Anlisis de Vibraciones Anlisis de VibracionesVibracin librecon y sin amortiguamiento. Anlisis de un sistema sujeto a una fuerza armnica. Alumno Alumno: :Flores Cardiel Carlos Alberto 07041156

Grupo:Grupo: 7u 7uCatedrtico: Catedrtico:Mario Snchez CarrilloFecha De Entrega: Fecha De Entrega: 2 de diciembre de 2010 12INTRODUCCIONUnavibracinseproducecuandoel sistemaencuestinesdesplazadodesdeuna posicin de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de restitucin elsticas o gravitacionales, movindose de un lado a otro hasta alcanzar su posicin de equilibrio. Elintervalo de tiempo necesario para que el sistema efecteunciclocompletodemovimientosellamaperiododevibracin, el nmerode ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mximo del sistema desde su posicin de equilibrio se denomina amplitud de vibracin. Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige elprincipio de superposicin y las tcnicas matemticas para su tratamiento estn bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las tcnicas para el anlisis de sistemas no lineales son ms complicadas y no muy conocidas. Existendosclases de vibraciones, laslibres ylasforzadas.Cualquier sistemaelstico puede tener una vibracin libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido nicamente por las fuerzas de restitucin inherentes al mismo. El sistema bajo vibracin libre vibrar en una o ms de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribucin de su masa y rigidez. Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibracin forzada. Cuando la excitacin es oscilatoria, ya sea peridica o no, como ladeunsismo, el sistemaesobligadoavibrar alafrecuenciadeexcitacin, si sta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; as la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramtica posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el clculo de las frecuencias naturales de vibracin es de gran importancia en el diseo ssmico de estructuras. 3CONTENIDO INTRODUCCION.................................................................................................................3 Vibracin libre no amortiguada.............................................................................................5 METODOS PARA EL CALCULO DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SISTEMAS LIBRTES NO AMORTIGUADOS....................................................................9 METODO DE ENERGIA ................................................................................................ 15 UN CASO ESPECIAL..................................................................................................... 16 VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO......................................17 Tipos de Movimiento....................................................................................................... 18 Figura 4.3 Vibracin libre de un sistema crticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12]....................................................................................................... 18 Sistema subamortiguado...............................................................................................19 Figura 4.4 Efecto del amortiguamiento en Vibracin libre .................................................. 20 VIBRACIN FORZADA....................................................................................................20 COMENTARIOS Y CONLUSIONES................................................................................26 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.................................................................................27 DEFINICIN DE VIBRACION LIBRE4Unaestructuraestenvibracinlibrecuandoesperturbadadesuposicin esttica de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitacin de fuerza externa alguna (p(t) = 0).Aunque los sistemas vibratorios generalmente trabajan como sistemas forzados el anlisis de sistemas libres adquiere importancia debido a que uno de los problemas a los que "las maquinas temen" es la resonancia.Segn la definicin 1.2 H la resonancia se presenta cuando la frecuencia de excitacin es igual a la frecuencia de resonancia.Segn la definicin 1.2 G la frecuencia natural es la frecuencia de los sistemas vibratorios en la vibracin libre, de aqu que el clculo de frecuencias naturales es importante.En este capitulo se expondrn diferentes mtodos para el calculo de frecuencia natural, sus ventajas y dems, apartar de un modelo tpico.Consideremos el caso general en que el existe un amortiguamiento, y luego se analizara para diferentesvaloresde amortiguamiento incluyendo el despreciable.Vibracin libre no amortiguadaEnesteapartadoseestudiarael modelomssimpledetal modoqueuna ecuacin matemtica denotara su comportamiento.Estemodelolollamaremosel modelotpico, ylaecuacindiferencial que determina su comportamiento lo llamaremos la forma cannica de un sistema libre no amortiguado.LaFig. 3.2Muestraestemodelounsistemademasam yunaconstante elstica k vamos arealizar unestudioesttico y cintico conel finde determinar la ecuacin diferencial que determinara el movimiento posteriormenteveremos lasolucindelaecuacindiferencial paraver la respuestaenel tiempodel sistemaaxial comolaformulaquedeterminael calculo de la frecuencia natural.5Fig. 3.2 modelo tpico de un sistema libre no amortiguado.Supongamos tres casos como se muestra en la figura 3.3. En la figura 3.3 (a) se tiene el resorte sin deformar, posteriormente se coloca una masa m y el resorte sufre una deformacin CSS que llamaremos deformacin esttica; de aquFCC = KSFig. 3.4 diagrama de cuerpo libre, anlisis esttico.El diagrama de cuerpo libre esttico nos rebela queS Fy = 0mg KXs = 0mg = Kxs Ec.3.3ahora imaginemos que estiramos la masa una distancia X y luego lo soltamos y aqu comenzamos hacer el anlisis. La figura 3.5 nos muestra el diagrama de cuerpo libre como consideramos X + 1 por lo tanto x y x sern positivos hacia abajo.Utilizando la 2da ley de Newton+ S fy = S fy efect = mxmg KXt = mx Ec. 3.4Como KT = Xs + x la ecuacin 3.4 se convierte en:6Mg KXs Kx = mx Ec 3.5Utilizando la ecuacin 3.3 como en la ecuacin 3.5 aparecen como constantes se pueden eliminar, por lo tanto:Mx + kx = 0 Ec. 3.6A la ecuacin 3.6 se le conoce como la ecuacin diferencial del movimiento de un sistema libre no amortiguado. Si existe deformacin esttica el efecto que produce la masa se coloca con un resorte cuando se deforma estaticamente por lo tanto vamos a buscar la solucin utilizando la transformada de Laplace.Si analizamos el termino angular ( K (t) ) cuya unidad debera ser los radiantes, por lo tanto:mK T = segmde aqu que el termino K es la frecuencia natural en otras unidades mpor lo tanto la ec 3.7 que denota la respuesta en el tiempo del sistema queda:determinado su movimiento por la ecuacin diferencial:mx + kx = 0cuya solucion, queda determinada la respuesta en el tiempo:x(t) = x(0) cos wnt + x(0) sen wtwndonde: x(0) = deformacin inicialx(0) = velocidad inicialwn frecuencia natural (rad/seg)la frecuencia natural queda definida como:Wn = K manalizando la ec. 3.11 vamos a analizar su grafica respuesta en el tiempo.Caso 1 si el sistema parte con velocidad 0; es decir x(0)7 Caso2:si el sistemaparteconvelocidadinicial x(0)ysindeformacin, es decir x(0)

Puede ser un problema, mas sin embargo solo hay que dedicarse a llegar a la ecuacin diferencial y esta se asemeja a la ecuacin 3.6Definicin 3.2.BForma canonica de un sistema libre no amortiguadoA + B = 0Donde= d2 / dt8METODOS PARA EL CALCULO DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SISTEMAS LIBRTES NO AMORTIGUADOSAlgunos sistemas vibratorios pueden ser expresados a la forma canonica (def 3.2.B) yposteriormentecalcular sufrecuencianatural y/orespuestaenel tiempo.Existentresmetodosbsicosparael calculoparael calculodeecuaciones diferenciales de sistemas vibratorios libres no amortiguados, cada uno de ellos presenta ventajas dependiendo del movimiento.Movimiento rectilneo 1 metodo de Newton F = maMovimiento angular 2 metodo de Newton (momentos)Movimiento rect y/o angular o metodo de energia.Por lotantoel primer tipesidentificar el tipodemovimientoparaver el metodo apropiado para calcular la ecuacin diferencial.Si el sistema posee movimiento rectilneo utilizar el analisis cinetico S fy = S fy efect =mxesapropiadosollohayquellegar alaecuacindiferencial del movimiento.Ejemplo3.1Un resorte de constante elstica K es empotrado de un extremo mientras que el otroextremosecolocaunamasade4.53kglograndotenerunperiodo natural de 0.45seg. Posteriormente el resorte se parte justo alamitad empotrndose de los extremos y colocando la masa en el punto medio. Calcule el periodo natural nuevo. Solucion:Aqu no es necesario hacer un analisis Cinetico ya que la ecuacin Diferencial es directa.0.453 x + kx9vamos a analizar los sistemas por separado analizando el sistema (a)Wn = K = K K=Wn12 m = (13.95)2 (4.53)m 0.453 k=887.54 Nw/m Analizando el sistema (b)Para ver como afecta la constante al dividirse a la mitad partimos de la formula para calcular la constante en funcin de sus caractersticasK= Gd4 n = # vueltas k = Gd4 = 2K K= 2K64R3n 64R3(n/2)como estn en paraleloKeq= K + K = 2K +2K = 4K Keq = 4 ( 882.25) = 3526 Nw/mtWn = Keq = 3526 = 88.22 rad/segm 0.453un elemento elstico de constante desconocida sufre una deformacin esttica Xs al colocarle una masa m. calcule la frecuencia natural.Solucin:La constante elstica k se puede calcular a partir de la ley de Hooke mg= KXs k=mg/xs sustituyndolo en la formula de la frecuencia natural.Wn = K = mg = g Wn = g m mxs xs METODO DE NEWTON (MOMENTOS): S M=Jp Si el sistemavibratoriotienemovimientoangularutilizarlasegundaleyde Newton nos ayudara a encontrar su ecuacin diferencial.En trminos generales:S Mp = S Mpefect = Jp + S miairi Ec 3.12Paraunmovimientorotacional dondeel unicomomentoinercial esel rotacional.S Mp = Jp Ec. 3.13 Como tip para el signo del momento podemos considerar el sentido del angulo de excitacin (fig 3.7)Pndulo simple o compuesto.10Calcule la frecuencia natural del pndulo simple y compuesta Anlisis del pndulo simple (oscilaciones pequeas sen = )S Mp = S Mpefect = Jp -mg senl =JpJp=JCG + ml2 (teorema de ejes paralelos)JCG = 0 (masa Puntual)Sen ~ ( mglMETODO DE ENERGIASi el sistemaposeemovimientoderotaciny/otraslacinestemtodoes efectivo. Este mtodo se basa en el principio de la conservacin de la energa y que dice:Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2Ec = Energa CinticaEp = Energa potencialp ( EC + Ep ) = cte| tiempo Ec. 3.14Derivando la ec. 3.14 con respecto al tiempod/dt p (Ec + Ep) = 0 Ec 3.15La ecuacin 3.15 nos conducira a la ecuacin diferencial, cabe sealar que este metodoesapropiadosi ysolosi nohaydisipacindeenergia, esdecir, no existe amortiguamiento.15Ejemplo 3.5Aqu podemos observar que existe tanto la energia cintica rotacional como detraslacin, tambienexisteenergiapotencial elasticayenergiapotencial gravitacional.Aunque siobservamos alcolocar o quitar elcontrapeso mel resorte se alarga o restaura respectivamente, por lo que su efecto es compensado y no aparece como energia potencial gravitacional.p Ec + E = cte|tiempoEcr + Ect + Epr = cte1/2 Jp 2 + 1/2m2+ Kx2 (1/2 Mr2) 2 + mr2 + r2 = cted/dt [ (1/2 Mr2) 2 + mr2 + r2 = cte ] d/dt = 1/2 Mr2 + mr2 + Kr2 = 0 d/dt = 1/2 Mr2 + Kr2 + mr2 ) = 0 ec diferencial.Wn = Kr2 mr21/2mr2 UN CASO ESPECIALSi el sistema tiene movimiento angular conviene el 2 mtodo de Newton y si su movimiento es angular y rectilneo conviene el de energias.Estas sugerencias no siempre del todo validas dependen del sistema e incluso del punto de anlisis, como por ejemplo consideremos el siguiente sistema:16 Metodo de Energias+ Ma = Ja -Kx (2r) = Ja x = 2x = 2(r)-4 Kr2 = Ja Ja + 4 Kr2 = 0 Ec 3.19Cual resulto mas sencillo?VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO17 La ecuacin de movimiento para un sistema linealamortiguado en vibracin libre es: 0 + + u k u c u m (4.11) dividiendo la ecuacin 4.11 por la masa se obtiene: 0 22 + + u u un n (4.12)donde:crcc (4.13)nn crkkm m c22 2 (4.14)El coeficiente de amortiguamiento crtico,ccr, y la razn o relacin de amortiguamiento crtico,son parmetros que determinan el tipo de movimiento del sistema. TIPOS DE MOVIMIENTO

Figura 4.3Vibracin libre de un sistema crticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado [ref. 12] LaFigura4.3ilustrael desarrollodeestepunto; staes unagrficadel movimientou(t)debido a un desplazamiento inicialu(0)para tres valores distintos de :18u(t)/u(0)1/Tn1-101 2 3subamortiguado, =0.1criticamente amortiguado, =1sobreamortiguado, =2 Si c=ccr =1 El sistema retorna a su posicin inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razn es llamadosistema crticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crtico. Si c>ccr >1 El sistema no oscila pero retorna a su posicin de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominadosistema sobreamortiguado. Si c