ALGEBRA CUARTO IB

1

4 ÁLGEBRA

Profesor: Robert André Vega Catón

I BIMESTRE

2

Tabla de contenido SESIÓN 01: .................................................................................................................................................................... 3

SITUACION 01: DIVIDIMOS UN TERRENO ............................................................................................. 3 COCIENTES NOTABLES .......................................................................................................................... 3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 4 TAREA DOMICILIARIA .......................................................................................................................................... 4

SESIÓN 02: .................................................................................................................................................................... 6 ANALISIS COMBINATORIO ................................................................................................................... 5

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 5 SESIÓN 03: .................................................................................................................................................................... 6

BINOMIO DE NEWTON .......................................................................................................................... 7 EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 7

SESIÓN 04: .................................................................................................................................................................... 8 SITUACION 02:CUADRADO .................................................................................................................. 8 RADICACION .......................................................................................................................................... 8

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ............................................................................................................................. 9 TAREA DOMICILIARIA ........................................................................................................................................ 10

SESIÓN 05: .................................................................................................................................................................. 10 TRANSFORMACION DE RADICALES ................................................................................................... 10

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 11 TAREA DOMICILIARIA ........................................................................................................................................ 12

SESIÓN 06: ................................................................................................................................................................ 13 RACIONALIZACION ............................................................................................................................ 13

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 14 TAREA DOMICILIARIA ........................................................................................................................................ 15

ÁLGEBRA–4AÑO

3

Situación 01: dividimos un terreno Se tiene un terreno rectangular con las medidas indicadas en la figura. Se desea calcular la superficie total de dicho terreno para lo cual se usa los productos notables.

El área de este terreno está representada por la expresión: a2 +2ab + b2

1. ¿Se podrá hallar el cociente de dos monomios de manera rápida?

2. ¿Cómo se hallará el cociente de un trinomio cuadrado perfecto?

3. ¿Cómo se hallará el cociente de la diferencia de un binomio?

SESIÓN 01: COCIENTES NOTABLES Son aquellos cocientes exactos que se pueden obtener sin efectuar la división

Forma general :

Casos de cocientes notables

Forma Cociente Notable

Siempre es C.N

Si “n” es impar

Si “n” es par

Nunca es C.N

Características de un Cociente Notable:

1) El número de términos que tiene el desarrollo se obtienen dividiendo los exponentes de una misma variable; se representa por “n”.

2) Si el denominador es de la forma “x-a” los signos de los términos en el desarrollo serán positivos.

3) Si el denominador es de la forma “x+a” los signos de los términos en el desarrollo serán alternados positivos y negativos.

4) La condición para que una fracción

de la forma

Sea un C.N es

Donde “n”; número de términos TÉRMINO GENERAL

Si es un C.N y Tk es el término

que ocupa el lugar “K” en su desarrollo, entonces

El signo se coloca según el caso al que corresponda.

axax nn

±±

+ÎZn

axax nn

--

axax nn

++

axax nn

+-

axax nn

-+

sr

qp

axax

±±

nsq

rp

==

axax nn

±±

( ) 1. --= kknk axsignot

IBIMESTRE

4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

ÁLGEBRA–4AÑO

5

IBIMESTRE

6

TAREA DOMICILIARIA I 01. Hallar el número de términos de la

siguiente división notable

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8

02. Simplificar

A) x40 +1 B) x40 – 1 C) x20 + 1 D) x20 E) x40

03. Indicar el cuarto término del C.N

A) –x5y3 B) x3y4 C) x7 y D) x5y3 E) x2y4

04. Indicar el 5to término del C.N

A)-x9y8 B) x8y9 C)x9y8 D) x6 y14 E) –x6y14

05. Si el sexto término es x8yb del C.N:

6

150

yxyx

n

n

++

11

2343638

2747678

++++++++++

=xxxxxxxxE

!

!

yxyx

-- 99

23

1624

yxyx

--

32

27

yxyxm

--

ÁLGEBRA–4AÑO

7

Indique: “ m - b” A) 4 B) 7 C) 3 D) 2 E) 5

SESIÓN 02: ANALISIS COMBINATORIO

FACTORIAL Factorial de un número es el producto de los números enteros positivos y consecutivos comprendidos desde el número 1 hasta el número indicado inclusive.

n! = 1 x 2 x 3 x ……. x n ; n Î Z+ Factoriales más usados 1! = 1 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5! = ………………………………………… = 6! = ………………………………………..… = 7! = ………………………………………..… = Además: Por definición 0! = 1 De la observación anterior:

n! = 1 x 2 x 3 x …………… x (n - 1) x n

(n - 1)! \ n! = (n - 1)! x n

PRACTICAMOS 1. Hallar “x” (x - 6)! = 1

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 6 ó 7

2. Calcular: E =

a) 1/15 b) 1/18 c) 17 d) 15 e) 31

3. Calcular: E =

a) 12 b) 14 c) 16 d) 22 e) 20

4. Reducir: R =

a) 2 b) 4 c) 8 d) 7 e) 32

5. Expresar “E” como factorial: E = 3 x 6 x 9 x 12 x … x (3n) a) 3n x n! b) 3! x n c) 3! x n!

d) n! x 3n e)

COMBINACIONES Combinaciones sin repetición de “n” elementos tomados de”k” en “k” son los conjuntos que pueden formarse teniendo presente que dos de estos conjuntos difieren entre sí, únicamente en caso de que tengan al menos un elemento diferente.

!18!17!16!17!16

+++

!21!20!22!21!20

+++

8x!8)74(8 2

3!n

8

ÁLGEBRA–4AÑO

9

PRACTICAMOS

SESIÓN 03: BINOMIO DE NEWTON

IBIMESTRE

10

ÁLGEBRA–4AÑO

11

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar el 5to término de:

(x + 2y3)7 a) 480x4y16 b) 560x3y12

c) 440x7y21 d) 210x4y16

e) 320x3y12

2. ¿Cuál es el término número 14 de (3 - x)15? a) 150x12 b) -14413 c) 1 000x15 d) -945x13 e) 400x15

3. Indicar el valor “n” en: (1 – 3an)6;

si el término número 5 contiene el valor a8. a) 3 b) 4 c) 6 d) 2 e) 5

4. Encontrar el coeficiente de m16 en (m2 – 2m)10 a) 2 400 b) 1 020 c) 3 360 d) 1 600 e) 2 100

5. Hallar el término número 4 de (a - 5)5

IBIMESTRE

12

a) -45a2 b) 5 050a4 c) -640a3 d) -3 600a5 e) -1 250a2

6. Hallar el coeficiente de a18 en (a4b - ac)9 a) -100 b) 84 c) -48 d) 360 e) 18

7. En el desarrollo de (p2 + p3y)15; dar el término que contiene a: p36 a) 15º b) 5º c) 11º d) 8º e) 7º

8. Dar el término central en (m/n + n/m)10 a) 252 b) 100 c) 324 d) 150 e) 270

9. Calcular “p” si el décimo término del desarrollo de (2x5 + 3x-1)p contiene x6 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10. Calcular “m” si el cuarto término del desarrollo de (xm + ym-3)8 es de grado 87. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 8

TAREA DOMICILIARIA II 1. Hallar el quinto término de: (2x + y2)6

a) 32x2y4 b) 64x2y6 c) 120x2y8 d) 84x2y8 e) 60x2y8

2. Hallar el cuarto término del desarrollo

de: F(x, y) = (x5 + 2y7)8

e indicar su grado.

a) 8 b) 25 c) 21 d) 46 e) N.A.

3. En el desarrollo de: M(x,y) = (x4y2 +

x5y2)17 Hallar L =

a) x b) c)

d) e) N.A.

UNIDAD II Situación 02: cuadrado

SESIÓN 04: RADICACIÓN

Llamaremos radical simple a la expresión , cumpliéndose que:

Las cantidades a y b serán positivas siempre que n sea un número par. Elementos

A. RADICALES SEMEJANTES

Estos tienen la misma expresión sub-radical y el mismo índice.

910TT

20

2

yx2

2

2

yx

4

4

yx

n a

abba nn== Þ

ban=

Signo radical Índice

Raíz enésima Sub-radical

ÁLGEBRA–4AÑO

13

Ejemplo:

§ son semejantes.

B. RADICALES HOMOGÉNEOS

Estos se caracterizan por tener el mismo índice. Ejemplo:

§ son homogéneos, de índice 2.

C. HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES

Es la operación que consiste en transformar radicales con diferente índice, en radicales con igual índice. Para tal fin se aplican los teoremas de exponentes y radicales, asimismo se recomienda tener en cuenta las siguientes reglas. 1. Se halla el MCM de los índices de los

radicales, que será el índice común. 2. Se divide el MCM encontrado entre el

índice original de cada radical y cada cociente se multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.

Ejemplo:

§ Dados: ; expresarlos como homogéneos: En primer lugar se debe reconocer que el MCM de 3; 4 y 5 es 60. Luego trataremos que todos los índices de radical tengan el mismo valor 60:

D. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Simplificar un radical es transformarlo en otro equivalente utilizando los teoremas ya mencionados. Ejemplo:

§ =

=

= E. INTRODUCCIÓN DE EXPRESIONES

BAJO EL SIGNO RADICAL

Se eleva la expresión que esta afuera del radical, a una potencia igual al índice del radical. Ejemplo:

§ = =

§ = =

REDUCCIÓN DE RADICALES

SEMEJANTES

Los radicales semejantes, se reducen como si fueran términos semejantes.

Ejemplo: § § MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

DE RADICALES

Para efectuar estas operaciones los radicales deben ser homogéneos o en caso contrario, reducirlos a homogéneos. §

§

x55;x53;x52 -

b;b2;5

5 24 33 w;z;x

)20360(xx60 203

=÷=

60 454 3 zz =

60 245 2 ww =

3 7a16 3 63 a.a2.2

33 63 a2.a.2

32 a2a2

yzx2 yz)x2( 2 yzx4 2

32

2xy

x 32

32xy

.)x( 3 4yx

3103)725(373235 =+-=+-

222)543(252423 =-+=-+

mmm abb.a =

mm

m

ba

b

a=

IBIMESTRE

14


1. Reducir:

a) b) c) d) e)

2. Mostrar el equivalente de:

Sabiendo que: 2 001 < m < n < 2 002 a) n b) c) -m d) n2 e) –n2

3. Si: 1 999 < m < n < 2 001 Reducir:

a) 2n b) -2n c) 2m d) -2m e) m + n

4. Reducir:

Si: 2 002 < a < b < 2 005 a) 2a b) 2b c) -2a d) -2b e) N.A.

5. Reducir:

Si: 2 < x < 4 (x es un decimal) a) 2x b) 2x – 6 c) 2 d) 2 – 2x e) N.A.

6. Resolver:

a) b) c)

d) e) N.A.

7. Calcular:

a) b) c) d) e)

8. Calcular:

a) b) c) d) e)

9. Calcular:

a) b) c) d) e)

10. Resolver

a) b) c) d) e)

TAREA DOMICILIARIA

1.

a) b) c) d) e)

2. a) b) c)

d) e) 0

3. a) b) c)

d) e) 0

324850298K -+-+=

2 22 3

32 + 24

3 633 63 nmmm.nmmm +++-

3 n

2222 nmn2mmmn2nE +--++=

2222 bab2abab2aE +--++=

16x8x4x4xE 22 +-++-=

763175282 -+-

7 7-

72

73

3333 1328323511042 -++

3 132- 3 132 3 133 133 3 13-

2457203201802 ++-

5- 5 5253 53-

3333 205875051622384 -+-

3 6-3 64 3 64-

3 62 3 6

3122753272 -+-

3 36- 3634 34-

3333 337581224 +++

3310 3312 33133314 3315

15038429496 +-+-

64 65

667

3333 162307275048 +-+

363- 36536

362

ÁLGEBRA–4AÑO

15

SESIÓN 05: TRANSFORMACION DE RADICALES

DOBLES A RADICALES SIMPLES

A. RADICALES DE LA FORMA:

Los radicales de la forma donde A y B son números racionales positivos, se pueden transformar a la forma . Así toda la transformación consiste en hallar x e y en función de A y B, para lo cual se plantean las siguientes ecuaciones:

………. (1)

………. (2) Sumando miembro por miembro (1) y (2) y elevando al cuadrado después, podemos encontrar que:

Procediendo de una manera análoga, al restar (1) y (2) y elevar al cuadrado después, se obtiene:

Nota.- Cuando la cantidad subradical A2 – B; es un cuadrado perfecto, dará una raíz exacta que llamaremos C, de forma que con lo cual las expresiones

para x e y en (1) y (2) quedarían de esta manera:

B. RADICALES DE LA FORMA:

Cuando un radical doble es de la forma , se pueden determinar dos números x e y que cumplan con las siguientes relaciones:

x + y = A ; x . y = B

Así se verificará que:

ó


1. Efectuar:

a) 1/2 b) -2 c) 2 d) 1 e) 14

2. Efectuar:

a) b) c) d) e) 1

3. Reducir: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

BA ±

BA ±

yx ±

yxBA +=+

yxBA -=-

x2BABA =-++

2B2AAxx4B2A2A2 -+

=Þ=-+Þ

y2BABA =--+

2B2AAyy4B2A2A2 --

=Þ=--Þ

,CBA2 =-

2CA

2CABA -±

+=±

B2A ±

B2A ±

yxxy2)yx( +=++

yxxy2)yx( -=-+

721183N -+-=

32422A ++=

2 3 13 +

23 +

63216728 -++

IBIMESTRE

16

4. Reducir: a) 1 b) 2 c) d) e) N.A.

5. Convertir a radical simple:

; indicar uno de ellos: a) b) c) d) e) N.A.


a) d) b) e) N.A. c)

7. Reducir: a) b) c) d) e) N.A.

8. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

9. Convertir en radicales simples:

; Indicar un radical: a) b) c)

d) e) N.A.

10. Efectuar:

a) b) c)

d) e) N.A.

11. Reducir:

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) N.A.

12. Efectuar:

a) b) 1 c) -1 d) e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA 1. Mostrar el equivalente de:

a) 1 b) c) 0 d) e) N.A.

2. Reducir:

a) 9 b) 1 c) 2 d) -1 e) N.A.


e indicar uno de ellos. a) b) c) d) e) N.A.


e indicar uno de ellos.

3206809 +-+

3 33 2

48x4x41x2 2 ---

3x - 4x - 3x +6x2 -

4x4x2 42 --

1x1x 22 +-- 1x1x 44 --+

1x1x 22 --+

1x1x --+

7281429 +-+

12 - 13 + 17 -

7

3721120027 -++

6x5x25x2 2 ++++

2x - 3x -5x +

2x +

152624 -++

2 3 5

6

3122727212A +-+=

31227124N -+-=

2

5

155262424 --+++

5

52-

35022718211 -++

6x5x25x2 2 ++++

2x + 3x - 4x -

2x -

400x4x2 2 -+

ÁLGEBRA–4AÑO

17

a) b) c) d) e) N.A.


; indicar uno de ellos: a) b) c) d) e) N.A.

SESIÓN 06: RACIONALIZACIÓN

Es la operación mediante la cual, se transforma una expresión cuyo denominador es irracional, en otra equivalente, pero con denominador racional. Para esto se multiplican ambos términos de la fracción por una expresión llamada factor racionalizante. FACTOR RACIONALIZANTE (F.R) Es la expresión irracional, que multiplicada por el denominador irracional, lo convierte en una expresión racional.

ODENMINADORES MONOMIOS

Si el denominador es de la forma

, el factor racionalizante es . En estos casos el factor racionalizante es conocido también como el conjugado del denominador. Veamos el siguiente ejemplo:

DENOMINADORES BINOMIOS Cuando una fracción presenta un denominador binomio, el factor racionalizante es en general un polinomio cuya forma dependerá del binomio original.

A. DENOMINADOR BINOMIO DE LA

FORMA :

Denominador : Þ F.R.: Denominador : Þ F.R.: Basta multiplicar los dos términos por la cantidad conjugada del denominador.

Ejemplo:

§

§

DENOMINADOR BINOMIO DE LA FORMA:

Cuando los denominadores son binomios cuyas raíces resultan ser de índice tres, los factores racionalizantes se obtienen así: Denominador : Þ F.R.:

Denominador : Þ F.R.:

Ejemplo:

§

10x + 2x - 2x +

1x -

100x4x2 2 --

2x + 3x + 4x +5x +

m nbm nmb -

bba

b

b.b

a

b

am nm

m nm

m nm

m nm n

-

-

-==

ba ±

ba +

ba -

ba -

ba +

cb)cb(a

cbcb.

cba

cba

--

=-

-

+=

+

cb)cb(a

cbcb.

cba

cba

-+

=+

+

-=

-

33 ba ±

33 ba +

3 233 2 baba +-

33 ba -

3 233 2 baba ++

)252016(

)252016(.)54(

2

54

2333

333

3333+-

+-

+=

+

IBIMESTRE

18

B. DENOMINADOR BINOMIO DE LA FORMA:

En general, para denominadores cuyos radicales son de orden mayor que 3, se utilizarán criterios de cocientes notables.

Denominador :

Þ F.R.: ; " n

impar

Denominador :

Þ F.R.: ; " n par

Denominador :

Þ F.R.: ; " n Ejemplo:

§


1. Al racionalizar se obtiene una

expresión de la forma: . Calcular: “a

+ b”. a) 2 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5

2. Al racionalizar obtenemos una

expresión de la forma:

proporcionar el valor de “k”. a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. Racionalizar e indicar el denominador:

a) 1 b) 3 c) 2 d) 6 e) 10

4. Racionalizar:

a) d) 1 b) e) c)

5. Reducir:

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

6. Reducir:

a) 0 b) c) d) e)

7. Efectuar:

a) 1 b) c) 2 d) 0 e)

9)252016(2

54

)252016(2 333

3333

333+-

=

+

+-=

nn ba ±

nn yx +

n 1nn 2nn 1n y......y•xx --- ++-

nn yx +

n 1nn 2nn 1n y......y•xx --- -+-

nn yx -

n 1nn 2nn 1n y......y•xx --- +++

bababbabaa

ba

15 45 35 225 35 4

55 -++++

=-

33

ba

3 6

7

kk7

3 2

7 6484E =

234+

)23(4 +

)23(4 - 23 -

)23(2 +

222122

7N +--

=

152

131

351M

--

-+

+=

5 52

3 23 +

30211

1

1027

3

348

4

--

-+

+

5

3

ÁLGEBRA–4AÑO

19

8. Indicar el denominador racional de:

a) 11 b) 23º c) 5 d) 3 e) 6

9. Indicar el denominador racional de:

a) 6 b) 1 c) 2 d) 3 e) 9

10. Racionalizar:

Dar su denominador: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

11. Racionalizar:

Dar su denominador: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

12. Simplificar:

a) 1 + x b) c)

d) 1 e) 0

TAREA DOMICILIARIA 1. Reducir:

a) 1 b) 2 c) d) e) N.A.

2. Reducir:

a) b) c) d) e) N.A.

3. Racionalizar:

e indicar el denominador. a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) N.A.

4. Racionalizar:

e indicar el denominador. a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) N.A.

5. Dividir 1 entre:

a) b) c) d) e) N.A.

53212

++

1510656

-+-

33 4816

M

+-

33 49

M

-

x2x1

x1x1x1R

2--

--+

+=

x2x1 +

x4x2+

)15(13

135

1M +÷÷ø

öççè

æ

-+

+=

15 +

15 -

456

151

531A +

+-

+=

51 + 51 - 53 +

53 -

488

26

+

-

)27()25(5

+-

24121833 +--

23 + 5 12 +

13 -

IBIMESTRE

20

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