Transformada de Fourier Discreta (DFT) Transforma una funcin a otra, que se llama el dominio de la frecuencia de representacin, o simplemente el DFT, de la funcin original (que es a menudo una funcin en el dominio del tiempo ). Sin embargo, la DFT requiere una funcin de entrada que es discreta y cuyos valores no nulos tienen un nmero limitado (finito) de duracin. Estas entradas se han creado por muestreo una funcin continua, como la voz de una persona. La secuencia de Nnmeros complejosx0, ..., x N-1 se transforma en la secuencia de nmeros complejos N X0, ..., X N-1 por la DFT de acuerdo con la frmula:

donde i es la unidad imaginaria y

es una primitiva N-sima raz de la unidad .

La transformada discreta de Fourier inversa (IDFT) Viene dada por

Una simple descripcin de estas ecuaciones es que los nmeros complejos k X representa la amplitud y fase de la sinusoidal de los diferentes componentes de la entrada de "seal" x n. La DFT calcula el k X de la x n, mientras que la IDFT muestra cmo calcular el n x como una suma de componentes sinusoidales

confrecuenciak / N ciclos por muestra. Al escribir las ecuaciones de esta forma, estamos haciendo un amplio uso de la frmula de Euler para expresar sinusoides en trminos de exponenciales complejos, que son mucho ms fciles de manipular. la DFT es peridica en con periodo 2 y por lo tanto, peridica en f con periodo fs.

La siguiente figura muestra la naturaleza peridica de una DFT.

Propiedades de la transformada discreta de Fourier 1. x[n] 2. . 3. +b 4. X[n] 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Las propiedades 15 17 se aplican solamente cuando 15. Propiedades Simtricas

X[k] . +b Nx[

] ]

X[

es real

[

-{

}

16. 17.

Integridad La transformada de Fourier discreta es un invertible, transformacin lineal

conC denota el conjunto de los nmeros complejos . En otras palabras, para cualquier N> 0, un vector de dimensiones complejas-N tiene un DFT y IDFT Linealidad

Es decir, la transformada de Fourier de una seal h(n) multiplicada por un escalar la transformada de Fourier de la seal, H( ) multiplicada por el escalar .

es

Del mismo modo, la transformada de Fourier de la suma de dos seales, h(n) y g(n), es la suma de las transformadas de Fourier de ambas seales. Translacin en el tiempo (retardo)

Esto es, si una seal es desplazada k, la transformada discreta de Fourier sufre un desplazamiento de fase de k. Traslacin de frecuencia

Similar a la anterior, multiplicar la seal por transformada de Fourier. Convolucin

introduce un desfase de o en la

La convolucin de dos seales en el dominio temporal da como resultado una transformada de Fourier que es la multiplicacin de las transformadas de Fourier de las dos seales originales. De igual forma, multiplicar dos seales en el dominio temporal da como resultado una convolucin en el dominio frecuencial. Relacin de Parseval

Ortogonalidad Los vectores forman una base ortogonal sobre el conjunto de dimensiones complejas vectores-N:

donde es la delta de Kronecker . Esta condicin de ortogonalidad puede ser utilizada para obtener la frmula para la IDFT de la definicin de la DFT. Periodicidad Si la expresin que define la DFT es evaluado para todos los k enteros en lugar de slo para k=0,.N-1, entonces la infinita secuencia resultante es una extensin peridica de la DFT, de forma peridica con periodo N. La periodicidad puede ser mostrada directamente de la definicin:

Del mismo modo, se puede demostrar que la frmula IDFT conduce a una extensin peridica. El teorema de cambio por algn entero m corresponde a un Multiplicar x n de una fase lineal desplazamiento circular de la Xk de salida: k X se sustituye por k X- m, donde el subndice se interpreta moduloN (es decir, peridicamente). Del mismo modo, un desplazamiento circular de la x n de entrada corresponde a multiplicar la salida de X k por una fase lineal. Matemticamente, si {x n} representa el vector x entonces:

A continuacin:

Y

Teorema de convolucin circular y de la correlacin cruzada teorema El teorema de convolucin para el tiempo continuo y discreto transformadas de Fourier indica que una convolucin de dos secuencias infinitas puede ser obtenida como la transformada inversa del producto de que el individuo se transforma. Con las secuencias y las transforma de longitud N, una circularidad que surge es:

La cantidad entre parntesis es 0 para todos los valores de m, excepto los de la forma n l - p N, donde p es cualquier nmero entero. En esos valores, es una. Por lo tanto, puede ser sustituido por una suma infinita de la delta de Kronecker funciones, y seguimos en consecuencia. Tenga en cuenta que tambin podemos extender los lmites de m hasta el infinito, en el entendimiento de que la x y las secuencias y se define como 0 fuera de [0, N1]: que es la convolucin de la X secuencia con una prorrogado peridicamente Y secuencia definida por:

Del mismo modo, se puede demostrar que:

que es la correlacin cruzada de X y Una evaluacin directa de la correlacin o la suma de convolucin (arriba) requiere O (N2) operaciones de una secuencia de salida de longitud N. Un mtodo indirecto, usando transforma, puede tomar ventaja de la O (N log N) la eficiencia de la rpida de Fourier

transformar (FFT) para lograr un mejor rendimiento mucho. Por otra parte, circunvoluciones se puede utilizar para calcular eficientemente DFT a travs del algoritmo FFT Rader y FFT algoritmo Bluestein . Los mtodos tambin han sido desarrollados para el uso de convolucin circular como parte de un proceso eficiente que logre normal (no circular) convolucin con una X o Y secuencia potencialmente mucho ms largo que el tamao de transformar la prctica (N). Dos mtodos se llaman superposicin de ahorro y se superponen a agregar[1] .

La DFT unitaria La DFT se puede expresar como una matriz de Vandermonde :

Donde es una primitiva raz ensima de la unidad . La transformada inversa viene dada por la inversa de la matriz anterior:

Con unitarios constantes de normalizacin

, La DFT se convierte en una

transformacin unitaria , definida por una matriz unitaria:

Donde det () es el factor determinante funcin. El factor determinante es el producto de los valores propios, que son siempre o como se describe a continuacin. En un espacio vectorial real, una transformacin unitaria se puede considerar simplemente como una rotacin rgida del sistema de coordenadas, y todas las propiedades de una rotacin rgida se puede encontrar en la DFT unitaria. La ortogonalidad de la DFT se expresa ahora como un ortonormalidad condicin (que se plantea en muchas reas de las matemticas como se describe en la raz de la unidad ):

Si X se define como la DFT unitaria del vector X a continuacin,

y el teorema de Plancherel se expresa como:

Si consideramos la DFT como una simple transformacin de coordenadas que se limita a precisar los componentes de un vector en un nuevo sistema de coordenadas, a continuacin, lo anterior es slo la afirmacin de que el producto escalar de dos vectores se conserva en una transformacin DFT unitaria. Para el caso especial , Esto implica que la longitud de un vector se conserva tan bien esto es slo el teorema de Parseval :

Transformada Rpida de Fourier Una FFT calcula la DFT y produce exactamente el mismo resultado que la evaluacin de la definicin DFT directamente, la nica diferencia es que una FFT es mucho ms rpido. Sea x0, ...., x N-1 que los nmeros complejos . La DFT se define por la frmula

Una interpretacin simple requiere O(N2) operaciones. La FFT supone O(N log N) operaciones si N es un factor de dos. En general las tcnicas del estilo de la FFT se pueden usar para cualquier N - primeros se descompone N en factores primos y despus se realiza una operacin de recursiva sobre cada factor.

La transformada rpida de Fourier (FFT) es un algoritmo de la transformada discreta de Fourier que reduce el nmero de clculos necesarios para N puntos de donde lg es la base-2 logartmica . a

,

Los algoritmos de la Transformada rpida de Fourier generalmente se dividen en dos clases: Decimacin en el tiempo: reordena los elementos de entrada en orden en dos

invertido, a continuacin, genera la salida de transformacin (decimacin en el tiempo). La idea bsica es romper una transformacin de la longitud transformadas de longitud utilizando la identidad.

APLICACIONES La DFT se ha visto el uso de ancho a travs de un gran nmero de campos. Todas las aplicaciones de la DFT dependen fundamentalmente de la disponibilidad de un algoritmo rpido para calcular las transformadas de Fourier discretas y sus inversas, una transformada rpida de Fourier.

La compresin de datos El campo de procesamiento de seal digital se basa en gran medida de las operaciones en el dominio de la frecuencia (es decir, la transformada de Fourier). Por ejemplo, varios con prdida de imagen y compresin de sonido mtodos emplean la transformada de Fourier discreta: la seal se corta en segmentos cortos, cada uno se transforma, a continuacin, los coeficientes de Fourier de las frecuencias altas, que se supone que son imperceptibles, se descartan. El descompresor calcula la transformada inversa sobre la base de este nmero reducido de coeficientes de Fourier. (Aplicaciones de compresin utilizan a menudo una forma especializada de la DFT, la transformada discreta del coseno o, a veces la transformacin discreta del coseno modificada .)

Aplicacin 2 Se toman 512 muestras de Lenguaje para extraer un segmento de vocal de una ventana rectangular

Se toman 512 muestras de lenguaje. La figura siguiente muestra un segmento de una vocal extrado con una ventana rectangular.

Se realiza una FFT y se dibuja la magnitud del resultado (la figura siguiente muestra el espectro en amplitud utilizando una ventana rectangular calculada utilizando Matlab: abs(fft(sig)) ): Una funcin de la ventana: es una funcin matemtica que es igual a cero con valores fuera de algunos elegidos intervalo . Por ejemplo, una funcin que es constante dentro del intervalo y cero en otro lugar que se llama una ventana rectangular, que describe la forma de su representacin grfica. Cuando otra funcin o una seal (de datos) se multiplica por una funcin de la ventana, el producto tambin es cero con valores fuera del intervalo: todo lo que queda es la parte donde se superponen, la "vista a travs de la ventana". Aplicaciones de las funciones de ventana incluyen el anlisis espectral , el diseo de filtros , y la formacin de haz .

Como se ve en la primera figura, hay una discontinuidad aguda en los extremos. La aplicacin de una ventana de Hamming reduce la discontinuidad (la figura muestra un segmento de vocal extrado con una ventana de Hamming - calculado con Matlab: hamming(512) .* sig ): Ventana de Hamming: El "coseno elevado" con estos coeficientes particulares fue propuesto por Richard W. Hamming . La ventana est o para minimizar al mximo (ms cercana) lbulos laterales, dndole una altura de cerca de una quinta parte de la ventana de Hann, un coseno elevado con coeficientes ms simple.

y

Tenga en cuenta que:

y como consecuencia la estructura armnica del lenguaje es ms visible (la figura muestra el espectro en amplitud usando una ventana de Hamming - calculado con Matlab: abs(fft(hamming(512) .* sig)) ):

Esta es la base para la mayora de los espectrogramas generados por computador (mostrar la intensidad del pixel sobre una escala logartmica limitando el rango

dinmico a alrededor de 60-80 dB). La figura muestra un espectro de energa mostrado en dB. Calculado con Matlab: 10 log10(abs(fft(hamming(512) .* sig)))

Para ilustrar el efecto del tamao de ventana el anlisis anterior se ha realizado con una longitud de ventana de 64. El lenguaje se representa en la figura siguiente que muestra que en la ventana de anlisis se ha incluido menos de un punto de afinacin. De aqu que no sea posible resolver los armnicos en la DFT, sino nicamente mostrar los patrones abiertos formantes del lenguaje. La figura siguiente muestra una vocal extrado con una ventana de Hamming de longitud 64.

La siguiente figura muestra el espectro en amplitud utilizando una ventana de Hamming de longitud 64.

Ejercicios Resueltos

y

Considera la seal x[n]= (-0.5)n u[n], obtenga los espectros de magnitud y fase.

Aplicando la formula X()= El espectro de magnitud seria:

El espectro de fase:

y

Dada la funcin Xk, halle la funcin x[n], en forma sinusoidal.

6 XK -1-j 0 -1+j

k=0 k=1 k=2 k=3

Ya que N=4, N es par, y la forma sinusoidal de x[n], esta dada por:

Reemplazando los valores tenemos:

= 1.5-0.5 cos

) + 0.5 sen ( )

y

Determine las transformadas discretas de Fourier de las secuencias.

y

Hallar la transformada discreta de Fourier de:

y

Hallar la transformada de Fourier.

y

Se tiene una transformada discreta de Fourier X(k) de N puntos correspondiente a la seal x(n). Determine la secuencia temporal que dan lugar a la siguiente DTF.

Aplicando la definicin de la inversa de la DTF, se tiene

Como

si

y

Hallar la DTF de la siguiente expresin.

Aplicamos la propiedad de linealidad de la DFT a

Y tenemos

Donde

es la DTF inversa de

, podemos escribir

Por lo que obtenemos

y

Dada la siguiente secuencia x(n)={+1, -1} e y(n)={-1, +1}, utilice la DTF para determinar la convolucin circular.

Tenemos que:

Para N=2

Con lo que

Ahora para la segunda secuencia

Para N=2

Por lo tanto

Ahora Z(k)=Y(k)X(k) Planteamos la transformada inversa se tiene que

Con esto calculamos la secuencia

La convolucin circular ser entonces

y

Dada la secuencia

determinar

Por lo que tenemos

y

Determine la secuencia

Donde

y

Exprese la transformada discreta de Fourier de:

Aplicamos la propiedad de la derivacin

y

Determinar la transformada discreta de Fourier.

Como la transformada de

Tenemos que

; aplicamos la propiedad de la derivada para el valor de

y

Dada una secuencia discreta real x(n) con periodo N siendo X(k) su DFT de orden N, compruebe las siguientes igualdades:

a)Real [x(k)]=Real[X(N-k)] b) Imag[x(k)]=-Imag[X(N-k)] De las dos igualdades propuestas se deber cumplir que X(k)= definicin de DFT se tendra: . Aplicando la

Aplicando que x(n) es real, es decir que cumple x(n)=

, se obtiene

y

Determine la seal temporal que da lugar a la siguiente DFT X(k)={1,j,-1,-j}

Aplicando la expresin general de la IDFT a la expresin proporcionada, x(0)= x(1)= x(2)= x(3)=

y

Se tiene una DFT X(k) de N puntos correspondientes a la seal x(n). Determine las secuencias temporales que da lugar a la siguiente DFT, tambin de orden N, con N par, relacionndola con X (k).

Aplicando la propiedad de linealidad de la DFT a

Se llegara a:

Donde

es la DFT inversa de

. A continuacin, se determinara dicho valor:

y como

,

, podemos escribir

Por lo que

En este caso, se han reflejado los trminos de la DFT.

y

Determine las transformadas discretas de Fourier de las siguiente secuencias: X(0)=2 X(2)= X(1)= X(3)=