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AA-220 AERODINÂMICA NÃO

ESTACIONÁRIA

Escoamentos Potenciais Compressíveis

Prof. Roberto GILEmail: gil@ita.brRamal: 6482

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Equação do potencial aerodinâmico

� Equação do potencial, agora considerando a compressibilidade:

� Válida para escoamento subsônicos e supersônicos linearizados.

� Plano de trabalho

� Escoamento incompressível 3D não estacionário

� Escoamento compressível 3D não estacionário M<1

� Escoamento compressível 3D não estacionário M>1

� Método de solução subsônico – “Doublet Lattice Method (DLM)”

� Método de solução supersônico – “Mach Box Method (MBM)”

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Escoamento incompressível 3D

� Caso estacionário:

� Solução elementar:

� O potencial independe do tempo:

� Em coordenadas esféricas:

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Solução elementar

� Fonte: fácil de entender através de uma representação em coordenadas esféricas que a fonte é uma solução elementar da equação de Laplace - solução elementar: .

� As componentes de velocidade são, por sua vez:

� Ou seja:

� O que representa linhas de corrente radiais, cujas partículas de fluido passam por um ponto no espaço definido como a origem da FONTE, e se afastam deste ponto com velocidade decrescente num fator quadrático com as distância. A produção de partículas de

fluido é dada pela intensidade da fonte φφφφ0, ou sorvedouro (- φφφφ0).

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Escoamento incompressível

não estacionário

� Assumindo que o potencial é uma função linear, tal como se idealizou, pode-se assumir que sendo ele agora não estacionário, podemos escrever:

� Substituindo na Eq. de Laplace:

� Pois somente g depende de x, y e z.

( ) ( ) ( ), , , , ,x y z t g x y z h tφ =

( ) 20h t g∇ =

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Escoamento incompressível

não estacionário

� Esta independência do tempo da Equação de Laplace permite que se considere qualquer função h(t) em conjunto com a solução elementar da equação de Laplacede forma que:

� O que caracteriza a propriedade cinemática da equação de Laplace.

( )( )0

2 2 2, , ,

tx y z t

x y z

φφ =

+ +

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Escoamento potencial compressível

� Caso estacionário:

� Transformação de Prandtl-Glauert – reduz a equação do potencial aerodinâmico não estacionário para a equação de Laplace:

�

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“Prandtl-Glauert Rule” (PG)

� Glauert (Glauert, H.: The Effect of Compressibility on the Lift of an Aerofoil. R. & M. No. 1155, British A.R.C., 1927.) e Prandtl(Prandtl, L.: General Considerations on the Flow of Compressible

Fluids. NACA TM 805, 1936.) demonstram que em velocidades subsônicas, a distribuição de um potencial que satisfaz a equação de Laplace também satisfaz a equação linearizada no regime compressível, se a distribuição dos potenciais for “encolhida” na direção do escoamento.

� O procedimento baseado nesta transformação assume que o aerofólio é mais longo do que o real, e através da solução aerodinâmica para escoamento incompressível, pode-se obter a solução para o escoamento compressível.

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Solução elementar

� Para o caso compressível, transformando por Prandtl-Glauert:

em coordenadas transformadas.

� Ou em coordenadas cartesianas :

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Escoamento potencial compressível

� Caso não estacionário:

� Poderíamos assumir que o referencial esteja no fluido para se obter de uma forma trivial a versão acústica:

� Que também pode ser obtida aplicando uma transformação de coordenadas de um sistema móvel para o fixo, conhecida como transformação de Galileu.

2

2

2 2

10

a

φφ

τ

′ ∂ ′∇ − = ∂

2 2 2

2 2

2 2 2

12 0U U

a t x t x

φ φ φφ

′ ′ ′ ∂ ∂ ∂ ′∇ − + + = ∂ ∂ ∂ ∂

,

,

x x Ut z z

y y t τ

= − =

= =

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Escoamento potencial compressível

� A transformação de Galileu apresenta um conteúdo físico importante, principalmente no caso de escamentos compressíveis.

� Sabe-se que independente do referencia, a velocidade do som sempre será a mesma, esteja o referencial na velocidade que for, “a” sempre será o mesmo.

� Isto indica que o tempo nos dos referenciais também deverá ser transformado convenientemente de forma que a condição de constância da velocidade do som seja satisfeita.

� Esta transformação conveniente preservará uma característica importante da equação do potencial aerodinâmico linearizada, modelagem convecção das perturbações.

� Note que esta propriedade é perdida quando modelamos um campo de perturbações potenciais quando se adota um referencial fixo do fluido, ou seja empregando a equação do onda.

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Escoamento potencial compressível

� Caso não estacionário:

� As coordenadas cartesianas são transformadas da mesma forma que no caso estacionário:

� Porém, o tempo agora requer uma transformação:

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Escoamento potencial compressível

� O objetivo desta transformação é obter uma equação não estacionária similar à do caso incompressível, separável em uma função exclusivamente dependente do espaço e outra do tempo.

� Esta equação será definida em um plano transformado no mesmo sentido do caso estacionário compressível, onde se empregou a transformação de Prandtl-Glauert

� No entanto, a sua representação envolverá uma transformação não só das coordenadas espaciais, mas também do tempo.

� A equação resultante será a equação da onda convectada, representada em um plano tal que ela seja separável em duas funções, uma do espaço e outra do tempo

� Esta separação permitirá obter uma solução elementar não estacionária que representará explicitamente uma propriedade fundamental dos escoamento compressível não estacionários, o tempo de retardo aerodinâmico devido a velocidade do som ser finita.

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Transformação de Lorentz

� Transformação espaço-tempo, no mesmo sentido do que se conhece da teoria da relatividade.

� Esta transformação vem do fato que as perturbações aerodinâmicas somente ocorrem a uma velocidade constante que independe do referencial;

� Esta velocidade é conhecida como velocidade do som (analogamente, da teoria da relatividade, a velocidade constante que independe do referencial é a velocidade da luz)

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Transformação de Lorentz

� O operador de transformação é obtido adotando dois referenciais, por exemplo um fixo no fluido e outro no corpo, desde que existe uma velocidade relativa entre os dois sistemas.

� Por exemplo, em aerodinâmica podemos assumir que o primeiro move-se a uma velocidade U com relação ao segundo, velocidade esta alinhada com o eixo “x”.

� Equivale a transformar no sentido de Galileu, mas assumindo quea transformação é mais ampla, na forma:

11 11 11 11

11 11 11 11

11 11 11 11

11 11 11 11

s s s sx x

s s s sy y

s s s sz z

s s s st t

=

x

y

z

t

⇒

x

y

z

t

⇒

fixo

Móvel auma

velocidadeU

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Transformação de Lorentz

� Adicionalmente, a constância da velocidade da som érepresentada na forma:

� O que representa o comportamento de propagação esférica de uma perturbação que ocorre no máximo a velocidade “a”.

� O resultado são as relações:

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

x y z t

x ay

a

z t

+ + =

+ + =

2

2

,

, , 1

x Ut Ux tx t

a

y y z z M

β β β

β

+= = +

= = = −

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Transformação de Lorentz

� Entretanto, queremos uma transformação que seja para um referencial não fixo no escoamento, mas sim no corpo sobre o qual passa o escoamento

� Por este motivo, a transformação de Lorentz será modificada através de mais uma transformação adicional de Galileu, passando a se chamar como Transformação de Lorentz-Galileu:

� Note que a característica relativística desta transformação épreservada, ou seja, foi introduzida uma “dilatação” do tempo representada pela relação espaço-temporal acima.

2

,

, , 1

x Ut Ut x Mxx t t

a

y y z z M

ββ β β

β

− += = = +

= = = −

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Transformação de Lorentz

� Note que o espaço na direção do escoamento é “deformado”devido o efeito da compressibilidade ou seja a constância da velocidade do som.

� E o mais importante, o tempo é retardado pelo efeito da compressibilidade

� Aplicando uma transformação de Prandtl-Glauert chega-se a uma forma explícita desta transformação que permitirá obter a equação da onda convectada, forma conveniente para se se chegar a uma solução elementar para este tipo de modelo potencial, compressível e não estacionários.

2,

, ,

Mxx x t t

a

y y z z

β

β β

= = +

= =

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Equação da onda convectada

� Aplica-se o mesmo procedimento adotado no caso de uma transformação de Galileu, assumindo agora as relações espaço-temporais de Lorentz.

� Cada uma das derivadas da equação :

são transformadas para as novas coordenadas aplicando a regra da cadeia, chegando a:

que não deixa de ser uma equação da onda.

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Equação da onda convectada

� Note que o processo de aplicação da transformada de Lorentz-Galileu permitiu chegar a uma equação onde o termos convectivoé representado por:

pois a equação representa o escoamento passando pelo corpo em um sistema definido sobre o mesmo.

� A transformação de Lorentz-Galileu criou de certa forma uma distorção temporal decorrente do fato que a velocidade do som éfinita e sempre a mesma independentemente do referencial.

� Esta equação agora permite que seja realizada uma separação de variáveis:

também devido a linearidade do escoamento.

21 Mβ = −

21

Equação de Helmholtz

� A separação de variáveis permite que ao se substituir na equação da onda convectada as funções g e h chegue-se a:

� Uma forma de se resolver esta equação é assumir a hipótese de movimentos harmônico simples forçando o aparecimento de uma constante comum às duas equações tal que:

que pode ser escrita separadamente como:

Equação de Helmholtz �

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Soluções elementares

� As soluções elementares para cada uma desta equações diferenciais é dada por:

onde: , e

� Assim, a solução elementar para a equação da onda convectada édada pela multiplicação das duas soluções elementares, no mesmo sentido quando foi realizada a separação:

� E no sistema fixo no corpo original (x,y,z,t) temos:

com: