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Manolakis & Ingle Fig2.1

Seal discreta, x[n], secuencia de nmeros definida para cada valor de la variable

entera n

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Manolakis & Ingle Fig2.2

Potencia y Energa

Las seales de soporte finito tienen energa finita y

potencia (energa promedio) nula.

Secuencias elementales

Delta de Kroneker Cajn unitario

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Manolakis & Ingle Fig2.2

Potencia y Energa

Las seales de soporte finito tienen energa finita y

potencia (energa promedio) nula.

Secuencias elementales

Delta de Kroneker Escaln unitario

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Manolakis & Ingle Fig2.3

Secuencias elementales

Sinusoide real

Exponencial real

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Secuencias elementales

Si las variables A y a son complejas

tenemos

Secuencias peridicas

Inversin temporal (plegado)

y[n]=x[-n]

Desplazamiento temporal

y[n]=x[n-no]

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Manolakis & Ingle Fig2.4

Las operaciones de plegado y desplazamiento NO son conmutativas

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Manolakis & Ingle Fig2.5

Sistemas de Tiempo Discreto

Causalidad

Un sistema es causal si el valor actual de la salida no depende de valores

futuros de la entrada.

Estabilidad

Un sistema es estable en el sentido entrada acotada salida acotada (BIBO)

si para toda entrada acotada a un sistema la salida es acotada

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Linealidad

Un sistema es lineal si y solo si para cualquier constante a1, a2 y para

Toda seal x1[n], x2[n] se cumple el principio de superposicin para todo n

Invarianza en el tiempo

Un sistema se denomina invariante en el tiempo si la misma entrada aplicadaen instantes distintos da por resultado la misma salida, pero desplazada

acordemente en el tiempo

Ejemplo

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Resumen de propiedades

Nos restringiremos al estudio de sistemas LIT, que pueden representarse

en funcin de la respuesta a una funcin simple: el impulso

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Manolakis & Ingle Fig2.6

Diagramas en bloques

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Descomposicin de una seal en impulsos

Si llamamos a la respuesta del sistema al impulso tenemos,

por aplicacin de la prop. de linealidad, que

Si adems el sistema es invariante en el tiempo

Por lo que resulta

Que es conocida como sumatoria de convolucin

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Interpretacin grfica de la convolucin

La sumatoria es en la variable k, por lo que n es solo un parmetro.

Graficar x[k] en una grfica con eje de abcisas k

Para graficar h[n-k] primero reflejamos h[k] y definimos la func reflejada

Desplazando g[k] en n muestras tenemos

Luego para n positivos tenemos desplazamientos de g[k] a la derecha y para

n negativos hacia la izquierda

Finalmente multiplicamos x[k] y h[n-k] y sumamos todos los valores de esta

nueva funcin.

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13/26 Cambridge University Press 2011

Manolakis & Ingle Fig2.12

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14/26 Cambridge University Press 2011

Manolakis & Ingle Fig2.13

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15/26 Cambridge University Press 2011

Manolakis & Ingle Fig2.14

La convolucin como una superposicin de rplicas escaladas y desplazadas

En el caso de tener un nmero finito de coeficientes (FIR) la implementacin

puede hacerse asi

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16/26 Cambridge University Press 2011

Manolakis & Ingle Fig2.15

Propiedades de la convolucin

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17/26 Cambridge University Press 2011

Causalidad y Estabilidad de un SLIT

Un SLIT es causal si su respuesta al impulso satisface

Un SLIT es estable si su respuesta al impulso satisface

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18/26 Cambridge University Press 2011

Convolucin de secuencias peridicas

Consideremos que x[n] es peridica, luego reemplazando n por n+M tenemos

Dado que x[n+N-k]=x[n-k] tenemos que y[n+N]=y[n], es decir que la salida es

tambin peridica.

Si en cambio consideramos que h[n] es peridica, el sistema ser inestable.Pero si x[n] es abs sumable por el resultado anterior y la propiedad de

conmutacin la salida ser tambin peridica.

Si tanto x[n] como h[n] son peridicas la convolucin no puede ser finita.

Sin embargo, si los perodos de ambas, digamos L y N, son conmensurables

se puede definir la convolucin sobre un solo perodo. Veremos como tal

convolucin peridica (o circular) ocurre naturalmente ms adelante.

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19/26 Cambridge University Press 2011

Respuesta a una exponencial

Consideremos que x[n] es una exponencial

La salida correspondiente a esta entrada est dada por

La cantidad entre parntesis no depende de n y la llamaremos

As la salida de un SLIT excitado por una exponencial es una exponencial

cuya amplitud cambia en funcin del sistema y de a.

En el caso particular en que tenemos y por ende

Al valor se lo conoce como respuesta en frecuencia del sistema

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Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias a coeficientes constantes

Hemos visto que

- todo SLIT est unvocamente caracterizado por su respuesta impulsiva

- la salida est determinada por la sumatoria de convolucin

Existen en la prctica sistemas cuya respuesta impulsiva es infinita (IIR), por lo querealizar la sumatoria de convolucin en tiempo finito se torna imposible en muchos

casos.

Trataremos aqu una subclase de SLIT IIR que son realizables, y donde la salida

y la entrada estn relacionadas por ecuaciones en diferencias a coef. ctes.

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Tomemos por ejemplo un SLIT IIR estable

La salida est dada por

Que implica

Es decir, la salida puede obtenerse en forma recursiva, escalando la salidaprevia y sumando el valor de entrada actual apropiadamente escalado.

(dado que y[n0-1] contiene toda la informacin relevante del pasado necesaria

para obtener la salida en n>n0 se lo denomina estado y provee la memoria

necesaria para separar el pasado del futuro)

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Respuestas de entrada nula y de estado nulo

Al igual que las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en diferencias tiene dos

tipos de soluciones, una homognea (entrada nula) y una forzada (estado nulo).

En el caso particular que estamos tratando tenemos para una entrada causal

Operando resulta

En el caso que la entrada x[n]=0 tenemos la respuesta a entrada nula

En el caso que el estado y[n-1]=0 tenemos la respuesta de estado nulo

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Cambridge University Press 2011

Luego la respuesta total del sistema est dada por dos componentes

Puede apreciarse que esta respuesta coincide con la obtenida por la sumatoria

de convolucin si el estado inicial es cero

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Respuestas de estado estacionario y transitoria

Consideremos una entrada particular x[n]=u[n], la salida del sistema recursivo

est dada por

Si el sistema es estable, |a|

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Sistemas recursivos generales

Estn definidos por la siguiente ecuacin en diferencias

El valor N se conoce como el orden del sistema. En caso que N=0 el sistema

se torna no recursivo

Nota: los sistemas no recursivos son FIR, pero hay sistemas FIR que pueden

Implementarse de manera recursiva, como el siguiente ejemplo del promedio

mvil

Puede representarse, luego de algunas manipulaciones, como

Estn definidos por la siguiente ecuacin en diferencias

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