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Facultad de Ciencias Exactas Departamento de MatemÆticas MATEM`TICA AVANZADA FMM 007 1 er Semestre, 2015 EJERCICIOS TERCERA SOLEMNE II 1. Una poblacin de bacterias se inicia con 400 ejemplares y crece a razn de dr dt = 450:000 e 1;2t bacterias/hora. ¿CuÆntos especmenes habrÆ despuØs de tres horas?. Sol: 13.349.738 2. Utilice una sustitucin simple para calcular Z cos 5 x p sen (x) dx Sol: 2 p sen (x) 4 5 ( p sen (x)) 5 + 2 9 ( p sen (x)) 9 + C 3. Utilizando una sustitucin simple calcular: Z x 1 x 2 + p 1 x 2 dx Sol: ln j p 1 x 2 +1j + C 4. Encuentre el valor de la constante a de modo que: Z a 1 xe x dx =4e 5 Sol: a =5 5. Utilice la integral de Riemann para calcular el siguiente lmite: lim n!1 1 n n X k=1 [ln (n + k) ln (n)] Sol: 2 ln 2 1 6. Sean f y g funciones continuas en [a; b] , de modo que: f (x)= x Z x a e g(t) dt: Muestre que: g (0) = ln f 00 (0) 2

Actividad Integrales FMM 007 2015-01

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Page 1: Actividad Integrales FMM 007 2015-01

Facultad de Ciencias ExactasDepartamento de Matemáticas

MATEMÁTICA AVANZADA � FMM 0071er Semestre, 2015

EJERCICIOS TERCERA SOLEMNE II

1. Una población de bacterias se inicia con 400 ejemplares y crece a razón de

drdt= 450:000 � e1;2t

bacterias/hora. ¿Cuántos especímenes habrá después de tres horas?.

Sol: 13.349.738

2. Utilice una sustitución simple para calcularZcos5 xpsen (x)

dx

Sol: 2psen (x)� 4

5(psen (x))5 + 2

9(psen (x))9 + C

3. Utilizando una sustitución simple calcular:Zx

1� x2 +p1� x2

dx

Sol: � ln jp1� x2 + 1j+ C

4. Encuentre el valor de la constante a de modo que:Z a

1

xexdx = 4e5

Sol: a = 5

5. Utilice la integral de Riemann para calcular el siguiente límite:

limn!1

1

n

nXk=1

[ln (n+ k)� ln (n)]

Sol: 2 ln 2� 1

6. Sean f y g funciones continuas en [a; b] , de modo que: f (x) = xZ x

a

eg(t)dt: Muestre que:

g (0) =

�lnf 00 (0)

2

Page 2: Actividad Integrales FMM 007 2015-01

7. Calcular el valor deZ 3

�3g (x) dx , donde g (x)

8<:jx� 4j si x 2 [�3; 1[

x2 lnx si x 2 [1; 3]Sol: 9 ln 3 + 154

9

8. Determine el valor de la constante k de modo que se cumpla:Z 5

1

jx� 3jk

dx = 2

Sol: k = 2

9. Veri�que las siguientes integraciones:

(a)Zln (x+ 1)px+ 1

dx = 2 (ln (x+ 1)� 2)px+ 1 + c

(b)Z

xex

(1 + x)2dx =

ex

x+ 1+ c

10. Demuestre que: In =Z

xnp1 + x

dx , satisface la recurrencia:

(1 + 2n) In =�2xn

p1 + x

�� 2nIn�1

11. Calcule el área de la región R acotada por la izquierda por y =px, por la derecha por y = 6� x, y

por abajo por y = 1. Además gra�que el área a calcular.

Sol: 163[u2]

12. La parábola y = x2, la recta tangente a la parábola en el punto (1; 1) y el eje X, determinan unaregión R. Determine el área de la región R:

Sol: 112[u2]