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U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E C O L O M B I A – S E D E B O G O T A
D E P A R T A M E N T O D E I N G E N I E R Í A C I V I L Y A G R Í C O L A – G E O T E C N I A
B o g o t á , 2 5 S e p t i e m b r e d e 2 0 1 2 .
INTEGRACION NUMERICA DE ACELERACION Daniel Aguirre- Eduardo Quintero Dinámica de suelos y rocas
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Tabla de Contenido
1.OBJETIVO ................................................................................................ 3
2.MARCO TEÓRICO ..................................................................................... 3
2.1 Sismógrafos. ........................................................................................................................ 3
2.2. Frecuencia de Nyquist ........................................................................................................ 6
2.3. Acelerogramas, velocigramas y desplacigramas ................................................................ 6
2.4. Integración Numérica ......................................................................................................... 8
2.4.1. Método de Euler ......................................................................................................... 8
3. PROCEDIMIENTO DE ENSAYO ................................................................. 9
3.1. IDENTIFICACION DE DATOS BASE ....................................................................................... 9
3.2. Herramientas y Programas ............................................................................................... 10
3.3. Método de Calculo ........................................................................................................... 10
4. CÁLCULOS............................................................................................. 11
4.1. Datos de Base. .................................................................................................................. 11
4.2. Entrada de Datos. ............................................................................................................. 11
4.3. Implementación método de calculo. ............................................................................... 12
4.4. Comparación de resultados. ............................................................................................ 14
5. RESULTADOS ........................................................................................ 15
5.1. Resultados Suelo .............................................................................................................. 16
5.1.1. Aceleración, velocidad y desplazamiento ................................................................. 16
5.1.2. Comparación con resultados de seísmosignal ......................................................... 17
5.2. Resultados Roca ............................................................................................................... 19
5.2.1. Aceleración, velocidad y desplazamiento ................................................................. 19
5.2.2. Comparación con resultados seísmosignal .............................................................. 21
6.CONCLUSIONES ..................................................................................... 23
7.BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................ 23
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1.OBJETIVO
Aplicar un método de integración numérica a un registro de datos de acelerógrafos para obtener la velocidad y desplazamiento del terreno, posteriormente comparar los resultados del programa desarrollado con programas especializados en el tratamiento de señales, en el presente trabajo se verificaran los resultados con el programa Seismosignal.
2.MARCO TEÓRICO
2.1 Sismógrafos.
Para la medición de los efectos que produce un sismo sobre una zona determinada se utilizan los sismógrafos y los acelerógrafos. Los sismógrafos son usados para medir movimientos sísmicos de mediana a baja importancia y los acelerógrafos permiten medir los movimientos fuertes del terreno.
Los sismógrafos y acelerógrafos utilizan como modelo físico una masa que esta libremente suspendida en un marco rígido que esta fijado al terreno, adicionalmente se tiene agregado al sistema un resorte y un amortiguador (reduce la respuesta inercial de la masa del sistema). la modelación de este sistema se hace por medio de la ecuación del movimiento cuya ecuación es la siguiente.
en donde es el desplazamiento relativo entre el sismógrafo y el suelo, y es el desplazamiento del suelo. Para entender la diferencia
que hay entre los sismógrafos y los acelerógrafos es necesario tener en
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cuenta que los dos instrumentos están basados en el mismo principio físico (Ecuación de movimiento). La base del análisis es la relación que hay entre el desplazamiento del suelo y el desplazamiento de la masa
, junto con la relación (β) entre la frecuencia natural del sismógrafo ( y la frecuencia del suelo ( ) (siguiente ecuación)
donde:
β= relación frecuencial
ξ =amortiguamiento
Esta ecuación es obtenida de considerar el desplazamiento del suelo como armónico simple, el comportamiento de esta ecuación se puede ver en la Figura 1.
Figura 1. relación de desplazamientos.
Esta figura nos muestra que la amplitud del desplazamiento de la masa es igual al desplazamiento del suelo para frecuencias bastante mayores a
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la frecuencia natural del sistema (β > 1), esto varía en función de el coeficiente de amortiguamiento.
Ahora si consideramos la relación que hay entre el desplazamiento de la
masa ( ) y la aceleración del suelo ) se tiene la siguiente ecuación.
Figura 2 Relación entre la velocidad y el desplazamiento en función del amortiguamiento del sistema
La Figura 2 nos muestra que para frecuencias del suelo (wg) menores a la frecuencia natural del sistema masa resorte (w), la relación entre la amplitud del desplazamiento de la masa es inversamente proporcional a la de la aceleración del suelo (β < 1). Esta es la diferencia desde el punto de vista físico entre los dos sistemas, es importante notar que los acelerógrafos tienen una frecuencia de disparo, lo que permite limitar el efecto ambiental sobre las mediciones (filtro de banda).
Los primeros sismógrafos utilizaban un estilete y papel ahumado arrollado sobre un tambor giratorio para registrar los movimientos de la masa del sismógrafo. En los sistemas actuales el movimiento del sistema produce una señal eléctrica (variación del voltaje debido a oscilación del sistema) o reproducen la señal por medios ópticos. Esta señal es registrada en computadores para posterior análisis.
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2.2. Frecuencia de Nyquist
Los registros acelerográficos son registrados a una frecuencia determinada de muestro, esto por que normalmente los acelerógrafos miden un voltaje constante, para poder tener una buena representación del movimiento registrado se debe muestrear la señal a una frecuencia tal que se respete el teorema de Nyquist.
El teorema de Nyquist estipula que para obtener un buen muestreo de una señal se, esta se debe muestrear por lo menos al doble de la frecuencia mas grade del contenido frecuencia del tren de ondas.
Dado que la señal de la aceleración del terreno se contabiliza durante el tiempo de forma continua, es necesario usar este teorema, el cual permite obtener una señal discreta muestreada por medio de una base de datos representativa de dicha señal continua muestreada.
2.3. Acelerogramas, velocigramas y desplacigramas
Los anteriores son registros en la frecuencia del tiempo de parámetros usados como herramientas en la caracterización de los movimientos sísmicos de gran magnitud o “fuertes”, pero de una forma cualitativa. Las características de interés para un movimiento fuerte son las que tienen relación con la amplitud, otros parámetros se relacionan con la frecuencia y la última característica es la duración.
La idea de manejar varios parámetros se debe a la razón física expuesta por Jennings, (1985) y Joiner & Boore, (1988), en la que se expresa que la identificación de un único parámetro que sea capaz de definir precisamente las características relevantes de los movimientos fuertes no es posible.
Los acelerogramas, velocigramas y desplacigramas son gráficas en función del tiempo desde las cuales se pueden definir características de amplitud
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por medio de los parámetros de movimiento (aceleración, velocidad y desplazamiento). En la práctica solo se mide una de esas variables en campo y las otras dos son calculadas a partir de la primera por medio de integración y derivación numéricos (debido a que la función es de forma diversa), Normalmente el parámetro medido en campo es la aceleración del terreno.
Algo importante es el hecho de que al comparar los tras gráficos producidos, se observa que en el acelerograma existe una predominancia por las frecuencias altas, dicha predominancia baja en el grafico de velocidades, y es mucho menor en el grafico de desplazamientos donde la tendencia es a amplitudes mayores.
Los parámetros de amplitud que se pueden obtener de los gráficos descritos antes, son la aceleración, velocidad y desplazamiento máximos, Máximas aceleración y velocidad sostenidas, y la aceleración de diseño efectiva que es la usada en la práctica ingenieril.
Aceleración pico: Se define como el mayor valor absoluto de aceleración horizontal del terreno registrado en el acelerograma, el interés en la componente horizontal del parámetro radica en su relación con la inercia de las estructuras y su aplicación para la determinación de las relaciones de atenuación del terreno en análisis de amenaza sísmica. Además, el factor de seguridad otorgado a la resistencia de las estructuras ante las cargas de peso es capaz de atender los efectos de la aceleración vertical.
Velocidad Pico: Es útil para caracterizar los la amplitud del movimiento del terreno de forma más precisa en frecuencias intermedias, debido a que es menos sensitivo a los componentes de alta frecuencia.
Desplazamiento pico: Se relaciona con las frecuencias más bajas de las componentes del movimiento del terreno. Este parámetro es el menos usado debido a que tiene pueden existir varios errores de precisión en el cálculo, además de que puede estar afectado por lecturas que no son propias del movimiento analizado (ruido ambiental).
Aceleración y velocidad máximas sostenidas: Se definen como el tercer valor absoluto más alto en tres ciclos del acelerograma.
Aceleración efectiva de diseño: Ha sido propuesta por varios diseñadores y se define como la aceleración máxima que permanece luego de filtrar los datos sobre 8 o 9 Hz.
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2.4. Integración Numérica
Para obtener los desplazamientos de un terreno es necesario, en la mayoría de los casos, realizar una integración de los registros acelerográficos, para esto se han utilizado diferentes metodologías entre las que se encuentra la integración numérica.
Para la integración numérica se han desarrollado numerosas metodologías entre las que se encuentran, el método de los trapecios, el método de Simpson, el cual se basa en obtener el área bajo la curva utilizando polinomios interpolación y varios métodos más, muchos de los cuales están basados en la teoría de las series de Taylor.
2.4.1. Método de Euler
Este algoritmo permite solucionar problemas de ecuaciones diferenciales con valores iniciales en intervalos definidos de una función.
En un intervalo definido [ ] , con n+1 puntos igualmente espaciados se tiene que.
Donde h es el número de intervalos, como se muestra a continuación
Ahora si se utilizan las series de Taylor para aproximar el valor de una función de la cual se conoce su derivada se tiene.
El método de Euler trunca esta serie en el segundo término, lo que da un aproximación lineal de la función, la expresión general de el método es la siguiente.
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El término θ (h)2 representa el error incurrido al realizar el truncamiento.
Las expresiones utilizadas para la integración numérica de los registros obtenidos de los acelerogramas son los siguientes.
Donde:
v= es la velocidad para variable en el intervalo. a= es la aceleración para variable en el intervalo. x= es el desplazamiento.
3. PROCEDIMIENTO DE ENSAYO
3.1. IDENTIFICACION DE DATOS BASE
Los datos de base han sido registrados por una estación de Bogotá (U.agraria) que pertenece a la Red Nacional de Acelerógrafos de Colombia. El sismo registrado es el de Betulia (08-11-1999), de este sismo se tienen dos registros, uno corresponde a registros en Roca y el otro en suelo, los parámetros mas importantes de este sismo y la estación son los siguientes.
Figura 3. Datos estación (U. Agraria) y sismo Betulia (08-11-1999)
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Los registros de la estación para Suelo y Roca se encuentran en los archivos Cuagr001-3N-S-Suelo.acr y Cuagr001-6N-s-Roca.acr (ver Anexos CD)
3.2. Herramientas y Programas
El programa utilizado para realizar los cálculos es R el cual es un programa gratuito, este programa esta basado en un leguaje de programación del mismo tipo que S, los cuales fueron desarrollados en un principio para aplicación en estadística pero actualmente se tiene una gran comunidad científica que utiliza este programa para fines diferentes . Es este uso de la comunidad científica que ha llevado a desarrollar una gran cantidad de aplicaciones y herramientas, es importante tener en cuenta que aunque es un programa desarrollado en un principio para aplicaciones de estadística, este permite programar con secuencias simples (tipo Matlab) y además reúne una gran cantidad de herramientas que permitan complementar los programas desarrollados. La principal ventaja de este programa con respecto a otros, es que permite el manejo de grandes bases de datos y adicionalmente permite hacer selecciones con gran facilidad.
Este programa puede ser descargado de la siguiente pagina http://rstudio.org/ y en el CD anexo a este trabajo, se encuentra el archivo Paradis-rdebuts_en.PDF que consiste en un tutorial para dar los primeros pasos en R.
Para realizar la comparación (calibración) de los resultados del programa desarrollado en R se utilizara la aplicación informática, seismosignal que ha sido desarrollada por Seismosoft para hacer tratamiento de señales, en nuestro caso es de interés la integración numérica que hace con las series temporales.
Igualmente que R este programa se puede descargar de la pagina oficial de Seismosoft (http://www.seismosoft.com/en/SeismoSignal.aspx)
3.3. Método de Calculo
El método utilizado para el cálculo, es el descrito en la sección 2.4., las ecuaciones que fueron programadas en R son las siguientes.
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Para una descripción del programa “integracionacel.R” ir a la sección 4. Éste programa fue el desarrollado por los autores de este documento para los propósitos de éste.
4. CÁLCULOS
Los cálculos están basados en las ecuaciones definidas utilizando como base el método de Euler , los siguientes son los pasos utilizados para realizar la integración numérica.
4.1. Datos de Base.
Los datos utilizados pertenecen a la Red Nacional de Acelerógrafos de Colombia, específicamente a una estación sismológica que está ubicada en Bogotá (Universidad Agraria), los registros corresponden a el sismo de Betulia (08-11-1999) de magnitud 6.5. Se tiene un registro en Suelo y otro en roca igualmente espaciados por 0.005 segundos. (Ver anexo en CD Cuagr001-3N-S-Suelo.acr y Cuagr001-6N-s-Roca.acr)
4.2. Entrada de Datos.
Para el procesamiento de los datos se decidió utilizar como programa de calculo “R”, para introducir los datos en este programa es necesario definir un formato especial. En el programa “integracionacel.R” (anexo CD) se tiene una sección que corresponde a los datos de entrada, estos datos están en formato .csv los cuales son obtenidos al copiar los datos de lo archivos de texto de los archivos Cuagr001-3N-S-Suelo.acr y Cuagr001-6N-s-Roca.acr. ( figuras 4 y 5)
Figura 4. Programa “integracionacel”. Líneas programadas para la sección: Datos de Base.
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Figura 5 Copia de archivo Cuagr001-6N-s-Roca.acr a Excel formato CSV
Para que el programa reconozca los datos es necesario especificar la dirección del archivo y el nombre del archivo que se quiere introducir se recomienda mantener la misma configuración de la hoja Excel para que el programa no presente errores, adicionalmente en Windows, en las direcciones de los archivos, se debe remplazar “\” por “/”. (Figura 6)
Figura 6 lectura de datos por el programa “integracionacel”.
4.3. Implementación método de calculo.
Para la implementación del programa se crearon tres variables t (tiempo), vel (velocidades) y des (desplazamientos), con estas variables se utilizan las ecuaciones definidas en la sección 2.4., esta implementación se puede ver en e la figura 7.
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Figura 7 implementación método Euler .
Como resultado de estos valores en el programa se tiene una función que grafica los valores guardados en las variables, acel( aceleración), vel (velocidades) y des ( desplazamientos) (Figura 8)
Figura 8. función que permite graficar los valores de aceleración, velocidad y desplazamiento.
Para exportar los resultados del calculo (vel y des) a formato de Excel, se puede utilizar el siguiente comando (Figura 9), el cual se encuentra en la parte final del programa.
Figura 9. Función para exportar datos.
En este caso se exportan los datos guardados en la variable des, que corresponden a los desplazamientos, esto se puede observar en la primera casilla de la función write.csv
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4.4. Comparación de resultados.
Para comparar los resultados obtenidos con el programa integracionacel.R, se han introducido los datos de los acelerógrafos al programa seismosignal, el cual lee los archivos de tipo texto, en este programa se debe especificar las características de los datos esto se puede ver en la figura 10.
Figura 10. Entrada de datos seísmosignal.
La Figura 10 nos muestra los parámetros a especificar, First line especifica la primera línea a partir de la cual el programa comienza a leer los datos, esto se hace por que en la mayoría de casos los archivos de texto tienen en sus primeras líneas información sobre las características de las estaciones o el sismo, Last line tiene la misma función que First line, Time Step es el espaciamiento en el tiempo entre datos, Aceleraction Column nos permite especificar la ubicación de la columnas de aceleración en el archivo de texto, finalmente para modificar las unidades se debe entrar en Change Units.
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Una vez el programa lee los datos de base este los procesa dando como resultado la velocidad y el desplazamiento del terreno, estos datos son pegados en una hoja de Excel que es guardada en formato .CSV para lectura posterior de los datos en R.
Para comparar estos resultados se hace la lectura del archivo de la misma forma que lo explicado en la sección 4.2 y luego se grafican los resultados del programa integracionacel contra los valores obtenidos en el programa homólogo seismosignal.
A continuación en la figura 11, se muestran los comandos usados para realizar las gráfica de los resultados generados con los dos programas.
Figura 11. Comparación de resultados .
5. RESULTADOS
A continuación se exponen los resultados obtenidos de los programas utilizados, así como la correspondiente comparación de éstos, luego de realizar a cabalidad los procesos descritos en las secciones precedentes.
Para una mejor interpretación de los resultados se realiza la comparación en dos secciones diferentes, de tal forma que se analice lo referente a los registros en suelo de forma separada a lo referente a la roca.
En cada sección se trata lo referente a los resultados del programa realizado y luego la comparación con el software comercial especializado usado (Seismosignal).
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5.1. Resultados Suelo
5.1.1. Aceleración, velocidad y desplazamiento
Luego de realizar el proceso descrito de integración numérica para definir
el velocigrama y desplacigrama de los datos de aceleración suministrados
para al acelerómetro en suelo, se han obtenido las gráficas mostradas en
la figura 12, para el caso de la estación ubicada en el suelo.
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Figura 12. Acelerograma, velocigrama y desplacigrama para el sismo de Betulia, usando el programa “Integracionacel”. Para el acelerómetro ubicado en suelo.
En las gráficas anteriores se observa que la magnitud de la aceleración
presenta una cierta atenuación con respecto al tiempo, mientras que en
los datos de velocidad el parámetro decrece en menor proporción
respecto al tiempo y finalmente se observa que el desplazamiento
presenta una amplitud aproximadamente constante ante las ondas
primarias y en menor proporción ante las ondas secundarias, que
presentan un mínimo valor de decrecimiento.
5.1.2. Comparación con resultados de seísmosignal
Para realizar la comparación, se plasman a continuación los gráficos de
velocidad y desplazamiento obtenidos por seismosignal, de tal forma que
se puedan definir situaciones o consideraciones especiales.
Para observar con mayor detalle las diferencias que existen con ambos
programas de integración, se restan los valores de velocidades y
desplazamientos correspondientes a cada programa para posteriormente
graficarlos en contra el tiempo.A continuación la comparación de los datos
de velocidades y los de desplazamiento respectivamente.
Figura 13. a) Velocigrama obtenido en Seismosignal y b) Diferencias entre los gráficos de ambos programas.
b)
a)
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Figura 14. a) Desplacigrama obtenido en Seismosignal y b) Diferencias entre los gráficos de ambos programas.
En general al observar ambas gráficas de velocidad y desplazamiento se
pueden apreciar tendencias iguales, de manera que la forma global de las
funciones no varía al usar un programa u otro. Lo anterior se confirma al
observar el rango de variabilidad del indicador definido (diferencia entre
los valores obtenidos de ambos programas), el cuál es de +0.5 mm/s hasta
-1.1 mm/s, para los velocigramas y de +0.2 mm/s hasta -0.4 mm/s para los
desplacigramas, los anteriores valores se consideran admisibles en
términos prácticos.
También se observa un aumento en la magnitud del error cuando los
valores de aceleración son máximos, es decir, en la llegada de las ondas p
y s respectivamente, de tal manera que se presenta una relación directa
entre el error y la magnitud del parámetro analizado (ya sea velocidad o
desplazamiento). Este error presentado muestra un comportamiento en el
que es alto con la llegada de las ondas primarias, luego se va reduciendo
con el tiempo hasta que llegan las ondas secundarias, momento en el cual
el error es máximo y finalmente se va reduciendo hasta el final de los
a)
b)
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datos suministrados. Este comportamiento se puede explicar debido a que
el método de integración usado es mas preciso en amplitudes menores,
mientras que el programa especializado usa métodos de integración más
precisos.
5.2. Resultados Roca
5.2.1. Aceleración, velocidad y desplazamiento
Luego de realizar las respectivas integraciones para determinar los valores
de velocidad y desplazamiento a partir de los datos de aceleración. Se
obtienen los siguientes gráficos de los parámetros anteriores graficados
contra el tiempo.
En la anterior figura se observa que la aceleración se presenta de manera
que se notan las llegadas de las diferentes ondas de cuerpo y a
continuación la amplitud de la magnitud del parámetro se va reduciendo
con respecto al tiempo, de manera análoga que lo ocurrido en suelo. En
cuanto a la velocidad se observa un comportamiento similar al de las
aceleraciones.
Pero en cuanto al desplazamiento, se puede observar que el sentido de la
“deformación” durante la ocurrencia del movimiento fuerte ocurrió
predominantemente en un solo sentido, llegando este valor hasta 0.1 cm.
Lo anterior se debe a que el movimiento fuerte en la roca se produjo con
mayores magnitudes de aceleración en el sentido predominante del
movimiento, por lo que al realizar las respectivas integraciones siempre se
aumenta el desplazamiento.
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Figura 15. Acelerograma, velocigrama y desplacigrama para el sismo de Betulia, usando el programa “Integracionacel”. Para el acelerómetro ubicado en roca.
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5.2.2. Comparación con resultados seísmosignal
Para realizar las correspondientes comparaciones se define el mismo indicador que me define el error del programa de integración desarrollado. De la misma manera como se realizo en el análisis correspondiente al suelo.
A continuación se relacionan los velocigramas y desplacigramas obtenidos con el programa especializado, con sus correspondientes gráficas de error con respecto al tiempo (diferencia entre los valores de Integracionacel y Seismisignal)
Figura 16. a) Velocigrama obtenido en Seismosignal y b) Diferencias entre los gráficos correspondientes de ambos programas.
b)
a)
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Figura 17. a) Desplacigrama obtenido en Seismosignal y b) Diferencias entre los gráficos correspondientes de ambos programas.
En principio la tendencia de los resultados determinados con ambos programas son la misma, en ambos tipos de resultados, es decir, para velocidades y desplazamientos. Pero de todas formas es adecuado analizar el error como la diferencia entre los resultados de los dos programas, el comportamiento se describe a continuación.
En cuanto a la velocidad se observa que el error es más grande en los momentos en los que se perciben las primeras ondas de p y s,, a continuación el error se va reduciendo hasta alcanzar un valor constante que se puede atribuir a un fuente sistemática de error en el método de integración numérico producida como efecto del truncamiento hecho en la teoría de Euler.
En cuanto a los desplazamientos se observa que el error aumenta con respecto al tiempo, esto es debido a la naturaleza aditiva de cualquier proceso de integración, de la cual se puede concluir que el error se acumula con cada integración del programa y teniendo en cuenta que e tenemos tantos datos, el error incurrido se considera admisible en términos prácticos.
a)
b)
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6.CONCLUSIONES
El método de Euler es un método que da una buena aproximación en cuanto a los valores de la velocidad y el desplazamiento del terreno partiendo de los registros de aceleración. Lo anterior debido a que el intervalo en el dominio del tiempo es relativamente pequeño, a la gran cantidad de datos suministrados (16001) y que la dispersión del error es admisible en términos prácticos.
Los desplacigramas correspondientes a los datos registrados en aparatos ubicados en suelo y roca son completamente diferentes, de tal manera que en el suelo la magnitud del parámetro se mantiene oscilando alrededor de un valor definido mientras que en el suelo el desplazamiento puede tender hacia una única dirección predominante con tendencia a un desplazamiento mayor y continuo en dicho sentido.
La consideración de Euler en su teoría de integración numérica, al truncar la aproximación por series de Tailor, a una función lineal, puede incurrir en errores, que al ser aplicados en integraciones numéricas puede generar la acumulación del error con cada iteración.
7.BIBLIOGRAFÍA
Kramer, Steven L. Geotechnical Earthquake Engineering- capitulo 3: Strong Ground Motion. Prentice-Hall.1996 Sauter,F. Introducción a la sismología. Editorial Tecnológica de Costa Rica.1989 Paradis, E. R for beginers. Instituto de Ciencias de la Evolución. Universidad Montpellier II. Francia. 2005
