AMII Finales 2013

7/26/2019 AMII Finales 2013

http://slidepdf.com/reader/full/amii-finales-2013 1/6

Análisis Matemático II (95-0703) – Finales tomados durante el “Ciclo lectivo 0!3"

#on !0 (die$) %ec&as de %inal' desde el !05!3 al 0! inclusive

Pág.: 1 de 6.-

Análisis Matemático II (95-0703) – Final del !050!3

Condición mínima para aprobar : 3 (tres) *tems +ien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”.

,!) e%ina conjunto de nivel de un ca!o e"cala#. $ado : f %& 2→ %& di'e#encia(le, "i 132 −= x y x e" la ecuaci*n de

4 L +conjunto de nivel 4 de f ), &alle la" di#eccione" de de#ivada di#eccional nula de f en 4),1+ o L y A ∈= .

,) .nuncie el teo#ea de la $ive#gencia +au""). u!oniendo ue2C f ∈ veri%i/ue, ju"ti'icando lo ue a'i#a, ue

∫∫Σ =⋅ /)+#ot σ d n f (

!a#a toda "u!e#'icie Σ ue cu!le con la" 0i!*te"i" del teo#ea.

.!) $ada2u xw = con ),+ y x f u = de'inida i!lcitaente !o# /2)2ln+ =−−+ yuu x en un ento#no del !unto

)3,1+),+ oo = y x , #e"ulta ),+ y xhw = calcule a!#oiadaente )/1.3,./+h .

.) iendo ),,+),,+ z y y x z y x f −+= , calcule la ci#culaci*n de f de"de ),/,/+= A 0a"ta ),/,2+= B a lo la#go

de la cu#va C de'inida !o# la inte#"ecci*n de la" "u!e#'icie" de ecuacione": x y x 222 =+ ,2 y z −= , en 15 octante.

.3) Calcule el voluen del cue#!o de'inido !o#: 2, 2222 ≤+++≥ y x z y x z .

.) a(iendo ue1C f ∈ con ))+,)+2+),+ x g x x g y y x f = , &alle la e!#e"i*n de de ane#a ue f adita 'unci*n

!otencial y #e"ulte )2,+)2,1+ = f .

Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 30070!3


,!) .nuncie el teo#ea de ca(io de va#ia(le" en integ#ale" do(le". $ada ∫∫ D dydx y x f ),+ donde D ueda de'inida !o#

x y x y x ≤≤−≤+ ,22 , e1rese la integ#al en coo#denada" !ola#e" +indiue el !lanteo co!leto !a"ado a !ola#e", in-

cluyendo lo" co##e"!ondiente" lite" de integ#aci*n).

,) e%ina "oluci*n gene#al +) y "oluci*n !a#ticula# +P) de una ecuaci*n di'e#encial o#dina#ia +E$) de o#den n .

iendo xeC C y 2

21+= la , &alle la E$ y la P ue en ),/+ / y tiene #ecta tangente de ecuaci*n 26 += x y .

.!) $ado el ca!o vecto#ial1C f ∈ , tal ue ))+2,)++),+ 2 y g x x x g y y x f ++++= , calcule la ci#culaci*n de f a lo

la#go de la cu#va '#onte#a de la #egi*n !lana de'inida !o# 44 22 ≤+ y x indi/ue g#á'icaente el "entido ue 0a elegi-

do !a#a #eco##e# la cu#va.

.) ea Σ la "u!e#'icie de ecuaci*n )3,,+ 22 ++−= vuvvu X con ∈),+ vu %& 2 , &alle la ecuaci*n ca#te"iana de Σ del

ti!o ),+ y x f z = y analice "i f !#oduce et#eo" locale" en ca"o a'i#ativo clasi%*/uelos y calcule "u valo#.

.3) Calcule la a"a del cue#!o de'inido !o#:222 2 y x z x −−≤≤ , "a(iendo ue la den"idad en cada !unto e" !#o!o#-

cional a la di"tancia de"de el !unto al eje .

.) iendo )2,,+),,+ 2 z x z y x z y x f −= , calcule el 'lujo de f t#av7" de la "u!e#'icie a(ie#ta de ecuaci*n24 x z −=

con /,/ ≥≤≤ z x y indi/ue g#á'icaente c*o 0a decidido o#ienta# la "u!e#'icie.





Pág.: 2 de 6.-



,!) $ado ⊂ D f : %&n → %& , de%ina áio y nio local +o #elativo) de lo" valo#e" de f . Pa#a el ca"o !a#ticu-

la# de 3),+ 64 ++= y x y x f de'inido en %& 2 , analice "i f !#oduce et#eo local en alg8n !unto en ca"o

a'i#ativo clasi%*/uelo y calcule "u valo#.

,) .nuncie el teo#ea de la dive#gencia +au""). En la condicione" del teo#ea, "iendo )+#ot g f = con

),,+ RQ g = , veri%i/ue 9incluyendo el de"a##ollo ue co##e"!onde9 ue ∫∫Σ =⋅ /σ d n f (

.

.!) ea oπ el !lano tangente en ),1,2+ o z a la "u!e#'icie de'inida i!lcitaente !o#: /2)22ln+2 =−−++ z y z x .

iendo ),2,132+),,+ z x y z y x f −−= , calcule el 'lujo de f a t#av7" del t#oo de oπ cuyo" !unto" !e#tene-

cen al 15 octante indi/ue g#á'icaente c*o o#ient* al !lano y determine "i el 'lujo "e !#oduce en e"e "enti-

do o en el o!ue"to.

.) Calcule la a"a de la c0a!a !lana D de'inida !o#: x y x 22 22 ≤+≤ , "i "u den"idad "u!e#'icial en cada

!unto e" inve#"aente !#o!o#cional a la di"tancia de"de el !unto al o#igen de coo#denada".

.3) a(iendo ue 1C f ∈ en %& 3 e"tá de'inido !o#: ),)+,)++),,+ z x g x g y y z y x f ′+= con )/,1,3+)/,1,/+ = f ,

&alle la e!#e"i*n de g de ane#a ue f adita 'unci*n !otencial.

.) Calcule el voluen del cue#!o de'inido !o#: 6,,4 ≤≥≤+ y x y z x , 15 octante.



,!) .nuncie el teo#ea de de#ivaci*n de la co!o"ici*n de 'uncione" en 'o#a at#icial +#egla de la cadena).

$ada )),++),+ y x g f y xh = con )3,2+),+ 22 vuvuvu f +=∇ , calcule ),+ bah∇ "a(iendo ue )1,2+),+ =ba g ,

);,3+),+ =′ ba g x , )4,1+),+ =′ ba g y .

,) e%ina 'ailia" de cu#va" o#togonale" +t#ayecto#ia" o#togonale"). $ada la 'ailia de cu#va" de ecuaci*n

C y x = , &alle la cu#va de la 'ailia o#togonal ue !a"a !o# el !unto )2,1+ .

.!) $ado 1C f ∈ en %&3 , tal ue )),,+,2,+),,+ z y xh z x y z y x z y x f ++= , calcule la ci#culaci*n de f a lo la#go de

la ci#cun'e#encia de #adio 3= R incluida en el !lano de ecuaci*n 4= z con cent#o en )4,/,/+ indi/ue g#á'icaen-

te c*o 0a decidido o#ienta# la cu#va.

.) Calcule el voluen del cue#!o de'inido !o#: 2, x y z y ≥≤+ , 15 octante.

.3) Calcule la longitud del a#co de cu#va C de'inido !o# la inte#"ecci*n de la "u!e#'icie de ecuaci*n 21 x z −=

con el !lano de ecuaci*n x y 2= , cuyo" !unto" tienen coo#denada /≥ z .

.) Calcule el á#ea de la "u!e#'icie de ecuaci*n 224 y x z −−= con 3,3 ≥≥ z x y , 15 octante.





Pág.: 3 de 6.-

Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 03!0!3


,!) .nuncie el teo#ea de #een. $ado ))+;,)+2+),+ y x x x y x y y y x f ϕ ϕ ++= , "u!oniendo ue "e cu!len

la" 0i!*te"i" del teo#ea, calcule ∫ + ⋅C

!d f "iendo C la cu#va '#onte#a del #ectángulo ⊂× <=,4><3,1> %&2 .

,) $ado el ca!o f di'e#encia(le en el !unto A , demuestre ue f e" continuo en dic0o !unto.

.!) ea : f %&2 → %&2 ? )333,6+),+ 22 −+= y x y x y x f cuya 'unci*n !otencial e" φ . a(iendo ue 4)/,/+ =φ ,

&alle áio" y nio" locale" del !otencial e indi/ue en u7 !unto" "e !#oducen.

.) Calcule la integ#al de lnea de ),2,3+),,+ y z x z y x f = de"de ),,/+ // z y A = 0a"ta ),,1+ 11 z y B −= , a lo la#go

de la #ecta de'inida !o# la inte#"ecci*n de lo" !lano" de ecuacione": y x z += ; , 2=+− z x y .

.3) Calcule el 'lujo de ),;,2+),,+ z y x y z x z y x f +−−= a t#av7" de la "u!e#'icie '#onte#a del cue#!o de'inido

!o#: ,6,2 ≤++≤≤ z y x x y x 15 octante. En 'unci*n del #e"ultado o(tenido, indi/ue "i el 'lujo #e"ultantee" ent#ante o "aliente del cue#!o.

.) $ado ),+),+ x y y x f −= , calcule la longitud de la lnea de ca!o ue !a"a !o# el !unto )4,3+ .

Análisis Matemático II (95-0703) – Final del !0!0!3


,!) e%ina continuidad de un ca!o f en un !unto A . $ado )?+),+ 22 y x y x y x f += !a#a )/,/+),+ ≠ y x , ana-

lice la continuidad de f en )/,/+ "a(iendo ue 2?1)/,/+ = f .

,) e%ina conjunto de nivel de un ca!o e"cala#. i y x x y x −=),+φ e" la 'unci*n !otencial del ca!o f en %&2,

&alle la" ecuacione" del “conjunto de nivel de φ ” y de la “lnea de ca!o de f ” ue !a"an !o# el !unto )1,3+ .

.!) Calcule la ci#culaci*n de ),2,+),,+ 2 z x y x x z y x f +−= de"de )/,/,/+ 0a"ta )2,1,1+ a lo la#go de la cu#va

inte#"ecci*n de la" "u!e#'icie" de ecuacione" 22 y x z += e x= .

.) El ca!o 1C f ∈ tiene dive#gencia nula en %&3, calcule el 'lujo de f a t#av7" de la "u!e#'icie a(ie#ta ∑ de

ecuaci*n 224 y x z −−= con /≥ z , "a(iendo ue en !unto" del !lano xy #e"ulta ),2,+)/,,+ 22 x y y x y x f = .

Indi/ue g#á'icaente c*o o#ient* a ∑ .

.3) Calcule la a"a del cue#!o D de'inido !o#: octante51,,, 22 y z y x x y ≤≥≥ , "i "u den"idad en cada !unto

e" x" z y x =),,+δ con " con"tante.

.) Calcule el á#ea del t#oo de "u!e#'icie c*nica de ecuaci*n 22 44 y x z += con 4≤ z en el 15 octante.





Pág.: 4 de 6.-

Análisis Matemático II (95-0703) – Final del !7!0!3


,!) e%ina "oluci*n gene#al +) y "oluci*n !a#ticula# +P) de una ecuaci*n di'e#encial o#dina#ia de o#den n . $ada la

ecuaci*n di'e#encial x y" y 4 +=′+′′ con " con"tante, "a(iendo ue22 x y = e" una P determine el valo# de "

y &alle la "oluci*n gene#al.

,) @ondici*n nece"a#ia !a#a la ei"tencia de 'unci*n !otencial: enunciado 4 demostracin6

.!) Calcule la longitud de la cu#va C de'inida !o# la inte#"ecci*n del !lano de ecuaci*n /34 =− x z con la "u!e#-

'icie cilnd#ica de ecuaci*n 12;?16? 22 =+ y x , en el 15 octante.

.) ea oπ en el 15 octante, el t#oo de !lano tangente a la "u!e#'icie Σ en el !unto ),4,1+),,+ oooo z z y x = .

Calcule el á#ea de oπ "a(iendo ue Σ adite ecuaci*n ),+ y x f z = con f de'inida i!lcitaente !o#

/3)6+E! =−−++ y x z z x en un ento#no de )4,1+),+ oo = y x .

.3) $ado ),2,3+),,+ z y y x z y x f += , calcule el 'lujo de f a t#av7" de la "u!e#'icie a(ie#ta de ecuaci*n2

x y = con y z −≤≤ / . Indi/ue g#á'icaente c*o decidi* o#ienta# la "u!e#'icie.

.) Calcule la a"a del cue#!o de'inido !o#: 122,2 22222 ≤+++≥ z y x y x z , "i "u den"idad en cada !unto e"

!#o!o#cional a la di"tancia de"de el !unto al !lano y .

Análisis Matemático II (95-0703) – Final del !000!


,!) e%ina continuidad de un ca!o f en un !unto A . a(iendo ue22

)+"en),+

y x

y x y x f

+= en %& 2 A/B− , analice

"i e" !o"i(le de'ini# )/,/+ f de ane#a ue el ca!o #e"ulte continuo en el o#igen.

,) .nuncie el teo#ea de ca(io de va#ia(le" !a#a integ#ale" do(le". $ado el ca(io de va#ia(le" de'inido !o#

)4,2+),+ vuvu y x −+= , calcule ∫∫uv D

dvduu "a(iendo ue )+ =+∫∫ xy D

dydx y x .

.!) Calcule el á#ea de la #egi*n !lana D de la 'igu#a, "a(iendo

ue "u cu#va '#onte#a C adite la ecuaci*n vecto#ial:

),+ 42 uuuu X −−= con 1/ ≤≤ u

.) $ado 23 36),+ y y x x y x f +−= de'inido en %& 2, analice "i f !#oduce et#eo" locale" en ca"o a'i#ativo

clasi%*/uelos y calcule "u valo#.

.3) ea 1C f ∈ tal ue )3,)+,)++),,+ 2 z z y x y y y x x z y x f −−= ϕ ϕ , calcule el 'lujo de f a t#av7" del t#oo de

"u!e#'icie e"'7#ica de ecuaci*n ;222 =++ z y x con 1≥ z . Indi/ue g#á'icaente c*o o#ient* la "u!e#'icie.

.) El ca!o ),2+),+

2

x y x y x f =

adite 'unci*n !otencial φ tal ue 2)1,1+ =

φ . etermine la" ecuacione" dela lnea de ca!o y de la lnea eui!otencial ue !a"an !o# el !unto )1,2+ .





Pág.: ; de 6.-

Análisis Matemático II (95-0703) – Final del !700!


,!) e%ina !unto #egula# de una cu#va. $ada la cu#va C inte#"ecci*n de la" "u!e#'icie" de ecuacione" 2 y x z += e

2+= x y , &alle una ecuaci*n !a#a7t#ica vecto#ial !a#a C y analice "i el !unto )1/,3,1+ e" #egula# !a#a

e"ta #e!#e"entaci*n.

,) .nuncie el teo#ea de la dive#gencia +au""). $ado );3,4,32+),,+ x z z y y x z y x f ++−= veri%i/ue ue

el 'lujo de f a t#av7" de una "u!e#'icie e"'7#ica de #adio R e" di#ectaente !#o!o#cional al voluen de la

e"'e#a, indi/ue c*o o#ienta la "u!e#'icie y o+tena el valo# del 'lujo "eg8n la o#ientaci*n elegida.

.!) ea # en el !#ie# octante el t#oo "o(#eado de "u!e#'icie cilnd#ica ci#cula# #ecta

de la 'igu#a, cuyo" !unto" e"tán !o# encia del !lano !a#alelo al eje x ue contiene

a lo" !unto" )/,4,/+ y )4,/,/+ . Calcule el 'lujo de )3,2,2;+),,+ z x y z y x f −= a

t#av7" de # o#ientada 0acia xC.

.) $ada )+),+ x y f y x y xh −= con f 'unci*n e"cala# de#iva(le de una va#ia(le, calcule a!#oiadaente

)/2.2,/2.1+h "a(iendo ue el !unto )3,1+ !e#tenece a la g#á'ica de f .

.3) Calcule ediante una integ#al do(le el á#ea de la #egi*n !lana liitada !o# la #ecta de ecuaci*n = y la

cu#va integ#al de /2 =+′′ y ue en el !unto )2,/+ tiene #ecta tangente de ecuaci*n 2= y .

.) Calcule el voluen del cue#!o de'inido !o# 2,222 ≥≤++ z z y x .

4

4





Pág.: 6 de 6.-

Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 00!


,!) .nuncie el teo#ea de de#ivaci*n de la co!o"ici*n de 'uncione" +#egla de la cadena). $ada)),++),+ y x g f y xh = , "a(iendo ue )6,4+)2,1+ =∇h y ue ),+),+ y x y x y x g += , calcule )3,2+ f ∇ "u!o-

niendo ue "e cu!len la" 0i!*te"i" del teo#ea.

,) @ondici*n nece"a#ia !a#a la ei"tencia de 'unci*n !otencial: enunciado y demostracin.

.!) Calcule la a"a de la c0a!a !lana D de la 'igu#a liitada en el

!#ie# cuad#ante !o# el eje , el a#co de cu#va C !e#teneciente

a la eli!"e y la #ecta de ecuaci*n x y = . En cada !unto, la den-

"idad de a"a de D e" !#o!o#cional al cuad#ado de la di"tancia

de"de el !unto al eje x .

.) $ado ),,+),,+ 2 z y y y x z y x f = , calcule la ci#culaci*n de f de"de )/,4,2+ 0a"ta )2,/,/+ a lo la#go del a#co

de cu#va C en el 15 octante de'inido !o# la inte#"ecci*n de la" "u!e#'icie" de ecuacione": 2=+ z x e 2 x y = .

.3) iendo ))+"en,)+"en,)+"en+),,+ x y z z x y y z x z y x f +++= , calcule el 'lujo de f a t#av7" de la "u!e#'icie

'#onte#a del cue#!o de'inido !o#: 2DD,422 ≤≤+ y z x . Indi/ue g#á'icaente c*o o#ienta la "u!e#'icie.

.) a "oluci*n gene#al de la ecuaci*n di'e#encial x yc yb y 4=+′+′′ e" 122

21 −++= −− xe xC eC y

x x, &alle la

"oluci*n !a#ticula# de 44 +=+′+′′ x yc yb y ue cu!le con 1)/+,1)/+ −=′= y y .

Documents

AMII Finales 2013