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Dinámica fractal en moDelos De economía

Medidas de distribución

Universidad aUtónoma de CiUdad JUárez

Javier sánchez CarlosRector

david ramírez PereaSecretario General

rené soto CavazosDirector del Instituto de Ciencias Sociales y Administración

martha Patricia Barraza de andaCoordinadora General de Investigación y Posgrado

servando Pineda JaimesDirector General de Difusión Cultural

y Divulgación Científica

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

Dinámica fractal en moDelos De economía

Medidas de distribución

rubén Germán almanza roDríGuez

ramsés Jiménez castañeDa

elifalet lópez González

CienCias soCiales y administrativas (eConomía)

CoordinaCión General de investiGaCión y PosGrado

Lisbeily Domínguez Ruvalcaba Coordinadora de la ColeCCión

almanza rodríguez, rubén Germán

dinámica fractal en modelos de economía: medidas de distribución / rubén Germán almanza rodríguez, ramsés Jiménez Castañeda, elifalet López González. — Ciudad Juárez, Chih. : Universidad autónoma de Ciudad Juárez, 2010. — (Colección textos Universitarios, serie investigación)

32 p.; 30 cm.

incluye bibliografíaColección reportes técnicos de investigación, isBn: 978-607-7953-80-7serie iCsa, vol. 3, isBn: 978-607-7953-89-0

Los avances obtenidos hasta este momento, sugieren que existe una estrecha relación entre el concepto de estabilidad dinámica para funciones holomorfas y Función Levy-estable para funciones de distribución. más pre-cisamente, queremos probar si existe la siguiente equivalencia: estabilidad en sentido de Lyapunov para funciones holomorfas, es equivalente a Levy-estable para funciones de distribución.

1. dinámica fractal – modelos económicos – 2. dinámica fractal – Función de distribución – 3. movimiento Browniano

HB133 a55 2010

Primera edición, 2011© 2011 Universidad autónoma de Ciudad Juárezav. Plutarco elías Calles 1210Fovissste Chamizal, C.P. 32310Ciudad Juárez, Chihuahua, méxicotel. +52 (656) 688 2260

http://www2.uacj.mx/publicaciones

d.r. © 2011 rubén Germán almanza rodríguez, ramsés Jiménez Castañeda,elifalet López GonzálezLa edición, diseño y producción editorial de este documento estuvo a cargo de la dirección General de difusión Cultural y divulgación Científica, a través de la subdirección de Publicaciones Corrección: Jorge Hernández martínezDiagramación: diana Prado GonzálezDiseño de cubierta: diana Prado González

rti-Fi-02

ínDice

Resumen 7Palabras clave 9Usuarios potenciales 9Reconocimientos 9

i. introDucción

1.1 Sistemas dinámicos 111.2 Teoría del caos 121.3 Fractales 131.4 Fractales y modelos económicos 151.5 Dinámica discreta y Dinámica continua 161.5.1 Dinámica discreta 161.5.2 Dinámica continua 17

ii. planteamiento

Antecedentes (inconsistencias en la distribución normal) 19Marco teórico 23

iii. metoDoloGía

iV. resultaDos

V. conclusiones

Bibliografía 31

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resumen

a principios del año 2000, el matemático polaco Benoit mandelbrot publicó una serie de artículos (mandelbrot, 2001-i, 2001-ii, 2001-iii, 2005), en don-de introdujo un nuevo modelo matemático para estudiar las fluctuaciones del mercado. Los modelos matemáticos de mandelbrot están basados en la

Teoría de geometría fractal. Fractal es un objeto geométrico, que es similar en cual-quier escala en el que sea visto. Podemos decir que los fractales tienen una forma bastante irregular cuando se mira el objeto total; sin embargo, cuando se observa en diversas escalas, presenta la misma forma geométrica y el proceso de construcción del fractal, también suele ser relativamente simple.

Bajo una perspectiva cualitativa, podemos mencionar que la geometría fractal o dinámica fractal tiene mucha relación con el comportamiento del mercado bursátil, ya que las gráficas que se obtienen de un proceso de iteración de autosimilitud son muy parecidas a las que presentan los diversos mercados bursátiles y es ésta preci-samente la razón por la que mandelbrot introdujo modelos fractales: para estudiar el comportamiento del mercado bursátil.

Por otra parte, también existe un análisis cuantitativo que justifica la aplicación de los modelos fractales para el estudio del movimiento del mercado bursátil, así como en otras áreas de la economía. Comenzaremos mencionando que la mayoría de los modelos matemáticos utilizados para estudiar, predecir o entender el compor-tamiento de diversos fenómenos económicos, por ejemplo: el modelo financiero de Black-scholes; el modelo de población de verhulst; el modelo de crecimiento malthu-siano; y el modelo de análisis de riesgos de vidale-Wolfe, que son las metodologías cuantitativas más comunes utilizadas en la ciencia económica, están basados en la Teoría de ecuaciones diferenciales, la cual es de “análisis local”. esto significa que to-dos los teoremas son válidos en la vecindad de un x0 específico. en otras palabras, se puede decir que todas las predicciones que podemos hacer con la teoría de ecuaciones diferenciales son válidas dentro de un intervalo de tiempo relativamente pequeño, mientras que la dinámica fractal representa el comportamiento de un punto x0, bajo la iteración de la función f(x).

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Dinámica fractal en modelos de economía resumenresumen

Los modelos matemáticos que se emplean en el estudio de matemáticas financie-ras, están basados en una potencia α sujeta a una ley de distribución, que usualmen-te se denota por P(Y>u)~u-α. La eficiencia de los modelos matemáticos, consiste en responder cuándo el exponente α e puede restringir a la condición α<2, en términos de una función de distribución adecuada.

es de esta manera en la que mandelbrot introduce funciones de distribución Levy-estables, para el planteamiento de modelos que estudian el comportamiento del mer-cado bursátil con mayor eficiencia o que reduzcan el riesgo; sin embargo, mandelbrot conjetura posibles valores que el parámetro α puede asumir, para que siga verificando la condición Levy-estable (mandelbrot, 2001-i). de esta manera, nosotros abordamos el problema y nos apoyamos en algunos resultados de dinámica holomorfa, para ca-racterizar el parámetro α que satisfaga las condiciones Levy-estable para una función de distribución general.

decimos que una función ø(u) es Levy-estable, si tiene densidad

Proponemos la función característica

en esta ecuación estamos multiplicando por -1 al parámetro a, para poder consi-derar -2 ≤ α ≤ 0, de modo que ø(u) satisface la condición Levy-estable para α definido en el intervalo mencionado anteriormente.

nuestros avances nos muestran que los parámetros α y β, que satisfacen la condi-ción Levy-estable para la función ø(u), están en relación con algunos componentes del conjunto de mandelbrot, que es un objeto de estudio en la teoría de sistemas dinámi-cos holomorfos, que representa un tipo de estabilidad en la mencionada teoría.

resumen

Dinámica fractal en modelos de economía resumen

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resumenresumen

Palabras clave:

Geometría fractal, función de distribución, movimiento browniano, modelo económi-co.

Usuarios potenciales:

investigadores en las áreas de: Matemáticas financieras, Métodos cuantitativos de economía, Modelos matemáticos en economía, Geometría fractal aplicada, Matemá-ticas aplicadas, Aplicaciones de la Teoría de distribución; estudiantes de economía con particular interés en métodos matemáticos aplicados en economía; estudiantes de físico-matemáticas interesados en aplicaciones; corredores de mercados bursátiles interesados en metodologías cuantitativas teóricas.

Reconocimientos:

Previamente queremos expresar nuestro sincero agradecimiento a la Universidad autónoma de Ciudad Juárez (UaCJ), por permitirnos trabajar en este tema que es de nuestro interés. así también expresamos nuestro agradecimiento a la sociedad mate-mática mexicana, que a través del comité del área de matemática Financiera, econo-mía matemática y administración de riesgos (mafemar), durante el XLiii Congreso nacional de la sociedad matemática mexicana, nos otorgaron un lugar para difundir nuestros avances previos y en donde pudimos enriquecer nuestro trabajo, a partir de los comentarios de especialistas en el área. además del apoyo por parte de las ins-tituciones mencionadas, agradecemos profundamente a los estudiantes del plan de Licenciatura en economía pertenecientes al instituto de Ciencias sociales y admi-nistración (iCsa) de la UaCJ: tania elizabeth amaya Ginez y Jesé armando molina Gutiérrez, quienes colaboraron desinteresadamente en todo el proceso de análisis y recolección bibliográfica que les fue encomendado.

Cabe hacer mención que en la parte de agradecimientos, siempre queda fuera mu-cha gente que no participó directamente y, sin embargo, el apoyo que nos brindó fue de gran importancia para seguir trabajando como hasta el momento hemos hecho; así que expresamos nuestro agradecimiento a todos nuestros amigos, que nos han acompañado todo este tiempo.

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i. introDucción

1.1 Sistemas dinámicos

a finales de la década de 1970, la teoría de sistemas dinámicos tomó gran importancia en las ciencias físico-matemáticas, ya que para los matemá-ticos de la época esta teoría ofreció un campo de estudio muy interesante, porque algunos teoremas de sistemas dinámicos permitieron relacionar

teorías entre áreas de las matemáticas que se consideraban distintas y sin relación alguna, o bien, plantear conjeturas entre distintas áreas de las matemáticas con la finalidad de tener resultados análogos entre estas distintas teorías (mcmullen, 1994; sullivan, 1983; milnor, 2005; thurston, 1979).

Una característica importante en la teoría de sistemas dinámicos en cuanto a re-lacionar áreas de las matemáticas, inicialmente ajenas como: la Teoría de grupos klei-nianos y la dinámica de funciones racionales o la Teoría de tres variedades hiperbólicas con la Teoría de espacio moduli de funciones racionales, es que muchas de las relacio-nes entre estas teorías, se iniciaron a partir de un análisis cualitativo entre sus diver-sos elementos de estudio. Por ejemplo, C. mcmullen conjeturó algunas propiedades dinámicas entre grupos kleinianos y funciones racionales, tales que su conjunto límite y conjunto de Julia, respectivamente, tenían propiedades dinámicas análogas (mcmu-llen, 1994).

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Dinámica fractal en modelos de economía

Figura 1. Conjunto límite de un grupo kleiniano

Figura 2. Conjunto de Julia de una función racional

1.2 Teoría del caos

Por otra parte, para los físicos, la teoría de sistemas dinámicos apareció como com-plemento de la teoría de ecuaciones diferenciales. más aún, muchos teoremas de siste-mas dinámicos ofrecían soluciones a problemas complejos en distintas áreas de la física como: mecánica clásica y mecánica celeste, sistemas de control, física de partículas, entre otras (arnold, 1985, 1988; siegel & moser, 1971).

i. introDucción


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i. introDucción

Una característica común del tipo de problemas en el área de la física, que se estu-dian con los sistemas dinámicos, es que este tipo de fenómenos presentan un compor-tamiento bastante irregular y es por esta razón que los físicos llaman Teoría del caos a una parte de los sistemas dinámicos, y una aproximación al estudio de la teoría del caos es a través de los fractales.

1.3 FractalesFractal es un objeto geométrico, que es similar en cualquier escala en el que sea vis-

to. Podemos decir que los fractales tienen una forma bastante irregular cuando se mira el objeto total; sin embargo, cuando se observa en diversas escalas, presenta la misma forma geométrica y el proceso de construcción del fractal, también suele ser relativa-mente simple. en las siguientes figuras, se muestran algunos ejemplos de fractales:

Figura 3. En cada lado de un triángulo, se dibuja uno de longitud 1/3 del inicial y así sucesivamente

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Figura 4. Fractal correspondiente al proceso de reproducir un triángulo de longitud 1/3 del anterior

Figura 5. Fractales obtenidos a partir de un proceso simple

Figura 6. Fractales obtenidos de la dinámica de funciones racionales

Las propiedades geométricas de los fractales, motivó inicialmente a especialistas de distintas áreas a estudiar con ellos distintos fenómenos naturales, que presentan un comportamiento caótico o tienen una estructura irregular, como los objetos de estudio en algunas áreas de la biología y las ciencias sociales. de esta manera, no resulta sorprendente observar que muchos modelos simples que se estudian en los cursos introductorios de economía, presentan un comportamiento altamente compli-

i. introDucción


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i. introDucción

cado, como mencionaremos enseguida.

1.4 Fractales y modelos económicos

Bajo una perspectiva cualitativa, podemos mencionar que la geometría fractal o dinámica fractal tiene mucha relación con el comportamiento del mercado bursátil, ya que las gráficas que se obtienen de un proceso de iteración de autosimilitud son muy parecidas a las que presentan los diversos mercados bursátiles y es ésta preci-samente la razón por la que mandelbrot introdujo modelos fractales: para estudiar el comportamiento del mercado bursátil. en las siguientes gráficas, se muestra la similitud entre las gráficas mencionadas anteriormente:

Gráfica 1. Gráfica obtenida de un programa de autosimilitud

Gráfica 2. Gráfica de los precios de acciones de IBM de 1959 a 1996

Por otra parte, también existe un análisis cuantitativo que justifica la aplicación de los modelos fractales para el estudio del movimiento del mercado bursátil, así

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Dinámica fractal en modelos de economía ii. planteamientoii. planteamiento

como en otras áreas de la economía. Comenzaremos mencionando que la mayoría de los modelos matemáticos utilizados para estudiar, predecir o entender el compor-tamiento de diversos fenómenos económicos, por ejemplo: el modelo financiero de Black-scholes; el modelo de población de verhulst; el modelo de crecimiento malthu-siano; y el modelo de análisis de riesgos de vidale-Wolfe, que son las metodologías cuantitativas más comunes utilizadas en la ciencia económica, están basados en la Teoría de ecuaciones diferenciales, la cual es de “análisis local”. esto significa que to-dos los teoremas son válidos en la vecindad de un x0 específico. en otras palabras, se puede decir que todas las predicciones que podemos hacer con la teoría de ecuaciones diferenciales son válidas dentro de un intervalo de tiempo relativamente pequeño, mientras que la dinámica fractal representa el comportamiento de un punto x0, bajo la iteración de la función f(x).

1.5 Dinámica discreta y Dinámica continua

Los sistemas dinámicos se describen de una manera muy sencilla. Consideremos una función f(x) de cualquier categoría: holomorfa, homeomorfismo o diferencial y una variedad X (conforme, topológica o diferenciable, respectivamente a la categoría que nos estamos refiriendo). Por lo tanto, llamaremos Sistema dinámico a la pareja (f,X), donde f es un automorfismo que actúa sobre la variedad X.

respecto a los sistemas dinámicos, podemos distinguir entre dos tipos:

1.5.1 Dinámica discreta

sea (f,X) un sistema dinámico, tal que:

f : X —› X

y x0, un punto de la variedad X. denotamos:x1 = f(x0), x2 = f(x1) = f 2(x0),x3 = f(x2) = f 3(x0)y, en general,xn+1 = f(xn) = f n+1(x0).

al conjunto {x1,x2,…,xn} lo llamamos órbita de x0 bajo la función f.

i. introDucción

Dinámica fractal en modelos de economía ii. planteamiento

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ii. planteamientoi. introDucción

1.5.2 Dinámica continua

sea (f,X) un sistema dinámico, tal que:

f : R x X —› X, donde (t, x) —› f(xt)

esto denota que la variable x depende del parámetro real t. Llamamos flujo de x a lo largo de t bajo la función f, a la trayectoria descrita por f(xt).

La diferencia entre dinámica discreta y dinámica continua, es que se puede consi-derar como variable el “tiempo discreto” n o el “tiempo continuo” t; esto es, en función de lo que se desea modelar (o estudiar). en otras palabras, podemos decir que si x es una partícula, la órbita fn(x)=xn. o el flujo f(xt) describe el comportamiento de la parti-cula x a lo largo del tiempo n o t, respectivamente. Las siguientes imágenes represen-tan sistemas dinámicos discreto y continuo, respectivamente.

Figura 7. Conjunto de Julia de la función f(z)=z2-1

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Figura 8. Atractor de Lorenz

Las ecuaciones que definen al atractor de Lorenz son:

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Dinámica fractal en modelos de economía 19

ii. planteamiento

Los modelos matemáticos que se emplean en el estudio de las matemáticas fi-nancieras, están basados en una potencia α sujeta a una ley de distribución, que usualmente se denota por P(Y>u)~u-α. La eficiencia de los modelos ma-temáticos, consiste en responder cuándo el exponente α se puede restringir

a la condición α<2, en términos de una función de distribución adecuada.es de esta manera en la que mandelbrot introduce funciones de distribución Le-

vy-estables, para el planteamiento de modelos que estudian el comportamiento del mercado bursátil con mayor eficiencia o que reduzcan el riesgo; sin embargo, man-delbrot conjetura posibles valores que el parámetro α puede asumir, para que siga verificando la condición Levy-estable (mandelbrot, 2001-i). de esta manera, nosotros abordamos el problema y nos apoyamos en algunos resultados de dinámica holomor-fa, para caracterizar el parámetro α que satisfaga las condiciones Levy-estable para una función de distribución general.

Antecedentes (inconsistencias en la distribución normal)

La densidad de probabilidad normal, se refiere a lo que conocemos como “curva de campana”. este modelo mide la probabilidad de que un evento dado, se vuelva a repetir. en otras palabras, la probabilidad P( < Y < u) de que un evento Y tome un valor menor que u, está dada por el área bajo la curva a la izquierda de u. La función P( < Y < u) es llamada Probabilidad de distribución normal.

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Gráfica 3. Gráfica de probabilidad bajo distribución normal

si estamos interesados en medir la probabilidad de que un evento Y tome valor entre v y u, observemos que la probabilidad del evento Y la podemos representar como:

P(v < Y < u) = P ( < Y < u) - P( < Y < v)

esto se refleja en la gráfica de la distribución normal:

ii. planteamiento


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ii. planteamiento

Gráfica 4. Probabilidad de P(v < Y < u) bajo distribución normal

esta probabilidad se define de la ecuación:

La distribución normal es una metodología muy conocida en todos los cursos bá-sicos de probabilidad y también es conocido que los fenómenos o modelos de estudio, no tienen una distribución normal. Por esta razón, vamos a introducir una nueva me-todología que en la siguiente sección describimos, pero antes daremos una definición que es relevante en nuestro trabajo.

El movimiento browniano es un proceso estocástico, que ocurre con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas, y en economía y física de partículas.

el movimiento browniano (o Proceso de Weiner), se caracteriza por las siguientes propiedades:

1) Y(0) = 0.2) Y(t) es continuo para casi todo t.3) Y(t) tiene incrementos independientes con distribución:• Y(t1) - Y(t2) ~ N(0; t - s) para 0 ≤ s ≤ t, donde N(µ; σ2) denota la distribución nor-

mal con valor esperado µ y varianza σ2.

La propiedad 3) significa que para todo h > 0, el incremento Y(t + h) - Y(t) es inde-pendiente de t. en otras palabras, el movimiento browniano es estacionario, donde:

incr1 = Y(t1 + h) - Y(t1);incr2 = Y(t2 + h) - Y(t2);...incrn = Y(tn + h) - Y(tn);para t1 < t2 < …<tn, tales que ti + h ≤ ti+1.

Graficando estos puntos de coordenadas p1 = (incr2; incr1), pn+1 = (incrn; incrn+1), ob-tenemos las gráficas (cuyo comportamiento sólo depende de la función de distribución Y y el incremento h).

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Dinámica fractal en modelos de economía iii. metoDoloGía

Gráfica 5. Gráfica de los puntos {P1, P2, P3,...,P1000} con h = 1

Gráfica 6. Gráfica de los puntos {P1, P2, P3,...,P1000} con h = 2

Las gráficas anteriores describen el comportamiento de algunos eventos, que ini-

cialmente parecen muy irregulares y que al considerar tiempos relativamente gran-des, convergen a un comportamiento estable. Por otra parte, la gráfica del movimien-

ii. planteamiento


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iii. metoDoloGíaii. planteamiento

to browniano en una dimensión, lo podemos pensar como el proceso de graficar el movimiento de una partícula (que se mueve únicamente sobre el eje Y) a través del tiempo (eje X).

Gráfica 7. Movimiento browniano en una dimensión

observemos que la gráfica anterior, es muy parecida a las que describen el com-portamiento del mercado bursátil. esta fue la razón que motivó a mandelbrot a intro-ducir esta teoría matemática en el área de las finanzas.

Marco teórico

enseguida daremos dos definiciones básicas, a las cuales haremos referencia den-tro de nuestro estudio.

Definición 1:La variable aleatoria X es estable, si para cualquier X1 y X2 copias independientes

de X, se satisface:

aX1 + bX2 = cX + d (en sentido de distribución);

para cualesquier números reales positivos a; b; c; d.

La manera más concreta de definir todas las posibles distribuciones estables, es a partir de la transformada de Fourier (función característica). Para una variable aleatoria X, la función característica la definimos:

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La función φ(u) determina completamente la distribución de X y tiene muchas propiedades matemáticas, en particular propiedades dinámicas de s1.

Definición 2:decimos que una función φ(u) es Levy-estable, si tiene densidad:

Definición 3:Una variable aleatoria X es estable si y sólo si X = aZ + b (respecto a distribución),

donde:

y Z es una variable aleatoria con función característica:

donde la función sign(u) está definida como:

observemos que la distribución es simétrica respecto al origen cuando β = 0 y b = 0. en tal caso, la función característica de aZ tiene la forma:

nosotros vamos a estudiar funciones de distribución, que satisfagan la condición Levy-estable y determinar condiciones del exponente α, basados en algunos resulta-dos de la teoría de dinámica holomorfa.

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iii. metoDoloGía

Comúnmente α es llamado parámetro de estabilidad. Para la distribución normal, se tiene α = 2 y, en general, se restringe a 0 < α ≤ 2. el parámetro β es llamado de torsión. Para la distribución normal y otras simétricas, toma-mos β = 0. Generalmente no existe restricción sobre β; sin embargo, para

tener una función de distribución Levy-estable, el valor de β perturba el resultado.Como hemos dicho anteriormente, para la elección del parámetro α vamos a consi-

derar algunos resultados de dinámica holomorfa. Consideremos el conjunto de man-delbrot definido por:

en la siguiente figura, se muestra el conjunto de mandelbrot: los parámetros c, que hacen que la órbita f n(z) sea estable:

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Figura 9. Las regiones en blanco corresponden a los valores c del plano complejo,

para los cuales fn(z) es estable

Figura 10. Sea c = α + iβ, entonces se tiene que -2 ≤ α ≤ 1/4 y -1 ≤ β ≤ 1

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iV. resultaDos

r edefiniendo la función característica

en esta ecuación estamos multiplicando por -1 al parámetro a, para poder consi-derar -2 ≤ α ≤ 0, de modo que ø(u) satisface la condición Levy-estable para α definido en el intervalo mencionado anteriormente.

Para la función ø(u), los parámetros α y β que satisfacen la condición Levy-estable coinciden con el conjunto de mandelbrot, si consideramos c = α + iβ.

Por otra parte, la función ø(u) descrita anteriormente satisface las propiedades de movimiento browniano. Por lo tanto, la función ø(u) es un buen modelo para estudiar el comportamiento del mercado bursátil.

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V. conclusiones

Los avances obtenidos hasta este momento, sugieren que existe una estrecha relación entre el concepto de estabilidad dinámica para funciones holomor-fas y Función Levy-estable para funciones de distribución. más precisamen-te, queremos probar si existe la siguiente equivalencia:

Estabilidad en sentido de Lyapunov para funciones holomorfas, es equiva-lente a Levy-estable para funciones de distribución.

el enunciado anterior no es fácil de demostrar en un contexto matemático, pero tenemos argumentos que sustentan la conjetura mencionada.

La función

satisface la condición Levy-estable en algunos componentes del conjunto de man-delbrot cuando tomamos c = α + iβ. sin embargo, la frontera (contorno) del conjunto de mandelbrot es actualmente objeto de estudio muy importante en la teoría de dinámica holomorfa y esto nos limita a dar una caracterización explícita de los pará-metros α y β, para que la función ø(u) satisfaga la condición de Levy-estabilidad.

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biblioGrafía

arnold, v. i. Ordinary Diferential Equations and Smooth Dynamical System. sprin-ger-verlag, 1985.

-----. Geometric Methods in the Ordinary Differential Equations. springer-verlag, 1988.

mandelbrot, B. B. “scaling in Financial Prices: i. tails and dependence”. Quantita-tive Finance, no. 1, 2001, pp. 113-123.

-----. “scaling in Financial Prices: ii. multifractals and the star equation”. Quantita-tive Finance, no. 1, 2001, pp. 124-130.

-----. “scaling in Financial Prices: iii. Cartoon Brownian motions in multifractal time”. Quantitative Finance, no. 1, 2001, pp. 427-440.

-----. “the inescapable need for Fractal tools in Finance”. Annals of Finance, no. 1, 2005, pp. 193-195.

mcmullen, C. Complex Dynamics and Renormalization. Princeton University Press, 1994.

milnor, J. Dynamic in One Complex Variable: Introductory Lectures. Princeton Uni-versity Press, 2005.

siegel, C. & J. moser. Lectures on Celestial Mechanics. springer-verlag, 1971.sullivan, d. Conformal Dynamical Systems. springer-verlag, 1983.thurston, W. P. Geometry and Topology of Three-Manifolds. Lectures Notes. Prince-

ton University Press, 1979.


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