Introduccin
Nombre de la asignatura:
Matemtica IIParcial de estudio:
Primero
Introduccin
En muchas situaciones relacionadas con la Administracin, Economa
y Ciencias Sociales, se conoce la derivada de una funcin y el
objetivo es hallar la funcin. Por ejemplo, un socilogo que conoce
la razn a la que crece la poblacin puede emplear esta informacin
para predecir de poblacin dentro un cierto nmero de aos; un
economista que conoce la tasa de inflacin, puede estimar los
precios futuros. El proceso de obtencin de una funcin a partir de
su derivada se denomina antiderivacin o integracin. Esta es la
verdadera aplicacin del clculo integral.El concepto de rea bajo una
curva explica el fundamento de la integral indefinida como la
determinacin de un lmite de una suma especial de rectngulos.
Asesora didctica
Los contenidos de esta actividad entregable (gua 1) estn
referenciados en el captulo 14 del texto gua: Matemticas para
Administracin y Economa (12. edicin), especficamente las secciones
14.1 a 14.9.
A continuacin se detalla una asesora para cada actividad de
aprendizaje.
Asesora didctica 1En la seccin 14.1, pgina 619 se encuentra la
definicin de diferencial, su interpretacin geomtrica se encuentra
en la Figura 14.1, pgina 620; y es til para estimar un cambio en
una cantidad o estimar el valor de una funcin.
Asesora didctica 2En la seccin 14.2, pgina 623 se encuentra la
definicin de antiderivada como una operacin recproca o inversa de
la derivacin (diferenciacin); la Tabla 14.1, pgina 625 contiene las
frmulas bsicas de integracin que usted debe memorizarlas fcilmente
ya que se relacionan directamente con las reglas de derivacin que
usted ya aprendi en Matemtica I.
Puesto que la derivada de una constante es igual a cero, toda
primitiva obtenida al integrar debe contener una constante C,
(fjese en las frmulas de integracin de la Tabla 14.1).
En la seccin 14.4, pgina 633, se presentan frmulas para la
integracin de una constante, el producto de una constante por una
funcin, suma de funciones e integrales de la forma ,,. Aqu resulta
til la sustitucin de variables con el propsito de ajustar la forma
de la integral a una de las formas establecidas en las frmulas de
integracin.
En la seccin 14.5, pgina 640, se analizan tcnicas de integracin
ms compleja, para integrales de funciones racionales, exponenciales
con bases diferentes a .
Asesora didctica 3En la seccin 14.3, pgina 629, luego de
determinar la primitiva, con informacin particular de una funcin
que satisface ciertas condiciones se evaluar la constante de
integracin, obteniendo as una primitiva particular. Se realizarn
aplicaciones con las tcnicas de integracin presentadas en las
secciones 14.4 y 14.5.
Asesora didctica 4
En la seccin 14.6, pgina 645, por medio del concepto de rea se
explica la integral de finida como el lmite de una suma de especial
reas rectangulares.
En la seccin 14.7, pgina 651, se desarrolla de manera informal
el Teorema Fundamental del Clculo Integral el cual permite obtener
integrales definidas demostrando la relacin entre derivacin e
integracin.
En la seccin 14.9, pgina 664, se determina la regin del rea bajo
la curva por medio de una integral definida.
Asesora didctica 5
En la seccin 14.8, pgina 659, se utilizan las Reglas del
trapecio y de Simpson para aproximar el clculo de una rea bajo una
curva una por medio de trapecios; esta tcnica es til cuando la
determinacin de la primitiva de una funcin elemental, no es tan
elemental; o cuando no se dispone de una funcin que relacione las
variables independiente y dependiente, sino que ms bien se disponen
de datos discretos.
En todas las secciones existen ejemplos desarrollados que usted
debe revisarlos al detalle. Los rectngulos coloreados del texto
contienen informacin clave que debe aprenderla o memorizarla.
Se sugiere acceder a las siguientes pginas electrnicas, ah usted
encontrar informacin adicional al
respecto.http://www.matematicastyt.cl/Calculo_Integral/Integral_Definida/Teorema_Fundamental_Del_Calculo/Ejercicio1.htmhttp://calculo21.blogspot.com/http://www2.unitec.mx/wv.nsf/pages/calc8http://www.matematicastyt.cl/Calculo_Integral/Integral_Definida/Teorema_Fundamental_Del_Calculo/Ejercicio1.htmhttp://calculo21.blogspot.com/http://www2.unitec.mx/wv.nsf/pages/calc8http://www.itpuebla.edu.mx/Alumnos/Cursos_Tutoriales/Carlos_Garcia_Franchini/Calculo/PaginasWeb/WebInicioCI.htmLE
DESEO XITOS EN EL ESTUDIO DE ESTA ASIGNATURA!
Actividades de aprendizaje.
Actividad de aprendizaje 1.1.
PlanteamientosLos siguientes problemas son tomados del texto gua
Matemtica para administracin y economa, autores: Ernest F.
Haeussler y Richard S. Pal, seccin 14.1.1) Encuentre la diferencial
de la funcin en trminos de y .
2) Encuentre y para
3) Ingreso. Dada la funcin de ingreso
Use diferenciales para encontrar el cambio aproximado en el
ingreso, si el nmero de unidades se incrementa de a . Encuentre el
cambio verdadero.
4) Sea a) Evale b) Use diferenciales para estimar el valor de 5)
Demanda. La ecuacin de demanda para un producto es
Por medio de diferenciales estime el precio cuando se demandan
unidades.
ObjetivoResolver problemas de aproximacin que se presentan en
las ciencias administrativas, econmicas y sociales aplicando
diferenciales.
Orientaciones didcticasPara resolver el ejercicio 1), revise el
ejemplo 2 de la pgina 619.
Para resolver los ejercicios 2) y 3), revise el ejemplo 3 de la
pgina 620.
Para resolver los ejercicios 4) y 5), revise el ejemplo 4 de la
pgina 621.
Criterios de evaluacinPlanteamiento de problema con el empleo de
frmulas o modelos relacionados y adecuados. (40%)Elaboracin del
algoritmo de solucin de manera ordenada y explicativa.
(30%)Obtencin de la respuesta correcta con criterio y razonamiento
lgico. (30%)
Actividad de aprendizaje 1.2.
PlanteamientosLos siguientes problemas son tomados del texto gua
Matemtica para administracin y economa, autores: Ernest F.
Haeussler y Richard S. Pal, secciones 14.2, 14.4 y 14.5.Encuentre
las integrales indefinidas:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Objetivos Aplicar las frmulas bsicas de integracin para
encontrar las primitivas de funciones que aparecen en diferentes
problemas prcticos de las ciencias administrativas, econmicas y
sociales.
Aplicar la tcnica de integracin por sustitucin para encontrar
las primitivas de funciones que aparecen en diferentes problemas
prcticos de las ciencias administrativas, econmicas y sociales.
Orientaciones didcticasAntes de resolver estos ejercicios,
revise los ejemplos resueltos de las secciones 14.2, 14.4 y 14.5.
Recuerde que tiene que memorizar las frmulas de integracin.En el
ejercicio 1) se tiene la integral de una suma de funciones, y luego
de aplicar propiedades de los exponentes se aplica la integral de
una potencia.
La solucin del ejercicio 2) empieza al dividir el numerador con
el denominador, as se obtiene una integral de la suma de dos
funciones que ya son fciles de resolver.
Los ejercicios 3), 4), 5) y 9) inician con una sustitucin o
cambio de variable, usted debe fijarse que en la funcin existe dos
expresiones donde una de stas es el diferencial de la otra
multiplicado por alguna constante (ejemplo: el diferencial de es el
doble de ; se realiza el cambio de variable y se sustituye y en la
integral original, la integral resultante es ms simple).
El ejercicio 6) es una suma de integrales, cada una se resuelve
por sustitucin.
En el ejercicio 7) primero hay que dividir el numerador para el
denominador y la integral original se expresa como la suma de dos
integrales.
El ejercicio 8) es la integral de una constante por una funcin
exponencial de base, solo hay que aplicar la frmula respectiva.
Criterios de evaluacinPlanteamiento de problema con el empleo de
frmulas o modelos relacionados y adecuados. (40%)Elaboracin del
algoritmo de solucin de manera ordenada y explicativa.
(30%)Obtencin de la respuesta correcta con criterio y razonamiento
lgico. (30%)
Actividad de aprendizaje 1.3.
PlanteamientosLos siguientes problemas son tomados del texto gua
Matemtica para administracin y economa, autores: Ernest F.
Haeussler y Richard S. Pal, secciones 14.3, 14.4 y 14.5.1) Si
satisface las condiciones dadas encuentrepara el valor dado de.
2) Encuentre sujeta a las condiciones dadas.
3) Si es una funcin de ingreso marginal; encuentre la funcin de
demanda.
4) Encuentre la funcin de costo total si es una funcin de costo
marginal, los costos fijos estn indicados entre llaves. Determine
tambin el costo total para el valor indicado de .
5) Esperanza de vida. Si la razn (tasa) de cambio de la
esperanza de vida al nacer, de las personas que nacen en Estados
Unidos puede modelarse mediante , donde es el nmero de aos a partir
de y la esperanza de vida era de aos en , encuentre la esperanza de
vida para personas que nacieron en 1998.
6) Funcin de costo. Suponga que la funcin de costo marginal para
el producto de un fabricante est dada por
Donde es el costo total en dlares cuando se producen unidades.
Los costos fijos son de a) Determine el costo marginal cuando se
producen unidades.
b) Encuentre el costo total de producir unidades.
c) Use el resultado de los incisos (a) y (b) y diferenciales
para aproximar el costo total de producir unidades.
ObjetivoResolver problemas prcticos relacionados con las
ciencias administrativas, econmicas y sociales; y, que involucran l
clculo de la antiderivada o primitiva de funciones bajo
determinadas condiciones.
Orientaciones didcticasPara resolver el ejercicio 1), revise el
ejemplo 1 de la pgina 630; finalmente evale cuando .
El ejercicio 2) es similar al del ejemplo 2 de la pgina 630,
teniendo en cuenta que tenemos ahora la tercera derivad.
El ejercicio 3) es similar al del ejemplo 4 de la pgina 631.
El ejercicio 4) resulvalo luego de revisar el ejemplo 5 de la
pgina 632.
El ejercicio 5) es una aplicacin de la integracin con
condiciones iniciales, similar al ejercicio propuesto 1 de esta
actividad.
El ejercicio 6) es similar al ejercicio 5) de esta actividad;
para el literal c) usted necesita resuelto el ejercicio 4) de la
actividad 1.
Criterios de evaluacinPlanteamiento de problema con el empleo de
frmulas o modelos relacionados y adecuados. (40%)Elaboracin del
algoritmo de solucin de manera ordenada y explicativa.
(30%)Obtencin de la respuesta correcta con criterio y razonamiento
lgico. (30%)
Actividad de aprendizaje 1.4.
PlanteamientosLos siguientes problemas son tomados del texto gua
Matemtica para administracin y economa, autores: Ernest F.
Haeussler y Richard S. Pal, secciones 14.6, 14.7 y 14.9.1) Evale la
integral definida dada, tome el lmite de . Use el extremo derecho
de cada subintervalo. Bosqueje la grfica en el intervalo dado de la
funcin que debe integrarse.
2) La funcin de costo marginal de un fabricante es
Si est en dlares, determine el costo de incrementar la produccin
de 65 a 75 unidades.
3) Demografa. Para cierta poblacin, suponga que es una funcin
tal que es el nmero de personas que alcanzan la edad en cualquier
ao. Esta funcin se llama funcin de la tabla de vida.
Bajo condiciones apropiadas, la integralproporciona el nmero
esperado de personas en la poblacin que tiene entre y aos,
inclusive.
S:determine el nmero de personas que tienen exactamente entre y
aos, inclusive. D su respuesta al entero ms cercano, puesto que las
respuestas fraccionarias no tienen sentido.
4) Use una integral definida para encontrar el rea de la regin
limitada por la curva, el eje y las lneas dadas. Primero haga el
bosquejo de la regin. Tenga cuidado con las regiones que estn
debajo del eje .
Objetivos Resolver problemas prcticos relacionados con las
ciencias administrativas, econmicas y sociales mediante la
aplicacin de integrales definidas.
Calcular regiones de reas bajo la curva de funciones mediante el
empleo de integrales definidas.
Orientaciones didcticasPara resolver el ejercicio 1), revise los
ejemplos 1 y 2 de las pginas 648 y 649.Para resolver el ejercicio
2), revise el ejemplo 5 de la pgina 656.
El ejercicio 3) es una aplicacin directa del teorema fundamental
del clculo.
Para resolver el ejercicio 4), revise el ejemplo 4 de la pgina
666.
Criterios de evaluacinPlanteamiento de problema con el empleo de
frmulas o modelos relacionados y adecuados. (40%)Elaboracin del
algoritmo de solucin de manera ordenada y explicativa.
(30%)Obtencin de la respuesta correcta con criterio y razonamiento
lgico. (30%)
Actividad de aprendizaje 1.5.
PlanteamientosLos siguientes problemas son tomados del texto gua
Matemtica para administracin y economa, autores: Ernest F.
Haeussler y Richard S. Pal, seccin 14.8.1) Use la regla de Simpson
para aproximar el ingreso total recibido por la produccin y venta
de 80 unidades de un producto, si los valores de la funcin de
ingreso marginal son los siguientes.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
10
9
8.5
8
8.5
7.5
7
6.5
7
2) rea de un lago. Un tramo recto de autopista corre a lo largo
de un lago. Un topgrafo que desea conocer el rea aproximada del
lago, mide la distancia desde varios puntos de la carretera a las
orillas cercana y lejana del lago y obtiene los valores que se
presentan en la siguiente tabla:
Distancia a lo largo de la autopista (km)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Distancia a la orilla cercana (km)
0.5
0.3
0.7
1.0
0.5
0.2
0.5
0.8
1.0
Distancia a la orilla lejana (km)
0.5
2.3
2.2
3.0
2.5
2.2
1.5
1.3
1.0
Determine el rea del lago.
ObjetivoAplicar tcnicas de integracin aproximada en funciones
que aparecen en diferentes problemas prcticos de las ciencias
administrativas, econmicas y sociales.
Orientaciones didcticasPara resolver estos dos ejercicios revise
los ejemplos 2) y 3) de la pgina 662; aplique tambin el concepto de
integral definida.
Criterios de evaluacinPlanteamiento de problema con el empleo de
frmulas o modelos relacionados y adecuados. (40%)Elaboracin del
algoritmo de solucin de manera ordenada y explicativa.
(30%)Obtencin de la respuesta correcta con criterio y razonamiento
lgico. (30%)
Formato de entregaArchivo de Microsoft Word (.doc), Cualquier
versin.
Enviar a Enve las actividades de aprendizaje a travs de la
plataforma, mediante la seccin Contenidos, en un archivo cuyo
nombre debe ser:
Formato: G#.Apellido.Apellido.Nombre.asignatura
Preguntas o dudas Enve sus preguntas o dudas a travs de la
plataforma: utilice la seccin foro de inquietudes o la seccin
Enviar correo y marque el nombre de su tutor.
Puntaje por actividad
Actividades de aprendizajePuntaje
Actividad de aprendizaje 1.1.2.5
Actividad de aprendizaje 1.2.4.5
Actividad de aprendizaje 1.3.6.0
Actividad de aprendizaje 1.4.4.0
Actividad de aprendizaje 1.5.3.0
TOTAL20
El tutor de la asignaturaEl examen presencial es sin consulta.
Usted debe memorizar las frmulas de integracin y los conceptos
bsicos de costos o ingresos. De requerir alguna frmula o tabla
adicional se adjuntar a su examen.
