Analisis de Sistemas de Potencia - Álvaro Acosta

ANLISIS DE SISTEMAS DE

POTENCIA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA

Ing. Alvaro Acosta Montoya

http://fiee.zoomblog.com

iTABLA DE CONTENIDO

TABLA DE CONTENIDO i

LISTA DE FIGURAS ix

LISTA DE TABLAS xiv

Prefacio xvii

Captulo 1 REPRESENTACIN DE SISTEMAS ELCTRICOS DEPOTENCIA 1

1.1 OBJETIVOS 1

PARTE I SISTEMAS MONOFSICOS 31.2 CIRCUITO EQUIVALENTE DE LOS PRINCIPALES

COMPONENTES 3

1.3 INTERPRETACIN DE DATOS DE PLACA 6

1.3.1 EJEMPLO 1.1 7

1.4 DEFINICIN DE VALORES POR UNIDAD 8

1.5 JUSTIFICACIN Y VENTAJAS DE LOS VALORES EN TANTOPOR UNO 9

1.5.1 EJEMPLO 1.2 11

1.6 CAMBIO DE BASE 13

PARTE II SISTEMAS TRIFSICOS 151.7 DIAGRAMA UNIFILAR 15

1.8 SELECCIN DE BASES 16

1.9 INTERPRETACIN DE DATOS DE PLACA 17

1.9.1 EJEMPLO 1.3 18

Alvaro Acosta Montoya Facultad de Ingeniera Elctrica UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PEREIRA


ii

BIBLIOGRAFA 22

Apndice A Independencia entre la Conexin del Transfo Trifsico ... 23A.1 OBJETIVO 23

A.2 NOTACIN 23

A.3 DEMOSTRACIN 24

Apndice B ACOPLE ENTRE SISTEMAS DE DIFERENTE VOLTAJENOMINAL 27

B.1 OBJETIVO 27

B.2 INTRODUCCIN 27

B.3 DERIVACIN 27

Apndice C TRANSFORMADORES DE TRES DEVANADOS POR FASE 31C.1 SENTIDO DENTRO DEL CONJUNTO 31

C.2 OBJETIVOS 32

C.3 SUPOSICIONES 32

C.4 ENSAYOS 34

C.5 EJEMPLO 1 39

TRANSFORMADORES TRIFASICOS 41

BIBLIOGRAFA 45

Captulo 2 CONSIDERACIONES OPERACIONALES 472.1 OBJETIVOS 47

2.2 EL CONCEPTO DE POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA 47

2.2.1 TRANSMISIN MONOFSICA 47

2.2.2 EJERCICIO 50

2.2.3 TRANSMISIN TRIFSICA 50

2.2.4 EL CONCEPTO DE POTENCIA COMPLEJA 52

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PEREIRA Facultad de Ingeniera Elctrica Alvaro Acosta M.


iii

2.3 OBJETIVOS DEL SISTEMA ELCTRICO DE POTENCIA 53

2.4 ESTRUCTURA 53

2.4.1 SISTEMA DE DISTRIBUCIN 54

2.4.2 SISTEMA DE SUBTRANSMISIN 54

2.4.3 SISTEMA DE TRANSMISIN 54

2.5 CARACTERSTICAS DE LAS CARGAS 55

2.5.1 DEPENDENCIA DEL VOLTAJE Y LA FRECUENCIA 55

2.6 BALANCE DE POTENCIA REAL Y SU EFECTO EN LA FREC... 57

2.6.1 FUNDAMENTOS BSICOS DE FUNCIONAMIENTO DELGENERADOR SNCRONO. 59

2.6.2 PERTURBACIONES BALANCEADAS EN EL SISTEMA 60

2.7 EFECTO DE LA POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA EN ELVOLTAJE 61

2.7.1 RESUMEN 61

2.7.2 INTRODUCCIN 61

2.7.3 NOTACIN 61

2.7.4 EXPRESIONES BSICAS 62

2.7.5 CONCLUSIONES 66

2.8 ESTABILIDAD 68

2.9 CUESTIONES DE SEGURIDAD, COSTO Y CONFIABILIDAD 69

BIBLIOGRAFA 70

Captulo 3 ANLISIS EN CONDICIONES DE EQUILIBRIO YSIMETRA 71

3.1 OBJETIVOS 71

3.2 FORMULACIN CIRCUITAL 71

3.3 INTERPRETACIN CIRCUITAL DE LOS ELEMENTOS DE LAMATRIZ... 76

3.4 CONDICIONES BALANCEADAS: ECUACIN GENE-RAL NO



iv

LINEAL 77

3.4.1 ALGORITMO 3.1 PARA CONSTRUIR LA MATRIZADMITANCIA DE NODOS 77

3.5 DEFINICIN DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA 79

3.5.1 CLASIFICACIN DE LAS VARIABLES DEL SISTEMA 79

3.5.2 DILEMA BSICO 80

3.5.3 LMITES PRCTICOS DE LAS VARIABLES DE ESTADO 81

3.5.4 LMITES PRCTICOS DE LAS VARIABLESINDEPENDIENTES O DE CONTROL 81

3.5.5 ETAPAS DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE CARGA 82

3.6 ASPECTOS COMPUTACIONALES DEL PROBLEMA DEFLUJOS DE CARGA 82

3.7 MTODO DE GAUSS 83

3.7.1 UNA ECUACIN NO LINEAL CON UNA INCGNITAf(x) = 0 83

3.7.2 CONJUNTO DE ECUACIONES NO LINEALES ~f(~x) = ~0 84

3.8 MTODO DE GAUSS-SEIDEL 86

3.8.1 DESCRIPCIN 86

3.8.2 APLICACIN DEL FACTOR DE ACELERACIN 87

3.8.3 ALGORITMO 3.2: MTODO DE GAUSS-SEIDEL 88

3.9 MTODO DE NEWTON RAPHSON 91

3.9.1 EXPANSIN DE UNA FUNCIN f(x) EN UNA SERIE DEPOTENCIAS 92

3.9.2 ALGORITMO 3.3 94

3.9.3 EXPANSIN DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLESEN UNA SERIE DE TAYLOR 96

3.9.4 ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON PARARESOLVER ~f(~x) = ~0 99

3.10 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE CARGA 103

3.10.1 CODIFICACIN DE BARRAS 103



v3.10.2 DATOS 103

3.10.3 INCGNITAS 103

3.11 MTODO DE GAUSS-SEIDEL: ECUACIONES DE FLUJOS DEPOTENCIA 104

3.11.1 ALGORITMO 3.4 105

3.11.2 MODIFICACIN DEL ALGORITMO ANTERIORCUANDO HAY BARRAS DE VOLTAJE CONTROLADO 106

3.11.3 EJEMPLO 3.7 106

3.12 MTODO DE NEWTON RAPHSON 112

3.12.1 FORMULACIN PARA ECUACIONES DE FLUJOS DEPOTENCIA 112

3.12.2 EXPRESIONES GENERALES PARA LOS ELEMENTOSDE LA MATRIZ JACOBIANA 116

3.12.3 CONSIDERACIONES COMPUTACIONALES 120

3.12.4 ALGORITMO 3.5 122

3.12.5 EJEMPLO 3.8 123

3.12.6 CLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LASSUBMATRICES DE LA JACOBIANA 124

3.13 CRITERIO DE ACEPTACIN 126

3.13.1 EJEMPLO 3.9 127

3.14 REPRESENTACIN DE TRANSFORMADORES 128

BIBLIOGRAFA 132

Captulo 4 ESTUDIOS DE CORTO CIRCUITO 1334.1 OBJETIVO 133

4.2 NOTACIN 134

4.3 ANLISIS DE SISTEMAS TRIFSICOS 135

4.3.1 EJEMPLO 1 138

4.4 CLASIFICACIN DE FALLOS TIPO PARALELO 139



vi

4.5 FALLOS EN SISTEMAS TRIFSICOS EN FUNCIN DECANTIDADES DE FASE 141

4.5.1 PROCEDIMIENTO GENERAL 141

4.5.2 EQUIVALENTE DE THVENIN DEL CIRCUITO DEPREFALLO 143

4.5.3 EJEMPLO 2 144

4.6 MTODO DE LAS TRES COMPONENTES 147

4.7 TRANSFORMACIN DE SIMILARIDAD 151

4.7.1 EJEMPLO 3 152

4.7.2 EJEMPLO 4 154

4.7.3 EJERCICIOS 157

4.8 APROXIMACIONES EN ESTUDIOS DE CORTO CIRCUITO 157

4.9 COMPONENTES SIMTRICAS 160

4.10 FALLOS PARALELO POR EL MTODO DE LAS COMPO-NENTES... 165

4.11 INTERCONEXIN DE LAS REDES DE SECUENCIA... 168

4.11.1 FALLO LNEA-TIERRA (L-G) 168

4.11.2 FALLO DOBLE LNEA TIERRA (L-L-G) 169

4.11.3 FALLO SIMULTNEO LNEA-TIERRA (Fase a) YLNEA-LNEA (Fases b y c) 172

4.11.4 FALLO TRIFSICO SIMTRICO A TIERRA (L-L-L-G) 174

4.12 CORTO-CIRCUITO POR COMPONENTES SIMTRICAS:EJEMPLO 177

4.13 POTENCIA DE CORTO CIRCUITO 181

BIBLIOGRAFA 185

Apndice D EL TRANSFO TRIFSICO EN ESTUDIOS DE CORTOCIRCUITO 187

D.1 OBJETIVO 187

D.2 CONEXIONES INTERNAS 187



vii

D.3 CIRCUITO EQUIVALENTE EN SECUENCIA POSITIVA YNEGATIVA 191

D.4 EJEMPLO 192

D.5 EL TRANSFO TRIFSICO EN LA RED DE SECUENCIA CERO 195

BIBLIOGRAFA 199

Captulo 5 ALGORITMO PARA CONSTRUIR LA MATRIZIMPEDANCIA DE NODOS 201

5.1 OBJETIVO 201

5.2 NOTACIN 201

5.3 NOMENCLATURA Y DEFINICIONES 202

5.4 INTERPRETACIN CIRCUITAL DE LOS ELEMENTOS DE LAMATRIZ ... 203

5.5 ADICIN DE UN ELEMENTO RADIAL 206

5.5.1 EJEMPLO 1 209

5.6 ADICIN DE UN ENLACE 211

5.6.1 EJEMPLO 2 215

BIBLIOGRAFA 218

Captulo 6 ALGORITMO PARA MODIFICAR LA MATRIZIMPEDANCIA DE NODOS ... 219

6.1 OBJETIVO 219

6.2 INTRODUCCIN 220

6.3 DEFINICIONES Y NOMENCLATURA 221

6.4 ALGORITMO DE MODIFICACIN 222

6.4.1 EJEMPLO 223

6.5 DERIVACIN 227

Apndice E DEMOSTRACIN DE (6.49) 235



viii

E.1 DESARROLLO 235

BIBLIOGRAFA 236



ix

LISTA DE FIGURASFig. 1.1 Circuito Equivalente de los principales componentes de un Sistema

Elctrico de Potencia 4

Fig. 1.2 Circuito equivalente simplificado de un mismo transformadormonofsico 4

Fig. 1.3 El transformador como adaptador de impedancias 5

Fig. 1.4 Sistema elctrico de potencia del ejemplo 1.1 7

Fig. 1.5 Representacin en tanto por uno del sistema del ejemplo 1.1 11

Fig. 1.6 Smbolos aprobados por la Asociacin Americana de Normas pararepresentar los aparatos en un diagrama unifilar 16

Fig. 1.7 Diagrama unifilar del sistema ejemplo 1.3 19

Fig. 1.8 Diagrama de impedancias en tanto por uno del sistema ejemplo 1.3 21

Fig. A.1 Conjunto de 3 circuitos equivalentes de un transformadormonofsico interconectados en un banco trifsico Y 24

Fig. A.2 Otra versin de la Figura A-1 24

Fig. B.1 Diagrama unifilar de dos lneas mutuamente acopladas de diferentevoltaje nominal 28

Fig. C.1 Despreciar el efecto capacitivo permite interconectar los terminalesde la misma polaridad relativa de un transformador tridevanado 32

Fig. C.2 Diagrama constructivo de un Transformador monofsico 33

Fig. C.3 Circuito equivalente del transformador de tres devanados con lasimpedancias en el primario 34

Fig. C.4 Circuito equivalente del transformador de tres devanados con lasimpedancias ubicadas en el secundario 36

Fig. C.5 Circuito equivalente del transformador de tres devanados con las



ximpedancias ubicadas en el terciario 38

Fig. 2.1 Sistema elemental de transmisin de energa 48

Fig. 2.2 Sistema de potencia trifsico 51

Fig. 2.3 Circuito equivalente monofsico de un sistema de transmisin delongitud media 62

Fig. 2.4 Diagrama unifilar de un sistema de transmisin tpico 65

Fig. 2.5 Diagrama fasorial para ilustrar la influencia de la potencia reactivaen la magnitud del voltaje 67

Fig. 3.1 Sistema de Potencia de 3 barras interconectadas en anillo 72

Fig. 3.2 Circuito equivalente del sistema de potencia de la Figura 3.1 72

Fig. 3.3 Circuito equivalente por fase del sistema elctrico de potencia cuyodiagrama unifilar se muestra en la figura 3.1 73

Fig. 3.4 Interpretacin geomtrica del Mtodo de Gauss 84

Fig. 3.5 Interpretacin geomtrica del factor de aceleracin 88

Fig. 3.6 Interpretacin geomtrica del mtodo de Newton-Raphson pararesolver f (x) = 0 94

Fig. 3.7 Solucin grfica del problema del ejemplo 5 95

Fig. 3.8 Modificacin del algoritmo de Gauss-Seidel para considerar barrasde voltaje controlado 106

Fig. 3.9 Diagrama unifilar del ejemplo 107

Fig. 3.10 Representacin del transformador con su admitancia en el ladode lasderivaciones y relacin de transformacin 1 : t 128

Fig. 3.11 Circuito equivalente del transformador con derivaciones de laFigura 3.9 en trminos de su admitancia nominal y de la relacin detransformacin 129

Fig. 3.12 Representacin del transformador con su admitancia en el lado



xi

opuesto al de las derivaciones y relacin de transformacin 1 : a 130

Fig. 3.13 Circuito equivalente del transformador con derivaciones de laFigura 3.12 en trminos de su admitancia nominal y de la relacinde transformacin 131

Fig. 4.1 Diagrama de circuito de un fallo paralelo general 133

Fig. 4.2 Diagrama unifilar de un sistema trifsico 135

Fig. 4.3 Representacin circuital del sistema elctrico trifsico de la Figura4.2 136

Fig. 4.4 Grfico orientado del circuito de la Figura 4.3 137

Fig. 4.5 Desbalance paralelo para ilustrar el mtodo general de obtener lamatriz admitancia de fallo ya,b,bF 143

Fig. 4.6 Equivalente de Thvenin del circuito de prefallo conectado a travsde una admintancia de fallo 144

Fig. 4.7 Diagrama unifilar del sistema del ejemplo 2 145

Fig. 4.8 Circuito monofsico descrito por el conjunto de ecuaciones (4.29)(red de secuencia alpha ) 149

Fig. 4.9 Circuito monofsico descrito por el conjunto de ecuaciones (4.30)(red de secuencia ) 150

Fig. 4.10 Circuito monofsico descrito por el conjunto de ecuaciones (4.31)(red de secuencia ) 151

Fig. 4.11 Determinacin experimental de las impedancias de secuencia de unsistema de transmisin 164

Fig. 4.12 Equivalentes de Thvenin de cada una de las redes de secuencia 165

Fig. 4.13 Diagrama de circuito para el fallo Lnea-Tierra L-G 168

Fig. 4.14 Interconexin de las redes de secuencia para un fallo lnea tierra 169

Fig. 4.15 Diagrama de circuito de un fallo Lnea-Lnea-Tierra LL-G 170



xii

Fig. 4.16 Interconexin de las redes de secuencia para fallo doble Lnea-Tierrao LL-G 172

Fig. 4.17 Interconexin de las redes de secuencia para el fallo simultneoLnea-Tierra y Lnea-Lnea 174

Fig. 4.18 Diagrama de circuito del fallo trifsico simtrico a tierra LLL-G 175

Fig. 4.19 Interconexin de las redes de secuencia para el fallo trifsicosimtrico a tierra 176

Fig. 4.20 Red de secuencia cero del sistema de la Figura 4.7 178

Fig. 4.21 Red de secuencia positiva del sistema de la Figura 4.7 179

Fig. 4.22 Red de secuencia positiva del sistema de la Figura 4.7 180

Fig. 4.23 Red de secuencia negativa del sistema de la Figura 4.7 181

Fig. 4.24 Figura 4.25 Red de secuencia negativa del sistema del ejemplo 182

Fig. D.1 Diagramas de conexiones internas de los transformadores depotencia trifsicos de acuerdo a la norma americana 188

Fig. D.2 Posiciones relativas de los terminales en el tanque de untransformador de acuerdo a la norma americana 188

Fig. D.3 Dos alternativas, de entre muchas, para conectar los devanados de untransformador Y para que satisfaga la norma expresada en eldiagrama de la Figura D.1(b) 189

Fig. D.4 Desplazamientos angulares de las componentes de secuencia devoltajes de fase y corrientes de lnea en transformadores Y yY . 191

Fig. D.5 Desplazamiento angular entre las componentes de secuencia delvoltaje de un lado y el de la misma secuencia en el otro para untransformador Y con la asignacin de fases mostrada 193

Fig. D.6 Diagrama que muestra que las relaciones de fase entre lascomponentes de secuencia de las corrientes de lnea en ambos ladosdel transformador cuando en un lado se definen saliento y en el otro



xiii

entrando al transformador 194

Fig. D.7 Circuito equivalente del transformador trifsico para la redde secuencia positiva (a) y negativa (b) teniendo en cuenta eldesplazamiento angular introducido por la conexin y la impedanciade dispersin 195

Fig. D.8 Circuito equivalente del transformador trifsico para la redde secuencia positiva (a) y negativa (b) teniendo en cuenta eldesplazamiento angular introducido por la conexin y la impedanciade dispersin 196

Fig. D.9 Representacin de una fase del Y Y equivalente de untransformador trifsico de dos devanados por fase en la red desecuencia cero 197

Fig. D.10 Representacin del transformador trifsico de 3 devanados por faseen la red de secuencia cero 198

Fig. D.11 Distribucin de los flujos magnticos de secuencia cero entransformadores trifsicos para los tipos de ncleo ms utilizados:(a) tipo columna; (b) tipo acorazado 199

Fig. 5.1 Definicin e interpretacin circuital de los elementos de la matrizimpedancia de nodos 203

Fig. 5.2 Equivalente de Thvenin entre dos nodos en funcin de algunos delos elementos de la matriz impedancia de nodos 205

Fig. 5.3 Representacin de una red parcial al que se adiciona un elementoradial 206

Fig. 5.4 Una consecuencia del teorema de reciprocidad es que la lectura delos voltmetros es idntica en ambos casos y la matriz impedancia denodos es simtrica 212

Fig. 6.1 Diagrama unifilar de un fallo simple (a), de un fallo de lnea abierta(b) y de uno de extremo de lnea (c) 220

Fig. 6.2 Grupo acoplado que consta deM + 1 elementos 227

Fig. 6.3 Grupo acoplado equivalente al de la Figura 6.2 228



xiv

LISTA DE TABLASTabla A.1 La representacin en tanto por uno del Y-Y equivalente no

depende de la conexin particular del transformador trifsico 25

Tabla C.1 Datos de placa del transformador del ejemplo 1 40

Tabla C.2 Resultados de los ensayos experimentales o pruebas decorto-circuito aplicadas al transformador de ejemplo 1 40

Tabla C.3 Clculo de corrientes a travs del devanado excitado 41

Tabla C.4 Impedancias de las pruebas de corto-circuito del ejemplo 1 42

Tabla C.5 Datos de placa nominales del transformador trifsico del ejemplo2 42

Tabla C.6 Resultados de los ensayos experimentales o pruebas decorto-circuito aplicadas al transformador del ejemplo 2 43

Tabla C.7 Clculo de corrientes nominales monofsicas y de lnea deltransformador trifsico del ejemplo 2 43

Tabla C.8 Impedancias correspondientes a las pruebas de corto-circuito paraun conjunto de devanados abrazados a la misma columna 44

Tabla 3.1 Clasificacin de las barras de un Sistema Elctrico de Potencia 81

Tabla 3.2 Datos de lnea para el ejemplo 3.4 107

Tabla 3.3 Datos de barra para el ejemplo 3.4 108

Tabla 3.4 Resultados de la aplicacin del Mtodo de Gauss-Seidel alproblema del Ejemplo 3.x 112

Tabla 3.5 Datos de barra para el ejemplo 3.4 123

Tabla 3.6 Flujos de potencia activa y reactiva en el sistema del ejemplo 3.8 127

Tabla 4.1 Caracterizacin de los elementos trifsicos del sistema delejemplo 1 138



xv

Tabla 4.2 Caracterizacin de los fallos paralelo LLL-G y LLL 140

Tabla 4.3 Caracterizacin de los fallosparalelo L-G y LL-G 141

Tabla 4.4 Caracterizacin de los fallos paralelo LL y simultneo L-G y LL 142



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PrefacioEste documento se elabora con el propsito de servir de texto gua para el curso Anli-sis de Sistemas Elctricos de Potencia del programa de Ingeniera Elctrica de la Uni-versidad Tecnolgica de Pereira, despus de ms de 25 aos de experiencia en el ejerci-cio docente. Deseo vehementemente que la comunidad cientfica en todos los mbitoslo someta a la crtica ms rigurosa porque estoy seguro es la nica forma de enrique-cerlo, no solo en su contenido sino tambin en su enfoque pedaggico y metodolgico.De antemano, agradezco profundamente me hagan llegar sus comentarios y sugerenciasa la direccin electrnica ([email protected] o [email protected]).Aunque de cada tpico se incluyen ejemplos resueltos en el texto, en esta primeraedicin no se proponen ejercicios al final de cada captulo, pero estoy trabajando enla digitalizacin del archivo de exmenes con la intencin de incluirlos en una versinque estar disponible en muy corto tiempo.

Adems, por limitaciones de tiempo y de infraestructura logstica, no se incluye la co-dificacin en lenguaje C++ de programas para resolver el problema de Flujos de Cargay el de Corto Circuito, los cuales hacen uso de una plantilla de matriz dispersa.que fuedesarrollada conjuntamente con el exalumno e Ingeniero Carlos Galvn Ceballos, y quepermite que el nmero de nodos y de elementos est limitado nicamente por los re-cursos de memoria central disponibles en cada estacin de cmputo. Es nuestro intersen un futuro mediato publicar una versin de este libro que incluye esta informacin ydejarlo disponible en la red para que sea accesada va Internet desde cualquier lugar delmundo. En este momento se dispone de una versin electrnica de esta primera edicinla cual se puede obtener visitando la pgina Web del autorwww.utp.edu.co/~aacosta. Elarchivo obtenido se descomprime mediante el Winzip.exe para obtener uno en formato*.pdf (portable data format) que se puede leer y/o imprimir mediante el Acrobat Reader(el cual se puede bajar de www.adobe.com). Cuando se habilita en ste la herramientade navegacin se puede ir directamente a cualquier parte del documento.

Aunque no del todo necesario se recomienda que el lector est familiarizado con latemtica de los sistemas energticos y elctricos. En particular en la Universidad Tec-nolgica de Pereira el estudiante ha tenido la oportunidad de trabajar los siguientestpicos en cursos previos:

1 El papel de los transformadores en el contexto de la generacin y la transmisin degrandes cantidades de energa a travs de largas distancias para minimizar prdidas yen el de su transformacin para el aprovechamiento del usuario final as como con losprincipios de la conexin de los transformadores en paralelo.



xviii

2 Un curso inicial de e Mquinas Elctricas Rotatorias (Conversin de Energa) y uno so-bre Sistemas de Transmisin de Energa en los que partiendo de una descripcin cuali-tativa de los fenmenos electromagnticos aplica el modelo matemtico de la Teora deCircuitos a estos aparatos elctricos concretos.

3 La generacin y solucin automtica, es decir mediante el computador digital, de losconjuntos equivalentes linealmente independientes de ecuaciones que describen com-pletamente el comportamiento de una red arbitraria que parte de la formulacin matri-cial de las mismas y en el que se cubre el mtodo de las matrices de incidencia paraobtener tanto la matriz impedancia de nodos y de anillos y la matriz admitancia denodos y de cortes as como la interpretacin circuital de cada uno de sus elementos.

4 La solucin de un circuito trifsico balanceado como uno monofsico, el teorema delas componentes simtricas y su aplicacin a sistemas desbalanceados elementales.

En el captulo 1 se obtiene el modelo de circuito de una interconexin arbitraria detransformadores, lneas de transporte de energa y generadores trifsicos (sistema elc-trico de potencia) a partir de una definicin axiomtica del circuito equivalente de cadauno de sus componentes y de la interpretacin de los datos de placa de generadoresy transformadores, se definen tambin los valores en tanto por uno y se discuten susventajas como herramienta de anlisis de los sistemas elctricos de potencia (tanto bajocondiciones de equilibrio y simetra como tambin en operacin desbalanceada).

Se trata primero la representacin de sistemas elctricos de potencia monofsicos, apesar de que en la prctica estn en desuso, porque, como se sabe, el anlisis de sistemaselctricos de potencia trifsicos bajo condiciones de equilibrio se puede hacer, y es lacostumbre, mediante un equivalente monofsico.

Adems, el comportamiento de un sistema elctrico de potencia trifsico bajo condi-ciones desbalanceadas se puede estudiar superponiendo su respuesta a tres excitacionesbalanceadas, cada una de las cuales se obtiene del correspondiente equivalente monofsico.Se pone especial nfasis en la interpretacin de los datos de placa y en los criterios paraelaborar stas a partir de los ensayos experimentales.

En el Apndice A se demuestra que si se tienen tres transformadores monofsicos idn-ticos o los tres pares de devanados de una unidad trifsica, YA CONSTRUIDOS, laconexin particular a que sean sometidos no tiene influencia en la representacin entanto por uno del Y-Y equivalente.En el apndice B se deriva la representacin en tanto por uno de la impedancia mutuaentre dos sistemas de transmisin de diferente voltaje nominal, que por esta mismarazn poseen diferentes valores de impedancia base

En el Apndice C se deriva un procedimiento para obtener el circuito equivalente del



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transformador de tres devanados por fase a partir de ensayos y mediciones en sus termi-nales accesibles y se establecen y justifican claramente las suposiciones bajo las cualesse aplica.

En el captulo 2 se discuten algunos factores que afectan el cumplimiento de los obje-tivos de un sistema elctrico de potencia y se estudian los fenmenos ms importantesque se presentan en un sistema elctrico de potencia cuando a partir de unas condicionesde balance y simetra se presentan pequeas perturbaciones. Se estudia en detalle larelacin entre el balance de potencia activa y la frecuencia del sistema y la influenciade cambios en los flujos de potencia activa y reactiva tanto en las magnitudes como enlos ngulos de fase de los voltajes del sistema.

En el captulo 3 se deriva y justifica un mtodo diferente para obtener la matriz admitan-cia de nodos que se aplica nicamente cuando no hay elementos inductivos mutuamenteacoplados, el cual parece suficiente ya que los mtodos de flujos de carga ms utiliza-dos y difundidos en la literatura utilizan dicha matriz. Los mtodos que se apoyan enla matriz impedancia de nodos para el estudios de los sistemas bajo condiciones ba-lanceadas no son muy populares entre otras cosas por el esfuerzo computacional paracalcularla y porque no es una matriz dispersa como la admitancia. Tambin se planteael conjunto de ecuaciones no lineales linealmente independientes que describe com-pletamente el comportamiento del sistema elctrico de potencia bajo condiciones deequilibrio de las cargas y simetra de la red, se justifican mtodos sistemticos adapta-dos a la programacin en computadores digitales para construir matrices en funcin delas cuales se describe completamente el comportamiento del sistema, que adems, sonflexibles, es decir, que permiten investigar los efectos de cambios en la configuraciny los valores de los parmetros con esfuerzos computacionales mnimos y se describenlos fundamentos matemticos de los mtodos iterativos ms difundidos en la literaturapara resolverlas y se derivan los algoritmos para el problema de flujos de potencia enla red. Se discute tambin la representacin del transformador provisto de derivacionespara alterar la relacin de transformacin nominal.

En el captulo 4 se derivan y justifican mtodos sistemticos para obtener las respues-tas (corrientes y voltajes) de rgimen sinusoidal permanente que se presentan en unsistema elctrico de potencia trifsico, balanceado y simtrico cuando en una locali-zacin geogrfica de ste (identificada mediante la letra P) se introduce un fallo para-lelo (desequilibrio). Los Estudios de Corto Circuito se muestran inicialmente comouna aplicacin del teorema de Thvenin y de la teora de circuitos elctricos al anli-sis de sistemas trifsicos en funcin de cantidades de fase, lo que permite presentarlas componentes simtricas como una transformacin lineal de variables, a partir de locual se justifica el algoritmo o secuencia detallada de instrucciones para estudios defallos manualmente. Debido a su importancia en la seleccin de interruptores se definetambin la potencia de corto circuito monofsica y trifsica y se describe y justifica un



xx

algoritmo para obtener a partir de ellas las impedancias de Thvenin de las redes desecuencia positiva y cero

En el captulo 5 se define la matriz impedancia de nodos [Z] de una red monofsicay, a partir de la interpretacin circuital de cada uno de sus elementos, se deriva unalgoritmo para construirla adicionando cada vez un elemento. Se hace nfasis en lainterpretacin circuital de sus elementos y en la utilizacin de los mismos para hallartanto la corriente total de fallo como las corrientes en los elementos conectados a l sinnecesidad de resolver ni el circuito de prefallo ni el de postfallo.

En el captulo 6 se deriva y justifica un algoritmo para modificar la matriz impedanciade nodos de un circuito arbitrario cuando se desconecta, de uno de sus nodos terminales,uno de sus elementos que puede pertenecer o no a un grupo de elementos inductivosmutuamente acoplados. El enfoque propuesto no requiere inversin de matrices (comoel descrito en la referencia [1] de dicho captulo), lo que permite reducir el tiempo deejecucin. Adems, mediante su aplicacin se pueden analizar simultneamente fallosde lnea abierta y de extremo de lnea que son, respectivamente, los que ocurren: a) enuna barra una vez que ha operado la proteccin de uno de los elementos conectados al (fallo de lnea abierta) y b) inmediatamente despus del interruptor que protege lalnea de transporte y ste ya ha actuado para desconectar la barra (fallo de extremo delnea).Debo aclarar que este esfuerzo no hubiera sido posible sin el apoyo institucional queme brind la UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PEREIRA. Agradezco tambin lacomprensin de mi familia y el apoyo continuo, de muy variadas maneras, de algunosde mis compaeros de trabajo.

No quiero dejar pasar esta oportunidad sin dedicar este libro a aquellos por y paraquienes fue hecho con profundo amor: mis estudiantes, especialmente a aquellos queno dudara en llamar mis discpulos, porque supieron tener la paciencia de escuchar yponer en prctica mi discurso; a aquellos que se esfuerzan por superar a sus maestros;a quienes no consideran un delito estudiar sbados y domingos y lo hacen sin tiemponi espacio como el amor; a quienes incluyeron en su proyecto de vida el propsito demantenerse actualizados a pesar de que pasen los aos y trabajan en ello cada da conun estilo de trabajo duro y vida sencilla y de esa manera engrandecen la imagen quetienen de s mismos, de la Institucin que los educ y a la Patria.

Alvaro Acosta Montoya



Captulo 1REPRESENTACIN DESISTEMAS ELCTRICOS DEPOTENCIA

1.1 OBJETIVOS

I Obtener el modelo de circuito de una interconexin arbitraria de transformadores, lneasde transporte de energa y generadores trifsicos (sistema elctrico de potencia) a partirde una definicin axiomtica del circuito equivalente de cada uno de sus componentes1y de la interpretacin de los datos de placa de generadores y transformadores.

II Definir los valores en tanto por uno y discutir sus ventajas como herramienta de anlisisde los sistemas elctricos de potencia (tanto bajo condiciones de equilibrio y simetracomo tambin en operacin desbalanceada).

Se trata primero la representacin de sistemas elctricos de potencia monofsicos, apesar de que en la prctica estn en desuso, porque, como se sabe, el anlisis de sistemaselctricos de potencia trifsicos bajo condiciones de equilibrio se puede hacer, y es lacostumbre, mediante un equivalente monofsico. Adems, el comportamiento deun sistema elctrico de potencia trifsico bajo condiciones desbalanceadas se puedeestudiar superponiendo su respuesta a tres excitaciones balanceadas, cada una de lascuales se obtiene del correspondiente equivalente monofsico. Lo anterior explica lavigencia, validez y generalidad de los conceptos y criterios desarrollados en la primeraparte de este trabajo.

1 Este trabajo supone que el lector ya sabe como obtener experimentalmente el circuito equivalente deltransformador monofsico y el nominal pi de lneas de transmisin de energa cortas, medias y largas

Facultad de Ingeniera Elctrica 1 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PEREIRA


PARTE I

SISTEMAS MONOFSICOS

1.2 CIRCUITO EQUIVALENTE DE LOS PRINCIPALESCOMPONENTES

La Figura 1.1 ilustra los circuitos equivalentes de un mismo transformador monofsico(a) y (b), de un sistema de transmisin (c) y los de un generador sncrono: (d) paraestudios de cortocircuito y (e) para anlisis del sistema bajo condiciones balanceadas.Una justificacin de estos modelos est ms all del alcance de este trabajo y existenexcelentes referencias bibliogrficas sobre el particular [3] , [2] , [2] . Sin embargo,es necesario hacer las siguientes observaciones:

1 El nivel de precisin requerido en los clculos y la naturaleza del estudio permiten hacersimplificaciones adicionales. As, por ejemplo, mientras las admitancias paralelo Y delos transformadores (de excitacin) y de los sistemas de transmisin ysh suelen omitirseen estudios de corto circuito, debido a la poca influencia de ellas en los resultados y ala complejidad de los clculos cuando se tienen en cuenta, s deben considerarse enel anlisis de estabilidad transitoria. Similarmente, las impedancias internas de los

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4 Captulo 1 REPRESENTACIN DE SISTEMAS ELCTRICOS DE POTENCIA

V1

2Z

(a) (b)

(c)

ysh,i ysh,kKi z ser

+-

/2

1Z a

(d) (e)

a2

M

I gz g

YV2

I g

V gVg

V2

E g

1Z 2Z

1V MY a2

FIGURA 1.1 Circuito Equivalente de los principales componentes de un SistemaElctrico de Potencia

generadores sncronos no son tan importantes en el anlisis del sistema en condicionesbalanceadas.

2 Cuando se desprecia la admitancia paralelo o de excitacin del circuito equivalentedel transformador (Y = 0) ste se reduce a un transformador ideal cuya relacin detransformacin es la de voltajes nominales VH y VX con una impedancia conectada encualquiera de los dos lados, como se ilustra en la Figura 1.2.

Z 2aZ H += 2a+=

V2V1

(a) (b)

=VHVX

V 2

Z X Z 2 Z 1/

=VHVX

Z 1

a a

V1

FIGURA 1.2 Circuito equivalente simplificado de un mismo transformadormonofsico



Seccin 1.2 CIRCUITO EQUIVALENTE DE LOS PRINCIPALES COMPONENTES 5

Sin embargo, como puede verse de la Figura 1.1 (a) y (b) sus valores no son indepen-dientes, es decir,

a =n1n2=VHVX

ZH = Z1 + a2Z2 ZX = Z2 +

Z1a2

(1.1)

ZH = a2ZX

1 La Figura 1.3 es la representacin simblica de un transformador ideal en cuyo secun-dario se ha conectado una impedancia de carga ZC . Combinando las ecuaciones deltransformador ideal y la definicin de impedancia, es decir,

V1V2

=I2I1=n1n2

ZC =V2I2

(1.2)

a

b

V1 VX Z C

I 1 I 2

V2

n2n1FIGURA 1.3 El transformador como adaptador de impedancias

fcilmente se puede demostrar que la impedancia vista desde el primario Zab vienedada por la expresin

Zab = a2ZC =

V1I1

(1.3)

2 El circuito equivalente simplificado del transformador (Y = 0) sugiere que cortocir-cuitando uno de sus lados la impedancia medida desde el otro es exactamente igual a




la del circuito equivalente, lo cual constituye un mtodo para determinarla experimen-talmente.

3 Un generador sncrono se representa, para analizar el sistema bajo condiciones de equi-librio, mediante una fuente no ideal que inyecta corriente al nodo al cual est conectadode acuerdo a la ecuacin:

Ig =Pg QgV g

V g complejo conjugado de V (1.4)

mientras que para estudios de corto circuito el generador se representa mediante unafuerza electromotriz Eg en serie con un impedancia zg.

1.3 INTERPRETACIN DE DATOS DE PLACA

Los datos de placa de un generador incluyen entre otros: la potencia aparente y elvoltaje nominales SN y VN , respectivamente, y un valor de impedancia en tanto poruno zN , a partir de los cuales se puede obtener la impedancia en ohmios zg de sucircuito equivalente de la Figura 1.1 (d) como lo indica la siguiente ecuacin:.

zg = zNV 2NSN

(1.5)

La placa de un transformador contiene, entre otros datos, los siguientes: La potenciaaparente nominal SN ; la relacin de transformacin que se supone es la misma que laque hay entre los voltajes nominales de alta y baja tensin, que se designarn con VHy VX , respectivamente, y una impedancia en tanto por uno zN , a partir de los cuales sepuede obtener cualquiera de los circuitos equivalentes de la Figura 1.2 de la siguientemanera:

ZH = zNV 2HSN

ZX = zNV 2XSN

(1.6)



Seccin 1.3 INTERPRETACIN DE DATOS DE PLACA 7

1.3.1 EJEMPLO 1.1

Z C

14.4138 :13813.8 :

X T2Z

+-E g

z g

GT LT T C1 2

H T1Z Z ser

FIGURA 1.4 Sistema elctrico de potencia del ejemplo 1.1

Un sistema monofsico consta de un generador G que suministra energa a una carga Ca travs de una lnea de transmisin LT que tiene instalados sendos transformadores enambos extremos, cuyos lados de alta estn conectados a ella. Las caractersticas de loscomponentes de este sistema son los siguientes:

G: SN =15 MVA VN = 13.2 kV zN = j0.15 p. u

T1 SN =10 MVA VX = 13.8 kV VH = 138 kV zN = j0.1 p. u. Y = j0.0 p. u.

T2 SN =10 MVA VX = 14.4 kV VH = 138 kV zN = j0.08 p. u. Y = j0.0 p. u.

LT: zser = (20 + j 100) ysh,i = ysh,j = 0

C: ZC = 300 Hacer el circuito equivalente del sistema y calcular el valor de sus impedancias. LaFigura 1.4 muestra el circuito equivalente del sistema. Aplicando (1.5) y se obtienenlos siguientes valores




zg = j0.15(13.2)215 = j1.7424

ZHT1 = j0.1(138)210 = j190.44

zser = (20 + j100) (1.7)

ZX T2 = j0.08(14.4)210 = j1.6589

ZC = 300

1.4 DEFINICIN DE VALORES POR UNIDAD

El modelo de circuito para analizar el comportamiento de sistemas de generacin, trans-misin y distribucin de energa elctrica, en rgimen sinusoidal permanente, introduceconceptos tales como corriente, voltaje, impedancia y potencia compleja. Es costumbreuniversal representar estas cantidades mediante nmeros complejos y designarlas conlas letras I , V , Z y S, respectivamente. Si en la solucin de un problema particularestas cantidades se dividen, respectivamente, por las MAGNITUDES ESCALARES po-sitivas Ib, Vb,Zb y Sb, cuyos valores se pueden fijar, en principio, ARBITRARIAMENTE,que se denominan valores de base o de referencia y tienen las mismas dimensiones, seobtienen sus VALORES POR UNIDAD (p. u.), los cuales son complejos sin dimen-siones que se distinguen colocando un capote sobre las mismas letras. Esta definicinse puede expresar matemticamente de la siguiente manera:

I =I

IbV =

V

VbZ =

Z

ZbS =

S

Sb(1.8)

Para que los valores en tanto por uno satisfagan las conocidas ecuaciones tomadas de lateora elemental de circuitos elctricos y denotando el complejo conjugado de (.) como(.)

V = Z IV

Vb=Z

Zb

I

Ib

S = V I S

Sb=V

Vb

I

Ib(1.9)



Seccin 1.5 JUSTIFICACIN Y VENTAJAS DE LOS VALORES EN TANTO POR UNO 9

se debe cumplir

Vb = ZbIb Sb = VbIb (1.10)

De (1.10) se observa que la eleccin ARBITRARIA de los valores base para dos de lascantidades, automticamente determina los de las otras dos para que se satisfaga (1.9).En sistemas de potencia se acostumbra elegir valores base para el voltaje y la potenciaya que son los datos usualmente conocidos de casi todos los equipos. Por tanto,

Ib =SbVb

Zb =VbIb=V 2bSb

(1.11)

De la segunda de las ecuaciones (1.11) y de (1.5) y (1.6) para obtener el circuito equi-valente de cada generador o transformador a partir de sus datos de placa se concluyeque la impedancia suministrada por los fabricantes es un valor en tanto por uno quesupone que se han tomado como referencia sus valores nominales correspondientes.

1.5 JUSTIFICACIN Y VENTAJAS DE LOS VALORESEN TANTO POR UNO

Se definen partes de un sistema elctrico de potencia como aqullas que estn sepa-radas entre s mediante un transformador, es decir cada una de ellas tiene un nivel devoltaje nominal diferente. Como se ver ms adelante, para superar las dificultadesque surgen en el anlisis de circuitos que contienen transformadores ideales se eligearbitrariamente:

I El voltaje de referencia en una parte (cualquiera) del sistema. Se supone que el valordel voltaje base en todas las dems partes queda automticamente determinado poresta eleccin inicial arbitraria y la relacin de transformacin de los transformadoresque las separan.

II Un valor de potencia base que se supone el mismo en todas partes.

Ntese de (1.11) que lo anterior implica que el valor de la impedancia base es diferenteen cada parte. As por ejemplo, si VbH es el valor base de voltaje en el lado de alta del




transformador de la Figura 1.2 y Sb1 = Sb2 = Sb el de la potencia base, entonces

VbHVbX

=VHVX

=nHnX

= a

VbH = aVbX (1.12)

Combinando (1.12) con (1.1) se obtiene:

ZbH =V 2bHSb

=(aVbX)

2

Sb= a2

V 2bXSb

= a2ZbX

ZH =ZHZbH

=a2ZXa2ZbX

= ZX (1.13)

Es decir, si se utiliza el circuito equivalente de la Figura 1.2 (a) y se divide ZH por ZbHse obtiene el mismo resultado que utilizando el circuito equivalente de la Figura 1.2 (b)dividiendo ZX por ZbX . En conclusin, el anlisis de un sistema elctrico de potenciaen tanto por uno se puede hacer omitiendo los transformadores ideales en el circuitoequivalente que lo representa, cuando se eligen los valores base de acuerdo con loscriterios descritos.Vale la pena enfatizar la distincin que debe hacerse entre los valores nominales queson inmodificables una vez cualquier aparato ha sido construido y que fueron parme-tros de diseo si no se exceden los cuales los fabricantes garantizan una vida til larga,los de operacin que corresponden a los que se someten los equipos en la vida real(son medidos experimentalmente) y los que, por lo menos en principio, se escogenarbitrariamente y sirven de referencia o base. Sin embargo, cuando stos coinciden ose suponen en valores cercanos a los nominales, el anlisis del sistema bajo condicionesbalanceadas en tanto por uno, adems de facilitar los clculos, permite por simple ins-peccin darse cuenta de posibles errores aritmticos aplicando un simple criterio delgica. As por ejemplo, las magnitudes de todos los voltajes deben estar cercanos a launidad en tanto por uno2.

Adems, aunque las impedancias en ohmios de los circuitos equivalentes de gene-radores y de transformadores es muy sensible a su tamao, sus valores en tanto por uno,tomando como base sus respectivos valores nominales, no varan apreciablemente, esdecir, aparatos de potencias aparentes nominales muy diferentes tienen valores nomi-nales de impedancia en tanto por uno muy parecidas. En otras palabras, mquinas con

2 Los sistemas de transmisin se disean para que su regulacin bajo condiciones de plena carga no excedael 5%. Adems, los transformadores van provistos de derivaciones para obtener un mejor perfil devoltajes.



Seccin 1.5 JUSTIFICACIN Y VENTAJAS DE LOS VALORES EN TANTO POR UNO 11

valores nominales dentro de un amplio margen tienen impedancias en tanto por unoen un rango muy estrecho, aunque sus valores hmicos difieran apreciablemente. Estopermite que cuando, por alguna razn, se desconoce el valor de la impedancia en tantopor uno de alguno de ellos se pueda recurrir a tablas de valores tpicos para efectuaruna estimacin razonablemente correcta de su valor por comparacin con el parmetrode otro dispositivo similar.

1.5.1 EJEMPLO 1.2

+-

z g^

HT1Z

z^ C

X T2Z^Z^ ser

^

E g

FIGURA 1.5 Representacin en tanto por uno del sistema del ejemplo 1.1

Para el sistema elctrico de potencia descrito en el EJEMPLO 1.1, obtener el voltaje enterminales del generador y la corriente a travs de l para que el voltaje en la carga seade 14.4 kV

Omitiendo los transformadores ideales de la Figura 1.4 se obtiene el circuito equi-valente de la Figura 1.5. Los valores numricos de sus impedancias dependen de losvalores base o de referencia que se escojan. Suponiendo que se elige arbitrariamente

VbH = 154 kV Sb = 50Mva (1.14)

Con esta eleccin inicial y la relacin de transformacin de los transformadores sepueden calcular los valores de voltaje base para el lado del generador VbG y de la cargaVbC




VbG = 15413.8138 kV = 15.4 kV VbC = 154

14.4138 kV = 16.07 kV (1.15)

Reemplazando (1.14) y(1.15) en (1.11) se obtiene:

ZbH =(154)250

= 474.32

ZbG =(15.4)250

= 4.7432 (1.16)

ZbC =(16.07)250

= 5.1646

Los valores en tanto por uno deseados se obtienen dividiendo cada una de las impedan-cias en ohmios del circuito de la Figura 1.4 [ecuacin (1.7)] por la impedancia base quecorresponde a la parte donde ella aparece. Es decir,

Zg = j1.7424 4.7432 = j 0.3674 p. u. ZT1 = j

190.44 474.32 = j 0.4015 p. u.

ZC =300 5.1646 = 58.0878 p. u. ZT2 = j

1.6582 5.1646 = j 0.3212 p. u.

Zser =(20 + j100) 474.32 = (0.0422 + j 0.2108) p. u. (1.17)

Con los valores (1.17) y tomando como referencia el voltaje en la carga, fcilmente sepuede resolver el circuito de la Figura 1.5 para obtener:

VC =14.4 kV16.07 kV = 0.8961 p. u.

IC =0.8961 p. u.58.0878 p. u.

= 0.01543 p. u. (1.18)

Vg = 0.8969 0.92 p. u.valores que se deben multiplicar por los correspondientes valores base para obtener



Seccin 1.6 CAMBIO DE BASE 13

IC =

50

16.07

103A 0.01543 p.u. = 48.0087 A

Vg = 15.4 kV 0.8969 0.92 p. u. = 13.8123 kV (1.19)

1.6 CAMBIO DE BASE

Es muy frecuente que los valores nominales de un aparato no coincidan con los que sehan elegido como base, lo cual plantea el problema de obtener una impedancia en tantopor uno sobre unas bases dadas (Sb y Vb) a partir del dato de placa zN que, como yase sabe, supone valores de referencia nominales (SN y VN ). El criterio para obtener laexpresin deseada es recordar que su valor en ohmios es invariante. Es decir,

z () = zNV 2NSN

= zbV 2bSb

zb = zN

VNVb

2 SbSN

(1.20)

Se advierte que en (1.20) el subndice N se refiere a los valores conocidos o viejos(generalmente los nominales) mientras que el subndice b identifica los valores nuevoso aquellos en base a los cuales se desea calcular el nuevo valor en tanto por uno de laimpedancia.

Ntese que aplicando directamente (1.20) se pueden obtener los valores en tanto poruno ZG, ZT1y ZT2 del EJEMPLO 1.2. Es decir,

ZG = j 0.15 p.u.13.2 kV15.4 kV

250MVA

15MVA

= j 0.3675 p. u.

ZT1 = j 0.1138154

250

10

= j 0.1

13.815.4

250

10

= j 0.4015 p. u. (1.21)

ZT2 = j 0.08

14.416.07

25010

= j 0.08

138154

25010

= j 0.3212 p. u.

que coinciden con los resultados de (1.17). Ntese que en el caso de un transformadores indiferente que se utilice su voltaje nominal de alta o baja tensin, VH o VX , respec-tivamente, siempre y cuando tambin se haga uso de los correspondientes voltajes de




referencia VbH y VbX



PARTE II

SISTEMAS TRIFSICOS

1.7 DIAGRAMA UNIFILAR

Un sistema trifsico que opera bajo condiciones balanceadas se resuelve siempre me-diante un circuito monofsico equivalente, para lo cual es necesario sustituir en el mo-delo matemtico:

1 Cada transformador por un estrella-estrella equivalente que se define como uno quepodra sustituir la conexin real sin que los dems elementos del sistema reconozcan ladiferencia (en cuanto no alterara las corrientes ni los voltajes a travs de ellos). Es im-portante observar que la relacin de transformacin del Y-Y equivalente es exactamenteigual a la de voltajes nominales entre lneas de la conexin real.

2 Las cargas en delta por un Y equivalente.

3 Los generadores trifsicos siempre se conectan en estrella para disminuir la relacin detransformacin del transformador (y por tanto su costo) que se requiere para obtener unnivel de voltaje deseado (el ms econmico) en el sistema de transmisin

Universidad Tecnolgica de Pereira 15 UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PEREIRA



una vez hecho lo cual se puede analizar el sistema a travs de un circuito equivalentemonofsico.

Mquina o Inducido giratorio

Transformador depotencia de dos devanados

Transformador depotencia de tres devanados

Fusible

Transformador de potencial

Transformador de corriente

Interruptores de Potencia

En aceite u otro lquido

En aire

Conexiones Trifsicas

En Tringulo En estrella conneutro aislado

En estrella conconexin a tierra

FIGURA 1.6 Smbolos aprobados por la Asociacin Americana de Normas pararepresentar los aparatos en un diagrama unifilar

Cuando se omite el neutro de retorno y los componentes del sistema se representanmediante smbolos normalizado como los de la Figura 1.6 se obtiene lo que se conocecon el nombre de diagrama unifilar, el cual adems de mostrar la estructura topolgica(localizacin geogrfica e interconexin entre los elementos constitutivos) debe incluirla informacin ms significativa de acuerdo a la naturaleza del estudio que se desea rea-lizar. As por ejemplo, la ubicacin y caractersticas de los elementos de proteccin notienen importancia en el anlisis del sistema bajo condiciones balanceadas (problemade flujos de carga). Sin embargo, la rapidez con que acten los rels e interruptorespara aislar una falla juegan un papel de mucho peso en la estabilidad transitoria delsistema [2]

1.8 SELECCIN DE BASES

La ecuacin (1.11) puede re-escribirse de la siguiente manera:




Zb =V 2bSb

=3V 2b3Sb

=

3Vb2

3Sb=

V 2bLSb3

VbL =3Vb Sb3 = 3Sb (1.22)

Es decir, eligiendo arbitrariamente valores de referencia para el voltaje entre lneas VbLy para la potencia total trifsica Sb3 , definidos como en (1.22) se obtiene la impedan-cia base del circuito monofsico mediante el cual se analiza el circuito trifsico equili-brado. Es prctica habitual escoger el voltaje base entre lneas en una parte cualquieradel sistema y, a partir de este valor, calcular el de las dems partes mediante las rela-ciones de voltajes nominales entre lneas de los transformadores que las separan inde-pendientemente de su conexin, que son las mismas que las de sus Y-Y equivalentescorrespondientes. La corriente base de lnea, IbL, se obtiene de la potencia base totaltrifsica Sb3, cuyo valor debe ser el mismo en todas partes y, de la siguiente relacin:

3Sb =33Vb

Ib =

3VbLIbL = Sb3 (1.23)

1.9 INTERPRETACIN DE DATOS DE PLACA

A menos que se especifique explcitamente de otra manera los datos suministradospara caracterizar un generador trifsico se refieren a los valores nominales de voltajeentre lneas VNL y a la potencia aparente total trifsica SN3 . Adems, el dato deplaca para la impedancia en tanto por uno, zN , supone que se han tomado como refe-rencia los valores nominales del aparato [Ver (1.22)]. Es decir, cuando se reemplazanestos valores en (1.5) se obtiene la correspondiente impedancia en ohmios por fase delestrella equivalente del aparato zg. Matemticamente:

zg = zN(VNL)

2

SN3(1.24)

Similarmente, la placa de un transformador trifsico contiene, entre otros datos, lossiguientes: La potencia aparente nominal trifsica SN3 ; la relacin de transforma-cin que se da como la de voltajes nominales entre lneas especificando la conexin (




o Y) que los origina, que se designarn con VHL y VXL, para los lados de alta y bajatensin, respectivamente, y una impedancia en tanto por uno zN , que supone que sehan tomado como referencia sus valores nominales. A partir de estos datos se puedeobtener cualquiera de los circuitos equivalentes en ohmios por fase del Y-Y equivalente(ver Figura 1.2), de la siguiente manera:

ZH = zNV 2HLSN3

ZX = zNV 2XLSN3

(1.25)

En el apndice A se demuestra que la conexin particular de tres pares de devanadosidnticos (o de tres unidades monofsicas) YA CONSTRUIDOS, no tiene incidenciaen la representacin en tanto por uno del Y-Y equivalente. En consecuencia (1.25)calcula la impedancia en ohmios por fase del Y-Y equivalente independientemente dela conexin particular del transformador (Y, Y- o Y-Y). Adems, otra conclusinque se obtiene del apndice A es que un conjunto de tres transformadores monofsicosidnticos conectados para suministrar energa a una carga trifsica (banco) se puedeconsiderar como una unidad trifsica de las siguientes caractersticas:

1 Potencia aparente nominal: tres veces la de cada unidad monofsica.

2 Relacin de transformacin (la de los voltajes nominales entre lneas) se determina deacuerdo a la conexin particular de cada lado ( o Y ) y al voltaje nominal de cadadevanado.

3 Impedancia de dispersin o de fuga en tanto por uno zN exactamente igual a la de cadapar de devanados.

1.9.1 EJEMPLO 1.3

Dibujar el diagrama de impedancias en tanto por uno del sistema trifsico representadoen la Figura 1.7, cuyos componentes se caracterizan de la siguiente manera:




BT3 T4

T2

T6

T1

T5

G2

MS

G1

L1

L3 L2

C

A

FIGURA 1.7 Diagrama unifilar del sistema ejemplo 1.3

G1 20 MVA. 13.2 Kv. zN = j 0.15 p.uG2 20 MVA. 14.4 Kv zN = j 0.15 p.uMS 30 MVA. 6.9 Kv zN = j 0.20 p.u.T1 15 MVA. 6.9 66Y kV. zN = j 0.08 p.u.T2 3 monofsicos 5 MVA. 6.4 35.3439 kV zN = j 0.1 p.u. c/u

T3 y T4 20 MVA 13.8 138Y kV zN = j 0.11 p.u.T5 y T6 20 MVA 13.2Y 69Y kV zN = j 0.12 p.u.

zL1 = 2zL2 = 2zL3 = j 40

Los lados de alta tensin de todos los transformadores estn conectados a las lneas detransmisin. Elegir Sb3 = 50MVA y VbL1 = 154kV en L1Con este valor y de las relaciones de transformacin de los transformadores se deter-minan los siguientes valores base de voltaje entre lneas en las distintas partes:

VbA = VbB = 15413.8138 = 15.4 kV

VbL3 = VbL2 = 15.469

13.2 = 80.5 kV (1.26)

VbC = 80.56.9

66= 8.41591 kV

Reemplazando (1.26) en (1.22) se obtienen los siguientes valores base de impedancia:




ZbL1 =(154)2

50= 474.32

ZbA = ZbB =(15.4)2

50= 4.7432

ZbL2 = ZbL3 =(80.5)2

50= 129.61 (1.27)

ZbC =(8.41591)2

50= 1.4166

De (1.24) se obtienen los valores de las impedancias en ohmios por fase del Y-equivalentede los generadores y de (1.25) las de los Y-Y equivalentes de los transformadores.Ntese que para los transformadores se puede obtener un circuito equivalente con suimpedancia conectada en el lado de alta tensin [Figura 1.2(a)] o en el de baja [Figura1.2(b)], de acuerdo a cul de las ecuaciones (1.25) se escoja. Es decir,

zG1 = j 0.15(13.2)2

20= j 1.3068 zG2 = j 0.15

(14.4)2

20= j 1.5552

zT1X = j 0.08(6.9)2

15 = j 0.25392 zT2X = j 0.1(6.4)2

5x13= j 0.2731

zT3H = j 0.11(138)2

20= j 104.742 B zT4X = j 0.11

(13.8)2

20= j 1.04742

zT5X = j 0.12(13.2)2

20= j 1.04544 zT6H = j 0.12

(69)2

20= j 28.566

zMS = j 0.20(6.9)2

30= j 0.3174 (1.28)

Para obtener los valores en tanto por uno de la Figura 1.8 cada uno de los valores (1.28)se deben dividir por la impedancia base de (1.27) que le corresponda, de la siguientemanera:




+-

+-

+-

ZT3

ZG1 ZG2ZMS

ZT1 ZT2

ZL1 ZT4

ZL2ZL3ZT5 ZT6

EG1 EG2EMS

FIGURA 1.8 Diagrama de impedancias en tanto por uno del sistema ejemplo 1.3

zG1 = j1.3068 4.7432 = j 0.2755 p. u. zG2 = j

1.5552 4.7432 = j 0.3279 p. u.

zT1 = j0.25392 1.4166 = j 0.1792 p. u. zT2 = j

0.27310 1.4166 = j 0.1928 p. u

zT3 = j104.742 474.32 = j 0.2208 p. u. zT4 = j

1.04742 4.7432 = j 0.2208 p. u

zT5 = j1.04544 4.7432 = j 0.2204 p. u. zT6 = j

28.566 129.605 = j 0.2208 p. u

zL1 = j40

474.32 = j 0.0843 zL2 = zL3 = j20

129.605 = j 0.1543 p. u.

zMS = j0.3173 1.4166 = j 0.2241 p. u. (1.29)

Vale la pena aclarar, una vez ms, que el valor en tanto por uno de cada transformadorse puede obtener tambin a partir del circuito equivalente en ohmios por fase alterno,siempre y cuando este valor se divida por el de impedancia base apropiado. As porejemplo, si para el transformador T5 se obtuviera el circuito de la Figura 1.2(a) con suimpedancia en el lado de alta y se dividiera por el de la impedancia base en la lnea L3se obtendra el mismo valor de (1.29).

Ntese, adems, que los valores(1.29) se pueden obtener directamente aplicando (1.20),que para sistemas trifsicos toma la forma




zb = zN

VHLVbH

2Sb3SN3

= zN

VXLVbX

2Sb3SN3

(1.30)

donde VbX y VbH representan, respectivamente, los voltajes base entre lneas en loslados de baja y alta tensin y VHL y VXL los nominales de lnea del transformadortrifsico.

Ntese que el producto de las relaciones de transformacin de los transformadores(la de los voltajes nominales entre lneas que es la misma del Y-Y equivalente) quehacen parte de un anillo debe ser igual a la unidad ya que, a partir del valor de voltajebase, elegido arbitrariamente en una parte del anillo, cuando ste se recorre en ambossentidos (horario o anti-horario), se debe llegar al mismo valor de voltaje base parael punto de encuentro. Adems, si esta condicin no se cumpliera habra corrientescirculantes en el anillo incluso cuando el sistema opera en vaco. De otra parte la sumade desplazamientos angulares o de fase (introducidos por las conexiones) debe ser nulacuando se recorre el anillo en el mismo sentido.

BIBLIOGRAFA[1] GRAINGER, Jhon D. y William D.STEVENSON, Anlisis de Sistemas Elctricos

de Potencia, McGraw-Hill, Mxico, 1aedicin, 1995

[2] FITZGERALD, A. E. y otros, Electric Machinery, McGraw-Hill, Kogakusha,Tokyo, 3 edicin, 1971.

[3] ELGERD, Olle I., Electric Energy Systems Theory: An Introduction, McGraw-Hill,New York, 1 edicin, 1971.

[4] WEEDY, B. M., Electric Power Systems, Wiley & Sons, New York, 2 edicin, 1975.



Apndice AIndependencia entre la Conexindel Transformador Trifsico y suRepresentacin en tanto por uno

A.1 OBJETIVO

Demostrar que si se tienen tres transformadores monofsicos idnticos o los tres paresde devanados de una unidad trifsica, YA CONSTRUIDOS, la conexin particular aque sean sometidos no tiene influencia en la representacin en tanto por uno del Y-Yequivalente.

A.2 NOTACIN

Sea, para cada par de devanados:

1 SN su potencia aparente nominal

2 VH y VX , los voltajes nominales (de fase) de los lados de alta y baja tensin, respecti-vamente.

3 zH y zX las impedancias en ohmios de los circuitos equivalentes de la Figura 1.2.Recurdese que estos valores no son independientes y que estn relacionados comoindica la ecuacin (1.1).



24 Apndice A Independencia entre la Conexin del Transfo Trifsico ...

ZH

ZH

ZH

A

B

C

a

b

c

VH VX

VH VX

VXVH

Figura A.1. Conjunto de 3 circuitos equivalentes de un transformador monofsicointerconectados en un banco trifsico Y

A.3 DEMOSTRACIN

La Figura A.1 ilustra tres circuitos equivalentes como el de la Figura 1.2 (a) para cadapar de devanados con sus lados de alta conectados en y sus lados de baja en YDe la inspeccin de la Figura A.2, que es una reproduccin o versin diferente de lamisma Figura A.1, puede verse que cuando los devanados conectados en (los 3 dealta en este ejemplo) incluyan la impedancia caracterstica de cada par de devanados,(zH en este caso) la impedancia en ohmios por fase del Y-Y equivalente referida a eselado debe ser un tercio de esa misma impedancia caracterstica. Eligiendo arbitra-riamente los valores de voltaje base entre lneas en el lado de baja, que en este casose supone conectado en , y de la potencia base trifsica, e identificndolos, respectiva-mente, mediante VbLX y Sb3, el valor del voltaje base entre lneas (y, por tanto, el dela impedancia base), en el lado de alta depende de como se conecten los devanados YACONSTRUDOS en ese lado. Es decir,

ZH ZH

Aa

bcZH

BC

VH

VH

VX

VX VX

VXVH

Figura A.2. Otra versin de la Figura A-1



Seccin A.3 DEMOSTRACIN 25

VbLH = VbLXVH3VX

conexin

VbLHY = VbLX

3VH3VX

conexin Y (A.1)

Reemplazando (A.1) en (1.25) se obtiene:

Zb =(VbLH)

2

Sb3=

VbLHY

3

2Sb3

=13ZbY (A.2)

Sin prdida de generalidad se tomarn como base los valores nominales del transfor-mador trifsico resultante despus de la interconexin (voltajes entre lneas y potenciatotal trifsica) [ver ecuacin (1.22)], lo cual es equivalente a tomar como referencia losvalores monofsicos nominales correspondientes a cada par de devanados

CASO I II III IVCONEXIN Alta Y Y

Baja Y Y Potencia nominal trifsica 3SN 3SN 3SN 3SNVoltaje nominal entre lneas Alta

3VH

3VH VH VH

Baja3VX VX

3VX VX

Impedancia base tomando como Alta 3V2

H

3SN

3V 2H3SN

V 2H3SN

V 2H3SN

referencia los valores nominales Baja 3V2

X

3SN

V 2X3SN

3V 2X3SN

V 2X3SN

Impedancia en ohmios por fase Alta zH zH zH3zH3

del Y-Y equivalente Baja zX zX3 zXzX3

Impedancia en tanto por uno Alta zHSNV 2H

zHSNV 2H

zHSNV 2H

zHSNV 2H

del Y-Y equivalente Baja zXSNV 2X

zXSNV 2X

zXSNV 2X

zXSNV 2X

Tabla A.1: La representacin en tanto por uno del Y-Y equivalente no depende de laconexin particular del transformador trifsico

La tabla A.1 consigna las caractersticas nominales resultantes de cada una de las 4conexiones posibles. Tomando estos valores como referencia (Sb3 = 3SN y Voltajebase de lnea VbL = VN , el resultante de la conexin particular y de los voltajes nomi-nales de cada par, VH y VX) se obtienen las respectivas impedancias base [ver ecuacin(1.22)], que permiten obtener las correspondientes impedancias en tanto por uno, las



26 Apndice A Independencia entre la Conexin del Transfo Trifsico ...

cuales resultan ser iguales.

Ntese que el valor en tanto por uno del Y-Y equivalente es exactamente igual al valornominal en tanto por uno de cada par de devanados, INDEPENDIENTEMENTE DELA CONEXIN PARTICULAR, es decir, matemticamente

zN =zHV 2HSN

= zXV 2XSN

(A.3)



Apndice BIMPEDANCIA MUTUA ENTRESISTEMAS DE DIFERENTEVOLTAJE NOMINAL

B.1 OBJETIVO

Derivar la representacin en tanto por uno de la impedancia mutua entre dos sistemas detransmisin de diferente voltaje nominal, que por esta misma razn poseen diferentesvalores de impedancia base [ver ecuacin (1.22)].

B.2 INTRODUCCIN

Como se sabe, en condiciones balanceadas el campo magntico en puntos exteriores auna lnea de transmisin trifsica debido a las corrientes que circulan por ella es idn-ticamente nulo o despreciable, lo cual es consecuencia de la ley de Ampre. Sin em-bargo, esta condicin deja de cumplirse cuando se produce un cortocircuito asimtrico,por lo que, en este caso, es necesario el efecto de induccin mutua en lneas cercanas(tpicamente, las que van montadas sobre las mismas torres compartiendo durante untrayecto el derecho a la va).

B.3 DERIVACIN

La Figura B.1 es un diagrama unifilar que muestra dos sistemas de transmisin mu-tuamente acoplados conectados a la misma barra a travs de sendos transformadoresde diferentes relaciones de transformacin, de tal manera que el voltaje nominal delcircuito p-q, VH1, es diferente al de r-s, VH2. Designando por zpq y zrs las impedan-



28 Apndice B ACOPLE ENTRE SISTEMAS DE DIFERENTE VOLTAJE NOMINAL

p q

r s

Figura B.1. Diagrama unifilar de dos lneas mutuamente acopladas de diferentevoltaje nominal

cias propias y por zM la impedancia mutua en ohmios por fase se pueden relacionarlas cadas de tensin con las correspondientes corrientes a travs de ellas mediante lasiguiente ecuacin primitiva

vpqvrs

=

zpq zMzM zrs

ipqirs

(B.1)

donde el orden de los subndices para los voltajes y las corrientes indican sus sentidosde referencia (interpretacin para los valores positivos). Distinguiendo con los sub-ndices 1 y 2 las bases del circuito p-q y r-s, respectivamente, las ecuaciones (B.1) sepueden reescribir de la siguiente manera (multiplicando por Ib1 la primera y por Ib2 lasegunda y dividiendo ambas por Sb = Vb1Ib1 = Vb2Ib2):

vpqVb1

Ib1Ib1

=zpq ipq Ib1Vb1 Ib1

+zM irs Ib1Vb2 Ib2

vrsVb2

Ib2Ib2

=zM ipq Ib2Vb1 Ib1

+zrs irs Ib2Vb2 Ib2

(B.2)



Seccin B.3 DERIVACIN 29

Reemplazando(1.11) en (B.2) se obtiene:

vpqvrs

=

zpq zMzM zrs

pqrs

(B.3)

donde se ha definido

vpq =

vpqVb1

vrs =vrsVb2

=

zpq =zpqZb1

zM =zMVb1 Vb2Sb

zM =

zMVb1 Vb2Sb

zrs = zrsZb2

pq =

ipqIb1

rs =irsIb2

(B.4)

Es decir, tanto los voltajes como las corrientes e impedancias propias en tanto por unose refieren a sus propias bases, la impedancia mutua debe referirse a una base

zbM =Vb1 Vb2Sb

(B.5)



Apndice CTRANSFORMADORES DE TRESDEVANADOS POR FASE

C.1 SENTIDO DENTRO DEL CONJUNTO

Los transformadores de tres devanados por fase (monofsicos o trifsicos) se usan enaplicaciones en las que es conveniente interconectar tres circuitos independientes convoltajes nominales diferentes, las ms importantes de las cuales son las siguientes:

1 Suministro de energa a un sistema de distribucin importante (que incluya un hospital,por ejemplo, o una empresa que incurra en prdidas cuantiosas por el corte de la energaelctrica) a partir de dos sistemas de transmisin separados, que pueden ser de voltajesdiferentes, para garantizar continuidad en el suministro (confiabilidad) en caso de quealguna de las lneas de alta tensin sufra alguna avera. Ntese que los dos circuitosde suministro no deben operar simultneamente ya que cada uno de ellos se comportacomo una fuente independiente de voltaje (barra infinita), lo cual entrara en conflictoen relacin al voltaje resultante en el tercer devanado.

2 Los terceros armnicos nocivos que se presentan en los voltajes respecto al neutro en untransformador trifsico conectado en Y-Y se eliminan introduciendo un tercer devanadoen cada fase y conectndolos en , los cuales podran suministrar energa a una cargalocal, tal como condensadores sncronos utilizados para regular el factor de potencia y,por tanto, la magnitud del voltaje.

3 Cuando se subdivide la carga de un sistema de distribucin grande en dos partes, cadauna de ellas alimentada por un grupo independiente de devanados, se pueden reducirlas corrientes de cortocircuito diseando cada devanado secundario con una reactanciade fuga mayor, lo cual disminuye el tamao y, por tanto el costo, de los interruptoresde potencia.



32 Apndice C TRANSFORMADORES DE TRES DEVANADOS POR FASE

Aunque la interconexin de tres circuitos independientes se puede hacer mediante dostransformadores de dos devanados por fase, la alternativa del transformador de tresdevanados por fase suelen ser ms econmica y presentar menores prdidas.

C.2 OBJETIVOS

I Derivar UN procedimiento para obtener el circuito equivalente del transformador detres devanados por fase a partir de ensayos y mediciones en sus terminales accesibles.

II Derivar expresiones para los valores de sus parmetros (impedancias) en tanto por uno(p. u.)referidos a una base comn

C.3 SUPOSICIONES

1 2 3

1

2

3

2

2

1

13

3VT

VS

VPIP

IT

nP P

nT

nS

(a) (b)

S

T

Figura C.1. Despreciar el efecto capacitivo permite interconectar los terminales de lamisma polaridad relativa de un transformador tridevanado

Es importante establecer y justificar claramente las siguientes suposiciones bajo lascuales se aplica el procedimiento que se detallar ms adelante:

1 Las capacidades de los devanados entre s y las de cada uno de ellos con respecto a tierra



Seccin C.4 ENSAYOS 33

(al tanque) son despreciables. Por tanto, si se conectan a tierra todos los terminales deigual polaridad relativa las corrientes a travs de ellos (que son iguales a las que circulanpor los circuitos exteriores) quedan invariables [ver Figura C.1 (b)].

2 Los tres devanados estn arrollados sobre un mismo ncleo magntico como se ilustraen la Figura C.1(a), donde se han definido los sentidos de referencia para voltajes ycorrientes. Las letras P, S y T identifican los tres devanados que se denominan, respec-tivamente, primario, secundario y terciario y cuando se las utiliza como subndices serefieren a cantidades asociadas con cada uno de ellos.

3 Se desprecia la corriente de excitacin, es decir, se supone permeabilidad infinita delmaterial magntico. Esta relacin puede apreciarse aplicando la ley de Ampre a latrayectoria dentro del ncleo de la la Figura C.2

Figura C.2. Diagrama constructivo de un Transformador monofsico

1

IB.dl =

Xi = 0

Ntese que la suposicin 2 implica que en cualquier instante el flujo magntico abrazadopor cada espira (primaria, secundaria o terciaria) sera el mismo si se despreciaran lasfugas magnticas y, por tanto, se podra aplicar la ley de induccin de Faraday paradeducir que las fuerzas electromotrices de los devanado estn relacionadas de acuerdoal nmero de espiras.

Bajo las hiptesis anteriores el transformador de tres devanados se puede representaresquemticamente por la red de la Figura C.3, donde se incluyen transformadores i-deales para que no se alteren las relaciones entre voltajes y corrientes de cada par dedevanados.




C.4 ENSAYOS

Para determinar los valores de ZP , ZS y ZT se deben plantear las ecuaciones que re-sultan de simular en el circuito equivalente de la Figura C.3 las siguientes pruebas a lasque se somete en la prctica el transformador:

ZPS =VPIP

VS = IT = 0

= ZP + ZS

ZPT =VPIP

VT = IS = 0

= ZP + ZT (C.1)

ZST =VSIS

VT = IP = 0

= N 21 (ZS + ZT ) N1 =nSnP

nSnP

nTnP

Z P

Z S

Z T

VS

I S

VT

I T

I P

VP

Figura C.3. Circuito equivalente del transformador de tres devanados con lasimpedancias en el primario

Resolviendo (C.1) se obtiene:




ZP =12

ZPS + ZPT

ZSTN 21

ZS =

12

ZPS ZPT +

ZSTN 21

(C.2)

ZT =12

ZPS + ZPT +

ZSTN 21

Dividiendo todos estos valores por la impedancia base en el primario ZbP se obtienenlos valores en tanto por uno correspondientes. Designando con VbP y VbS , los voltajesbase del primario y secundario, respectivamente y por Sb la potencia base (valores quepueden ser diferentes a los nominales) se puede definir

ZbP =V 2bPSb

ZbS =V 2bSSb

ZP =ZPZbP

ZS =ZSZbP

ZT =ZTZbP

(C.3)

Reemplazando (C.3) en (C.1) y notando que ZbS = N 21 ZbP se obtiene:

ZPSZbP

= ZPS = ZP + ZS

ZPTZbP

= ZPT = ZP + ZT (C.4)

ZSTZbS

=

ZSTN 21

ZbP

= ZST = ZS + ZT

Resolviendo (C.4)

ZP =12

ZPS + ZPT ZST

ZS =

12

ZPS ZPT + ZST

(C.5)

ZT =12

ZPS + ZPT + ZST




Los resultados anteriores se pueden expresar en tanto por uno referidos a una basearbitraria. Es posible que una cualquiera de las impedancias del circuito equivalentesea cero o negativa.Una alternativa de circuito equivalente en ohmios es con las impedancias ubicadas en elsecundario (Ver Figura C.4). Simulando en este modelo las pruebas de corto- circuitose obtiene:

nSn T:

Z 1

Z 3

Z 2

VS

I S

VT

I T

I P

VP

nSnP:

Figura C.4. Circuito equivalente del transformador de tres devanados con lasimpedancias ubicadas en el secundario

ZPS =VPIP|VS = IT = 0 = N 22 (Z1 + Z2) N2 =

nPnS

ZPT =VPIP|VT = IS = 0 = N 22 (Z1 + Z3) (C.6)

ZST =VSIS|VT = IP = 0 = Z2 + Z3

Resolviendo (C.6) se otiene:




Z1 =12

ZPSN 22

+ZPTN 22

ZST

Z2 =12

ZPSN 22

ZPTN 22

+ ZST

(C.7)

Z3 =12

ZPSN 22

+ZPTN 22

+ ZST

Dividiendo todos estos valores por la impedancia base en el secundario ZbS se obtienenlos valores en tanto por uno correspondientes. Designando con VbP y VbS , los voltajesbase del primario y secundario, respectivamente y por Sb la potencia base (valores quepueden ser diferentes a los nominales) se puede definir

ZbP =V 2bPSb

ZbS =V 2bSSb

Z1 =Z1ZbS

Z2 =Z2ZbS

Z3 =Z3ZbS

(C.8)

Reemplazando (C.8) en (C.6) y notando que ZbP = N 22 ZbS se obtiene:

ZPSN 22 ZbS

=ZPSZbP

= ZPS = Z1 + Z2

ZPTN 22 ZbS

=ZPTZbP

= ZPT = Z1 + Z3 (C.9)

ZSTZbS

= ZST = Z2 + Z3


ZP = Z1 =12

ZPS + ZPT ZST

ZS = Z2 =

12

ZPS ZPT + ZST

(C.10)

ZT = Z3 =12

ZPS + ZPT + ZST

Una tercera alternativa de circuito equivalente en ohmios es con las impedancias ubi-




cadas en el terciario (Ver Figura C.5). Simulando en este modelo las pruebas de corto-circuito se obtiene:

nTnS:

Z "

Z $

Z (

VT

I T

VS

I S

I P

VP

nTnP:

Figura C.5. Circuito equivalente del transformador de tres devanados con lasimpedancias ubicadas en el terciario

ZPS =VPIP|VS = IT = 0 = N 23 (Z + Z) N3 =

nPnT

ZPT =VPIP|VT = IS = 0 = N 23 (Z + Z) (C.11)

ZST =VSIS|VT = IP = 0 = N 24 (Z + Z) N4 =

nSnT


Z =12

ZPSN 23

+ZPTN 23

ZSTN 24

Z =

12

ZPSN 23

ZPTN 23

+ZSTN 24

(C.12)

Z =12

ZPSN 23

+ZPTN 23

+ZSTN 24

Dividiendo todos estos valores por la impedancia base en el terciarioZbT se obtienen los



Seccin C.5 EJEMPLO 1 39

valores en tanto por uno correspondientes. Designando con VbP , VbS y VbT los voltajesbase del primario, secundario y del terciario, respectivamente y por Sb la potencia base(valores que pueden ser diferentes a los nominales) se puede definir

ZbP =V 2bPSb

ZbS =V 2bSSb

ZbT =V 2bTSb

Z =ZZbT

Z =ZZbT

Z =ZZbT

(C.13)

Reemplazando (C.13) en (C.11) y notando que ZbP = N 23 ZbT se obtiene:

ZPSN 23 ZbT

=ZPSZbP

= ZPS = Z + Z

ZPTN 23 ZbT

=ZPTZbP

= ZPT = Z + Z (C.14)

ZSTN 24 ZbT

=ZSTZbS

= ZST = Z + Z


ZP = Z1 = Z =12

ZPS + ZPT ZST

ZS = Z2 = Z =

12

ZPS ZPT + ZST

(C.15)

ZT = Z3 = Z =12

ZPS + ZPT + ZST

C.5 EJEMPLO 1

Obtener el circuito equivalente de un transformador de potencia monofsico de trescircuitos cuyas caractersticas nominales son las de la tabla C.1. Tomar como referencialos valores nominales del primario.

Ntese que las potencias aparentes nominales no guardan necesariamente una relacinde suma aritmtica ya que ellas dependen del calibre de los devanados. Esta cir-cunstancia permite una mayor versatilidad en las condiciones de operacin a que puedeser sometido el transformador. Sin embargo, bajo cualquier circunstancia se debe sa-




Devanado Capacidad (kVA Voltaje (Voltios)Primario P 10,000 63,500Secundario S 6,667 11,000Terciario T 5,000 7,580

Tabla C.1: Datos de placa del transformador del ejemplo 1

tisfacer la ecuacin de equilibrio de potencias. Es decir,

VPIP VSIS VT IT = 0

Aplicando voltaje reducido a uno de los devanados hasta que por otro corto- circuitadocircule su corriente nominal, dejando el tercero abierto, se hicieron las mediciones dela tabla C.2

Ensayo I II IIIDevanado Corto-circuitado S T TDevanado excitado con fuente de voltaje P P SVoltaje V (Voltios) 4,490 5,800 588Potencia P (Vatios) 46,100 35,800 35,000

Tabla C.2: Resultados de los ensayos experimentales o pruebas de corto-circuitoaplicadas al transformador de ejemplo 1

SOLUCIN:

Valores nominales de corriente:

INP =

10, 000 x 10363, 500

= 157.48 A.

INS =

6, 667 x 10311, 000

= 606.09 A. (C.16)

INT =

5, 000 x 1037, 580

= 659.63 A.

La corriente a travs del devanado excitado se calcula de la relacin entre corrientes yvoltajes para un transformador de dos devanados, teniendo en cuenta que por uno delos dos (el corto-circuitado en este caso) circula la corriente nominal. Es decir,

La tabla C.4 resume los resultados obtenidos hasta ahora y el algoritmo o mtodo deprocesarlos para obtener las impedancias de los ensayos de corto circuito.




Ensayo Corriente

I IP = 606.0911, 00063, 500

= 104.99 A.

II IP = 659.637, 580

63, 500

= 78.74 A.

III IS = 659.637, 580

11, 000

= 454.55 A.

Tabla C.3: Clculo de corrientes a travs del devanado excitado

De (C.5) se obtiene:

ZP = Z1 = Z =12

ZPS + ZPT ZST

= 0.00534621+ j0.0908388 p. u.

ZS = Z2 = Z =12

ZPS ZPT + ZST

= 0.00502616 + j0.01471563 p. u.

ZT = Z3 = Z =12

ZPS + ZPT + ZST

= 0.00897384 + j0.0912761 p. u.

(C.17)

TRANSFORMADORES TRIFASICOSLos criterios y resultados del apndice A se pueden extender al caso de transformadoresde tres devanados por fase. Es decir, la conexin particular de tres conjuntos idnticosde devanados, cada uno de los cuales incluye un primario, un secundario y un tercia-rio, no tiene influencia en la representacin en tanto por uno del Y-Y-Y equivalente.Adems cuando se trata de unidades trifsicas se acostumbra:

1 Excitar simultneamente (aplicar voltaje reducido a) los tres devanados del mismovoltaje nominal, independientemente de su conexin particular, y medir:

a los voltajes entre lneas resultante;b la corriente de lnea resultante yc la potencia total trifsica.

2 Corto-circuitar simultneamente otros tres devanados del mismo voltaje nominal y de-jar abiertos los tres idnticos restantes.

De cada una de las tres nicas pruebas de cortocircuito independientes que pueden




Ensayo I II IIIDevanado Corto-circuitado S T TDevanado excitado P P SVoltaje V (Voltios) 4,490 5,800 588Potencia P (Vatios) 46,100 35,800 35,000Corriente en el devanado. excitado I (A) 104.9869 78.7402 454.5454

Resistencia () R = PI 2

4.1824 5.7742 0.1694

Magnitud de Impedancia () Z = VI

42.7672 73.6599 1.2936Reactancia de fugaX =

Z2 R 2 42.5622 73.4333 1.2825

Designacin R+ jX ZPS ZPT ZSTImpedancia en tanto por uno (C.4) 0.0104 + j0.1056 0.0143 + j0.1821 0.0140 + j0.1060

Tabla C.4: Impedancias de las pruebas de corto-circuito del ejemplo 1

efectuarse experimentalmente, (es decir, ZPS o ZSP , ZPT o ZTP y ZST o ZTS) se ob-tienen los datos que corresponderan a uno de los conjuntos de devanados (los que vanabrazados a la misma columna en un transformador de este tipo ), tres de los cualesconforman la unidad trifsica y se obtiene, para cada uno de ellos, un circuito equi-valente en ohmios como el de la figura C.3, C.4 o C.5 , con las impedancias en ohmiosubicadas en uno cualquiera de los devanados. Ntese que la relacin de transforma-cin debe ser consistente con los datos de voltajes nominales entre lneas de la unidadtrifsica y con la conexin o Y . Si las impedancias estn colocadas en un ladoconectado en se deben dividir por 3 y modificar las relaciones de transformacinpara que coincidan con las de voltajes nominales entre lneas y as obtener un circuitoequivalente monofsico del Y-Y-Y equivalente.

EJEMPLO 2 Un transformador trifsico de tres arrollamientos por fase tiene las carac-tersticas no-minales de la tabla C.5

Devanado Capacidad (MVA Voltaje (Voltios) ConexinPrimario P 30 63,500 Secundario S 20 11,000 Terciario T 15

3x7, 580 Y

Tabla C.5: Datos de placa nominales del transformador trifsico del ejemplo 2

Hallar un circuito equivalente en ohmios del - equivalente como el de la Figura C.4 ydefinir las relaciones de transformacin.

Aplicando voltaje reducido a uno de los devanados cuando se corto-circuita otro hastaque por uno de ellos (el excitado o el corto-circuitado) circule su corriente nominal,dejando el tercero abierto, se hicieron las mediciones de la tabla C.6

Ntese que las caractersticas nominales de un transformador monofsico con tres de




Ensayo I II IIIDevanado Corto-circuitado P P TDevanado excitado con fuente de voltaje S T SVoltaje de lnea VL (Voltios) 777.794354 692.346159 588Corriente nominal de lnea IL en el devanado S T TPotencia activa total trifsica P (Vatios) 138,298 107,400 105,000

Tabla C.6: Resultados de los ensayos experimentales o pruebas de corto-circuitoaplicadas al transformador del ejemplo 2

los cuales se puede formar el transformador trifsico descrito en la tabla C.5 coincide,en este caso, con las del transformador del ejemplo 1 (ver tabla C.1).

CORRIENTES NOMINALES: De la ecuacin S3 =3VLIL con los datos sumi-

nistrados en la tabla C.5 se calculan las corrientes nominales de lnea. Cuando el de-vanado est conectado en , se debe dividir sta por

3 para obtener la de fase. La

tabla C.7 resume los resultados que se obtienen aplicando estos criteriosDevanado Primario Secundario TerciarioIdentificacin P S TPotencia aparente nominal total trifsica S3 (MVA) 30 20 15Voltaje nominal entre lneas VL (kV) 63.5 11

3x7.58

Corriente nominal de lnea IL (A) IL =S33xVL

272.7639 1049.7278 659.6306

Conexin YCorriente nominal de fase 157.4803 606.0606 659.6306

Tabla C.7: Clculo de corrientes nominales monofsicas y de lnea del transformadortrifsico del ejemplo 2

En la tabla C.8 se muestra el algoritmo para obtener las impedancias que se obtendransi los ensayos se hicieran a un conjunto de devanados abrazados a la misma columna,es decir, a un primario, un secundario y un terciario a partir de los datos de la tabla C.6

Anlogamente a como cuando se deriv el circuito de la Figura C.4, se pueden plantearentonces, en este caso, las siguientes ecuaciones:

ZSP =VSIS

VP=IT=0

= Z2 + Z1 = 0.1255 + j1.2775

ZTP =VTIT

VP=IS=0

= N 2 (Z3 + Z1) = N2 (0.0823 + j1.0471) (C.18)

ZST =VSIS

VT=IP=0

= Z2 + Z3 = 0.1694 + j1.2824 N =nTnS

=7.58

11




Ensayo I II IIIDevanado Corto-circuitado P P TDevanado excitado S T SVoltaje V (Voltios) 777.794354 692.346159 588Potencia P (Vatios) 46,099.43 35,800.11 35,000Corriente nominal en S T TCorriente en el devanado. excitado I (A) 606.0606 659.6306 454.5454

Resistencia () R = PI 2

0.125506 0.082278 0.1694

Magnitud de Impedancia () Z = VI

1.283361 1.049597 1.2936Reactancia de fugaX =

Z2 R 2 1.277209 1.046367 1.2825

Designacin R+ jX ZPS ZPT ZST

Tabla C.8: Impedancias correspondientes a las pruebas de corto-circuito para un con-junto de dev

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Analisis de Sistemas de Potencia - Álvaro Acosta