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ALGUNOS TIPOS DE AUTOSEMEJANZA EN FRACTALESGENERADOS A TRAVÉS DE SISTEMAS ITERADOS DE
FUNCIONES
LUISA FERNANDA HIGUERAS MONTAÑO
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
PROGRAMA ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
SANTIAGO DE CALI
2011
ALGUNOS TIPOS DE AUTOSEMEJANZA EN FRACTALESGENERADOS A TRAVÉS DE SISTEMAS ITERADOS DE
FUNCIONES
Luisa Fernanda Higueras Montaño
Trabajo de grado para optar al título de matemática.
Director:Msc. Héber Mesa P.
UNIVERSIDAD DEL VALLEFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
PROGRAMA ACADÉMICO DE MATEMÁTICASSANTIAGO DE CALI
2011
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
PROGRAMA ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
Luisa Fernanda Higueras Montaño, 1988
ALGUNOS TIPOS DE AUTOSEMEJANZA EN FRACTALESGENERADOS A TRAVÉS DE SISTEMAS ITERADOS DE
FUNCIONES
Fractales, Atractores de Sistemas Iterados de Funciones, Autosemejanza Topológica,Autosemejanza Estricta.
SANTIAGO DE CALI
2011
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.
.
AGRADECIMIENTOS
Al Msc. Héber Mesa, director del trabajo.
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CONTENIDO
INTRODUCCIÓN.....................................................................................1
1. PRELIMINARES..................................................................................2
1.1. EL ESPACIO MÉTRICO H (X ).....................................................................21.2. EL ESPACIO DE LOS CÓDIGOS..................................................................71.3. SISTEMAS ITERADOS DE FUNCIONES (SIF).............................................11
1.3.1. Definición.........................................................................................111.3.2. Relación entre el espacio de códigos y un SIF.....................................13
2. AUTOSEMEJANZA TOPOLÓGICA VERSUS SIF................................20
2.1. ALGUNOS ATRACTORES DE SIF...............................................................212.2. AUTOSEMEJANZA TOPOLÓGICA.............................................................252.3. CONDICIONES PARA GENERAR ATRACTORES
AUTOSEMEJANTES..................................................................................27
3. AUTOSEMEJANZA SEGÚN HUTCHINSON.......................................29
3.1. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORIA DE LA MEDIDA........................293.2. MEDIDA Y DIMENSIÓN DE HAUSDORFF.................................................323.3. LA MEDIDA NATURAL SOBRE
(ΣN, ρ
).....................................................35
3.4. DEFINICIÓN...............................................................................................403.5. SOBRE LA DEFINICIÓN DE CONJUNTO FRACTAL...................................46
4. SOBRE LA CONDICIÓN DEL CONJUNTO ABIERTO,EN EL PLANO..................................................................................484.1. CONDICIONES EQUIVALENTES A OSC....................................................484.2. SIF CON INTERSECCIONES FINITAS VERSUS OSC..................................55
i
CONCLUSIONES..................................................................................60
BIBLIOGRAFÍA.....................................................................................61
ii
.
RESUMEN
Los fractales son objetos matemáticos que presentan dos características principales, laprimera que son conjuntos “demasiado irregulares” para ser tratados a través de la geo-metría tradicional; la segunda, que esta irregularidad está presente a cualquier escala.Formalmente estas características se describen por medio de los conceptos de autoseme-janza y dimensión. En este trabajo se realiza un acercamiento a la noción de autoseme-janza en un fractal, mediante el estudio de la autosemejanza topológica, propuesta porJ. Charatonik y A. Dilks [2], y la autosemejanza estricta, propuesta por J.E. Hutchinson[10], en fractales generados como atractores de Sistemas Iterados de Funciones. Poreste motivo se estudiarán conceptos como: la medida y dimensión de Haussdorff de unconjunto, y la condición del conjunto abierto Moran.
iii
INTRODUCCIÓN
En los años 70’s B. Mandelbrot introdujo una nueva forma de tratar los objetos de lanaturaleza, a través de lo que denominó “una nueva geometría de la naturaleza” [1], enla que sus objetos (nubes, árboles, montañas, líneas costeras, etc) no serían tratadosmediante círculos, cuadrados, esferas o curvas suaves, entre otros; sino por medio deobjetos más similares a estos, a los que nombró “fractales”. Los fractales, como objetosmatemáticos, son conjuntos en los que su “irregularidad” y “fragmentación” se puedeapreciar a cualquier escala; Mandelbrot se refiere a ellos como “una forma geométricafragmentada que puede ser dividida en partes, cada una de las cuales es (al menosaproximadamente) una copia reducida de tamaño del todo” [1]. Si bien B. Mandelbrotintrodujo el término fractal alrededor de 1970, las herramientas matemáticas utilizadaspara estudiarlos ya habian sido desarrolladas a principios del siglo XX.Este documento constituye un acercamiento a la idea de conjunto fractal, a travésde los sistemas iterados de funciones. Aquí se explora, principalmente, la propiedad deautosemejanza que presentan estos conjuntos, que consiste en que “el todo está formadopor varias copias de si mismo, sólo que reducidas y colocadas en diferente posición” [2].El documento está dividido en cuatro capítulos. El primero, presenta los conceptos funda-mentales para desarrollar una discusión sobre el concepto de autosemejanza en fractalesgenerados a través de Sistemas Iterados de Funciones. El segundo, trata sobre el concep-to de autosemejanza desde un punto de vista topológico; en él se discute la noción deautosemejanza propuesta por J. Charatonik y A. Dilks [2]. El tercero, estudia el conceptode autosemejanza estricta propuesta por J.E. Hutchinson [10], el cual está ligado a losSistemas Iterados de Funciones en Rd; en este capítulo se presenta la demostración delresultado de Hutchinson de que bajo ciertas condiciones, entre ellas la Condición delConjunto Abierto, un Sistema Iterado de Funciones generará conjuntos estrictamenteautosemejantes. Por último, el cuarto capítulo presenta una discusión sobre la Condicióndel Conjunto Abierto (OSC) en R2, expone condiciones equivalentes a ella, y mues-tra condiciones suficientes y necesarias para que un Sistema Iterado de Funciones lasatisfaga.Los conceptos básicos sobre análisis y topología de los que se hace uso aparecen princi-palmente en [3] y [4].
1
.
1. PRELIMINARES
Como se dijo en la introducción, este documento trata un tipo especial de fractalesobtenidos mediante Sistemas Iterados de Funciones; por esta razón, antes de iniciarun estudio sobre ellos conviene saber qué es un Sistema Iterado de Funciones (SIF) ysu atractor, además de conocer algunas propiedades de estos últimos. En este capítulose introducen algunos conceptos básicos sobre los SIF y sus atractores, que ayudarán acomprender la estructura de los conjuntos fractales. Del grupo de conceptos que aparecenen el capítulo, se destacan: el espacio métrico H (X ), lugar en que habitan los fractales,la métrica definida sobre éste, el espacio de códigos asociado a un SIF, y la relación queexiste entre éste y el atractor del SIF. Los resultados expuestos aquí, salvo algunos sobreel espacio de códigos, fueron tomados de [5].
1.1. El ESPACIO MÉTRICO H (X )
Esta sección describe algunas propiedades del espacio en que viven los objetos que másadelante serán definidos como fractales, entre sus características cabe resaltar que esun espacio métrico completo. Este espacio será llamado espacio de Hausdorff pues lamétrica que se define sobre él es conocida como métrica de Hausdorff.
Definición 1.1.1. (Espacio de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio métrico completo;definimos H (X ) como el espacio formado por los subconjuntos compactos no vacíos deX.
Definición 1.1.2. Sean A, B ∈ H (X ). Definimos d(A,B) = max{d(a, B) | a ∈ A},donde d(a, B) = mın{d(a, y) | y ∈ B}.
La función definida anteriormente no es una métrica, pues se puede observar que siA ⊂ B, entonces d(A,B) = 0.
Definición 1.1.3. (Métrica de Hausdorff). Sean A, B ∈ H(X), se define:
h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)}
2
Es importante observar que los máximos y mínimos mencionados en la definición 1.1.2existen; esto se debe a que las funciones g(x) = d(a, x) para x ∈ B, y f(x) = d(x,B)
para x ∈ A son continuas y están definidas sobre conjuntos compactos. La siguienteproposición muestra que la función de la definición 1.1.3 es una métrica sobre H(X).
Proposición 1.1.1. La función h : H (X )×H (X )→ R de la definición 1.1.3 es unamétrica sobre H (X ).Demostración. Se omitirá la demostración de la propiedad reflexiva y el hecho que lafunción es siempre positiva, pues se siguen de la definición de h. Sean A, B, C ∈ H (X ).
h(A,B) = 0 ⇔ A = B. De la definición de h se tiene que si A = B entoncesh(A,B) = 0. Para demostrar el reciproco de este enunciado, tomemos a ∈ A.Dado que h(A,B) = 0 entonces d(A,B) = 0, es decir d(a,B) = d(a, b0) = 0 paraalgún b0 ∈ B y puesto que d es métrica en X se tiene a = b0 ∈ B, esto es A ⊆ B.Análogamente se demuestra que B ⊆ A, luego A = B.
h(A,B) ≤ h(A,C) + h(C,B). Sean a ∈ A, b ∈ B y c ∈ C. De la desigualdadtriangular en d tenemos d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b). Tomando el mínimo sobreb ∈ B se tiene,
mın{d(a, b) | b ∈ B} ≤ mın{d(a, c) + d(c, b) | b ∈ B}
= d(a, c) + mın{d(c, b) | b ∈ B}
que equivale a d(a, B) ≤ d(a, c)+d(c, B). Esta desigualdad se tiene para cualquiera ∈ A y c ∈ C. Escogiendo a = a0, c = c0 de modo que d(A,B) = d(a0, B) yd(a0, C) = d(a0, c0); al reescribir la desigualdad para a0 y c0 se tiene,
d(A,B) ≤ d(a0, C) + d(c0, B) ≤ d(A,C) + d(C, B).
Análogamente se demuestra que d(B,A) ≤ d(B,C) + d(C, A); de las dos últimasdesigualdades se sigue h(A, B) ≤ h(A, C) + h(C, B).
La siguiente propiedad sobre la métrica de Hausdorff, muestra como actúa esta funciónen relación con la unión de conjuntos compactos. Esta propiedad será de gran utilidaden la sección 1.3.
Proposición 1.1.2. Si A,B,C y D ∈ H(X) entonces
h(A ∪B, C ∪D) ≤ max {h(A, C), h(B,D)}
3
Demostración. Sean A, B, C, D ∈ H(X), entonces
d(A ∪B, C ∪D) = max {mın {d(x, y) | y ∈ C ∪D} | x ∈ A ∪B}
= max{
mın{d(x, C), d(x, D)
}| x ∈ A ∪B
}= max{max{mın{d(x, C), d(x, D)} | x ∈ A},
max{mın {d(x, C), d(x, D)} | x ∈ B}}
≤ max{
max{d(x, C) | x ∈ A
}, max
{d(x, D) | x ∈ B
}}= max
{d(A, C), d(B, D)
}De manera similar se demuestra que d(C ∪ D, A ∪ B) ≤ max
{d(C, A), d(D, B)
}.
Ésto completa la demostración.
Hasta ahora se ha probado que el Espacio de Hausdorff es un espacio métrico. Lossiguientes resultados dan cuenta de algunas propiedades de este espacio, principalmentela de completez.
Definición 1.1.5. Sean S ⊆ X y λ ≥ 0, definimos el conjunto
S + λ = {x ∈ X | ∃ s ∈ S, d(x, s) ≤ λ}
La definición anterior (ver figura 1.1.1) se puede interpretar como una dilatación o“hinchazón” del conjunto S en un parámetro λ.
Figura 1.1.1. Dilatación del conjunto S.
Lema 1.1.1. Si S es un conjunto compacto no vacío de X y λ ≥ 0 entonces S +λ escerrado.Demostración. Sean S y λ como en el enunciado y tomese x ∈ X�(S + λ), entoncesr = d(x, S) = d(x, s0) > λ. Procediendo por contradicción y suponiendo que existez ∈ B(x; r − λ) ∩ (S + λ), se tiene que d(s, z) ≤ λ para algún s ∈ S de donded(s, x) ≤ d(s, z) + d(z, x) < r, lo que contradice r = d(x, S). Ésto muestra queX�(S + λ) es abierto, es decir, S + λ es cerrado.
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Lema 1.1.2. Sean (X, d) un espacio métrico completo, A, B ∈ H(X) y ε > 0
entonces h(A, B) ≤ ε si y sólo si A ⊆ B + ε y B ⊆ A+ ε.
Demostración. Dados A, B ∈ H(X). Si h(A, B) ≤ ε, entonces d(A, B) ≤ ε. Seaa ∈ A arbitrario, tenemos que d(A, B) ≥ d(a, B) y d(a, B) = d(a, b0) para algúnb0 ∈ B, ésto es a ∈ B+ ε. Así A ⊆ B+ ε. Análogamente se demuestra que B ⊆ A+ ε.Si A ⊆ B + ε, entonces para todo a ∈ A existe b ∈ B tal que d(a, b) ≤ ε. Éstodemuestra que d(a,B) ≤ ε para todo a ∈ A, de aquí d(A,B) ≤ ε. De manera análogase muestra que d(B,A) ≤ ε, es decir, h(A, B) ≤ ε.
Teorema 1.1.1. Si (X, d) es un espacio métrico completo, (H (X ), h) es un espaciométrico completo. Además, si {An}n∈N ⊆ H(X) es una sucesión de Cauchy, su límitees igual a:
A = {a ∈ X | existe {ani}i∈N, ani
∈ Aniy lımi→∞
ani= a}
Demostración. Sean {An}n∈N una sucesión de Cauchy en H(X), y A como en el enun-ciado del Teorema. Esta demostración se dividirá en los siguientes pasos:
1. A 6= ∅.
2. Para ε > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ N , entonces A ⊆ An + ε.
3. A es compacto.
4. lımn→∞
An = A.
Veamos la demostración:
1. Para mostrar que A 6= ∅, se demostrará que existe una sucesión de Cauchy {ani} ⊆
X, tal que ani∈ Ani
para todo i ∈ N. Sea ε > 0. Dado que {An}∈N es una sucesiónde Cauchy, existe Ni ∈ N tal que h(An, Am) < 1
2isiempre que m, n ≥ Ni.
Es posible elegir Ni < Ni+1. Tomando aN1 ∈ AN1 y teniendo en cuenta queh(AN1 , AN2) <
12, se afirma que existe aN2 ∈ AN2 tal que d(aN1 , aN2) <
12, pues
h(AN1AN2) ≥ d(aN1 , AN2) = d(aN1 , z) para algún z ∈ AN2 ; se denota z = an2 .De manera análoga existe aN3 ∈ AN3 tal que d(aN2 , aN3) < 1
22. A través del
proceso de inducción matemática se puede ver que si Ni > Ni+1 y se ha construidoaNi
, existe aNi+1∈ ANi+1
tal que d(aNi, aNi+1
) < 12i. Veamos que {aNi
} es unasucesión de Cauchy en X. Sin perdida de generalidad supongamos que j ≤ k,entonces
d(aNj, aNk
) ≤ d(aNj, aNj+1
)+d(aNj+1, aNj+2
)+. . .+d(aNj+(k−j−1), aNk
) <∞∑m=j
12m.
5
De donde si j ≥ N tenemos que d(aNj, aNk
) < ε. Luego {aNi} es una sucesión de
Cauchy en X. De la completez de X se sigue lımi→∞
aNi= a existe y está en X, por
lo tanto A 6= ∅.
2. Veamos ahora que si n es suficientemente grande A ⊆ An + ε. Dado ε > 0, existeN ∈ N tal que si n,m ≥ N , entonces h(An, Am) < ε luego Am ⊆ An + ε (verLema 1.1.2). Tomando a ∈ A, se tiene que a = lım
i→∞aNi
para alguna sucesión{aNi} tal que aNi
∈ ANi. Debido a ésto, existe N ′ ∈ N tal que si i ≥ N ′, sin
perdida de generalidad se considera N ′ ≥ N , se cumple d(a, aNi) < ε. De otro
lado puesto que h(ANi, An) < ε, ésto es, ANi
⊆ An + ε entonces aNi∈ An + ε
para todo i ≥ N ′; por lo tanto, dado que An + ε es cerrado (ver Lema 1.1.1), seconcluye que a ∈ An + ε.
3. Supongamos que A no es compacto, es decir existe una sucesión {xj}j∈N en Aque no posee subsucesiones convergentes. En otras palabras existe ε > 0 tal qued(xj, xk) ≥ ε, si j 6= k. Ahora si n ≥ N ′, entonces A ⊆ An + ε
3, luego para
cada xj existe yj ∈ An tal que d(xj, yj) ≤ ε3. De otro lado, puesto que An
es compacto, existe {ynj}j∈N convergente, por lo tanto si j ≥ N ′′ tenemos que
d(ynj, ynk
) < ε3. DefinamosN = max {N ′, N ′′}, al aplicar la desigualdad triangular
tenemos d(xnj, ynk
) ≤ d(xnj, ynj
) + d(ynj, ynk
) + d(ynk, xnk
) < ε lo cual es unacontradicción. Luego A es compacto.
4. Para demostrar que lımn→∞
An = A, es suficiente mostrar que dado ε > 0 existe unN ∈ N tal que si n ≥ N , An ⊆ A + ε, pues del item anterior se tiene que si n essuficientemente grande A ⊆ An + ε. Sean ε > 0 y N tales que para m, n ≥ N
se satisface h(Am, An) ≤ ε2, y así Am ⊆ An + ε
2. Veremos que An ⊆ A + ε, para
ello considerese y ∈ An. De otro lado debido a que {An}n∈N es una sucesión deCauchy, existe una sucesión creciente de enteros n < N1 < N2 . . . < Nk < . . .
tal que si m, k ≥ Nj entonces Am ⊆ Ak + ε2j+1 . Notese que An ⊆ AN1 + ε
2, y
puesto que y ∈ An existe xN1 ∈ AN1 tal que d(y, xN1) ≤ ε2. Dado que xN1 ∈
AN1 , existe xN2 ∈ AN2 tal que d(xN1 , xN2) ≤ ε22. De manera análoga aplicando
inducción matemática podemos construir una subsucesión {xNi} tal que xNi
∈ ANi
y d(xNi, xNi+1
) ≤ ε2i+1 . Al aplicar desigualdad triangular varias veces se puede
ver que: d(y, xNj) ≤ ε para todo j y también que {xNi
} es de Cauchy, luegolımi→∞
xNi= x ∈ A (definición de A) y d(y, xNi
) ≤ ε implican que d(x, y) ≤ 2ε
de donde y = x ∈ A. Por lo tanto si n es suficientemente grande An ⊆ A + ε.Ésto completa la demostración, lım
n→∞An = A, es decir H(X) es un espacio métrico
completo.
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1.2. EL ESPACIO DE LOS CÓDIGOS
El espacio de códigos o direcciones es subyacente a los objetos de los que trata estedocumento, más aún, en una sección posterior veremos que los elementos del espacioindicarán cómo encontrar un punto de un fractal. Esta sección muestra algunas propie-dades del espacio entre ellas que es un espacio métrico compacto, perfecto y totalmentedisconexo.
Definición 1.2.1. Sea Σ = {1, . . . , N}, con N ∈ N. Se define el espacio de códigos(o de direcciones) como ΣN = {α : N→ Σ | α es funcion}.
A la luz de la definición anterior tenemos que los elementos de ΣN son sucesionesα = (αi)i∈N, donde cada αi = α(i) ∈ Σ, se escribirá α = α1α2 . . .. Cada uno de loselementos de ΣN será llamado código semi-infinito sobre el alfabeto Σ. DenotaremosΣ∗ al conjunto de los códigos finitos sobre el alfabeto, incluyendo el código λ = ∅; siα = α1α2 . . . αn entonces el código semi-infinto α será α = α1α2 . . . αnα1α2 . . . αn....Es posible definir un orden sobre Σ∗ de la siguiente manera: dados α, β ∈ Σ∗, α ≤ β
sólo si β = αγ para algún γ ∈ Σ∗, aquí αγ es la concatenación de los dos códigos, másaún dados α ∈ Σ∗ y β ∈ ΣN diremos que α ≤ β sólo si β = αγ para algún γ ∈ ΣN.Además si α ∈ Σ∗ entonces α = α1α2 . . . αn, y |α| = n es la longitud del código finito.
Definición 1.2.2. Sean α, β ∈ ΣN definimos dc(α, β) =∞∑i=1
|αi−βi|(N+1)i
.
Teorema 1.2.1. (ΣN, dc) es un espacio métrico.
La demostración formal del Teorema 1.2.1 no se presenta, pues las condiciones de unamétrica son consecuencia inmediata de las propiedades de la función valor absolutoinvolucrada en la definición de dc. Sin embargo, vale la pena notar que la función seencuentra bien definida, pues se encuentra acotada superiormente por la serie geométrica∞∑i=1
N(N+1)i
que es convergente.
Las siguientes lineas dan cuenta de algunas propiedades topológicas importantes delespacio de los códigos, entre ellas que (ΣN, dc) es compacto; también se muestranalgunos conjuntos abiertos especiales de este espacio métrico.
Proposición 1.2.1 Sean α, β ∈ ΣN; entonces dc(α, β) < 1(N+1)k
si y sólo si αi = βi
para todo i = 1, . . . , k.Demostración. Sean α, β ∈ ΣN. Se demostrará en primer lugar la segunda implicación,Obsérvese que si αi = βi para todo i = 1, . . . , k, entonces;
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dc(α, β) =∞∑i=1
| αi − βi |(N + 1)i
=∞∑
i=k+1
| αi − βi |(N + 1)i
≤∞∑
i=k+1
N − 1
(N + 1)i
=N − 1
N(N + 1)k
Ésto es dc(α, β) < 1(N+1)k
. Para demostrar la primer implicación se procederá porcontradicción. Supongamos que existe 1 ≤ i0 ≤ k tal que αi0 6= βi0 , entonces setiene dc(α, β) ≥ |αi0
−βi0 |(N+1)i0
. Además obsérvese que 1 ≤| αi0 − βi0 |≤ N , de dondedc(α, β) ≥ 1
(N+1)i0≥ 1
(N+1)kque es una contradicción, por lo tanto αi = βi para
i = 1, . . . , k. Ésto concluye la demostración de la proposición.
Proposición 1.2.2. Sea αk = α1α2 . . . αk un código finito de k componentes, entoncesel conjunto
[αk]
={β ∈ ΣN | βi = αi, i = 1, . . . , k
}es abierto en el espacio métrico
ΣN. Se denotará Σ(k) al subconjunto de Σ∗ formado por los códigos de k componentes.Demostración. Sean αk, Σ(k) ,
[αk]como en el enunciado y tomemos β ∈
[αk]. Se
demostrará que la bola B(β; 1(N+1)k+1 ) está contenida en
[αk], para ello tomemos δ ∈
B(β; 1(N+1)k+1 ). De la proposición 1.2.1 se sigue que βi = δi para todo i = 1, . . . , k+1;
puesto que β ∈[αk]entonces δ ∈
[αk]y así B(β; 1
(N+1)k+1 ) ⊆[αk].
Las demostracioness de las proposiciones 1.2.3 y 1.2.4 fueron realizadas por el autorde este documento, en ellas se utilizan como base para la demostración las ideas de ladiagonal de Cantor y la busqueda de un punto de acumulación del Teorema de Bolzano-Weierstrass [3].
Proposición; 1.2.3. (ΣN, dc) es un espacio métrico completo.Demostración. Si {xn} es una sucesión de Cauchy en ΣN, existe N1 ∈ N tal que paran,m ≥ N1 se tiene dc(xn, xm) < 1
(N+1)2. Aplicando nuevamente este argumento se
garantiza la existencia de N2 ∈ N tal que para n,m ≥ N2 se tiene dc(xn, xm) < 1(N+1)3
.Sin perdida de generalidad podemos suponer que N1 < N2, y razonando de maneraanáloga existen N1 < N2 < N3 . . . < Nk . . . tales que dc(xn, xm) < 1
(N+1)k+1 siempreque n,m ≥ Nk y k ∈ N.Consideremos ahora la subsucesión {xNk
} generada por los índices Nk. Veremos queesta subsucesión es convergente. Del modo en que se construyeron los Nk se sigue quedc(xNk
, xNk−1) < 1
(N+1)ky de la proposición 1.2.1 tenemos xNk,i = xNk−1,i para todo
i = 1, . . . , k, en esta notación xNk,i indica la i−ésima componente de xNk. Definamos
8
x = xN1,1xN2,2 . . . xNk,k . . . entonces dc(xNk, x) < 1
(N+1)k, por lo tanto si tomamos
k suficientemente grande dc(xNk, x) < ε para ε > 0. Hemos demostrado que {xNk
}converge a x y como {xn} es de Cauchy, ésta también converge a x.
Teorema 1.2.2. (ΣN, dc) es un espacio métrico compacto.Demostración. En esta demostración consideraremos una sucesión (con infinitos ter-minos) en ΣN y mostraremos que posee una subsucesión convergente. Sea {xj} unasucesión en ΣN.En primer lugar veremos que el conjunto Tk = {
[αk]| αk ∈ Σ(k)} es un cubrimiento
abierto y finito (Tk tiene cardinalidad Nk) de ΣN; para mostrar que es un cubrimientotomamos β ∈ ΣN, con las primeras k−componentes de β formamos βk ∈
∑(k) entoncesβ ∈
[βk]; el cubrimiento es abierto por la proposición 1.2.2.
Puesto que {xj} es un conjunto infinito, algún elemento de Tk tiene infinitos elementosde {xj}, llamemos a este elemento
[αk], entonces {xj1}j1∈N ⊆
[αk]. De otro lado se
define f(α, k) = α1α2 . . . αk para α ∈ ΣN y k ∈ N, y A1 = {[f(α1α2 . . . αki1, k + 1)] |i ∈ Σ}. Veamos que A1 es un cubrimiento abierto y finito de
[αk]. Es claro que
[f(α1α2 . . . αki1, k + 1)] ⊆[αk]y es abierto (proposición 1.2.2) para todo i. Ahora
sea β ∈[αk], entonces β = α1α2 . . . αkiδ para algún δ ∈ ΣN e i ∈ Σ, es decir,
β ∈ [f(α1α2 . . . αki1, k+1)]. Ésto demuestra que A1 es un cubrimiento abierto con car-dinalidad N . Como {xj1} es infinito existe un i1 ∈ N tal que [f(α1α2 . . . αki11, k + 1)]
contiene infinitos elementos de {xj1} es decir, existe una subsucesión de {xj1}, que deno-taremos {xj1,j2}, contenida en [f(α1α2 . . . αki11, k+1)]. Podemos aplicar el mismo razo-namiento a [f(α1α2 . . . αki11, k+1)] entonces A2 = {[f(α1α2 . . . αki1i1, k+2)] | i ∈ Σ}es un cubrimiento abierto y finito de [f(α1α2 . . . αki11, k+1)] y existe una subsucesión deinfinitos términos {xj1,j2,j3} de {xj1,j2} contenida en [f(α1α2 . . . αki1i21, k+2)] para al-gún i2 ∈ N; si repetimos el proceso n veces, An = {[f(α1α2 . . . αki1i2 . . . in−1i1, k+n)] |i ∈ Σ} es un cubrimiento abierto y finito de [f(α1α2 . . . αki1i2 . . . in−11, k + n − 1)] yexiste una subsucesión de infinitos términos {xj1,j2,j3,...jn} de {xj1,j2,...,jn−1} contenida en[f(α1α2 . . . αki1i2 . . . in−1in1, k + n)] para algún in ∈ N.En segundo lugar, definiremos una subsucesión de {xj} y mostraremos que es de Cauchy,por lo que de la proposición 1.2.3. esta subsucesión converge y ésto concluye la demos-tración. Ultilizamos axioma de elección como sigue: escogemos un xk1 de {xj1}, de lamisma manera elegimos {xj1,j2} tal que xk1 6= xk2 (xk2 ∈ {xj1,j2}) ésto es posible por-que los conjuntos son infinitos, en general xkn ∈ {xj1,j2,j3,...jn} es escogido diferente delos anteriores. De la proposición 1.2.1 y debido a la construcción de los xkn tenemos,
dc(xkn+1 , xkn) <1
(N + 1)k+(n−1)
De otro lado sean n,m tales que m = n + t , usando la desigualdad triangular variasveces para n suficientemente grande se tiene,
9
dc(xn+t, xn) ≤ dc(xkn , xkn+1) + dc(xkn+1 , xkn+2) + . . .+ dc(xkm−1 , xkm)
≤ 1
(N + 1)k+(n−1)+
1
(N + 1)k+n+ . . .+
1
(N + 1)k+(m−2)
≤ 1
(N + 1)k
∞∑i=n−1
1
(N + 1)i→ 0
Ésto demuestra que la subsucesión es de Cauchy como se deseaba demostrar.
Los resultados anteriores han provisto al espacio de códigos de dos propiedades im-portantes, la compacidad y la completez; sin embargo existen dos propiedades másque resultan muy interesantes: la primera consiste en que dado α ∈ ΣN la sucesiónxn = α1 . . . αn111 . . . satisface que lım
n→∞xn = α, es decir todos los puntos de ΣN son de
acumulación; la segunda consiste en que todo subconjunto con al menos dos elementoses disconexo, para verificar ésto tomemos A ⊆ ΣN con más de un punto y α, β elementosdistintos en A; es posible definir
h : A → {0, 1}
h(γ) =
1; si γk = αk
0; si γk 6= αk
donde αk es tal que αk 6= βk y las topologías en A y {0, 1} corresponden a la de subespa-cio y la discreta, respectivamente. Bajo estas condiciones B(γ; 1
(N+1)k+1 )∩A ⊆ h−1({i})para γ ∈ A e i = 0, 1, es decir, h es una función continua y A = h−1({0}) ∪ h−1({1})ambos no vacíos, pues β ∈ h−1({0}) y α ∈ h−1({1}) y son disjuntos; luego A es noconexo. En otras palabras, ΣN es perfecto y totalmente disconexo. Una consecuenciainmediata de estas características es el siguiente Teorema.
Teorema 1.2.3 El espacio de códigos es homeomorfo al conjunto de Cantor.Demostración. Sabemos que (ΣN, dc) es un espacio métrico compacto, totalmente dis-conexo y perfecto por lo que de la caracterización topológica del conjunto de Cantor [6]se sigue el resultado.
Hasta ahora el espacio de direcciones ha sido estudiado bajo la topología generada porla métrica dc; sin embargo existen otras métricas que se pueden definir sobre él, de talmanera que el espacio de códigos con la topología generada por ellas sea homemorfo alque se ha trabajado hasta ahora. Este punto lo resume el siguiente Teorema que será degran utilidad en el capítulo 3.
Teorema 1.2.4. Dados 0 < r < 1 y α, β ∈ ΣN. La función ρr(α, β) = rm(α,β) dondem(α, β) = max{k ∈ N | αi = βi para i = 1, . . . , k} (puede ser infinito) es una métrica
10
sobre ΣN. Además (ΣN, dc) y (ΣN, ρr) son homeomorfos.Demostración. En primer lugar se demostrara que ρr es una métrica. Es inmediatoque la función es positiva y simetrica. De otro lado, ρr(α, β) = 0 sólo es posible sirm(α,β) = 0, y esta última desigualdad se tiene si y sólo si m(α, β) = ∞, lo queequivale a α = β. Resta demostrar que ρr satisface la desigualdad triangular, para ellosean α, β, γ ∈ ΣN y supongamos que m(α, γ) ≤ m(γ, β) de aquí m(α, β) ≥ m(α, γ)
luego ρr(α, β) ≤ ρr(α, γ) ≤ ρr(α, γ) + ρr(γ, β). Análogamente se demuestra param(α, γ) ≥ m(γ, β).Veamos ahora que (ΣN, dc) y (ΣN, ρr) son homeomorfos, para ésto consideremos lafunción identidad f(α) = α de (ΣN, dc) en (ΣN, ρr), ε ≥ 0 y k tal que 1
(N+1)k< ε y
rk < ε, entonces si dc(α, β) < 1(N+1)k
tenemos que ρr(α, β) ≤ rk < ε pues αi = βi parai = 1, . . . , k. Hasta aqui se ha demostrado que f es biyectiva continua, está definidasobre un compacto y su imagen está contenida en un espacio métrico, por lo tanto esun homeomorfismo [4].
Una conclusión inmediata del Teorema anterior es que dado que los conjuntos [α] sonabiertos en (ΣN, dc) y la identidad es un homemorfismo con (ΣN, ρr), entonces losconjuntos [α] también son abiertos en (ΣN, ρr); más aún dado β ∈ (ΣN, ρr) la bolaB(β; rk) = [β(k+1)].
1.3. SISTEMAS ITERADOS DE FUNCIONES (SIF)
1.3.1. Definición
Los Sistemas Iterados de Funciones (SIF) que se introducen en esta sección son losgeneradores de los conjuntos fractales que se estudian en este documento. Esta secciónda cuenta de algunas propiedades de los SIF, la cuales tienen como objetivo principalevidenciar la relación que existe entre el espacio H (X ), el espacio de códigos y losatractores de SIF. Esta relación se resume en el Teorema 1.3.2.1.
Definición 1.3.1.1. Sea (X, d) un espacio métrico completo y f1, f2, . . . , fN con-tracciones. Definimos {X; f1, . . . , fN} como un Sistema Iterado de Funciones (SIF).
Lema 1.3.1.1. Sea {X; f1, . . . , fN} un SIF, entonces F : H(X) → H(X) definida
como F (B) =N∪i=1fi(B), aquí fi(B) = {fi(b) | b ∈ B}, es una contracción con factor
s = max1≤i≤N
{si}, donde cada si es el factor de fi; s será llamado factor del SIF.
Demostración. Veamos primero que la función F tiene como codominio el espacio
11
H(X). Para ello es suficiente observar que los conjuntos fi(B) son compactos puesson imágenes de compactos bajo funciones continuas, y que la unión finita de com-pactos es compacto. Para demostrar la segunda parte consideremos A, B ∈ H(X),entonces:
h(F (A), F (B)) = h(f1(A) ∪ . . . ∪ fN(B), f1(B) ∪ . . . ∪ fN(B))
Aplicando la proposición 1.1.2 N veces se tiene,
h(F (A), F (B)) ≤ max {h(f1(A), f1(B)), . . . , h(fN(A), fN(B))}
De otro lado,d(fi(A), fi(B)) = max {mın {d(fi(a), fi(b)) | b ∈ B} | a ∈ A}
≤ max {mın {sid(a, b) | b ∈ B} | a ∈ A}
= si max {mın {d(a, b) | b ∈ B} | a ∈ A}
= sih(A,B)
Análogamente se tiene que d(fi(B), fi(A)) ≤ sih(A,B) por lo que h(fi(A), fi(B)) ≤sih(A,B) para i = 1, . . . , N , de aquí h(F (A), F (B)) ≤ max
1≤i≤N{si}h(A,B) = sh(A,B)
como se quería demostrar.
Definición 1.3.1.2 (Atractor de un SIF). Sea {X; f1, . . . , fN} un SIF en un espaciométrico completo X y F : H(X) → H(X) la función definida en el Lema 1.3.1.2. Elpunto fijo de la función F será llamado atractor del SIF y se puede calcular a través delsiguiente límite composiciones:
A = lımn→∞
F o(n) (B) , ∀B ∈ H (X) (1)
Cuando n = 0, F o(0) (B) = B.
La definición anterior es una consecuencia del Teorema del punto fijo de Banach paraespacios métricos completos. El siguiente es un ejemplo de un SIF en el plano real. Elatractor de este SIF es el triángulo de Sierpiński [7].
Ejemplo 1.3.1.1. Consideremos en R2, con la métrica usual, el Sistema Iterado deFunciones {R2; f1, f2, f3}, cuyo atractor aparece en la figura 1.3.1.1. Las funciones queforman el SIF son:
12
f1 (x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]
f2 (x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[012
]
f3 (x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[14√3
4
]
Veamos cómo actua el SIF anterior sobre un conjunto compacto de R2. Dado que elatractor del SIF está definido por la ecuación (1), podemos elegir B como un triánguloequilatero de lado 1. Al aplicar la función F del Lema 1.3.1.2 a B, se obtiene el conjuntoF o(1) (B), que es la unión, no disjunta, de tres triángulos congruentes de lado 1
2. El primer
triangulo (f1(B)) es una contracción de B y los otros dos son traslaciones del primero, talcomo indican las funciones del SIF. Si repetimos este proceso dos veces más obtendremoslos conjuntos F o(2) (B) y F o(3) (B), que están fomados por 9 y 27 triángulos de lados 1
4
y 18respectivamente, como ilustra la figura 1.3.1.1.
Figura 1.3.1.1. Elementos de la sucesión F o(n) (B) del SIF del ejemplo 1.3.1.1(izquierda). Triángulo de Sierpiński (derecha).
1.3.2. Relación entre el espacio de códigos y un SIF
El objetivo principal de esta subsección es introducir la función de dirección que relacionael espacio de códigos con el atractor de un SIF, además de mostrar algunas propiedadesde ella. Para ello se introducen varios lemas y teoremas, entre los cuales se destacan losteoremas 1.3.2.1 y 1.3.2.2.
Definición 1.3.2.1. Sean (X, d) un espacio métrico completo, {X; f1, . . . , fN} unSIF y C ∈ H(X). La función f0(B) = C para todo B ∈ H(X) se denomina transfor-
13
mación de condensación asociada al conjunto de condensación C y {X; f0, f1, . . . , fN}es llamado SIF con condensación.
El Lema que se enuncia a continuación no será demostrado; la demostración es análogaa la del Lema 1.3.1.1.
Lema 1.3.2.1. Si {X; f1, . . . , fN} es un SIF con factor de contracción s entonces{X; f0, f1, . . . , fN} es un SIF con condensación cuyo factor de contracción es s.
Lema 1.3.2.2. Sean (X, d) un espacio métrico completo y {X; f1, . . . , fN} un SIF.Dado K ∈ H(X), existe K ∈ H(X) tal que K ⊂ K y fi : K → K para i = 1, . . . , N .En otras palabras {K; f1, . . . , fN} es un SIF definido sobre un espacio compacto ge-nerado por el SIF inicial.Demostración. Sea K ∈ H(X), para construir K consideremos el SIF con condensa-ción {X; f0, f1, . . . , fN} donde la transformación de condensación f0 es la asociada alconjunto K, del Lema 1.3.2.1 y el Teorema del punto fijo tenemos que el atractor de esteSIF está en H(X). Veamos ahora que K = K ∪F o1(K)∪F o2(K)∪ . . .∪F on(K)∪ . . .es el atractor del SIF con condensación:
Demostremos que K ⊆ F (K). Para x ∈ K se tienen dos posibilidades. La pri-mera, x ∈ K = f0(K) lo que implica x ∈ F o1(K). La segunda x ∈ F oi(K) =
F oi(f0(K)) ⊂ F o(i+1)(K). En ambos casos se tiene que x ∈ F (K).
Demostremos que F (K) ⊆ K. Observe que,
F (K) = F (K ∪ F o1(K) ∪ F o2(K) ∪ . . . ∪ F on(K) ∪ . . .)
⊆ F o1(K) ∪ F o2(K) ∪ F 03(K) ∪ . . . ∪ F o(n+1)(K) ∪ . . .
⊆ K
Luego K es el atractor del SIF con condensación y fi : K → K para i = 1, . . . , N loque completa la demostración.
Lema 1.3.2.3. Sean (X, d) un espacio métrico completo, {X; f1, . . . , fN} un SIF confactor de contracción s y (ΣN, dc) el espacio de códigos tal que Σ = {1, . . . , N}. Paracada α ∈ ΣN, n ∈ N y x ∈ X se define:
φ(α, n, x) = fα1 ◦ fα2 ◦ · · · ◦ fαn(x).
Dado K ∈ H(X), existe una constante real D > 0 tal que:d(φ(α, m, x), φ(α, n, y)) ≤ Dsmın{n,m}
siempre que α ∈ ΣN, m, n ∈ N y x, y ∈ K.
14
Demostración. Sean α, m, n, x y K como en el enunciado, y consideremos K (cons-truido en el Lema 1.3.2.2), con diámetro D, tal que K ⊆ K . Supongamos s.p.g quen ≤ m, entonces φ(α, m, x) = φ(α, n, φ(β, m−n, , x)) con β = αn+1 . . . αm . . . ∈ ΣN,denotamos z = φ(β, m − n, x), claramente z está en K pues {K; f0, f1, . . . , fN} esun SIF, ahora:
d(φ(α, m, x), φ(α, n, y)) = d(φ(α, n, z), φ(α, n, y))
≤ d(fα1 ◦ · · · ◦ fαn(z), fα1 ◦ · · · ◦ fαn(y)) ≤ snD = smın{n,m}D.
Aquí D es finito pues es el diámetro de un conjunto compacto. Ésto completa la demos-tración.
Teorema 1.3.2.1. Sean (X, d) un espacio métrico completo, {X; f1, . . . , fN} un SIFcon factor s, A su atractor y (ΣN, dc) el espacio de códigos asociado al SIF.Se define ϕ : (ΣN, dc) → (A, d) por ϕ(α) = lım
n→∞φ(α, n, x) para cada α ∈ ΣN,
entonces ϕ(α) siempre existe, está en A y es independiente de x ∈ X. Además ϕ escontinua y sobreyectiva.
Demostración. Sean α ∈ ΣN, x ∈ X, {X; f1, . . . , fN} un SIF con factor de contraccións, (ΣN, dc), A y ϕ como en el enunciado. La demostración se dividirá en las siguientespartes:
1. ϕ siempre existe y está en A.
2. ϕ es independiente de x ∈ X.
3. ϕ es continua.
4. ϕ es sobreyectiva.
1. Sean x ∈ X, α ∈ ΣN, y K ∈ H(X) tal que x ∈ K. Construimos K como en el Lema1.3.2.2 y definimos F de manera usual; se tiene que:
A = lımn→∞
F on(K)
ϕ(α) = lımn→∞
φ(α, n, x)
Consideremos an = ϕ(α, n, x) y veamos que {an} es una sucesión de Cauchy. DelLema 1.3.2.3 d(an, am) ≤ smın{n,m}D. Dado que 0 ≤ s < 1 entonces para n, m
suficientemente grandes tenemos d(an, am) < ε, luego la sucesión es de Cauchy. De otrolado puesto que (X, d) es completo lım
n→∞an = ϕ(α) existe. Ahora debemos demostrar
que ϕ(α) ∈ A, para ello observe que an ∈ F on(K) y {F on(K)} es una sucesión de
15
Cauchy en (H(X), h), por lo tanto de la construcción de A (Ver Teorema 1.1.1) sesigue ϕ(α) = lım
n→∞an ∈ A.
2. Dados x, y ∈ X, consideremos K compacto tal que x, y ∈ K entonces,
d(φ(α, m, x), φ(α, n, y)) ≤ smın{n,m}D,
donde D es el diámetro del K asociado a K. Si n,m ≥ N0 se tiene,
d(φ(α, m, x), φ(α, n, y)) < ε
Ésto demuestra que ϕ(α) = lımn→∞
φ(α, n, x) = lımm→∞
φ(α, m, y).
3. Para demostrar que ϕ es continua, tomese x, y ∈ X, α, β ∈ ΣN y K un conjuntocompacto tal que x, y ∈ K ⊆ K. Ahora se escoge k ∈ N tal que sk < ε
D, nuevamente
D es el diámetro de K, y α, β tales que dc(α, β) < 1(N+1)k
. De la proposición 1.2.1 sesigue αi = βi para i = 1, . . . , k; uego,
d(φ(α, n, x), φ(β, m, y) ≤ skd(fαk+1◦ . . . ◦ fαn(x), fβk+1
◦ . . . ◦ fβm(y))
≤ skD
< ε,
es decir d(ϕ(α), ϕ(β)) < ε.
4. ϕ es sobreyectiva. Sean a ∈ A un punto en el atractor, K = {x} y K construidocomo en el Lema 1.3.2.2 a partir K. De la construcción de A y la escogencia de Ktenemos:
a = lımn→∞
φ(αn, n, x).
La sucesión {αn} ⊆ ΣN posee una subsucesión {αni} convergente, pues el espacio de
códigos es compacto. Veamos que α = lımi→∞
αnies tal que ϕ(α) = a. Puesto que
d(φ(αni, n, x), φ(α, n, x)) ≤ sk(n)D, donde k(n) es el número de componentes iguales
entre αniy α; y k(n)→∞ cuando n→∞, entonces sk(n)D < ε y el lado izquierdo de
la desigualdad se convierte en d(a, ϕ(α)) < ε para todo ε > 0, es decir a = ϕ(α). Éstocompleta la demostración.
La siguiente proposición es de gran importancia para el Capítulo 2, pues presenta dospropiedades de la función ϕ, definida en el teorema anterior.
Proposición 1.3.2.1. Sean (X, d) un espacio métrico completo, {X; f1, . . . , fN} unSIF con atractorA y ϕ la función del Teorema 1.3.2.1, entonces ϕ(α) = fα1(ϕ(α2α3 . . .)).Además, si el SIF es de contracciones inyectivas, entonces ϕ(iα) = ϕ(iβ) si y sólo siϕ(α) = ϕ(β).
16
Demostración. Bajo las hipótesis de la proposición, sean α ∈ ΣN y a ∈ A, entonces
ϕ(α) = lımn→∞
fα1 ◦ fα2 ◦ . . . ◦ fαn(a)
= lımn→∞
fα1(fα2 ◦ . . . ◦ fαn(a))
= fα1( lımn→∞
fα2 ◦ . . . ◦ fαn(a))
= fα1(ϕ(α2α3 . . .)).
Los pasos intermedios se deben a que fα1 es continua, y que ΣN y A son espaciosmétricos. Para demostrar la segunda parte del enunciado, es suficiente ver que ϕ(iα) =
ϕ(iβ) implica fi(ϕ(α)) = fi(ϕ(β)) y puesto que fi es inyectiva tenemos ϕ(α) = ϕ(β);el otro sentido es inmediato.
El Teorema y las definiciones que aparecen a continuación muestran que existe un co-ciente topológico del espacio de códigos subyacente a todo SIF, tal que el atractor y elcociente son homeomorfos.
Definición 1.3.2.2. Dados {X; f1, . . . , fN} un SIF, ΣN el espacio de códigos asociadoy ϕ : ΣN → A la función continua del espacio de códigos en el atractor A del SIF,construida en el Teorema 1.3.2.1. Una dirección de un punto a ∈ A es un elemento de
ϕ−1(a) = {α ∈ ΣN | ϕ(α) = a}
Definición 1.3.2.3. Sean {X; f1, . . . , fN} un SIF y ΣN su espacio de códigos asocia-do. Se define la relación de equivalencia ∼ sobre ΣN como β ∼ α⇔ ϕ(β) = ϕ(α).
Teorema 1.3.2.2. Si {X; f1, . . . , fN} es un SIF en un espacio métrico completo(X, d), A es su atractor y ΣN es el espacio de códigos asociado, entonces A es ho-meomorfo al espacio cociente ΣN� ∼.Demostración. Bajo las hipótesis del Teorema, tomemos ϕ como la función de direccióny definamos la función ϕ : ΣN� ∼→ A como sigue:
ϕ([α]) = ϕ(α)
Consideremos el siguiente diagrama conmutativo:
ΣN
p��
ϕ
##ΣN� ∼ ϕ // A
Puesto que ϕ es continua y sobreyectiva, y p es la proyección natural es suficientedemostrar que ϕ es una aplicación cociente para mostrar que ϕ es un homeomorfismo(ver [4]). Veamos que ϕ es una aplicación cociente, para ello demostremos que es cerrada.Sea V ⊆ ΣN un conjunto cerrado, puesto que ΣN es compacto tenemos V también lo
17
es [4], luego ϕ(V ) es compacto ya que ϕ es continua. De otro lado, dado que A esde Hausdorff se concluye que ϕ(V ) debe ser cerrado como se quería demostrar. Éstomuestra que ϕ es un homeomorfismo.
El Teorema anterior sumado al hecho que el espacio de códigos es homeomorfo al con-junto de Cantor, permite afirmar que todo atractor de un Sistema Iterado de Funcioneses un cociente topológico del conjunto de Cantor. En los ejemplos que aparecen enseguida se exhibe la relación de equivalencia ∼ sobre ΣN de la Definición 1.3.2.3. Lacaracterización de ∼ que se presenta se debe a [8].
Ejemplo 1.3.2.1. Sea {R2; f1, f2, f3} un SIF tal que:
f1 (x, y) =
[12
14√
3
0 12
][x
y
]
f2 (x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[12
0
]
f3 (x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[14√3
4
]
Este SIF (cuyo atractor aparece en la figura 1.3.2.1) es el resultado de identificar loscódigos 21 ∼ 12, 32 ∼ 23 y 13 ∼ 3112, bajo las siguientes condiciones: las funciones fi,son funciones inyectivas de la forma fi (x) = Bix + ai para i = 1, 2, 3, con Bi ∈ M2×2
y ai ∈ R2, ϕ(1)
= (0, 0), ϕ(2)
= (1, 0), ϕ(3)
=(
12,√
32
), ϕ(21)
=(
12, 0), ϕ(23)
=(34,√
34
)y ϕ
(13)
=(
38,√
34
). Bajo estas condiciones la relación ∼ queda definida así:
dados α, β ∈ ΣN tenemos,
α ∼ β ⇐⇒ α = β
∨(α, β ∈
{σ21 ∨ σ12 | σ ∈ Σ∗
})∨
(α, β ∈
{σ23 ∨ σ32 | σ ∈ Σ∗
})∨
(α, β ∈
{σ13 ∨ σ3112 ∨ σ3121 | σ ∈ Σ∗
})Ejemplo 1.3.2.2. Sea {R2; f1, f2, f3} un SIF tal que:
f1 (x, y) =
[12
14√
3
0 12
][x
y
]
f2 (x, y) =
[12− 1
4√
3
0 12
][x
y
]+
[12
0
]
f3 (x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[14√3
4
]
18
Este SIF (cuyo atractor aparece en la figura 1.3.2.1) es el resultado de identificar loscódigos 21 ∼ 12, 23 ∼ 3212 y 13 ∼ 3112, bajo las siguientes condiciones: las funcionesfi son funciones inyectivas de la forma fi (x) = Bix+ai para i = 1, 2, 3, con Bi ∈M2×2
y ai ∈ R2, ϕ(1)
= (0, 0), ϕ(2)
= (1, 0), ϕ(3)
=(
12,√
32
), ϕ(21)
=(
12, 0), ϕ(23)
=(58,√
34
)y ϕ
(13)
=(
38,√
34
). Bajo estás condiciones la relación ∼ queda definida así:
dados α, β ∈ ΣN tenemos,
α ∼ β ⇐⇒ α = β
∨(α, β ∈
{σ21 ∨ σ12 | σ ∈ Σ∗
})∨
(α, β ∈
{σ23 ∨ σ3212 ∨ 3221 | σ ∈ Σ∗
})∨
(α, β ∈
{σ13 ∨ σ3112 ∨ σ3121 | σ ∈ Σ∗
})
Figura 1.3.2.1. Atractores de los ejemplos 1.3.2.1 (izquierda) y 1.3.2.2 (derecha)
19
2. AUTOSEMEJANZA TOPOLÓGICA VERSUSSIF
La mayoría de nociones que se encuentran en la literatura sobre el concepto de fractal,intentan describir tres características de estos conjuntos; la primera trata sobre unacualidad de éstos, que consiste en que están formados por copias de si mismos (almenos aproximadamente) que han sido reducidas de tamaño; la segunda se refiere a queson demasiado “irregulares” para ser descritos fácílmente en términos de la geometríatradicional, un ejemplo de ésto es La curva de Koch (ejemplo 3.4.2) que a pesar de sercontinua en todos los puntos, no es diferenciable en nínguno; y la tercera hace mención ala “dimensión” de estos objetos, en otras palabras a su “tamaño” y “complejidad”. Si bienen este capítulo no se presenta una definición (formal o informal) de fractal, se explorala primer característica; ésto con el fin de elaborar una idea que describa adecuadamentelo que se quiere decir en este documento, cuando se utiliza la palabra fractal.B. Mandelbrot describió, de manera informal, la noción de autosemejanza como sigue,“Dicese de una figura geométrica o de un objeto natural cuyas partes tienen la mismaforma o estructura que el todo, salvo que están a diferente escala y pueden estar lige-ramente deformados” [2]. En este capítulo, se presenta un primer acercamiento a estanoción vía la autosemejanza topológica definida por J. Charatonik y A. Dilks en [2].Veremos que fractales clásicos como El triángulo de Sierpínski (ejemplo 1.3.1.1), y engeneral aquellos generados a través de SIF con contracciones inyectivas, serán autose-mejantes topológicamente; sin embargo también se mostrará (ejemplo 2.1.4) que existenconjuntos autosemejantes en el sentido de Dilks y Charatonik en los que no se observala noción de Mandelbrot, debido a que no es posible distinguir las partes del conjunto.Este hecho motiva la busqueda de una definición de autosemejanza más apropiada, y davida al capítulo 3 de este documento. Los resultados que aparecen en el capítulo fuerontomados de [2].
20
2.1. ALGUNOS ATRACTORES DE SIF
Esta sección presenta ejemplos de atractores de SIF que motivan la definición de auto-semejanza topológica que se introduce en este capítulo. En cada uno de los ejemplosque se presentan, la métrica sobre Rd es la usual.
Ejemplo 2.1.1. Consideremos el siguiente SIF, {R; f1, f2} donde f1(x) = 13x, f2(x) =
13x+ 2
3y cuyo atractor C es el conjunto de Cantor. La figura 2.1.1 muestra los elementos
de la sucesíon {F on(B)} para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 con B = [0, 1].
Figura 2.1.1. Conjunto de Cantor.
La figura 2.1.1 sugiere que cada nivel F on(B) está compuesto por 2n copias de B quehan sido sometidas a traslaciones y contracciones, tal como sugiere la “noción de auto-semejanza” propuesta por B. Mandelbrot y a la que se hizo referencia en la introduccióndel capítulo. Además es importate destacar que este SIF es de contracciones inyectivas.Otra característica importante del SIF del ejemplo anterior, es que la función de di-rección asociada es inyectiva; para ver ésto es suficiente tomar α, β ∈ ΣN con α1 6= β1
(recordar el resultado de la proposición 1.3.1.1) y suponer que ϕ(α) = ϕ(β), de aquífα1(ϕ(α2 . . .)) = fβ1(ϕ(β2 . . .)) es decir, ∅ 6= fα1(C)∩ fβ1(C) ⊆ fα1(B)∩ fβ1(B) = ∅lo cual no es posible. La función de dirección es pues un homeomorfismo ya que escontinua, biyectiva, ΣN es compacto y C es Hausdorff.
El siguiente ejemplo fue elaborado por el autor de este documento. Nuevamente este esun SIF de contracciones inyectivas; sin embargo esta vez la función de dirección no esinyectiva y la “noción de autosemejanza” de Mandelbrot aún se observa; lo que indicaque esta noción no requiere que ϕ sea un homeomorfismo.
21
Figura 2.1.2. Atractor del SIF del ejemplo 2.1.2.
Ejemplo 2.1.2 En R2 consideremos el SIF {R2;w1, w2, w3, w4, w5, w6} cuyo atractores la figura 2.1.2 y:
w1(x, y) =1
4(x, y)
w2(x, y) =1
4
[1√2− 1√
21√2
1√2
][x
y
]+
[014
]
w3(x, y) =1
4(x, y) +
(0,
1
4
)w4(x, y) =
1
4
[1√2
1√2
− 1√2
1√2
][x
y
]+
[024
]
w5(x, y) =1
4(x, y) +
(0,
2
4
)w6(x, y) =
1
4(x, y) +
(0,
3
4
)En la figura 2.1.2 la imagen de cada función wi ha sido coloreada con un color distintopara facilitar la identificación de los conjuntos wi(A)∩wj(A). Como se dijo, esta vez lafunción de dirección no es un homeomorfismo. Ésto se debe a que:
ϕ(21)
= w2
(ϕ(1))
= w2 (0, 0)
= (0, 1/4)
= w3 (0, 0)
= w3
(ϕ(1))
= ϕ(31)
22
Sin embargo se observa la propiedad de autosemejanza descrita por B. Mandelbrot.
Los ejemplos anteriores indican que esta “noción de autosemejanza” se preserva (al menosen algunos casos) incluso cuando las intersecciones wi(A) ∩ wj(A) no son vacias; pero¿qué ocurre cuando estas intersecciones son infinitas? Los siguientes ejemplos indaganun poco sobre esta pregunta.
Ejemplo 2.1.3. El atractor del siguiente SIF es conocido como la hoja de Barnsley [9].En el plano real consideremos {R2; g1, g2, g3, g4} donde,
g1(x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]
g2(x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[012
]
g3(x, y) =
[12−1
212
12
][x
y
]
g4(x, y) =
[12
12
−12
12
][x
y
]
Figura 2.1.3. Atractor del SIF del ejemplo 2.1.3.
El SIF del ejemplo 2.1.3 (figura 2.1.3) está formado por una traslación, una con-tracción y dos rotaciones de 45◦ y 135◦, y de la figura se sigue que las dos rotacio-nes se intersectan en un conjunto infinito de puntos; para verificar ésto consideremosB = {(x, y) ∈ R2 | (x, y) = t(0, 1), t ∈ [0, 1]}, en este caso B = g1(B)∪g2(B) de aquí
23
B ⊆ A, donde A es el atractor del SIF. De otro lado,
g3(B) =
{(x, y) ∈ R2 | (x, y) =
t
2(−1, 1), t ∈ [0, 1]
}≡ B3
g4(B) =
{(x, y) ∈ R2 | (x, y) =
t
2(1, 1), t ∈ [0, 1]
}≡ B4
Si aplicamos g4 a B3 y g3 a B4 tenemos,
g3(B4) =
{(x, y) ∈ R2 | (x, y) =
t
2(0, 1), t ∈ [0, 1]
}g4(B3) =
{(x, y) ∈ R2 | (x, y) =
t
2(0, 1), t ∈ [0, 1]
}Por lo tanto g3(B4) = g4(B3). Ésto muestra que g3(A)∩g4(A) es infinito como sugiere lafigura 2.1.3. Sin embargo aún se observa la “noción de autosemejanza” de B. Mandelbrot.El SIF que aparece a continuación, si bien es generado por contracciones inyectivas, laspartes o copias del atractor no se “observan” a cualquier escala; ésto se debe a que lasintersecciones son demasiado “grandes”.
Ejemplo 2.1.4. Sea {R2; l1, l2, l3} un SIF tal que:
l1(x, y) =
[1√2
0
0 1√2
][x
y
]+
[01√2
]
l2(x, y) =
[1√2− 1√
21√2
1√2
][x
y
]
l3(x, y) =
[1√2
1√2
− 1√2
1√2
][x
y
]
Figura 2.1.4. Atractor del SIF del ejemplo 2.1.4.
24
El atractor del SIF es la figura 2.1.4. En este caso la sobreposición (intersección) delas piezas es tan grande, que tan sólo observando el atractor, es imposible determinarcuales son las “copias” que lo conforman; lo que nos sugiere que en este caso el atractor(aparentemente) no preserva la noción de autosemejanza propuesta por Mandelbrot,aunque el SIF está formado por contracciones inyectivas.
Ejemplo 2.1.5. {R; h1, h2}. donde h1(x) = 13x y h2(x) = 1. Es fácil verificar que el
atractor de este SIF es el conjunto A ={
13n
}n∈N ∪ {0}.
El último ejemplo de la sección es un SIF en el que una de sus contracciones no esinyectiva. En él no se observa la noción de autosemejanza de B. Mandelbrot pues si con-sideramos vecindades lo suficientemente pequeñas alrededor de 1, estas están formadaspor un solo punto, así que no son (ni contienen) “copias” del atractor.Los ejemplos discutidos en esta sección sugieren que un SIF con contracciones inyectivasy tal que las intersecciones de las piezas del atractor no sean “demasiado grandes”,podria satisfacer la noción de autosemejanza de Mandelbrot, pues sería posible reconocerlas copias que conforman el atractor. En este capítulo se introduce la definición deautosemejanza topológica, como un primer acercamiento a la idea de Mandelbrot sobrela autosemejanza.
2.2 AUTOSEMEJANZA TOPOLÓGICA
Esta sección presenta la definición de autosemejanza topológica propuesta por W. J.Charatonik y A. Dilks [2], además muestra algunas propiedades y ejemplos de espaciosautosemejantes topológicamente, entre ellos el conjunto de Cantor.
Definición 2.2.1. Un espacio topológico X se dirá autosemejante topológicamente,si todo abierto no vacío de X contiene un subespacio homeomorfo a X.
Bajo esta definición de autosemejanza es posible encontrar conjuntos autosemejantes,que no son necesariamente atractores de SIF, como el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.2.1. Los números naturales con las topologías de las colas a derecha esautosemejante. La topologia sobre N es τ = {vn | vn = {n, n+ 1, n+ 2, . . .} ∪ {∅}},es claro que v0 = N. Veamos que cualquier vn es homeomorfo a N, para ello definimosla función inyectiva fk(n) = n+ k cuyo rango es el conjunto vk más aún
f−1k (vn ∩ vk) =
N; si n ≤ k
v(n−k); si n ≥ k
fk(vn) = vn+k
25
fk(∅) = ∅
Luego fk es un homeomorfismo de N en vk.
La siguiente proposición presenta algunas propiedades de los espacios autosemejantestopológicamente, algunas de ellas se utilizan para verificar resultados posteriores.
Proposición 2.2.1. Dado un espacio topológico X, se tienen las siguienes propiedades:
1. Si todo punto x ∈ X admite un sistema fundamental de vecindades, cada una deellas homeomorfa a X entonces X es autosemejante.
2. Si X es autosemejante topológicamente, entonces para todo abierto no vacío O setiene | O |=| X | . La notación | T | se refiere a la cardinalidad de T .
3. La autosemejanza es una propiedad topológica.
4. Un espacio autosemejante con más de un punto, es perfecto.
5. La autosemejanza se hereda por semiabiertos. Un subconjunto H de un espacioX es semiabierto si existe un abierto O de X tal que O ⊆ H ⊆ O (ver [2]). Lanotación T se refiere a la adherencia de T .
6. El producto de espacios autosemejantes es autosemejante con la topología produc-to.
7. En general, la autosemejanza no se preserva, en los subespacios, ni los espacioscocientes.
Demostración. 1 y 2 se siguen de la definición de autosemejanza y 6 es inmediata de ladefinición de topología producto.
3. Sean X y Y dos espacios topológicos homeomorfos, V ⊆ Y abierto en Y y Xautosemejante, entonces
f ◦ h ◦ f−1|V : V → Y
Es un homeomorfismo, aqui f y h son homeomorfismos de X en Y , y de f−1(V ) en Xrespectivamente.
4. Sean X un espacio autosemejante topológicamente,a, b ∈ X distintos y V (a) unavencindad de a, existe un homeomorfismo f : X → V (a) luego V (a) \ {a} ∩X 6= ∅por lo tanto a es un punto de acumulación, es decir X es perfecto.
5. Bajo las hipótesis del Teorema; sean X un espacio autosemejante topologicamentey H un semiabierto de X. Si H = ∅, entonces es autosemejante; si H 6= ∅, seaH ∩U 6= ∅ un abierto de H (con la topología de subespacio), entonces O∩U ⊆ H ∩U
26
y O ∩ U 6= ∅ pues si x ∈ H ∩ U entonces x ∈ O. De otro lado como O ∩ U es abiertoen X entonces existe X p ⊆ O ∩ U homeomorfo a X, de donde existe H p ⊆ X p tal queH p es homeomorfo a H.
7. Es suficiente considerar{
14, 1}como subespacio de [0, 1] pues en este caso
(0, 1
2
)∩{
14, 1}
={
14
}, por lo tanto el subespacio
{14, 1}no satisface el item 2 de esta Proposi-
ción. De otro lado la función f (x) = (cos (2πx) , sin (2πx)) es una funcióin continua ysobre de [0, 1] en S1 que envía cerrados en cerrados; por lo tanto [0, 1]� ∼ es homeo-morfo a S1. Aquí dados x, y ∈ [0, 1] , x ∼ y si y sólo si f (x) = f (y)
Ejemplo 2.2.2. El conjunto de Cantor es autosemejante en el sentido de la definiciónde este capítulo. Por el Teorema 1.2.3 sabemos que el conjunto de Cantor es homeomor-fo al espacio de códigos. Veamos que este último es autosemejante topológicamente.Para ello sean Σ = {0, 1}, α ∈ ΣN y f : (ΣN, dc) → B(α; 1
(N+1)k) definida como
f(β) = α1 . . . αkβ. Es fácil verificar que f es continua y biyectiva, y como ΣN es com-pacto (Teorema 1.2.2) y B(α; 1
(N+1)k) es Hausdorff, f es un homeomorfismo [2]. De la
proposición 2.2.1 (3) se sigue el resultado.
2.3 CONDICIONES PARA GENERAR ATRACTORES AUTO-SEMEJANTES
El objetivo de está sección es mostrar que los Sistemas Iterados de Funciones formadospor contracciones inyectivas, generan atractores autosemejantes topológicamente; estehecho se resume en el Teorema 2.3.1 y su corolario.
Definición 2.3.1. (Tomado de [2]) Sea X un espacio topológico.
X se dirá un espacio autosimilar simbólico si X es homeomorfo a un cociente deCantor ΣN� ∼ que satisface: para todo y para todo i ∈ Σ, α ∼ β ⇒ iα ∼ iβ. Unarelación que cumpla esta propiedad recibe el nombre de relación de congruencia.
X se dirá espacio de cancelación si X es homeomorfo a un cociente de CantorΣN� ∼ que satisface: para todo α, β ∈ ΣN y para todo i ∈ Σ, iα ∼ iβ ⇒ α ∼ β.
Una relación que cumpla esta propiedad la llamaremos cancelativa.
X se dirá factor invariante o espacio invariante si es simultaneamente de cancela-ción, autosimilar simbólico y de Hausdorff.
27
El siguiente ejemplo muestra que si bien todo atractor de SIF es un espacio autosimilarsimbólico (Proposición 1.3.2.1), no siempre es de cancelación.
Ejemplo 2.3.1. El atractor del ejemplo 2.1.5 es un espacio autosimilar simbólico por laProposición 1.3.2.1, sin embargo no es un espacio de cancelación, pues ϕ(2) = ϕ(21) = 1
y ϕ(2) 6= ϕ(1).
Teorema 2.3.1. Todo factor invariante es autosemejante.ΣN
g
��
p// ΣN� ∼
g��
[σ)p| // p([σ))
Demostración. El diagrama conmutativo que aparece arriba resume la idea central deesta demostración. Sea X un factor invariante, es decir X ∼= ΣN� ∼, donde ΣN� ∼es de Hausdorff y para todo i ∈ Σ, α ∼ β ⇔ iα ∼ iβ. Sea U un abierto no vacíode ΣN� ∼ y p : ΣN → ΣN� ∼ tal que p(α) = [α]. Entonces p−1(U) es un abiertono vacío del espacio de códigos, debido a la autosemejanza de este espacio existe unσ ∈ Σ∗ tal que el subespacio [σ) de todos los códigos que empiezan por σ esta contenidoen p−1(U) y es homeomorfo a ΣN bajo el homeomorfismo g : ΣN → [σ) definida porg(x) = σx. Se tiene que p([σ)) ⊆ U, es suficiente demostrar que p([σ)) ∼= ΣN� ∼ . Seag : ΣN� ∼→ p([σ)) definida por g([x]) = [g(x)]. Veamos que g esta bien definida yes inyectiva. Sean x, y ∈ ΣN, si x ∼ y entonces g([x]) = [g(x)] = [σx] = [σy] = g([y])
pues ∼ es de congruencia, luego g esta bien definida; ahora si g([x]) = g([y]) se tiene[σx] = [σy] lo que implica x ∼ y y [x] = [y], pues ∼ es cancelativa, de aquí g esinyectiva. Para ver que g es sobreyectiva consideremos y ∈ p([σ)). Luego existe x ∈ [σ)
tal que y = [x] = [σx′] = [g(x′)] = g([x′]). Si p| denota la restricción de p a [σ) entoncesse verifica que p| ◦ g = g ◦ p, con lo cual g ◦ p es continua (p|, g son continuas). Debidoa que p es una función cociente, entonces g es continua [4]. Finalmente como ΣN� ∼es compacto y p([σ)) es de Hausdorff, se concluye que g es un homeomorfismo [4].
Corolario 2.3.1. Los atractores de SIF son espacios autosimilares simbólicos. Si ade-más las contracciones son inyectivas, el atractor es autosemejante topológicamente.Demostración. La primera parte del corolario es consecuencia de la Proposición 1.3.2.1.y la segunda de la Proposición 1.3.2.1 y el Teorema 2.3.1.
El Teorema anterior muestra que es suficiente exigir que las contracciones que forman alSIF sean inyectivas, para garantizar que el atractor sea autosemejante topológicamente,ésto permite mostrar que atractores de SIF clásicos como La curva de Koch (ver Capítulo4) y El triángulo de Sierpiński (ver Capítulo 1) son autosemejantes topológicamente. Sinembargo el atractor del ejemplo 2.1.4, si bien es generado por contracciones inyectivas,resulta muy difícil identificar las copias del atractor, del modo en que lo sugiere la noción
28
de Mandelbrot. Esta dificultad motiva el siguiente capítulo, en él se explora una nuevaidea de autosemejanza que describe mejor la noción de Mandelbrot.
29
3. AUTOSEMEJANZA SEGÚN HUTCHINSON
Ya se ha dicho que la autosemejanza es una de las principales características presentesen un fractal, ésto hace que la definición, o al menos la discusión, de algún tipo deautosemejanza sea indispensable cuando se habla de estos conjuntos. En este sentido,en el capítulo anterior se presentó una primera aproximación a este concepto, vía laautosemejanza topológica, y se demostró que cualquier atractor generado a través deSIF con contracciones inyectivas es autosemejante topológicamente. También se demos-tró que esta definición no describe adecuadamente la idea de autosemejanza propuestapor Mandelbrot; por esta razón, en este capítulo se introduce una nueva definición deautosemejanza, que se acerca un poco más a la idea de autosemejanza en fractales.La definición de autosemejanza que aparece en el capítulo, es conocida como autose-mejanza estricta y fue introducida por J.E. Hutchinson en 1981 [10]. A diferencia de laautosemejanza topológica, ésta se refiere solamente a atractores de SIF en Rd y se fun-damenta en la idea que si el solapamiento de las piezas del atractor es “suficientementepequeño”, éste satisface la idea intuitiva de autosemejanza.Este capítulo está dividido en cinco partes; las tres primeras introducen conceptos nece-sarios para definir la autosemejanza de Hutchinson; de estos conceptos cabe destacar lamedida y dimensión de Haussdorff; la cuarta parte presenta la definición de autoseme-janza de Hutchinson y muestra que si un SIF en Rd, formado por similitudes, satisface laCondición del Conjunto Abierto de Moran, este es autosemejante en el sentido de Hut-chinson; por último en la quinta parte se discute brevemente la definición de conjuntofractal.
3.1. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORIA DE LA MEDI-DA
En esta sección se recopilan los conceptos y resultados sobre teoria de la medida que seránutilizados en el siguiente capítulo. Los resultados más importantes de la sección, debido
30
a su utílidad en este documento, son los métodos I y II para construir medidas exteriores.Las demostraciones de los resultados que aquí aparecen pueden ser consultadas en [9].
Definición 3.1.1.(σ-álgebra) Una colección F de subconjuntos de un conjunto X,será llamada una σ-álgebra sobre X si y sólo si:
1. ∅, X ∈ F .
2. Si A ∈ F , entonces X r A ∈ F .
3. Si {Ai}i∈N ⊆ F , entonces∞∪i=1Ai ∈ F .
Teorema 3.1.1. SeanX un conjunto yD un conjunto de subconjuntos deX. Entoncesexiste un conjunto F de subconjuntos de X tal que:
1. F es una σ-álgebra sobre X.
2. D ⊆ F .
3. Si G es otra σ-álgebra sobre X con D ⊆ G, entonces F ⊆ G.
El Teorema anterior permite definir los borelianos de un espacio topológico, como la σ-álgebra generada por los abiertos del espacio. De manera alternativa es posible definirlosa través de conjuntos cerrados del espacio topológico.
Definición 3.1.2. Una medida exterior sobre un conjunto X es una funciónM definidasobre todos los subconjuntos de X, con valores no negativos en los números realesextendidos [0,∞], que satisface:
1. M(∅) = 0.
2. Si A ⊆ B, entonces M(A) ≤M(B).
3. M(∞∪i=1Ai) ≤
∞∑i=1
M(Ai)
La propiedad 3 es conocida como subaditividad.
Definición 3.1.3. Sean X un conjunto y F una σ-álgebra de conjuntos de X. Unamedida sobre F es una función M : F → [0,∞] tal que:
1. M(∅) = 0.
31
2. Si {Ai}i∈N ⊆ F es una sucesión disjunta de conjuntos, M(∞∪i=1Ai) =
∞∑i=1
M(Ai).
La condición 2 se conoce como aditividad.
El siguiente Teorema presenta un método para construir medidas exteriores, conocidocomo Método I.
Teorema 3.1.2 (Método I). Sean X un conjunto, A una familia de subconjuntos deX que cubren a X y C : A → [0,∞] una función. Existe una única medida exterior Msobre X tal que:
1. M(A) ≤ C(A) para todo A ∈ A.
2. Si N es otra medida exterior sobre X con N(A) ≤ C(A) para todo A ∈ A,entonces N(F ) ≤M(F ) con F ⊆ X.
Ejemplo 3.1.1. Sobre Rn, con la métrica usual, definamos:
A =
{(−→a ,−→b ) =
n∏i=1
(ai, bi) ⊆ Rn | ai < bi para i = 1, . . . , n
}
Donde C((−→a ,−→b )) =
n∏i=1
|bi − ai|, entonces la medida exterior generada por el Teorema
3.1.2 es M(F ) = ınfF⊆ ∪
i∈N(−→ai ,−→bi )
∞∑i=1
C((−→ai ,−→bi )) que corresponde a la medida exterior de
Lebesgue L en Rn.
Dada una medida exterior M sobre un conjunto X, diremos que un conjunto E ⊆ X esM -medible (en el sentido de Carathéodory) si y sólo siM(F ) = M(F ∩E)+M(F rE)
para todo F ⊆ X.
Teorema 3.1.3. La colección F de conjuntos M -medibles es una σ-álgebra y M esaditiva sobre F .
Antes de introducir el Método II para construir medidas exteriores, se presentan algunosresultados sobre medidas en espacios métricos. Diremos que dos conjuntos A,B subcon-juntos de un espacio métrico (X, d) tienen separación positiva si y sólo si dist(A,B) =
ınf {d(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B} > 0. Una medida exterior será llamada medida exteriormétrica si y sólo si M(A ∪B) = M(A) +M(B) siempre que dist(A,B) > 0.
Lema 3.1.1. Dada una medida exterior métrica M sobre un espacio métrico X. SeanA1 ⊆ A2 ⊆ A3, . . ., y A =
∞∪i=1Ai. Si dist(Ai, A r Ai+1) > 0 para todo i entonces
32
M(A) = lımi→∞
M(Ai).
Teorema 3.1.4. Si M es una medida exterior métrica sobre un espacio métrico X,entonces cada conjunto boreliano de X es M -medible.Demostración. Puesto que los borelianos son una σ-álgebra generada por los cerradosde un espacio topológico, y el conjunto formado por los subconjuntos M -medibles delespacio es una σ-álgebra, es suficiente mostrar el resultado para conjuntos cerrados.Sean A,F ⊆ X con F cerrado. Definamos Aj =
{x ∈ A | d(x, F ) ≥ 1
j
}entonces Aj ⊆
Aj+1, y A r F =∞∪j=1Aj; para verificar la última condición del Lema anterior tomemos
z ∈ A r (F ∪ Aj+1) y y ∈ Aj en este caso tenemos d(z, F ) < 1j+1
por lo tanto existex ∈ F tal que d(z, x) < 1
j+1, además d(y, x) ≥ 1
jde donde d(z, y) ≥ d(x, y)−d(x, z) >
1j− 1
j+1> 0, es decir, dist((Ar F )r Aj+1, Aj) = dist(Ar (F ∪ Aj+1), Aj) > 0. De
otro lado, dist(Aj, F ) ≥ 1jy como M es una medida exterior métrica se tiene,
M(Aj) +M(F ∩ A) = M(Aj ∪ (F ∩ A)) ≤M(A),
entonces lımj→∞
M(Aj)+M(F ∩A) ≤M(A), es decir, M(ArF )+M(A∩F ) ≤M(A).
A continuación se presenta un segundo método para determinar medidas exteriores.
Teorema 3.1.5. (Método II) Sean A una familia de subconjuntos de un espacio métri-co (X, d), y C : A → [0,∞] una función dada. Si para cada ε > 0 y x ∈ X existe A ∈ Atal que diamA = sup {d (x, y) | x, y ∈ A} ≤ ε, se define Aε = {A ∈ A | diamA ≤ ε}.Entonces para E ⊆ X,
M(E) = lımε→0
M ε(E) = supε>0
M ε(E)
es una medida exterior métrica. Las funciones M ε son las medidas exteriores generadaspor el Método I sobre Aε.
Ejemplo 3.1.2. Sobre R con la métrica usual considérese A = {(a, b) ⊆ R | a < b},Aε = {(a, b) ∈ A | |b− a| ≤ ε} entonces M(E) = lım
ε→0M ε(E) es la medida generada
por el Método II. Del Teorema del Método I se sigue que L(E) ≥ M ε(E), luegoL(E) ≥ M(E). De otro lado, debido a que la medida de Lebesgue es el siguienteínfimo:
L(E) = ınfA(E)
∑i∈N
(bi − ai) ,
donde A (E) =
{{(ai, bi)} ⊆ A | E ⊆ ∪
i∈N(ai, bi)
}; se tiene que L(E) ≤ M ε(E) lo
que implica L(E) ≤M(E).
33
3.2. MEDIDA Y DIMENSIÓN DE HAUSDORFF
La medida de Hausdorff es un tipo de medida exterior definida sobre espacios métricos,que ha sido muy utilizada para describir características de los conjuntos fractales. Enesta sección se introduce la medida de Hausdorff y algunas propiedades de ella.
Dado un espacio métrico X, consideremos el siguiente cubrimiento de X:
Aε = {A ⊆ X | diamA ≤ ε} .
Sobre éste se define la función Cs(A) = (diamA)s, si s > 0. Si s = 0 entoncesC0(A) = 1 si A 6= ∅ y C0(∅) = 0. Bajo estas condiciones, para todo B ⊆ X y s > 0
sea
Hs
ε(B) = ınfB⊆
∞∪
i=1Ai
∞∑i=1
Cs(Ai),
donde cada Ai ∈ Aε.Esta función es la medida exterior generada por el Método I a partir de Cs(A) pues:
1. Dado A ∈ Aε es claro que A ⊆ A y por tanto Hs
ε(A) ≤ Cs(A).
2. Supongamos que N es otra medida exterior tal que N(A) ≤ Cs(A) para todoA ∈ Aε. En este caso sean B ⊆ X y Ai ∈ Aε tales que B ⊆
∞∪i=1Ai, se cumple
N(B) ≤∞∑i=1
N(Ai) ≤∞∑i=1
Cs(Ai), luego N(B) ≤ Hs
ε(B).
Hemos verificado las condiciones del Teorema del Método I, por lo tanto Hs
ε es unamedida exterior.
Para construir la medida de Hausdorff hace falta un poco más de esfuerzo. En primerlugar observemos que si 0 < δ < ε y B ⊆ X, entonces cualquier cubrimiento de B porconjuntos cuyo diámetro sea menor que δ es un cubrimiento por conjuntos con diametromenor que ε es decir, H
s
ε(B) ≤ Hs
δ(B). Luego Hs
ε crece cuando ε decrece.En segundo lugar, definamos:
Hs(B) = lım
ε→0Hs
ε(B) = supε>0
Hs
ε(B)
Esta función es una medida exterior contruida por el Método II, conocida como lamedida exterior de Hausdorff de dimensión s. La restricción de H
sa los conjuntos
medibles es llamada la medida de Hausdorff de dimensión s y se denota Hs. Como
34
consecuencia del Teorema 3.1.5, la medida de Hausdorff es una medida exterior métrica,por lo tanto todos los conjuntos borelianos de X son medibles.
Ejemplo 3.2.1. Si F ⊆ (X, d) es finito, entonces Hs(F ) = 0 para s > 0 y H
0(F ) =
car(F ) donde car(F ) es la cardinalidad de F . Supongamos que F = {x1, x2, . . . , xn}tenemos que diam {xi} = 0 < ε luego H
s
ε(F ) ≤n∑i=1
(diam {xi})s = 0 por lo tanto
Hs(F ) = 0. Con el fin de verificar la segunda afirmación definamos r = mın
1≤i<j≤nd(xi, xj)
para i 6= j. Si ε < r y F ⊆ ∪i∈NAi donde diamAi ≤ ε entonces cada Ai ∩ F tiene a
lo más un elemento. De otro lado para cada xi ∈ F tomemos un Ai tal que xi ∈ Aientonces n =
n∑i=1
C0(Ai) ≤∞∑i=1
C0(Ai) de aquí se deduce H0
ε(F ) = n siempre que ε < r
lo que implica H0(F ) = n.
Ejemplo 3.2.2. La medida de Lebesgue sobre R coincide con la medida de Hausdorffde dimensión 1. Tomemos (a, b) ⊆ R tal que b−a ≤ ε, puesto que L ((a, b)) = b−a =
C1 ((a, b)) y H1
ε es la medida exterior generada por el Método I aplicado a C1, tenemosH
1
ε (B) ≥ L (B) para todo B ⊆ R luego H1
(B) ≥ H1
ε (B) ≥ L (B). De otro lado sea(c, d) ⊆ R, tomemos n ∈ N lo suficientemente grande para que d−c
n≤ ε entonces,
H1
ε ((c, d)) ≤n−1∑i=0
C1
((c+
d− cn
i, c+d− cn
(i+ 1)
))
=n−1∑i=0
d− cn
= d− c
Luego H1
((c, d)) ≤ d − c y puesto que L es la medida del ejemplo 3.1.1 se tiene queH
1(B) ≤ L (B). Hemos demostrado que H
1(B) = L (B) para todo B ⊆ R.
Hemos visto que la medida exterior de Hausdorff depende de los cubrimientos que toma-mos sobre el espacio métrico (X, d), por ello es importante saber cómo varía la medidaexterior de Hausdorff de un conjunto F tal que F ⊆ T ⊆ X, cuando es considerado sub-conjunto de X o de T . Para demostrar ésto, se definen Aε(T ) = {A ⊆ T | diamA ≤ ε},Aε = {A ⊆ X | diamA ≤ ε}, Hs
ε|T la medida exterior de Hausdorff sobre Aε(T ) y Hs
ε
la medida exterior de Hausdorff sobre Aε. Puesto que Aε(T ) ⊆ Aε entonces Hs
ε|T (F ) ≥Hs
ε(F ). De otro lado si F ⊆ ∪i∈NAi con Ai ∈ Aε entonces
∑Ai∈Aε∩Aε(T )
(diamAi)s ≤∑
i∈N(diamAi)
s luego Hs
ε|T (F ) ≤ Hs
ε(F ) de donde Hs
ε|T (F ) = Hs
ε(F ). Por lo tanto
Hs
|T (F ) = Hs(F ) (aquí H
s
|T (F ) es la medida exterior de Hausdorff sobre T ), es decirla medida exterior de Hausdorff de F como subconjunto de T coincide con la medidacomo subconjunto de X.
35
Hasta ahora sabemos que dado un s ∈ [0,∞) existe una medida de Hausdorff asociada;el siguiente Teorema muestra qué relación existe entre H
s(B) y H
t(B) cuando s 6= t.
Teorema 3.2.1 Dados un subconjunto B de X, donde X es un espacio métrico, y0 < s < t. Si H
s(B) < ∞ entonces H
t(B) = 0. Además si H
t(B) > 0 entonces
Hs(B) =∞.
Demostración. Dados ε > 0 y A ∈ Aε tenemos,
Ht
ε(A) ≤ (diamA)t−s(diamA)s ≤ εt−s(diamA)s.
Si definimos C ′(A) = εt−s(diamA)s, entonces del Teorema del Método I aplicado a C ′
se sigue Ht
ε(B) ≤ εt−sHs
ε(B) para todo B ⊆ X luego,
Ht(B) = lım
ε→0Ht
ε(B)
≤ lımε→0
εt−sHs
ε(B)
= 0 ·Hs
ε(B)
= 0
El otro enunciado del Teorema es el contrarecíproco.
El resultado anterior permite introducir la definición de la dimensión de Hausdorff.
Definición 3.2.1. Dado B un subconjunto de un espacio métrico X, existe un únicos0 ∈ [0,∞) tal que,
Hs(B) =
∞; si s < s0
0; si s > s0
donde s0 = ınf{s ∈ [0,∞) | Hs
(B) = 0}es llamado la dimensión de Hausdorff de
B, y se denotará dimB = s0.Es posible que s0 = 0, entonces dimB = 0 ó que {s ∈ [0,∞) | Hs(B) = 0} = ∅ eneste caso usamos la convención ınf ∅ =∞, luego dimB =∞.
Ejemplo 3.2.3. El ejemplo 3.2.1 muestra que dimF = 0, si F es un subconjuntofinito de un espacio métrico, mientras el ejemplo 3.2.2 muestra que si un subconjuntoB de R tiene medida de Lebesgue positiva y finita, entonces dimB = 1. De otro ladopuesto que Hs ([0, 1]) ≤ Hs (R) ≤
∑n∈Z
Hs ([n, n+ 1]) tenemos que dimR = 1.
36
3.3. LA MEDIDA NATURAL SOBRE (ΣN, ρ)
Asociada a un espacio métrico completo X y un SIF {X; f1, . . . , fN} con factoresde contracción ri ∈ (0, 1) para i = 1, 2, . . . , N se encuentra la función decrecienter : Σ∗ → (0, 1] que se define como sigue:
r(λ) = 1
r(αi) = r(α)ri.
Recordemos que el código λ es el código vacío. Esta función induce una función sobreΣN definida así:
ρ(α, β) =
0; siα = β
r(κ(α, β)); siα 6= β
Donde dados dos códigos α, β ∈ ΣN distintos, se denota κ(α, β) al máximo del conjuntoκ(α, β) = max {σ ∈ Σ∗ | σ ≤ α, β}; observemos que el conjunto {σ ∈ Σ∗ | σ ≤ α, β}puede ser vacío, entonces κ(α, β) = λ.Una mirada detallada sobre la función ρ revela algunos aspectos interesantes, entreellos: ρ(α, β) ≥ 0, ρ(α, β) = ρ(β, α) y ρ(α, β) = 0 sólo si α = β; además dadosα, β, θ ∈ ΣN tales que κ(α, θ) ≤ κ(θ, β) tenemos κ(α, θ) ≤ κ(α, β) por lo que ρ(α, β) =
r(κ(α, β)) ≤ r(κ(α, θ)) = ρ(α, θ) ≤ ρ(α, θ) + ρ(θ, β), la conclusión es análoga sisuponemos κ(θ, β) ≤ κ(α, θ), por lo tanto ρ satisface la desigualdad triangular. Estasobservaciones muestran que ρ es una métrica sobre el espacio de códigos, que dependedel SIF al que está asociado el espacio.Ahora sabemos que (ΣN, ρ) es un espacio métrico, y cómo ya hemos visto, bajo lasmétricas que definimos en el Capítulo 1 sobre ΣN, los conjuntos [α] con α ∈ Σ∗ sonabiertos, por este motivo se espera que lo sigan siendo bajo esta métrica. Tomemosα ∈ Σ(k) y β ∈ ΣN. Si θ ∈ Bρ (β; r (β1β2 . . . βk+1)) entonces ρ (θ, β) = r (κ (θ, β)) <
r (β1β2 . . . βk+1), luego |κ (θ, β)| ≥ k + 1 por lo que θi = βi para i = 1, . . . , k + 1,de donde α ≤ θ, así Bρ (β; r (β1β2 . . . βk+1)) ⊆ [α]. Hemos demostrado que tal comose esperaba los conjuntos [α] son abiertos en (ΣN, ρ). Una implicación inmediata de larelación entre los abiertos (abiertos básicos) generados por las diferentes métricas sobreΣN, es que (ΣN, ρ), (ΣN, dc) y (ΣN, ρr) son homeomorfos.La siguiente proposición describe otra propiedad del espacio de códigos con la métricaasociada al SIF, de la que se habló en los parrafos anteriores.
Proposición 3.3.1 Dados (ΣN, ρ) y A ⊆ ΣN, donde ρ es la métrica asociada alSIF {X; f1, . . . , fN}, con X completo. Existe α ∈ Σ∗ tal que A ⊆ [α] y diamA =
37
diam[α] = r(α); siempre que A tenga al menos dos elementos.Demostración. Antes de iniciar la demostración recordemos que cada código semi-infinito es una función de N en Σ, por lo que α|k = α1α2 . . . αk para k > 0 y α|0 = λ. Unavez hecha esta salvedad, se define T = {σ ∈ Σ∗ | σ ≤ α, ∀α ∈ A}. Si T = ∅, entoncesdiamA = diamΣN = 1 y A ⊆ [λ] = ΣN. Si T 6= ∅, el conjunto N = {|σ| | σ ∈ T} ⊆ Nes no vacío, y acotado pues A tiene al menos dos elementos. Sea n el máximo de N .Puesto que T es linealmente ordenado (ésto es cualquier par de elementos de T soncomparables), existe un único σ′ ∈ T tal que |σ′| = n. De la construcción de σ′ se sigueA ⊆ [σ′].Veamos que diam[α] = r(α) para todo α ∈ Σ∗. Si δ, γ ∈ [α] entonces α ≤ δ, γ luegoρ (δ, γ) ≤ r (α). De otro lado ρ(α1, α2) = r(α). Luego diam[α] = r(α).Resta demostrar que diamA = diam[α] = r(α); para ello observemos que dado δ ∈ A,δ|n = σ′, y debido a que δ|n+1 no pertenece a T , existe θ ∈ A tal que δ|n+1 6= θ|n+1. esdecir ρ(δ, θ) = r(α) así diam[α] ≥ diamA ≥ r(α). Ésto concluye la demostración.
En adelante, dado un SIF {X; f1, . . . , fN} asumiremos que ri ∈ (0, 1) con i = 1, . . . , N
y X es un espacio métrico completo a menos que se diga lo contrario.
Hemos visto que es posible definir una métrica sobre el espacio de códigos que estéestrechamente relacionada con el SIF al que corresponde el espacio. Los conceptos quese exponen a continuación, exploran un poco más la relación que existe entre el SIF ysu espacio de códigos.
Definición 3.3.1 (Dimensión de similaridad) Dado el SIF {X; f1, . . . , fN} con atractorA y factores de contracción ri ∈ (0, 1) para i = 1, 2, . . . , N . Se define la dimensión de
similaridad de A como la solución de la ecuaciónN∑i=1
rsi = 1. La dimensión se denota
simA = s.
La definición anterior involucra algunos valores cuya existencia se verifica a continuación.
Sobre los números reales no negativos definimos la función f(x) =N∑i=1
rxi de [0,∞) en
[0,∞); puesto que f es continua pues es una suma finita de funciones continuas, másaún, dado que cada ri ∈ (0, 1), entonces f es estrictamente decreciente. De otro ladof(0) = N ≥ 1 y lım
x→∞f(x) = 0, es decir, existe x0 ∈ [0,∞) tal que f(x0) < 1, por
lo tanto del Teorema del Valor Intermedio se sigue la existencia de la solución de laecuación. La unicidad se debe a que f es estrictamente decreciente.
Los Métodos I y II utilizados para construir medidas exteriores, que se presentarón enla sección 3.1, hacen posible definir sobre el espacio de códigos (ΣN, ρ) asociado aun SIF con atractor A una medida “natural”. Para ello consideremos el cubrimientoA = {[α] | α ∈ Σ∗} y la función C([α]) = (diam[α])s = (r(α))s, aquí s = simA,
38
entonces la medida exterior M generada por el Método I será llamada medida naturalsobre (ΣN, ρ). Los siguientes resultados describen algunas propiedades de está medida,entre ellas que coincide con la medida de Hausdorff de dimensión s definida sobre (ΣN, ρ).
Lema 3.3.1 Dados [α] ∈ A y ε > 0, existe un subconjunto finito {Di | i = 1, . . . , k} ⊆
A tal que diamDi ≤ ε y C([α]) =k∑i=1
C(Di). En este enunciado A y C están definidas
como en el parrafo anterior.Demostración. Si [α] ⊆ (ΣN, ρ) entonces [α] se puede ver como la unión disjunta,
[α] =N∪i=1C([αi]) y:
N∑i=1
C([αi]) =N∑i=1
(r(αi))s
=N∑i=1
(r(α)ri)s
= (r(α))sN∑i=1
rsi
= (r(α))s
= C([α])
Supongamos que dado n ∈ N se cumple, [α] =N∪
i1,i2,...,in=1[αi1i2 . . . in], esta unión es dis-
junta, y C([α]) =N∑
i1,i2,...,in=1
C([αi1i2 . . . in]). Dado que [αi1i2 . . . in] =N∪i=1
[αi1i2 . . . ini]
se tiene [α] =N∪
i1,i2,...,in+1=1[αi1i2 . . . inin+1] luego,
N∑i1,i2,...,in,in+1=1
C([αi1i2 . . . inin+1]) =N∑
in+1=1
(N∑
i1,i2,...,in=1
C([αi1i2 . . . inin+1]))
=N∑
in+1=1
(N∑
i1,i2,...,in=1
(r(αi1i2 . . . in)rin+1)s)
=N∑
i1,i2,...,in=1
(r(αi1i2 . . . in))s
= C([α])
Ésto demuestra el Lema, pues es posible hacer diam[α] tan pequeño como se desee.
Teorema 3.3.1. La medida naturalM es una medida exterior métrica tal queM([α]) =
C([α]).Demostración. La idea de esta demostración consiste en mostrar que M es una medida
39
generada por el Método II, por tanto es una medida exterior métrica. Para ello tómeseAε = {[α] | diam[α] ≤ ε} con ε > 0, y N ε la medida exterior generada a través delMétodo I sobre Aε y C. En este caso M([α]) ≤ C([α]) pues [α] ∈ Aε ⊆ A luegoN ε(B) ≥M(B) para todo B ⊆ ΣN, ésto se sigue de la construcción deN ε, así la medidaexterior generada por el Método II a partir deN ε es tal queN(B) = lım
ε→0N ε(B) ≥M(B).
De otro lado debido a que M es la medida exterior generada por el Método I sobreA, será suficiente mostrar que N([α]) ≤ C([α]) para todo [α] ∈ A. Para ello sólo esnecesario obervar que del Lema anterior se sigue,
C([α]) =k∑i=1
C(Di)
donde diamDi ≤ ε y cada Di ∈ Aε. Así Nε([α]) ≤ C([α]) lo que implica Nε(B) ≤M(B) y por lo tanto N(B) ≤M(B). Hemos demostrado que la medida natural coincidecon una medida exterior generada por el Método II, por lo tanto es una medida exteriormétrica.Resta demostrar que M([α]) = C([α]). Observemos que cualquier cubrimiento de [α]
posee un subcubrimiento finito disjunto; ésto se debe a que [β] ∩ [θ] 6= ∅ es posiblesólo si [β] ⊆ [θ] ó [β] ⊇ [θ], y [α] = adh(B(α; r(α)), la notación adh hace referenciaa la adherencia de un conjunto, y dado que todo subespacio cerrado de un compactoes compacto [4], [α] es compacto. Bajo las observaciones anteriores, sea {[βi]}i∈N uncubrimieto abierto de [α], tal que todos los elementos del cubrimiento intersectan a[α]. Si existe un i0 tal que βi0 ≤ α entonces C ([α]) ≤ C ([βi0 ]) y [α] ⊆ [βi0 ], luegoC ([α]) ≤
∑i∈NC ([βi]). Ahora supongamos que α < βi para todo i ∈ N, entonces [βi] ⊆
[α]. Debido a las observaciones anteriores, se tiene que [α] =m∪i=1
[βi] para i = 1, . . . ,m
y la unión es disjunta (se ha supuesto, sin perdida de generalidad, que el subcubirmientofinito está formado por los primeros m elementos del cubrimiento). Considerese n =
max {|βi| | i = 1, . . . ,m} y completemos cada βi hasta un δi tal que βi ≤ δi y |δi| = n,luego [α] =
m∪i=1
[δi] ⊆m∪i=1
[βi] y la nueva unión también es disjunta. De otro lado [α] es launión disjunta [α] = ∪
δ∈Σn,α<δ[δ] y C ([α]) =
∑δ∈Σn,α<δ
C ([δ]). Debido a ésto ∪δ∈Σn,α<δ
[δ] =
m∪i=1
[δi], por lo tanto C ([α]) ≤∑i∈NC ([βi]). Hemos demostrado que C ([α]) ≤
∑i∈NC ([βi])
para todo cubrimiento abierto de [α], por lo que de la definición de M ([α]) se sigueM ([α]) = C ([α]).
Teorema 3.3.2 La medida natural M definida sobre el espacio de códigos (ΣN, ρ)
asociado al SIF {X; f1, . . . , fN} con atractor K, coincide con la medida de Hausdorffde dimensión s = simK definida sobre el espacio de códigos; más aún dimΣN = s.Demostración. Sea B ⊆ ΣN tal que diamB ≤ ε, con ε > 0; debido a la Proposición
40
3.3.1 existe un α ∈ Σ∗ que satisface diamB = diam[α] y B ⊆ [α] luego M(B) ≤M([α]) = C([α]) = (diamB)s; como H
s
ε es la medida exterior generada por el MétodoI a través del cubrimiento
{A ⊆ ΣN | diamA ≤ ε
}entonces H
s
ε(F ) ≥M(F ) para todoF ⊆ ΣN, de aquí se sigue H
s(F ) ≥M(F ) es decir, H
s ≥M . De otro lado, dados ε > 0
y α ∈ Σ∗, sean rmax = max {ri | i = 1, . . . , N} y n ∈ N tales que rnmax < ε y |α| < n,
entonces [α] es la unión disjunta ∪|β|=n,α≤β
[β] de donde Hs
ε([α]) ≤N∑
|β|=n,α≤βC([β]) =
C([α]) = M([α]), la desigualdad se debe a que diam[β] ≤ ε lo demás se sigue del Lema3.3.1 y el Teorema 3.3.1. Debido a que M es la medida exterior generada por el MétodoI a través del cubrimiento A = {[α] | α ∈ Σ∗}, podemos concluir que M(F ) ≥ Hε
s(F )
y así Hs(F ) ≤M(F ), es decir, H
s ≤M .
Ya se ha demostrado que Hs
= M , entonces Hs(ΣN) = M(ΣN) =
N∑i=1
M([i]) = 1, por
lo tanto dimΣN = s = simA.
Los conceptos y resultados que han sido presentados hasta aquí exhiben en parte laestrecha relación que existe entre un SIF y su espacio de códigos asociado. Ahora sabemosque es posible definir una métrica y una medida sobre el espacio de códigos, de tal modoque la dimensión de Hausdorff de él coincida con la dimensión de similaridad del atractordel SIF al que está asociado; sin embargo nada se ha dicho aún sobre la dimensión deHausdorff del atractor del SIF, o sobre la relación que puede tener con la dimensiónde Hausdorff del espacio de códigos. Algunos resultados en este sentido aparecen en lasiguiente sección.
3.4. DEFINICIÓN
Esta sección constituye uno de los pilares de este documento, aquí se introduce la nociónde autosemejanza que Hutchinson presentó en el artículo “Fractals and self similarity” [10]y que está ligada a conceptos que ya han sido discutidos en este trabajo, entre ellos losSistemas Iterados de Funciones y la medida de Hausdorff. El resultado principal de estasección proporciona condiciones bajo las cuales el atractor de un SIF es autosemejante,en el sentido de Hutchinson, y revela que conjuntos como La curva de Koch (figura3.4.1), El triangulo de Sierpiński (1.3.1.1) y El conjunto de Cantor (2.1.1) satisfacenestá noción de autosemejanza.
La notación que aparece a continuación será utilizada en adelante. Consideremos el
atractor K de un SIF {X; f1, . . . , fN}, entonces K =N∪i=1fi(K) ≡
N∪i=1Ki; si repetimos
ésto sobre cada Kj tenemos que Kj = fj(K) = fj(N∪i=1Ki) =
N∪i=1fj(Ki) ≡
N∪i=1Kji luego
41
K =N∪
j,i=1Kji. Este proceso se puede generalizar como sigue, dado α ∈ Σ(k) el conjunto
Kα = fα(K) = fα1 ◦ fα2 ◦ · · · ◦ fαk(K) y el atractor K = ∪
α∈∑(k)
Kα. En general
utilizaremos la notación Vα = fα(V ) = fα1 ◦ fα2 ◦ · · · ◦ fαk(V ) aunque V ⊆ X no sea
el atractor del SIF. Observemos que diamVα ≤ diam[α]diamV cuando consideramos[α] ⊆ (ΣN, ρ). De otro lado para α ∈ Σ(k) denotamos α− el código α− = α1α2 . . . αk−1.En seguida aparece la noción de autosemejanza propuesta por J. E Hutchinson, conocidacomo autosemejanza estrcita.
Definición 3.4.1 (Autosemejanza estricta). Dado K un subconjunto de X, diremosque K es autosemejante si:
1. K es el atractor de un SIF {X; f1, . . . , fN}.
2. Hk(K) > 0, H
k(Ki ∩Kj) = 0 para i 6= j, donde dimK = k.
Ya hemos definido la noción de autosemejanza asociada a un SIF propuesta por Hutchin-son. El objetivo principal en lo que resta de sección será mostrar que existen conjuntosautosemejantes.
Proposición 3.4.1. Sea {X; f1, . . . , fN} un SIF tal que N > 1 y al menos dospuntos fijos de las contracciones fi son distintos, K su atractor y simK = s, entoncesdimK ≤ s y H
s(K) <∞.
Demostración. Sean ε > 0, r = max1≤i≤N
ri , y n ∈ N tal que rndiamK ≤ ε entonces
K = ∪i∈Σ(n)
Ki, por lo que:
Hεs(K) ≤
∑i∈Σ(n)
(diamKi)s
=∑i∈Σ(n)
rsi (diamK)s
= (diamK)s
Luego Hs(K) ≤ (diamK)s de donde dimK ≤ s y H
s(K) < ∞, como queríamos
demostrar.
Para el resto de está sección restringiremos un poco más las funciones que forman los SIF,sólo serán considerados SIF formados por contracciones en Rd tales que d(f(x), f(y)) =
rd(x, y) con r ∈ (0, 1). Estas funciones son conocidas como similitudes. Es posibledemostrar que toda similitud en Rd es de la forma f (x) = rOx + b donde O es unamatriz ortonormal y b ∈ Rd [10].
42
Proposición 3.4.2 Sea K el atractor del SIF {Rd; f1, . . . , fN}. Entonces K es auto-semejante si dimK = simK = s; siempre que 0 < H
s(K) <∞.
Demostración. Puesto que K =N∪i=1Ki entonces
Hs(K) ≤
N∑i=1
Hs(Ki)
=N∑i=1
rsiHs(K)
= Hs(K)
N∑i=1
rsi
= Hs(K)
Como 0 < Hk(K) <∞, entonces H
s(K) =
N∑i=1
Hs(Ki) implica H
s(Ki ∩Kj) = 0.
A continuación, se demostrará que existen conjuntos autosemejantes en el sentido deHutchinson. Para ello se introduce la Condición del Conjunto Abierto. Esta condicióncontrola las intersecciones de las piezas del atractor, con el objetivo de garantizar lasegunda condición de la Definición 3.4.1.
Un Sistema Iterado de Funciones {Rd; f1, . . . , fN} satisface la Condición del Con-junto Abierto de Moran (OSC) si y sólo si existe un abierto no vacío U ⊆ Rd tal
que fi(U) ∩ fj(U) = ∅ para i 6= j yN∪i=1fi (U) ⊆ U , este conjunto será llamado el
conjunto abierto de Moran. De la definición del conjunto abierto de Moran se sigueque fα(U) ∩ fβ(U) = ∅ si no se cumple α ≤ β ó β ≤ α para α, β ∈ Σ∗.
Los resultados que aparecen a continuación proporcionan métodos para verificar si unconjunto es o no autosemejante, en el sentido de Hutchinson.
Lema 3.4.1. Sean {Rd; f1, . . . , fN} un SIF con factores de contracción {ri}1≤i≤N , talque N > 1 y al menos dos puntos fijos de las contracciones fi son distintos, y K suatractor con simK = s. Si U es el conjunto abierto y acotado de Moran para el SIF,entonces existe una constante c > 0 tal que, para A ⊆ K, el conjunto:
T ={α ∈ Σ∗ | fα(U) ∩ A 6= ∅ ∧ diamfα(U) < diamA ≤ diamfα−(U)
}tiene a lo más c elementos.Demostración. Primero veremos que T no es vacío. Ésto se debe a que
N∪i=1fi (U) ⊆ U ,
de donde K ⊆ U , luego Kα ⊆ fα(U)⊆ Uα para todo α ∈ Σ∗, por lo tanto ϕ ([α]) =
K ∩ Uα.
43
Ahora veamos que los conjuntos fα(U) son disjuntos. Para ello es suficiente demostrarque no es posible α < β ni β < α para α, β ∈ T . Supongamos que α < β, entoncesα ≤ β−de donde diamA ≤ diamfβ−(U) ≤ diamfα(U) < diamA, lo que no es posible.En conclusión los conjuntos fα(U) son disjuntos.La función fα con α ∈ T es una similaridad con factor de contracción igual a diam[α].Denotando w = diamU se tiene diamfα(U) = w · diam[α]. Sea r = mın
1≤i≤N{ri}, así:
diamfα(U) = w · diam[α]
≥ wr · diam[α−]
= r · diamfα−(U)
≥ r · diamA
Si p = Ld(U) es el volumen de U , se sigue que el volumen de fα(U) con α ∈ T es:
Ld(fα(U)) = p (diam[α])d
= p
(w · diam[α]
w
)d≥ prd
wd(diamA)d
De otro lado, si x ∈ A y y ∈ fα(U) para α ∈ T , existe z ∈ fα(U)∩A de tal modo que,
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
≤ diamA+ diamfα(U)
≤ 2diamA
Por lo que si m > 0 es el número de elementos de T , entonces tenemos m conjuntosdisjuntos fα(U), todos con volumen al menos prd
wd (diamA)d contenidos en la adherenciade una bola de radio 2diamA. De lo anterior se sigue que si t = Ld (B(0; 1)) es elvolumen de la bola unitaria, tenemos:
mprd
wd(diamA)d ≤ t (2diamA)d
De donde m ≤ twd
prd. Podemos elegir c = twd
prdlo que concluye la demostración.
Teorema 3.4.1. Sean {Rd; f1, . . . , fN} un SIF con factores de contracción {ri}1≤i≤N ,
tal que N > 1 y al menos dos puntos fijos de las contracciones fi son distintos, K suatractor y simK = s. Si existe un conjunto abierto acotado que satisface la Condicióndel Conjunto Abierto, entonces dimK ≥ s y H
s(K) > 0.
Demostración. Sean c la constante del Lema 3.4.1, U el conjunto abierto de Moran y
44
w = diamU . Para B ⊆ K tomemos T como en el Lema anterior, entonces:
B ⊆ ∪α∈T
fα(U).
Luego ϕ−1(B) ⊆ ∪α∈T
[α]. De otro lado si α ∈ T , entonces:
M ([α]) = (diam[α])s =
(1
wdiamfα(U)
)s≤ 1
ws(diamB)s ;
por lo que,
M(ϕ−1(B)
)≤
∑α∈T
M ([α])
≤ c
ws(diamB)s
llamemos b = cws . Entonces por el Teorema del Método I aplicado a la función C(A) =
b (diamA)s para A ∈ Aε ⊆ Rd se tiene M (ϕ−1(B)) ≤ bsHs
ε (B) ≤ bsHs(B), luego
1 = M (ϕ−1(K)) ≤ bsHs(K) de donde dimK ≥ s.
Lo expuesto en esta sección se puede resumir de la siguiente manera. Dado un SIF{Rd; f1 . . . , fN} formado por similudes. Si el SIF satisface la Condición del ConjuntoAbierto de Moran; el Teorema 3.4.1 y las Proposiciones 3.4.1 y 3.4.2 nos dicen que elatractor del SIF es autosemejante en el sentido de Hutchinson. Ésto provee un métodopara construir conjuntos autosemejantes siempre que sea posible verificar la Condicióndel Conjunto Abierto de Moran.
Los siguientes ejemplos de conjuntos autosemejantes, en el sentido de Hutchinson, estánformados (salvo uno) por algunos de los atractores de SIF más conocidos.
Ejemplo 3.4.1. Es fácil verificar que el conjunto abierto de Moran del SIF del ejemplo2.1.1 (cuyo atractor es el conjunto de Cantor) es el intervalo (0, 1) y, el del SIF delejemplo 1.3.1.1 (cuyo atractor es el triángulo de Sierpiński) es el interior del triángulocon vértices en los puntos −→a = (0, 0),
−→b = (1, 0) y −→c =
(12,√
32
); por lo tanto
los atractores son autosemejantes y, un cáculo directo muestra que las dimensiones deHausdorff son ln 2
ln 3y ln 3
ln 2respectivamente.
Ejemplo 3.4.2. El atractor del SIF {R2; f1, f2, f3, f4} donde,
f1(x, y) =
(13
0
0 13
)(x
y
)
f2(x, y) =
(16−√
36√
36
16
)(x
y
)+
(13
0
)
45
f3(x, y) =
(− 1
6
√36√
36
16
)(xy
)+
(230
)f4(x, y) =
(13 00 1
3
)(xy
)+
(230
)se conoce como la Curva de Koch. Este SIF satisface la Condición del Conjunto Abierto deMoran. Escojamos U como el interior del triángulo isósceles con vértices en −→a = (0, 0),−→b = (1, 0) y −→c =
(12,√
36
). Entonces f1 (U) es el interior del triángulo con vértices en
−→a1 = (0, 0),−→b1 =
(13, 0)y −→c1 =
(16,√
318
), f2 (U) es el interior del triangulo con vértices
en −→a2 =(
13, 0),−→b2 =
(12,√
36
)y −→c2 =
(13,√
39
), f3 (U) es el interior del triángulo
con vértices en −→a3 =(
23, 0),−→b3 =
(12,√
36
)y −→c3 =
(23,√
39
), y f4 (U) es el interior
del triángulo con vértices en −→a4 =(
23, 0),−→b4 = (1, 0) y −→c4 =
(56,√
318
). Por lo tanto
fi(U) ∩ fj(U) = ∅ si i 6= j, y f1 (U) ∪ f2 (U) ∪ f3 (U) ∪ f4 (U) ⊆ U . Ésto demuestraque la curva de Koch es autosemejante y nuevamente un cálculo directo muestra quesu dimensión de Hausdorff es ln 4
ln 3. El atractor de este SIF junto al conjunto abierto U y
sus componentes fi(U), aparecen en la figura 3.4.1; no se ha coloreado el interior deltriángulo para facilitar la observación del atractor.
Figura 3.4.1. curva de Koch y el conjunto abierto de Moran.
Ejemplo 3.4.3. Consideremos el SIF del ejemplo 2.1.2. En este caso el conjunto abiertoes el interior del polígono con vértices en−→a = (0, 1),
−→b = 1
4
(− 1√
2, 1√
2+ 1),−→c = (0, 0)
y−→d = 1
4
(1√2, 1√
2+ 2), la demostración es análoga a la del ejemplo 3.1.4. De lo anterior
se sigue que el atractor es autosemejante y su dimensión de Hausdorff es ln 6ln 4
. La figura3.4.2 muestra el atractor y el conjunto abierto; nuevamente no se ha coloreado el interiordel conjunto abierto.
46
Figura 3.4.2 Atractor del ejemplo 3.4.3 y el conjunto abierto Moran.
3.5. SOBRE LA DEFINICIÓN DE CONJUNTO FRACTAL
El término fractal se deriva del latín fractus que significa quebrado o fracturado, y es elnombre que utilizó B. Mandelbrot para referirse a conjuntos con una “forma geométricafracturada” [1], que están formados por copias de si mismos (al menos aproximadamente)que han sido reducidas de tamaño. Las definiciones formuladas sobre este conceptointentan formalizar la idea anterior, siendo un referente la “medida” y “dimensión” delobjeto. Si bien existen varias formas de estimar estos rasgos, en los fractales las másutilizadas son la medida y dimensión de Hausdorff.Hasta ahora hemos mencionado los aspectos que se tienen en cuenta cuando se busca unadefinición formal de fractal; sin embargo, si es “posible” calcular la medida y dimensión deHausdorff de conjuntos tradicionales como un intervalo o un cuadrado, o exóticos comoLa curva de Koch o El triángulo de Sierpiński, ¿qué diferencia un fractal de un intervaloo un cuadrado? La respuesta a esta pregunta o mejor dicho, las diferentes respuestasque hay de esta pregunta, son las responsables de la existencia de varias definicionesde fractal. La idea básica consiste en comparar la dimensión de Hausdorff del fractalcon otra dimensión, generalmente la topológica, que se definirá más adelante. En estesentido B. Mandelbrot propusó una definición tentativa de fractal como un conjunto en
47
el que la dimensión topológica es estrictamente menor que la dimensión de Hausdorff.Esta definición no es aceptada completamente por Mandelbrot, pues excluye las curvasque llenan el espacio; debido a ésto en este documento se incluyen ejemplos (capítulo 4)de conjuntos que a pesar de no ser “fractales” en el sentido de Mandelbrot, si presentanla “irregularidad” y “fragmentación” que caracteriza estos conjuntos.
Aquí sólo se discutirá brevemente la dimensión topológica. Sea n ≥ −1 un entero,el ordén de una familia A de conjuntos es menor o igual a n si y sólo si cualquierintersección de n+ 2 conjuntos de la familia es vacía. Si n ≥ 0, entonces A tiene ordenn si y sólo si tiene orden menor o igual a n pero no menor o igual a n − 1. Diremosque un espacio topológico X tiene dimensión topológica (o de cubrimiento de Lebesgue)menor o igual a n si y sólo si cada cubrimiento abierto finito de X tiene un refinamiento(un refinamiento de A es un cubrimiento abierto B de X tal que para todo B ∈ Bexiste A ∈ A con B ⊆ A) de orden menor o igual a n. La dimensión topológica esn si y sólo si la dimensión topológica es menor o igual a n pero no menor o igual an − 1. La dimensión topológica se denotará CovX. Una propiedad importante de estadimensión muestra que si T es un subespacio topológico de X entonces CovT ≤ CovX,en partícular si A ⊆ Rd tal que el interior A◦ 6= ∅, entonces CovA = d [9]. De aquíse sigue que cualquier atractor de un SIF en Rd con interior no vacío tiene dimensióntopológica d.
Ejemplo 3.5.1. El conjunto de Cantor C, del ejemplo 2.1.1, es un fractal en el sentidode Mandelbrot pues, CovC = 0 < dimC = ln 2
ln 3, también lo són La curva de Koch
y El triángulo de Sierpiński ya que la dimensión topológica de ambas es igual 1, quees estrictamente menor que la dimesión de Hausdorff de cada una. El cálculo de ladimensión topológica de estos conjuntos aparece en [9].
48
4. SOBRE LA CONDICIÓN DEL CONJUNTOABIERTO, EN EL PLANO
En el capítulo anterior se presentó la definición de autosemejanza asociada a un SIF,propuesta por Hutchinson, y se introdujo la Condición del Conjunto Abierto OSC (OpenSet Condition), como mecanismo para generar conjuntos autosemejantes, en el sentidode Hutchinson. Durante la elaboración de este documento, surgierón varias preguntasalrededor de esta condición, entre ellas ¿Cómo mostrar que un SIF dado satisface OSC?.La busqueda de una respuesta (al menos parcial) a esta pregunta constituye la motivaciónprincipal de este capítulo. En él, se exponen condiciones equivalentes a OSC; se muestrala dificultad de verificar la condición en algunos SIF, y lo “exótico” que puede ser elconjunto abierto buscado. Por último se presenta una reconstrucción parcial del resultadode C. Bandt y H. Rao [11], el cual demuestra que en R2 cualquier SIF formado porsimilitudes, con atractor A conexo y tal que la intersección de sus piezas principales(fi (A) para i ∈ Σ) sea finita, satisface OSC y por tanto, son conjuntos autosemejantes..
4.1. CONDICIONES EQUIVALENTES A OSC
En general, determinar si un SIF satisface o no la Condición del Conjunto Abierto noes una tarea sencilla, incluso cuando el SIF está formado solamente por dos similitudes,como en el ejemplo 4.1.1; ésto se debe a que en ocasiones el conjunto abierto no resultaser un conjunto convencional como un triángulo o un paralelogramo como sucedio enlos ejemplos presentados al final del capítulo 3 (El triángulo de Sierpiński, la Curva deKoch). El conjunto abierto de Moran no necesariamente debe ser convexo, conexo osimplememente conexo, sino que puede ser tan complejo como el mismo atractor; enel ejemplo 4.1.2 se puede apreciar esta observación. Estas dificultades han motivado labusqueda, de varios autores, de condiciones más manejables que OSC. En esta secciónse introducen tres condiciones equivalentes a OSC, que se encuentran comúnmente enla literatura sobre SIF.
49
Los siguientes ejemplos ilustran la dificultad de determinar si dado un SIF, existe o noun conjunto abierto de Moran.
Ejemplo 4.1.1. Sobre R2 definamos el SIF {R2; f1, f2} donde:
f1(x, y) =
[−0, 5 −0, 5
0, 5 −0, 5
][x
y
]
f2(x, y) =
[0, 5 −0, 5
0, 5 0, 5
][x
y
]+
[1
0
]
Cuyo atractor, A, es la figura 4.1.1. Este SIF, cuyo atractor es conocido como el dra-gón de Heighway, es un ejemplo en el que las intersecciones de las piezas del atractorson infinitas, el SIF satisface OSC y hallar el conjunto abierto requiere un poco de es-fuerzo. La figura sugiere que f1 (A) y f2 (A) tienen interior no vacio y disjunto; estasafirmaciones indican que A◦ puede ser el conjunto buscado, sin embargo es necesarioverificar que efectivamente estas observaciones sobre las piezas del atractor son ciertas.La demostración de estas afirmaciones aparece en [9] . Como el SIF tiene la Condicióndel Conjunto Abierto, su dimensión de Hausdorff es 2 (Teorema 3.4.1).
Figura 4.1.1. Atractor del ejemplo 4.1.1.
Hasta ahora, todos los conjuntos abiertos de Moran expuestos además de ser acotadosson conexos y simplemente conexos. El siguiente ejemplo muestra que ésto no siempreocurre.
50
Ejemplo 4.1.2. En el plano real, consideremos el SIF {R2; g1, g2, g3, g4} donde,
g1(x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]
g2(x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[1
0
]
g3(x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[0
1
]
g4(x, y) =
[12
0
0 12
][x
y
]+
[−1
−1
]
El atractor K del SIF se observa en la figura 4.1.2. En [12] se demuestra que el interiorde K (K◦) es diferente de vacío, y K◦i ∩K◦j = ∅ siempre que i 6= j; de aquí se sigueque el conjunto abierto de Moran V está contenido en K◦ más aún, V es igual a K◦
menos un conjunto denso en nínguna parte1, por lo tanto V no es simplemente conexo,ni convexo (ver [12]). Es importante destacar que aunque las afirmaciones hechas no sontriviales, la mayoría se observan en la figura 4.1.2 lo que las hace intuitivamente ciertas.En este caso la dimensión de Hausdorff es 2 (Teorema 3.4.1).
Figura 4.1.2. Atractor del ejemplo 4.1.2.
La Condición del Conjunto Abierto aparece en 1946, en el artículo “Additive functionsof intervals and Hausdorff measure” escrito por P.A.P Moran [13]. Ésta fue introducida
1Un conjunto es denso en nínguna parte, o diseminado, si el interior de su clausura esvacío.
51
con el objetivo de mostrar que la medida de Hausdorff del atractor de un SIF en Rd,formado por similitudes, es estrictamente mayor que cero. Pese a la dificultad de verificarla existencia de un conjunto abierto, con tales condiciones; OSC se ha convertido en lacondición de separación más aceptada, para los SIF, debido a la cantidad de equivalenciasque han sido formuladas; entre ellas se destacan: la propuesta por A. Schief en el artículode 1994 “Separation properties for self similar sets” [14] donde demuestra el recíprocodel Teorema 3.4.1, y lo enunciado en 1992 por C. Bandt, conocido como “Neighbormap”, que aparece en el artículo “Self-similar sets VII. A characterization of self-similarfractals with positive Hausdorff measure” [15]. A continuación se enuncian OSC y sus tresequivalencias; la demostraciones de cada una pueden ser consultadas en las respectivasreferencias.
Dado un Sistema Iterado de Funciones {Rd; f1, . . . , fN} con atractor A. Las siguientescondiciones son equivalentes:
1. La Condición del Conjunto Abierto de Moran [13]: existe un conjunto abierto no
vacío U ⊆ Rd tal que fi(U) ∩ fj(U) = ∅ para i 6= j yN∪i=1fi (U) ⊆ U .
2. Medida de Hausdorff s-dimensional estrictamente mayor que cero [14]: Hs(A) > 0
donde s = simA, es decirN∑i=1
rsi = 1.
3. La propiedad del cúmulo finito (Finite Clustering Property) [14]: Existe un enteroN tal que para cada pieza Ai de A, con diámetro ε, existen a lo más N piezas Aj
incomparables tales que diamAj ≥ ε y dist (Ai, Aj) ≤ ε. Aquí i, j ∈ Σ∗ y diremosque dos piezas Aj y Ak son incomparables si y sólo si j y k no son comparables.
4. La condición de la aplicación vecina (Neighbor map) [15]: La función identidad idno es un punto de acumulación del conjunto de aplicaciones vecinas. Una aplicaciónvecina es una función de la forma h = f−1
i ◦ fj, donde i, j ∈∑∗ e i1 6= j1. La
convergencia de una similitud en Rd está dada por la norma ‖g‖ = sup‖x‖≤1
‖g (x)‖.
El Teorema 4.1.1 es una aplicación de la segunda equivalencia de OSC, y nos revela unacondición necesaria para que un SIF satisfaga la Condición del Conjunto Abierto, basadaen las direcciones asociadas a un punto. Antes de presentar el Teorema se introduce lasiguiente definición.
Definición 4.1.1. Un código s ∈ ΣN es una sucesión recurrente si para cada k ≥ 1
existe n ≥ 1 tal que s1s2 . . . sk = sn+1sn+2 . . . sn+k.
Un ejemplo de este tipo de códigos es la sucesión de Cantor [11] que se obtiene comoel límite de:
52
s(0) = 2
s(n+1) = s(n)13ns(n)
Aquí 13n significa escribir el número 1 así,
s(1) = 212
s(2) = 212111212
s(3) = 212111212111111111212111212...
Teorema 4.1.1. Sea A el atractor de un SIF {Rd; f1, . . . , fN} con factores de con-tracción {ri}1≤i≤N . Si un punto a ∈ As1 , con dirección recurrente s, pertenece a unapieza At1 , con t1 6= s1, entonces la Condición del Conjunto Abierto (OSC) no se tiene.
Demostración. De acuerdo a la propiedad del cúmulo finito, el conjunto A no satisfaceOSC si para cada M ∈ N existe una pieza Ai que intersecta al menos otras M piezasAj, tales que diamAj ≥ diamAi y nínguna pieza está contenida en otra.Dados M ∈ N y a ∈ As1 ∩At1 , t1 6= s1, un punto con dirección recurrente s = s1s2 . . .
y segunda dirección t. Veamos que es posible encontrar un código finito i, de longitudn, tal que i < s y existen l1 < l2 < · · · < lM < n tales que ilk+1 . . . in = s1 . . . sn−lkpara k = 1, . . . ,M . En otras palabras, el código finito i tiene M sufijos que son prefijosde s. Para demostrar ésto utilizará inducción matemática. Dado que s es recurrente,existe p ∈ N tal que s1 = sp+1, por tanto el código s1s2 . . . sp+1 tiene un sufijo que esprefijo de s; supongamos que existe un código finito i < s, de longitud m, que tiene ksufijos que son prefijos de s; nuevamente, puesto que s es recurrente, existe p ∈ N talque s1s2 . . . sm = sp+1sp+2 . . . sp+m, entonces el código s1s2 . . . sm . . . sp+1sp+2 . . . sp+m
tiene k + 1 sufijos que son prefijos de s.Hecho ésto, definamos jk = i1 . . . ilkt1 . . . tnk
para k = 1, . . . ,M donde nk es tal quediamAjk ≥ diamAi, (para garantizar que nk ≥ 1 es suficiente tomar n − lM tal quert1 > rs1 . . . rsn−lM
pues rs1 . . . rsn−lM≥ rs1 . . . rsn−lk
) entonces fi1...ilk (a) ∈ Ai ∩ Ajk ,y las piezas Ajk son incomparables pues, si k < k′ la lk + 1 coordenada de jk es t1mientras que la de jk′ es s1. Ésto concluye la demostración.
El Teorema anterior expone una condición suficiente para que OSC no se tenga. Enseguida veremos que existen infinitos ejemplos de SIF en R o R2 en los cuales la Condicióndel Conjunto Abierto no se satisface, pues un punto del atractor tiene asociadas almenos dos direcciones, una de ellas recurrente. También se demuestra que la dimensiónde Hausdorff de estos atractores puede ser tan pequeña como se desee y, en algunoscasos, en realidad infinitos, la intersección de dos piezas del atractor no es total, es decirAj 6= Ai para todo par de códigos finitos distintos.
53
Considerese en R2, el SIF formado por fi(z) = airz+ bi para i = 1, . . . , N , con atractorA, ai, bi ∈ C, ‖ai‖ = 1 y r ∈ (0, 1). Si t = t0t1t2 . . . ∈ ΣN la función de direcciónevaluada en t es el límite de:
ft0 ◦ ft1(z) = bt0 + rbt1at0 + r2at0at1z
ft0 ◦ ft1 ◦ ft2(z) = bt0 + rbt1at0 + r2bt2at0at1 + r3at0at1at2z...
ft0 ◦ ft1 ◦ · · · ◦ ftn(z) = bt0 +n∑k=1
rkbtk
k−1∏l=0
atl + rn+1z
n∏l=0
atl
Luego ϕ(t) = bt0 +∞∑k=1
rkbtkk−1∏l=0
atl ya que rn+1zn∏l=0
atl → 0 cuando n → ∞. Las
direcciones se han iniciado en t0 pues de este modo ϕ(t) es una serie de potencias
en r (la converegencia de la serie se debe a que∞∑k=1
rk ‖b‖max es convergente, siendo
‖b‖max = max1≤i≤N
‖bi‖ ).Si simplificamos aún más las similitudes, por ejemplo, haciendo N = 3, a1 = a2 = 1,a3 = w, b1 = 0, b2 = 1 y b3 = c e identificamos los códigos 31 y s, (s es la sucesiónde Cantor definida anteriormente) el atractor resultante no satisface la Condición delConjunto Abierto; más aún la función de dirección asociada tiene una representaciónsencilla en serie de potencias, y el valor de c se puede calcular partir de la ecuaciónϕ(s) = ϕ(31) = c del siguiente modo:
c = ϕ(s) = 1 + r2 + r6 + r8 + r18 + . . . =∑sk=2
rk =∞∏k=0
(1 + r2·3k
)La última igualdad se puede verificar a través del principio de inducción y el hecho queϕ(s) = lım
n→∞fs(n)(z).
En resumen, hasta este púnto, se ha mostrado que es posible obtener el valor de ccorrespondiente a un valor de r dado, y w puede ser elegido del círculo unitario complejo.Además, puesto que dimA ≤ simA = ln 3
|ln r| , la dimensión de Hausdorff puede ser tanpequeña como se desee.Resta demostrar que existen infinitos valores de r para los que la intersección de dospíezas cualquiera del atractor no es total, es decir Aj 6= Ai para todo i 6= j con i, j ∈ Σ∗.Para ello sea w = 1 y notese que Aj = Ai sólo es posible para una cantidad numerablede valores de r. Observemos que Aj = Ai ocurre sólo si j e i tienen longitud n paraalgún n ∈ N, de no ser así tenemos diamAj 6= diamAi, luego Aj 6= Ai. De otro lado
fi(A) = fj(A) equivale a que Ai = rn+1A+n∑k=0
rkbik y Aj = rn+1A+n∑k=0
rkbjk son iguales,
por lo quen∑k=0
rkbik =n∑k=0
rkbjk de donde fi = fj (aquí pA + q = {pa+ q | a ∈ A}).
54
La ecuación fi(z) = fj(z) nos lleva a que la ecuaciónn∑k=0
rk (bik − bjk) = 0 tiene un
número finito de ceros en (0, 1). Por tanto, debido a que Σ∗ es numerable, existe unacantidad numerable de valores de r para los que Aj = Ai. Ésto muestra que hay infinitosatractores de SIF que no satisfacen OSC y la intersección de sus piezas no es total. Caberesaltar que estos atractores se forman a través de SIF con funciones muy sencillas, enparticular en este caso dado que w = 1, el atractor es un subconjunto de los númerosreales.Los ejemplos 4.1.3 y 4.1.4, que aparecen a continuación, son una aplicación del Teorema4.1.1 y del método expuesto arriba respectivamente.
Ejemplo 4.1.3. Considerese el SIF del ejemplo 2.1.3. Este SIF no satisface OSC puesϕ(43)
= ϕ(34)
= (0, 0) y los códigos 43 y 34 son sucesiones recurrentes.
Ejemplo 4.1.4. A través del método expuesto anteriormente se ha construido el SIF{R2; f1, f2, f3} con r = 0,4, c ≈ 1,1648, w =
(cos 2π
3, sin 2π
3
)y
f1(x, y) =
[0,4 0
0 0,4
][x
y
]
f2(x, y) =
[0,4 0
0 0,4
][x
y
]+
[1
0
]
f3(x, y) = 0,4
[cos 2π
3− sin 2π
3
sin 2π3
cos 2π3
][x
y
]+
[1,1648
0
]
Cuyo atractor se muestra la figura 4.1.3. La dimensión de similaridad es ln 3|ln 0,4| .
Figura 4.1.3. Atractor del ejemplo 4.1.4.
55
4.2. SIF CON INTERSECCIONES FINITAS VERSUS OSC
Durante la elaboración de este trabajo se planteó la pregunta sobre si dado un SIF{Rd; f1, . . . , fN} formado por contracciones inyectivas (no necesariamente similitudes),con atractor A y tal que la cardinalidad de ∪
1≤i<j≤NAi∩Aj es finita, satisface la Condición
del Conjunto Abierto de Moran. Esta pregunta, que surge de manera natural, conduceal estudio de la condición del conjunto abierto OSC; pues esta condición controla eltamaño de las intersecciones de las piezas del atractor. De este modo se espera que si lasintersecciones son “suficientemente pequeñas”, por ejemplo finitas, el SIF satisfaga OSC,como ocurre cuando Ai∩Aj = ∅ para todo i 6= j con i, j ∈ Σ. A pesar de los esfuerzosrealizados en la busqueda de la demostración de este hecho, no se ha encontrado larespuesta; sin embargo en 2007 C. Bandt y H. Rao en el artículo “Topology and separationof self-similar fractals in the plane” [11] presentarón una respuesta afirmativa para el casod = 2, en el que el SIF está formado por similitudes y el atractor es conexo; la preguntasigue abierta para d > 2. A continuación se enuncia el Teorema de C. Bandt y H. Rao.La demostración realizada por estos autores se divide en tres partes; de las que sólo seha reconstruido la que corresponde al caso en que el atractor no es una curva o un arcode Jordan, el complemento de la demostración se puede consultar en [11] . Recordemosque una curva es un arco o una curva de Jordan si y sólo si es homeomorfa al intervalo[0, 1] o a la circunferencia, respectivamente.
Teorema. Sea A el atractor de un SIF {R2; f1, . . . , fN} formado por similitudes. Si Aes conexo, no es un punto y Ai ∩ Aj es un conjunto finito para i 6= j, entonces el SIFsatisface OSC.
Antes de presentar la demostración del Teorema anterior se demostrarán algunos lemasnecesarios para la demostrar del Teorema.
Dado un conjunto de N similitudes fi : R2 → R2 con factores de contracción ri ∈ (0, 1),existe un número R ≥ 1 tal que:
N∪i=1fi (B (0;R)) ⊆ B (0;R) (2)
En primer lugar, se demostrará que la afirmación anterior es valida para N = 1. Si f(0) =
0, el resultado es inmediato cuando R = 1. Si f(0) 6= 0, entonces R = max{
1, ‖f(0)‖1−r
}.
Ésto se debe a que para y ∈ f (B (0;R)) existe x ∈ B (0;R) tal que y = f (x) luego,
‖f (x)− 0‖ ≤ ‖f (x)− f (0)‖+ ‖f (0)− 0‖= r ‖x‖+ ‖f (0)‖< rR +R (1− r)= R
56
Por lo que f (B (0;R)) ⊆ B (0;R). En segundo lugar, si 1 ≤ i ≤ N , entoncesR = max
1≤i≤NRi satisface (1). De otro lado, asociado al valor R anterior se define ‖g‖ =
sup‖x‖≤R
‖g (x)‖, para toda función g : R2 → R2.
Los siguientes lemas se utilizarán en la demostración del Teorema 4.2.1, que es el principalresultado de esta sección.
Lema 4.2.1. Si f y g son similitudes en R2 y f (B (0;R)) ⊆ B (0;R) entonces:∥∥f−1 ◦ g ◦ f − id∥∥ ≤ cf ‖g − id‖ .
donde cf es una constante que depende sólo de f e id es la función identidad.Demostración. Puesto que f es una similitud, f−1 (x) = Ax + b. De otro lado six ∈ B (0;R) entonces:∥∥f−1 ◦ g ◦ f (x)− x
∥∥ =∥∥f−1 (g (f (x)))− f−1 (f (x))
∥∥= ‖A (g (f (x))) + b− A (f (x))− b‖
= ‖A (g (f (x))− f (x))‖
≤ ‖A‖ ‖g (f (x))− f (x)‖
≤ cf ‖g − id‖ .
Por lo tanto ‖f−1 ◦ g ◦ f − id‖ ≤ cf ‖g − id‖. Aquí cf = ‖A‖ y ‖A‖ = sup‖x‖≤R
‖Ax‖.
Lema 4.2.2. Sea {R2; f1, . . . , fN} un SIF con factores de contracción ri para i =
1, . . . , N , y atractor A. Si A no es un singletón, para cualquier entero M > 0 existenk0 y j1, . . . , jM ∈
∑k0 tales que los Ajk son disjuntos dos a dos.Demostración. Dado que A no es un singletón, existen al menos dos similitudes, supon-gamos f1 y f2, con puntos fijos distintos, x1 6= x2. De otro lado, dados k y m en losnaturales si k 6= m, sin perdida de generalidad k < m, entonces f o(k)
1 (x2) = fo(m)1 (x2)
implica que x2 = fo(m−k)1 (x2), por lo que x2 es el punto fijo de f o(m−k)
1 ; lo que noes posible puesto que f1 es una contracción con un único punto fijo x1 (este hecho sedebe al Teorema del punto fijo ) que es distinto de x2 por hipótesis. Ésto demuestraque f o(k)
1 (x2) 6= fo(m)1 (x2) para todo par de números naturales, en particular si k,m =
1, . . . ,M para algún M .Ahora definamos rj,k =
∥∥∥f o(j)1 (x2)− f o(k)1 (x2)
∥∥∥, con 1 ≤ k < j ≤M , r = mın1≤k<j≤M
rj,k
y escojamos k0 ∈ N tal que rk0maxdiamA < r2(rmax es el máximo valor de los ri). Si jk =
1(k)2(k0−k), los Ajk son disjuntos. Para demostrar ésto se procederá por contradicción.
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Supongase que existe x ∈ Ajk ∩ Ajn , con k 6= n, entonces:∥∥∥f o(n)1 (x2)− f o(k)
1 (x2)∥∥∥ =
∥∥∥f o(n)1
(f o(k0−n) (x2)
)− f o(k)
1
(f o(k0−k) (x2)
)∥∥∥∥∥∥f o(n)
1
(f o(k0−n) (x2)
)− f o(k)
1
(f o(k0−k) (x2)
)∥∥∥ ≤ ∥∥∥f o(n)1
(f o(k0−n) (x2)
)− x∥∥∥
+∥∥∥f o(n)
1
(f o(k0−k) (x2)
)− x∥∥∥
≤ diamAjn + diamAjk
≤ (rjn + rjk) diamA
≤ 2rk0maxdiamA
< r
Lo que contradice la escogencia de r.
Lema 4.2.3. Sea A 6= {p} el atractor de un SIF en R2. Si A es conexo y no es unacurva de jordan o un arco de Jordan, existen cuatro puntos a, b, c, q ∈ A tales que:
Existen tres arcos de Jordan qa, qb, qc ∈ A.
qa, qb, qc se intersectan, dos a dos, sólo en el punto q.
‖−→qa‖ =∥∥∥−→qb∥∥∥ = ‖−→qc‖ = r′.
qar{a}, qbr{b} y qcr{c} están contenidas en el interior D◦ de una bola cerradaD con centro q y radio r′.
Demostración. Puesto que A es el atractor de un SIF y además es conexo, A = ∪i∈
∑nAi,
con n ∈ N, y cada Ai es conexo; más aún dado ε > 0 si n es suficientemente grandeentonces diamAi < ε para todo i ∈ Σn. Ésto último implica que A es localmente conexoy, del Teorema de Hahn Mazurkiewicz [17] se sique que existe una función h : [0, 1]→ A
continua y sobreyectiva. De otro lado, dado que A es una curva compacta y conexa queno es un arco o una curva de Jordan, el Teorema de clasificación de variedades unodimensionales, demostrado por J. Milnor, implica que existe un punto q ∈ A y unavecindad U de q tal que A ∩ (U r {q}) tiene al menos tres componentes que tienen qen su clausura.Ahora tomemos a′, b′ y c′ en cada componente de A∩(U r {q}), ya que A es localmenteconexo, conexo, compacto y métrico entonces A es arcoconexo [18], (es decir, es posibleunir cualquier par de puntos distintos en A por un arco de Jordan contenido en A) loque nos permite formar los arcos qa′, qb′ y qc′ cuya intersección, dos a dos, es el puntoq. Sean r′ = mın
{∥∥∥−→qa′∥∥∥ , ∥∥∥−→qb′∥∥∥ ,∥∥∥−→qc′∥∥∥}, D = adhB (q; r′) y a, b y c ∈ A los primeros
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puntos en que los arcos tocan la frontera ∂D, entonces a, b, c y q ∈ A son los puntosbuscados.
Figura 4.2.1. Demostración del Lema de perturbación. Tomada de [11].
Lema 4.2.4.(Lema de perturbación) Si K = qa ∪ qb ∪ qc y qa, qb y qc son losarcos del Lema 4.2.3, entonces existe una constante δ > 0 tal que K ∩ g(K) 6= ∅ paracualquier similitud g con ‖g − id‖ < δ.Demostración. En el Lema 4.2.3 DrK es dividida en tres partes que se denotarán Pa,Pb y Pc, donde la clausura de Px no contiene a x. Considerese r tal queB (x; 2r)∩Px = ∅para x = a, b, c.
Sean σ = ınf
{‖x− y‖ | x ∈ K r ∪
x=a,b,cB (x; r) ∧ y ∈ ∂D
}y δ = mın
{r′
2, r, σ
2
}; δ >
0 pues σ > 0 ya que K r ∪x=a,b,c
B (x; r) y ∂D son conjuntos compactos disjuntos, y
claramente, r′, r > 0.Veamos que ‖g − id‖ < δ implicaK∩g(K) 6= ∅. Puesto que ‖g − id‖ < r′, g (q) ∈ D◦.Si g (q) ∈ K, entonces K ∩ g(K) 6= ∅ como queríamos demostrar, en caso contrario,supongamos, sin perdida de generalidad que g (q) ∈ Pa y mostremos que g (qa) nointersecta a bc, el arco desde b a c sobre el círculo ∂D. Para ello en primer lugar tóomesez ∈ g (qa ∩B (a; r)), entonces z = g (x), para algún x ∈ qa ∩B (a; r) de donde:
‖g (x)− a‖ ≤ ‖g (x)− x‖+ ‖x− a‖< 2r
Luego z ∈ B (a; 2r), es decir, g (qa ∩B (a; r)) ⊆ B (a; 2r). En segundo lugar, si z ∈g (qarB (a; r)), entonces z = g (x), para algún x ∈ qar B (a; r), por lo que se tiene
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σ ≤ mın {‖x− y‖ | y ∈ ∂D} = r′ − ‖x− q‖; así que ‖x− q‖ ≤ r′ − σ; además:
‖g (x)− q‖ ≤ ‖g (x)− x‖+ ‖x− q‖
≤ δ + r′ − σ
≤ σ
2+ r′ − σ
≤ r′ − σ
2
De donde z ∈ B(q; r′ − σ
2
), es decir g (qarB (a; r)) ⊆ adhB
(q; r′ − σ
2
). Lo anterior
demuestra que g (qa) no intersecta a bc y como ya se dijo g (q) ∈ Pa, por lo tanto g (qa)
intersecta a qb ∪ qc en consecuencia K ∩ g(K) 6= ∅.
Teorema 4.2.1. Sea A el atractor de un SIF {R2; f1, . . . , fN} formado por similitudes.Si A es conexo, no es un singletón, ni una curva o un arco de Jordan, y Ai ∩ Aj es unconjunto finito para i 6= j entonces el SIF satisface OSC.Demostración. Sean A el atractor del SIF {R2; f1, . . . , fN}, k0 la constante del Lema4.2.2, M = max {card (Ai ∩ Aj) | i 6= j ∧ i, j ∈ Σ}+ 1 y j1, . . . , jM ∈ Σk0 los códigosdistintos tales que los Ajk son disjuntos dos a dos. Denotamos c = max
{cfj | j ∈ Σk0
}donde cfj es la constante del Lema 4.2.1 asociada a la función fj.Supongamos que el SIF no satisface la Condición del Conjunto Abierto. Como conse-cuencia de la condición de la aplicación vecina (Neighbor map), existen i, i′ ∈ Σ∗ talesque i1 6= i′1 y
∥∥f−1i′ ◦ fi − id
∥∥ < δc, donde δ es la constante del Lema 4.2.4. En este
caso, por el Lema 4.2.1 tenemos:∥∥f−1i′j ◦ fij − id
∥∥ =∥∥f−1
j ◦ f−1i′ ◦ fi ◦ fj − id
∥∥≤ cfj
∥∥f−1i′ ◦ fi − id
∥∥≤ c
∥∥f−1i′ ◦ fi − id
∥∥< δ
Para j ∈ Σk0 y, del Lema 4.2.4 se sigue f−1i′j ◦fij (A)∩A 6= ∅ luego fij (A)∩fi′j (A) 6= ∅.
Ahora, tomemos pj ∈ fij (A) ∩ fi′j (A) y veamos que pjk 6= pjn para k 6= n, con1 ≤ k, n ≤M . Si pjk = pjn entonces para algunos x, y ∈ A se cumple fijk (x) = fijn (y)
luego fjk (x) = fjn (y) de donde Ajk ∩Ajn 6= ∅ lo que no es posible; por lo tanto los pjkson todos disntintos y están en Ai ∩Ai′ para k = 1, . . . ,M . Ésto contradice la maneraen que se escogió M , por tanto el SIF satisface OSC, como queríamos demostrar.
El resultado anterior permite construir una gran variedad de SIF, definidos en el plano,que satisfagan la Condición del Conjunto Abierto, como se puede apreciar en [16], yaque sólo es necesario garantizar que el atractor del SIF es conexo y que Ai ∩ Aj es unconjunto finito para i 6= j.
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CONCLUSIONES
Demostrar que (H (X) , h) es un espacio métrico completo, siempre que el espaciosubyacente (X, d) lo sea, permitió mostrar, a través del Teorema del punto fijo, quelos atractores de SIF son elementos de H (X), razón por la cual son subconjuntoscompactos de (X, d).
Mostrar que existe una función continua y sobreyectiva del espacio de códigos aso-ciado a un SIF en el atractor de éste y que
(ΣN, dc
)es compacto, fue fundamental
para exhibir la relación entre un SIF y su espacio de códigos; hecho que a su vezposibilitó demostrar que los atractores de SIF con contracciones inyectivas sonautosemejantes topológicamente.
Una de las principales características de los fractales es la presencia de algún tipo de“autosemejanza”. Por este motivo demostrar que los atractores de SIF con contrac-ciones inyectivas son autosemejantes topológicamente, fue el punto de partida paraacercarse a la “noción de autosemejanza en un fractal”. Este resultado mostró quefractales clásicos como La curva de Koch, El triángulo de Sierpiński y El conjuntode Cantor son autosemejantes topológicamente.
El estudio de la noción de autosemejanza estricta, relacionó los conceptos de “di-mensión”, “autosemejanza” y “medida” en un fractal, a través de la medida y di-mensión de Hausdorff.
La elaboración de ejemplos originales de conjuntos autosemejantes en el sentidode Hutchinson (autosemejanza estricta), condujo a una investigación breve sobre laCondición del Conjunto Abierto (OSC), que permitió exhibir condiciones suficientespara que un SIF en Rd, formado por similitudes, satisfaga esta condición, y por lotanto sea estrictamente autosemejante.
Durante el proceso de investigación surgió la pregunta sobre si un SIF en Rd conatractor A, tal que Ai ∩Aj sea finito siempre que i 6= j, satisface la Condición delConjunto Abierto. Esta pregunta se ha resuelto parcialmente para el caso en que elSIF está formado por similitudes, el atractor es conexo y d = 2.
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