Análisis de La Varianza.docx Exposicion

5/21/2018 An lisis de La Varianza.docx Exposicion

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El anlisis de varianza es una tcnica que se puede utilizar para decidir si las

medias de dos o ms poblaciones son iguales. La prueba se basa en una

muestra nica, obtenida a partir de cada poblacin.

El anlisis de varianza puede servir para determinar si las diferencias entre las

medias mustrales revelan las verdaderas diferencias entre los valores medios

de cada una de las poblaciones, o si las diferencias entre los valores medios de

la muestra son ms indicativas de una variabilidad de muestreo.

Si el valor estadstico de prueba (anlisis de varianza) nos impulsa a aceptar la

hiptesis nula, se concluira que las diferencias observadas entre las medias de

las muestras se deben a la variacin casual en el muestreo (y por tanto, que los

valores medios de poblacin son iguales). Si se rechaza la hiptesis nula, se

concluira que las diferencias entre los valores medios de la muestra son

demasiado grandes como para deberse nicamente a la casualidad (y por ello,

no todas las medias de poblacin son iguales).

Los datos para el anlisis de varianza se obtienen tomando una muestra de

cada poblacin y calculando la media muestral y la variancia en el caso de

cada muestra.

Existen tres supuestos bsicos que se deben satisfacer antes de que se pueda

utilizar el anlisis de variancia.


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1) Las muestras deben ser de tipo aleatorio independiente.

2) Las muestras deben ser obtenidas a partir de poblaciones normales.

3) Las poblaciones deben tener variancias iguales (es decir, )

El anlisis de varianza, como su nombre lo indica, comprende el clculo de

varianzas. La varianza de una muestra es el promedio de las desviaciones

elevadas al cuadrado de la media del grupo.

Simblicamente, esto se representa de la siguiente manera:

Cabe observar que se debe utilizar n -1, ya que se est trabajando con datos

mustrales. De ah que, para obtener la varianza muestral, el procedimiento

sea el siguiente:

1) Calcular la media muestral

2) Restar la media de cada valor de la muestra.

3) Elevar al cuadrado cada una de las diferencias.

4) Sumar las diferencias elevadas al cuadrado.

5) Dividir entre n -1


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LA RAZN F

A diferencia de otras pruebas de medias que se basan en la diferencia existente

entre dos valores, el anlisis de varianza emplea la razn de las estimaciones,

dividiendo la estimacin intermediante entre la estimacin interna

Esta razn F fue creada por Ronald Fisher (1890-1962), matemtico britnico,

cuyas teoras estadsticas hicieron mucho ms precisos los experimentos

cientficos. Sus proyectos estadsticos, primero utilizados en biologa,

rpidamente cobraron importancia y fueron aplicados a la experimentacin

agrcola, mdica e industrial. Fisher tambin contribuy a clarificar las

funciones que desempean la mutacin y la seleccin natural en la gentica,

particularmente en la poblacin humana.

El valor estadstico de prueba resultante se debe comparar con un valor

tabular de F, que indicar el valor mximo del valor estadstico de prueba que

ocurra si H0 fuera verdadera, a un nivel de significacin seleccionado. Antes

de proceder a efectuar este clculo, se debe considerar las caractersticas de la

distribucin F


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CARACTERSTICAS DE LA DISTRIBUCIN F

Existe una distribucin F diferente para cada combinacin de tamao de

muestra y nmero de muestras. Por tanto, existe una distribucin F que se

aplica cuando se toman cinco muestras de seis observaciones cada una, al

igual que una distribucin F diferente para cinco muestras de siete

observaciones cada una. A propsito de esto, el nmero distribuciones de

muestreo diferentes es tan grande que sera poco prctico hacer una extensa

tabulacin de distribuciones. Por tanto, como se hizo en el caso de la

distribucin t, solamente se tabulan los valores que ms comnmente se

utilizan.

En el caso de la distribucin F, los valores crticos para los niveles

0,05 y 0,01

generalmente se proporcionan para determinadas combinaciones

de tamaos de muestra y nmero de muestras.

La distribucin es continua respecto al intervalo de 0 a + . La razn ms

pequea es 0. La razn no puede ser negativa, ya que ambos trminos de la

razn F estn elevados al cuadrado. Por otra parte, grandes diferencias entre

los valores medios de la muestra, acompaadas de pequeas variancias

mustrales pueden dar como resultado valores extremadamente grandes de la

razn F.


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La forma de cada distribucin de muestreo terico F depende del nmero de

grados de libertad que estn asociados a ella. Tanto el numerador como el

denominador tienen grados de libertad relacionados.

DETERMINACIN DE LOS GRADOS DE LIBERTAD

Los grados de libertad para el numerador y el denominador de la razn F se

basan en los clculos necesarios para derivar cada estimacin de la variancia

de la poblacin. La estimacin intermediante de variancia (numerador)

comprende la divisin de la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre

el nmero de medias (muestras) menos uno, o bien, k -1. As, k -1es el nmero

de grados de libertad para el numerador.

En forma semejante, el calcular cada variancia muestral, la suma de las

diferencias elevadas al cuadrado entre el valor medio de la muestra y cada

valor de la misma se divide entre el nmero de observaciones de la muestra

menos uno, o bien, n -1. Por tanto, el promedio de las variancias mustrales se

determina dividiendo la suma de las variancias de la muestra entre el nmero

de muestras, o k. Los grados de libertad para el denominador son entonces,

k(n -l).

Uso de la tabla de F del anlisis de variancia (ANOVA)

En la tabla se ilustra la estructura de una tabla de F para un nivel de

significacin de 0,01 o 1 y 0,05 o 5 . Se obtiene el valor tabular, localizando

los grados de libertad del numerador (que se listan en la parte superior de la


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tabla), as como los del denominador (que se listan en una de las columnas

laterales de la tabla) que corresponden a una situacin dada. Utilizando el

nivel de significacin de 0,05 para grados de libertad, el valor de F es 8,89


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El anlisis de la varianza (o Anova: Analysis of variance) es un mtodo para

comparar dos o ms medias, que es necesario porque cuando se quiere

comparar ms de dos medias es incorrecto utilizar repetidamente el contraste

basado en la t de Student. Por dos motivos:

En primer lugar, y como se realizaran simultnea e independientemente

varios contrastes de hiptesis, la probabilidad de encontrar alguno

significativo por azar aumentara. En cada contraste se rechaza la H0 si la t

supera el nivel crtico, para lo que, en la hiptesis nula, hay una probabilidad

a. Si se realizan m contrastes independientes, la probabilidad de que, en la

hiptesis nula, ningn estadstico supere el valor crtico es (1 - a)m, por lo

tanto, la probabilidad de que alguno lo supere es 1 - (1 - a)m, que para valores

de a prximos a 0 es aproximadamente igual a m. Una primera solucin,

denominada mtodo de Bonferroni, consiste en bajar el valor de a, usando en

su lugar a/m, aunque resulta un mtodo muy conservador.

Por otro lado, en cada comparacin la hiptesis nula es que las dos muestras

provienen de la misma poblacin, por lo tanto, cuando se hayan realizado

todas las comparaciones, la hiptesis nula es que todas las muestras provienen

de la misma poblacin y, sin embargo, para cada comparacin, la estimacin


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de la varianza necesaria para el contraste es distinta, pues se ha hecho en base

a muestras distintas.

El mtodo que resuelve ambos problemas es el anova, aunque es algo ms que

esto: es un mtodo que permite comparar varias medias en diversas

situaciones; muy ligado, por tanto, al diseo de experimentos y, de alguna

manera, es la base del anlisis multivariante.


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EJERCICIO N 1

Una lista de palabras sin sentido se presenta en la pantalla del ordenador

con cuatro procedimientos diferentes, asignados al azar a un grupo de

sujetos. Posteriormente se les realiza una prueba de recuerdo de dichas

palabras, obtenindose los siguientes resultados:

PROCEDIMIENTO 1 PROCEDIMIENTO 2 PROCEDIMIENTO 3 PROCEDIMIENTO 4

5 9 8 1

7 11 6 36 8 9 4

3 7 5 5

9 7 7 1

7 4 4

4 4

2

TABLA DE REALIZACION DE EJERCICIO

PROCED. 1 PROCED. 2 PROCED. 3 PROCED.4 TOTAL

Tc

43 42 43 18 146

Nc

8 5 7 6 26

Tc2/nc

231.10 352.8 264.10 54 902

X2

269 364 287 68 988

SST= 902 (146)2/26

SST= 902- 819.80

SST= 82.20

SSE= 988-902SSE= 86


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FUENTE DE

VARIACION

SUMA DE

CUADRADOS

GRADOS DE

LIBERTAD

CUADRADO MEDIO

ENTRE LOS GRUPOS

82.20 4-1= 3 27.40

EN GRUPO

86 26-4= 22 3.90

TOTAL

7.03

El valor en la F terica con 3 y 22 grados de libertad a un nivel de confianza

del 95% es 3.05. Por consiguiente se rechaza la hiptesis nula y se concluye

que los cuatro procedimientos de presentacin producen diferencias

significativas.


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EJERCICIO N 2

Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un frmaco contra la

hipertensin arterial, comparndola con la de una dieta sin sal. Para ello se

seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatoriamente en 5

grupos- l primero de ellos no le suministra ningn tratamiento, al

segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin

sal, al cuarto el frmaco a una dosis determinada y al quinto el mismo

frmaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistlicas de los 25 sujetos al

finalizar los tratamientos son:

L T BL DE NOV

LA TABLA DE ANOVA ES: GL SS MS F

FUENTE DE VARIACION

4 2010,64 502,66 11,24

TRATAMIENTO

20 894,4 44,72

ERROR

24 2905,04

TOTAL

GRUPO

1 2 3 4 5

180 172 163 158 147173 158 170 146 152

175 167 158 160 143

182 160 162 174 155

181 175 170 155 160


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Como F=2,87 y 11,25 > 2,87 rechazamos la hiptesis nula y concluimos

que los resultados de los tratamientos son diferentes


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EJERCICIO NO. 3

Se tienen las lecturas de hemoglobina de estudiantes varones de 3 aulas de

primero de secundarias en un colegio:

1er Grado 1er Grado B 1er Grado C

14 16 13

15 17 15

16 15 14

13 14 17

9 8 13

15 12 10

16 14 8

Media m =

14 13.71 12.86 40.57

Tc

98 96 90 284

nc

7 7 7 21

1408 1370 1212 3990


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FORMULAS:

Entre grupos Dentro de los grupos

Tc

98 96 90 284

3845.71

nc

7 7 7 21

1408 1370 1212 3990

( ) 2/N ( )

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Formato General de la tabla de anlisis de la varianza

Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio

Entre los gruposSST K-1 SST/K=MSTR

En los grupos

SSE N-K SSE/N-K=MSR

Total

Fuente de variacin Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio

Entre los grupos4.95 3-1 4.95/2=2.475

En los grupos144.29 21-3 144.29/18=8.016

Total ()


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INTERPRETACIN:

= 0.309, es la funcin de prueba

Con (3-1) y (21-3) grados de libertad = 2 grados de libertad en el

numerador y 18en el denominador.

, es el valor critico de la distribucin F

Se acepta la hiptesis nula.

Las medias aritmticas son iguales.


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EJERCICIO N 4

Un profesor del curso de mercadotecnia pidi a los alumnos de un de sus

grupos que evaluaran su desempeo como excelente, bueno, regular o

deficiente. Un estudiante egresado recopilo las evaluaciones y aseguro a los

estudiantes que el profesor las recibira hasta que las calificaciones del

curso se hubieran enviado a las oficinas de registro. La evaluacin (es decir,

el tratamiento) que cada alumno asigno al profesor se compar con las

calificaciones, que podr ir de 0 a 100 que obtuvo el estudiante en el curso.

A continuacin se presenta la informacin de la muestra existe diferente

entre los promedios de las calificaciones de los alumnos en cada uno de las

cuatro categora de evaluacin? Utilice el nivel de significancia 0.01

CALIFICACIONES DEL CURSO

EXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE

94 75 70 68

90 68 73 70

85 77 76 72

80 83 78 65

88 80 74

68 65

65


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1.

Plantear la hiptesis nula y la hiptesis alternativa

2. Seleccionar el nivel de significancia

Se elige el nivel 0.01

3.

Cul es la regla de decisin

Grados de libertad en el numerador = k-1= 4-1=3

Grados de libertad en el numerador= n-k=22-4=18

EXCELENTE BUENO REGULAR DEFICIENTE TOTAL

X X X X 94 8836 75 5625 70 4900 68 4624

90 8100 68 4624 73 5329 70 4900

85 7225 77 5929 76 5776 72 5184

80 6400 83 6889 78 6084 65 422588 7744 80 6400 74 5476

68 4624 65 4225

65 4225

349 391 510 414 1664

4 5 7 6 22

30561 30811 37338 28634 127344

4.

Calcule SST, SSE Y SS total

SUMA DE CUADRADOS; TOTAL SS total =

127344 -

= 1485.09


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SUMA DE CUADRADOS DEBIDOS AL TRATAMIENTO

SST =

SUMA DE CUADRADOS DEL ERROR

SSE = SS total

SST

1485.09-890.68 =594.41

5. elabore una tabla de ANOVA

TABLA ANOVA

FUENTE DE

VARIACION

SUMA DE

CUADRADOS

GRADOS DE

LIBERTAD

CUADRADO

MEDIO

F

TRATAMIENTOS SST k-1 SST/(K-1) = MST MST/MSE

ERROR SSE n-k SSE/(N-K) =MSE

TOTAL SS total n-1

TABLA ANOVA

FUENTE DE VARIACION SUMA DE CUADRADOS GRADOS DE LIBERTAD CUADRADO MEDIO F

TRATAMIENTOS 890,68 3 296,89 8,99

ERROR 594,41 18 33,02

TOTAL 1485,09 21


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EJERCICIO N 5

Los miembros de un equipo ciclista se dividen al azar en tres grupos que

entrenan con mtodos diferentes. El primer grupo realiza largos recorridos

a ritmo pausado, el segundo grupo realiza series cortas de alta intensidad y

el tercero trabaja en el gimnasio con pesas y se ejercita en el pedaleo de alta

frecuencia. Despus de un mes de entrenamiento se realiza un test de

rendimiento consistente en un recorrido cronometrado de 9 Km. Los

tiempos empleados fueron los siguientes:

A un nivel de confianza del 95% Puede considerarse que los tres mtodos

producen resultados equivalentes? O por el contrario Hay algn mtodo

superior a los dems?

METODO I MEDOTO II METODO III

15 14 13

16 13 12

14 15 11

15 16 14

17 14 11


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DESARROLLO

TC

77 72 61 210

NC

5 5 5 15

TC / NC

1185,8 1036,8 744,2 2966,8

1191 1042 751 2984

SST=

TC/NC) -

) /N

SST= 2966, 8 (210) / 15

SST= 2966, 8 2940= 26, 8

SSE=

- TC/NC)

SSE= 2984

2966, 8 = 17, 2

FUENTE DE

VARIACION

SUMA DE

CUADRADOS

GRADOS DE

LIBERTAD

CUADRADO

MEDIO

ENTRE GRUPOSSST K-1

SST/K-1= MSTR

EN LOS GRUPOSSSE N-K

SSE/N-K= MSE

TOTAL F(MSTR/MSE)


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F= (MSTR/MSE)

F= 13, 4 / 1, 43

F= 9, 37

El valor de la F terica con 2 y 12 grados de libertad, a un nivel de confianza

del 95% es 3,89. Por consiguiente se rechaza la hiptesis nula y se concluye

que los tres mtodos de entrenamiento producen diferencias significativas.

ENTRE GRUPOS26, 8 3-1= 2 13, 4

EN LOS GRUPOS17, 2 15- 3= 12 1, 43


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EJERCICIO 6

Una compaa ofrece el servicio desde el edificio Toledo hasta el aeropuerto metro

(Detroit). El representante de la compaa est considerando dos rutas:

Ruta 1 Us 25

Ruta 2 Intertatal 75

Desea estudiar el tiempo necesario para llegar al aeropuerto por cada uno de estos

caminos y despus comparar resultados. Obtuvo los siguientes datos de muestra de

minuto. Utilizo el nivel de significativa del 0,005

Existe alguna diferencia en la variacin de los tiempos de recorrido de ambas rutas?

US 25 INTERSTATAL 75

52

59

67 60

56 61

45 51

70

56

54

63

64 57

65

408 472

= 880


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US 25 INTERSTATAL 75

2704 3481

4489 3600

3136

3721

2025 2601

4900

3136

2916

3969

4096 3249

4225

24266 27982

= 52,248

SST = SST =51.628,57 880

2/ 15

SST = 51.628,57 51.628,67

SST = 1,9

SSE = - SSE = 52248 51.628,57

SSE = 619,43


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FUENTE

VARIACION

SUMA DE

CUADRADOS

GRADOS DE

LIBERTAD

CUADRADO

MEDIO

Entre los grupos SST 1,90 2 - 1 = 1 1,9

En los grupos SST 619,43 15 - 2 = 13 47,64F = 0,03

Valor Critico 4,67: Se rechaza la hiptesis nula debido a que el valor critico

es mayor al valor F .


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NGULO CERON DI N

BERN L CONSUEGR CHRISTI N

CH VEZ ESTRELL V LERI

CHOEZ PLU S KERLY

G LE S VIV NCO M RI

S NCHEZ P L CIOS M RI FERN ND

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