Anal.dina.Estabi.ten.SEP

7/24/2019 Anal.dina.Estabi.ten.SEP

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N D I C E

1.- INTRODUCCIN ............................................................................................................ 1

2.- PRESENTACIN DEL PROBLEMA ............................................................................. 3

3.- ANLISIS EN RGIMEN PERMANENTE DEL SISTEMA EQUIVALENTE ........... 9

4.- MODELOS DE LOS ELEMENTOS DEL SISTEMA .................................................... 13

4.1.- Modelo del Sistema de Potencia ....................................................................... 13

4.2.- Modelo del Motor de Induccin ........................................................................ 22

4.2.1.- Modelo del motor en rgimen permanente equilibrado ...................... 28

4.2.2.- Modelo transitorio del motor .............................................................. 32

4.2.3.- Modelo para anlisis de estabilidad de tensin ................................... 35

4.2.4.- Clculo de la condiciones iniciales para el motor de induccin .......... 42

4.3.- Modelo del Compensador Esttico de Reactiva (SVC) ..................................... 46

4.4.- Modelo del Compensador Sncrono .................................................................. 49

4.4.1.- Diagramas fasoriales ........................................................................... 57

4.4.2.- Condiciones iniciales para el compensador sncrono .......................... 62


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Estabilidad de Tensin Rosa Made CastroHoracio N. Daz

1

1.- INTRODUCCIN

El anlisis de la estabilidad de tensin de una red elctrica ha motivado en los ltimos quince

aos una fuerte preocupacin por el problema, siendo actualmente un tema de inters debido a

la importancia de este fenmeno en la seguridad y calidad de suministro, en especial cuando

por presiones de tipo econmicas los sistemas elctricos operan cada vez ms cerca de sus

lmites de estabilidad.

El colapso de tensin es una inestabilidad del sistema en el que intervienen los diferentes

elementos de la red (cargas, controles, generacin, etc.) y sus variables asociadas, de hecho,

en este problema participa toda la red, aunque generalmente existe un rea particularmente

afectada. El problema tpicamente se presenta en un sistema de potencia que est fuertementecargado, operando en condiciones de falta y/o con prdidas importantes de potencia reactiva.

An cuando son muchas las variables que participan en el fenmeno, la generacin, transporte

y consumo de potencia reactiva juegan un papel determinante, en particular el colapso de

tensin est asociado con los incrementos o cambios en la naturaleza de las cargas y con la

existencia de motores fuertemente cargados que causan un aumento de la demanda de

potencia reactiva, que no siempre puede satisfacerse debido a los lmites que existen en losdispositivos de control y en las lneas de transporte, ya sea porque estn muy cargadas o se

hayan desconectado. Por esta razn un porcentaje importante de la reactiva de las cargas debe

ser suministrada localmente.

Por lo tanto, el problema de la estabilidad de tensin reside en que no es posible mantener

niveles de tensin aceptables, por lo que deben plantearse algunas alternativas de control que

permitan que las tensiones se mantengan en rangos cercanos a los nominales, tpicamente delorden del 5%, an cuando existan fluctuaciones de la demanda, para estos efectos es comn

emplear los siguientes dispositivos de control:

- Bancos de condensadores.

- Controladores estticos de reactiva (SVC).

- Transformadores con cambio de toma bajo carga.

- Compensadores sncronos.


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2

En consecuencia, un sistema de potencia es estable en tensin si despus de una perturbacin

los voltajes en las cargas se mantienen en lmites aceptables, de manera que el sistema opere

de forma segura, esto significa la existencia de un margen considerable entre el punto de

operacin despus de la perturbacin y el punto donde ocurre la inestabilidad de voltaje.

En este trabajo se estudia el problema de estabilidad de tensin de una red elctrica al ocurrir

una gran perturbacin (cortocircuito), considerando la dinmica de los motores de induccin y

la de los elementos de control de reactiva.

El estudio se realiza empleando un modelo en Simulink que permite el anlisis de las

diferentes variables de inters para el problema planteado.


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3

2.- PRESENTACIN DEL PROBLEMA

En este trabajo se analiza el primer ejemplo del captulo VI del libro Power System Voltage

Stability de W. C. Taylor.

El problema consiste en estudiar la estabilidad de tensin de la red elctrica de la Fig. 1 al

producirse un cortocircuito trifsico en el punto medio de una de las lneas, teniendo en cuenta

el efecto de la dinmica de las cargas y de los elementos de compensacin de reactiva.

Fig.1.- Sistema equivalente objeto de estudio.

En la red de la Fig. 1 se alimenta una carga de 600 MW desde un gran sistema (Generador de

potencia infinita sin limitacin de corriente) a travs de dos lneas iguales y en paralelo de 230kV y de 113 km de longitud cada una de ellas. La tensin del nudo de carga se mantiene

constante mediante un transformador con cambio automtico de tomas ( LTC ).

El sistema est fuertemente cargado y con gran compensacin reactiva, debido a la dificultad

en la construccin de nuevas lneas de transmisin.

FUENTE

230 kV

REC230 kV

LOAD230 kV

153 MVAr 162 MVAr

Carga termosttica

300 MW

MotorP=300 MW

Q=200 MVAr

M

LTC

10%

XL=0.5295 p.u.

BL/2=0.01848 p.u.XT=0.0833 p.u.

12 3

500 MVA base

113 km

1 p.u.

POTENCIAINFINITA


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4

La mitad de la potencia activa es demandada por un motor de induccin y la otra mitad por

una carga termosttica. El consumo de potencia reactiva del motor es compensada al 80% por

un banco de condensadores.

A continuacin se detallan las distintas condiciones de operacin del sistema:

Situacin de pre-falta

El sistema opera en rgimen permanente alimentando la carga especificada.

Situacin de falta

Se produce un cortocircuito trifsico en el punto medio de una de las lneas que se mantiene

durante 4 ciclos.

Situacin de post-falta

Se despeja la falta y por lo tanto el sistema alimenta a la carga a travs de una sola lnea.

En las condiciones de operacin de la red dada y suponiendo que el transformador regulador

en carga no tiene tiempo de actuar (su toma permanece en la posicin pre-falta) se quiere

estudiar el comportamiento del sistema observando la evolucin en el tiempo de la tensin del

nudo 2 (nudo REC), considerando la dinmica del motor de induccin y la de los elementos

compensadores de reactiva colocados en el nudo REC, tal y como se detalla en la Fig. 2.


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5

Fig. 2.- Elementos del Sistema equivalente (color rojo) considerados para el anlisis dinmico.

Caso 1:

Despus de producirse la falta, no se introduce ningn elemento adicional de compensacin dereactiva en el nudo 2.

Caso 2:

Se introduce una batera de condensadores de 125 MVAr en el nudo REC 0.1 segundos

despus de despejar la falta ( tiempo ciclos

fseg= + + =0 1

40 1 0 2666. . . .).

Caso 3:

Se introduce un elemento esttico de compensacin de reactiva (SVC) en el nudo REC

inmediatamente despus de producirse la falta ( tiempo ciclos

fseg= + =0 1

40 1666. . .).

Caso 4:

El sistema cuenta con un compensador sncrono de 125 MVAr.

FUENTE

230 kV

REC

230 kV

LOAD

230 kV

153 MVAr 162 MVAr

Carga termosttica

300 MW

MotorP=300 MWQ=200 MVAr

M

LTC

10%

XL=0.5295 p.u.

BL/2=0.01848 p.u.XT=0.0833 p.u.

12 3

500 MVA base

Compensacinreactiva

1 p.u.

POTENCIAINFINITA


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6

Datos del problema

Para resolver el problema se considera una potencia base de 500 MVA y una tensin base de230 kV (primario del transformador) y 25 kV (secundario del transformador), as como una

frecuencia de trabajo de 60 Hz (frecuencia base).

Los datos estn referidos a sus potencias nominales, en el caso de no coincidir sta con la

potencia base se hace el cambio correspondiente.

A continuacin se indican los datos del Sistema equivalente y de los elementos que lo

componen:

Datos del Sistema equivalente para anlisis en rgimen permanente

LNEAS (Sbase= 500 MVA)

Resistencia serie, RL

(p.u.)

Reactancia serie, XL

(p.u.)

Mitad susceptancia, BL/2

(p.u.)

0 0.5295 0.01848

TRANSFORMADOR

(Sbase= 500 MVA)

Resistencia dispersin, RT

(p.u.)

Reactancia dispersin, XT

(p.u.)

Relacin transformacin

(p.u.)*

0 0.0833 1.0383

SUSCEPTANCIA COMPENSACIN FIJAS

NUDO 2 (REC) NUDO 3 (LOAD)

B MVAr

MVAp u2 2

153

500 10 306=

=

. .. B

MVAr

MVAp u3 2

162

500 10 324=

=

. . .


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7

CARGAS POT. ACTIVA POT. REACTIVA

MOTOR 300

5000 6

MW

MVAp u= . . .

200

5000 4

MVAr

MVAp u= . . .

TERMOSTTICA 300

5000 6

MW

MVAp u= . . .

* La relacin de transformacin se obtiene de la siguiente forma:

.p.u6239.32024.11)(

p.u.076.0324.04.0

p.u.2.16.06.0

*3

argarg

arg

arg

=

=

=

==

=+=

U

QjPJ

Q

P

acac

ac

ac

p.u.099.00113.13!

=+= UJXjU T

Sustituyendo:

0383.10113.1

05.12===

U

Ua

Datos para simular el anlisis dinmico

MOTOR DE INDUCCIN (Sbase= 500 MVA)

Resistencia estator, Rs(p.u.) 0.031

Reactancia estator, Xs(p.u.) 0.1

Reactancia magnetizacin, Xm(p.u.) 3.2

Resistencia rotor, Rr(p.u.) 0.018

Reactancia rotor, Xr(p.u.) 0.18

Constante de inercia, H (seg.) 0.7

Factor A del par mecnico 1

Factor B del par mecnico 0

Factor C del par mecnico 0

(*)

(p.u.)(p.u.)

(p.u.)(p.u.)(p.u.)(p.u.)'

rm

rm

sXX

XXXX

+

+=

0.2704

XTa:12 (REC) 3J

PcargaQcarga

UU2 U3


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8

(*) : Este parmetro es parte del modelo dinmico del motor de induccin que se

analiza en el captulo 4.2.

COMPENSADOR ESTTICO (SVC)

Lmite mximo (p.u.) 125500 0 25MVArMVA = .

Lmite mnimo (p.u.) = 75500

0 15

MVAr

MVA.

Constante de tiempo dinmica (seg.) 0.05

Pendiente % 2

Ganancia dinmica (p.u.) 50

CONDENSADORES FIJOS ADICIONALES

Bcomp. (p.u.) 125500

0 25

MVAr

MVA= .

COMPENSADOR SNCRONO (Sbase= 125 MVA)*

Resistencia estator, Rs(p.u.) 0Reactancia desde estator con rotor a c.a., Xd(p.u.) 544.5

125

500386.1 =

MVA

MVA

Reactancia desde estator con rotor a c.c., Xd(p.u.) 14.1125

500285.0 =

MVA

MVA

Reactancia estator del eje q, Xq(p.u.) 26.3125

500815.0 =

MVA

MVA

Constante de tiempo del rotor, Tdo(seg.) 9.564

Constante de inercia, H (seg.) 5375.050012515.2 =MVAMVA

Valor mximo de la excitacin, Efdmax(p.u.) 12.43

Valor mnimo de la excitacin, Efdmin(p.u.) -9

* Estos datos se han obtenido del artculo New synchronous compensatos for The Nelson

River. HVDC system-Planning requirements and specification publicado en IEEE

Transactions on Power Delivery, Vol 6, No 2, April 1991.


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9

3.- ANLISIS EN RGIMEN PERMANENTE DEL SISTEMA EQUIVALENTE

Se trata de analizar el comportamiento de la red en rgimen permanente, para ello se realiza un

flujo de cargas en el que se especifican las condiciones iniciales de carga. Para la realizacin deeste estudio se debe averiguar el valor de la tensin del nudo REC teniendo en cuenta que se

quiere tener una tensin de 10 p.u. en el nudo donde se conectan las cargas (Nudo 3

LOAD) y una tensin de 1.05 p.u. en el nudo donde se colocarn elementos compensadores de

reactiva (Nudo 2 REC). Las caractersticas del Sistema se muestran en la Fig. 3:

Caracterizacin de las cargas:

- La carga demandada por el motor se considera de potencia constante (P = 0.6 p.u.).

- La carga termosttica se considera de impedancia constante, que teniendo en cuenta el

valor de la tensin de 1 p.u. la conductancia ser 0.6 p.u.

Caracterizacin de los nudos:

- Se considera como nudo balance el Nudo 1 SOURCE.

- Tanto el Nudo 2 como el Nudo 3 se consideran como nudos PQ.

FUENTE

230 kV

REC

230 kV

LOAD

230 kV

0.306 p.u. 0.324 p.u.

Carga termostticaP = 0.6 p.u.

MotorP=0.6 p.u.Q=0.4 p.u.

M

1.0383:1

XL=0.5295 p.u.

BL/2=0.01848 p.u.XT=0.0833 p.u.

1 2 3

NUDO BALANC E

1.04879 p.u. 1 p.u.

POTENCIAINFINITA

1.05 p.u.

NUDO PQ NUDO PQ

Fig. 3.- Sistema Equivalente en rgimen permanente.


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10

Se sigue esta estrategia porque no se conoce el valor de tensin del nudo SOURCE y slo se

sabe que el nudo 2 y 3 deben tener un mdulo de tensin de 1.05 p.u. y 1 p.u. respectivamente.

Para obtener los valores de tensin en los nudos, se tantea en el flujo de cargas variando elvalor de la tensin del nudo balance hasta conseguir el objetivo, por eso se debe dejar libertad

a la tensin en estos nudos (eleccin de nudos PQ) para comprobar si al final del proceso de

convergencia del flujo de cargas, el valor de tensin es el buscado.

Teniendo en cuenta estas consideraciones, as como los valores de los parmetros de los

elementos del Sistema indicados en el captulo anterior, los resultados del flujo de carga son

los siguientes:


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DATOS DE LOS NUDOS:nombre tipo Umod Uarg Pgen Bcomp Pcarga Gcarga Qcarga Bcarga Qgen Q/Uma

SOURCE Ua 1.0488 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000REC PQ 1.0000 0.0000 0.0000 0.3060 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

LOAD PQ 1.0000 0.0000 0.0000 0.3240 0.6000 0.6000 0.4000 0.0000 0.0000 0.0000

DATOS DE LAS LINEAS:nombre nudo1 nudo2 R X G B R0 X0 G0 B0Linea1 SOURCE REC 0.0000 0.5295 0.0000 0.0370 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000Linea2 SOURCE REC 0.0000 0.5295 0.0000 0.0370 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

DATOS DE LOS TRANSFORMADORES:nombre primario secundario Rcc Xcc G0 B0 rt alfa conexp Rpt Xpt

Trafo1 REC LOAD 0.0000 0.0833 0.0000 0.0000 1.0383 0 1 0.0000 0.0000

---------- RESULTADOS DEL FLUJO DE CARGAS ----------Nudo Limite Tensin ngulo() Pgen Qgen Pcarga Qcarga QcompSOURCE .... 1.0488 0.0000 1.2000 0.1314 0.0000 0.0000 0.0000

REC .... 1.0500 -16.7677 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3374LOAD .... 1.0000 -22.4403 0.0000 0.0000 1.2000 0.4000 0.3240

Prdidas de activa= 0.00000 / Prdidas de reactiva= 0.39274

---------- FLUJOS DE POTENCIAS POR LAS LINEAS ----------Lnea Nudo-A Nudo-B P(A->B) Q(A->B) P(B->A) Q(B->A)

Linea1 SOURCE REC 0.6000 0.0657 -0.6000 0.0705Linea2 SOURCE REC 0.6000 0.0657 -0.6000 0.0705

---------- FLUJOS DE POTENCIAS POR LOS TRAFOS ----------Trafo Primario Secundario P(Prim.) Q(Prim.) P(Secun.) Q(Secun.)

Trafo1 REC LOAD 1.2000 0.1964 -1.2000 -0.076011


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12

Como se comprueba del listado anterior, el valor del mdulo de la tensin del Nudo SOURCE

debe ser 1.04879 p.u. para tener una tensin de 1.05 p.u. y 1 p.u. en los Nudos 2 y 3.

Por lo tanto, los valores de las tensiones en los nudos del Sistema Equivalente tomando comoreferencia de ngulos la tensin en el nudo de carga, son los que a continuacin se detallan:

NUDO TENSIN (p.u.)

Nudo 1 (SOURCE) 1.04879 22.4403

Nudo 2 (REC) 1.05 5.6726

Nudo 3 (LOAD) 1.00 0


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13

4.- MODELOS DE LOS ELEMENTOS DEL SISTEMA

4.1.- Modelo del sistema de potencia

El sistema de potencia objeto de este estudio ha sido modelado considerando :

Alimentacin desde un nudo de potencia infinita (nudo SOURCE).

Las lneas y la susceptancias de compensacin se consideran de parmetros

constantes, ignorando su transitorio.

El transformador se considera con su toma fija, pues se supone que las tomas no

actan en los tiempos de simulacin considerados en este problema.

No se considera la dinmica de la carga termosttica.

Interfase Red Cargas dinmicas :

Para simular la interaccin entre la red y las cargas dinmicas, es necesario realizar una

interfase que relacione la operacin permanente de la red elctrica con la operacin transitoria

de las distintas cargas dinmicas que existen en el sistema. El mtodo empleado ha sido

relacionar ambos sistemas mediante un anlisis por nudos considerando el aporte de los

elementos dinmicos como fuentes de corriente, tal como se muestra en la Fig. 4. El modelo

de motor de induccin empleado se analiza con mayor detalle en el captulo 4.2.3.

Fig. 4.- Circuito equivalente para el anlisis dinmico de la red en estudio.

g

+ROTOR

MOTOR

INDUCCIN

L

BL BLB2

XT Rs X'1 3 4 2X /2

B3

1.0383:1Jg

J2

2 lneasen paralelo

EstatorMotor ind.Transformador

10 U 'GT

ELEMENTO

COMPENSACIN

REACTIVA

J 3


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14

La Fig. 4, muestra el circuito equivalente monofsico de la red en estudio, donde se han

considerado los siguientes nudos :

Nudo 1 : Nudo de conexin a la red infinita (SOURCE).Nudo 2 : Nudo interno para sealar la conexin del rotor del motor de induccin (ROTOR).

Nudo 3 : Nudo de control de reactiva, donde se conectar el condensador fijo, el SVC o

compensador sncrono (REC).

Nudo 4 : Nudo de conexin de las cargas (LOAD).

Se puede plantear el siguiente anlisis por nudos:

=

4

3

'

44434241

34333231

24232221

14131211

3

2

0 U

U

U

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

J

J

J gg

donde BusY vara segn el estado del sistema, que para este estudio son los siguientes:

a) Situacin inicial, pre-falta: sistema inicial con las dos lneas conectadas y sin

perturbacin.

b) Situacin de falta: cortocircuito trifsico en el punto medio de una de las lneas.

c) Situacin de post-falta: se despeja la falta y el sistema queda operando con una lnea

fuera de servicio.


A partir de la Fig. 4, se obtiene:

++

++

+

+

=

3310.150185.15620.1106502.34185.00

5620.1105697.14007771.30

6502.34185.006502.34185.00

07771.3007402.30

jjj

jjj

jj

jj

Y fpre


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15

Situacin de falta


Fig. 5.- Circuito equivalente dinmico de la red de estudio con una lnea cortocircuitada.

++

++

+

+

=

3310.150185.15620.1106502.34185.00

5620.1105697.14008886.10

6502.34185.006502.34185.00

08886.1006288.50

jjj

jjj

jj

jj

Yf



Fig. 6.- Circuito equivalente dinmico de la red una vez despejada la falta.

g

+ROTOR

MOTOR

INDUCCIN

L

LB2

XT Rs X'1 3 4 2

B3

1.0383:1Jg

J2

Estator

Motor ind.Transformador

10 U '

X

B

ELEMENTO

COMPENSACIN

REACTIVA

J3LX /2

LBLX /2

1 lnea sana1 lnea en falta

en su punto medio

GT

g

+ROTOR

MOTOR

INDUCCIN

L

L B2

XT Rs X'1 3 4 2

ELEMENTO

COMPENSACIN

REACTIVA

B3

1.0383:1Jg

J2

J3

EstatorMotor ind.Transformador

10 U '

X

B /2 LB /2

1 lnea

GT


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16

++

++

+

+

=

3310.150185.15620.1106502.34185.00

5620.1106996.12008886.10

6502.34185.006502.34185.00

08886.1008701.10

jjj

jjj

jj

jj

Y fpost

Las inyecciones de corriente se pueden representar tambin como:

=

4

3

'

3

2

)()(

)()(

0 U

U

U

YY

YY

J

J

J g

rrrg

grgg

g

de donde:

[ ] [ ]

+

=

4

3'

2 U

UY

UY

J

Jgr

g

gg

g

[ ] [ ]

+

=

4

3

'

3

0 U

UY

UY

Jrr

g

rg

En funcin del caso particular que se analice, las corrientes inyectadas tomarn diferentes

valores.

En cualquier caso, sern de inters la corriente inyectada al nudo donde est el rotor del motor

(la corriente de alimentacin al motor mJJ =2 ), y la tensin del nudo de control de reactiva

3U . Siendo datos conocidos en un instante del tiempo la tensin en el nudo 1

( .440322048791 cte..g == ) y la tensin en el nudo 2 que se obtiene como resultado del

anlisis del transitorio del motor y que es distinta en cada instante. De este modo para cada

uno de los casos base planteados se tiene lo siguiente:


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17

Caso 1: Sin corriente inyectada en el nudo 3 03=J

Esta situacin corresponder al caso en que solamente la red y el motor inyectan corriente a

la red, no existe ningn elemento adicional que inyecte reactiva en el nudo 3.

por lo tanto se tendr:

[ ] [ ]

+

=

4

3

'U

UY

UY

J

Jgr

g

gg

m

g

[ ] [ ]

+

=

4

3

'0

0

U

UY

UY rr

g

rg

de donde :

[ ] [ ] [ ] '133'

1

4

3

=

=

UUU

UYY

U

U gfgrgrr

[ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ]

=

=

'2

'

1 U

JJU

YYYYJ

J gfmm

g

rgrrgrgg

m

g

donde:

[ ]fU13 : Primera fila de la matriz [ ] [ ]rgrr YY 1

[ ]fmJ2 : Segunda fila de la matriz [ ] [ ][ ] [ ]rgrrgrgg YYYY 1

Estos vectores tienen los siguientes valores para cada una de las situaciones que presenta la

red:


[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]4912.12794.07628.10879.00233.04667.00622.06354.0

2

313

+====jjIJ

jjUU

mv

f

m

v

f

Situacin de falta

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]8032.12556.06693.00175.00093.03544.00179.02415.0

2

313

+==

==

jjIJ

jjUU

mvc

f

m

vc

f


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18


[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]9022.03651.02805.11217.0

0644.06780.00661.04605.02

313

+==

==

jjIJ

jjUU

mvs

f

m

vs

f

La nomenclatura utilizada para definir estas constantes es la misma que la empleada para su

representacin en Simulink.

Caso 2 y 3: Se conecta un condensador fijo/ SVC al nudo 3 de control de reactiva.

03J

El tratamiento de un condensador de valor fijo y un SVC es el mismo, ya que como se ha

puesto de manifiesto en el apartado anterior, el SVC es como una susceptancia de valor

variable en cada instante de tiempo y esto no afecta al tratamiento de la interfase con el

sistema.

En esta situacin estos elementos aportan una intensidad que se puede relacionar con la

tensin del nudo donde estn colocados de la siguiente forma:

3..3 UBjJJ compcomp ==

por lo tanto se tendr:

[ ] [ ]

+

=

4

3

'U

UY

UY

J

Jgr

g

gg

m

g

[ ] [ ]

+

=

4

3

'

.

0 U

UY

UY

Jrr

g

rg

comp

de donde :

[ ] [ ] [ ] 0

3.1

'

1

4

3

+

=

UBjY

UYY

U

U comprr

g

rgrr

[ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ][ ] 03.1

'

1

+

=

UBj

YYUYYYYJ

J comprrrg

g

rgrrgrggm

g


21/120


19

[ ]( ) ( )

[ ][ ]( ) ( )3.1,21'

3.1,1

1'33

UBjYYJJ

UBjYUU

comprrrgmm

comprr

=

+=

donde:

[ ] '13

'3

=

UUU

gf

: Tensin en el nudo 3 en el caso 1 ( 03=J ).

[ ]

=

'2'

UJJ

gf

mm

: Intensidad del motor en el caso 1 ( 03=J ).

Por lo tanto:

[ ]( )

( ) .

'3

3

.1,1

1

'3

3

1

1

comp

comprr

BjBjA

UU

BjY

UU

++=

+=

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )2.2..

'3.

'.3

2.

2.

.'

.3.'3

3

..

'3

3

1

1

1

1

1

compcomp

comprealcompimag

compcomp

compimagcompreal

compcomp

BABB

BAUBBUj

BABB

BAUBBUU

BAjBB

UU

+

+

+

+=

+=

( )

.3.3.3.3'

3.'

)()(

)(

comprealimagcomprealimagmm

compmm

BUCUDjBUDUCJJ

UBjDjCJJ

+=

+=

donde:

A : Parte real de [ ] 1,11

rrY

B : Parte imaginaria [ ] 1,11

rrY

C : Parte real de [ ][ ]1,2

1

rrrg YY

D : Parte imaginaria de [ ][ ]( )1,2

1 rrrg YY

Estos vectores tienen los siguientes valores para cada una de las situaciones que presenta la

red:


22/120


20


0

0

0

0

=

=

=

=

D

C

B

A

Situacin de falta

0093.03544.0

1279.0

0095.0

==

=

=

c

c

c

c

D

C

B

A


0644.0

6780.0

2438.0

0350.0

=

=

=

=

s

s

s

s

D

C

B

A

La nomenclatura utilizada para definir estas constantes es la misma que la empleada para su

representacin en Simulink.

Caso 4: Se conecta el compensador sncrono al nudo 3 de control de reactiva. 03J

En esta situacin el compensador sncrono inyecta una corriente al nudo 3 que se obtiene en

cada instante a partir del modelo transitorio del compensador, y por tanto es un dato.

Por lo tanto se tendr:

[ ] [ ]

+

=

4

3

'U

UY

UY

J

Jgr

g

gg

m

g


23/120


21

[ ] [ ]

+

=

4

3'0 U

UY

UY

Jrr

g

rg

cs

de donde :

[ ] [ ] [ ] 0

1'1

4

3

+

=

cs

rr

g

rgrr

JY

UYY

U

U

[ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ][ ] 0

1

'

1

+

=

cs

rrrg

g

rgrrgrgg

m

g JYY

UYYYY

J

J

Por lo tanto:

[ ] 1,11'

33 csrr JYUU +=

[ ][ ] 1,2

1'csrrrgmm JYYJJ =

Se define como en el caso anterior:

( ) '33 csJBjAUU ++=

( ) 'csmm JDjCJJ +=

Donde las constantes A, B, C y D son las mismas del caso 3 y por tanto sus valores para las

distintas situaciones de la red son los mismos que se han indicado anteriormente.

En resumen, despus de este anlisis, se observa que para cualquier caso de estudio el agregar

cualquier tipo de elemento dinmico a un nudo de la red puede estudiarse empleando la

tcnica de superposicin, es decir se considera la situacin antes de agregar el elemento ( '3U y

'mJ ) ms el efecto propio de este componente sobre la red (valores A, B, C, D en combinacin

con las intensidades que aportan). En el caso de que la incorporacin de elementos sea al

mismo nudo A, B, C y D no varan.

Tambin es importante destacar que con esta metodologa de enlace entre la red y los

elementos dinmicos, por cada motor que se agregue a la red se genera una nueva incgnita

de corriente, sin embargo por cada elemento que inyecte intensidad (generador, SVC,

condensador, etc) se genera una nueva incgnita de tensin.


24/120


22

4.2.- Modelo del motor de induccin

Se desarrollar un modelo dinmico para un motor de induccin tipo jaula de ardilla (rotor en

cortocircuito), considerando la mquina con neutro aislado. Para ello es necesario formular unconjunto de ecuaciones tanto para el estator como el rotor del motor, teniendo en cuenta que

existe una interaccin entre los campos de estator y rotor que dependern de su posicin

relativa.

En la Fig. 7 se muestran los devanados del estator y rotor con las variables de inters en

componentes de fase.

Fig.7.- Devanados del motor de induccin.

Ecuaciones Temporales para el Estator:

A partir de la Fig.7, puede establecerse que :

dt

tdtiRtu

s

as

as

s

a

)()()(

+=

dt

tdtiRtu

sbs

bs

s

b

)()()(

+=

dt

tdtiRtu

s

cs

cs

s

c

)()()(

+=

donde :

sR : Resistencia del devanado del estator.

s

i : Enlaces flujo del devanado de la fase i del estator.

s

ii : Corriente en la fase i del estator.

iar

ibr

icr

ibs

ias

ics

uarub

r

ucr

ubs

uas

ucs

e

ROTOR ESTATOR


25/120


23

Asumiendo que la mquina es simtrica en las tres fases, puede plantearse , por ejemplo para

la fase a que :

)120cos()120cos()cos(()( ++++++= er

ce

r

be

r

a

sr

m

s

c

s

b

s

m

s

a

ss

a iiiLiiLiL

donde :

sL : Inductancia propia del devanado del estator

s

mL : Inductancia mutua entre los devanados del estator.

sr

mL : Inductancia mutua entre los devanados del estator y el rotor.

r

ii : Corriente en la fase i del rotor.

e : ngulo elctrico entre la fase i del estator y rotor.

De forma anloga se pueden establecer las ecuaciones para las otras fases.

Ecuaciones Temporales para el Rotor:

A partir de la Fig. 7, puede establecerse que :

dt

tdtiRtu

r

ar

ar

r

a

)()()(

+=

dt

tdtiRtu

r

br

br

r

b

)()()(

+=

dt

tdtiRtu

r

cr

cr

r

c

)()()(

+=

donde :

rR : Resistencia del devanado del rotor.

r

i : Enlaces flujo del devanado de la fase i del rotor.

r

ii : Corriente en la fase i del rotor.

Asumiendo que la mquina es simtrica en las tres fases, puede plantearse , por ejemplo para

la fase a que :

)120cos()120cos()cos(()( es

ce

s

be

s

a

rs

m

r

c

r

b

r

m

r

a

rr

a iiiLiiLiL ++++++=


26/120


24

donde :

rL : Inductancia propia del devanado del rotor.

r

mL : Inductancia mutua entre los devanados del rotor.

rsmL : Inductancia mutua entre los devanados del rotor y el estator.

De forma anloga se pueden establecer las ecuaciones para las otras fases.

Para simplificar el anlisis, las ecuaciones en componentes de fases se expresan en un nuevo

sistema de referencia. Este nuevo sistema de referencia, que se mueve a la velocidad de

sincronismo, est formado por dos ejes; el eje d que coincide con el devanado de la fase a

del estator en el instante t = 0 y el eje q en cuadratura con el d en el sentido del

movimiento del rotor tal como se aprecia en la Fig. 8. La ventaja de este sistema de

referencia es que las corrientes de eje directo y cuadratura son constantes.

Fig. 8.- Posicin relativa de los ejes d-q en el motor de induccin

En estas condiciones se hace el siguiente cambio de variable :

Estator:

)120cos()120cos()cos((3

2+++= twitwitwii s

s

cs

s

bs

s

a

s

d

)120()120()((3

2+++= twsenitwsenitwsenii s

s

cs

s

bs

s

a

s

q

iar

ibr

icr

ias

ibs

ics

uarub

r

ucr

uas

ubs

ucs

e

ROTOR ESTATOR

d

qws

t = 0

asa

r

dq

r

e

wst


27/120


25

Rotor:

)120cos()120cos()cos((3

2+++= r

r

cr

r

br

r

a

r

d iiii

)120()120()((3

2+++= r

r

cr

r

br

r

a

r

d senisenisenii

donde :

s

di : Corriente en el eje d del estator.

s

qi : Corriente en el eje q del estator.

r

di : Corriente en el eje d del rotor.

r

qi : Corriente en el eje q del rotor.

sw : Velocidad de sincronismo.

r : ngulo entre el eje d y el devanado de la fase a del rotor.

Aplicando estas transformaciones a las ecuaciones temporales en componentes de fase, se

obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones, que representan el modelo del motor en ejes d-q.

Estator :

s

qs

s

ds

ds

s

d wdt

diRu

+= ( 1 )

s

ds

s

qs

qs

s

q wdt

diRu

++= ( 2 )

sr

m

r

dm

s

d

ss

d LiLiL =+= 2

3L m ( 3 )

r

qm

s

q

ss

q iLiL += ( 4 )

Rotor:

r

qr

r

dr

dr

r

ddt

d

dt

diRu

+= ( 5 )

r

dr

r

qr

qr

r

qdt

d

dt

diRu

++= ( 6 )

s

dm

r

d

rr

d iLiL += ( 7 )

s

qm

r

q

rr

q iLiL += ( 8 )


28/120


26

Ecuaciones de Potencia Elctrica:

Estator :

)(2

3 sq

s

q

s

d

s

d

s

s

c

s

c

s

b

s

b

s

a

s

a

s

iuiup

iuiuiup

+=

++=

Rotor :

)(2

3 rq

r

q

r

d

r

d

r

r

c

r

c

r

b

r

b

r

a

r

a

r

iuiup

iuiuiup

+=

++=

Potencia Mecnica :

( )rdr

q

r

q

r

dr

m

prdidas

r

m

iidt

dP

ppP

=

=

2

3

De la Fig. 8 se observa que el rotor se mueve con respecto a los ejes d-q a una velocidad de:

dt

dww rsr

=

adems:

p

w

w e

r =

donde :

rw : Velocidad mecnica del rotor (eje).

rw ew : Velocidad elctrica del rotor .

p : Nmero de pares de polos.


29/120


27

Par Elctrico :

( ) piiT rqr

d

r

d

r

qe =

2

3 ( 9 )

Par Mecnico :

El par mecnico se ha modelado como:

)CBwwATT mmom ++=2

donde :

oT : Par inicial.

CBA ,, : Constantes del modelo.

mw : Velocidad mecnica del rotor.

Ecuacin de Oscilacin :

mme

m wDTTdt

dwJ = ( 10 )

donde:

J : Momento de inercia total.

D : Coeficiente de rozamiento.


30/120


28

4.2.1.- Modelo del motor de induccin en rgimen permanente equilibrado

A partir de las ecuaciones dinmicas que describen el comportamiento del motor es posible

obtener el modelo clsico del motor en rgimen permanente cuando opera en condicionessimtricas y equilibradas.

Ecuaciones del estator :

En variables de fase:

)120cos(

)120cos()cos(

++=

+= +=

twIi

twIitwIi

sm

s

c

sm

s

b

sm

s

a

En ejes d-q :

Tanto el sistema de ejes d-q como los fasores asociados a las variables temporales se mueven

a la velocidad de sincronismo ( s

w ). Por lo tanto, a partir de la Fig. 9 se puede plantear que :

)(

)cos(

senIi

Ii

m

s

q

m

s

d

=

=

Fig. 9.- Relacin entre variables d-q y de fase.

Tambin , fasorialmente se cumplir que :

22

s

d

s

dms

a

ijiIJ

+==

Im

d

q

i q

id


31/120


29

Realizando un anlisis por fase se tiene que :

s

qs

s

ds

ds

s

d w

dt

diRu

+=

s

ds

s

qs

qs

s

q wdt

diRu

++=

pero:

0=dt

d s

d en estado estacionario

0=dt

d s

q en estado estacionario

r

qm

s

q

ss

q iLiL +=

r

dm

s

d

ss

d iLiL +=

luego:

)( rqms

q

s

s

s

ds

s

d iLiLwiRu +=

)( rdms

d

s

s

s

qs

s

q iLiLwiRu ++=

Fasorialmente :

2

s

q

s

ds

a

ujuU

+=

reduciendo se obtiene :

)()( ras

ams

s

am

s

s

s

as

s

a JJLwjiLLwjJRU +++=

)( ras

am

s

as

s

as

s

a JJXjiXjJRU +++=

donde :

)( ms

ss LLwX = Reactancia de dispersin del estator.

msm LwX = Reactancia de magnetizacin del estator.


32/120


30

Circuitalmente estas ecuaciones se pueden representar como se muestra en la Fig. 10.

Fig. 10.- Circuito equivalente del estator del motor de induccin.

Ecuaciones del Rotor :

rq

r

r

drdr

rd

dtd

dtdiRu

+=

r

dr

r

qr

qr

r

qdt

d

dt

diRu

++=

pero:

0=dt

d r

d

0=dt

d r

q

s

dm

r

d

rr

d iLiL +=

s

qm

r

q

rr

q iLiL +=

s

rs

w

wws

= deslizamiento

dtdws rs

=

Por lo tanto :

)(0 sqmr

q

r

s

r

dr iLiLwsiR +=

)(0 sdmr

d

r

s

r

qr iLiLwsiR ++=

Jas Ja

rRsjXs

jXmUa

s


33/120


31

Fasorialmente :

2

r

q

r

dr

a

ujuU

+=


s

ams

r

a

r

s

r

ar JLwjsJLwjsJR ++=0

)()(0 ras

ams

r

am

r

s

r

a

r JJLwjJLLwjJs

R+++=

)(0 ras

am

r

ar

r

a

r JJXjJXjJ

s

R+++=

donde :

)( mr

sr LLwX = Reactancia de dispersin del rotor.

msm LwX = Reactancia de magnetizacin.

Por lo tanto a partir de las ecuaciones anteriores, el circuito equivalente por fase del motor de

induccin operando en rgimen es el que se muestra en la Fig. 11.

Fig. 11.- Circuito equivalente por fase del motor de induccin.

Jas Ja

rRsjXs

jXmUas

jXr

Rrs


34/120


32

4.2.2.- Modelo transitorio del motor de induccin

Se desarrollar un modelo transitorio en por unidad para el motor de induccin, para lo cual se

considerarn los siguientes valores bases :

Tensin base : Tensin mxima nominal [ V ], baseu

Intensidad base : Intensidad mxima nominal, basei

Impedancia base :base

base

basei

uZ =

Potencia base trifsica : basebasebase iuS = 23

Frecuencia base : Frecuencia nominal,base

f

Pulsacin base : basebase fw = 2

Pulsacin mecnica base :p

ww basebasem =,

Par base :basem

base

basew

ST

,

=

Inductancia base:basebase

base

basewi

uL

=

Enlaces de flujo base : base

base

base w

u

=

Tiempo base :base

basew

t1

=

Ecuaciones expresadas en por unidad:

La ecuacin (3) expresada en por unidad es:

base

r

dm

base

s

d

s

base

s

d iLiL

+

=

base

r

d

base

m

base

s

d

base

ss

d

base

r

d

base

basebasem

base

s

d

base

basebase

s

s

d

base

base

base

base

r

dm

base

base

s

d

s

s

d

i

i

L

L

i

i

L

Lpu

i

i

u

wiL

i

i

u

wiLpu

i

i

u

wiL

u

wiLpu

+

=

+

=

+

=

.)(

.)(

.)(

)(.)(.)(.)(.)( puipuLpuipuLpu rdmsdssd += (11)


35/120


33

En forma anloga para las ecuaciones (4) , (7) y (8) se obtiene :

)(.)(.)(.)(.)( puipuLpuipuLpu rqms

q

ss

q += (12)

)(.)(.)(.)(.)( puipuLpuipuLpu sdmr

d

rr

d += (13)

)(.)(.)(.)(.)( puipuLpuipuLpu sqmrqrrq += (14)

La ecuacin (1) expresada en por unidad es :

base

s

q

s

basebase

s

d

base

s

d

base

s

base

s

d

base

base

s

q

base

s

basebase

base

s

d

base

s

d

base

bases

base

s

d

base

base

base

s

qs

base

base

base

s

d

base

base

base

s

ds

base

s

d

base

s

qs

base

s

d

base

s

ds

base

s

d

puwwdt

d

i

i

Z

R

u

u

u

w

ww

wuw

dtd

ii

uiR

uu

w

w

u

w

w

w

udt

d

i

i

u

iR

u

u

u

w

udt

d

u

iR

u

u

+=

+=

+

=

+

=

)(11

1

1

1

.)()(1)(

.)(.)(.)( pupuwwdt

pudpuipuRpuu

s

qs

base

s

ds

ds

s

d

+= (15)

de forma anloga para la ecuacin (2):

.)()(1)(

.)(.)(.)( pupuwwdt

pudpuipuRpuu

s

ds

base

s

qs

qs

s

q

++= (16)

La ecuacin (5) expresada en por unidad es :

base

r

q

base

rs

basebase

r

d

base

r

d

base

r

base

r

d

base

base

r

q

base

r

basebase

base

r

d

base

r

d

base

baser

base

r

d

base

base

base

r

qr

base

base

base

r

d

base

base

base

r

dr

base

r

d

base

r

qr

base

r

d

base

r

dr

base

r

d

w

ww

wdt

d

i

i

Z

R

u

u

u

w

wdt

d

wu

w

dt

d

i

i

u

iR

u

u

w

w

udt

d

w

w

udt

d

i

i

u

iR

u

u

udt

d

udt

d

u

iR

u

u

+=

+

=

+

=

+

=

)(11

11

1

1

.)(1)(

.)(.)(.)( puswdt

pudpuipuRpuu

r

q

base

r

dr

dr

r

d

+= (17)


36/120


34

de forma anloga para la ecuacin (6):

.)(1)(

.)(.)(.)( puswdt

pudpuipuRpuu

r

d

base

r

qr

qr

r

q

++= (18)


base

r

q

base

base

r

d

base

r

d

base

base

r

q

e

base

basebase

r

q

r

d

r

d

r

q

base

base

e

base

base

r

q

r

d

r

d

r

q

base

base

e

ii

uw

ii

uwpuT

w

iuii

w

S

T

w

Sii

w

S

T

=

=

=

.)(

2

31

)(2

3

1)(

2

3

base

r

q

base

r

d

base

r

d

base

r

q

ei

i

i

ipuT =

.)(

.)(.)(.)(.)(.)( puipupuipupuT rqr

d

r

d

r

qe = ( 19 )


base

mmem

base T

wDTT

dt

dw

T

J =

base

mmem

basem

basebasem

basem

T

wDTT

dt

dw

w

S

J

w

w =

,

,

,

2

2

( )

base

mme

basem

m

base

basem

T

wDTT

wdt

dw

S

wJ =

,

2, 1

2

12

.)(.)(.)(.)(

2 puTpuTpuTdt

pudwH roceme

m = ( 20 )

donde :

( )

base

basem

S

wJH

2,

2

1 = Constante de inercia expresada en segundos.


37/120


35

4.2.3.- Modelo del motor de induccin para anlisis de estabilidad de tensin

Para el estudio del problema de estabilidad de tensin el motor de induccin puede modelarse

realizando algunas simplificaciones que no resultan significativas en el estudio, pero quefacilitan la interconexin entre el modelo del motor y la red elctrica.

La simplificacin que se realizar es no considerar la dinmica del estator, de manera que :

0dt

d;0

sq ==

dt

d s

d

En estas condiciones las ecuaciones (15) y (16) quedarn expresadas como:

.)()(1)(

.)(.)(.)( pupuwwdt

pudpuipuRpuu

s

qs

base

s

ds

ds

s

d

+=

.)()(1)(

.)(.)(.)( pupuwwdt

pudpuipuRpuu

s

ds

base

s

qs

qs

s

q

++=

luego :

.)()(.)(.)(.)( pupuwpuipuRpuu sqss

ds

s

d =

.)()(.)(.)(.)( pupuwpuipuRpuu sdss

qs

s

q +=

haciendo uso de las ecuaciones (11) y (12) se tiene que:

))(.)(.)(.)()(.)(.)(.)( puipuLpuipuLpuwpuipuRpuu rqms

q

s

s

s

ds

s

d +=

))(.)(.)(.)()(.)(.)(.)( puipuLpuipuLpuwpuipuRpuu rdms

d

s

s

s

qs

s

q ++=

0

0


38/120


36

de la ecuacin (14) se obtiene que:

.)(

)(.)(.)(.)(

puL

puipuLpupui

r

s

qm

r

qr

q

=

(21)

por lo tanto:

=

.)(

)(.)(.)(.)(.)(

.)(.)()(.)(.)(.)(

puL

puipuLpupuLpuw

puipuLpuwpuipuRpuu

r

s

qm

r

q

ms

s

q

s

s

s

ds

s

d


)(.)(

.)(.)(

.)(.)(

.)(.)(.)(.)()(.)(.)(.)(

2

puipuL

puLpuw

pupuL

puLpuwpuipuLpuwpuipuRpuu

s

qr

m

s

r

qr

m

s

s

q

s

s

s

ds

s

d

+

+=

.)(.)(

.)(.)(.)(

.)(

.)(.)()(.)(.)(.)(

2

pupuL

puLpuwpui

puL

puLpuLpuwpuipuRpuu

r

qr

m

s

s

qr

ms

s

s

ds

s

d

=

lo cual se puede expresar como :

.)(.)(.)(.)(.)( '' puupuiXpuipuRpuu ds

q

s

ds

s

d +=

donde :

.)(.)(

.)(.)(.)(' pupuL

puLpuwpuu rqrmsd =

=

.)(

.)(.)()(.)(

2'

puL

puLpuLpuwpuX

r

ms

s

Para el caso de .)(puu sq se tendr que :

( ))(.)(.)(.)()(.)(.)(.)( puipuLpuipuLpuwpuipuRpuu rdmsdsssqssq ++=


39/120


37

pero:

.)(

)(.)(.)(.)(

puL

puipuLpupui

r

s

dm

r

dr

d

=

(22)

luego:

+

++=

.)(

)(.)(.)(.)()(

.)(.)()(.)(.)(.)(

puL

puipuLpupuLpuw

puipuLpuwpuipuRpuu

r

s

dm

r

d

ms

s

d

s

s

s

qs

s

q

reduciendo se obtiene:

)(.)(

.)()(

.)(.)(.)()(.)(.)()(.)(.)(.)(

2

puipuL

puLpuw

pupuLpuLpuwpuipuLpuwpuipuRpuu

s

dr

m

s

r

dr

m

s

s

d

s

s

s

qs

s

q

++=

.)(.)(

.)()(.)(

.)(

.)(.)()(.)(.)(.)(

2

pupuL

puLpuwpui

puL

puLpuLpuwpuipuRpuu

r

dr

m

s

s

dr

ms

s

s

qs

s

q +

+=

lo cual se puede expresar como :

.)(u.)(.)(.)(.)( 'q'

pupuiXpuipuRpuu s

d

s

qs

s

q ++=

donde :

.)(.)(

.)(

)(.)('

pupuL

puL

puwpuu r

dr

m

sq =

En resumen, el estator del motor de induccin se modela con las siguientes ecuaciones:

.)(.)(.)(.)(.)( '' puupuiXpuipuRpuu ds

q

s

ds

s

d += (23)

.)(u.)(.)(.)(.)( 'q'

pupuiXpuipuRpuu s

d

s

qs

s

q ++= (24)


40/120


38

Multiplicando la ecuacin (24) por j y sumndole la ecuacin (23) se obtiene :

.)(u.)(.)(

.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)('

q

'

''

pujpuipuXj

puipuRjpuupuipuXpuipuRpuujpuu

s

d

s

qsd

s

q

s

ds

s

q

s

d

++

+++=+

( ) ( )

.)(u.)(

.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)('q

'

'

pujpuu

puijpuipuXpuijpuipuRpuujpuu

d

s

d

s

q

s

q

s

ds

s

q

s

d

++

++=+

( ) ( )

( ).)(u.)(

.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)(.)('q

'

'

pujpuu

puijpuipuXpuijpuipuRpuujpuu

d

s

q

s

d

s

q

s

ds

s

q

s

d

++

++++=+

'' UJXjJRU ss

s

s ++= (25)

La ecuacin (25) se puede representar Circuitalmente como se muestra en la Fig. 12:

Fig. 12.- Enlace temporal del motor con la red.

Clculo de .)(' puX :

El valor de 'X se puede obtener a partir de los parmetros del motor en rgimen permanente,

de la Fig. 8 se observa que :

.)(.)(.)(L.)(.)(.)( s puLpuLpupuLpuLpuL msms

s +==

.)(.)(.)(L.)(.)(.)( r puLpuLpupuLpuLpuL mrmr

r +==

JsRs jX

sUURED


41/120


39

luego :

=

.)(

.)(.)()(.)(

2'

puL

puLpuLpuwpuX

r

ms

s

+

+=.)(.)(

.)(.)(.)()(.)(

2'

puLpuL

puLpuLpuLpuwpuX

mr

m

mss

+

+=.)(.)(

.)(.)(.)()(.)('

puLpuL

puLpuLpuLpuwpuX

mr

rm

ss

.)(.)(

.)(.)(.)(.)('

puXpuX

puXpuXpuXpuX

mr

rm

s +

+=

Clculo de .)(' puU :

Como en el motor de induccin est en cortocircuito a partir de la ecuaciones(17 ), se puede

plantear que :

0.)(1)(

.)(.)(.)( =+= puswdt

pudpuipuRpuu

r

q

base

r

dr

dr

r

d

sustituyendo en esta ecuacin la ecuacin (22) se obtiene:

0.)(1)(

.)(

)(.)(.)(.)( =+

pus

wdt

pud

puL

puipuLpupuR

r

q

base

r

d

r

s

dm

r

d

r

.)(.)(

)(.)(.)(.)(

)(1pus

puL

puipuLpupuR

dt

pud

w

r

qr

s

dm

r

d

r

r

d

base

+

=

.)()(.)(

.)(.)(.)(

.)(

.)()(1puspui

puL

puLpuRpu

puL

puR

dt

pud

w

r

q

s

dr

m

r

r

dr

r

r

d

base

++=


42/120


40

pero :

.)(.)(

.)(

.)(

1.)(.)(

.)(

.)(.)(.)( '' puu

puL

puL

puwpupu

puL

puLpuwpuu d

m

r

s

r

q

r

qr

m

sd ==

.)(.)(.)(

.)(1.)(.)(

.)(.)()(.)( '' puu

puLpuL

puwpupu

puLpuLpuwpuu q

m

r

s

r

d

r

dr

m

sq ==

Por lo tanto:

.)()(.)(

.)(.)(

.)(.)(

.)(

.)(

1

.)(

.)(.)(

.)(

.)(

.)(

11 ''

puspuipuL

puLpuR

puupuL

puL

puwpuL

puRpuu

puL

puL

puwdt

d

w

r

q

s

dr

m

r

q

m

r

s

r

rq

m

r

sbase

++

+=

.)(.)(

.)(.)(

)(.)(

.)(.)(.)(.)(

.)(

.)(.)(12

''

pupuL

puLpuws

puipuL

puLpuRpuwpuu

puL

puR

dt

pudu

w

r

qr

m

s

s

dr

m

rsqr

rq

base

+

+

+=

.)(.)(

.)(

.)(

1

.)(

.)(.)(-

)(.)( .)(.)(.)(.)(.)( .)(.)(

1

'

2

'

'

puupuL

puL

puwpuL

puLpuws

puipuLpuLpuRpuwpuu

puLpuR

dt

pudu

w

d

m

r

s

r

m

s

sdr

mrsqr

rq

base

+=

.)()(.)(

.)(.)(.)(.)(

.)(

.)(.)(1 '2

'

'

puuspuipuL

puLpuRpuwpuu

puL

puR

dt

pudu

w d

s

dr

m

rsqr

rq

base

+=

.)()(.)(.)(

.)(.)(.)(

.)(

.)(.)(1 '2

'

'

puuspuipupuL

puLpuwpuu

puL

puR

dt

pudu

w d

s

dr

m

sqr

rq

base

=

( ) .)(1)(.))(.)((.)(1.)(1 '''

'0

'

puudt

d

wpuipuXpuXpuu

Tdt

pudu

w d

r

base

s

dq

q

base

=

donde :

.))(.)((.)(.)( puLpuLpuwpuX mss +=


43/120


41

de forma anloga se obtiene, haciendo 0=rqu

( ) .)(1)(.))(.)((.)(1.)(1 '''

'

0

'

puu

dt

d

w

puipuXpuXpuu

Tdt

pudu

w q

r

base

s

qd

d

base

++=

Para el par elctrico se tiene:

Sustituyendo en la ecuacin (19) las ecuaciones (21) y (22) se obtiene:

=

.)(

)(.)(.)(.)(

.)(

)(.)(.)(.)(.)(

puL

puipuLpupu

puL

puipuLpupupuT

r

s

qm

r

qr

dr

s

dm

r

dr

qe

.)(

)(.)(.)(

.)(

)(.)(.)(.)(

puL

puipuLpu

puL

puipuLpupuT

r

s

qmr

dr

s

dmr

qe

+

=

Reemplazando las expresiones para .)(' puud y .)(' puuq :

.)(

.)(.)(.)(.)(.)(

''

puw

puipuupuipuupuT

s

s

qq

s

dd

e

+=

En resumen, el conjunto de ecuaciones que se van a emplear para realizar la simulacin

dinmica son:

( ) .)(1)(.))(.)((.)(1.)(1 '''

'0

'

puudt

d

wpuipuXpuXpuu

Tdt

pudu

w q

r

base

s

qd

d

base

++=

( ) .)(1)(.))(.)((.)(1.)(1 '''

'0

'

puudt

d

wpuipuXpuXpuu

Tdt

pudu

w d

r

base

s

dq

q

base

=

( ) .)(.)(.)(.)(.)(.)(2 2 puTCpuBwpuwApuTpuTdt

pudwH rocemmoe

m ++=


44/120


42

4.2.4 Clculo de las condiciones iniciales del motor de induccin

El clculo de las condiciones iniciales se realiza a partir de la informacin del rgimen

permanente. De esta situacin se conoce la tensin en bornes del motor, as como la potenciaactiva consumida por el motor.

A partir de estos datos se obtendr el valor del deslizamiento correspondiente a la situacin de

rgimen permanente, y por la tanto la velocidad del rotor, completndose el clculo con la

obtencin del par mecnico inicial.

El circuito del motor de induccin vlido para el rgimen permanente es el que se muestra en

la Fig. 13.

Fig. 13.- Circuito equivalente del motor de induccin para Rgimen Permanente.

Los datos de rgimen permanente que se conocen son:

.01 puUs =

.6,0 puPm=

De la figura se puede deducir:

( ) ( )22 rrssm I

s

RIRP += (26)

Por otra parte:

++

+

++

=

mr

r

mrr

ss

ss

XjXj

s

R

XjXjs

R

XjR

UJ (27)

J

Ps JrRs

jXs

jXmU

m

s

jXr

Rrs


45/120


43

+++

++

++

=

m

r

rms

rs

mrrms

rs

mr

r

s

Xs

RXXR

s

RXjXXXXX

s

RR

XXjs

R

J

)()(

)(1

++

=

)( mrr

msr

XXjs

R

XjJJ

+++

++

=

m

r

rms

rs

mrrms

rs

mr

Xs

RXXR

s

RXjXXXXX

s

RR

XjJ

)()(

( )22

22

2

)()(

)(

+++

+

+

++

=

m

r

rms

rs

mrrms

rs

mr

r

s

Xs

RXXR

s

RXXXXXX

s

RR

XXs

R

I

( ) ( )22

22

)()(

+++

+

+

=

m

r

rms

rs

mrrms

rs

mr

Xs

RXXR

s

RXXXXXX

s

RR

XI

Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin n se obtiene una ecuacin de segundo grado en

s (deslizamiento), como se muestra a continuacin:

( )222

22

)(

)()(

m

r

mr

r

s

m

r

rms

rs

mrrms

rs

m

Xs

RXX

s

RR

Xs

RXXR

s

RXXXXXX

s

RRP

+

++

=

=

+++

+

+

Operando y agrupando

( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 0

2)(222

22222

=+++

++++++

rsmrrsrsm

mrmrrsrsmmrsm

RRXRRXRRP

XRXRRXBARRPsXXRBAPs


46/120


44

donde:

mrrms XXXXXA += )(

)( rms XXRB +=

Tomando los siguientes valores por unidad,

.031.0 puRs =

.1.0 puXs =

.2.3 puXm =

.18.0 puXr=

6.0=mP

De esta ecuacin de segundo grado se toma el valor mnimo, ya que vamos a trabajar en la

zona de comportamiento estable del motor.

012.0=s

La velocidad del rotor en por unidad (es lo mismo elctrica que mecnica) se calcula de la

siguiente forma:

.)(

.)(.)(

puw

puwpuws

s

rs =

Como se ha considerado que sbase ww = entonces la ecuacin anterior se expresa como:

.)(1 puws r=

La velocidad inicial del rotor en por unidad es:

pu.9880.0.)(

1.)(

=

=

puw

spuw

r

r

00021.01775.01537.0 2 =+ ss

cuyas soluciones son:

0120.0

1428.1

2

1

=

=

s

s


47/120


45

Par Inicial :

Como se sabe que en rgimen permanente me TT = entonces el par se puede evaluar a partir

de:

.)(

.)(.)(.)(.)(.)(

''

puw

puipuupuipuupuT

s

s

qq

s

dd

e

+=

) .)(.)(.)(.)(.)(.)( 2 puTpuwDCpuBwpuwApuTpuT mmmmoe =+++=

donde para el caso de estudio:

1=A , 0=B , 0=C , 0=D , 1.)( =puws

s

di : Parte real de la corrientes

J

s

qi : Parte imaginaria de la corrientes

J

'du : Parte real de la tensin

'U

'qu : Parte imaginaria de la tensin

'U

Sustituyendo los valores anteriores en la ecuacin (27) se obtiene :

.6.0 pui sd= , .3997.0 puis

q =

De la figura siguiente se deduce que :

s

s

sJXjRUU += )( ''

luego:

.1499.0

.8733.0'

'

puu

puu

q

d

=

=

Por lo tanto, el par mecnico inicial es:

pu.5982.00=T

Es importante destacar que si se calcula la potencia reactiva absorbida por el motor a partir de

estos resultados se obtendra un valor de .3997.0 puQm=

El clculo de todas estas condiciones iniciales se encuentra en el archivo cinic.men el anexo.

Js Rs jX

sUURED


48/120


46

4.3.- Modelo del compensador esttico de reactiva ( SVC )

Se desarrollar un modelo que controlar el valor de la potencia reactiva inyectada al nudo

donde se coloque el compensador esttico de potencia reactiva ( SVC ).

El esquema del dispositivo con sus componentes se muestra en la Fig. 14.

Fig. 14.- Modelo del SVC.

El funcionamiento del dispositivo es el que se detalla a continuacin:

Se compone de una bobina caracterizada por una reactancia constante XLpor donde circula

una intensidad de valor eficaz IL que se controla con el ngulo de disparo del tiristor que se

encuentra en serie con ella, y un condensador caracterizado por una susceptancia constante

Bc . La aportacin de potencia reactiva al nudo ser: Q Qc L .

Para un valor de tensin dado, la bobina puede tomar un valor entre un valor mximo Lmax y

un valor mnimo Lmin dependiendo del ngulo de disparo del tiristor. A menor valor de

inductancia, para una tensin dada, la intensidad es mayor, por tanto este comportamiento se

puede representar grficamente como muestra la Fig. 15:

Fig. 15.- Curvas de funcionamiento de la bobina variable y condensador fijo del SVC.

J

L

J

c

L B c

Qc - QL

L

L

max

min

Ptos. de funcionamientoU

I

U

I

Bc


49/120


47

Por otra parte para un valor de tensin dado el condensador presenta un valor constante Bc y

la relacin tensin e intensidad es la que muestra la Fig. 15.

Teniendo en cuenta estos dos efectos se tiene que el SVC se puede representar como unabobina de valor variable. Mientras exista control del ngulo de disparo el SVC opera en la

recta roja (Fig. 16), pero al llegar al lmite superior e inferior del mismo el SVC se comporta

como una bobina de valor L max' o una bobina de valor L min' , es decir, un condensador.

Fig. 16.- Curvas de funcionamiento del SVC.

Circuitalmente el SVC se puede representar como indica la Fig. 17

U j X J eq eq=

Fig. 17.- Enlace de la red con el SVC.

J

U eq

+

eqjX

jB

L

L

max

min

U

I

B

L'max

L'min

c

(1)(2)

Caracterstica de la red


50/120


48

Esta ecuacin representa la recta de la caracterstica de la red. El punto de corte de esta recta

con la caracterstica del SVC, representa el punto de funcionamiento. El punto de consigna en

el que no se cede ni absorbe reactiva es el punto (1) marcado en la Fig. 16 que representa el

nivel de tensin de referencia que se desea mantener.

Si la tensin de la red cambia por cualquier motivo, la recta de funcionamiento se desplaza

paralelamente a la anterior (recta discontinua de la Fig. 16), siendo ahora el nuevo punto de

funcionamiento el indicado como (2), donde se observa que el nuevo valor de tensin vara

levemente, ya que el SVC se encuentra operando dentro se sus lmites (L maxy Lmin).

Si bien sera deseable que la caracterstica de este dispositivo tuviera una pendiente prxima a

cero, esto tiene la desventaja de que se produciran sobrecargas de los dispositivos de

pendiente nula, que tenderan a hacerse cargo de toda la variacin de tensin, frente a los

dispositivos de pendiente no nula.


51/120


49

4.4.- Modelo del compensador sncrono

El modelo del compensador sncrono puede obtenerse a partir del anlisis de un generador

sncrono que trabaja sin carga (Potencia activa nula), por lo tanto las ecuaciones defuncionamiento son las mismas. stas se podran desarrollar de forma anloga a como se hizo

en el anlisis del motor de induccin, a partir de las ecuaciones temporales correspondientes a

cada fase y luego establecer un cambio de variables de fase a ejes d-q.

Este anlisis es ms complejo que el del motor de induccin, entre otras cosas por la

existencia de un devanado de excitacin que hace que el rotor no sea simtrico.

Se comenzar el anlisis con las ecuaciones del comportamiento del generador en ejes d-q,

tomando como referencia intensidades saliendo de la mquina . En este caso los ejes d-q se

mueven a la velocidad del rotor ( rw ) que no es igual a la de sincronismo durante el

transitorio, esto por ejemplo causa que no exista una correspondencia directa entre los ejes d-q

y los ejes real-imaginario como ocurra en el motor de induccin, razn por la cual la interfase

entre el generador y el sistema de potencia debe tener en cuenta este efecto.

Fig.18.- Diagrama de ejes d-q para el compensador Sncrono.

Estator:

.)()()(

.)(.)(.)( pupuwdt

pudpuipuRpuu

s

qr

s

ds

ds

s

d

+=

.)()(

)(

.)(.)(.)( pupuwdt

pud

puipuRpuu

s

dr

s

qs

qs

s

q

++=

ws

q

dU

Real

Imaginario

wr


52/120


50

Para el anlisis de estabilidad de tensin se pueden realizar las siguientes simplificaciones :

Se ignoran los transitorios del estator, es decir :

0)( =dt

pud s

d

0)(=

dt

pud s

q

con lo cual se mejora la compatibilidad con el sistema.

Se asume que 1.)( =puwr , lo cual es vlido en rgimen permanente no as en el

transitorio. Sin embargo, esta simplificacin no es vlida al establecer la ecuacin deoscilacin de la mquina.

Por lo tanto:

.)(.)(.)(.)( pupuipuRpuu sqs

ds

s

d =

.)(.)(.)(.)( pupuipuRpuu sds

qs

s

q +=

A continuacin se describirn las ecuaciones correspondientes a los enlaces de flujo, para lo

cual resulta til los siguientes diagramas auxiliares :

Para el eje d:

Fig. 19.- Diagrama auxiliar para el eje d.

donde :

lL : Inductancia del estator en por unidad.

adL : Inductancia mutua estator-rotor para el eje d en por unidad.

fdL : Inductancia del devanado de excitacin en por unidad.

lL

adL

fdL

fdd

id i fd


53/120


51

De la Fig. 19 se obtiene:

.)(.)(.)(.)()(.)(

.))(.)((.)(

puiLpuiXpuiLpuiLLpu

puipuiLiLpu

fdad

s

ddfdad

s

dadl

s

d

s

dfdad

s

dl

s

d

+=++=

+=

(28)

la impedancia en por unidad vista desde el estator con el rotor en circuito abierto es :

adldd LLLX +==

la impedancia en por unidad vista desde el estator con el rotor en cortocircuito es :

fdad

fdad

lddLL

LLLLX

+

+== ''

Para el eje q:

Fig. 20.- Diagrama auxiliar para el eje q.

Para el eje q no se representa el rotor y por lo tanto a partir de la Fig. 18 se deduce:

.)(.)(.)()(.)( puiXpuiLpuiLLpu sqqsqqsqaqlsq ==+= (29)

donde:

aqL : Inductancia mutua estator-rotor para el eje q en por unidad.

aqlqq LLLX +==

lL

aqLq

iq


54/120


52

Interfase con el sistema de excitacin:

De la Fig. 19:

.)(.)(.)(

)(.)()(.)(

puiLpuiLpu

puiLpuiLLpu

s

dadfdffdfd

s

dadfdadfdfd

=

+=

(30)

La tensin de alimentacin del devanado de excitacin, se puede expresar como:

dt

pudpuiRpuu

fd

fdfffd

.)(.)(.)(

+= (31)

donde:

adfdffd LLL +=

ffR : Resistencia del devanado de excitacin.

Las ecuaciones anteriores se pueden expresar en funcin de otras variables, que suelen ser las

que especifican los fabricantes:

.)(.)( puiLpuE fdadl = Tensin proporcional a la excitacin (til para la interfase con el

sistema de excitacin).

.)(.)(' puL

LpuE fd

ffd

adq

= Tensin proporcional con los enlaces de flujo (til para la

interfase con el sistema de potencia).

.)(.)( puuR

L

puE fdff

ad

fd = Tensin proporcional a la tensin de excitacin (til para la

interfase con el sistema de excitacin).

A partir de estas nuevas variables, las ecuaciones (28) y (29) se pueden expresar como:

.)(.)(.)( puEpuiLpu ls

dd

s

d +=

.)(.)( puiLpu sqqs

q =


55/120


53

Tambin combinando con la ecuacin (30), se obtiene:

( ).)(.)(.)(' puiLpuiLL

LpuE

s

dadfdffd

ffd

ad

q =

.)(.)(.)(2

' puiLLpuiLpuE

s

d

ffd

ad

fdadq =

.)(.)(.)(2

'pui

L

LpuEpuE s

d

ffd

ad

lq =

Recordando que:

fdad

fdad

ldd

LL

LLLLX

+

+== '' Combinndolas:

ffd

ad

d

fdad

fdad

addd

L

LL

LL

LLLLX

2' =

+

+=

adldd LLLX +==

por lo tanto:

) .)(.)(.)( '' puiXXpuEpuE sdddlq +=

De la ecuacin (31), se tiene que:

.)(.)(.)(

puiRpuudt

pudfdfffd

fd =

Adems:

( ).)(.)(

.)('

puiRpuuL

L

dt

pudE

fdfffdffd

adq

=

.)(.)(.)('

puiRL

LpuE

L

R

L

L

dt

pudEfdff

ffd

ad

fd

ffd

ff

ffd

adq =

.)(.)(.)('

puEL

RpuE

L

R

L

L

dt

pudEl

ffd

ff

fd

ffd

ff

ffd

adq =

Definiendo:

ff

ffddo

R

LT =' Constante de tiempo del rotor.

ffd

ad

ddL

LXX

2' =


56/120


54

La ecuacin anterior queda:

( ).)(.)(1.)(

'

'

puEpuE

Tdt

pudElfd

do

q =

Ecuacin de oscilacin :

.)(.)(.)(

2 puTpuTdt

pudwH em

m =

.)(.)(.)(.)(.)(.)(

''

puwpuipuupuipuupuT

s

s

qq

s

dde +=

En un compensador sncrono 0=mT

como 1=rw pu.

.)(.)(.)(2 puPpuPdt

pudwH emm =

.)(.)(.)( puwpuwpuw mom +=

tpuwtpuwtpuw mom += .)(.)(.)(

+= 0T

Fig. 21.- Referencias angulares para los ejes d-q y real-imaginario.

ws

q

d

Real

Imaginario

w r

Referencia

o

= w ts


57/120


55

donde :

T : Posicin angular del eje q con respecto a la referencia de ngulos.

0 : Posicin del eje real con respecto a la referencia de ngulos.

: ngulo del eje q con respecto a la posicin del eje real en cada

instante de tiempo.

Por lo tanto:

dt

puwd

dt

pudw mm .)(.)( =

2

2

2

2.)(

dt

d

dt

d

dt

pudw Tm ==

La ecuacin final de oscilacin es la siguiente :

.)(.)(.)(

2 puPpuPdt

puwdH em

m =

De donde se obtiene el incremento de velocidad .)(puwm

Para obtener , se hace el siguiente clculo :

basem wpuwdt

d = .)(

En resumen, las ecuaciones que describen el comportamiento del compensador sncrono son

las siguientes:

.)(.)(.)(.)( pupuipuRpuu sqs

ds

s

d = (32)

.)(.)(.)(.)( pupuipuRpuu sds

qs

s

q += (33)

.)(.)(.)( puEpuiLpu ls

dd

s

d += (34)

.)(.)( puiLpu sqqs

q = (35)

) .)(.)(.)( '' puiXXpuEpuE sdddlq += (36)

( ).)(.)(1.)(

'

'

puEpuETdt

pudElfd

do

q = (37)

.)(

.)(.)(.)(.)(.)(2

''

puw

puipuupuipuu

dt

puwdH

s

s

qq

s

ddm +

=

(38)

basem wpuwdt

d = .)(

(39)


58/120


56

En base al anlisis realizado el estator del compensador sncrono se analiza con el siguiente

conjunto de ecuaciones :

Sustituyendo la ecuacin (35) en la (32) se obtiene :

.)(.)(.)(.)( puiXpuipuRpuu s

qq

s

ds

s

d +=

Sustituyendo la ecuacin (34) en (33) se obtiene:

.)(.)(.)(.)(.)( puEpuiXpuipuRpuu ls

dd

s

qs

s

q +=

Sustituyendo la ecuacin (36) en la anterior:

) .)(.)(.)(.)(.)(.)( '' puEpuiXXpuiXpuipuRpuu qsdddsddsqssq +=

luego:

.)(.)(.)(.)(.)( '' puEpuiXpuipuRpuu qs

dd

s

qs

s

q +=

Por lo tanto, las ecuaciones finales para simular la dinmica del estator son :

) .)(.)(.)( '' puEpuiXXpuE qs

dddl =

Para la dinmica del rotor se tienen las siguientes ecuaciones :

+

=

.)(

.)(.)(.)(.)(

2

1.)(''

puw

puipuupuipuu

Hdt

puwd

s

s

qq

s

ddm

basem wpuwdt

d = .)(

y la dinmica del control de la excitacin se representa con la siguiente ecuacin:

( ).)(.)(1.)(

'

'

puEpuE

Tdt

pudElfd

do

q =

=

'

1

'

0

qs

q

s

d

sd

qs

s

q

s

d

Eu

u

RX

XR

i

i


59/120


57

4.4.1.- Diagramas fasoriales

Como se ha supuesto anteriormente que 1.)( =puwr , es posible analizar cada instante del

proceso transitorio como si fuera un estado permanente. Esto quiere decir, que todo el procesotransitorio se puede estudiar como una sucesin de estados cuasi-permanentes.

Esto permite establecer sin problemas la interfase del transitorio del compensador con el

sistema de potencia mediante un anlisis fasorial.

Reemplazando la ecuacin (35) en la ecuacin (32):

.)(.)(.)(.)( puiLpuipuRpuu sqqs

ds

s

d +=

Reemplazando las ecuaciones (34) y (36) en la ecuacin (33):

.)(.)(.)(.)(.)( '' puEpuiLpuipuRpuu qs

dd

s

qs

s

q +=

La Fig. 22 muestra la composicin fasorial de las variables.

Fig. 22.- Composicin fasorial de las variables a partir de los ejes d-q y real-imaginario.

De la Fig. 22 se obtiene:

s

q

s

d

sJJJ +=

sq

sd

s UUU +=

ws

q

dU

Real

Imaginario

wr

u duq


60/120


58

donde:

sJ , sU : Fasores correspondiente a la intensidad proporcionada por el compensador

sncrono y tensin de alimentacin en por unidad.s

dJ ,s

dU : Fasores correspondiente a la intensidad proporcionada por el compensador

sncrono y tensin de alimentacin en el eje d en por unidad.

s

qJ ,s

qU : Fasores correspondiente a la intensidad proporcionada por el compensador

sncrono y tensin de alimentacin en el eje q en por unidad.

Los fasores correspondientes a la tensin de alimentacin al compensador sncrono en el eje d

y q son:

( )sqqs

ds

s

d JjXJRU += (40)

s

dd

s

qs

s

qqq

s

dd

s

qs

s

q JXjJRUJXjJRU ++=+='''' )( (41)

Para analizar la interfase entre el transitorio del compensador sncrono y el sistema de

potencia es til considerar la Fig. 23, donde se muestra la relacin entre la tensin transitoria

del eje q y la tensin de alimentacin a travs del estator de la mquina.

Fig. 23.- Circuito para relacionar el Sistema de Potencia y el motor para el eje q.

s

qs

s

q JXjRU ++= )(

)()()( sqs

dqs

s

q

s

dq JJXjRUU ++++=

qjX

qs

U

Js sR

Red Rotor

Estator


61/120


59

De la ecuacin (40):

s

dq

s

qs

s

qq JXjJRU ++= (42)

La Fig. 24 muestra la relacin entre la tensin transitoria del eje d y la tensin de alimentacin

a travs del estator de la mquina.

Fig.24.- Circuito para relacionar el Sistema de Potencia y el motor para el eje d.

s

ds

sJXjRU ++= )( ''

)()()( '' sqsddssqsd JJXjRUU ++++=

Empleando la ecuacin (41) en la ecuacin anterior:

s

qd

s

ds

s

dq JXjJRU +++='''

Sustituyendo la ecuacin (40):

s

qdqq JXXj = )('''

Por ltimo, la ecuacin (36) en forma fasorial es:

s

dddlq JXXj = )(''

d

's

U

Js

sR

Red Rotor

Estator

jX'


62/120


60

Sustituyendo la ecuacin (41):

s

dd

s

qs

s

ql JXjJRU ++=

Reemplazando la ecuacin (42) en esta ltima se obtiene finalmente:s

dqdql JXXj += )(

En resumen, el conjunto de ecuaciones que permiten relacionar el transitorio del compensador

sncrono con el sistema de potencia son:

En la Fig. 25 se detalla el diagrama fasorial del compensador sncrono que representa las

ecuaciones anteriores :

Fig. 25.- Diagrama fasorial de un Compensador Sncrono.

s

q

s

d

sUUU +=

s

qdqq JXXj = )('''

s

dq

s

qs

s

qq JXjJRU ++=

'' sdd

s

qs

s

qq JXjJRU ++=

s

dqdql JXXj += )(

w s

q

d

Real

w r

J q

Jd

Ud

Uq ' q q l

'U

Rs

J

J dJjX'

qJjX


63/120


61

El diagrama fasorial de la Fig. 25 es vlido para cada instante de tiempo, ya que la posicin

relativa de estos fasores vara durante el transitorio.

A partir de este diagrama fasorial es posible obtener la relacin entre los fasores y los valoresinstantneos de las variables. As es posible expresar en por unidad que :

)2/( = sds

d iJ

= sqs

q iJ

luego:

+=+= )2/( sqs

d

s

q

s

d

siiJJJ

lo cual matricialmente se puede expresar como:

=

s

q

s

d

s

imag

s

real

i

i

sen

sen

I

I

)()cos(

)cos()(

Las matrices que permite realizar la transformacin de variables en ejes d-q a variables en ejes

real-imaginario y viceversa son :

Matriz de transformacin de ejes d-q a plano real-imaginario:

[ ]

= )()cos(

)cos()(

sen

senT rxdq

Matriz de transformacin de plano real-imaginario a ejes d-q:

[ ]

= )()cos(

)cos()(

sen

senT dqrx


64/120


62

4.4.2.- Condiciones Iniciales del compensador sncrono

Las condiciones iniciales del compensador sncrono se determinan cuando el sistema est

operando en rgimen permanente. Para el caso que se est desarrollando, se ha consideradoque el compensador est flotando en la red, es decir no est aportando intensidad. En el

diagrama fasorial de la Fig. 26 se muestra esta situacin y es posible obtener que:

Fig. 26.- Diagrama fasorial para la situacin inicial del Compensador Sncrono.

0== sqs

d ii pues el compensador sncrono no aporta intensidad en rgimen permanente

Tambin de las ecuaciones (36), (40) y (41) se obtiene que:

donde :

sU : Tensin en el nudo de la red donde est conectado el compensador sncrono en

rgimen permanente.

Por lo tanto:

== 6726.5inicial

Como un compensador sncrono no aporta potencia activa entonces :

0=

mT

p

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