Analisis de Varianza 2015

Analisis de Varianza - Prof. Mario Pelaez O.

1

Copyright ©2006 Brooks/Cole

A division of Thomson Learning, Inc.

El Diseño de un Experimento

• El plan de muestreo o diseño experimental determina la forma en que la muestra es seleccionada.

• En un estudio observacional, el experimentador registra datos que ya existen. Ejemplo: las encuestas.

• Experimentacion, el experimentador controla una o mas condiciones en las unidades experimentales y registra las respuestas a esos cambios.



Definiciones

• Una unidad experimental es el objeto en el que se toma una medicion (o mediciones).

• Un factor es una variable independiente cuyos valores son controlados por el experimentador.

• Un nivel es el grado de intensidad de un factor.

• Un tratamiento es una combinacion especifica de niveles de factor.

• La respuesta es la variable que es medida por el experimentador.



Ejemplo 1

Un grupo de personas se divide aleatoriamente en

un grupo experimental y un grupo control. Al grupo

de control se le aplica una prueba de aptitud después

de haber tomado un desayuno completo. Al grupo

experimental se le aplica la misma prueba sin haber

tomado ningún desayuno.

Unidad Experimental = Factor =

Respuesta = Niveles =

Tratamientos:

persona

Puntaje en la

prueba

“comida”

Desayuno o

no desayuno

Desayuno o no desayuno



Ejemplo 2

En un partido de futbol son muchos los factores que influyen en el

número de goles anotados, el entrenamiento, el entrenador, el jugador,

etc. Diseñamos el siguiente experimento: Se elijen dos factores que se

pueden controlar: la distancia y ángulo de tiro al arco. Se definen 3

niveles para cada factor. Para la distancia a 4, 8 y 12 metros del arco y

ángulo de tiro: 45, 90 y 135. Se toma una muestra representativa de

jugadores. Cada jugador lanza 5 tiros y registra el número de goles. Para

cada posición se utiliza 4 jugadores. Se sortean las posiciones a los

jugadores

Unidad Experimental = Factor1 =

Respuesta = Niveles1 =

Factor2 =

Tratamientos: Niveles2 =

jugador

#Goles (0-5)

Distancia

4m; 8m ;12m

Angulo tiro

a45 ; a90; a135

T1= 4m – a45; T2= 4m – a90; T3= 4m – a135;

T4= 8m – a45; T5= 8m – a90; T6= 8m – a135;

T7= 12m – a45; T8= 12m – a90; T9= 12m – a135


2



El Analisis de Varianza (ANVA)

• La variable respuesta tiene una variabilidad total

• Esta varianza se divide en partes que pueden

atribuirse a varios factores.

• Estas partes pueden usarse para determinar los

efectos de los factores en la variable respuesta.

Variacion Total Factor 2

Variacion aleatoria

Factor 1



Supuestos para el ANVA

1. Las observaciones dentro de cada grupo estan normalmente distribuidas con una varianza comun σ 2.

2. Las suposiciones respecto al procedimiento de muestreo son especificadas para cada diseño.

•El ANVA es un procedimiento robusto cuando los tamaños muestrales son iguales y cuando los datos tienen forma de campana



En el DCA un factor tiene k niveles diferentes.

Los k niveles corresponden a k poblaciones normales, los que corresponden con los tratamientos.

¿Estas k poblaciones tienen la misma media, o al menos una media es diferente de la otras?

Diseño Completamente Aleatorizado

– Una clasificacion en una direccion



EjemploEn un experimento para determinar el efecto de la

nutricion en la capacidad de concentracion de

estudiantes de escuelas elementales. Doce niños fueron

divididos aleatoriamente en tres grupos y asignados a

un plan de alimentación diferente. La respuesta fue la

capacidad de concentración en minutos durante la

lectura de la mañana.No Desayuno Desayuno

ligero

Desayuno

completo

8 14 10

7 16 12

9 12 16

13 17 15

a = 3 tratamientos.

¿los promedios de

concentracion son

diferentes?


3



• Muestras aleatorias de tamaño n1, n2, …,nk se

toman de k poblaciones con medias µ1, µ2,…,

µk y con varianza comun σ2.

• Sea yij la j-esima medida en la i-esima muestra.

• La variacion total de la variable respuesta se

mide con la Suma de Cuadrados Total




La Suma de Cuadrados Total (SCT) se

descompone en dos partes:

� SCR (Suma de Cuadrados Tratamientos):

mide la variacion entre las k muestras.

� SCE (Suma de Cuadrados del Error):

mide la variacion dentro de las k muestras




Formulas ANVA



El Problema del Desayuno

No Desayuno Desayuno

ligero

Desayuno

completo

8 14 10

7 16 12

9 12 16

13 17 15

T1 = 37 T2 = 59 T3 = 53T = 149


4



La tabla ANVA para el DCA

Fuente de Variación Suma de

Cuadrados

Grados de

Libertad

Cuadrado Medio Fc

Tratamientos SCR a-1 1−

=a

SCRCMR

CME

CMRFc =

Error SCE N-a aN

SCECME

−=

Total SCT N-1



Fuente gl SC CM Fc

Tratamientos 2 64.6667 32.3333 5.00

Error 9 58.25 6.4722

Total 11 122.9167




Prueba de igualdad de medias

σ 2 es la varianza comun de las “k” poblaciones.

CME = SCE/(N− a) es la estimacion de σ 2

... :H k0 µµµµ========µµµµ====µµµµ====µµµµ 321

diferente es media una menos al:Ha



La prueba F de Fisher

• Rechazamos H 0 usando siempre una prueba de cola derecha.

• Cuando H 0 es verdad, F tiene distribucionr1 = (a − 1) y r2 = (N − a) grados de libertad.

µ... µµµ:H a3210 ================

g.l. N-a y a con FF si HRechazar

CME

CMRF :Prueba

0 1−−−−>>>>

====

αααα


5





Metodo Tukey para

comparacion de medias

Basado en el rango estudentizado, la diferencia entre la mayor y menor media de las k medias muestrales ( k = a = numero de tratamientos).

El método asume que los tamaños de lasmuestras son iguales y calcula una "regla" quemide la distancia requerida entre cualquier parde medias para declarar una diferenciasignificativa



Metodo de Tukey



¿cual de las tres medias poblacionales son diferentes?

No

Desayuno

Desayuno

ligero

Desayuno

completo

T1 = 37 T2 = 59 T3 = 53

Medias 37/4 = 9.25 59/4 = 14.75 53/4 = 13.25



6



Las medias muestrales ordenadas de menor a mayor:

La diferencia entre 9.25 y 13.25 es

menor que T = 5.02, no hay diferencia

significativa.

Como 14.75-9.25 = 5.50 > 5.02

si hay diferencia significativa entre las

medias problacionales 1 y 2.

Podemos declarar una

diferencia significativa

entre "sin desayuno" y

"desayuno ligero",

pero no entre los otros

pares




• Es un diseño con a tratamientos y con b bloques, entonces el total de observaciones es

N = = = = ab.

• El propósito de bloqueo es eliminar o aislar la

variabilidad de bloque a bloque que podría ocultar el

efecto de los tratamientos

• Este diseño usa bloques de k unidades

experimentales homogeneas o similares, con una

unidad dentro de cada bloque asignados

aleatoriamente a cada tratamiento

Diseño en Bloques Completo al Azar - DBCA



Ejemplo

Una empresa ensambladora de computadoras

desea presentar 3 modelos de computadora.

Efectúa un sondeo en 4 lugares (bloques)

registrando el número de posibles compras del

público que frecuenta los lugares de venta. Se

obtiene los siguientes resultados:

. Lugares

Modelo 1 2 3 4

A 11 13 16 10

B 15 17 20 12

C 10 15 13 10

Tratamiento = modelo de

computadora (a = 3)

Bloque = lugar (b = 4)

¿Las ventas promedio son diferentes

para los tres modelos?



El Analisis de Varianza

La SCT se divide en 3 partes:

� SCR (Suma de cuadrados de los tratamientos)

� SCB (Suma de cuadrados de bloques)

� SCE (Suma de cuadrados del Error): mide la

variacion aleatoria o error experimental


7



Formulas para DBCA

SCB-SCR-SCTSCE

j uetotal_bloq B donde Ca

BSCB

i amientototal_trat T :donde Cb

TSCR

CYSCT

YT donde N

TC

j

j

ii

ij

ij

====

====−−−−∑∑∑∑

====

====−−−−∑∑∑∑

====

−−−−∑∑∑∑====

∑∑∑∑========

2

2

2

2



La Tabla ANVA - DBCA

Total = Cuadrados Medios

Tratamiento =

Bloque =

Error =

ab –1 = N -1

a –1

ab– (a – 1) – (b-1) =

(a-1)(b-1)

CMR = SCR/(a-1)

CME = SCE/(a-1)(b-1)

Fuente gl SC CM Fc

Tratamientos a -1 SCR SCR/(a-1) CMR/CME

Bloques b -1 SCB SCB/(b-1) CMB/CME

Error (b-1)(a-1) SCE SCE/(b-1)(a-1)

Total N -1 SCT

b –1 CMB = SCB/(b-1)

Grados de libertad



El problema de los modelos de computadoras

Lugares

Modelo 1 2 3 4 Ti

A 11 13 16 10 50

B 15 17 20 12 64

C 10 15 13 10 48

Bj 36 45 49 32 162



Fuente gl SC CM F

Tratamientos 2 38 19 10.06

Bloques 3 61.6667 20.5556 10.88

Error 6 11.3333 1.8889

Total 11 111


8



Prueba para las medias de

bloques y tratamientos

versus ... :H0 ====µµµµ====µµµµ====µµµµ 321

diferente es media una menos al:Ha

iguales son bloques o ostratamient los:Hprobar Para 0

. )k)(b( y)b (o 1-a con FF si HRchazar

)CME

CMBF (o

CME

CMRF :Prueba

0 111 −−−−−−−−−−−−>>>>

========

αααα



Fuente gl SC CM F

Modelos 2 38 19 10.06

Lugares

(Bloques)

3 61.6667 20.5556 10.88

Error 6 11.3333 1.8889

Total 11 122.9167

Aunque no es de importancia

primordial, observe que los

bloques (locales) también

fueron significativamente

diferentes

(F = 10.88)



Metodo Tukey



Use el metodo de Tukey para determinar cuales de los

tres modelos difieren de los demas.

A B C

T1 = 50 T2 = 64 T3 = 48

Medias 50/4 = 12.5 64/4 = 16 48/4 = 12


9



Ordenar las medias de menor a mayor

Como la diferencia entre 12 y 12.5 es menor que

Tα

= 2.98,no hay diferencia significativa.

Hay diferencia entre las medias poblacionales C y B.

Asimismo hay diferencia entre las medias A y B

Una diferencia significativa en las ventas solamente ocurre con el

modelo B. Copyright ©2006 Brooks/Cole


Herramientas de diagnostico

1. Grafico de Probabilidad Normal

2. Grafico de Residuos versus estimados

•Muchos programas de computo tienen opciones para verificar los supuestos de poblacion normal y el supuesto de igualdad de varianzas



� Si la hipótesis de normalidad es válida, el grafico debe parecerse a una línea recta, inclinada hacia arriba en la derecha.

� La normalidad tambien se demuestra con la prueba Kolmogorov - Smirnov.

Probabilidad Normal de residuos



Si la hipótesis de igualdad de varianzas es válida, el grafico debe aparecer como una dispersión aleatoria alrededor de la línea central de cero sin ningún patron. Asimismo la prueba Levene demuestra la homogeneidad de varianzas

Residuos versus pronostico

Documents

Analisis de Varianza 2015