CARAOERIZACION DE LAS SEÑALES ACÚSTICAS. FUNCIONES SINUSOIDALES. GUSTAVO BASSO

ANÁLISIS ESPECTRAL

Definen el llamado sistema mks (metro, kilogramo, segundo).

ellos es mayor (por ej. la longitud de este lápiz es mayor que la de este otro). A los diversos estados de cada magnitud se los llama valores, y se obtienen a partir de mediciones. Para medir el valor de cualquier magnitud es necesario adoptar un valor unitario de referencia que debe ser definido en forma precisa. Por ejemplo, el valor unitario o unidad de la magnitud longitud es el metro. Algunas de las unidades más habituales en acústica son:

Magnitud . Unidad

Símbolo Longitud

metro • m Masa

kilogramo

Kg Tiempo segundo s Presión pascal

Pa

Frecuencia

hertz Hz

Las primeras tres unidades (m, Kg y s) 7 corresponden a magnitudes independientes o de base, mientras que las dos últimas son unidades derivadas, pues se pueden obtener a partir de las independientes. Así, el paseal se puede expresar en función del metro, del kilogramo y del segundo: 1 Pa = 1 Kg / m x s2.

Veamos un ejemplo antes de continuar. La velocidad de propagación de las ondas en el aire es de 340 m/s. En este enunciado la magnitud es la velocidad, la unidad el metro por segundo (m/s) y el valor que toma la velocidad de propagación es de 340 m/s.

SEÑALES SINUSOIDALES: FRECUENCIA, AMPLITUD Y FASE

De las infinitas ondas periódicas posibles algunas poseen para nosotros especial interés, ya sea porque son generadas por fuentes acústicas conocidas y cotidianas, o porque forman parte de algún sistema complejo de uso habitual. Están entre ellas las vibraciones que nacen en las cuerdas vocales (que no oímos directamente) y muchas de las señales qué se usan en los procesos de síntesis electroacústica. Una clase particular de ondas periódicas, la de las ondas sinusoidales, ocupa un

lugar destacado por su sencillez y utilidad (los matemáticos las aprecian porque presentan algunas propiedades poco frecuentes).' Un péndulo, un corcho que flota en el agua, cada una de las varillas de un diapasón, todos ellos se mueven de manera aproximadamente sinusoidal.

Las funciones sinusoidales se obtienen de la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un eje en el plano del movimiento. Toman el nombre, según se proyecten sobre el vertical o el horizontal, de senoides o cosenoides.

FIGURA 1.6

Generación de una sinusoide a partir de una circunferencia unidad

Lo propio y característico de una función sinusoidal 'es la forma que toma al crecer y decrecer, repitiéndose siempre igual. Una señal sinusoidal es perfectamente periódica y como tal no tiene principio ni fin. La porción mínima que repite se denomina ciclo de la onda y el período resulta, entonces, el tiempo que tarda un ciclo en ser recorrido.

En una onda sinusoidal con un período de 1 segundo es evidente que en ese tiempo entra exactamente un ciclo. Si el período fuese de medio segundo se tendrían dos' ciclos por cada segundo que transcurre. Y si consideramos un período de una décima de segundo (se escribe 1/10 s o 0,1 s) entran exactamente 10 ciclos en cada segundo: se dice entonces que la señal tiene una frecuencia de 10 ciclos por segundo. Podemos definir, entonces, la frecuencia de una onda periódica como la

' La derivada de una función sinusoidal es otra función sinusoidal. Además, estas funciones forman los conjuntos ortonormales que constituyen la base del método de Fourier.

30 31

Espacio [cm]

Amplitud cm

Tiempo N

P= 1 s

f = 1 Hz

CARACIERIZACIM DE LAS SEÑALES ACÚSTICAS. FUNCIONES SINUSOIDALES. GUSTAVO BASSO ANÁLISIS ESPECTRAL

9 Estas unidades

de frecuencia son

válidas cuando la

unidad de tiempo

es el segundo. En

mecánica se

emplea a menudo

el ciclo por minuto

[c/min], que para

las máquinas

rotativas toma el

nombre de

revoluciones por

minuto [r.p.m.].

"' La unidad

correcta para medir

ángulos es el radian,

pero aquí resulta

más claro expresar

la fase en grados

angulares y así lo

vamos a hacer de

ahora en más.

" f =A sen (cut +9i),

o f u =A cos (cut+tpi) En ambas ecuaciones

encontramos la amplitud A, la

frecuencia angular

) y la fase

inicial (p.. La

diferencia entre la

función seno y

coseno es sólo un

desplazamiento

relativo de 90°. Así:

sen (cot) = cos (cot+90P)

cantidad de ciclos que tienen lugar en 1 segundo. Se la designa por medio del símbolo f y su unidad es el ciclo por segundo (c/s o 1/s , pues el ciclo no tiene dimensión) o Hertz (Hz).9 De los ejemplos anteriores se desprende una relación sencilla entre el período y la frecuencia: cuando uno crece la otra disminuye, y viceversa. Esta proporcionalidad inversa se puede escribir de la siguiente manera:

= I/P cuyas unidades son:[Hz] = [l/s] = 1 / [s] o tambie:n: P= I/f y P xf = 1

En general vamos a usar, para los valores que se emplean en acústica musical, la frecuencia antes que el período de una onda. Es más fácil hablar de un la con una frecuencia de 440 Hz que de un la con un período de 0,0023 s, aunque las dos famas sean enteramente equivalentes. La frecuencia de una señal está relacionada, a nivel perceptual, con la altura del sonido que percibimos. A mayor frecuencia en el estímulo físico corresponde un sonido más agudo.

FIGURA 1.7

Señal sinusoidal con período P= Isy amplitud A =I cm.

El aire se mueve cuando se propaga a través de él una onda acústica. Este movimiento pone en evidencia que existe cierta cantidad de energía en juego, y esa cantidad de energía es la que

determina la amplitud de la onda sinusoidal resultante. Se la puede definir como la máxima elongación de la señal medida desde el equilibrio, tal como se ve en la figura 1.7. En este caso la amplitud se mide en unidades de longitud -el eje vertical representa al espacio-, pero veremos más adelante que también se pueden usar otras unidades. Cuanto mayor es la cantidad de energía suministrada al, medio mayor será el movimiento de las moléculas y mayor será, también, la amplitud del movimiento. La amplitud está relacionada con el rasgo perceptual sonoridad: un sonido forte es causado por una onda de gran amplitud mientras que uno piano lo es por una de pequeña amplitud (siempre que permanezcan constantes los demás parámetros de la señal).

Si observamos en un instante cualquiera una señal sinusoidal y deseamos determinar en qué momento de su ciclo se encuentra, si está creciendo o decreciendo, o cuánto se ha apartado de la posición de equilibrio, debemos recurrir a su fase (9), definida como la distancia desde un punto de referencia expresadaen grados angulares. Es habitual medir esta distancia entre el origen del sistema de coordenadas y el punto en el que la señal atraviesa hacia arriba, en sentido creciente, el eje horizontal. Se obtiene así la fase inicial (pi de la onda. Como la unidad se toma a partir de la circunferencia que genera la sinusoide (figura 1.6) es claro que a un ciclo completo -una vuelta a la circunferencia- le corresponden 360 0, a medio ciclo 180 0, etc."' La fase integra, junto a la frecuencia y la amplitud, un conjunto de tres parámetros suficientes para caracterizar cualquier señal sinusoidal. Así, en la ecuación de las funciones seno o coseno, éstos son los tres valores necesarios para definirlas sin ambigüedades."

En la figura 1.8 podemos ver ejemplos de distintas señales sinusoidales que presentan diferentes valores de frecuencia, amplitud y fase.

Las dos primeras señales, a y b, tienen la misma amplitud y fase inicial, pero difieren en la frecuencia (y por lo tanto en el período). Las dos últimas poseen iguales frecuencias (y períodos) pero distintas amplitudes y fases iniciales.

A veces es necesario considerar la diferencia de fase (&p) que hay entre dos ondas sinusoidales distintas. En la figura 1.8 se aprecia la diferencia de fase entre las señales c y d. También se mide, como era de esperar, en grados angulares.

32 33

Espacio [mm]

Amplitud = 10 mm

a)

= 30 o P = 9.3 ms (1 = 108 Hz)

Tiempo [ms]

P= 3,2 rns(f = 312Hz)

Amplitud = 13,5 mm

Espacio [mm]

A d)

e—t t4=60 °

Amplitud = 3,5 mm

Tlempo(ms)

Espacio Immi

A

b)

FIGURA 1.8

Señales sinusoidales con diferentes períodos, amplitudes y fases.

CARACTERIZACIÓN DE LAS SEÑALES ACÚSTICAS. FUNCIONES SINUSOIDALES. GUSTAVO BASSO

ANÁLISIS ESPECTRAL

Gráficos espectrales

Existe otra forma distinta de expresar gráficamente una señal acústica, la representación espectral, que permite evaluar instantáneamente las características de un segmento de la misma. En este tipo de gráficos la variable del eje horizontal es la frecuencia (eje de abscisas) y la amplitud ocupa el lugar del eje vertical (eje de ordenadas). A diferencia de los gráficos temporales que emplearnos hasta ahora, en los espectrales no se puede ver el desarrollo temporal de una onda pero, en compensación, es posible observar con gran detalle su estructura interna. Es por esa razón que se muestran especialmente útiles para analizar señales que resultan de la combinación de una gran cantidad de sinusoides (o de otras funciones relativamente simples). En estos casos el diagrama temporal se torna muy confuso, mientras que el gráfico espectral aporta información clara y de fácil lectura.

Vayamos ahora a examinar algunos ejemplos. En la figura 1.9a se muestra el gráfico temporal de nuestra conocida sinusoide de 440 Hz, y en 1.9b su gráfico espectral. El gráfico espectral de una sinusoide contiene sólo una línea que equivale a la señal completa dibujada en el gráfico temporal previo. Esta línea se ubica sobre el punto que corresponde a la frecuencia y su altura indica la amplitud de la onda. La figura 1.9c muestra el espectro de otra sinusoide de mayor frecuencia y amplitud. Es un buen ejercicio dibujar o imaginar el gráfico temporal que le corresponde.

La equivalencia de las representaciones temporales y espectrales de una señal están dadas por un conjunto de transformaciones matemáticas definidas por la Transformada de Fourier, tema central de los capítulos 3 y 5 de este libro.

El empleo de las dos clases de gráficos tiene, para nosotros, un motivo adicional: podemos oír a la vez el devenir temporal y la composición espectral de una señal acústica (en un coral seguimos la evolución de los sucesivos acordes y, al mismo tiempo, determinamos cada una de las notas de cada acorde).' Estas dos formas de oír, la horizontal y la vertical, tienen que ver con las dos maneras posibles de representar las ondas que

34

12 Esta capacidad analítica del sentido del oído

en el campo de

la frecuencia no está presente en el sentido de la vista. Cuando mezclamos azul y amarillo para formar verde vemos el verde pero no los colores que lo constituyen. En cambio, al combinar las notas do-mi-sol de la tríada mayor oímos el acorde y a la vez cada uno de los sonidos que lo componen.

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CARACTERIZACIÓN DE LAS SEÑALES ACI)STICAS, FUNCIONES SINUSOIDALES. GUSTAVO BASSO ANÁLISIS ESPECTRAL

Espacio [mm]

a) A 2

Amplitud = 1 mm

1

Tiempo [ms]

-1

P= 2,3 ms

Espacio [mm]

A b]

e)

2

1 -

A

2 -

1 -

Amplitud = 1 mm

Espacio f = 440 Hz

[mm]

500

Amplitud = 2 mm

1.000 f [Hz]

500 1.000 f [Hz]

f = 1.000 Hz

e [mm]

f.(1)=f,(1)+Mil Amplitud = 2,83 mm

A(I) = (1).1— th,2 = 90 °

Amplitud = 2 mm

Tlempo[ms]

Amplitud = 2 mm

>

P = 10 ms (I = 100 Hz)

Tiempo [ms]

< > :

P = 10 ms(f = 100 Hz)

hemos visto. Pero debemos tener cuidado con identificar ingenuamente las dos clases de fenómenos. Los gráficos se refieren a la señal física, mientras que las características mencionadas de la audición tienen que ver específicamente con lo perceptual.

FIGURA 1.9

a) Gráfico temporal de una señal sinusoidal de f = 440 Hz; b) Gráfico espectral de la misma señal; c) Gráfico espectral de una señal de f = 1.000 Hz y el doble de amplitud.

Suma de sinusoides

Son numerosas las ocasiones en las que es necesario sumar señales sinusoidales. La superposición de movimientos armónicos en una dimensión ocurre de manera habitual en las fuentes acústicas. Y la interferencia de dos ondas en un punto del espacio es común en cualquier recinto cerrado. Siempre que se trate de sistemas lineales, el desplazamiento final es en todo momento la suma de los desplazamientos individuales descritos por cada una de las funciones sinusoidales intervinientes.

FIGURA 1.10

Suma de dos señales sinusoidales de la misma frecuencia y amplitud.

36

37

< > P = 10 ms (f = 100 Hz)

4, , = 90 °

e lmml A

f2(T)

a) e lmml o

A f dt) Amplitud = 2 mm

Tiempo Ims]

Amplitud = 2 mm

Tiempo [msl

< > P= 10 ms (f = 100 Hz)

Amplitud = 4 mm= A, + A,

Tiempo Ims]

< >: P= 10 ms(t = 100 Hz)

Suma de dos señales sinusoidales de la misma frecuencia y amplitud. z19 = 0° (en fase).

Amplitud = 2 mm

0) e [mm]

MI)

Tiempo Ims]

< >

P = 10 ms (f = 100 Hz)

Tiempo tms1

(P = 10 ms)

= 90 °

=1.1 0i1 =180 °

FIGURA 1.11b

Suma de dos señales sinusoidales de igual frecuencia y amplitud, pero con dtp= 180° (en contrafase).

Si las dos sinusoides que se suman no poseen la misma frecuencia las consecuencias son completamente diferentes: la señal resultante ya no será sinusoidal (no puede expresarse como una función seno O coseno). Y hasta puede no ser periódica tal como veremos en el capítulo dedicado a la serie

CARACTERIZACIÓN DE LAS SEÑALES ACÚSTICAS. FUNCIONES SINUSOIDALES. GUSTAVO BASSO ANÁLISIS ESPECTRAL

14 La cancelación

de señales es la

base de la técnica

de control activo

de ruido (Harris,

1979).

El caso más simple tiene lugar cuando las dos señales sinusoidales tienen la misma frecuenciaf. El resultado general de la suma es otra sinusoide de frecuenciaf, y sólo la amplitud y la fase de la resultante cambian con relación a las señales componentes. En la figura 1.10 se puede apreciar un ejemplo típico. El parámetro clave en estas sumas es la diferencia de fase Ocp entre las señales. Veamos dos ejemplos extremos:"

I. Si Acp = 0 ° las dos señales están «en fase», y el resultado de la suma es una sinusoide que conserva la fase inicial y cuya amplitud es la suma de las amplitudes de las componentes tal como se puede ver en la figura 1.11a. FIGURA 1.11a

' 3 La letra griega

A (delta) va a

designar de ahora

en adelante una

variación, una

diferencia o un

intervalo de la

variable en juego.

Así Adp significa

diferencia de fase, f variación en

frecuencia, y At intervalo de

tiempo.

2. Si Acp = 180 ° las señales se encuentran «en contrafase» y la amplitud final es la resta de las amplitudes de las componentes. Si éstas tienen la misma amplitud el resultado es la cancelación de ambas señales (figura 1.11b). Estas cancelaciones de ondas no son tan raras como podría parecer, y tienen lugar habitualmente en recintos cerrados en los que actúa una sola fuente acústica."

38

39

de Fourier. En el caso particular de una superposición lineal de dos señales sinusoidales de frecuencias cercanas aparecen variaciones en la amplitud de la resultante denominadas pulsaciones o batidos)5 Las dos ondas de la figura 1.12, al tener frecuencias ligeramente distintas, se encuentran alternativamente en fase y en contratase apareciendo así máximos y mínimos en la amplitud de la resultante.

La frecuencia con la que crece y decrece la amplitud (frecuencia de batido) es la diferencia entre f2 y fi :

fb = fi

Mientras que la frecuencia de la señal resultante es el promedio de las dos componentes:

= (f2 ±Z)/ 2

Un ejemplo quizá aclare las cosas. Si dos señales sinusoidales de f = 440 Hz yf2 = 442 Hz (se oyen como dos la de altura apenas diferente) interfieren en algún punto el resultado es una señal de frecuenciafR = (442 + 440) Hz / 2 = =441Hz que bate a fb = 442 - 440 = 2 Hz (se oye un la promedio con una sonoridad que pulsa dos veces por segundo).

" La cercanía de

frecuencias para

la aparición de

batidos es una

condición

perceptual y no

física, pues si la

diferencia supera

los 20 Hz no se

los oye como

tales. En el

capítulo 2 se

estudiará con

mayor detalle

este fenómeno.

FIGURA 1.12

e Imml

I ■M 7-

AmplHud = 2 mm

Tiempo [ms]

>

A e [mm]

1,11)

P = 6,3 ms (f = 120Hz)

Amplitud = 2 mm

Tiempo Ims]

e [mm]

c(t)=f,(t)+f2(t)

P = 10 ms(f = 100 Hz)

Tiempo !ms]

>

(pseudopedodo)

t

P" = 9,1 ms (r= 1101-1z)

Batido generado por la suma de dos señales sinusoidales de distinta frecuencia

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