A MAT022 Complemento

7/23/2019 A MAT022 Complemento

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Coordinacin MAT022

Campus Santiago Vitacura

Apuntes de

MAT022 - Complementos 3

a

vs. 1

sem.2014


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Prefacio

Estimados alumnos:

Este texto, en su segunda versin en formato de libro, es el resultado del esfuerzo de muchos co-

legas del Departamento de Matemtica de la Universidad Tcnica Federico Santa Mara, que a lo

largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporan apuntes de profesores

del Campus Santiago, especialmente de Juan Bahamodes, Nelson Cifuentes, Roberto Geraldo,

Leonel Guerrero y Erick Inda. En esta versin, stos han sido editados por quien suscribe, paraque su estructura incorpore no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sino

que tambin varios ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo,

para lograr mejores aprendizajes. Hemos optado tambin por incluir muchas demostraciones de

los teoremas que vern en clases. No es el objetivo que todos ellos sean vistos en clases. Ms bien,

esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensinde los conceptos involucrados, y de comprender cmo se realiza la construccin del conocimiento

matemtico. Esperamos que esta primera versin, an preliminar, les sea de utilidad, y que cual-

quier error que encuentren (por cierto, involuntario), sea informado al mail indicado abajo.

El apunte est estructurado y ordenado en la forma de clases correlativas, estimando el tiempo

necesario para tratar los temas que comprende el programa, clase a clase. Esto no los debe llevar a

equvocos: el nmero total de clases en un semestre es superior al nmero de clases que aparecen

en este texto. Esto se debe a que no se incluyeron aqu, de manera numerada, las clases de ejercicios

que se intercalan en algunos momentos, de acuerdo al calendario de certmenes de cada semestre,las eventuales falencias detectadas y a las necesidades especficas que cada curso determine.

Es importante que tengan presente que este apunte no reemplaza las clases. Para lograr un buenaprendizaje de los conceptos e ideas que considera este curso, es fundamental que asistan a clases,

participen activamente en ella, estudien de manera metdica, ojal estructurando un horario de

estudio diario, preparndose siempre para su prxima clase y que planteen a sus profesores cual-

quier duda conceptual que les surja. Si sus dudas aparecen cuando estn resolviendo un problema,

revisen los apuntes (stos y los personales de clases), ya que es posible que hay algn concepto que

no han comprendido cabalmente, reintente, aplique muchas alternativas de solucin e intercambie

I


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PREFACIO Vernica Gruenberg Stern

opiniones y mtodos con sus compaeros. Esta forma de estudiar les entregar una comprensin

ms profunda de las ideas y conceptos que estudiaremos en este curso y, por cierto, tendrn un

aprendizaje de calidad.

Desendoles la mejor experiencia de aprendizaje y que su trabajo sistemtico rinda los frutos que

esperan, los invita a iniciar esta aventura, muy cordialmente,

Vernica Gruenberg Stern

[email protected]

II
mailto:[email protected]:[email protected]


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ndice general

Prefacio I

ndice general II I

1. Matrices 1

1.1. CLASE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Conceptos Bsicos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Operatoria con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Propiedades de las Operaciones Matriciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. CLASE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. CLASE 3: Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. CLASE 5: Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6. CLASE 6: Matriz Inversa y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6.1. Mtodo de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz . . . . . . . . 29

1.7. CLASE 7: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7.1. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.2. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Vectores enRn 43

2.1. CLASE 8: Vectores en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.1. Operaciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.2. Producto punto y norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.3. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.4. ngulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.5. Producto cruz enR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2. CLASE 9: Geometra del Plano y el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

II I


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NDICE GENERAL

2.2.1. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.2. Rectas en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.3. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3. Ejercicios de Controles y Certmenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. Espacios Vectoriales 63

3.1. CLASE 10: Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2. CLASE 11: Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3. CLASE 12: Espacio Generado. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4. CLASE 13: Bases y dimensin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5. Ejercicios de Controles y Certmenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4. Diagonalizacin 85

4.1. CLASE 14: Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2. CLASE 15: Diagonalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3. CLASE 16: Aplicacin: forma cannica de cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.1. Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.2. Formas cuadrticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4. CLASE 17: Aplicacin: Secciones cnicas rotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4.1. Aproximacin geomtrica a la clasificacin de cudricas en el plano . . . . . 104


5. Sucesiones y Series Numricas 109

5.1. CLASE 18: Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2. CLASE 19: Convergencia de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.1. El concepto de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.2. Algunas propiedades de las sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2.3. Algunos resultados de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3. CLASE 20: Series Numricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4. Criterios de convergencia de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4.1. Criterio de la integral. Criterio de comparacin y comparacin al lmite. . . . 133

5.4.2. CLASE 21: Criterios del cuociente y de la raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.5. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5.1. Convergencia condicional y absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141


IV


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NDICE GENERAL

6. Series de Potencias 1456.1. CLASE 22: Series de Potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.2. CLASE 23: Polinomios y Series de Taylor y MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.2.1. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2.2. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.3. CLASE 24: Aplicaciones al Clculo de Integrales y Serie Binomial . . . . . . . . . . . 155


V


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NDICE GENERAL

VI


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Captulo 1

Matrices

1.1. CLASE 1

Muchos problemas del mundo real pueden ser modelados por sistemas de ecuaciones lineales.Las matricesque definiremos a continuacin, son objetos matemticos muy tiles, que permiten

representar de manera sencilla estos sistemas y, ms an, una correcta manipulacin de estas re-

presentaciones permiteresolverestos sistemas, como veremos ms adelante.

1.1.1. Conceptos Bsicos de Matrices

DEFINICIN1.1.1 Una matriz de ordenn m(se leenfilas pormcolumnas) es un arreglo rectan-gular de nmeros, de la forma

a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2ma31 a32 a33 a3m

... ...

... . . .

...

an1 an2 an3 anm

Cada uno de los elementos aij del arreglo, i {1, 2, m}, j {1, 2, n}, se llama entrada,elementoocoeficientede la matriz.

OBSERVACIN:

1. Denotaremos las matrices por letras maysculas A, B,C o tambin en la forma (aij)nm ,

(bij)nm o simplemente, (aij) , (bij). Note que (aij)denota una matriz, mientras que aijdenota laentradade la matriz que se encuentra en la isima fila yjsima columna.

2. Los elementos de una matriz pueden pertenecer a cualquier conjunto numrico, en particular

a Ro C. Denotaremos porMnm(R)M (n m,R)al conjunto de todas las matrices deordenn mcon coeficientes reales; de manera similar, Mnm(C) M (n m,C)denota elconjunto de todas las matrices de orden n mcon coeficientes complejos.

1


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CAPTULO 1. MATRICES Vernica Gruenberg Stern

EJEMPLOS:

1. La matriz A=

1 2

3 4

M22(R) y la matriz B=

1 2 1 i

i 0 3

M23(C).

EnA, se tiene que a12= 2 y a21= 3.

EnB, se tiene que b13= 1 i y b21 = i.

2. La matriz A= (aij)33= (i +j)33 est dada por

2 3 43 4 5

4 5 6

3. Escriba explcitamente la matrizA= (aij) M44, donde aij =i2 j2.

A=

12 11 12 22 12 32 12 42

22 12 22 22 22 32 22 4232 12 32 22 32 32 32 4242 12 42 22 42 32 42 42

=

0 3 8 153 0 5 128 5 0 7

15 12 7 0

.

DEFINICIN1.1.2 Una matriz de ordenn 1se llamamatriz columnaovector columna, y tienen laforma

a11

a21...

an1

De manera similar, una matriz de orden1 mse llamamatriz filaovector fila, y tiene la forma

a11 a12 a13 a1m

DEFINICIN1.1.3 La matriz (aij)nmtal que aij = 0para todo i, j se llama matriz nula de ordenn my es denotada por [0]nm, es decir

[0]nm=

0 0 00 0 0... ... . . . ...0 0 0

DEFINICIN1.1.4 Las matrices de ordenn n(igual nmero de filas y de columnas) se denomi-nan matrices cuadradas de orden n. El conjunto de ellas, con entradas en los reales, se denota porMnn(R)o simplemente Mn(R). Anlogamente para el caso complejo.

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Vernica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1

DEFINICIN1.1.5 SeaAuna matriz cuadradaA= (aij)nn. Los coeficientesaiiparai = 1, 2, . . . , nforman la llamadadiagonal principalde la matriz. Ladiagonal secundariadeAson los elementos de

la formaai,n+1iparai = 1, 2, . . . , n es decir

La diagonal principal deA :

a11

a22. . .

ann

La diagonal secundaria deA :

a1n

an1,2an1

DEFINICIN1.1.6 Una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal son todos

nulos se llamamatriz diagonal(los elementos de la diagonal pueden tomar cualquier valor, es decir,no necesariamente son distintos de cero).

Matriz diagonal:

a11 0 0 00 a22 0 00 0 a33

......

... ...

. . . 0

0 0 0 ann

Un tipo muy importante de matriz diagonal, es aquella que tiene todos los elementos de ladiagonal principal igual a 1, y se llama matriz identidad de ordenn. Esta matriz es denotada porIn.

EJEMPLOS:

I2=

1 0

0 1

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

DEFINICIN1.1.7 Si una matriz cuadrada de orden nes tal que todos los elementos que estnsobre su diagonal principal son todos iguales a cero (no importan los dems) se denomina matriz

triangular inferior; de manera similar, una matriz triangular superiores aquella en la cual todos los

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elementos que se encuentran bajo la diagonal principal son todos igual a cero.

Matriz triangular inferior:

a11 0 0 0

a21 a22 0

. .. 0...

... . . . . . .

......

... . . . . . . 0

an1 an2 an3 ann

Matriz triangular superior:

a11 a12 a13 a1n0 a22 a23

. . . a2n

0 0 . . . . . .

......

... . . . . . .

...

0 0 0 ann

DEFINICIN1.1.8 Dada una matriz cuadrada

A=

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n

... ...

... . . .

...

an1 an2 an3 ann

llamaremostraza deA(denotado portr(A)) a la suma de los elementos de la diagonal principal,

es decir,

tr (A) =a11+ a22+ + ann =n

i=1

aii

EJEMPLOS:

1. La traza de la matriz A=

1 2

4 1

es tr(A) = 1 + (1) = 0.

2. La traza de la matriz

An =

1 0 0 0

1 2 0 01 2 3 0...

... ...

. . . ...

1 2 3 n

es tr(A) = 1 + 2 + + n= n(n + 1)

2 .

4


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1.1.2. Operatoria con matrices

DEFINICIN1.1.9 (Igualdad de matrices) Diremos que dos matrices AyBson iguales si y solo si

son del mismo orden y adems aij

=bij

,

i, j.

EJEMPLO1.1.1 Encontrar los valores de las incgnitas si se tiene x + 1 0

x2 1

=

3 a

b c

DEFINICIN1.1.10 ( Suma de matrices) SiA = (aij)nm y B = (bij)nm, se define la suma deAyB:

A + B= (aij+ bij)nm es decir:

a11 a12 a1ma21 a22 a2m

... ...

. . . ...

an1 an2 anm

+

b11 b12 b1mb21 b22 b2m

... ...

. . . ...

bn1 bn2 bnm

=

a11+ b11 a12+ b12 a1m+ b1ma21+ b21 a22+ b22 a2m+ b2m

... ...

. . . ...

an1+ bn1 an2+ bn2 anm+ bnm

DEFINICIN1.1.11 (Multiplicacin por escalar o ponderacin) SiA = (aij)nm y R C,entonces

A= (aij)nm= (aij)n

m , es decir

a11 a12 a1ma21 a22 a2m

... ...

. . . ...

an1 an2 anm

=

a11 a12 ama21 a22 a2m

... ...

. . . ...

an a2n amn

EJEMPLOS: SiA =

1 2 10 2 3

y B=

1 1 2

3 1 1

, calcule a) A + B b) A + 5B.

a) A + B = 1 2 10 2 3 + 1 1 23 1 1 = 0 3 13 3 4 b) A + 5B =

1 2 10 2 3

+ 5

1 1 2

3 1 1

=

4 7 9

15 7 8

OBSERVACIN: SiAyBson matrices cuadradas, entonces tr (A + B) =tr (A) + tr (B).

5


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EJERCICIOS:

1. Construir explcitamente la matriz definida por:

a) A=

ij23

b) A=

i+jk=1

k2

32

c) B=|i j|

35

d) C=

(i + 1)(j 2)33

2. Determinex, yR tal que

3 x

1 2

+ 2

2 1

5 x

=

7 3

11 y

.

3. Determine matricesA, B M22(R)tal que

2A 5B=

1 20 1

, 2A + 6B=

4 2

6 0

.

DEFINICIN1.1.12 (Producto de matrices) SeaK = R C.Sean A M (n m,K) y B M (m p,K).La matriz productoC=A Bes la matriz de ordenn pdada por(cij)np donde

cij =

mk=1

aikbkj

Es decir, para obtener el elemento cij del producto se fija la fila i de A y la columna j de B y se

forma el elemento anterior; se dice que el producto de matrices es filas por columnas.

a11 a12 a13 a1m...

... ...

. . . ...

ai1 ai2 ai3 aim...

... ...

. . . ...

an1 an2 an3 anm

b11 b1j b1pb21 b2j b2p

... ...

...

bm1 bmj bmp

entonces el coeficientecijse obtiene como cij =ai1b1j+ ai2b2j+ + aimbmp.

6


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1.1.3. Propiedades de las Operaciones Matriciales

SeanA, B,C matrices (con rdenes tales que las operaciones consideradas pueden ser aplica-

das) y sean, escalares. Entonces:

1. A + B= B + A 8. 1 A= A2. (A + B) + C=A + (B+ C) 9. (AB) C=A (BC)3. A + [0] =A 10. A (B+ C) =AB + AC4. A + (1) A= [0] 11. (A + B) C=AC+ BC5. (A + B) =A + B 12. (AB) = (A) B= A (B)

6. ( + ) A= A + A 13. A Mnm InA= A = AIm7. (A) = () A

OBSERVACIN:

1. Es muy importante notar que el producto matricial no es conmutativo; incluso uno de los

productos puede no estar definido. Si consideramos A M23y B M34entonces ABest definida y tiene orden2 4. Notar queBAno est definido.Pero, incluso en el caso en que ambos productos puedan realizarse, no necesariamente son

iguales. Por ejemplo:

1 2

3 45 6

7 8 = 1 5 + 2 7 1 6 + 2 83

5 + 4

7 3

6 + 4

8 =

19 22

43 50 ,y

5 6

7 8

1 2

3 4

=

5 1 + 6 3 5 2 + 6 47 1 + 8 3 7 2 + 8 4

=

23 34

31 46

.

de donde 1 2

3 4

5 6

7 8

=

5 6

7 8

1 2

3 4

2. En matrices, la ecuacinAX = Bcon A= [0]y B una matriz cualquiera,no siempretienesolucin. Considere 1 1

0 0

X=

1 11 1

Si Xtiene orden nm, para que est bien definido el producto, se ha de tener n = 2. Elresultado sera de orden2 m, pero sabemos que es de orden 2 2, luegom = 2. Luego,Xes de la forma

X=

a b

c d

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entonces 1 1

0 0

a b

c d

=

a + c b + d

0 0

=

1 11 1

que claramenteno puede ser, pues observando la segunda fila, vemos que 0 = 1.3. En matrices no es verdad que AB = [0] implique A = [0]B = [0]. Veamos un par de

ejemplos: 0 1

0 0

0 1

0 0

=

0 0

0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

2 1 11 2 1

1

1 2

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

EJEMPLOS:

1. SeaA = [aij] M44(R)tal que aij = 0 para i > j y aij = 1 si i j. DetermineA2.Solucin:

A2 =

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 10 0 0 1

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 10 0 0 1

=

1 2 3 4

0 1 2 3

0 0 1 20 0 0 1

.

2. Considere la matriz

A=

0

12 0

12 0 0

0 0 12

Conjeture una frmula paraA2n, n N y demustrela por induccin.

Solucin:

A=

0 12 0

12 0 0

0 0 12

A2 =0

12 0

12 0 0

0 0 12

0

12 0

12 0 0

0 0 12

=122 0 0

012

20

0 012

2

A4 =A2 A2 =

12

20 0

012

20

0 012

2

12

20 0

012

20

0 012

2 =

12

40 0

012

40

0 012

4

8


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Conjetura: A2n =

12

2n0 0

012

2n0

0 0 12

2n

n N

Demostracin (por induccin): Como se vi arriba, el cason= 1se cumple.

Veamos que suponiendo vlido para n, se cumple tambin paran + 1:

A2(n+1) =A2n A2 =

12

2n0 0

012

2n0

0 012

2n

12

20 0

012

20

0 012

2

= 12

2n+20 0

0 122n+2 00 0

12

2n+2

=

12

2(n+1)0 0

012

2(n+1)0

0 012

2(n+1)

Luego, la conjetura es vlida n N.

EJERCICIOS:

1. Considerar la matrizB =

1 1 10 1 1

0 0 1

CalcularB2, B3, B4.

2. Sean A =

1 1 20 3 4

, B =

4 0 31 2 3

, C =

2 3 0 15 1 4 2

1 0 0 3

, y

D= 2

13

. Calcule A + B, 3A 4B, AC, BD, At, CtBt.

3. SeanA=

1 2 01 1 0

1 4 0

, B=

1 2 31 1 1

2 2 2

, C=

1 2 31 1 1

1 1 1

.

Verifique queAB = AC. Qu consecuencia obtiene de lo anterior?

9


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4. Determinex R tal que

x 4 1

2 1 0

1 0 2

0 2 4

x

4

1

= 0

5. Qu condicin(es) deben verificar a,b,c,d para que las matrices

a b

c d

,

1 1

1 1

conmuten? (respecto al producto).

6. SeaA =

i33

y B=j33

. Encontrar 2A2 + AB.

Indicacin:A = (aij) B= (bij)

7. Sea A=

1 0 1

0 0 0

1 0 1

. Verifique queA2 = 2A. Puede afirmar algo deA3?

8. Sea A=

1 1 00 1 1

0 0 1

. Demostrar que An =

1 n n(n 1)

20 1 n

0 0 1

9. SeaA M22(R)dada porA=

cos sen sen cos

.

Demuestre, usando induccin, que paran N, n 1:

An =

cos n sen nsen n cos n

.

10. Hallar una matrizAde orden2 2tal queA2 = I

11. Hallar una matrizAde orden2 2,A= 0tal queA2 = 0

12. Hallar una matrizAno nula, tal queA2 = 0yA3 = 0

13. DetermineX M22(R)solucin de X2 2X= 1 0

6 3 .14. Probar quetr (AB) =tr (BA)

10


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1.2. CLASE 2

1.2.1. Matriz transpuesta

DEFINICIN1.2.1 SeaA M (n m,K),A = (aij)con K = R C. La matriz transpuestade Aesla matriz denotada porAT M (m n,K)definida por

A= (aij) AT = (aji)

Es decir,AT es la matriz obtenida intercambiando las filas y columnas de la matriz A. Es decir, la

i-sima fila deApasa a ser la i-sima columna deAT.

Esto significa que si:

A=

a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2m

... ...

... . . .

...

an1 an2 an3 anm

nm

entonces

AT =

a11 a21 an1a12 a22 an2a13 a23 an3

... ...

. . . ...

a1m a2m anm

mn

EJEMPLO1.2.1 Si

A=

1 2 0

5 7 4

entonces

AT =

1 2 0

5 7 4

T=

1 52 7

0 4

PROPOSICIN1.2.1 Sea K,n N,AyBmatrices con rdenes apropiados para que las opera-ciones estn bien definidas; entonces:

1.

ATT

=A

2. (A + B)T =AT + BT

3. (A)T =

AT

4. (AB)T =BTAT

5. (An)T =

ATn

, n N0

11


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DEFINICIN1.2.2 SeaAuna matriz cuadrada.

Ase dicesimtricasiAT =A

Ase diceantisimtricasiAT = A

EJEMPLO1.2.2 La matriz

A=

1 0 30 2 1

3 1 0

es simtrica, y la matriz B=

0 3 13 0 2

1 2 0

es antisimtrica.

OBSERVACIN: Notar que para que una matrizA pueda ser simtrica o antisimtrica, sta debeser cuadrada, por el orden de las matrices involucradas.

PROPOSICIN1.2.2 SeanAyBmatrices simtricas del mismo orden. Entonces:

1. A + Bes simtrica

2. Si K entoncesAes simtrica

Demostracin:

1. (A + B)T =AT + BT =A + B

2. (A)T =AT =A

PROPOSICIN1.2.3 SiAes una matriz cuadrada entonces:

1. A + AT es simtrica

2. AAT yATAson matrices simtricas

3. A

AT es antisimtrica

Demostracin:

1.

A + ATT

=AT + (AT)T =AT + A= A + AT. Por lo tantoA + AT es simtrica.

2.

AATT

= (AT)TAT =AAT. Anlogamente el otro caso.

3.

A ATT = AT (AT)T = AT A =A+ AT =(A AT). Por lo tanto,A AT esantisimtrica.

12


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OBSERVACIN: De las proposiciones anteriores podemos deducir quetodamatriz cuadrada sepuede descomponer en una parte simtrica y otra antisimtrica en la forma

A= A + AT2 + A AT

2 Adems, esta descomposicin es nica.

PROPOSICIN1.2.4 SiAes una matriz antisimtrica, su diagonal principal tiene solamente ceros.

En efecto: deAT + A= 0se sigue que

aii+ aii= 0 aii= 0 para cadai

Ejercicios Propuestos

1. Considere A =

1 0 11 0 1

2 3 2

, B =

1 20 3

5 6

y C =

11

0

. Calcular los siguientes

productos, si es posible:

a) CTB b) CTC c) CCT d) BBT e) CTAC

2. SeanAyBmatrices simtricas. Determine si las siguientes son o no simtricas:

a) A2

+ B2

b) A2 B2c) ABA

d) ABAB

3. Es cierto que siAes antisimtrica entoncesA2 es simtrica?

4. Sea

S=

0 1 0 0 00 0 1 0 0

0 0 0 1 0... ... ... ... . . . ...0 0 0 0 10 0 0 0 0

nn

a) DeterminarSn paran Nb) SiAes una matriz de orden n nencontrar una regla para calcularSAyAS.

13


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5. Estudie si existe una matriz con coeficientes realesAde orden3 2tal queAAT =I3.

6. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas; si es verdadera, demuestre

la afirmacin, y si es falsa, d un contraejemplo:a) SiA2 est definido, entoncesAes cuadrada.

b) SiAByBAestn definidos, entoncesAyBson cuadradas.

c) SiAByBAestn definidos, entoncesABy BAson cuadradas.

d) (AB)2 =A2B2

7. DetermineAn,n N para las matrices

A1= a b

0 a , A2= c c

0 08. Se dice que una matriz A, cuadrada de orden nes nilpotente si, y solamente si, existe un

entero k > 0talque Ak es la matriz cero. El mnimo entero positivo para el cual esto se

cumple es llamadogrado de nilpotenciadeA.

a) Demuestre que cada una de las siguientes matrices es nilpotente y encuentre su grado

de nilpotencia:

(a) A=

0 1 1 20 0 3 2

0 0 0 40 0 0 0

(b) A=

1 1 3

5 2 6

2 1 3

b) Encontrar todas las matrices de2 2nilpotentes, con grado de nilpotencia dos.

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Vernica Gruenberg Stern 1.3. CLASE 3: EJERC ICIOS

1.3. CLASE 3: Ejercicios

Estos son algunos ejercicios sugeridos:

1. Encuentre todas las matrices3 3que conmutan con la matriz

1 0 00 1 0

3 1 2

.

2. Resuelva la ecuacin matricial X2 =

4 1

0 4

3. SeanA, B M3(R), donde

A= (aij) = i +j si i < j2i j si i j y B= (bij) = 3i si

|i

j

|es par

2 i si |i j| es imparDetermineX Y si X= (A 2B)T, Y =A (2B)

4. Pruebe que si A es antisimtrica entonces los elementos de la diagonal principal son todos

igual a 0.

5. Es verdadero o falso queA AT =AT A? Justifique.

6. Sea A=

cos(2k ) sen(

2k )

sen(2k ) cos(

2k )

, k Z+

DetermineAn, n N. A qu es igualAn sin= k?

7. SeaA Mn(R)tal queA2 = [0]. Pruebe que A (I+ A)n =A, n N.(Ayuda: use induccin).

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1.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales

DEFINICIN1.4.1 En una matriz podemos realizar tres tipos deoperaciones elementalespor fila:

(1) Intercambiar (permutar) dos de sus filas.(2) Multiplicar una fila (es decir cada coeficiente de la correspondiente fila) por una constante

distinta de cero.

(3) Sumar el mltiplo de una fila a otra fila

EJEMPLOS: Ejemplos de operaciones elementales:

Intercambio entre dos filas: las filas 1 y 3

2 0 1

5 4 37 6 9

7 6 9

5 4 32 0 1

Multiplicacin de una fila por un escalar: la fila 2, se multiplica por 3

4 0 15 4 32 8 9

4 0 115 12 9

2 8 9

Adicin del mltiplo de una fila a otra fila: Multiplicamos la fila 2 por 2 y se la sumamos a lafila 3 1 0 11 0 2

3 8 9

1 0 11 0 25 8 5

1.4.1. Matrices elementales

DEFINICIN1.4.2 Unamatriz elementales una matriz que resulta al efectuar una operacin ele-

mental sobre la matriz identidadIn

Dado que existen tres tipos de operaciones elementales, existirn entonces tres tipos de matri-ces elementales; usaremos la notacin siguiente:

Eij: es la matriz elemental obtenida intercambiando (en la matriz identidad) la filaicon la

filaj.

Ei(): es la matriz obtenida multiplicando (en la matriz identidad) la filaipor = 0.

Eij(): es la matriz obtenida sumndole a la filai, la filajmultiplicada por.

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Vernica Gruenberg Stern 1.4. CLASE 4: OPERACIONESELEMENTALES YMATRICESELEMENTALES

EJEMPLO1.4.1 Para la matrizI4:

1. E24= 1 0 0 0

0 0 0 10 0 1 0

0 1 0 0

2. E3(2) =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 00 0 0 1

3. E31(4) = 1 0 0 0

0 1 0 04 0 1 00 0 0 1

Considere ahora la matriz

A=

1 2 1 02 5 6 4

3 1 0 50 2 3 4

Note que si multiplicamos esta matriz por la matriz elemental E24por la izquierda, esto es,

efectuamos el productoE24 A, obtenemos la matriz

E24A =

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 2 1 02 5 6 4

3 1 0 50 2 3 4

=

1 2 1 00 2 3 4

3 1 0 52 5 6 4

que es lo mismo que haber efectuado sobre la matrizAla operacin elemental, intercambiar la fila2 con la fila 4.

Si efectuamos el productoE3(2) A, obtenemos

E3(2) A=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 00 0 0 1

1 2 1 02 5 6 4

3 1 0 50 2 3 4

=

1 2 1 02 5 6 4

6 2 0 100 2 3 4

que es lo mismo que se obtiene al realizar sobre la matriz Ala operacin elemental, la fila 3 la

multiplicamos por -2.

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Si efectuamos el productoE31(4) A, obtenemos el mismo resultado de la operacin elementalsobreA, la fila 1 la multiplicamos por -4 y se la sumamos a la fila 3.

E31(4) A=

1 0 0 00 1 0 0

4 0 1 00 0 0 1

1 2 1 02 5 6 4

3 1 0 50 2 3 4

=

1 2 1 02 5 6 4

7 9 4 50 2 3 4

Se tiene al respecto el siguiente teorema.

TEOREMA1.4.1 Sea Ela matriz elemental obtenida al efectuar una operacin elemental por fila

sobre la matrizIn. Si la misma operacin elemental se realiza sobre una matrizAde ordenn m,el resultado es el mismo que el del producto E A.

DEFINICIN1.4.3 Diremos que las matrices Ay Bson equivalentes por filas si existe una suce-sin de operaciones elementales por filas que convierte la matriz Aen la matriz B. En tal casopondremosA B

Como hemos visto, realizar una operacin elemental sobre una matriz es equivalente a mul-tiplicar por la izquierda esa matriz por una matriz elemental; para efectos de nuestros clculos

haremos directamente la operacin elemental sobre la correspondiente matriz, y la anotamos de la

manera que muestra el ejemplo siguiente:

EJEMPLO1.4.2 1 0 12 4 0

3 4 6

E21(2)

1 0 10 4 2

3 4 6

E31(3)

1 0 10 4 2

0 4 9

E32(1)

1 0 10 4 2

0 0 7

En este caso las matrices

1 0 12 4 0

3 4 6

y

1 0 10 4 2

0 0 7

son equivalentes (por fila).

OBSERVACIN: Un desarrollo anlogo, multiplicando por las matrices elementales por la derecha,permite definir operaciones elementales columna.

DEFINICIN1.4.4 Una matriz se encuentra en forma escalonada por filas si satisface las siguientes

propiedades:

Cualquier fila que se componga enteramente de ceros se ubica en la parte inferior de la ma-

triz.

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En cada fila distinta de cero, la primera entrada o coeficiente (contado desde la izquierda),denominado pivote, se localiza en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal

debajo de ella.

si adems se cumple:

Sus pivotes son todos iguales a 1

En cada fila el pivote es el nico elemento no nulo de su columna

decimos que la matriz se encuentra en formaescalonada reducida por filas.

EJEMPLO1.4.3 Son matrices escalonadas

A=

1 2 4 5 2 90 0 2 6 0 10 0 0 3 4 1

0 0 0 0 1 1

yB =

1 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 0

0 0 0 0

pero la matriz

C=

1 2 0 1 1 30 1 4 5 7 0

2 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 1

no es escalonada.

EJEMPLO1.4.4 Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida:

A=

1 2 0 0 0 5830 0 1 0 0 920 0 0 1 0 530 0 0 0 1 1

, B=

1 0 0 1212 0

0 1 0 14 34 00 0 1 1916

3116 0

0 0 0 0 0 1

DEFINICIN1.4.5 Unalgoritmoes una secuencia finita de operaciones realizables, no ambiguas,

cuya ejecucin da una solucin de un problema en un tiempo finito.

Elalgoritmo de reduccin de Gaussescalona una matriz por medio de operaciones elementa-

les fila. A continuacin encontrar la descripcin del algoritmo de reduccin de Gauss.

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SeaA=(aij)mn. Parak(ndice de fila) tomando los valores 1, 2, . . . , m 1 :

1. Si la submatrizMkde las filask, (k+ 1) , , msolo tiene coeficientes nulos no hacer nada.

2. Si el punto anterior no se cumple, buscar el ndice j0 ms pequeo tal que la columna j0tenga por lo menos un coeficiente distinto de cero en Mk. Hallar el i0ms pequeo tal que

ai0j0= 0ei0 k. Sii0> koperar en la matriz permutando filaskei0.

3. Paraidek+ 1am, siaij0= 0cambiar la filaipor la filaimenos aij0akj0 la filak.

EJEMPLO1.4.5 Consideremos la matriz

2 0 3

1 3 60 6 15

Encontrar su forma escalonada: 2 0 31 3 6

0 6 15

E12

1 3 62 0 3

0 6 15

E21(2)

1 3 60 6 15

0 6 15

E32(1)

1 3 60 6 15

0 0 0

est es su forma escalonada.

OBSERVACIN: Claramente, el algoritmo de Gauss- Jordan permite llevar matrices a la forma esca-

lonada reducida. Prosiga con el proceso en el ejemplo anterior, hasta llegar a la forma escalonadareducida.

DEFINICIN1.4.6 Sea Auna matriz. Se denomina rango de la matriz Aal nmero de filas nonulasde la matriz escalonada equivalente a la matriz Aoriginal, obtenida, por ejemplo, mediante

el algoritmo de reduccin de Gauss. Se denota el rango de la matriz Apor (A)o bienrango (A).

EJEMPLOS:

1. Determinar el rango de la matriz A=

1 2 3

4

1 0

2 1 1

0 0 0

3 1 2

2. Cules son todos los posibles rangos que puede tener una matriz 2 2? Y3 2?

PROPOSICIN1.4.1 SiA Mnmentonces (A) mn {n, m}.

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1. DetermineA25

si A= 0 0 1

0 1 01 0 0

2. Determine la forma escalonada reducida y el rango de la matriz A=

1 1 0

1 2 12 1 1

0 1 1

3. Hllese el rango de las siguientes matrices:

A=

1 4 3 22 2 1 1

1 2 2 1

y B=

1 4 3 22 2 1 1

1 2 2 1

4. Determine el valor dekpara que(A) = 3, si A=

2 2 3 13 1 1 0

k 1 2 1

.

5. Determine las condiciones que deben cumplir hykpara que(A) = 3, si

A=

1 0 2

0 0 k 20 k 1 h + 20 0 3

6. Hallar los valores deyde modo que el rango de la matriz Asea lo ms pequeo posible,con

A=

1 3 2 1 42 1 1 2 33 4 3 1 23 3 0 3

3 2 3 3

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1.5. CLASE 5: Sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos el sistema demecuaciones ynincgnitas

a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2...

... ...

am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn = bm

Usando matrices, el sistema se puede escribir en la forma de una ecuacin matricial AX = B,

donde

A= a11 a12 a1na21 a22

a2n

... ... ... ...

am1 am2 amn

mn

, X= x1

x2...

xn

n1

, B= b1

b2...

bm

m1

DEFINICIN1.5.1 Considere el sistema de ecuaciones AX=B, A Mmn(R) , B Mm1(R).Diremos queX0 Mn1(R)es solucindel sistema si al reemplazarX0en la ecuacin, sta setransforma en una identidad, es decir

AX0= B

DEFINICIN

1.5.2 Un sistema se llamacompatiblesi tiene al menos una solucin. Si el sistema notiene solucin, diremos que esincompatible.

OBSERVACIN: Notar que si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas entonces tiene

infinitas soluciones distintas.

En efecto: Consideremos el sistema de ecuaciones AX = B, y supongamos queX1, X2sondos solucionesdistintasdel sistema.

Sea R cualquiera. Demostraremos queX1+ (1 )X2tambin es solucin del sistema:

A

X1+ (1 )X2

=AX1+ (1 )AX2= B+ (1 )B= B

EJEMPLO1.5.1 El sistema de ecuaciones lineales

x1 + 2x2 = 4

x2 x3 = 0x1 + 2x3 = 4

puede escribirse como una ecuacin matricialAX=B , con

22


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Vernica Gruenberg Stern 1.5. CLASE 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

A=

1 2 0

0 1 11 0 2

, X=

x1

x2

xe

, B=

4

0

4

Sistemas Homogneos

Antes de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales generales, consideremos en primer lugar

los sistemas homogneos, es decir, aquellos en queB = [0].

DEFINICIN1.5.3 SeaA Mmn(R). El sistema AX= [0] se dicehomogneo.

OBSERVACIN:

Sea AX= [0] un sistema homogneo. Entonces:

1. AX= [0] es siempre compatible, puesX= [0]es solucin.

2. SiC Mmn(R)es tal queC A, entonces los sistemas AX= [0] y CX= [0] tienen lasmismassoluciones.

Para ver esto, note que las matrices elementales satisfacen:

EijEij =I , Ei() Ei 1 =I , y Eij() Eij() =ILuego, siEes una matriz formada por un producto de matrices elemetales entonces existe

una matrizE1 (llamada matriz inversa deE) tal que

E1E= I

ComoA C, existe una sucesin de matrices elementales E1, E2, . . . , E ktales que

E1

E2

Ek

A= C

SeaE = E1E2 Ek. Luego, siX0es tal queAX0 = 0, entonces EAX0 = E0 = 0 dedonde CX0= 0.

Recprocamente, siC X1= 0entonces E1CX1= 0 de donde AX1= 0.

Por lo tanto, los sistemas tienen las mismas soluciones.

23


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Sistemas no homogneos

Con el mismo mtodo de la seccin anterior es posible mostrar que si E(A)es la matriz escalo-

nada equivalente por filas conAentonces los sistemas

AX=B y E(A) X=EB

tienen las mismas soluciones (Ees la matriz formada por el producto de matrices elementales que

escalonanA). Claramente, el segundo sistema es mucho ms fcil de resolver.

EJEMPLO1.5.2 Resolver

1 2 0

0

1 2

0 0 2

x

y

z

=

1

2

3

Note que este sistema se puede escribir en la forma

x + 2y = 1

y+ 2z = 22z = 3

De la ltima ecuacin obtenemos z = 32 ; reemplazamos este valor en la segunda ecuacin y

despejamos para obtener y = 1; finalmente reemplazamos en la primera ecuacin y obtenemos

x= 1.

Lo que hace que el sistema anterior sea fcil de resolver, es que pudimos ir reemplazando losvalores de las variables de manera sucesiva. Notamos que esto queda representado en la forma

matricial, en que la matriz de coeficientes Ade la ecuacin es triangular superior. Esta simple

observacin nos entrega un mtodo para resolver sistemas, el que consiste en obtener el sistema

escalonado equivalente.

DEFINICIN1.5.4 Sea A Mmn(R)y B Mm1(R). Consideremos el sistema AX = B conB= 0. Llamaremosmatriz ampliadadel sistema a la matriz

(A |B) =

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2

... ...

... ...

...

am1 am2 amn bm

24


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EJEMPLO1.5.3 El sistema de ecuaciones lineales

x1 + 2x2 = 4

x2 x3 = 0x1 + 2x3 = 4

puede describirse con lamatriz ampliada

1 2 0 40 1 1 0

1 0 2 4

La barra vertical solo nos ayuda a distinguir entre los coeficientes del sistema que se encuentran

a la izquierda del signo=y las constantes que se encuentran a la derecha.

Con esta notacin, aplicamos el mtodo de Gauss:

1 2 0 40 1 1 0

1 0 2 4

E31(1)

1 2 0 40 1 1 0

0 2 2 0

E32(2)

1 2 0 40 1 1 0

0 0 0 0

La segunda fila representa la ecuacin: y z = 0 y la primera representa: x+ 2y = 4, dedondeel conjunto solucines

{(4 2z ,z ,z) :z R}.

Una ventaja de esta notacin es que nos evita copiar muchas veces las variables y los signos.

Mtodo de solucin mediante el algoritmo de Gauss: Como sabemos, AX=By E(A) X=E Btienen las mismas soluciones, note que la matricesE(A)y E Baparcen al aplicar las operacioneselementales que escalonan la matrizAentonces, si aplicamos el mtodo de Gauss para obtener la

escalonada de matriz ampliada del sistema(A, B)estaremos obteniendo la matriz(E(A) , EB).

EJEMPLO1.5.4 Resolver el sistema

1 2 13 0 11 1 2

xyz

= 120

Formamos la matriz ampliada del sistema

(A, B) =

1 2 1 13 0 1 2

1 1 2 0

25


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aplicamos el algoritmo de Gauss para obtener la escalonada

1 2 1 1

3 0 1 2

1 1 2 0

1 2 1 1

0

6

2

1

0 0 2 12

y ahora resolvemos el sistema 1 2 10 6 2

0 0 2

xy

z

=

11

12

que tiene las mismas soluciones.

TEOREMA1.5.1 SeaA

Mmn(R)yB

Mm1(R):

1. El sistemaAX=Bes compatible si y solo si(A) =(A, B)

2. SeaAX=Bun sistema compatible.

a) Si(A) =(A, B) =n(nmero de incgnitas) entonces el sistema tiene solucin nica.

b) Si(A) =(A, B)< n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

OBSERVACIN: En lugar de aplicar el algoritmo de Gauss, podemos aplicar el algoritmo de Gauss-

Jordan (matriz escalonada reducida) para resolver un sistema equivalente ms simple.

Ejercicios propuestos

1. Usar el mtodo de Gauss -Jordan para resolver los sistemas:

a)2x + 3y+ z = 1

3x 2y 4z = 35x y z = 4

(La solucin nica esx= 1, y= 1, z= 2)

b)

2x

y+ 3z = 4

3x + 2y z = 3x + 3y 4z = 1

(Posee infinitas soluciones : x= 117 57z, y= 117z 67).

c)

x + y+ z w = 22x + y+ w = 5

3x + z+ w = 1

3x + 2y+ z = 3

(No hay solucin)

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2. Usar el mtodo de Gauss para resolver:

a)

2x + 3y = 13

x y = 1

b)x z = 0

3x + y = 1

x + y + z = 4

c) 2x + 2y = 5

x 4y = 0

d) x + y = 1

x + y = 2

e)

x

3y + z = 1

x + y + 2z = 14

f) x y = 13x 3y = 2

g)

4y + z = 20

2x 2y + z = 0x + z = 5

x + y z = 10

3. Determine los valores dek R para los que el sistemaa) tiene solucin nica; b) tiene infinitas soluciones ; c) no tiene solucin, si:

x y = 13x 3y = k

4. Qu condiciones deben cumplir las constantes bipara que cada sistema tenga solucin ni-

ca?

a)

x 3y = b13x + y = b2

x + 7y = b3

2x + 4y = b4

b)x1 + 2x2 + 3x3 = b1

2x1 + 5x2 + 3x3 = b2

x1 + 8x3 = b3

5. Determine a, b, c R para que la grfica de f(x) = ax2 + bx+ c pase por los puntos(1, 2), (1, 6)y(2, 3).

6. Pruebe que siad bc = 0, entoncesax + by = j

cx + dy = ktiene solucin nica.

7. Dados 4 nmeros positivos, se sabe que al seleccionar tres cualesquiera de ellos, determinar

su promedio y sumarle el cuarto nmero, se obtienen los nmeros 29, 23, 21 y 17. Cules

son los nmeros originales?

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8. a) Resuelva el sistema ax + y = a2

x + ay = 1

Para qu valores dea R

tiene solucin vaca? e infinitas soluciones?

b) Resuelva el sistema ax + y = a3

x + ay = 1

Para qu valores dea R tiene solucin vaca? e infinitas soluciones?

9. Considere el sistema lineal definido en R:

x + ay + 3z = 2

x + (2a 1)y + 2z = 2x + ay + (a + 4)z = 2a + 4

Determinea R para que el sistema tenga:a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin

10. Considere el sistema lineal definido en R:

ax + y + z = 1

x + ay + z = 1

x + y + az = 2

Determinea R para que el sistema tenga:a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin.

11. Dado el sistema:x y + (4a2 + 1)z = b

y + (3 a)z = 02x y + (7 a)z = 2

dondeayb R,

hallar condiciones paraaybde tal manera que el sistema tenga:

a) Infinitas soluciones b) ninguna solucin c) una nica solucin

12. Resuelva el sistema: 2x

1y

+ z = 1

1

x +

3

y 2z = 0

4

x 3

y + z = 2

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Vernica Gruenberg Stern 1.6. CLASE 6: MATRIZINVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES

1.6. CLASE 6: Matriz Inversa y operaciones elementales

DEFINICIN1.6.1 SeaAuna matriz cuadrada de ordenn. Se dice que Aes invertiblesi existe una

matriz cuadrada de ordenn, que denotaremos porA1 tal que AA1 =A1A= In

OBSERVACIN:

Si una matriz es invertible, tambin se suele decir que es no singular.

Si la inversa de una matriz existe, es nica.

No todas las matrices son invertibles. Por ejemplo, si consideramos las matrices

A= 1 31 1

B= 2 21 1

entonces Aes invertible y B no lo es. (Verificar directamente suponiendo la existencia yresolviendo ecuaciones)

PROPOSICIN1.6.1 SeanA, B M(n,K)matrices no singulares (invertibles), entonces:

1. (AB)1 =B1A1

2.A11 =A3.

AT1

=

A1T

4. (A)1 = 1

A1, para todo = 0

5. (An)1 =

A1n para todo entero no negativon.

1.6.1. Mtodo de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz

No disponemos an de un criterio para decidir si una matriz es o no invertible. El siguiente

teorema nos provee un mtodo para calcular la matriz inversa (en caso de existir) de una matriz

cualquiera.

TEOREMA1.6.1 SeaAuna matriz cuadrada de orden ninvertible. Si una sucesin de operaciones

elementales por filas transforma la matrizAen la matriz identidadIn, entonces la misma sucesin

de operaciones elementales convierte la matriz InenA1.

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Dem. En efecto: siAes equivalente por filas a la matriz In, entonces existe una sucesin deoperaciones elementales que convierte a la matrizA en la matriz In; esto quiere decir que existe

una sucesin de matrices elementales E1, E2, . . . , E ktales que EkEk1 E2E1A= In. Si anotamosB=EkEk1 E2E1 , entoncesBA= In, es decirB = A1.

OBSERVACIN: En la prctica, el teorema anterior nos entrega un mtodo para calcular la inversa

de una matriz A: si Auna matriz cuadrada de orden n, invertible, para calcular su inversa

procedemos como sigue:

Construmos una nueva matriz, denominadamatriz aumentada, de la forma(A | In). Sobre estamatriz aumentada (que tiene orden n2n), realizamos operaciones elementales hasta obteneren el lado izquierdo de esta matriz aumentada (es decir en el lado donde est la matriz A), la

matriz identidad; al conclur este proceso, en el lado derecho de la matriz aumentada (es decir

en el lado donde originalmente se encontraba la matriz identidad), aparece la inversa A1 queestamos buscando, es decir:

(A | In)

In | A1

EJEMPLO1.6.1 Calcule la inversa, en caso de existir, de la matrizA=

2 1 11 2 00 1 2

Dem.:Formamos la matriz aumentada 2 1 1 1 0 01 2 0 0 1 0

0 1 2 0 0 1

y calculamos mediante operaciones elementales:

2 1 1 1 0 01 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

E12

1 2 0 0 1 02 1 1 1 0 00 1 2 0 0 1

E21(2)

1 2 0 0 1 00 3 1 1 2 00 1 2 0 0 1

E32

1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

0 3 1 1 2 0

E32(3)

1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

0 0 5 1 2 3

E3(15)

1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

0 0 1 15 25 35

E23(2)

1 2 0 0 1 00 1 0 25 45 15

0 0 1 15 25 35

E12(2)

1 0 0

45 35 25

0 1 0 25 45 150 0 1 15 25 35

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Vernica Gruenberg Stern 1.6. CLASE 6: MATRIZINVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES

Se sigue que

A1 =

45 35 2525

45

15

15 25 35

Verifique que AA1 =A1A= I3.

TEOREMA1.6.2 Una matriz cuadradaAde ordennesinvertiblesi, y solo si,(A) =n.


1. SeanA, B, C Mn(K)invertibles. Demuestre que:a) ABCes invertible

b) (ABC)1 = C1B1A1

2. Suponga que A3 = [0]. Muestre queI Aes invertible.

3. a) Hallar matricesAyBinvertibles, pero queA + Bno lo sea.

b) Hallar matricesAyBnoinvertibles, y queA + Bsi lo sea.

4. SiBes la inversa deA2, probar queABes la inversa deA.

5. SeanA, Bmatrices,Ade ordenp qyBde ordenqp, conq < p.

a) Demostrar queABes singular.

b) Muestre queBApuede ser no singular.

6. Hallar la matrizXen la ecuacin (AX1B)t = AB, donde

A= 1 1 1

0 1 2

3 1 0 y B =

0 0 1

1 2 0

1 1 0

7. ResolverXen la ecuacin:(AXt + B)t = XC DconAt Cinvertible.

8. Usando operaciones elementales calcular la inversa de

1 2 02 3 1

1 1 5

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9. CalcularA1 si

A=

6 2 1 0 5

2 1 1 2 11 1 2 2 33 0 2 3 1

1 1 3 4 2

10. Qu condiciones deben cumpliraybde modo queAsea invertible?

A =

a 0 b 0

0 a 0 b

b 0 a 0

0 b 0 a

11. SeanE, F, Tmatrices cuadradas de ordenn, tal queEes no singular,EF =F Ey T2 =F.Demuestre que:(E1T E)2 =F.

12. Una matrizA es ortogonal si y slo si At = A1. SiA es una matriz ortogonal, demuestrequeA1 es ortogonal yAt es ortogonal.

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Vernica Gruenberg Stern 1.7. CLASE 7: DETERMINANTES

1.7. CLASE 7: Determinantes

DEFINICIN1.7.1 SeaA Mn(R

).Se llamamenor de ordenijdeAy se denota porMijal determinante de orden n 1obtenidoeliminando la i-sima fila y la j-sima columna de la matrizA.

Se llamacofactor de ordenijdeA, denotado porCij , al nmeroCij = (1)i+jMij

EJEMPLO1.7.1 Consideremos la matriz A=

2 4 10 3 2

5 1 6

CalcularM13, M21, C13 y C21.

Solucin: Eliminemos la primera fila y la tercera columna deA:

A=

2 4 10 3 2

5 1 6

y obtenemos el menor M13=

0 35 1 = 15

Si eliminamos la segunda fila y la primera columna

A=

2 4 10 3 2

5 1 6

obtenemos el menor M21=

4 11 6

= 25

Calculemos los cofactores:

C13= (1)1+3M13= (1)415 = 15, C21= (1)2+1M21= (1)325 = 25

DEFINICIN1.7.2 SeaA Mn(R). EldeterminantedeAes una funcin

det :Mn(R) R

que a cada matrizAle asocia elnmero realque denotamos por det(A). Tambin se usa la nota-

cin det(A) =

|A

|.

La forma en la cual acta la funcin determinanteen una matriz cuadrada de orden nes la

siguiente:

Paran= 1 : det(a) =a

Paran= 2 : det

a b

c d

=ad bc

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Paran >2el determinante deA= (aij) Mnn(R)es el nmero real

det(A) =

n

i=1(1)i+jaijMij =

n

i=1 aijCij , para 1 j

n (con jfijo)

nj=1

(1)i+jaijMij =n

j=1

aijCij , para 1 i n (con ifijo)

EJEMPLO1.7.2 Calculemos el determinante de la matrizA =

2 4 10 3 2

5 1 6

Fijemos una filai = 1, entonces

det(A) =3

j=1

(1)i+ja1jM1j =a11M11 a12M12+ a13M13

det(A) = 2

3 21 6 4

0 25 6 1

0 35 1 = 23

Si fijamos una columna, por ejemplo j = 1, se tiene

det(A) =3

i=1(1)i+jai1Mi1= a11M11 a21M21+ a31M31

det(A) = 2

3 21 6 0

4 11 6 5

4 13 2 = 23

1.7.1. Propiedades de los determinantes

PROPOSICIN1.7.1 SeanA Mnn(R)yB Mnn(R)

1. det(A) = det(AT

)

2. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero, entonces el valor deldeterminante es cero.

3. det(In) = 1

4. El determinante de una matriz diagonal o triangular es igual al producto de los elementos

de la diagonal.

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5. Si R, entoncesdet(A) =n det(A)

6. det(AB) = det(A) det(B)

7. SiAtiene dos filas( o columnas) iguales o proporcionales, entonces det(A) = 0.

8. Si se intercambian dos filas (o columnas) en una matriz su determinante cambia de signo.

9. Si B se obtiene a partir de Amultiplicando una fila (o columna) de Apor un nmero k,

entoncesdet(B) =k det(A).

10. Si Bse obtiene a partir de A, sumando a una fila (o columna) otra fila (o columna) amplificada

por un factork, entoncesdet(B) = det(A).

EJEMPLO1.7.3 SeaA =

1 2

3 4

, entonces eldet(A) = 2. Si la primera fila de Ase multiplica por

3, obtenemosB =

3 6

3 4

ydet(B) =6 = 3 det(A). Si la primera fila deAla multiplicamos por

-3 y se la sumamos a la segunda fila de A, obtenemos la matrizB =

1 2

0 2

y det(B) =2 =

det(A).

EJEMPLO1.7.4 Calculemos el siguiente determinante usando la propiedad 101 3 4

2 5 13 1 0

=

1 3 40 1 70 10 12

= 1 M11 = 1 710 12

= 58

DEFINICIN1.7.3 La adjunta de una matriz A, denotada poradj(A), es definida por

adj(A) =CT

dondeC= (Cij)es la matriz de cofactores. Es decir, la matriz adjunta es la traspuesta de la matrizde los cofactores.

EJEMPLO1.7.5 SeaA =

a b

c d

. La matriz de cofactores es C=

d cb a

. Por lo tanto,

adj(A) =

d bc a

35


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Consideremos la matrizA=

2 3 14 0 5

2 1 1

, la matriz de cofactores esC=

5 14 42 4 8

15 6 12

. Por

lo tanto,

adj(A) =

5 2 1514 4 6

4 8 12

TEOREMA1.7.1

A adj(A) = det(A) In y adj(A) A= det(A) In

Note que, sdet(A) = 0, entoncesAes no singular (invertible) yA1 =

1

det(A)adj(A)

Adems, siAes no singular, entonces

1 = det(In) = det(AA1) = det(A) det(A1) = det(A) = 0

y concluimos que

det(A1) = 1

det(A)

TEOREMA1.7.2 SiA

Mn

n(R), entoncesAes no singular s y solo sdet(A)

= 0

EJERCICIOS: Calcular el determinante

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

Desarrollo:

a a a a

a b b ba b c c

a b c d

=

a a a a

0 b a b a b a0 b a c a c a0 b a c a d a

=a (b a)

1 b

a b

a

1 c a c a1 c a d a

= a (b a)

1 b a b a0 c b c b0 c b d b

=a (b a) (c b) 1 c b1 d b

= a (b a) (c b) (d b (c b)) =a (b a) (c b) (d c)

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EJERCICIOS: Resolver la ecuacinx a b a b

c x b c bc a x a c

= 0

x a b a bc x b c bc a x a c

=

x a b a + b bc x c bc x c x a c

=

x a + b b

x x c bx x c x a c

= x

1 a + b b1 x c b1 x c x a c

=x

1 a + b b0 x c a b 00 x c a b x a c b

=x x c a b 0x c a b x a c

= x (x (a + b + c))2

las soluciones sonx= 0yx= a + b + c.

EJERCICIOS: Muestre que

y1+ z1 z1+ x1 x1+ y1

y2+ z2 z2+ x2 x2+ y2

y3+ z3 z3+ x3 x3+ y3

= 2

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

Desarrollo:y1+ z1 z1+ x1 x1+ y1

y2+ z2 z2+ x2 x2+ y2

y3+ z3 z3+ x3 x3+ y3

=

y1 x1 z1+ x1 x1+ y1y2 x2 z2+ x2 x2+ y2y3 x2 z3+ x3 x3+ y3

=

2y1 z1+ x1 x1+ y1

2y2 z2+ x2 x2+ y2

2y3 z3+ x3 x3+ y3

=

2 y1 z1+ x1 x1+ y1

y2 z2+ x2 x2+ y2

y3 z3+ x3 x3+ y3 = 2

y1 z1+ x1 x1

y2 z2+ x2 x2

y3 z3+ x3 x3 = 2

y1 z1 x1

y2 z2 x2

y3 z3 x3 = 2

x1 z1 y1

x2 z2 y2

x3 z3 y3

= 2

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

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1.7.2. Regla de Cramer

Es un mtodo para resolver sistemas de ecuaciones, til en aspectos tericos, y en lo prctico,

til solo para sistemas cuadrados muy pequeos. Sea

a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2...

...

an1x1+ an2x2+ . . . + annxn = bn

un sistema lineal connecuaciones ynincgnitas. Resolver este sistema es equivalente a resolver

la ecuacin matricial AX=B , donde

A=

a11 a12 a1na21 a22 a2n

... ...

... ...

an1 an2 ann

, X=

x1

x2...

xn

, B=

b1

b2...

bn

Sidet(A) = 0, entonces el sistema tiene una nica solucin dada por:

x1=|A1||A|, x2=

|A2||A|, x3=

|A3||A|, . . . , xn =

|An||A|

dondeAies la matriz obtenida a partir de Aal reemplazar su i-sima columna por la matrizB.La demostracin se basa en escribir

X=A1B= 1

det(A)adj(A)B

e identificar los elementos de adj(A)Bcomo los determinantes sealados.

EJEMPLO1.7.6 Resolver el sistema

2x1+ 3x2 x3 = 1x1+ 2x2 x3 = 4

2x1

x2+ x3 =

3

2 3 11 2 1

2 1 1

x1

x2

x3

=

1

4

3

Solucin: Comodet(A) = 2, obtenemos:

x1=

1 3 14 2 1

3 1 1

|A| =

42= 2, x2 =

2 1 11 4 1

2 3 1

|A| =

62= 3

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Vernica Gruenberg Stern 1.8. EJERCICIO S DE CONTROLES YCERTMENES

x3=

2 3 11 2 4

2 1 3

|A| =82= 4

1.8. Ejercicios de Controles y Certmenes

1. Determinar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:

a) A Mnn(C), nimpar det(A At) = 0.b) A + At es simtrica.

c)A M22(C) tal que A2 + A= I2.

d) Si A=

1 0 00 a b

0 b a

, a = 0 b = 0 A1.

2. Determinar la relacin que deben cumplir a, b, c, dpara que el siguiente sistema tenga infini-

tas soluciones:

x1+ ax2+ a2x3+ a

3x4 = 0

x1+ bx2+ b2x3+ b3x4 = 0

x1+ cx2+ c2x3+ c

3x4 = 0

x1+ dx2+ d2x3+ d

3x4 = 0

3. Si A=

1 1 11 0 1

1 2 1

, B=

1 1 00 1 0

1 0 1

, resolver (Xt + Bt)t = A2 + BAB .

4. Sea A =4 1 82 1 3

1 0 2

. Sabiendo que A es invertible, determine A1 usando operacioneselementales.

5. Demuestre que siB es una matriz de orden 2 que conmuta con toda matriz A(de orden 2),

entoncesBes de la forma

k 0

0 k

, para algnk R.

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6. Sea A=

1 2 3 4

0 2 3 4

0 3 4

0 0 4

a) Determine la relacin entreypara que existaA1.

b) Si = = 0, calculeA1.

7. Usando el mtodo de la matriz ampliada, determine los valores de R tales que el sistema1

2x + y +

1

2z = 2

4x + y + 4z = 5

3x

y +

2

z = 1

tenga

a) infinitas soluciones.

b) solucin nica.

c) solucin vaca.

8. DetermineX(matriz) tal que(A1 X A)1 = A2, donde A=

3 2 14 1 1

2 0 1

.

9. Sin usar la expansin de Laplace (ni en particular la regla mnemotcnica para determinantes

de matrices de3 3) demuestre, usando slo propiedades, que0 a b

a 0 cb c 0

= 0 , a,b,c R

10. Dado el sistema de ecuaciones

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = y1

2x1 + x2 + 4x3 + x4 = y2

3x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = y3

a) para qu valores dey1, y2, y3 R el sistema tiene solucin?b) para qu valores dey1, y2, y3 R el sistemanotiene solucin?c) Resuelva el sistema paray1= y2= y3= 1.

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Vernica Gruenberg Stern 1.8. EJERCICIO S DE CONTROLES YCERTMENES

11. Sea A() =

1 0 0

0 cos sen 0 sen cos

.

a) Determine el (los) valor (es) paratales queI3+ A()no sea invertible.

b) Compruebe que (I3 A(/2))(I3+ A(/2))1 =

0 0 00 0 1

0 1 0

12. Calcule el valor del determinante

3 1 1 1 1 1

3 1 1 1 1 13 1

1 1 1 1

3 1 1 1 1 13 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1

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Captulo 2

Vectores en Rn

2.1. CLASE 8: Vectores en el plano y en el espacio

A partir de la representacin de R como una recta numrica, los elementos o puntos del plano

(a, b) R R= R2

se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares,cada una representando una recta real, que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas

rectangulares, donde la interseccn representa a (0, 0)y cada par ordenado(a, b)se asocia con unpunto de coordenadaa en la recta horizontal (eje de las abcisas o eje X) y la coordenada ben la

recta vertical (eje de las ordenadas o eje Y).

Analgamente, los elementos(a,b,c) R R R = R3 se asocian con puntos en el espaciotridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes

del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 yen R3. La direccin de la flecha indica la direccin del vector y la longitud de la flecha determina

su magnitud.

Denotaremos los vectores con letras minsculas con un flecha arriba tales como v , w , z. Lospuntos se denotarn con letras maysculas tales como A, B,C . En el contexto de los vectores, los

nmeros reales sern llamados escalares y se denotarn con letras minsculas tales como , , .

Si el punto inicial de un vector v esAy el punto final esB, entonces v = AB. El vector nulose denota con

0 = (0, 0, . . . , 0) Rn.

En lo que sigue y con el afn de generalizar, estudiaremos las propiedades de los vectores en

Rn.

DEFINICIN2.1.1 Un vector en Rn es unn-tupla(x1, x2, . . . , xn)con cadaxi R. A xise le llamacomponentei-sima del vector.

En R3 utilizaremos la notacin especial

i = (1, 0, 0),

j = (0, 1, 0) y

k = (0, 0, 1) y les

llamaremosvectores cannicos.

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CAPTULO 2. VECTORES EN Rn Vernica Gruenberg Stern

2.1.1. Operaciones bsicas

DEFINICIN2.1.2 (Igualdad de vectores) Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden,

las mismas componentes. Es decir, si v = (v1, v2, . . . , vn) y w = (w1, w2, . . . , wn) entoncesv = w si y solo si vi= wi i= 1, . . . n

DEFINICIN2.1.3 (Suma de vectores) Seanv = (v1, v2, . . . , vn)yw = (w1, w2, . . . , wn)vectoresen Rn. Se define lasumade vectores como

v + w = (v1+ w1, v2+ w2, . . . , vn+ wn)

DEFINICIN2.1.4 (Producto por escalar) Si v = (v1, v2, . . . , vn) Rn y k R entonces

kv = (kv1, kv2, . . . , k vn)OBSERVACIN: Si v = (v1, v2, v3) R3 entonces podemos escribir

v =v1i + v2j + v3k

OBSERVACIN: En clases, ver la interpretacin geomtrica de la suma y resta de vectores, y tam-

bin el significado geomtrico de la multiplicacin por escalar.

PROPOSICIN2.1.1 Sean u , v , w Rn vectores y, R. Entonces:

1. (u + v) + w = u + (v + w ) (propiedad asociativa)

2.u + 0 = u (existencia del neutro aditivo, que es el vector 0)

3. (v) R3 : v + (v) = 0 (existencia del inverso aditivo)

4.v + w = w + v (propiedad conmutativa)

5. (v + w ) =v + w (propiedad distributiva)

6. ( + ) v =v + v (propiedad distributiva)

7. (v) = () v

8. 0v = 0

9. 1v = v

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Vernica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

2.1.2. Producto punto y norma

Elproducto punto(oproducto escalar) es una operacin entre vectores cuyo resultado un escalar.

DEFINICIN2.1.5 (Producto punto) Sean v = (v1, v2, . . . , vn) yw = (w1, w2, . . . , wn)vectores enR

n. El producto punto(oproducto escalar) entre los vectores v y w , que denotamos por v wo tambinv , w se define de la siguiente manera

v w v , w ni=1

viwi

EJEMPLOS:

1. Calcule (1, 7, 3) (5, 1, 2)Solucin (1, 7, 3) (5, 1, 2 ) = 1 5 + 7 (1) + (3) 2 = 8

2. Determine R tal que (, 4) (, 9) = 0Solucin (, 4) (, 9) = 0 2 13 = 0 = 13

TEOREMA2.1.1 Sean u , v , w Rn vectores y R. Entonces:

1.v v 0

2.v 0 = 0

3.v w = w v

4.v (w + u ) = v w + v u

5. (v) w = (v w )

Dem.: Demostraremos solo la propiedad 1.:

v v =ni=1

v2i 0 pues es suma de cuadrados.

Notar adems, que v v = 0 v = 0

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2.1.3. Norma de un vector

DEFINICIN2.1.6 Consideremos el vector v = (v1, v2, . . . , vn)Rn. Lanormaomagnitudde v,denotada por

v

, est dada por

v =v v =

ni=1

v2i

1/2

Ladistanciaentre los vectores v y w en Rn, denotada por d (v , w ) est definida por

d (v , w ) = v w

OBSERVACIN: En R2 y R3 la norma de un vector v mide lamagnituddel vector. Si consideramosel puntoAen el plano o en el espacio asociado al vectorv, su norma representa la distancia delpunto al origen. Note que al considerar la interpretacin geomtrica de la resta de vectores, laexpresin para distancia entre dos puntos es, de forma natural, la magnitud del vector resta.

Sin= 1, 2o 3, la distancia as definida coincide con la distancia euclideana usual.

En efecto, sin= 1, u =u R, v =v R, por lo que la distancia

d(u , v) =d(u, v) =

(u v)2 = |u v|

Sin= 2, u = (u1, u2), v = (v1, v2), entonces

d(u , v) = u v = 2

i=1

(ui vi)2 =

(u1 v1)2 + (u2 v2)2

Anlogamente en el caso en quen= 3.

PROPOSICIN2.1.2 Consideremos los vectores v , w Rn y R. Entonces:

1.v 0 y v = 0 v = 0.

De esta propiedad obtenemos que d (v , w ) 0, y adems d (v , w ) = 0 v = w .2.v = || v

3.v w = w v de donde d (v , w ) =d (w , v).

4.v + w v + w (Desigualdad triangular)

5.|v w | v w (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)

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Dem.: Demostraremos slo 4 y 5.

5. Sean u , v Rn. Luego, t R:

tu v 2 0, es decir:(tu1 v1)2 + (tu2 v2)2 + + (tun vn)2 0

Reescribiendo esta relacin como una ecuacin cuadrtica en la variable t:

ni=1

u2i

t2 2

ni=1

uivi

t +

ni=1

v2i

0

Esto significa que el discriminante de la correspondiente ecuacin de segundo grado en tes

menor o igual a 0, es decir,

4

ni=1

uivi

2 4

ni=1

u2i

ni=1

v2i

0

ni=1

uivi

2

ni=1

u2i

ni=1

v2i

y extrayendo raz cuadrada a ambos lados de la desigualdad, obtenemos la desigualdad

pedida.

4.u + v 2 = (u + v) (u + v)

= u 2 + 2 (u v) +v 2 u 2 + 2 |u v | +v 2 u 2 + 2u v +v 2 (u + v )2

Nuevamente, extrayendo raz cuadrada, obtenemos lo pedido.

DEFINICIN2.1.7 Un vector se dice unitario si su norma es1.

EJEMPLO2.1.1 Siv =0 entoncesw =v / v es unitario. Tambin, notar que R :v = (cos , sen )es unitario.

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2.1.4. ngulo entre vectores

Considere v y w vectores en R2. Entonces, v , w y v w forman un tringulo con lados de

magnitudes v , w y v w respectivamente. Por el teorema del coseno para tringulos, sesigue quev w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos

Por otro lado

v w 2 = (v w ) (v w )= v 2 + w 2 2v w

Igualando ambas expresiones, obtenemos que

v w = v w cos

En el caso general, si v y w vectores en Rn entonces por la desigualdad de Cauchy-SchwarzS

1 v w

v w 1

Luego, existe un nico [0, ]tal que

cos = v wv w

DEFINICIN2.1.8 Siv yw son vectores en Rn no nulos, el ngulo entrev yw es el nico [0, ]tal que

v w = v w cos

Denotaremos tal ngulo por v , w .

DEFINICIN2.1.9 Sean v y w son vectores en Rn no nulos. Diremos que:

1.v y w sonperpendiculares uortogonalessi v , w = 2 . Esto es equivalente a v w = 0

2.v y wsonparalelossi v , w = 0 v , w =. Esto es equivalente a v =wpara algn R.

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2.1.5. Producto cruz enR3

En esta seccin definiremos un productovectorialque nos permite encontrar un vector que es

perpendicular a dos vectores dados delespacio, es decir, enR

3

.

DEFINICIN2.1.10 Seanu = (u1, u2, u3)yv = (v1, v2, v3)vectores en R3. Definimos elproductocruzentre u y v, que denotamos por u v como el vector

u v = (u2v3 u3v2) i (u1v3 u3v1) j + (u1v2 u2v1) k

Recordemos que en R3:

i = (1, 0, 0),j = (0, 1, 0)y

k = (0, 0, 1), entonces

u v = ((u2v3 u3v2) , (u1v3 u3v1) , (u1v2 u2v1))

OBSERVACIN: La definicin de producto cruz se puede recordar y trabajar como un determinante

de la siguiente manera:

u v =

i

j

k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

OBSERVACIN: El vector u v es perpendicular a u y v. Note que en dos dimensiones esto notiene sentido.

EJEMPLO2.1.2 Sean u = (1, 2, 1)y u = (1, 0, 1). Calcular u v.Solucin:

u v =

i

j

k

1 2 11 0 1

=i

2 10 1 j

1 11 1 + k

1 21 0

= 2i j (0) + k (2) = 2i 2k = (2, 0, 2)

PROPOSICIN2.1.3 Seanu = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3)yw = (w1, w2, w3)vectores en R3.Entonces

u (v w ) =

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

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Dem.: En efecto: sabemos que

v

w = v2 v3

w2 w3 , v1 v3

w1 w3 , v1 v2

w1 w2 y si u = (u1, u2, u3)entonces

u (v w ) = u1 v2 v3w2 w3

u2 v1 v3w1 w3

+ u3 v1 v2w1 w2

=

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

(es el desarrollo del determinante por la primera fila en cofactores).

Note adems que

u (v w ) =

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

= (u v) w

OBSERVACIN: Este producto entre 3 vectores en R3 se conoce comoproducto mixtoentre ellos.

TEOREMA2.1.2 El producto vectorial o producto cruz cumple las siguientes propiedades:

1.u R3 : u u = 0

2.u , v R3 : u (u v) y v (u v)

3.u , v R3 : (u v) = (v u )

4.u , v , w R3 : (u + v) w = u w + v w

5.

u , v , w

R

3 : u

(v + w ) = u

v + u

w

6.u , v R3 R : (u v) = (u ) v = u (v)

OBSERVACIN: Dejamos como ejercicio la demostracin de estas propiedades, para lo que reco-

mendamos utilizar las propiedades de los determinantes y la proposicin anterior.

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EJEMPLO2.1.3 Simplificar la expresin

[(u + v) (2u v)] u

Desarrollo:Por las propiedades recin enunciadas

(u + v) (2u v)= (u + v) (2u ) + (u + v) (v)= u (2u ) + v (2u ) + u (v) + v (v)= 2 (u u ) + 2 (v u ) (u v) (v v)= 0 + 2 (v u ) (u v) + 0= 3 (u v)

Luego

[(u + v) (2u v)] u = (3 (u v)) u = 0

TEOREMA2.1.3 (Identidad de Lagrange) Para cada v , w en R3 se tiene

(v w )2 + v w 2 = v 2 w 2

Dem.: Ejercicio.

Gracias a la identidad de Lagrange, podemos mostrar lo siguiente: comov

w =

v

w

cos

se sigue que

(v w cos )2 + v w 2 = v 2 w 2

luego

v w 2 = v 2 w 2 v 2 w 2 cos2 = v 2 w 2 1 cos2 = v 2 w 2 sen 2

Esto nos lleva a la siguiente:

PROPOSICIN2.1.4 Sean v yw vectores en R3. Entonces

v w = v w |sen |

donde [0, ]es el ngulo que forman v e w .

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EJERCICIOS:

1. Considere un paralelgramo determinado por dos vectoresu yv en R3 si u , v =

entonces el rea del paralelgramo es A =u v sen =u v . Notar que de estaforma se puede calcular el rea de un tringulo por

A=u v

2

2. Considere un paralelepipedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanaresu , v , w R3 entonces el volmen del paraleleppedo esta dado por

V = |w (u v)| =

det

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

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Vernica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRA DELPLANO Y ELESPACIO

2.2. CLASE 9: Geometra del Plano y el Espacio

2.2.1. Proyecciones

Geomtricamente, lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar ortogo-nalmente el vector u= 0sobre el vector w . Si denotamos a este vector conproyuw entonces, paraalgnt R, se debe cumplir

proyuw = t

ww (u tw ) = 0

Entonces

w u t w 2

= 0 = t=w

u

w 2

Se sigue

proyuw =

w uw 2

w

DEFINICIN2.2.1 Seanu yw son vectores en Rn,w =0. Se define el vector proyeccindeusobre w como el vector

proyuw =

w uw

2 w

OBSERVACIN: El vector u proyuw se llamacomponente de u ortogonal a w .

EJEMPLO2.2.1 Considere un tringulo en R3 determinado por los vrtices en los puntos A, B,C .

Encuentre su rea.

Solucin: Sean u =B A,w =C A. Entonces, la altura del tringulo es

h=u proyuw

de donde el rea pedida es

A=1

2w

u proyuw

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2.2.2. Rectas en el espacio

DEFINICIN2.2.2 En R3, sea p un punto dado y d un vector no nulo. Definimosla recta que pasa

por p y es paralela a d (otiene direccin d), como el conjunto de puntosL=

p + d : REl vector

d se llamavector director de la recta L.

Escribamos la relacin que define a una recta en el espacio, en trminos de coordenadas. Seap = (x0, y0, z0), d = (d1, d2, d3). Un punto(x,y ,z)pertenece a la recta si

x = (x,y ,z) = (x0, y0, z0) + (d1, d2, d3) R

que es laecuacin vectorialde la recta.

De esta ecuacin, podemos escribir:

x = x0+ d1

y = y0+ d2

z = z0+ d3

Esta forma de escribir la ecuacin de la recta se llamaecuacin paramtricade la recta, oforma

paramtricade la ecuacin, de parmetro.

Si en cada ecuacin anterior despejamos el parmetro obtenemos

= x x0

d1

= y y0

d2

= z z0

d3

= x x0d1

=y y0

d2=

z z0d3

Esta forma de presentar una recta en el espacio se conoce como las ecuaciones simtricaso ecua-

cin cartesianade la recta.OBSERVACIN:

1. Supongamos que una componente del vector director es igual a 0, digamos d1. Entonces, laecuacin simtrica queda de la forma:

x= x0, y y0

d2=

z z0d3

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2. Si conocemos dos puntos en el espacio, digamos p1y p2 , la ecuacin de la recta que pasa porellos es

L: (x1, y1, z1) + t(x1 x2, y1 y2, z1 z2), t RLa forma paramtrica de la ecuacin de la recta que pasa por estos dos puntos es:

x = x1+ t(x1 x2)y = y1+ t(y1 y2)z = z1+ t(z1 z2)

y la forma simtrica es:x x1

x1 x2 = y y1y1 y2 =

z z1z1 z2

DEFINICIN2.2.3 Dos rectas L1= p1+ td1, t R y L2 = p2+ rd2, r R sonparalelassi susvectores directores son paralelos. Es decir,

d1 =a

d2con a R ya = 0

2.2.3. Planos

DEFINICIN2.2.4 Sean p ,u y v vectores en el plano, tales que u y v no son paralelos. Enton-ces, el conjunto R3 es unplanosi

=

{p + u + v :,

R

}

En trminos de coordenadas, si p = (x0, y0, z0), u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), entonces

x = x0+ u1+ v1

y = y0+ u2+ v2

z = z0+ u3+ v3

Estas ecuaciones son lasecuaciones paramtricasdel plano.

OBSERVACIN: Un plano enR

3

se puede determinar especificando un punto contenido en l y unvector normal al plano, es decir, un vector perpendicular a l.

En efecto, dado el punto P = (x0, y0, z0) y el vector n = (n1, n2, n3), un punto Q= (x,y ,z) si y solo si

P Q n . Es decir

P Q n = 0 (x x0, y y0, z z0) (n1, n2, n3) = 0

(x x0)n1+ (y y0)n2+ (z z0)n3= 0 n1x + n2y+ n3z x0n1 y0n2 z0n3= 0

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Por lo tanto, la ecuacin general de un plano es

ax + by+ cz+ d= 0

donde el vector(a,b,c)es normal al plano. Este vector se llama vector directorodireccindel plano.

OBSERVACIN: Un plano puede ser determinado conociendo 3 puntos no colineales. En efecto,

sean P1, P2, P3 los puntos. Formamos los vectoresP1P2y

P1P3. El vectorn =P1P2P1P3es

perpendicular aP1P2y a

P1P3. Luego, n es normal al plano. Usamos cualquiera de los 3 puntos

Piy n y obtenemos la ecuacin del plano.

EJEMPLO2.2.2 Determine la ecuacin del plano que pasa por los puntos

P1 = (2, 2, 1), P2= (1, 0, 3), P3= (5, 3, 4)

Solucin: Formemos los vectores

P1P2=P2 P1= (3, 2, 2) y P1P3= P3 P1= (3, 1, 3)

Ahora, el vector normaln = P1P2 P1P3= (8, 15, 3)

Por lo tanto, la ecuacin del plano es dada por:

(x 2, y+ 2, z 1) (8, 15, 3) = 0 8x + 15y 3z+ 17 = 0TEOREMA2.2.1 Dados dos planos

1 = a1x + b1y+ c1z+ d1= 0 y 2 = a2x + b2y+ c2z+ d2= 0

se tiene:

1. 1 2 a1= ka2, b1= kb2, c1= kc2 con k R y k= 0

2. 1 2 (a1, b1, c1) (a2, b2, c2) = 0

3. 1= 2 a1= ka2, b1= kb2, c1= kc2, d1 = kd2 con k R y k= 0.

TEOREMA2.2.2 Consideremos la rectaL = p + d y el plano =x + y + z + = 0. Se tiene

1. L ( , , ) d = 0

2. L d ( , , ) = kd1, = kd2, = kd3, donde k= 0y(d1, d2, d3) =

d.

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TEOREMA2.2.3 (Distancia de un punto a una recta) Consideremos la recta L que pasa por el pun-toP0= (x0, y0, z0)y tiene como vector director a

d. SeaP = (x,y ,z)un punto que no pertenece a

L. La distancia dePaLest dada por:

d(P, L) =||d P0P||

||d ||

TEOREMA2.2.4 (Distancia de un punto a un plano) Dado un punto P0 = (x0, y0, z0)y un plano

=ax + by+ cz+ d= 0; la distancia entreP0yest dada por:

d(P0, ) =|ax0+ by0+ cz0+ d|

a2 + b2 + c2

TEOREMA2.2.5 (Distancia entre rectas) SeaL1la recta que pasa por el punto P1y tiene direccin

d1. SeaL2la recta que pasa por el punto P2y tiene direccin d2. La distancia (mnima) entreL1yL2est dada por:

dmin(L1, L2) =|P1P2 n |

||n || , donde n = d1d2

Ejercicios propuestos

1. Determine si las rectas

L1: x = 2t3, y= 3t2, z= 4t + 6 y L2: x = r + 5, y= 4r 1, z = r 4

se cortan.

Solucin. Si existe un punto Ptal queP=L1 L2, debe existirt1 R yr1 R tales que

2t1 3 =r1+ 5, 3t1 2 = 4r1 1, 4t1+ 6 =r1 4

La solucin de este sistema de 3 ecuaciones y dos incgnitas es:

t1= 3 y r1= 2

Reemplazamos el valor del parmetrot1enL1o reemplazamos el valor del parmetror1enL2, para obtener el punto donde se intersectan: P = (3, 7, 6).

2. Determinar la ecuacin de la recta que pasa porP(1, 4, 0)y es perpendicular a las rectas

L1:

x = 3 + t

y = 4 + t

z = 1 + t, L2:

x + 4

6 =

2y 13

, z=1

2

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Solucin. SeaL : (1, 4, 0) + d, con R, la recta buscada y seand 1 = (1, 1, 1)yd 2 =

(4, 1, 0)los vectores directores deL1yL2respectivamente. Como

LL1 LL2= d d 1 d d 2 = d //d1 d 2 = (1, 4, 3)Por lo tanto, la ecuacin de la recta Les

L: (1, 4, 0) + (1, 4, 3), con R

3. Hallar la ecuacin del plano que pasa por (3, 1, 2) y es paralelo al plano 2x+4y3z +10 = 0

Solucin. El plano buscado tiene por ecuacin 2x+ 4y 3z + d = 0. Para determinar d,usamos que el punto(3, 1, 2)debe pertenecer al plano, entonces debe satisfacer la ecuacin

2(3) + 4(1) 3(2) + d= 0 = d= 4Por lo tanto, el plano pedido es

2x + 4y 3z+ 4 = 0

4. Hallar la ecuacin del plano determinado por el punto (1, 0, 2)y la rectaL :x + 3

3 =

y 53 =

z 11

Solucin. Vamos a escribir la recta como interseccin de 2 planos. Para esto, consideramos

las igualdades siguientes:

x + 3

3 =

y 53 y

y 53 =

z 11

De la primera igualdad

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