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efectuando:

P(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 1) q2(x)

+ 8(x + 1)(x - 1) + 5(x - 1) + 3

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8x2 - 8 + 5x - 5 + 3

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) q2(x)

+ 8x2 + 5x - 10

La división completa será en consecuencia:

P(x)÷(x -1)(x + 1)(x + 2) = q2(x)+ (8x2 + 5x -10)

Rpta.: 8x2 + 5x-10

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un polinomio P(x) de tercer grado y de primercoeficiente la unidad, al ser dividido entre elpolinomio:

(x2 + 3x + 1)

deja de residuo cero. ¿Entre cuáles de los siguientesbinomios es divisible P(x) si al dividir P(x) entre(x+1) deja de residuo -1?

a) x + 4 b) x = 2 c) x + 3

d) x - 1 e) x - 3

2. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomiof(x) si se sabe que es de tercer grado, su primercoeficiente es la unidad, es divisible entre:(x - 2)(x + 1) y carece de término cuadrático?

a) 4 b) 1 c) 2

d) -3 e) -4

3. Al dividir dos polinomios enteros en “x” seobserva que el término independiente del divi-dendo es 5 veces el término independiente deldivisor y el residuo 2 veces el del divisor. Hallarel término independiente del cociente.

a) 1 b) 3 c) 2

d) 4 e) 5

4. Hallar el valor de (m-n) sabiendo que el poli-nomio:

P(x) = 10x5 + x4 - 9x3 +16x2 + mx + n

es divisible entre (x - 1)(2x + 3)

a) 4 b) -4 c) 0

d) 8 e) -18

5. ¿Cuál es el valor de “m” si el polinomio:

P(x) = x3 + m(a - 1)x2 + a2 . (mx + a - 1)

es divisible entre x - a +1?

a) a b) a2 + 1 c) a + 1

d) -1 e) -a

6. ¿Qué valor deberá asignarse a “α” para que elpolinomio:

5x3 - α(x2 + x - 1)

admita como divisor a : 5x2 + 2x - 4?

a) -4 b) 6 c) 8

d) 8 e) 7

7. Al dividir un polinomio P(x) entre x3 + 1, seobtiene como resto:

6x2 + 2x - 3

Hallar la suma de los coeficientes del resto dedividir P(x) entre (x - 1)(x + 1), sabiendo que lasuma de los coeficientes de P(x) es 8.

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a) 6 b) 12 c) 4

d) 8 e) 5

8. Averiguar el valor de (a2 - b2) si la diferenciaentre los restos que se obtienen al dividir sepa-radamente el polinomio:

ax4 + bx3 + c

entre (x2+ 1) y (x3 + 1) respectivamente es:

2x - 12

a) -24 b) -16 c) -20

d) -12 e) -8

9. Hallar el resto que se obtiene al dividir:

x3a + 2x3b+1 + x3c+2 + 1–––––––––––––––––––

x2 + x + 1

a) x - 1 b) x c) x + 1

d) -x e) faltan datos

10. Hallar el resto de la división:

(x + 2)6 + 2x3 + 6–––––––––––––––––

(x + 3) (x + 1)

a) 3x + 1 b) 26x + 31 c) 4x + 1

d) 1 e) 2

11. Un polinomio P(x) al dividirlo entre x2 + x + 1 yx 2- x + 1 nos da como resto 1 - x y 3x + 5. Hallarel resto que daría al dividirlo entre:

x4 + x2 + 1

a) 1 b) 4 c) 6

d) 12 e) -6

12. El resto de dividir un polinomio M(x) entre (x - 2)5 es:

x3 -2x + 1

Otro polinomio N(x) al dividirlo entre (x - 2) dacomo resto:

2x2 + 3x - 6

Si en ambos casos el polinomio es el mismo, ¿Cuáles el resto de dividir M(x) + N(x) entre x2- 4x + 5?

a) 20x - 25 b) x + 5 c) 4x =2

d) 3x +1 e) x

13. Hallar a y b de manera que:

x3 + ax2 +11x + 6 y x3 + bx2 + 14x + 8

sea divisible por x2 + mx + n

a) a = 1 b) a = 5 c) a = 8b = 3 b = 7 b =10

d) a = 6 e) a = 4b = 7 b = 3

14. Un polinomio de 4to. grado en x, cuyo primercoeficiente es la unidad es divisible por (x2 - 1)y por (x - 4) y al dividirlo por (x + 3) da comoresiduo 56. Calcular cuánto dará de residuo aldividirlo por (x - 2).

a) 48 b) 12 c) 24

d) 50 e) 15

15. Encontrar un polinomio de sexto grado, cuyoT.I. es 100, que tenga raíz cuadrada exacta, quesea divisible entre (x2 + 2) y que al dividirloentre (x - 1) el resto obtenido sea 81. Hallar elresto del mencionado polinomio cuando se ledivide por (x + 1).

a) 36 b) 144 c) 225

d) 324 e) 441

16. Un polinomio de grado n + 1 cuyo primer coefi-ciente es 1 es divisible entre (xn + 2). Si el resto dedividirlo separadamente entre (x + 1) y (x + 2)son respectivamente 12 y 258. Calcular “n”.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 5

α

α α

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17. Tres números reales y diferentes verifican lascondiciones siguientes:

a3 + pa + q = 0

b3 + pb + q = 0

c3 + cp + q = 0

q ab + ac + bcCalcular : E = ––– (–––––––––––––)p abc

a) 1 b) -1 c) a

d) b e) c

18. Un polinomio P(x) de 2do. grado y el primer coe-ficiente la unidad al ser dividido entre (x - 2) dacomo resultado un cierto cociente Q(x) y unresto 6. Si se divide P(x) entre el cocienteaumentado en 3 la división resulta exacta. Hallarel resto de dividir P(x) entre (x - 5).

a) 5 b) 20 c) 10

d) 4 e) 12

19. Calcular “a” si se cumple la siguiente identidad:

3x5 - 2x4 + 3x - 7 ≡ a(x - 1)5 + b(x - 1)4

+ c(x - 1)3 + d(x - 1)2 + e(x - 1) + f

a) 22 b) 18 c) 10

d) 13 e) 8

20. Hallar el resto de la siguiente división:

a(x - b)2n + b(x - a)2n

–––––––––––––––––––––(x - a)(x - b)

a) ax - b b) bx - a

c) (a + b)2nx + b d) (a - b)2nx

e) (a + b)2nxCLAVE DE RESPUESTAS

1) B 2) E 3) B 4) C 5) D

6) C 7) D 8) A 9) C 10) B

11) C 12) A 13) D 14) A 15) E

16) C 17) B 18) B 19) B 20) D

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