TIPOS DE MATRICES

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta At

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Propiedades

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A ·  B)t = Bt · At

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz inversa (A-1)

A · A-1  = A-1 · A = I

Propiedades

(A · B)-1  = B-1 · A-1

(A-1)-1  = A

(k · A)-1  = k-1 · A-1

(A t)-1  = (A -1)t

Matriz conmutable

Dos matrices conmutan si A.B=B.A

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Matriz nilpotente

Si A es una matriz cuadrada y a partir de un nº real k, A k= 0 se dice que A es nilpotente de orden k .

Ej: A es nilpotente para K=2.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·At = I.

PARA CALCULAR INVERSA DE UNA MATRIZ:

1. Cálculo por el método de Gauss-Jordan Primero comprobamos que puede existir la inversa a través del cálculo del determinante. Si el determinante de A es distinto de 0 podemos calcularla.

Partimos de la matriz A y al lado colocamos la matriz unidad .Tras varias combinaciones por el método de hacer ceros por debajo de la diagonal principal y luego por encima, buscando que queden solo 1´s en la diagonal, llegamos a la matriz unidad a la izquierda y la inversa a la derecha.

(A|I) ~…….~(I|A-1)

Ej.:

F2 - F1 F3 + F2

F2 - F3 F1 + F2

(-1) F2

La matriz inversa es:

2. Cálculo por adjuntos

A-1 =

Ej.:

Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante:

Después calculamos cada uno de los adjuntos:

PARA CALCULAR DETERMINANTES:

SarrusLos términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Adjuntos Un determinante se puede calcular a través del producto de los elementos de una de sus filas ó columnas por sus adjuntos.Recordamos que los adjuntos son Aij = (-1)i+j αij

Ej: Calculo este determinante a través del producto de los elementos de la fila 1por sus adjuntos.

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Para calcular determinantes por adjuntos, también existe la regla de Chio, haciendo que la fila ó columna por la que vamos a calcular el determinante tenga el mayor número de 0´s, de manera que el cálculo por adjuntos sea más abreviado.

Ej: Sumando a la tercera columna la primera columna multiplicada por -1 y ala cuarta columna la primera multiplicada por -2 resulta:

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0    Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

PARA CALCULAR RANGO DE UNA MATRIZ:

Por Gauss-Jordan Haciendo ceros por debajo de la diagonal principal con el objetivo de anular filas enteras. El rango es el número de las filas no nulas que han quedado, es decir, linealmente independientes.

Por determinantes Elegimos menores de orden 1 que sean distinto de 0, si hay alguno tenemos rango 1.Seguimos con los menores de orden 2, y si encontramos 1 distinto de 0 ya tenemos rango 2 y así sucesivamente. Podemos decir que el rango es el orden del menor de mayor dimensión no nulo.Ej:

1. Podemos descartar una línea si:

a)Todos sus coeficientes son ceros.

b)Hay dos líneas iguales.

c)Una línea es proporcional a otra.

d)Una línea es combinación lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1

+ c2

2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un menor de orden 1 que no sea cero.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 si existe algún menor de orden 2 que no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe algún menor de orden 3 que no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2.

DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Teorema de Rouché-Fröbenius DETERMINADO (nº ec. =nº incógnitas)

Si ran(A)=ran(A|B) => SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADO (nº ec. < nº incógnitas)

Si ran(A)=/=ran(A|B) => SISTEMA INCOMPATIBLE

Hallamos los rangos por:

1)Por GAUSS-JORDAN(Mirar cálculo de rango)

2)Por determinantes(Mirar cálculo de rango)

Solucionamos el sistema por:

1) Por GAUSS-JORDAN Si ya hemos aplicado Gauss en el cálculo de rangos para la discusión, entonces ya lo tenemos solucionado también.

2) Por CRAMERPara aplicar Cramer, |A|=/=0.

X=

Y=

Ej.

3) Por ecuaciones matriciales, cálculo de la inversa.

AX=B => A-1 A X= A-1B => X= A-1B

CONSEJOS:

Si tenemos que discutir un sistema sólo con números, aplicaremos determinantes y CRAMER.

SISTEMAS HOMOGÉNEOSSon aquellos que están formados por ecuaciones igualadas a 0

Se pueden dar dos casos

1) Si |A|=/=0 =>SCD =>Solución trivial x=y=z=02) Si |A|=0 =>SCI

ran(A) = ran (A|B)=3 = nº incógnitas