8 Divisores de Un Numero y Regla Del Producto

8/18/2019 8 Divisores de Un Numero y Regla Del Producto

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8. Divisores de un número y regla del

productoEn estas notas, nuestra intención es llegar a través de varios pasos naturales, a poder ver la

fórmula para calcular los divisores de un número como un simple ejercicio de regla del producto.

En el camino vamos a deducir la fórmula, por cierto. Trataremos de hacerlo de una manera que

sea sencilla no sólo de entender, además de llevar al salón de clase.

Vamos a recordar varias cosas sobre divisibilidad:

a. Decimos que un número entero d divide a otro número entero n si existe un entero k tal

que . También decimos que n es múltiplo de d , o que d divide a n. Únicamente en

este caso –cuando la división es entera, o el residuo cero- diremos que un número divide a

otro.b. Es fácil ver que si d es divisor de un número, entonces –d también es divisor. A lo largo de

todo este documento –y casi siempre en general- vamos a considerar únicamente los

divisores positivos de un número.

c. El Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que todo número puede factorizarse de

manera única –salvo orden- como producto de potencias positivas de números primos.

No está de más, tampoco, tener en mente a qué nos referimos como regla del producto.

Rápidamente recordemos los problemas de guardarropa: si Carmen tiene 5 blusas y 3 pantalones

¿de cuántas maneras se puede vestir? Una manera sencilla de resolver el problema –cuando los

números son chicos, es con un diagrama de árbol:

Sólo necesitamos contar las ramas finales, que son 15. Si ahora consideramos los 12 pares de

zapatos que tiene Carmen, puede volverse tardado hacer un diagrama de árbol. En lugar, vemos

que cada una de las combinaciones que ya tenemos, puede combinarse con cada uno de los 12

pares de zapatos. Si por una combinación tenemos 12 combinaciones nuevas, por 15 vamos a

tener quince veces 12; es decir, 12 x 15 = 180.

En general, si una cierta tarea puede realizarse de m maneras y, para cada una de esas maneras,

una segunda tarea puede realizarse de n maneras, entonces ambas tareas juntas pueden

realizarse de mn maneras. Esta es, precisamente, la regla del producto.

Blusa 1

Pantalón1

Pantalón2

Pntalón3

Blusa 2

Pantalón1

Pantalón2

Pantalón3

Blusa 3

Pantalón1

Pantalón2

Pantalón3

Blusa 4

Pantalón1

Pantalón2

Pantalón3

Blusa 5

Pantalón1

Pantalon2

Pantalón3


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Empezaremos por el final, haciendo una tabla. A cada número, debemos encontrar los números

que tienen esa cantidad de divisores. Vamos a hacerlo de dos maneras: vamos a empezar dando

números de ejemplo pues es muy poco probable que alumnos de secundaria sugieran desde un

primer momento la forma del número como producto de primos. Aunque desde el principio

vamos a escribir también la forma, pronto nos vamos a dar cuenta que es la manera más fácil.

1: 1

El 1 es el único número que tiene un único divisor, pues es la unidad.

2: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… p (1, p)

Todos los números primos tienen exactamente 2 divisores y son, además, los únicos números que

tienen exactamente 2 divisores. Esta es, precisamente, la definición de un número primo: Un

número es primo si y sólo si tiene exactamente 2 divisores positivos.

3: 4, 9, 25, 49, 121,… p2 (1, p, p2)

4: 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 35, 55,… pq (1, p, q, pq)

8, 27, 125, 343,… p3 (1, p, p2, p3)

Con cuatro divisores damos un paso muy importante: es el primer número que tiene más de una

forma posible. Debemos hacer notar que 4 = 2 x 2, mientras que no es posible encontrar dos

números ambos distintos de 1 para hacer esto con 1, 2, 3 –pues son primos. Además, los primeros

ejemplos son todos el doble de un número. El número 15 es un buen ejemplo para ver que no sólo

el doble cumple. Además, el 4 nos ayuda a ver que no todos los dobles funcionan. Los alumnos

hacen adivinanzas tratando de generalizar –a veces nada más avientan números al azar- siempre

hay que tener un contraejemplo sencillo y rápido para tratar de ayudar en su adivinanza.

5: 32, 81, 656,… p4 (1, p, p2, p3, p4)

Los ejemplos se vuelven más escasos conforme el número de divisores aumentan. Además se

vuelve más complicado calcularlos. Para aquí, la mayoría puede darse cuenta que si queremos k

divisores, entonces pk-1 siempre funciona. Debemos recalcar aquí que esta es la única manera para

5 pues es primo.

6: 64,… p5 (1, p, p2, p3, p4, p5)

12, 18, 50, 75,… p2q (1, p, q, p2, pq, p2q)

El primer caso ya debería ser sencillo. Es más, debería surgir casi sin ejemplo pues empezamos a

trabajar con números muy grandes. Sin embargo, hay que notar que aunque para algunos alumnos

para este punto ya sea claro que cualquier primo elevado a la quinta potencia cumple, lo más

probable es que intenten calcular el número para 2, 3, 5,… en lugar de decir precisamente

cualquier primo elevado a la quinta potencia.


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Hay que recalcar que el 6 = 3 x 2. Entonces, si tomamos un número de dos divisores y tomamos

uno de 3 divisores, su producto va a tener 6 divisores. Es importante observar que tienen que ser

números que tengan un primo distinto como base, para ello basta ver que aunque el 4 tiene 3

divisores y el 2 tiene 2 divisores, el 8 no tiene 6 divisores sino 4. Estos casos hay que mencionarlos.

7: p6

(1, p, p2

, p3

, p4

, p5

, p6

)

8: p7 (1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7)

p3q (1, p, q, p2, pq, p3, p2q, p3q)

pqr (1, p, q, r , pq, pr , qr , pqr )

El 8 es también importante, pues esta vez tiene 3 casos distintos. El primer caso debería salir

natural. Como es más fácil ver que 8 = 4 x 2 que 8 = 2 x 2 x 2, el segundo debe ser más sencillo que

el último. Sin embargo, el ejemplo más sencillo del último es 30, que no es un número tan grande.

El ejemplo más sencillo del segundo es 24.

A partir de aquí, es buena idea preguntar primero si el número es quién por quién y entoncesbuscar la forma correspondiente.

9: p8 (1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)

p2q

2 (1, p, p2, q, q2, pq, p2q, pq2, p2q2)

Pues 9 = 3 x 3. La forma con un único primo es normalmente la más fácil de ver, la de cajón. Sin

embargo, si empezamos a preguntar si el número es quién por quién, ver que es sí mismo por 1 a

veces no es tan sencillo.

10: p9 (1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9)

p4

q (1, p, p2

, p3

, p4

, q, pq, p2

q, p3

q, p4

q)

Pues 10 = 5 x 2. Esta lista completa debe estar escrita en el pizarrón. Así, cuando digamos que 10 =

5 x 2, podemos señalar a los números que tienen 5 divisores y a los que tienen 2 divisores. Lo

importante es llevarlos a que escojan la forma que cumple cada uno y lo multipliquen escogiendo

letras distintas. Eso último es importantísimo. Si escogen la misma letra, el ejemplo del 2

normalmente ayuda a ver que no es cierto.

11: p10 (1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10)

12: p11 (1, p, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11)

p5

q p

3q

2

p2qr

Los números primos deberían ser bastante fáciles. El 12 ayuda a preguntar si no hay más. Para

justificar que no hay más, es necesario decir todas las maneras en que podemos encontrar 12

como multiplicaciones. Curiosamente, la cosa que estamos ejercitando aquí es precisamente la

cantidad de divisores de un número y el Teorema Fundamental de la Aritmética.


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A partir de aquí –pues el 13, 14 y 15 no ofrecen mucho problema- la idea es dar números más bien

grandes. Un par de números primos –que son sencillos- y un par de números grandes que

sepamos que tienen muchos divisores. ¿Cómo encogemos esos números? Auxiliándonos de

nuestra tabla del pizarrón, por supuesto.

17:18:

30:

Lo primero que hay que hacer es expresar cada uno de nuestros números como alguien por

alguien. El 17 es primo, así que la única manera va a ser la de cajón.

Recordemos que el 18 tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Entonces, lo podemos ver rápidamente de

3 maneras distintas: 1x18, 2x9, 3x6; siempre podemos hacer esto con todos los números –tomar el

más chico y el más grande, luego el segundo más chico y el segundo más grande, el tercero más

chico y el tercero más grande y así sucesivamente. ¿Hay más formas? Hay que preguntarnos por

los divisores de los divisores: 9 = 3x3 y 6 = 3x2. Entonces, de la forma 2x9, tenemos la forma 2x3x3;y de la forma 3x6, tenemos la forma 3x3x2. Como son la misma forma, en total tenemos 4

maneras distintas. Más adelante vamos a ver que podemos ahorrarnos este segundo paso.

Ya que sabemos de cuántas maneras distintas, hay que encontrar una forma para cada manera. La

idea es escoger una forma para cada uno de los números que se están multiplicando. La de cajón

es fácil. Tomemos 2x9: necesitamos un número que tenga 2 divisores y un número que tenga 9

divisores. Con 2 divisores es p; con 9 divisores puede ser p8 o p2q2. Al juntarlos, tenemos las formas

pq8 y pq2r 2; observemos que esta segunda forma es precisamente 2x3x3, de ahí que podemos

ahorrarnos un paso en lo que hicimos antes: las formas salen por si solas si mezclamos todas con

todas. ¿Qué formas salen con 3x6?

El 30 es el número más pequeño que es producto de 3 primos distintos, 2x3x5. Ya sabemos que

tiene 8 divisores, lo que nos da 4 maneras distintas. ¿Tiene más? ¿Por qué? ¿Qué formas salen

para 30 divisores?

Una vez que podemos resolver ejercicios así, vamos a voltear el ejercicio. Hasta ahora, hemos

estado dando un número entero y queremos encontrar qué formas tienen esa cantidad de

divisores. Ahora queremos dar una forma y saber cuántos divisores tiene.

pqr 2: 12

p3q

2: 12

Los primeros ejercicios están en nuestra lista. Esto nos ayuda a ver que hasta ahora han entendido

y que saben utilizar la lista. (A estas alturas, a lo mejor la lista ya no cabe entera en el pizarrón, por

eso cada alumno debe escribirla en su libreta también.)


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p5qrs:

pqrs:

Ninguno de estos números está en la lista. La idea es ver que hay pedazos de la forma que sí

aparecen en la lista. Por ejemplo, sabemos que p5 tiene 6 divisores y que qrs tiene 8. Entonces, su

producto debe tener 6x8 = 48 divisores. Hay varias maneras de encontrar pedazos del segundo enla lista; lo más fácil, sin embargo, es darse cuenta que cada uno tiene 2, entonces su producto

debe tener 2x2x2x2 = 16 divisores. Esa es la idea que queremos seguir en los últimos ejemplos:

p12

q7r

7s

21:

Este número no está en la lista. Además, los únicos pedazos que podrían sí estar son bloques de un

solo primo. Y esa es la idea: p12 tiene 13 divisores, q7 y r 7 tienen 8 divisores cada uno, s21 tiene 22

divisores. Entonces su producto debe tener 13x8x8x22 divisores.

¡Este es el truco! Ver todo número como producto de las formas de cajón pues esas son las más

fáciles de saber cuántos divisores tienen.

pk : k + 1

De todo este conocimiento que hemos adquirido, falta un paso mínimo para la que conocemos

como Fórmula para calcular los divisores de un número:

La única dificultad sería explicar los subíndices. ¿Por qué usamos subíndices? Porque si no lo

hacemos, simplemente se nos acabarían las letras. Incluso para los que siguen hasta aquí sin

problemas, ver la fórmula puede generar problemas. ¿Por qué siempre es más uno? Hay que

recordar que esto es un ejercicio de conteo, de regla del producto. Vamos a proponer una

alternativa:

Carmen quiere servirse un barquillo de helado. En su congelador, tiene suficiente helado

para hacer 8 bolas de chocolate, 12 de vainilla, 4 de fresa y 5 de mango. ¿De cuántas

maneras distintas se puede servir el barquillo?

Es cierto que podría servirse 1, 2, 3 o hasta 8 bolas de chocolate, pero también podría no servirse

chocolate. Entonces, tiene 9 maneras distintas de servirse chocolate: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. ¿De

servirse vainilla? Son 13 maneras distintas. Además, 5 maneras de servirse fresa y 6 maneras de

servirse mango. Entonces, en total puede hacer esto de 9x13x5x6 maneras distintas.

Sólo hay que cambiar “barquillo de helado” por “divisor” y los sabores por números primos.

Ejercicios:

1. En un enorme salón hay 2011 focos, cada uno con su interruptor. Al principio todos están

apagados. También hay 2011 niños y a cada uno se le ha asignado un número del 1 al


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2011. El niño con el número 1 cambia el interruptor de todos los focos. El niño con el

número 2 cambia el interruptor de un foco no y uno sí. El niño con el número 3 cambia el

interruptor de dos focos no y uno sí. El niño con el número k cambia el interruptor de k-1

focos no y uno sí. Una vez que pasaron todos los niños, ¿cuáles focos quedan prendidos?

2. Encuentra todos los números menores que 1000 con exactamente 30 divisores.

3.

Encuentra los números menores que 100 que tienen más divisores. Suma esos números.¿Cuántos divisores tiene la suma?

4. ¿Podríamos deducir una fórmula para la suma de los divisores?

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