Análisis de Regresión y Correlación Lineal

Análisis de dos ó más

variables aleatorias

•Veamos que en los siguientes estudios hay situaciones donde intervienen más de una variable aleatoria

Ejemplos:

• La presión de una masa de gas depende de su volumen y de su temperatura.

• En un proceso químico , el rendimiento del producto se relaciona con la temperatura de operación del proceso.

• El peso y la presión arterial se relacionan.

Estudiaremos :

• El tipo de relaciones que existen entre

ellas

y

• de que forma se asocian es decir

analizaremos

dos técnicas :

la de regresión y la de correlación

Análisis de Regresión

– Uno de los objetivos de muchas investigaciones en Ingeniería es hacer predicciones, preferentemente usando ecuaciones matemáticas. El análisis de regresión se utiliza principalmente con éste propósito

– Para ello se debe determinar un modelo matemático que ajuste a los datos de la muestra

– Una vez determinado dicho modelo , éste permite predecir los valores de una variable dependiente basados en los valores de al menos una variable independiente

– La distinción entre variables dependientes e independientes debe fundamentarse con conceptos teóricos, por experiencia y estudios anteriores.

Tipos de Regresión

• Solo nos ocuparemos del caso de un

modelo de regresión simple; usa una

sola variable independiente x para

predecir el valor de la variable

dependiente y.

El análisis de correlación

• Se utiliza para medir la intensidad de

la asociación entre las variables

numéricas.

• En otras palabras el análisis de

correlación estima la fuerza de la

dependencia de una variable

respecto de la otra.

Diagrama de Dispersión

• La forma más intuitiva de formarse una primera

impresión sobre el tipo de relación que existe

entre dos variables es a través del Diagrama de

Dispersión. Un diagrama de dispersión es un

gráfico en el que una de las variables (Xi) se

coloca en el eje de las abscisas y la otra (Yi) en el

eje de las ordenadas y los pares de puntuaciones

de cada sujeto (xi,yi) se representan como una

Nube de puntos

FORMAS TÍPICAS DE LOS DIAGRAMAS DE

DISPERSIÓN ESTADÍSTICA

• A partir del diagrama de dispersión es posible , con frecuencia,

visualizar una curva suave que aproxima a los datos.

En algunos casos vemos que existe una relación lineal y en otros puede existir una relación no lineal .

Solo nos ocuparemos del caso lineal.

Tipos de relación entre

variables • Dos variables pueden estar relacionadas por una dependencia

funcional, por una dependencia estadística o pueden ser independientes.

• Raramente se determina una dependencia funcional rigurosa ya que ambas variables o una de ellas, están expuestas a factores aleatorios, surge entonces una dependencia estadística.

• La dependencia se llama estadística cuando la variación de una de las variables da lugar a la alteración de la distribución de la otra.

• La dependencia estadística se manifiesta en que, al variar una de las variables se altera el valor medio de la otra, en este caso se llama dependencia de correlación

Dependencia de correlación

• Dijimos que se da cuando al variar una de las variables se altera el valor medio de la otra.

Ejemplo :

Supongamos que estamos analizando las alturas de diferentes ciudades y las temperaturas.

• Puede darse el caso de que a iguales alturas en diferentes

ciudades, se obtienen distintas temperaturas. Es decir, y no es

función de x.

• Esto se debe a factores aleatorios como vientos, lluvias, etc.

• Supongamos que en tres ciudades que están a 200 m de

altura sobre el nivel del mar las temperaturas son 5°C; 7°C;

y 12°C respectivamente .

• Para estudiar el enlace entre las variables aleatorias X e Y,

admitamos que a cada valor de x, le corresponden varios

valores de y.

• Pero se puede demostrar que la temperatura media es función de la altura. Es decir Y está vinculada con X por una dependencia de correlación.

• Para precisar esto necesitamos el concepto de media condicion

Media condicional

1 1 2 3200toma los valores y 5; y 7 ;y 12 x

Se llama media condicional (la variable

aleatoria Y depende de X correlativamente)

Se llama media condicional a la media aritmética de los

valores de y correspondientes al valor de X = x

1

5 7 12entonces y 8

3

xy

Media condicional

Dependencia de correlación

• Se llama dependencia de correlación de

Y respecto de X, a la dependencia

funcional de la media condicional

respecto de x:

( )xy f x Ecuación de regresión de Y en X

Función de

regresión de

Y en X

Análogamente se determina ( )yx g y

Determinación de las rectas de

regresión

• Las gráficas de f(x) y g(y) son rectas

llamadas rectas de regresión

• Y= ax+b

• a = pendiente de la recta de

regresión , también llamado

coeficiente de regresión muestral de

y en x

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

RECTA DE REGRESIÓN

y = a + bx

Para el cálculo de la recta de regresión se aplica el método de mínimos cuadrados entre dos variables. Esta línea es la que hace mínima la suma de los cuadrados de los residuos, es decir, es aquella recta en la que las diferencias elevadas al cuadrado entre los valores calculados por la ecuación de la recta y los valores reales de la serie, son las menores posibles.

GRÁFICOS DE DISPERSIÓN / RECTA DE REGRESIÓN

y = a + bx

Cálculo de la Recta de

Regresión de Y en X

Se eligen los parámetros a y b de manera tal que los puntos del plano (los valores observados) se encuentren lo más cerca posible a la recta de regresión.

Para el cálculo de la recta de regresión se aplica el método de mínimos cuadrados entre dos variables.

yxY ax b donde a

Notación

Como no podemos hacer mínima cada desviación, haremos mínima su suma:

:desviación, donde Y es una ordenada calculada por la ecuación

correspondiente al valor observado y

i i i

i

Y y

1

n

i i

i

Y y

Tan cercana a cero como sea posible.

Pero esta suma se puede hacer cero

de muchas maneras y los errores

compensarse, por lo que elegiremos

para minimizar

2

1

( , )n

i i

i

F b Y y

22

1 1

( , )n n

i i yx i i

i i

F b Y y x b y

Para minimizar 2

1

( , )n

i i

i

F b Y y

2

1

2

2

1

2 . 00

2 00

n

yx i i i

i

i in

yx i i

i i i i i

FFx b y x

y bn xFF

x b yx y b x xbb

Resolviendo el sistema obtenemos

22

i i i i

yx

i i

n x y x y

n x x

i iy x

bn n

x yxy x b Ecuación muestral de regresión de Y en X

Ecuación muestral de regresión de X en Y y xyx y c

Ejemplo

Para ajustar una recta a un conjunto de datos apareados, veamos en este caso, X: representa el tiempo de

recalentamiento e Y los espesores de óxido de cierta pieza:

X

(en

min)

20 30 40 60 70 90 100 120 150 180

Y

(en

Angst

rom)

3,5 7,4 7,1 15,6 11,1 14,9 23,5 27,1 22,1 32,9

18469i ix y 860ix 165,2iy 2 98800ix 0,17 1,9 0,17 1,9yx xb y x

Cómo usar 0,17 1,9xy x ?

Por ejemplo, para predecir que el espesor de

óxido de hierro de una pieza calentada durante

80 minutos:

0,17.80 1,9 15,5 Angstromxy

Coeficiente de correlación

de la población

La medida del grado de relación entre dos

variables, se llama coeficiente de correlación (r)

Supuestos para aplicar este modelo:

a) X e Y son variables aleatorias.

b) La población bivariable debe ser normal. (X e Y distribuidas

normalmente)

c) La relación entre X e Y es, en cierto sentido, lineal. Este supuesto

implica que todas las medias de Y asociadas con valores de X,

caen sobre una recta que es la recta de regresión de Y en X.

Análogamente, todas las medias de X asociadas con valores de

Y, caen sobre la recta de regresión de X en Y.

Coeficiente de Correlación

• Es la medida de la intensidad de la relación lineal entre dos variables.

• El valor del coeficiente de correlación puede tomar valores desde menos uno hasta uno, indicando que mientras más cercano a uno sea el valor del coeficiente de correlación, en cualquier dirección, más fuerte será la asociación lineal entre las dos variables.

• Mientras más cercano a cero sea el coeficiente de correlación indicará que más débil es la asociación entre ambas variables.

• Si es igual a cero se concluirá que no existe relación lineal alguna entre ambas variables.

• Si el valor del coeficiente de correlación muestral es mayor de 0,93 se considera buena la estimación que se realiza con la recta de regresión.

• Cuando la recta es creciente la correlación es positiva o directa: al aumentar una variable, la otra tiene también tendencia a aumentar, como en el ejemplo anterior. Cuando la recta es decreciente la correlación es negativa o inversa: al aumentar una variable, la otra tiene tendencia a disminuir.

Hablaremos de correlación lineal fuerte cuando la nube se parezca

mucho a una recta y será cada vez más débil (o menos fuerte)

cuando la nube vaya desparramándose con respecto a la recta.

En el gráfico observamos que en nuestro ejemplo la correlación es

bastante fuerte, ya que la recta que hemos dibujado está próxima a

los puntos de la nube.