138 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS Como planteamos enlos problemas de 3.1.0., para calcular distancias a puntosinaccesibles es posible considerar elmtodo de triangulaciones , que se basaen la propiedad de resolver trigonomtricamente un tringulo. Si en un tringulo se conocen un lado y dos de sus ngulos o bien dos ladosyelngulocomprendido,esposiblecalcularfcilmentelosrestantes elementos del tringulo. Para resolver estos problemas presentamos las funciones trigonomtricas como funciones de ngulos, es decir, funciones que asocian a cada ngulo un nmero real NGULOS UnnguloAOBconstadedossemirrectas 2 1r y r ,conunorigen comn: O. Interpretamos un ngulo como la rotacin de 1rhacia.2rEn este caso a 1r se lo llamalado inicial y a 2rse lo llama lado terminal del ngulo. Si el sentidodelarotacinesantihorarioelnguloseconsiderapositivoysiel sentido es horario se lo considera negativo. SISTEMAS DE MEDICIN -Sistemasexagesimal:esunodelossistemasmsusados.Suunidadde medidaeselnguloigualalanoventaavapartedelngulorectoyselo llama grado sexagesimal En smbolos Los submltiplos son el minuto y segundo sexagesimal, que se definen: 1901=recto ngulo ) ( ' 1601minuto = ) ( " 160' 1segundo = 139 -Sistema radial Se define la unidad de medida de la siguiente manera: se traza una circunferencia de radio 1 con el vrtice del ngulo coincidiendo con su centro, la medida de ese ngulo es de un radin (rad)si el arco de circunferencia que abarca tiene una longitud igual al radio de la misma 1AB longOAAB longrad 1 = = 296 . 57 1801 ~ =trad RELACIN ENTRE GRADOS Y RADIANES t 1801 = rad; rad t = 80 1;180 1rad t= Para convertir grados a radianes : = oto180' Para convertir radianes a grados : '180oto= a) Expres 120 en radianes b) Expres 2.5 rad. en grados sexagesimales SOLUCIN: Usando la relacin entre grados y radianes obtenemos a)rad rad tt32180120 120 = = b)" 20 ' 14 1431416 . 35 . 2 1805 . 21805 . 2 ~~=trad 140 sen = 3/5 en a) cos = 4/5 sen = 9/15 = 3/5 en b) cos = 12/15 = 4/5 Lostringulosdelafigura,paraigualvalor desonsemejantes,luegolasrazonessoniguales independientementedeltamaodeltringulo,slo dependen del ngulo RAZONES TRIGONOMTRICAS Consideramos un tringulo rectngulo.que tiene como uno de sus ngulos agudos Podemos definir relaciones entre sus lados del siguiente modo. RAZONES TRIGONOMTRICAS .. .senhipop cat= o.. .coshipady cat= o. .. .tgady catop cat= o. .. .cotop catady catg = o. ..cosop cathipec = o. ..cosady cathipec = o 141 Resolvertrigonomtricamenteuntringulorectnguloconsisteen, dados dos de sus elementos, calcular los elementos restantes TRINGULOS ESPECIALES Enalgunostringulosrectngulossepuedencalcularsuselementoscon facilidad aplicando el teorema de Pitgoras. -En un cuadrado de lado 1 se traza la diagonal y se obtiene un tringulo cuyos ngulos miden 45, 45 y 90 y su hipotenusa2 . -Enuntringuloequilterodelado2setrazalaalturayseobtieneun tringulo cuyos ngulos miden 30, 60 y 90 y sus lados 1, 2 y3 . Conestosdatosylasdefinicionesdadasesposiblecalcularlasrelaciones trigonomtricas para ngulos de 30, 45 y 60 ( o lo que es equivalente 6t, 4t y 3t). Los valores estn en la siguiente tabla, verific los resultados. (grados) (radianes)Sen ( )Cos ( )Tg ( ) 00010 30 / 6 3 / 23 / 3 45 / 4 2 / 22 / 2 1 60 / 3 3 / 2 1 / 2 390 / 210- Para calcularlosvalores delas razones trigonomtricas para otros ngulos utilizaremos la calculadora. Verific si tu calculadora est en el modo correspondiente. osin2indicaelsenodeunngulocuyamedidaes2radianes,sepasala calculadora al modo en radianes ( RAD ) y se obtiene: sin 2~ 0,9093 oSi se necesita calcular sin 2 , se pasa la calculadora al modo en grados( DEG ) y se obtiene sin 2~0,0349 RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS 142 1)Calcullaalturadeunatorresisusombramide13mcuandolosrayosdesol forman un ngulo de 50 con la horizontal. SOLUCIN: -Dibujamosel tringulo asociado a los datos del problema. -Identificamos la incgnita altura ( h ). -Los datos son: el ngulo de 50con la horizontal y la longitud de la sombra l = 13m. -La razn trigonomtrica que relaciona los datos y la incgnita es la tangente : lh = tg 50 h = 13m. tg 50~ 15,5m 2)Unaescalerade4mestapoyadacontralapared.Culessuinclinacinsisu base dista 2m de la pared? SOLUCIN: -Dibujamos el tringulo asociado a los datos del problema. -La incgnita es el ngulo de inclinacin . -Con los datos del problema, cateto adyacente e hipotenusa podemos calcular aplicando la relacin del coseno. cos =hipotenusaadyacente cat.= 42= 21 , aplicando la funcin inversa arco coseno obtenemos:o= 60 3)Unaantenadetelevisinseinstalasobreeltechodeunedificiodesdeunpunto que est al nivel del pie del edificio, a 75m de distancia, los ngulos de elevacin de la base y del extremo superior de la antena miden 34 y 50 respectivamente. Cul es la altura de la antena?. SOLUCIN: -Dibujamos un diagrama de la situacin. -La altura de la antena h la podemos calcularh = H y -Calculamos cada uno de estos valores 75H= tg 50 H= 75.tg 50 ~ 89,4m 75y= tg 34 y = 75.tg 34 ~ 50,6m Luego la altura de la antena es h=89,4m 50,6m=38,8m~39m 143 Sea BOP un tringulo rectngulo con un ngulo agudo o , ubicamos el nguloode modo que su lado inicial coincida con el eje x y el vrtice con el origen de coordenadas. El punto P = P( x, y ) es un punto del lado terminal. En el tringulo BOP el cateto adyacente tiene una longitud x, el opuesto y, aplicando el teorema de Pitgoras calculamos la hipotenusa 2 2y x r + =Entonces: sen o = ry;cos o = rx; tg o = xy oSea o el ngulo tal que: P ( x, y ) est en el lado terminal y su distancia r al origen es 1. Segn la definicin de las funciones trigonomtricas del ngulo o, se tiene: sen o = 1y = y ;cos o= 1x=x oSi P( x, y ) es tambin el punto terminal de un arco de longitud t. De acuerdo con la definicin de las funciones trigonomtricas del nmero real t se tiene: oSi o se mide en radianes entonces: o = t oComparando las dos maneras de definir las funciones trigonomtricas concluimos que dan valores idnticos FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA CUALQUIER NGULO Luego podemos ampliar la definicin de las razones trigonomtricas a cualquier tipo de ngulo. sen t = y ;cos t = x 144 Teorema del Seno En el triangulo ABC se verifica asenA= bsenB= csenC Teorema del Coseno En el triangulo ABC se verifica a=c + b -2.c.b.cos A b=c + a -2.c.a.cos B c=a + b -2.a.b.cos C TRINGULOS OBLICUNGULOS Las funciones trigonomtricas se pueden utilizar para resolver tringulos no rectngulos, como en los ejemplos (3) y (4) de 3.1.0 Enestoscasosseaplicanlasfrmulasdelsenoodelcoseno,segnlos datos del problema. MS EJEMPLOS 1.Cul es la altura de una torre si el ngulo de elevacin disminuye de 50 a 18 cuandounobservadorqueestsituadoaunaciertadistanciadelpiedelatorre,se aleja 90m en la misma direccin?. SOLUCIN: oDibujamos un diagrama con los datos. oEl problema puede resolverse por dos caminos. a) Usando tringulos rectngulos En el tringuloABC se verifica la relacin: tg 50 = xh (1) En el tringulo ABD se verifica la relacin: tg 18 = 90 + xh (2) De (1) se tieneh = x. tg 50 De (2) se tieneh = ( x + 90 ). tg 18 Igualando los segundos miembros se tiene: x.tg 50 = ( x + 90 ).tg 18 x.1,2=( x + 90 ).0,32 x.1,2=x.0,32 + 90.0,32 x.(1,2 0,32 ) = 28,8 x.0,88 = 28,8 x = 88 , 08 , 28 ~ 32,7 Sustituyendo en (1) es h = 32,7.tg 50~ 38,97m La torre tiene una altura aproximada de 39m 145 b)Aplicandoelteoremadelseno,sepuedecalcularAC yluegousandola definicin de razn trigonomtrica se calcula h. oCalculamos los ngulos para aplicar el teorema. 90 32 sen= dsen 18 d= 32 18 . 90sensen d ~ 52,6m oEn ABC calculamos h = 52,6.sen50 h~ 40,3m 2) Dos carreteras rectas divergen formando un ngulo de 65. Dos automviles salen delainterseccinalas2:00PM;unoviajaa70km/hyelotroa90km/h.Qu distancia los separa a las 2:30 PM ?. SOLUCIN: -Dibujamos un diagrama. -Suponemos que los automviles viajan con M.U., luego se verificad = v.t -El tiempo es t = h -La distancia que recorri cada automvil est dada por: d1 = 70 km/h . h = 35 km=OA d2 = 90 km/h . h = 45 km= OB -Se puede calcularAB-Aplicando el teorema del coseno se tiene. d = a + b - 2ab.cos 65 d = 45 + 35 - 2.45.35.cos 65 d ~ 2025 + 1225 1331,25 d ~ 1918,75 d~43,8 km 146 Una ecuacin trigonomtrica es aquella que contiene funciones trigonomtricas. ECUACIONES TRIGONOMTRICAS As por ejemplo: sen x + cos x = 1;2cosx 1 = 0 son ecuaciones trigonomtricas. La primera es una identidad, es decir, se verifica para todo valor de la variable x. La segunda solo se verifica para ciertos valores de x. En general, si una ecuacin trigonomtrica tiene una solucin entonces tiene una cantidad infinita de soluciones. Por qu? Para calcular todas las soluciones de la ecuacin slo se necesitan determinar las soluciones en el intervalo adecuado y despus usar la propiedad de la periodicidad de las funciones trigonomtricas. Resolvemos la ecuacin anterior: 2.cos x 1 = 0 2.cos x = 1 cos x = En el intervalo [0, 2t ) la funcin coseno es positiva si x pertenece al primero y al cuarto cuadrante, luego los valores que cumplen con la ecuacin son: x1 =3tyx2=35t Pero como la funcin es peridica y su perodo es 2t a esos valores se obtiene otra solucin. Por lo tanto, todas las soluciones de la ecuacin tienen la forma: x1 = 3t + 2ktyx2 = 35t + 2kt,Z e k 147 MS EJEMPLOS 1) Calcul las soluciones de la ecuacin 2.sen x .cos x + cos x = 0 si 0 s x < 2t SOLUCIN: En este caso nos piden las soluciones en un intervalo dado. 2.sen x .cos x+ cos x= 0 cos x . [ 2. sen x + 1 ]= 0factor comn Si el producto es nulo entonces se verifica: cos x= 0(1)o 2.sen x+ 1 = 0(2) (1) cos x = 0en [ 0 , 2t ) si x = 2t o x = 23t (2) 2.sen x+ 1 = 0 2.sen x= -1 sen x = -21 Enelintervalo[0,2t )lafuncinsenoesnegativasixesteneltercer o cuarto cuadrante, luego el valor que corresponde esx = 67tox = 611t El conjunto solucin es: S = )`611,67,23,2t t t t 148 2) Calcul las soluciones de cos x = si 0 s x < 2t SOLUCIN:cos x = -Aplicamos 21 cos = x | cos x | = 22 Las soluciones correspondientes son: cos x =22x = 4t ; x = 74t y cos x = -22x = 4t ; x = 54t El conjunto solucin es; S = )`45,43,47,4t t t t 3) Calcul todas las soluciones de la ecuacinsen x + sen x 2 = 0 SOLUCIN: Aplicamos la frmula para resolver una ecuacin de segundo grado: 1 sen x =( )22 4 1 1 = 23 1 = -2 sen x = 1(1) De aqu obtenemos: sen x = -2(2) -La ecuacin sen x = 1 se verifica si x =ttk 22 +con k eZ -La ecuacin sen x = -2 no tiene solucin, porque la funcin seno tiene imagen entre 1 y 1. Luego el conjunto solucin es: )`Z e + = k k s , 22tt 149 4)Calcul la solucin de la ecuacin 3cos x = 2 sen xsi| ) t 2 , 0 e x SOLUCIN: Si usamos la identidad pitagrica: sen x = 1 cos x, obtenemos una ecuacin equivalente donde solo interviene la funcin seno. 3cos x = 2senx. Original 3cos x = 2.( 1 cos x ).Identidad 3cos x 2 + 2cos x = 0.Transposicin de trminos 2cos x + 3cos x 2 = 0.Ordenamos Aplicamos la frmula para resolver una ecuacin de segundo grado: cos x = ( )( )2 . 22 2 4 9 3 = 45 3 = -2 -La ecuacin cos x = se verifica si x = 3to x = 5.3t -La ecuacincos x = -2 no tiene solucin porque la funcin coseno tiene imagen entre 1 y 1 luego el conjunto solucin es: S = )`35,3t t 150 ACTIVIDADES 1)La distancia entre dos edificios A y B es de 120 metros. Si el edificio A mide 96 metrosdealturayelngulodeelevacindelpuntomsaltodeledificioAal punto ms alto del edificio B es de 31, calcul la altura del edificio B. 2)Desdeunbarcosemidenlasvisualesalabaseyelextremodeunfarode30 metrosdealtura,situadosobrelabasedeunacantilado.Silosngulosmiden 18y 35, respectivamente. Calculla distancia delbarco ala costayla altura del acantilado. 3)En cada caso, indic la respuesta correcta, justificando tu respuesta: a.Si un rbol de 2,38 metros proyecta una sombra de 1,6 metros, el ngulo de elevacin del sol es aproximadamente: i) 45ii) 70iii) 32iv) 56 b.La diagonal de un rectngulomide 4 cmyformaconlabase un ngulo de60. La superficie el rectngulo es aproximadamente: i) 27,58 cm ii) 28,24 cm iii) 26,93 cm iv) 29,12 cm c.Desdeunatorresearroja,conunngulodedepresinde27,unasoga de15metrosdelongitudy,altensarla,suextremoseencuentradela base de la torre aproximadamente a: i) 13,36 mii) 7,64 miii) 29,44 miv) 16,83 m 4)En un tringulo rectngulo el coseno de uno de los ngulos agudos es 32 y la hipotenusamide4cm.Determinlasmedidasdeloscatetosylasmedidasde los ngulos (en radianes). 5)ParalocalizarunaemisoraclandestinaE,dosunidadesreceptorasR1yR2, distantesentresi8km,orientansusantenasenladireccinderecepcin ptima. Se miden los ngulos R1=32 y R2=48. A qu distancia de R1 y R2se encuentra la emisora? 6)Unhelicpteroviajadeunaciudadhaciaotra,distantesentres40km.Enun determinadomomento,losngulosqueformanlasvisuales,desdeel helicpterohacialasciudades,conlahorizontalsonde14y26, respectivamente.Aqualturaestelhelicptero?Qudistanciahayenese momento entre el helicptero y cada una de las ciudades? 7)Dosbarcossalendeunmismopuertosimultneamente.Unoavanzaauna velocidad de 50 km/h en direccin N 50 E y el otro a una velocidad de 45 km/h en direccin S 70 E. Qu distancia los separa despus de una hora? 151 8)Si 13cos o = yIII oe cuadrante,calcul: tg 3 ec sec .cos o + o o = 9)Calcul todas las soluciones de las ecuaciones: a.2 sen x 3 0 . =b.22 x 1 0 .cos =c. 2sen x 2 senx 3 . = +d.x1 02cos| | = |\ . e.x sen x 2 sen x 0 cos . . =f.23.cos x sen x =g. 2ec x 4 0 cos =h.secx tgx 0 + = 152 ACTIVIDADES DE INTEGRACIN Y PROFUNDIZACIN 1)Dibujlagrficadelassiguientesfuncionesyencadacasoindicdominio, imagen y perodo. a. y 3.cos x2t | |= |\ .b. y cos(2x) = c. ( ) y 3 cos x = + +t 2)Apartirdelagrficadef (x) sen x = representgrficamentelassiguientes funciones. Para cada funcin indic: dominio, imagen y perodo. a.1g(x) .f x2 2t | |= |\ .b. h(x) 3 f (x) = c. j(x) 1 f (x) = + 3)Enunafbricasedeseaconstruirunacintatransportadoraparallevarla mercadera desde el depsito, en el subsuelo, hasta el saln de ventas, que est en laplantabaja.Ladistanciaverticalentrelosdossalonesesde2,60m.Siel ngulodeinclinacindelacintaserde24,qulongitudaproximadadeber tener la cinta? 4)Claudioobservaunrboldesdelaorillaopuestadeunro,mideelnguloque formasuvisualconelpuntomsaltodelrbolyobtiene43;retrocede10my mide un nuevo ngulo, obteniendo un resultado de 35. a.Qu altura tiene el rbol? b.Cul es el ancho del ro? 5) Julio y Anbal tienen sus casas en el campo a una distancia de 500 metros. Ambos divisan un helicptero volando entre ellos. Julio lo ve con un ngulo de elevacin de 80 y Anbal est a una distancia de 600 metros del helicptero. a.A qu altura vuela el helicptero? b.A qu distancia del helicptero se encuentra Julio? 6) Calcul el permetro y la superficie de un tringulo issceles en el que los ngulos iguales miden 40 y los lados iguales miden 5 cm. 7) Sin calcularelvalor deu , determinsus razones trigonomtricas sabiendo que 4cos5u =y0 tg u< . 8) Calcul todas las soluciones de 24.cos x 3 0 = 9) Calcul las soluciones de 22.sen x 1 3.senx + =si )x 0 360 ;

e

10) Calcul las soluciones de ( ) ( ) tg x 3 . 3 2.cos x 0 =si | ) x 0 2 ; e t 153 AUTOEVALUACIN 1) Si un ngulo est comprendido entre 2t yt, qu es mayor, el seno o el coseno del ngulo? 2) En cunto deben diferir dos ngulos para que sus tangentes coincidan? 3) Sitgx 2 = , calculsenxycosx , sabiendo que x est en el tercer cuadrante. 4) En un tringulo issceles el lado desigual mide 10 cm y los ngulos iguales miden 70. Calcul su rea y su permetro. 5) Calcul el valor de x sabiendo que 2cos x2=ysenx 0 < 6) Resolv la siguiente ecuacin para0 x 2 s < t siendo 2 2cos x sen x senx = 7)Graficlassiguientesfunciones.Encadacaso,determindominio,imageny perodo. a.f (x) 3 2.sen2x = b. 1f (x) .cos x2 4t | |= |\ . c.f (x) 4.sen x2t | |= + |\ . 8) Desde lo alto de un hotel con vista al mar, un turista observa una lancha que navega directamente al hotel. Si el turista est a 32 metros sobre el nivel del mar y el ngulo de depresin de la lancha cambia de 30 a 45durante la observacin, qu distancia recorre la lancha? 9) Observ el dibujo e indic como mediras la distancia del castillo a la iglesia, si te encontraras al otro lado de una autopista de 120 m de ancho. 154 bacbca= = = o o o tg ; cos ; sen 1 cos sen2 2= + o o SNTESISMDULOIII FUNCIONES PERIDICAS Verifican f(x) = f(x + p)conp:perodo FUNCIONES TRIGONOMTRICAS -f(x) = sen xDf= R;If= [-1 , 1]; p = 2t ; Impar: f(x) = -f(-x) -f(x) = cos xDf= R;If = [-1 , 1];p = 2t ; Par: f(x) = f (-x) -f(x) = tg x Df= R { (2k+1)2t }; If = R;p =t ;Impar: f(x) = - f(-x) SISTEMAS DE MEDICIN DE NGULOS -Sexagesimal = 9011recto ngulo -Radial 1.1AB longrad = Conversin de un sistema a otro rado= 180t o ; o= t 180rado RAZONES TRIGONOMTRICAS IDENTIDAD PITAGRICA 155 TEOREMA DEL SENO cCbBaA sen sen sen= = TEOREMA DEL COSENO C b a b a c cos 22 2 2 + = TRINGULOS NO RECTNGULOS 156 ACTIVIDADES FINALES DE INTEGRACIN Y PROFUNDIZACIN 1) Indic en cada caso si las expresiones dadas son iguales: a. 1 1 1y9 6 9 6++b) 9 7y 97+ c) 9 7 9y 17 7++d)( )22 2a b y a b + +e)4.9 y 4. 9 f)27 y 3 3g) 1 3y3 3h)64 36 y 64 36 + + 2) En un milmetro cbico de cierta vacuna hay 1200 bacterias. Cuntasbacteriashabrenunlitrodeesavacuna?.Expreselresultadoen notacin cientfica. 3)LanaveespacialVoyager,enviadaparaexplorarelespacio,tard10aosen llegaraNeptuno.Sisuvelocidaderade 45.10 km/h,calculladistanciadela Tierra a Neptuno 4)LadistanciadelaTierraalSolesde150000000km.PensandoquelaTierra describe en un ao casi un crculo alrededor del Sol, calcul aproximadamente la velocidad de traslacin de la Tierra. 5) Indic en cada caso si los nmeros dados son iguales: a)3 34 y 4 b) a.b y a . bc) ( ) ( ) 4 . 5 y 4 . 5 d) 3 y 3 e) 4.5 y 4 . 5 f) ( ) ( ) 4 . 5 y 4 . 5 6) Desde un punto P, perteneciente a uno de los lados de un tringulo equiltero, se trazan perpendiculares a los otros dos lados. Calculelreadecadaunadelaspartesenquequedadivididoeltringulo, sabiendoqueelpuntoPdividealladoendossegmentosde3cmy5cm, respectivamente. Cada problema que resolv se convirti en una regla que sirvi ms tarde para resolver otros problemas. Descartes 157 7)Asocicadaunodelosenunciadosconlaexpresinalgebraicaquele corresponde: ENUNCIADOSEXPRESIONES a)Elcuadradodelasumadedos nmerosesigualalasumadesus cuadradosmseldobledesu producto. 1.- n n n , , + 1 1b) El producto de dos potencias de la mismabaseesigualaotrapotencia quetienelamismabasequelas anterioresycuyoexponenteesigual alasumadelosexponentesdelas potencias que se multiplican. 2.-x y z3 5 8= =c)Unnmeroentero,elanterioryel siguiente. 3.- V r h = t2 d) Dos nmeros pares consecutivos. 4.-( ) ( )n n n + + + + = 1 2 33e)Lasumadetresenteros consecutivos es 33. 5.- ( )a b a b ab + = + +2 2 22f)Lasedadesdedoshermanos difieren en 6 aos y el ao prximo el hermanomayortendreldoblede aos que el menor. 6.- e v t =g)Lascantidadesquesellevantres socios son proporcionales a 3, 5 y 8. 7.- a a am n mn =+ h)Elespaciorecorridoporunmvil esigualasuvelocidadporeltiempo que est en movimiento. 8.-( )x yx y =+= +61 2 1 i)Elvolumendeuncilindroesigual alproductodetporelcuadradodel radio de su base y por su altura. 9.-2 2 2 n n , + Delasnueveexpresionesalgebraicasanteriores,haydosquesonciertaspara cualesquiera valores que demos a las letras. Cules son? 8) La suma de tres nmeros naturales consecutivos es igual al cudruple del menor. Cules son dichos nmeros? 9) Cortando un cuadrado de 20 cm de permetro por una paralela a uno de los lados, se obtienen dos rectngulos. El permetro de uno de ellos es de 12 cm. Cul es el permetro del otro? 158 10)Unfabricantedelmparasvendenicamenteadistribuidoresmayoristas mediante su sala de exhibicin. El gasto generalsemanal,incluyendo salarios, costosdeplantayalquilerdelasaladeexhibicin,esde$6000.Sicada lmpara sevende en $168y elmaterial que se utiliza en su produccin cuesta $44. Cuntaslmparasdebenproducirseyvendersealasemanademodoqueel fabricante obtenga utilidades? 11) Calcul el valor de la constante m para que la ecuacin x2 - 6 x + m = 0tenga: a) dos soluciones distintas b) dos soluciones iguales c) por soluciones los valores 4 y 2 d) dos soluciones que no sean nmeros reales. 12)Elproductodeunnmeroenteroporsusiguientees272,calculdichos nmeros. 13)Enuntringuloretnguloelladomayores3cmmslargoqueelmediano,el cual, a su vez, es 3 cm ms largo que el pequeo. Calcul cunto miden los lados. 14) Un predio rectangular tiene unlado 70mmslargo que el otro. Cada diagonal entre esquinas opuestas mide 130 m. Cules son las dimensiones del predio? 15) Resolv las siguientes ecuaciones: a. 4 23x 75x 0 =b. 21 1 3x 4x+ =c.4x 5 x 2 + = + d.2x 3 x 5 2 =e. x 2x3x 1 x 1+ = + 16) El rea lateral de un cilindro es igual al rea de la base. Cul es la relacin entre el radio de la base y la altura del cilindro? 17)Losvrticesdeunrombocoincidenconlospuntosmediosdelosladosdeun rectngulo que tiene base 2mmayor que la altura. Sus permetros se diferencian en 8 m.Cunto miden los lados del rectngulo y del rombo? 159 18)Lassiguientesfigurasrepresentanunafunciny=f(x).Apartirdelagrfica calcul: a. dominio, imagen b. f (0);f(-1);f(3);f(2);f(6) c. la frmula que representa la funcin d. | f( x ) | e.. f (x - 1) f. f (x) + 4 19) Sea f: R Rdefinida por f xsi x Qsi x Q( ) =e e11 Calcul: ( ) ( ) f f f ( ) ; ; , .. 0 3 0 33 ; ( ) ( )( )f f f 7 9 ; ; t 20) Determin el dominio de las siguientes funciones: a) ( )2f (x) 4 4x 5 = +b)2x x 6f (x)1 x = c)22x 4f (x)x 4=+ 21) Un automvil que consume 10 litros de nafta cada 100 km, parte con 45 litros en el tanque. Una camioneta que consume 12 litros de gasoil cada 60 km, parte con 60 litros. a)Encadacaso,escriblaecuacindelacantidaddecombustibleque queda en el tanque en funcin de los kilmetros recorridos. b)Represent grficamente. Cuntoskilmetrosdebernrecorrenparatenerlamismacantidadde combustible en el tanque? 22)Dadoslossiguientesparesdefuncioneslinealesfyg,determingrficay analticamente el conjunto{ } A x R: f (x) g(x) = e > : a.f (x) 3x 2, g(x) 2x 1 = + = b.f (x) 2x 1, g(x) 4x 1 = + = +c.f (x) 3, g(x) 5x 2 = = 160 23) Para construir seis corrales para animales se cerc un terreno rectangular y luego selodividimediantedoscercasparalelasalabasedelterrenoyunacerca paralelaalotrolado.Entotalseutilizaron1000metrosdecerca.Sixesla longitud de la base del terreno. a.Escrib el rea del terreno en funcin de x. b.Represent grficamente la funcin hallada en a).c.Indic el valor de x que hace mxima el rea. d.Indic el dominio de la funcin hallada en a) 24)Unaempresapromocionaunproductodelimpieza.Elnmerodehogaresque usanelproductoenfuncindeltiempo(enmeses)estdadapor: 2C(x) x 12x = + Represent grficamente y respond: a.Durante cunto tiempo el consumo fue en aumento? b.Cul es el dominio y la imagen de la funcin? c.Cuntosmesespasaranparaqueelproductoseautilizadoal mximo? En cuntos hogares serutilizado? d.Alcabo de 4 meses, cuntos hogares estarn utilizando el producto? e.Existe algn momento donde el producto no sea utilizado en ningn hogar? f.Al cabo de cuntos meses el producto ser utilizado en 5 hogares? 25)Cuandoseproduceunacantidadx(enmilesdetoneladas)deunacierta mercaderadosproductoresrecibenunbeneficiomensual(enmilesdepesos) de: 21p (x) x 8x 3 = + 2p (x) 2x 10 = a.Grafic ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas. b.Cuntastoneladasdebenproducirambosproductoresparaobtener la misma ganancia? 26) Se sabe que una parbola corta el eje de abscisas en dos puntos P y Q, que distan 6 unidades entre s y que toma su valor mximo y = 9 en x = 5. a.Hall el vrtice de la parbola y las abscisas de P y Q. b.Encontr la ecuacin de la parbola 27) Calcul el rea de un trapecio rectangular, sabiendo que sus bases tienen 30 cm y40 cm y que el lado oblcuo forma con la base mayor un ngulo de 60. 161 28)Elconsumodeenergaelctricadeunafamilia,enKW-hestdadoporla funcin ( )Et t ( ) cos = + |\

|.| 600 4502121t donde t indica los meses del ao (enero =1) a. Cul es el consumo en enero, en julio, en octubre? b. Qu perodo tiene E(t)? c. Represent dos ciclos de E(t) 29) Mostr grficamente que1 cosx senx x s sen el intervalo0,2t 30) Analiz cada afirmacin e indic si es verdadera o falsa. Justific tu respuesta. a.La funcinf (x) senx =es creciente en 53 ,2 t t b.La funcinf (x) cos x =tiene exactamente un cero en | | 2 ,3 t tc.Parax4t=se cumple quesenx cosx =d.No existe ningn valor de x para el cualsen x 3 =e.No existe ningn valor de x para el cualtgx 3 = 31) Dos lados de un paralelogramo miden 6 y 8 cm y forman un ngulo de 32. Calcul el rea y las diagonales del paralelogramo. 32) En elcuadrado ABCDse une elvrticeA conM, punto medio dellado BC,y con N, punto medio del lado CD.CalcullosladosylosngulosdeltringuloAMN,sabiendoqueelladodel cuadrado mide 4 cm. 33)Matas,partedesucasaycamina8kmendireccinS50Ehastallegarasu primera parada. Descansa y parte nuevamente caminando, esta vez, en direccin S 30 O hasta llegar a la segunda parada, donde descansa y regresa a su casa. Si ladistanciaenlnearecta,desdesucasaalaltimaparada,esde12km.Qu distancia recorri en el segundo trayecto?. 162 ALGUNOS EJERCICIOS DE EXMENES DE AOS ANTERIORES 1)Indicsilassiguientesafirmacionessonverdaderasofalsas.Justificsus respuestas. a. 327 4 +es un nmero irracional. b.Si 2 2a b =entoncesa b =c.Sia b >entonces3 2a 3 2b > d. 2 2a ba ba b= + e.El conjunto solucin de la inecuacin 4xx ses| ) ( ) S 2, 0 2, = +f. 2 2a b a b + =+g.El conjunto solucin de la inecuacin 24x 5 >+ es 11 9S ,2 2| |= |\ . h.El dominio de la funcin:( )( ) g(x) x 4 3 x = + es | | 4 3gD ; = 2)Representgrficamentelassiguientesfunciones.Encadacaso,indic claramente dominio, imagen e interseccin con los ejes de coordenadas: a. x 3 si x 2f (x) 1 si 2 x 32x si x 33+ s = < s > b.f (x) 2.sen x2t | |= + |\ . 3)Sean A(1,2) ;B(3,6) ;C(7,6)yD(5,2) los vrtices de un paralelogramo, calcul a.Las ecuaciones de las rectas que contienen a sus lados. b.El rea y permetro del paralelogramo. 4)Un agricultor desea proteger un campo rectangular con una cercay dividirlo en dosparcelasrectangularesmedianteunacercaparalelaaunadeloscostados delcampo.Sitienedisponible3000metrosdecerca,calcullasdimensiones del campo de tal manera que el rea protegida sea mxima. 5)Unobservadoryuncastilloseencuentranenorillasopuestasdeunro.El observadormideelnguloqueformansuvisualconelpuntomsaltodel castillo y obtiene 35. Retrocede15 m mide de nuevo el ngulo y obtiene 20. Qu ancho tiene el ro? 163 6)A partir de la grfica de f(x) = sen x represent las funciones: a.g(x) 2.f (x) = b.h(x) 3 f (x) = c. 1t(x) .f x2 2t | |= |\ .d.( ) p x f (2x) = Paracadafuncinindique:dominio,imagen,perodo,valoresmximosy/o mnimos. 7)A partir de la grfica de f(x) = | 2x 1| grafic las siguientes funciones a.g(x) f (x) 4 = +b.h(x) f (x 3) = + c. ( ) p x f (2x) 5 = + En todos los casos indique dominio e imagen. 8)A partir de la grfica de f(x) = 2 x2 - 4 dibuj la grfica de a.g(x) f (x 1) = b.h(x) 6 f (x 4) = + c. ( ) p x f (x) 1 = + En cada caso determine: dominio, imagen,ysi existen , las intersecciones con los ejes, mximos / mnimos. 9)Enuntringulorectngulolahipotenusaeseldobledeuncateto.Siel permetro mide3cm. Determin: a.El rea del rectngulo como funcin de un cateto. b.El dominio de la funcin hallada en a) 10)Unhelicpteroviajadeunaciudadaotra,distantesentres40km.Enun determinadomomentolosngulosqueformanlasvisuales,desdeel helicptero,hacialasciudadesconlahorizontalsonde14y26 respectivamente. En ese instante: a.A qu altura est el helicptero? b.Qu distancia hay en ese momento entre el helicpteroy cada una de las ciudades? 164 11)Dadalarectadeecuacin:2ky 3x 1 0 + + = conkeR,encadacaso, calcul el valor dek si: a.Tiene ordenada al origen igual a - 2 b.Pasa por el punto A (-3 , 2) c.Es paralela a la recta: 5 x + 2 y = 3 12)Un proyectil disparado hacia arriba con unavelocidad de 100m/seg. semueve de acuerdo con la ley : 2y 100t 5t = , dondeyes la altura en metros desde el puntodepartidayteltiempotranscurrido,ensegundos,despusdel lanzamiento. a.Represent la altura del proyectil como funcin del tiempo b.Calcul la altura mxima que alcanza y el instante en que se produce c.Ent = 8 seg. est subiendo o bajando?. Justific su respuesta. d.Enalgninstanteelproyectilregresaalpuntodepartida?Justificsu respuesta. 13)Dibuj un rectngulo que tenga su base sobre el eje x, sus otros dos vrtices por encima del mismo y pertenecientes a la parbolay = 8 - x2 a.Escrib el permetro del rectngulo en funcin de x. b.Hall las dimensiones del rectngulo de permetro mximo. 14)Un rectngulo est inscripto en un tringulo rectngulo de catetos 3 cmy 4 cm, si dos lados del rectngulo estn sobre los catetos a.Expres el rea del rectngulo en funcin de su base b.Calcul las dimensiones del rectngulo de rea mxima 15)EnelrectnguloABCD,lasrectasquecontienenalosladosAByADson: 2y x3=e 3 13y x2 2= + , respectivamente. a.Represent grficamente. b.Encontr las coordenadas de A. c.Si | |=|\ .14C ;63, encontr las rectas que contienen a los lados BC y CD.