ALEjercicios05

8/19/2019 ALEjercicios05

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T a

l l e r

S e m a n a

0 5

( 2 2

- 2 5

. 0 2 . 1

6 )

´ A l g

e b

r a L

i n e a

l -

P r o

f . D

o m ´ ı n

g u e z

Barranquilla, 4 de marzo de 2016

Universidad del Norte

Division de Ingenierıas

Algebra Lineal - Taller 05

Ejercicios Resueltos

Ejercicio resuelto

La ecuacion de una recta en el plano tiene la forma ax + by = c con a = 0 o b = 0. Determine unaecuacion para la recta que pasa por los puntos P (1, 2) y Q(2, 3).

Solucion

En este caso, nuestras incognitas corresponden a los valores de a,b,c con a = 0 o b = 0.

A continuacion obtenemos un sistema de ecuaciones a partir los puntos P y Q, estos deben satisfacer

la ecuacion de la recta, por lo tanto:En P (1, 2), tenemos que x = 1 y y = 2. Reemplazando en la ecuacion general ax + by = c tenemos

a · 1 + b · 2 = c,

aplicando lo mismo con Q(2, 3) tenemos

a · 2 + b · 3 = c.

Por tanto, obtenemos un sistema lineal homogeneo de 2-ecuaciones y 3-incognitas de la formaa + 2b − c = 0

2a + 3b − c = 0

Aplicando eliminacion obtenemos el sistema escalonado

1 2 −10 −1 1

es decir, el conjunto solucion

del sistema es

S =

(a,b,c) ∈ R3 :

a = −α

b = α

c = α

, α ∈R

Cual es la ecuacion de la recta? Reemplazando los valores de a, b y c en la ecuacion usandoel parametro α tenemos −αx + αy = α, y asignandole un valor aleatorio a α, por ejemplo, α = 1obtenemos una ecuacion de la recta que pasa por los puntos P y Q dada por

−x + y = 1.

Observe que el anterior analisis nos proporciona infinitas ecuaciones, cada una obtenida a partir de unvalor diferente de α, sin embargo corresponden a un conjunto de ecuaciones equivalentes que difierenentre s ı por un factor escalar.

Ejercicio resuelto

Determine los valores de a para los cuales el sistema lineal tiene infinitas soluciones, unica solucion y

NRC: 4554

Prof. Catalina Domınguez

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ninguna solucion.x + y + z = 0

−ax − 2y + z = 0

−x + ay − 2z = 0

Solucion

Apliquemos el metodo de eliminacion 1 1 1

−a −2 1−1 a −2

aF 1+F 2→F 2−−−−−−−−→

F 1+F 3→F 3

1 1 1

0 a − 2 a + 10 a + 1 −1

− a+1

a−2F 2+F 3→F 3−−−−−−−−−−−→

1 1 1

0 a − 2 a + 1

0 0 − (a+1)2

a−2 − 1

Por lo tanto, el sistema

1. tiene infinitas soluciones si

−(a + 1)2

a

−2 − 1 = 0

−(a + 1)2 = 1 · (a − 2)

−a2 − 2a− 1 = a − 2

a2 − 3a + 1 = 0

a1,2 = 1 ± 9 − 4 · 1 · (1)

2 =

1 ±√ 5

2

es decir, si a = 1+√

52 o a = 1−

√ 5

2 el sistema tiene infinitas soluciones,

2. tiene solucion unica si a = 1+√

52 y a = 1−

√ 5

2 .

3. no tiene solucion. Este caso no es posible pues el sistema es homogeneo.

Ejercicios Propuestos

Ejercicios E1

Considere los siguientes sistemas lineales y

Determine la forma escalonada de cada sistema lineal no-homogeneo usando matrices (no utilicecalculadora para realizar los calculos).

Determine el conjunto solucion S del sistema y muestre que S se puede reescribir en la formav0 + S 0.

Determine la dimension y una base del conjunto solucion del sistema homogeneo asociado.

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1.

x1 + x2 −x3 + x4 = 1

3x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = 2

7x1 − x2 + 7x3 − 3x4 = −1

6x1 + 2x2

−5x3 + x4 = 0

2.

x + y − 2z + t = 1

3x − y + 4z − 2t = 2

6x + 2y − 2z + t = 5

7x − y + 6z − 3t = 5

3.

x + y − z + t = 1

3x − y + 4z − 2t = 2

7x − y + 7z − 3t = 5

5x − 3z + t = 1

4.

2x + 3y = 3

x − 2y = 5

3x + 2y = 7

5.

2x − y − 3z = 0

3x − 2y + 2z = 0

5x − 3y − z = 0

6.

2x + 3y − 2z = 5

x − 2y + 3z = 2

4x − y − 2z = 1

Respuestas seleccionadas E1

1.

S = ∅, S 0 =

(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 :

x1 = 1

4a

x2 = −5

4a

x3 = 0

x4 = a

, a ∈ R

, dimS 0 = 1,

Base de S 0: u1 =

14 ,− 5

4 , 0, 1

.

2.

S =

(x, y, z , t) ∈ R4 :

x =

3

4 − 1

2 a +

b

4

y = 1

4 +

5

2a − 5

4b

z = a

t = b

, a, b ∈ R

, v0 =

3

4, 1

4, 0, 0

S 0 =? dimS 0 = 2, Base de S 0: u1 =

−1

2, 5

2, 1, 0

, u2 =

1

4,−5

4, 0, 1

3.

S =

(x, y, z , t) ∈ R4

:

x = 4

9

y = 26

27 − 2

3a

z = 11

27 +

1

3a

t = a

, a ∈R

, v0 =4

9 , 26

27 , 11

27 , 0

S 0 =? dimS 0 = 1, Base de S 0: u1 =

0,−2

3, 1

3, 1

4.S = {(3,−1)}

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( 2 2

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S 0 =? dimS 0 = 0, Base de S 0: u1 = (0, 0, 1)

5.S = ∅, S 0 =? dimS 0 = 1, Base de S 0: u1 = (8, 13, 1)

6.

S = 43

, 53

, 43

, S 0 = {(0, 0, 0)}, dimS 0 = 0

Ejercicios E2

Determine si los siguientes sistemas lineales tienen solucion unica (sin calcular una matriz escalonadaequivalente). Aplique el metodo de Cramer para resolver el sistea, en caso de no ser apicable encuentrepor eliminacion gaussiana el conjunto solucion.

1. 2x + 2y = 1

5x + 7y = 3

2. 2x + 4y = 10

3x + 6y = 15

3. 4x− 2y = 5

−6x + 3y = 1

4. 2x − 3y = 1

4x − y = −2


1. (x, y) =

14 , 1

4

2. Observe que det(A) =

2 43 6

= 0, por tanto el sistema no tiene solucion unica.

Aplicando eliminacion gaussiana, se concluye que el sistema tiene infinitas soluciones

S = (x, y) :

x = 5

−2a,

y = a , a ∈R

3. El sistema no tiene solucion unica y S = ∅. Por que?

Ejercicios E3

1. Determine los valores de k de manera que los siguientes sistemas lineales tengan solucion unica.Ayuda: utilice el concepto de determinante para matrices 2 × 2.

a ) 2x − (k + 1)y = 1

kx

−y = 0

b) 2x − ky = 1

x + 2(k − 2)y = 0

c ) 2x− k2y = 1

x + y = 0

d ) 9x− k2y = 1

x − y = 0

2. Determine valores de a y b (en caso de existir), para los cuales los sistemas de ecuaciones tenganinfinitas soluciones, unica solucion y ninguna solucion

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´ A l g

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a )

x + 2y + 2z = 0

ax + 5y + z = 0

−2x

+ay

+z

= 0

b)

x + 2y + 2z = 1

ax + 5y + z = 2

−2x

+ay

+z

= 0

c )

x − y + z = 2

−2x + ay + z = −2

−2x−

bz = 3

3. Determine el conjunto solucion de las siguientes ecuaciones lineales en el espacio A. Obtenga labase del conjunto solucion correspondiente a la ecuacion lineal homogenea asociada.

a ) 3x1 + 2x2 + x3 = −2 en A = R5.

b) x − 3y − 2z = 36 en A = R4.

c ) x + y = −34 en A = R3.

d ) x − y = 5 en A = R5.


1. a ) k = 1 o k = −2.

b) k = 85

c ) No existen valores reales para k .

d ) k = 3 o k = −3

Ejercicios E4

En cada caso determine una ecuacion para la recta de la forma ax + by = c con a, b = 0, si existe, quepasa por los puntos

1. P (1, 2) y Q(2, 5)

2. P (1,−1), Q( 13 , 0) y R(3,−4)

3. P (0, 0) y Q(−2,−1)

4. P (−1, 0), Q(1, 1) y R(1,−1)

Ejercicios E5

La ecuacion de una parabola con eje de simetrıa paralelo al eje y es de la forma y = ax2 + bx + c, cona = 0. En cada caso halle una ecuacion de todas las parabolas (si existen) que pasan por los puntos

1. P (1, 1), Q(−1,−1) y R(−2,−2)

2. P (1, 0), Q(2, 1) y R(0, 1)

3. P (2, 0), Q(4, 2) y R(−1,−1)

4. P (1, 0), Q(−1,−2), R(1, 4) y S (2, 3)

Ejercicios E6

1.

E 1

R1

R3

R4

R3

R2

E 2

R5

R6

La ley de Kirchoff para el voltaje aplicada al circuito que semuestra en la figura produce el siguiente sistema de ecuaciones

(R1 + R3 + R4)I 1 + R3I 2 + R4I 3 = E 1R3I 1 + (R2 + R3 + R5)I 2 − R5I 3 = E 2R4I 1 − R5I 2 + (R4 + R5 + R6)I 3 = 0

Determine las intensidades de corriente I 1, I 2 e I 3 si R1 = 1, R2 = 1, R3 = 2, R4 = 1, R5 =2, R6 = 4, E 1 = 23, E 2 = 29.

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2.

T CN T CN T CN

T C0

T C0

T CN T CN T CN

T CE

T CET 1 T 2 T 3

T 4 T 5 T 6

Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de Calor es determinar la temperatura enestado estable de una placa delgada cuando se conocen las temperaturas alrededor de la placa.Suponga que la placa de la figura representa una seccion transversal perpendicular a la placa.

Sean T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, y T 6 las temperaturas interiores de los nodos de la red. La temperaturaen un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos mascercanos arriba, abajo, a la derecha, y a la izquierda. Asi por ejemplo

T 1 =

1

4 (T C N +

T 2 +

T 4 +

T C 0)

Determine las temperaturas T 1 a T 6 sabiendo que T C N = 25◦, T C E = 37◦, T C S = 10◦, T C 0 = 31◦.

3. Una empresa fabrica tres modelos de computadoras personales: A, B y C. Para armar una compu-tadora modelo A necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas para instalar susprogramas. Para una B requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalarprogramas. Y por ultimo, para una C requiere 6 para ensamblado, 1,5 para probarla, y 1,5 pa-ra instalar programas. Si la fabrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 parapruebas, y 103 horas para instalacion de programas, ¿cuantas computadoras de tipo A, B y C sepueden producir por mes?


1. I 1 = 3, I 2 = 5, I 3 = 1

2. El sistema de ecuaciones esta dada por

4T 1 − T 2 − T − 4 = 56

−T 1 + 4T 2 − T 3 − T 5 = 25

−T 2 + 4T 3 − T 6 = 62

−T 1 + 4T 4 − T 5 = 41

−T 2 − T 4 + 4T 5 − T 6 = 10

−T 3 − T 5 + 4T 6 = 47

cual es la solucion?

3. La empresa puede producir 34 de tipo A, 4 de tipo B y 18 de tipo C.

Ejercicios E7

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser falsa de un contraejem-plo. En caso de ser verdadera justifique su afirmacion.

1. Sea β ∈ R. La ecuacion β x − βy − 3βz = β es equivalente a la ecuacion x − y − 3z = 1.

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2. El sistemax − y = −1

x + y − z = 0−x + y − z = −27x − 7y + 3z = 2

tiene solucion unica.3. El sistema

x − y = −1y − z = 0

y − z = −2

tiene infinitas soluciones.

4. Si u = (1,−2, 3) y v = (3,−1, 2) entonces (u • u) · v = (1, 1, 1).

5. Si x ∈R4 y y ∈ R4 entonces (y • x) · (x • x) ∈ R.

6. Si A es una matriz 2×2 asociada a un sistema lineal 2×2 no homogeneo, con det(A) = 0 entoncesel sistema tiene infinitas soluciones.

7. Si la matriz ampliada de un sistema lineal es

1 1 −1 1 1 2

0 1 −1 1 −1 10 0 0 1 0 0

, el conjunto solucion

del sistema esS = {(2− a + b − c, 1 + b + c,a, 0, b) : a,b,c ∈ R}

8. Si la matriz ampliada de un sistema lineal es

1 1 −1 1 1 2

0 1 −1 1 −1 10 0 0 1 0 0

, una solucion particular

del sistema lineal es(2, 1, 0, 0, 0)

9. Si la matriz ampliada de un sistema lineal es 1 1

−1 1 1 1

0 1 −1 2 −1 0

, el numero de variableslibres del del conjunto solucion es cuatro (4).


1. Verdadero. Por que?


3. Falso. Por que?

4. Falso. Por que?

5. Verdedero. Por que?

6. Falso. Por que?



9. Falso. Por que?

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