANO NO ES PROYECTANTE. Lo más cómodo resulta transformar este ejercicio

en el anterior mediante un cambio de plano. En el vídeo la notación es diferente a la

nuestra http://www.youtube.com/watch?v=jSDybBGKPNI

http://www.youtube.com/watch?v=jSDybBGKPNI&feature=results_main&playnext=1&

list=PL964B60673DEC77FE

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=5943#p5943

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2757&start=0

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=3045&start=0

Plano dado por tres puntos: http://www.youtube.com/watch?v=RY1OgALlQoU

5.1.1.2. SECCIÓN DE UN PRISMA POR UN PLANO. En este vídeo se utiliza el método a, dibujando

cuatro planos proyectantes horizontales que contengan cada una de las cuatro aristas

verticales para hallar sus puntos de intersección.

http://www.youtube.com/watch?v=7dqbTCinnk8

Ejercicio: http://trazoide.com/seccionplano_002.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=423&start=0&st=0&sk=t&sd=a

(Ejercicio 3) http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=443&p=1425#p1425

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=14&t=2515&start=0

Ejercicio más complejo: http://www.youtube.com/watch?v=NnZGDWfvu-U

5.1.1.3. SECCIÓN DE UN CONO: Recuerda lo visto en curvas cónicas sobre las secciones de un

cono: http://www.youtube.com/watch?v=tp13LMY9aTY no se puede realizar este ejercicio

de manera exacta por tratarse de una superficie curva, pero nos podemos aproximar mucho

pensando que un cono puede inscribirse en una pirámide que comparta vértice. Cuantas más

caras laterales tenga dicha pirámide más exacto será el resultado. Las aristas de la pirámide

son generatrices del cono y por eso se puede trabajar con ellas. Se dibuja igual que los

ejercicios anteriores, solo que ahora las secciones son curvas cónicas, generalmente elipses,

de las cuales daremos las proyecciones de sus ejes. (Repasar curvas cónicas)

5.1.1.3.1. CUANDO EL PLANO ES PROYECTANTE:

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=444#p1426 (Ejercicio 2)

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=761&p=2801#p2792 (ejercicios 1y2)

5.1.1.3.2. CUANDO NO ES PROYECTANTE: ( Última parte del ejercicio 3 del enlace anterior)

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=444#p1426

5.1.1.4. SECCIÓN DE UN CILINDRO: Igual que en el ejercicio anterior, al no haber aristas se

utilizan las generatrices que nos interesen.

5.1.1.4.1. PLANOS NO PROYECTANTES

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=438#p1420 (los dos ejercicios).

http://trazoide.com/seccionplano_001.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=6093#p6093

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=3506&start=0

5.1.1.5. SECCIÓN DE UN HEXAEDRO O CUBO.

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=447&p=1538#p1464 (Ejercicio 1)

5.1.1.5.1. POR PLANO DE PERFIL.

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=6098#p6098

5.1.1.5.2. POR UN PLANO PARALELO A LA LÍNEA DE TIERRA.

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2356&start=0

5.1.1.5.3. POR CUALQUIER PLANO.

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2752&start=0

5.1.1.6. SECCIÓN DE UN OCTAEDRO. http://trazoide.com/seccionplano_006.htm

5.1.1.7. SECCIÓN DE FIGURAS COMPLEJAS. http://trazoide.com/seccionplano_003.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=1768#p1768

5.1.1.8. SECCIÓN DE UNA ESFERA. Será una elipse: http://www.youtube.com/watch?v=kX4j-

5JjBtM&feature=relmfu

5.1.1.8.1. EL PLANO ES PROYECTANTE; http://www.youtube.com/watch?v=m1bE7RuNk1o

5.1.1.8.2. EL PLANO NO ES PROYECTANTE http://trazoide.com/seccionplano_008.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=2201#p2201

5.1.1.9. DADO EL PLANO POR TRES PUNTOS. Ya hemos visto el caso de la pirámide.

http://www.youtube.com/watch?v=RY1OgALlQoU

5.2. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN SÓLIDO. Muy improbable en examen PC

Cualquier recta que atraviese un sólido formará dos puntos entrada y salida del cuerpo, o, lo que es lo

mismo, los puntos de intersección de la recta con dos planos (las caras del cuerpo).

Por eso el procedimiento general será el mismo que el visto en intersecciones (intersección de recta y

plano), es decir, utilizar un plano proyectante que contenga a la recta.

http://www.youtube.com/watch?v=ClI5h0rFt4Y

http://www.youtube.com/watch?v=NdQszKQHnV0&list=UU2hCx4i8V5UKDz7q4hLzz-

Q&index=1&feature=plcp (el Plano cortante es nuestro proyectante) Los puntos de entrada y salida

estarán contenidos en la intersección de la recta con el contorno de la sección del proyectante con el

cuerpo.

5.2.1. INTERSECCIÓN DE RECTA CON CILINDRO RECTO. http://trazoide.com/interseccion_recta_996.htm

5.2.2. INTERSECCIÓN RECTA CON CILINDRO OBLÍCUO PARALELO AL VERTICAL.

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=1422#p1422

http://trazoide.com/interseccion_recta_997.htm

5.2.3. INTERSECCIÓN DE RECTA CON CILINDRO OBLÍCUO.

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2350&start=0

5.2.4. INTERSECCIÓN DE RECTA CON CONO. (Ejercicio 4)

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=454&p=1527#p1471

5.2.5. INTERSECCIÓN DE RECTA CON PIRÁMIDE. Se realiza de manera análoga a la intersección de una

recta con el cono.

5.2.6. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA ESFERA.

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=6001#p6001

5.2.7. INTERSECCIÓN CON TETRAEDRO. Ver último apartado.

http://dibujoindustrial.es/index.php?option=com_content&view=article&id=171:poliedros-ii-

tetraedro&catid=36:sistema-diedrico&Itemid=57

5.2.8. INTERSECCIÓN DE RECTA CON CUBO. (1º Ejercicio)

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=454&p=1527#p1471

5.2.9. INTERSECCIÓN DE RECTA CON CUBO. (2º Parte) http://trazoide.com/interseccion_recta_995.htm

http://dibujoindustrial.es/index.php?option=com_content&view=article&id=172:poliedros-iii-

exaedro-&catid=36:sistema-diedrico&Itemid=57 (últimos apartados)

5.2.10. INTERSECCIÓN RECTA CON PRISMA. (Apartado b del ejercicio)

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=1688#p1688

. TRABAJO CON POLIEDROS: DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS .

Muy muy muy improbable para examen PC

6. DESARROLLO DE UN SÓLIDO. http://www.youtube.com/watch?v=WJTOJviFpZc

Desarrollar un sólido es situar en un plano todas sus caras, relacionadas entre sí de manera que pudiese

construirse. Cada cara se dibujará, pues, en verdadera magnitud.

http://www.youtube.com/watch?v=gPwkZgTI4fs&feature=fvsr

http://www.youtube.com/watch?v=yafaXRxnWb0

http://www.ditutor.com/geometria_espacio/desarrollo_poliedros.html

http://blasinfantelebrija.com/geomjgm/menupoliedros.swf

Las transformadas se dibujan sobre los desarrollos y están formadas por los diferentes segmentos

intersecciones entre las caras de los cuerpos y los planos que los seccionan.

6.1. DESARROLLOS DE LOS POLIEDROS REGULARES. Como todas las caras de los poliedros regulares son

iguales, sus desarrollos estarán compuesto por tantos polígonos regulares como caras tenga el cuerpo.

6.1.1. DESARROLLO DEL TETRAEDRO: Se determina por medio de la construcción de cuatro triángulos

equiláteros unidos formando otro triángulo equilátero de lado doble.

http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=N5fhk3aMMDA&feature=endscreen

6.1.2. DESARROLLO DEL HEXAEDRO: Se halla por medio de la construcción de seis cuadrados dispuestos

en forma de cruz. http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=wafkbNCOSnU&NR=1

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=447&p=1538#p1464 (Ejercicio 1: El desarrollo

con la transformada es la ilustración roja)

6.1.3. DESARROLLO DEL OCTAEDRO: Se determina construyendo ocho triángulos equiláteros.

http://www.youtube.com/watch?v=-aWRV9ZTJT8

6.1.4. DESARROLLO DEL DODECAEDRO: Se determina dibujando doce pentágonos regulares de esta

manera: http://www.youtube.com/watch?v=VQj4gt6o-EM&feature=relmfu

6.1.5. DESARROLLO DEL ICOSAEDRO: Se obtiene dibujando veintre triángulos equiláteros alineados de

esta manera: http://www.youtube.com/watch?v=duuJsPe9Dps&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=00GmgZB-2Z0&feature=related

6.2. OTROS DESARROLOS IMPORTANTES: El problema radica en hallar las verdaderas magnitudes de cada

una de las aristas y ángulos de las caras, para poder dibujarlas en verdadera magnitud.

En general, si la figura tiene aristas perpendiculares a la base resulta más sencillo.

6.2.1. DESARROLLO DE UN PRISMA.

Si el prisma es recto resulta más sencillo, por ser las aristas perpendiculares a la base. Si el prisma

no es recto se empieza haciendo una sección recta, puesto que tiene la propiedad de que su

transformada es una línea recta a la que permanecen perpendiculares el resto de las aristas en el

desarrollo. Después se puede empezar a trabajar sobre dicha sección recta hacia arriba y hacia

abajo (como si el prisma fuese recto).

6.2.1.1. PRISMA RECTO. (SIGUIENTE VÍDEO A PARTIR DEL MINUTO 3:06)

http://www.youtube.com/watch?v=uxKNuh-KHMM&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=0OaUHoCd7pI&feature=related

6.2.1.2. http://trazoide.com/desarrollo_995.htm

6.2.1.3. http://www.youtube.com/watch?v=pS9Mp4NfWpk

6.2.2. DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE. Constará de una serie de triángulos que compartirán el vértice

superior de la pirámide y un polígono unido a uno de esos triángulos. Con la pirámide, lo más

sencillo es girar cada una de sus aristas laterales alrededor de un eje vertical que pase por el

vértice de la pirámide, hasta ponerlas paralelas al plano vertical y verlas así en verdadera

magnitud. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=2507#p2507

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=398&p=1308#p1274

Desarrollo con trasformada (o geodésica). http://trazoide.com/desarrollo_999.htm

6.2.2.1. EJERCICIO CON PIRÁMIDE TRUNCADA: Primero hay que hallar las verdaderas

magnitudes de cada arista para poder dibujar su desarrollo:

http://www.youtube.com/watch?v=ojEKjIJjP1k

http://trazoide.com/desarrollo_998.htm

6.2.3. DESARROLLO DE UN CILINDRO.

6.2.3.1. http://www.youtube.com/watch?v=n632ghAiXI8

6.2.3.2. Como en un cilindro no podemos trabajar con las aristas, se tomarán referencias a ojo,

para trabajar con ellas igual que si de aristas se tratase. Es decir, para desarrollarlo nos

imaginaremos un prisma inscrito o circunscrito. Las aristas laterales de dicho prisma serán

generatrices en el cilindro. Este método es inexacto, pero cuantos más lados pongamos al

prisma, más aproximado será. Si el cilindro es oblicuo, se utiliza una sección recta de la

misma manera que se usa con los prismas oblicuos.

http://www.youtube.com/watch?v=Qzp9xmIY7fQ

http://www.youtube.com/watch?v=WJTOJviFpZc

6.2.3.3. http://www.youtube.com/watch?v=U7F2UZp4iWw&feature=fvwp&NR=1

6.2.4. DESARROLLO DE UN CONO. El desarrollo lateral de un cono de revolución es un sector circular de

radio igual a la generatriz del cono y cuyo ángulo central se puede obtener por una regla de tres:

g = generatriz 2g – 360º

r = radio de directriz 2r -- x

Aunque esté en portugués, se entiende bien el desarrollo del cono:

http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&v=oV9JHYoj-WM&NR=1

CONO TRUNCADO. http://www.youtube.com/watch?v=3C9tATlLadk

http://www.slideshare.net/Arrobadtgd/110-desarrollo-de-un-cono-circular-recto-truncado-

8696800

6.2.5. OTRAS COMBINACIONES. http://trazoide.com/desarrollo_996.htm

http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=17&t=2949&start=0

Página muy interesante con todo lo visto en este documento (y anteriores) ordenado por poliedros:

http://dibujoindustrial.es/index.php?option=com_content&view=category&id=36&Itemid=57