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Preguntas Propuestas

. . .

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Álgebra

Polinomios II

1. Si P(x) es un polinomio mónico de segundo grado que verifica P(x) – P(x – 1)=2x+2

halle el coeficiente de su término lineal.

A) – 4 B) 2 C) 3D) 1 E) – 2

2. Sea f(x)=n2+1 un polinomio constante tal que

3 2

512 1

0

f f

f( ) ( )

( )

+

+= . Calcule f(2009).

A) 1/2 B) 5/4 C) 1D) – 1 E) 1/4

3. Dados los polinomios P(x)=(x –1)3(x+3)2 y f(x)=P(x+2) indique el número de proposiciones correctas. I. º[P(x)]=5 II.º[f(x)]=5 III. º[P2

(x)]=10 IV. º[P(x) · f(x)]=10

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

4. Si el término independiente de G(x+2)=x2+(x+1)n +1 es el doble de la suma de

sus coeficientes, calcule el menor valor de G(3).

A) 6 B) 14 C) 10D) 4 E) 7

5. Dados los polinomios P(x – 1)=x3+ax2+bx+2 y Q(x+1)=x3+4x2 – 5x – c

si P(x) ≡ Q(x), calcule el valor de (a+b+c).

A) – 2 B) – 3 C) 1D) – 4 E) 5

6. Si el polinomio completo

P(x)=5xa – 3+3xc+2 – 2xb – 5+4

es ordenado, calcule el valor de (a+b+c).

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

7. Sea P(x)=(x+1)2(x – 3)4 y

Q(x)=P(x – 4)

indique la alternativa correcta luego de deter-minar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. P(3)=0

II. Q(3)=0

III. Q(7)=0

A) FVV

B) VFF

C) VVV

D) VFV

E) VVF

8. Dado el polinomio P(x)=x3+ax2+4+ax y sea a un número real tal que P(– a)=0, indique un valor de que verifica la igualdad anterior.

A) 3 B) 2 C) 4

D) 5 E) 1

División algebraica

9. Si la división algebraica

x x ax

x x

+( ) + − ++

1 210 15

2 deja resto

R(x)=2x+b, calcule el valor de (a+b).

A) 4 B) 5 C) 3

D) 2 E) 1

3

Álgebra10. Luego de efectuar la división

3 9

3 2

5 4 3 2

3x x ax x bx c

x x− + + + +

− + se obtuvo

un cociente cuya suma de coeficientes es 3 y un resto igual a (2x – 1).

Calcule el producto abc.

A) 48B) 36C) 32D) 16E) 24

11. Si el residuo de la división

9 6 3 9 3

3

4 3 2 2 2

2

x ax a b x a x ab

x ax b

+ + +( ) + −

+ −; ab ≠ 0

es R(x)=6ab+b2, calcule el cociente ab

.

A) 9 B) 4 C) 1/4D) 1/9 E) 6

12. En la división exacta

mx x xnx x

3 2

213 9 2

3 1+ + +

+ +, indique el valor de (m+n).

A) 4B) 6C) 8D) 10E) 12

13. En la división algebraica

x n x nx

n− − +( ) + +−

1 2 11

el término

independiente del cociente es – 10. ¿Cuál es el grado del dividendo?

A) 10 B) 8 C) 9D) 6 E) 12

14. Dada la división algebraica

n x nx n x nx x n

nx

2 6 3 2 4 24 4 2 3

2

− + −( ) − − +

−

si la suma de coeficientes del cociente es igual al residuo, calcule el residuo.

A) 21B) 20C) 16D) 13E) 8

15. Sea P(x)=x3+ax2+bx+c, tal que (x+4) y (x – 3) son factores de P, además P(4)=48, indique la alternativa correcta.

A) P(0)=24B) P(1)=– 30C) P(0)+P(1)=– 6D) P(1)=30E) P(4)=– 48

16. Dado el polinomio P(x)=x4+ax3+bx2+cx+120 tal que P(x) es divisible separadamente por los

polinomios (x+2), (x+3) y (x+5), indique el valor numérico de a+b+c.

A) 300 B) 400 C) 279D) 239 E) 379

Cocientes notables

17. Si el resto de la división

2 3

1

15 10 2

2x x ax x b

x− + + −

− es

R(x)=bx+1, calcule el valor de a+b.

A) 9 B) 10 C) 11D) 3 E) – 5

. . .

4

Álgebra

18. Si f(x)=2x3+x2+mx+n es un polinomio tal que f(x) ÷ (x+1) deja resto p. Además, f(x) ÷ (x2+1) deja resto 2x+1. Calcule el valor de (m+n+p).

A) 3 B) 9 C) 2

D) 1 E) 0

19. Calcule el resto de la siguiente división.

x x x

x x

−( ) +( ) +( )− +

1 1 1

1

2 4

2

A) R(x)=x2 – 1

B) R(x)=x+1

C) R(x)=x – 1

D) R(x)=x – 2

E) R(x)=2x+1

20. Si la división algebraica

x y

x y

m n m n2 2 13 4 6+ + +−−

, m y n ∈ N

genera un CN, calcule el producto mn.

A) 8 B) 12 C) 5

D) 4 E) 6

21. Calcule el término central del CN generado

por x yx y

n

n

+ −−

64 34

2 .

A) x8y8

B) x4y16

C) x16y16

D) x32y16

E) x24y16

22. Si el quinto término del CN generado por

x x

x

n n+( ) −+

22 2

toma VN de 1024 cuando x=2,

calcule el valor de n23 .

A) 32 B) 16 C) 8

D) 4 E) 2

23. Simplifique la fracción

x x x x

x x x

14 12 10 2

6 4 21

1+ + + + +

+ + +...

A) x10+1

B) x16 – 1

C) x4 – 1

D) x8+1

E) x4+1

24. Reducir la siguiente

M

n n n

n n=( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) +( ) − ( ) +

− − −

− −4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 5

6 5 6 5

1 2 3 2

2 3...

66 5 6 5 6 5 54 2( ) − − ( ) + ( ) −−n ...

si se sabe que n es impar.

A) 5 B) 6 C) 10

D) 9 E) 25

Factorización sobre Z

25. Si f(x)=ax+2 es un factor algebraico del polino-

mio P(x)=(ax)2+(ab)x – 2b, evalúe f ba

.

A) 1

B) 3

C) 0

D) 1/2

E) – 1/2

26. Si P(x)=3(x – 2)(x2+mx+1)(xn – 2)

está factorizado sobre Z, calcule el menor va-lor positivo de (m+n).

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

5

Álgebra27. Dado el polinomio

P(x; y)=x3+yx2+x+y+x2+1

si f(x; y) es un factor primo lineal de P, evalúe f(1; – 1).

A) 0 B) 3 C) 2

D) – 1 E) 1

28. ¿Cuántos factores primos lineales tiene el polinomio S(x; y)=x7 – x3y4+x4y3 – y7?

A) 3 B) 2 C) 1

D) 4 E) 0

29. El polinomio cuadrático

P(x)=Ax2+Bx+A es factorizable sobre Z, en la forma P(x)=(2x – m)(x – n).

Calcule el mayor valor de B.

A) 3 B) 6 C) 4

D) 5 E) 2

30. Factorice el polinomio

Q(x)=(x2 – 50)2+26x2 – 1275

e indique la suma de sus factores primos.

A) 0 B) 2x – 1 C) 4x+10

D) 4x – 10 E) 4x

31. Dado el polinomio sobre Z

R(x)=2x4 – ax3 – (a2 – 1)x2+2ax – 1; a > 0

si f(x) es un factor primo cuadrático y mónico, calcule el valor de f(a).

A) 0 B) 1 C) – 1

D) 2 E) – 2

32. Calcule el valor de m ∈ Q0+ que hace que el

polinomio f(x)=x4+mx3+3x2+mx+1 sea un cuadrado perfecto.

A) 2 B) – 2 C) 0 D) 1/2 E) 4

Factorización sobre Q

33. Si el polinomio P(x)=x3+2x2 – mx+1 admite una raíz entera, calcule el menor valor de m.

A) – 2 B) – 1 C) 1D) 2 E) 4

34. Factorice el polinomio sobre Q f(x)=6x3+11x2+6x+1, e indique el factor primo

con mayor valor numérico.

A) x+2 B) x+3 C) x+1D) 2x+1 E) 3x+1

35. Si S(x) representa la suma de los factores primos del polinomio sobre Z

P(x)=3x5 – 5x4+8x3 – 7x2+5x – 2, evalúe S 32

.

A) 3 B) 12 C) 17/2D) 8 E) 15/2

36. Factorice el polinomio sobre Q P(x)=2x4+x3 – 4x2+1 e indique el factor primo cuadrático.

A) 2x2+x – 1B) x2+x – 1C) x2 – x+1D) x2– x – 1E) x2+2x – 1

37. Calcule la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio

R(x)=2x4 – (x+1)2 definido sobre Q.

A) – 2 B) – 1/2 C) 1/2D) – 1 E) 0

. . .

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Álgebra

38. Dado el polinomio homogéneo S(a; b)=2a3+3a2b – b3 sobre Z ¿cuántos factores primos tiene S ?

A) 2B) 1C) 3D) 4E) 5

39. Si f(x) es el factor primo común de los polino-mios P(x)=x5+x+1 y Q(x)=x4+x3 – x2 – 2x – 2, evalúe f(1).

A) – 1 B) 0 C) 3D) 1 E) 2

40. Respecto al polinomio sobre Q. P(x)=x5+x4+1 indique lo correcto.

A) Tiene 3 factores primos.B) Un factor primo es (x2 – x+1).C) Tiene dos factores primos cuadráticos.D) Un factor primo es (x3 – x+1).E) La suma de coeficientes de un factor primo

es 2.

Claves

01 - C

02 - B

03 - E

04 - D

05 - E

06 - C

07 - C

08 - B

09 - B

10 - E

11 - D

12 - C

13 - B

14 - D

15 - B

16 - D

17 - B

18 - A

19 - C

20 - E

21 - D

22 - D

23 - D

24 - A

25 - C

26 - B

27 - E

28 - B

29 - D

30 - E

31 - B

32 - A

33 - A

34 - E

35 - E

36 - B

37 - E

38 - A

39 - C

40 - D