7/25/2019 Algebra II USACH 1-2009-Gua N4-Esp Vect Con Producto Interior PDF

1/2

Recopilada por Marcel Saintard Vera desde 1997 a 2005

Para Curso de LGEBRA IIIngeniera Matemtica Primer Semestre de 2009

GUIA N4UNIDAD II: ESPACIOS VECTORIALES

II.- Espacios Vectoriales con Producto Interno.A.- Generalidades.

1.- En el espacio vectorial R3(R)con el p.i. euclidiano, calcule:

a) (3, 2, 1)(4, 1, 2) b) (7, 1, 2)(7, 1, 2)

c) (2, 1, 3)(x1, x2, x3) d) ji

e) (v1, v2, v3)(w1, w2, w3) f) ( )( )ji2 k2j3

2.- En el espacio vectorial R3(R)con el p.i. euclideano,

a) calcule: uvsi y .kjiu k2ji2v

b)

encuentre la magnitud de v = (4, 3, 1)y de w = .i3j2

c)

normalice el vector y el vector (3, 0, 1, 4)i3j2

3.- Construir un vector de longitud unitaria y ortogonal a cada uno de los vectores:

a) v1= (1, 1, 1) b)v2= (1, 0, 1)

4.- Para qu valores de kR, ues ortonormal a v, en cada caso?

a) u = (2, 1, 3) ; v = (1, 7, k)

b)u = (k, k, 1) ; v = (k, 5, 6)

5.- Sea WR4el s.e.v. que reune a todos los vectores ortogonales a v = (1, 0, 1, 0)y

w = (2, 3, 1, 2). Hallar basey dimW.B.- Ortonormalizacin

1.- Considere el espacio vectorial R2. Determine cules de las siguientes funcionesdefinen un producto interior en R2.

Si x = (x1, x2)R2; y = (y1, y2)R

2

a) f(x, y) = x2y1+ x1y2b) f(x, y) = x1y1

c) f(x, y) = x1y1 2x1y2 2x2y1+ 5x2y2

2.- Muestre que < , >es un producto interior en el espacio que se indica:

a) = xty enMnx1(R)b) = tr(BtA) en M3(R)

c) = en Pdx)x(q)x(p1

0n[x]

3.- Calcular la norma del vector vde acuerdo al producto interior que se indica:

a) v = (0, 3, 2)en R3 con el p.i. cannico.

b) v = (1, 5)en R2con el p.i. del ejercicio 1c).

c) v = [2 1 1 5]ten M4x1(R) con el p.i. de 2a).

d) v = I3 en M3(R)con el p.i. del ejercicio 2b).

e) v = 2x3 x + 3 en P3[x] con el p.i. del ejercicio 2c).

7/25/2019 Algebra II USACH 1-2009-Gua N4-Esp Vect Con Producto Interior PDF

2/2

2

4.- Considere R3 con el p.i. cannico. Use el proceso de ortonormalizacin deGramSchmidt para transformar la base {u1, u2, u3}en una base ortonormal.

a) u1= (1, 1, 0);u2= (1, 2, 1); u3= (1, 0, 1)

b) u1= (1, 2, 1); u2= (0, 1, 1); u3= (1, 0, 1)

5.- Sea Vcon p.i., Wsubespacio vectorial de Vy {v1, ..., vn}base de W. Demuestreque: W= {vV/ < v, vi> = 0;Vi= 1, 2, .... , n}V.

6.- Sea Vespacio vectorial con p.i. y sean U, Wsubespacios de V. Demuestre que:

UW WUy que ( U + W ) = UW.

7.- Sea Vespacio vectorial con p.i. y sea {v1, ...., vn}base ortonormal de V. Muestreque las coordenadas de vVrespecto de esta base son , , ........., . Encuentre las coordenadas de v = (2, 1, 3)R

3 respecto de la base

ortonormal que encontr en 4b).

8.- En R3con p.i. cannico, considere los s.e.v.: W1= y W2=

. Encuentre bases para W1

; W2

; (W1W2)

; W1

W2

; (W1+ W2); W1+ W2.

9.- En R3con p.i. cannico, considere el subespacio W =

a) Encuentre la proyeccin ortogonal del vector v = (1, 1, 1)en el subespacio W.

b) Encuentre la proyeccin ortogonal de ven W.

c) Determine el ngulo entre vy cada una de estas proyecciones (suman 90).

d) Exprese ven la forma v = w1+ w2 con w1Wy w2W.

10.- Sea W = un s.e.v. de R3. Determine laproyeccin ortogonal del vector v = ( 1, 1, 1, 1 ) en el subespacio W.

11.- Sea V un espacio vectorial con producto interior. Demostrar que si u y v sonortonormales entonces la distancia entre uy ves 2 .

12.- Considere los vectores u, vRn tales que 3v,4u = y vu = 6 .

a) Calcule .

b) Determine si los 3u + v y u 2v son ortogonales o no lo son. Justifique surespuesta.

13.- Comente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones

a) Si v1yv2son vectores no nulos y ortogonales tales que 12 v2v = entonces

los vectoresw

1= 2v

1 v

2 yw

2= v

1+ v

2 son ortogonales.b) Sean R3, con el p.i. cannico y los vectores u = (1, 0, 2)yv = (0, 1, 1). Si se

sabe que cos=vu

v,u

>

entonces el ngulo que forman u 2v y v + u mide

arc cos

1

7.